九年级数学矩形性质和判定的应用PPT教学课件
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九年级数学矩形的判定(基础)(含答案)页数:7
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九年级数学矩形的判定页数:12
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九年级数学矩形的判定练习题页数:2
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初三数学矩形的判定练习题页数:2
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1.2矩形的性质与判定+课件+2023-2024学年北师大版数学九年级上册
B．AC＝BD
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．
∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，
∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，
即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能
C．AD＝AB
D．∠BAD＝∠ADC
2．如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，
连接AD，CD．四边形ABCD是矩形吗?请说明理由．
解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB＝OD．
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD．
∴DE∥AC，DF∥AB．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形．
典例3
如图，在□ ABCD是矩形ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作
DE⊥BC交BC的延长线于点E．求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAC＝∠ACB＝90°．
不一定成立的是( C )
A．AB∥CD
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．OA＝OC
变式1
矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A．对角相等
B．对边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
典例2
如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点．求证：AE＝BE．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°．
∴∠ABD＝ ∠ABC，∠ABE＝ ∠ABP．
∵∠ABC＋∠ABP＝180°，
∴∠ABD＋∠ABE＝ ×180°＝90°，
即∠DBE＝90°．
∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠E＝∠D＝90°．
∴四边形AEBD是矩形．
1．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能
北师大版九年级数学上册1.2.1矩形的性质与判定课件(共23张PPT)
边形是什么图形?
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.
矩形的性质与判定第2课时课件北师大版九年级数学上册
6. 如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E ，点 F 在
CD 边上， CF ＝ AE ，连接 AF ， BF .
(1)求证：四边形 BFDE 是矩形；
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ DF ∥ EB ， AB ＝ CD .
又∵ CF ＝ AE ，∴ DF ＝ BE . ∴四边形 BFDE 是平行四边形.
已知：如图2，四边形ABCD是平行四边形，AC=DB.
A
求证：四边形ABCD是矩形.
B
图2
D
C
探究新知
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=DC，AB∥DC.
又∵ BC=CB，AC=DB，
A
D
∴ △ABC≌△DCB .∴∠ABC=∠DCB .
∵ AB∥DC，∴∠ABC＋∠DCB=180°.B
第4题图
1
2
3
4
5
6
10
.
第2课时
矩形的判定
知识梳理
课时学业质量评价
5. 如图，在▱ ABCD 中，下列条件① AC ＝ BD ；②∠1＋∠3＝90°；③
OB ＝ AC
；④∠1＝∠2，其中能判断▱ ABCD 是矩形的有 ①②③④
第5题图
1
2
3
4
5
6
.
第2课时
矩形的判定
知识梳理
课时学业质量评价
形，若 AC ＝8 cm，则 BC 的长为(
D
)cm.
第3题图
A. 4
B.
C. 2
1
2
3
D. 4
4
矩形的性质与判定ppt课件
随堂练习
如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，
AB=6，AO=4，求BD与AD的长. (填空)
A
D
O
知识技能
B
C
1. 一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°，求这个
矩形的各边长. (填空)
2. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个 矩形较短边的长. (填空)
O
B
C
(2)图中有哪些等腰三角形？这些等腰三角形中哪些是全等三角形？
解：(2)△AOB，△BOC ，△COD， △DOA
(3)△AOB 、△BOC 、△COD 、△DOA的面积相等么？为什么？ 解：(3)S△AOB=S△BOC =S△COD=S△DOA
议一议:
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC
①对角相等，邻角互补 ②对边平行且相等 ③对角线互相平分 ④对角线相等
⑤每条对角线平分对角 ⑥四条边相等 ⑦四个内角都相等 ⑧对角线垂直
探究二：矩形的性质
想一想 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
(1)线段OA，OB，OC，OD有什么数量关系？ A
D
解：(1) OA=OB=OC=OD
B
C
证明： (1)∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠ADC，∠BCD=∠BAD，
AB∥DC.
∴∠ABC+∠BCD=180°
又∵∠ABC = 90°
∴∠BCD= 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
探究二：矩形的性质 证明矩形的性质
已知： 如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB
1.2 课时2 矩形的判定 课件 (共20张PPT) 数学北师版九年级上册
矩形的判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言：∵ 四边形ABCD是四边形 ∠A=∠B=∠C=90°∴ 四边形ABCD是矩形
矩形的判定方法
几何语言
定义法
有一个角是直角的平行四边形是矩形
∵□ABCD， ∠A=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形
定理
对角线相等的平行四边形是矩形
∵□ABCD， AC=BD, ∴ 四边形ABCD是矩形
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
S□ ABCD=BCAB=
2.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
B
1.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm2, 则其周长为（ ）A.15cm B.30cm C.45cm D.90cm
矩形的判定方法：
平行四边：2024年9月15日
矩形是特殊的平行四边形.
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
当两条对角线长度相等时，平行四边形有什么特征？你得到了怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
这一步的依据是？
矩形的定义
矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD∴□ ABCD是矩形
条件:(1)平行四边形；（2）对角线相等
矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形。
几何语言：∵ 四边形ABCD是四边形 ∠A=∠B=∠C=90°∴ 四边形ABCD是矩形
矩形的判定方法
几何语言
定义法
有一个角是直角的平行四边形是矩形
∵□ABCD， ∠A=90°, ∴ 四边形ABCD是矩形
定理
对角线相等的平行四边形是矩形
∵□ABCD， AC=BD, ∴ 四边形ABCD是矩形
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
S□ ABCD=BCAB=
2.已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC
B
1.若矩形两邻边的长度之比为2︰3，面积为54cm2, 则其周长为（ ）A.15cm B.30cm C.45cm D.90cm
矩形的判定方法：
平行四边：2024年9月15日
矩形是特殊的平行四边形.
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
当两条对角线长度相等时，平行四边形有什么特征？你得到了怎样的猜想？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
这一步的依据是？
矩形的定义
矩形的判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD∴□ ABCD是矩形
条件:(1)平行四边形；（2）对角线相等
矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？
猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形。
北师大版数学九年级上册矩形的性质与判定(第2课时矩形的判定)课件(共26张)
｛AP=DP ∵ AB=PC ， BP=PC ∴△ABP≌△DCP（SSS）， ∴∠D=∠A， ∵∠D+∠A=180°， ∴∠D=∠A=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形．
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交 于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°． 又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°， 同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形 至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？ 请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它 变为矩形，需要添加的条件是( D )
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交 于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°． 又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°， 同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形 至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？ 请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它 变为矩形，需要添加的条件是( D )
1.2矩形的性质与判定+课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册
2．(2023·呼和浩特市中考)如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直
平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为
( A )
A．2 3
B．3
C．2 5
D．3 2
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．有一点P从点B沿着
BD往点D移动，若过点P作AB的垂线交AB于点E，过点P作AD的垂线交
证 明 ： ∵∠ABO ＝ ∠DCO ＝ 90° ， OB ＝
OC，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC．
∴OA＝OD．
∵点E，F分别是AO，DO的中点，
1
1
∴OE＝ OA，OF＝ OD．
2
2
∴OE＝OF．
2．如图，AD和BC相交于点O，∠ABO
＝∠DCO＝90°，OB＝OC，点E，F分别是
AO，DO的中点．
2．如图，公路AC，BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量
湖泊两侧C，M两点间的距离，若测得AM的长为2.5 km，则M，C两点
间的距离为
( A )
A．2.5 km
B．3 km
C．4.5 km
D．5 km
3．若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角
18
三角形的面积是______．
下列结论一定正确的是
( C )
A．AC平分∠BAD
B．AB＝BC
C．AC＝BD
D．AC⊥BD
【变式1】矩形的两边长分别为6 cm和8 cm，则它的对角线长为
10
_____cm．
知识点2 直角三角形斜边上的中线性质
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中
北师大版初中九年级上册数学课件 《矩形的性质与判定》特殊平行四边形PPT课件(第3课时)
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形 中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为 邻边作平行四边形ABDE,连接AD, EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
MN MK2 NK2 2x2 8x2 2 3x,
MN 2 3x 2 3. DN x
当堂练习
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在
EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，
则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2
B B．S1＝S2
C．S1<S2D．3S1＝2S2
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边 的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB， DF=A1B.
2
解：DF∥AB，DF=A12B．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF=A12B
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是 AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说 明理由．
4.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC 于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD， 求证：四边形ADCN是矩形．
例3：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为 邻边作平行四边形ABDE,连接AD, EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.
MN MK2 NK2 2x2 8x2 2 3x,
MN 2 3x 2 3. DN x
当堂练习
1.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在
EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，
则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2
B B．S1＝S2
C．S1<S2D．3S1＝2S2
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论. 分析：由四边形ADCE为矩形，可得AF=CF，又由AD是BC边 的中线，即可得DF是△ABC的中位线，则可得DF∥AB， DF=A1B.
2
解：DF∥AB，DF=A12B．理由如下： ∵四边形ADCE为矩形， ∴AF=CF， ∵BD=CD， ∴DF是△ABC的中位线， ∴DF∥AB，DF=A12B
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
例4：如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是 AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且 AF＝BD.连接BF.
(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说 明理由．
4.如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC 于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD， 求证：四边形ADCN是矩形．
1.2 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 课件(共22张PPT) 北师版九年级上册
习题解析
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.∴∠ODC＝∠DCO＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.
习题解析
习题解析
习题2
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°. (1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
思考：线段AE和哪条线段有关系？这里用到了直角三角形的哪个性质？
例1
课程讲授
新课推进
分析：在矩形ABCD中，ED=3BE，∴BE：ED=_______，易证得△OAB是_____________，继而求得________的度数，由△OAB是____________，求出________的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
课程讲授
新课推进
习题解析
习题1
如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
习题解析
证明：（1）由题意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.∴∠ANF＝∠CME.∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM. ∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.∴∠ODC＝∠DCO＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.
习题解析
习题解析
习题2
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°. (1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
思考：线段AE和哪条线段有关系？这里用到了直角三角形的哪个性质？
例1
课程讲授
新课推进
分析：在矩形ABCD中，ED=3BE，∴BE：ED=_______，易证得△OAB是_____________，继而求得________的度数，由△OAB是____________，求出________的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
课程讲授
新课推进
习题解析
习题1
如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
习题解析
证明：（1）由题意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.∴∠ANF＝∠CME.∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM. ∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
北师大版九年级数学上1.2 矩形的性质与判定 (共39张PPT)
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.明确定理： 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半.
推理格式：在△ABC中， ∵∠ABC=90°，AO=CO， BO 1 AC.
2
3.定理证明
D
思路：（1）造全等：
延长BO至点D，使OD=OB，连接AD.
先证△BOC≌△DOA（SAS），
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OC=OB=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8.
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2 + BC 2 = AC 2 ,
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.821.9.8Wednesday, September 08, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。10:15:0210:15:0210:159/8/2021 10:15:02 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.810:15:0210:15Sep-218-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。10:15:0210:15:0210:15Wednesday, September 08, 2021
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∟
CAD = 1 BAC，CAN = 1 ∠CAM.
2.明确定理： 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半.
推理格式：在△ABC中， ∵∠ABC=90°，AO=CO， BO 1 AC.
2
3.定理证明
D
思路：（1）造全等：
延长BO至点D，使OD=OB，连接AD.
先证△BOC≌△DOA（SAS），
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OC=OB=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8.
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2 + BC 2 = AC 2 ,
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.821.9.8Wednesday, September 08, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。10:15:0210:15:0210:159/8/2021 10:15:02 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.810:15:0210:15Sep-218-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。10:15:0210:15:0210:15Wednesday, September 08, 2021
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∟
CAD = 1 BAC，CAN = 1 ∠CAM.
九年级数学矩形的判定课件
3.已知:如图,平行四边形ABCD的四个内角平分线相 交于点E，F， G，H。求证：EG＝FH。
4.已知:如图,在△ABC中,∠C＝ 90°,CD为中线, 延长CD到点E,使得 DE＝CD。连结AE，BE， 则四边形ACBE为矩形。
小 结:
矩形的判定方法分两类： 从四边形来判定和从平行四边形来判定．
1.2
矩形的性质与判定
第2课时 矩形的判定
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
复 习 与 回 顾
ห้องสมุดไป่ตู้
矩 形 性 质
角 四个角都 是直角
边 对边平行 且相等
对角线 互相平分 且相等
对称性 是轴对称 图形
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 A ∵∠ACB=90°AD = BD ∴CD = D
∴
O
C
S
ABCD
=AB· BC = 4×4
=16
3
3
cm 2
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判断题
（ 1. 对角线相等且一组对边也相等的四边形是矩形． 2. 两条对角线交点到四个顶点距离相等的四边形为矩形．（ 3. 有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形． （ （ 4. 有三个角都相等的四边形是矩形．
×） √ ） √ ） ×）
常用的判定方法有三种： 定义和两个判定定理．遇到具体题目， 可根据条件灵活选用恰当的方法．
小结：
有三个角是直角 对角线互相平分且相等
提示：判定一个四边形是矩形，应先认清是任
意四边形，还是平行四边形，然后选择适
当的方法判定。
谢谢！
课 堂 练 习
选择题
5. 具备条件____的四边形是矩形． A．两条对角线相等 C．一组对角是直角 B．对角线互相垂直 D．有三个角是直角
北师大版九年级(上)1.2 .1 矩形的性质与判定(1)(共27张PPT)
D
E
B
C
课堂小结
1.知识小结
(1)矩形定义： 有一个角是直角的平行四边形叫矩形 矩形的对边平行且相等 (2)矩形 矩形的四个角均为直角 矩形的对角线互相平分且相等 (3)直角三角形的一个重要性质：斜边上的中线 等于斜边的一半；
2.学法小结
(1)用类比的方法探究矩形的性质，先找共性再找特殊性， 并注意性质的整合； (2)矩形的问题常可以转化为直角三角形或等腰三角形 的问题来解决.
OA=OC=OB=OD 且互相平分； 对角线(3) 对角线互相平分； OA=OC ，OB=OD 四个角都是直角； 对角线相等
合作交流
ⅱ、如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线 AC与BD相交于点O. 求证: (1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; (2)AC=BD. D A
OA=OC，OB=OD
B
(1)对边平行且相等； (2)对角相等； (3) 对角线互相平；
探究矩形的性质 矩形的性质
A
O
D
C
∥ BC AD AB ∥ CD ， = =
B
边：(1)对边平行且相等； 角：(2) 对角相等；
∠BAD=∠ =C ∠ABC= ADC= ∠BCD A=∠ ， ∠∠ B= ∠D 90°
在直角三角形中斜边上的中线等于 斜边的一半.
新知归纳
定理 ： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
合作交流
ⅳ、你能写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半”的逆命题吗？
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这 个三角形是直角三角形。
你能证明它吗？
再探新知
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的中线. 求证： BO = AC
1.2 矩形的性质与判定(第二课时 矩形的判定)(课件)九年级数学上册(北师大版)
D
几何语言： ∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形。
B
C
课堂总结
定义法： 有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩
形
的
判
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
定
定理：
定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
课堂练习
1 检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ） A．测量两条对角线，是否相等 B．测量两条对角线，是否互相平分 C．测量门框的三个角，是否都是直角 D．测量两条对角线，是否互相垂直
课堂练习
7 在□ ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝ BE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD． ∵BE∥DF，BE=DF， ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴四边形BFDE是矩形；
课堂练习
4．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B
B．∠A=∠C
C．AC=BD
D．AB⊥BC
【详解】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行 四边形为矩形，正确； B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误； C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确； D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确， 故选B．
课堂练习
2．如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
1.2第3课时 矩形的性质与判定的综合应用课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册
4
∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°.
图1-2-19
∴∠ABO=180°-∠AEB-∠BAE=180°-90°-22.5°=67.5°.
∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AO=OC,OB=OD.∴AO=OB,
则∠OAB=∠ABO=67.5°,
∴∠EOA=180°-∠ABO-∠OAB=180°-67.5°-67.5°=45°.
定的综合应用
计
算
推
理
计算矩形中线
段长或对角线
的长或角度
矩形的性质与
三角形相结合
判定四边
形是矩形
灵活选择矩形
的判定方法
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如图1-2-24,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点
O作OE⊥BD,交CD于点E,连接BE.若∠COE=20°,则∠ABD=
35
°.
图1-2-24
课
堂
小
结
与
检
测
2.如图1-2-25,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,P为AB上任
意一点,PF⊥AC于点F,PE⊥BC于点E,则EF的最小值是
4.8
.
图1-2-25
课
堂
小
结
与
检
测
3.已知:如图1-2-26,四边形ABCD由两个全等的等边三角形
ABD和CBD组成,M,N分别是BC和AD的中点.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°(矩形的四个角都是直角),
图1-2-19
1
1
AC=BD(矩形的对角线相等),AO=OC= AC,OB=OD= BD(矩形的
∵AE⊥BD,∴∠AEB=90°.
图1-2-19
∴∠ABO=180°-∠AEB-∠BAE=180°-90°-22.5°=67.5°.
∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AO=OC,OB=OD.∴AO=OB,
则∠OAB=∠ABO=67.5°,
∴∠EOA=180°-∠ABO-∠OAB=180°-67.5°-67.5°=45°.
定的综合应用
计
算
推
理
计算矩形中线
段长或对角线
的长或角度
矩形的性质与
三角形相结合
判定四边
形是矩形
灵活选择矩形
的判定方法
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如图1-2-24,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点
O作OE⊥BD,交CD于点E,连接BE.若∠COE=20°,则∠ABD=
35
°.
图1-2-24
课
堂
小
结
与
检
测
2.如图1-2-25,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,P为AB上任
意一点,PF⊥AC于点F,PE⊥BC于点E,则EF的最小值是
4.8
.
图1-2-25
课
堂
小
结
与
检
测
3.已知:如图1-2-26,四边形ABCD由两个全等的等边三角形
ABD和CBD组成,M,N分别是BC和AD的中点.
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°(矩形的四个角都是直角),
图1-2-19
1
1
AC=BD(矩形的对角线相等),AO=OC= AC,OB=OD= BD(矩形的
北师大版九年级上册数学 1.2.1矩形的性质 课件(共14张ppt)
第一章 特殊平行四边形
§1.2.1 矩形的性质与判定（一）
学习目标：
1．理解矩形与平行四边形的区别与 联系，掌握矩形的概念和性质．
2．会初步运用矩形的概念和性质进 行推导证明，并能解决相关问题．
一：导入新课
一个如图所示的活动的平行四边形,现使 平行四边形的一个内角发生变化，问： （1）在变化过程中四边形还是平行四边形吗？ （2）在变化过程中四边形不变的是什么？改变 的是什么？ （3）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的 平行四边形是什么图形?
六、自我检测
（1）下列说法错误的是（ ）．
A.矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等。
C. 有一个角是直角的四边形是矩形
D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一 个交角为120°，则矩形的长和宽分别为 _____。
矩形的定义： 有一个内角是直角的平行四边形是矩形
A
D 应用格式：
L ∵ 四边形ABCD是______四
边形且_____=______
B
C ∴ 四边形ABCD是矩形
二：探究新知
问题：既然矩形是平行四边形,那么它具有哪 些性质？
性质 边
角
对角线
对称 性
中心
矩形
对边平行 对角相等 且相等 邻角互补
对角线互 对称 相平分 轴对称
七、作业布置
习题1.4第1、2、3题
矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等.
§1.2.1 矩形的性质与判定（一）
学习目标：
1．理解矩形与平行四边形的区别与 联系，掌握矩形的概念和性质．
2．会初步运用矩形的概念和性质进 行推导证明，并能解决相关问题．
一：导入新课
一个如图所示的活动的平行四边形,现使 平行四边形的一个内角发生变化，问： （1）在变化过程中四边形还是平行四边形吗？ （2）在变化过程中四边形不变的是什么？改变 的是什么？ （3）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的 平行四边形是什么图形?
六、自我检测
（1）下列说法错误的是（ ）．
A.矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等。
C. 有一个角是直角的四边形是矩形
D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
（2）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一 个交角为120°，则矩形的长和宽分别为 _____。
矩形的定义： 有一个内角是直角的平行四边形是矩形
A
D 应用格式：
L ∵ 四边形ABCD是______四
边形且_____=______
B
C ∴ 四边形ABCD是矩形
二：探究新知
问题：既然矩形是平行四边形,那么它具有哪 些性质？
性质 边
角
对角线
对称 性
中心
矩形
对边平行 对角相等 且相等 邻角互补
对角线互 对称 相平分 轴对称
七、作业布置
习题1.4第1、2、3题
矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等.
1.2.2矩形的判定 课件(共19张PPT)
1.请同学们阅读课本14-16页.
2.动手操作，拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一对不相邻的顶点（如图）.
思考：①随着∠α的变化，两条对角线的长度是否发生变化？ （发生了变化）
②当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？
（对角线相等的平行四边形是矩形）
③矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个
框符不符合我的要求?”王子听后，找来一把三角尺，用三角尺量了量
门框的三个角，然后对国王说:“父王，我量了门框的三个角，它们都
是90度，因此，这个门框是矩形.”
(1)问:你认为王子说得对吗?请同学们分组讨论并给出老师答案.(让其中的
一组来讲)
(2)有三个角是直角的四边形是矩形吗?
自主探究 （10min）
中点, ∴ = =
,
∥ .
∴四边形 DECF 是平行四边形.
∵∠ACB=90°,∴四边形 DECF 是矩形,∴EF=CD=6cm.
典例精讲
例 6: 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,O 是 AC 的中点,AD∥BC.
(1)求证：四边形 ABCD是平行四边形；
四边形就是矩形？
（一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形）
小组讨论（4min）
①如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是平行四边形？
（两组对边分别相等为平行四边形）
②如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是菱形？
（四边相等为菱形）
③如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是矩形？
测量…？
李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”
这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断
2.动手操作，拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一对不相邻的顶点（如图）.
思考：①随着∠α的变化，两条对角线的长度是否发生变化？ （发生了变化）
②当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？
（对角线相等的平行四边形是矩形）
③矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个
框符不符合我的要求?”王子听后，找来一把三角尺，用三角尺量了量
门框的三个角，然后对国王说:“父王，我量了门框的三个角，它们都
是90度，因此，这个门框是矩形.”
(1)问:你认为王子说得对吗?请同学们分组讨论并给出老师答案.(让其中的
一组来讲)
(2)有三个角是直角的四边形是矩形吗?
自主探究 （10min）
中点, ∴ = =
,
∥ .
∴四边形 DECF 是平行四边形.
∵∠ACB=90°,∴四边形 DECF 是矩形,∴EF=CD=6cm.
典例精讲
例 6: 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,O 是 AC 的中点,AD∥BC.
(1)求证：四边形 ABCD是平行四边形；
四边形就是矩形？
（一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形）
小组讨论（4min）
①如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是平行四边形？
（两组对边分别相等为平行四边形）
②如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是菱形？
（四边相等为菱形）
③如果仅有一根足够长的绳子，如何判定一个四边形是矩形？
测量…？
李芳同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”
这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断
矩形的性质与判定ppt课件
使得▱成为矩形．
2.如图，▱的对角线，相交于点，将△ 平移到
△ ．已知 = ， = ， = ，求证：四边形是矩形．
证明：∵ 四边形是平行四边形，
∴ = = ， = = ， = = ．
由平移，得 = = ， = = ．
∴ = ， = ．
∴ 四边形是平行四边形．
∵ + =
,即 + = ，
∴ + = ． ∴ ∠ = ∘ ．
∴ 四边形是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形
3.如图，在▱中，对角线，相交于点，且
∠的平分线，则四边形一定是(
A.菱形
B.正方形
C.矩形
C )
D.不能确定
第5题图
6.如图，在△ 中，∠ = ∘ ，是的中
点，，分别是∠，∠的平分线．
（1）求∠的度数.
解：∵ ∠ = ∘ ，是的中点，
∴ = ．
∵ 是∠的平分线，
A.对角线互相平分
B.邻角互补
C.对角相等
D.对角线相等
3.如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，
杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的
夹角为∘ 时，∠的大小为( D )
A.∘
B.∘
C.∘
D.∘
4.如图，矩形的周长为 ，与相交于
点，过点作的垂线，分别交，边于点
，，连接，则△ 的周长为(
A.
B.
C.
C )
D.
5.如图，矩形的对角线相交于点，过点的
直线交，于点，��，若 = ， = ，
6
则图中阴影部分的面积为___.
6.如图，在矩形中，是边上一点，
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ADE≌△BCE.∴DE＝EC.又∵∠DEC＝90°，∴DC＝
2DE.∴AE＝
2 2 DE.AD
＝ DE2－AE2＝ DE2－12DE2，AD＝ 22DE.∴AD＋AB＝ 22DE＋ 2DE＝3 2 2 DE＝18.∴DE＝6 2.∴AD＝6，AB＝12.∴对角线 AC＝ AB2＋BC2＝ 122＋62
解：(1)可证得AD綊CN，得CD＝AN (2)由DM＝CM＝MN＝AM得AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形
15．(教材 P17 例 4 改编)如图，△ABC 中，点 O 是边 AC 上一动点， 过 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠ACB 的平分线于点 E，交∠ACB 外 角的平分线于点 F.
6．(2016·吴江模拟)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， 已知下列6个条件：①AB∥CD；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝ 90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD，则不能使四边形ABCD成为矩形的是 ( )C A．①②③ B．①②④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 7．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC，在不添加任何 辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是 ∠__A_＝__9_0_°__或__∠__A__＝__∠__B_或__∠__A__＋__∠__C_＝__1_8_0_°．(填上你认为正确的一个答 案即可)
第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定
第3课时 矩形性质和判定的应用
知识点 1：矩形的计算 1．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则 AB 的长为( D ) A. 3 cm B．2 cm C．2 3 cm D．4 cm
2．(2015·泰安)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的 垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为( C ) A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8
3．如图，矩形 OBCD 的顶点 C 的坐标为(1，3)，则对角线 BD 的长等于( D )
A. 7 B．2 2 C．2 3 D. 10
4．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好 落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1＋∠2＝___9_0_°_．
知识点2：矩形的证明 5．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩 形，下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是 (D) A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线是否垂直 D．测量其内角是否都为直角
11．(习题变式)如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中 五个小矩形的周长之和为__ 2_8_．
12．已知，如图所示，矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，且∠DEC＝90°， 已知矩形的周长为 36，求矩形的边长及对角线的长．
解：∵E 是 AB 的中点，∴AE＝BE.∵∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，∴△
Hale Waihona Puke (1)求证：OE＝OF； (2)若 CE＝12，CF＝5，求 OC 的长； (3)当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？ 并说明理由．
解：(1)分别证 OE＝OC，OF＝OC (2)OC＝123
(3)当点 O 为 AC 的中点时，四边形 AECF 是矩形．理由：∵OA ＝OC，OE＝OF，∴四边形 AECF 是平行四边形，由(2)知∠ECF＝ 90°，∴▱AECF 是矩形
8．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE，求证： 四边形BCDE是矩形．
证明：∵∠BAD＝∠CAE，∠BAE＝∠CAD，又∵AE＝AD，AB＝ AC，∴△BAE≌△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，BE＝CD，又∵DE＝BC， ∴四边形BCDE是平行四边形，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∠BED ＝∠CDE，∵BE∥CD，∴∠BED＋∠CDE＝180°，∠BED＝∠CDE＝ 90°，∴四边形BCDE是矩形
＝6 5
13．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为矩形ABCD外 一点，若AE⊥CE，求证：BE⊥DE.
证明：连接OE，证OE＝OB＝OD，可得∠BED＝90°
14．如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点 M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．
9．(2016·包头模拟)如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形， 点B在边EF上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1，S2，则S1， S2的大小关系是( B ) A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1<S2 D．3S1＝2S2
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意 一点，作EF⊥AC于点F，作EG⊥BC于点G，则矩形CFEG的周长是 ___1_2__．