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连续系统振动(b)-梁的弯曲振动

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8连续系统的振动创新之一维波动方程之二梁的弯曲振动

8连续系统的振动创新之一维波动方程之二梁的弯曲振动


1
S
p(x,t)
（2）弦的横向振动
Evaluation
o2t 2ynlya.02
2 y x 2

1

p(x,t)
ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
（3）轴C的o扭py转r振ig动ht
2004-2011
A2ts2 p oa02sex22
• 主C振op型yr的ig正ht交2性004-2011 Aspose Pty Ltd.
• 杆的纵向强迫振动
连续系统的振动 / 一维波动方程
• 动力学方程
（1）杆的纵向振动
p( x, t )
x
讨论等截面细直杆的纵向振动 0
杆参数：杆长 l E截va面l积uaStion only.
l
ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
/
Client
Profile
5.2
假设C杆o的p各yr点ig作ht同2步0运04动-，20即1设1 A：sup(ox,st)ePt(yx)Lq(ttd).
q(t) 表示运动规律的时间函数
(x) 杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
代入，得：
q(t) q(t)

a02
( x) (x)
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：

u(x, t) ai i sin(it i ) i 1
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定
0
特征：两端位移为零
x

振动力学—连续系统

振动力学—连续系统
建坐标系oxy
弦的横向振动
y(x,t)为弦上坐标为x处的横截面 在t时刻的横向位移l。
取微元，分析受力，如图
杆的纵向振动
假定：细长等截面杆, 振动时横截面仍保持为平面，横截 面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。 则同一横截面上各点在x方向作相等的位移。 参数：杆长l，截面积S，材料密度，弹性模量E
EI d 4Y d 2T a 2 , 4 Y IV , 2 T ，则上式为： 令 m dx dt IV T 2 Y a Y T
Y IV T a 2 Y T
2
梁的弯曲振动
方程
T 2T 0
Y
( 4)

2
a
2
Y 0
T Aei (t )
各态遍历过程
相关函数
自相关函数性质
1 偶函数
Rx ( ) Rx ( )
2 周期随机过程的自相关函数仍是周期函数 X (t ) X (t ) Rx ( ) Rx ( T ) 3 4
2 Rx (0) x
2 2 x x Rx ( ) Rx (0)
T(t ) 2T (t ) 0
X ( x)
2
a
2 0
X ( x) 0
杆的纵向振动
解为 时间域，初值问题 空间域，边值问题 固支边条件
T (t ) Aei (t )
X ( x) C1 sin

a0
x C2 cos

a0
x
x=0时，u(0,t)=X(0)· T(x)=0，即X(0)=0 x=l时，u(l,t)=X(0)· T(l)=0，即X(l)=0
x=H(0) f

9连续系统的振动之集中质量法、假设模态法、模态综合法和有限元法

9连续系统的振动之集中质量法、假设模态法、模态综合法和有限元法

连续系统的振动 / 集中质量法
• 集中质量法
• 工程系统的物理参数常常分布不均匀 • 惯性和刚性较大的部件可看作质量集中的质点和刚体 • 惯性小和弹性强的部件可抽象为无质量的弹簧, 它们的质量可
以不计或折合到集中质量上 • 物理参数分布均匀的系统, 也可近似地分解为有限个集中质量
• 集中质量的数量取决于所要求的计算精度 • 连续系统离散为有限自由度系统后, 可以采用多自由度系统的分
f12
f21
f 23
f32
11l 3 768 EI
7l 3
f13 f31 768 EI
柔度矩阵:
F
l3 768EI
9 11
11 16
7 11
7 11 9
可以求解系统 固有频率
连续系统的振动 / 集中质量法
也可将连续梁离散为两自由度 或单自由度系统
在求得质量矩阵和柔度矩阵后, 可以计算出相应的系统固有频 率
在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时，是将连续系统的
解写作全部模态函数的线性组合:
y(x,t) i (x)qi (t) i1
i (x) ：模态函数 qi (t) ：模态坐标
若取前 n 个有限项作为近似解，则有: n
y(x,t) i (x)qi (t) i 1
i (x) : 应该是系统的模态函数，但实际中由于无法得到等原 因而代以假设模态，即满足部分或全部边界条件，但
m2
m3
m 4
1 0 0
质量矩阵:
M
m 4
0
1
0
0 0 1
连续系统的振动 / 集中质量法
1 0 0
质量矩阵:
M
m 4
0
1

力学专业研究生面试

力学专业研究生面试

1. 各力学课程之间的区别和联系,重点的理论力学\材料力学\结构力学重点内容要清楚.理论力学：理论力学是研究物体的机械运动的。

它主要研究的是质点，质点系，刚体，并且以牛顿定律为主导思想来研究物体。

质点和刚体都是理想化的模型，没有变形，真实世界中不可能存在，适用于研究宏观低速的物质世界。

它主要分为三大部分，静力学（研究物体在保持平衡时应该满足的条件），运动学（从几何方面研究物体的运动，包括轨迹、速度、加速度和运动方程）和动力学（研究物体的受到的力与运动之间的关系）。

材料力学：研究构件在荷载作用下是否满足强度、刚度和稳定性。

材料力学主要研究的对象是构件，构件是可以变形的。

材料力学主要是从理论力学的静力学发展而来，因为刚体是不会变形的，所以在理论力学中是不可能解释变形体的问题的，但实际上物体没有不发生形变的，材料力学就是研究物体在发生形变以后的一些问题。

理论力学无法解答超静定问题，但是在材料力学中可以根据变形协调方程或者一些边界约束条件可以解答超静定问题。

而且材料力学在解释实际生活中的问题时时把问题工程化。

材料力学的假设：1，连续性假设；2均匀性假设；3各项同性假设。

拉、压、剪、扭、弯（纯弯和恒力弯曲）强度理论：最大拉应力强度理论最大伸长线应变理论最大切应力理论畸变能密度理论莫尔强度理论组合变形（拉弯，弯扭）压杆稳定莫尔积分结构力学：研究工程结构受力和传力的规律，以及如何进行结构优化的学科。

在材料力学的基础上面发展起来的，一些基本的工具和思想都是差不多的。

在结构力学里面有一些更先进的解决问题的方法，例如力法、位移法、矩阵位移法（划行划列法，主1付0法，付大值法）、力矩分配法（逐渐趋近的方法接近真实值）。

结构力学里面还包括结构动力学力法：变形协调方程，以多余的未知力为基本未知量位移法：平衡方程，以某些结点位移和转角为基本未知量力矩分配法：以位移法为基础，无限趋近的方式逐渐逼近真实解矩阵位移法：位移法和计算机想结合的产物。

连续系统的振动课件

连续系统的振动课件
形函数与插值函数 构造形函数和插值函数，将节点位移表示为单元 内任意一点位移的函数，实现连续系统振动的离 散化描述。
连续系统振动仿真实例
弦振动仿真
建立弦的有限元模型，通过求解特征值和特征向量，得到弦的自振频率和振型，分析弦的振动特性。
梁弯曲振动仿真
建立梁的有限元模型，考虑剪切变形和转动惯量的影响，计算梁的自振频率和振型，揭示梁的弯曲振动规律。
拓扑优化
通过改变结构拓扑形态来优化振动特性，如减少 质量、提高刚度等。
形状优化
优化结构件的形状以降低振动幅度，例如改变梁 截面形状、板厚度分布等。
参数优化
针对特定连续系统，通过调整参数（如阻尼系数、 刚度分布等）实现振动性能的优化。
06
实验与测量技术
振动测量原理及设备
01
振动测量原理
02
振动测量设备
基于牛顿第二定律与连续系统的振 动特性，推导连续系统的偏微分方 程。
偏微分方程的形式
详细解释偏微分方程中各项的物理 意义，如惯性项、阻尼项和弹性项。
波动方程的推导与解析
01
02
03
波动方程的推导
从偏微分方程出发，通过 引入波动假设，推导连续 系统的波动方程。
波动方程的解析解
利用数学方法求解波动方 程，得到通解，并分析通 解的物理意义。
03
连续系统振动的应用实例
弦的振动与音乐乐器
振动弦上的波传播
当弦受到激励振动时，振动以波 的形式在弦上传播，形成驻波或 行波。这种波传播的现象是音乐
乐器发音的基础。
乐器中的弦振动
许多乐器如吉他、小提琴、钢琴 等都利用弦的振动发声。不同乐 器的音色和音调可以通过调整弦 的张力、长度、直径等参数来实

《结构动力学》-第八章-连续系统振动及精确解

《结构动力学》-第八章-连续系统振动及精确解

A BC 0
简支梁第r阶固有频率和振型分别为
r r L
2
EI

r ( x) D sin r x
[例2] 悬臂梁情况 ( x) A ch x B sh x C cos x D sin x
3 y (0) 0 (0) 0 ( L) 0 ( L) 0 ( EI 3 Q 0) x
n
C
L
3
2 2 ,
,
扭转振动固有频率：
ni
C (2i 1) (2i 1) L 2 2L G

i 1,2
一阶固有频率：
n1
2L G

1.5708
1 G L
一阶振型函数为：
1 ( x) A1 sin

2L
x
任意阶振型i的响应为：
i ( x, t ) i ( x)qi (t ) Ai sin
总响应：
ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
( x, t ) i ( x, t ) Ai sin
i 1 i 1


ni
C
xDi sin ni t Ei cos ni t
类似波动方程，有
d 2q ＋ 2 q＝0 dt 2 d 4 2 2 0 4 dx a
令 ( x) Ae x

4
代入得

a
2
a2
0 2

a
1
2

a
3 i

a
4 i

a

第七章 连续体振动讲诉


五、超声波的特点（2）
• 容易衰减（在液体和固体中衰减较小） • 传播速度受温度影响 • 在两种不同介质的界面处反射强烈，在 许多场合必须使用耦合剂或匹配材料。 • 超声波可以聚焦。
六、超声波的产生机制
• • • • • 电磁振动 磁致伸缩效应 压电效应 静电引力 其它形式的机械振动
超声波效应
梁的弯曲振动方程为：
梁弯曲振动方程的解的一般形式就可以表示成：
对于两端固定的梁，其固定边界处位移为零，同 时位移曲 线在边界处的斜率也为零，因此 ：
其特征值方程为：
其解αl不能解析表达出来，但当n＞3时，可近似表达为：
梁弯曲振动的固有频率为 n
两端自由梁，弯曲振动的边界条件为：

超声波的类型
• • • • 纵波 横波 表面波 板波
纵波 横波 超声波分 类 表面波 板波 超声波在均匀介质中传播
纵波：质点振动方向 和波的传播方向在同 一条直线上的传播的 波称为纵波。也称压 缩波或疏密波。
一、超声波分类
横波：质点振动方向和波的传播方向相垂直的波称为横纵波。也 称切变波。横波只能在固体材料中传播。
由于液体和气体介质没有刚性，不能承受切应力，横波和表面波不能在 液体和气体中传播，只有纵波可以在液体气体中传播。
三、超声波声速
纵波在液体气体 中声速
C K
结论： 1、介质弹性性能愈强（E越大），密度愈小，则超声波在该介质中传 播声速愈高； 2、在同一种介质中，纵波声速约为横波的2倍，横波声速约为表面波0,9 倍； 3、在液体和气体介质中只能传播纵波。
四、超声波传播时相遇
4、惠更斯原理 在连续介质中传播波的波前所有各点， 都可以看作是发射子波的波源，经过 一段时间后，这些子波波前新位置的 包络线决定新的波阵面。这就是惠更 斯原理。

连续系统的振动 振动力学课件


(l )q(t )
C1
sin
l
a
2 q(t )
q(t) A cos(t )
q(t) A2 sin(t ) 2q(t)
2u t 2
(l)q(t)
C1 sin
l
a
2 q(t )
代入
EA u(l,t) W x g
2u(l, t 2
t
)
ku(l
,
t
)
0
2
EA cos l q t W 2 sin l q t k sin l q t 0
u(x, 0) u(x) u(x, 0) u(x) 确定
2.两端自由
特征：两自由端轴向力为零
即 FN (0,t) 0 FN (l,t) 0
EA u(0,t) 0, x
EA u(l,t) 0, x
'(0)qt 0
'(l)qt 0
' (0) 0
' (l) 0
2.两端自由
' (x)
W gkl 2
Eg
EA kl
W
lA
tan
a
l
EA
a
W 2 k
g
EA ( l)
lk a
Wa2 gkl 2
a
l
2
1
l
a
( l)2
a
1
讨论：（1）
W 0 右端只有弹簧k，
频率方程
tan l (l )
a
a
tanu u作图法得出
（2） W 0 k 0 即自由端情形
频率方程 cos l 0
2. 弹性弦横向振动
微段分析
以变形前弦的方向为 x轴，

2014年机械振动Ⅱ教学日历(学术型)

二○一三 ～二○一四 学年第2学期教 学 日 历授课对象： 机械工程硕士研究生2013级课程名称： 机械振动Ⅱ 授课教师： 李友荣 授课周次： 2-11 总学时： 40 理论学时： 40 实践学时：0 考核方式： 考试(开卷) 成绩组成比例： 考试100% 使用教材：1、机械振动Ⅱ 李友荣编著 武汉科技大学2、Theory of Vibration with Applications(Fifth Edition),W.T.Thomson. 清华大学出版社，2007系（教研室）主任：二○一四 年 三 月 日（专业、年级、班级）注：1、此表一式四份，本人留存一份，班级、教师所在学院、开课学院各一份（如教师所在学院与开课学院为同一学院，则只交一份）。

2、原则上以课堂为单位（即2学时）填写。

第 1 页第 2 页主要参考文献［1］William T.Thomson,Marie Dillon Dahleh.Theory of Vibration with Applications(Fifth Edition) 清华大学出版社[M] 北京2007［2］师汉民，谌刚，吴雅.机械振动系统——分析·测试·建模·对策华中理工大学出版社[M] 武汉1992［3］闻邦椿. 机械振动学冶金工业出版社[M] 北京2000［4］清华大学工程力学系固体力学教研组振动组编. 机械振动上册机械工业出版社[M] 北京1980［5］S.铁摩辛柯，D.H.杨，W.小韦孚.著，胡人礼译，杜庆莱校工程中的振动问题人民铁道出版社[M] 北京1978［6］（日）谷口修主编. 振动工程大全机械工业出版社[M] 北京1983［7］《振动与冲击手册》编辑委员会编著. 振动与冲击手册国防工业出版社[M] 北京1990 ［8］陈予恕.非线性振动高等教育出版社[M] 北京2002［9］李友荣，贺文涛. 开坯机主传动系统自激振动分析《武汉科技大学学报》[J]2010(3)：303-305［10］李友荣. 1000初轧机主传动系统的扭转振动《武汉钢铁学院学报》[J]1992(4)：387-397 ［11］李友荣.热轧开坯机主传动系统自激振动的危害和机理及防治措施《冶金设备[J]》2011（2）：105-108［12］王志刚，李友荣，吕勇，刘安中. 地下卷进取机主传动系统自激振动的机理研究《轧钢》[J] 2006（2）：22-25［13］陈敬常，李友荣.预应力轧机垂直方向振动分析《武汉钢铁学院学报》[J] 1983（2）：63-79［14］李友荣.多自由度线性系统对随机激励的广义动力响应统计特性的直接计算方法《武汉钢铁学院学报》[J] 1988（4）：50-59［15］李友荣.预应力轧机拉杆的随机动力响应分析《机械强度》[J] 1989（4）：75-78 ［16］王志刚，李友荣.结晶器非正弦振动研究《机械传动》[J] 2002（2）：10-11［17］刘安中，李友荣，朱瑞荪等.降低带钢卷取机主传动系统冲击扭矩的试验研究《轧钢》[J] 2002（6）：15-16［18］查铂，李友荣.弹性联轴器对辊道冲击扭矩的衰减效果研究《重型机械》[J]2004（4）［19］吕勇，李友荣，朱瑞荪.轧机主传动轴断裂事故分析《武汉科技大学学报》[J]2007（3）第 3 页。

无限自由度体系振动(第17讲,12月3日)

l
∫ ρSf (x)ϕ (x)dx
0 l 1 j
l
∫ ρSf (x)ϕ (x)dx
0 2 j
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
模态初始条件： 模态初始条件：
x x 3 l − x l − x 3 l iπ x iπ x qi ( 0) = ∫ ρSyst 3 − 4 Ci sin dx + ∫ l ρSyst 3 − 4 Ci sin dx l l 2 l l l l Pl 4 ρS =− 4 4 正则广义力 i π EI
ρ Sl
2
C = 1 Ci =
2 i
2 ρAl
l
l
l
& qi (0) = 0, i = 1,3,5,L
l − x l − x 3 iπ x + ∫ l ρSyst 3 − 4 Ci sin dx qj (0) = l 2 l l Pl 4 ρS & qj (0) = =− 4 4 i π EI
∑( EIqϕ
i= 1
∞
"" i i
& & +ρSqiϕi ) = P ( x−l) sinω δ t
两边乘 φ j 并沿梁长对 x 积分： 积分：
& & ∑(q ∫ EIφ φ dx+q ∫ ρSφφ dx) = Psinωt∫ δ(x−l)φ dx
l 1 i= i 0 "" i j l l i 0 i j 0 j
∞
i =1,3,5L
l
∑
∞
( −1)
i4
i −1 2
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根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：
y ( x, t ) ( x) q (t ) ( x) a sin( t )
代入自由振动方程：
( EI ) 2 S 0
( 4) 4
4
EI 2 a 等截面梁： ( x) ( x) 0 a0 S 通解： ( x) C1 cos x C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x
2 y ( x, t ) 材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系： M ( x, t ) EI x 2
变截面梁的动力学方程：
2 2 2 y ( x , t ) y ( x, t ) 2015年1月24日 [ EI ] S f ( x , t ) m( x, t ) 2 2 2 《振动力学》 x x t x
当 i=1,2,3时
简化
cos l cosh l 1 0
频率方程
1l 1.875
2l 4.694
3l 7.855
2i 1 il , (i 3,4,) 当i 3时 2 EI 2 , (i 1,2,) 各阶固有频率： i ( i l ) 4 Sl
14
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
自由端：弯矩和截面剪力为零
y
(0) 0 (0) 0 (l ) 0 (l ) 0
频率方程：
0
x
cos l cosh l 1
解得： 当 i 0 时
0l 0 对应刚体模态 当 i=1,2,3时 1l 4.730 2l 7.853
a0
S
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 自由梁的模态形状
第二阶模态 第三阶模态
第四阶模态
第五阶模态
2015年1月24日 《振动力学》
16
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频 率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠 度曲线。
y
0
x
l
2015年1月24日 《振动力学》
频率方程： sin l 0
i l i , (i 1,2,)
EI 2 a ( x) C cos x C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x 2 0 12 a0 S
2015年1月24日 1 《振动力学》
4
i 2 EI , (i 1,2,) 固有频率： i ( ) l S
17
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
解：
梁的自由振动方程：
y
0
x
l
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) [ EI ] S 0 2 2 2 x x t
边界条件 固定端： y (0, t ) 0 自由端： y (l , t ) 0
x0 或 l
( x) 0
（2）简支端
y( x, t ) 0
挠度和弯矩为零
( x) 0
( x ) 0
2 y ( x, t ) M EI 0 x0 或 l 2 x
（3）自由端 弯矩和剪力为零 M 2 y ( x, t ) F 0 x0 或 l M EI 0 s 2 x x (年 x1 )月 ( x ) 0 y ( x, t ) ( x ) q (t ) 2015 240 日
固定铰：挠度和截面弯矩为零
滑动铰：挠度和截面弯矩为零
y
0
x
( 0) 0 (l ) 0
(0) 0 (l ) 0
C4 0
C1 C3 0 C2 sin l C4 sinh l 0 C2 sin l C4 sinh l 0
《振动力学》 8
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
例：求悬臂梁固有频率和模态函数
解： 一端固定，一端自由
边界条件
固定端：挠度和截面转角为零 自由端：弯矩和截面剪力为零
0
y
x
( 0) 0 ( 0) 0 (l ) 0 (l ) 0
C1 C3
C2 C4
y
0
x
节点位置
第一阶模态
2015年1月24日 《振动力学》
第二阶模态
一个节点
第三阶模态
两个节点
第四阶模态
三个节点
13
无节点
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
例：两端自由梁的固有频率和模态函数
背景：导弹飞行 系统类别：半正定系统 存在刚体模态
0
y
x
2015年1月24日 《振动力学》
导弹飞行1
导弹飞行2
( x) C cos x C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x
2015年1月24日 1 《振动力学》
4
2
2 a0
EI 2 a0 9 S
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
cos l cosh l sin l sinh l 0 sin l sinh l cos l cosh l
《振动力学》

4
2
2 a0
EI a 10 S
2 0
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 铅垂梁的前三阶模态形状
第一阶模态
节点位置
无节点
第二阶模态
第三阶模态
一个节点
两个节点
2015年1月24日 《振动力学》
11
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
例：简支梁固有频率和模态函数
解： 一端固定铰，一端滑动铰
( 4) ( x) 4 ( x) 0 ( x) C1 cosx C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x
i
第 i 阶主振动：
i ( x)
无穷多个
y (i ) ( x, t ) aii ( x) sin(it i )
a i 和 i由系统的初始条件确定
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
y( x, t ) aii ( x) sin(i t i )
2015年1月24日 《振动力学》
i 1
7
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
常见的约束状况与边界条件
（1）固定端
y( x, t ) 0
挠度和截面转角为零
y ( x, t ) 0 x ( x) 0
x
dx
x
f ( x, t )dx
微段受力分析
2 y Sdx 2 : t
Fs , M :
截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力 微段所受的外力 微段所受的外力矩
M
Fs
m( x, t )dx
M Fs dx x M dx x
f ( x, t )dx :
m( x, t )dx :
2 y Sdx 2 t
对应的各阶模态函数：
i ( x) cos i x cosh i x i (sin i x sinh i x), (i 1,2,)
cos i l cosh i l , (i 1,2,) i 24日 2015年1月 sin i l sinh i l
欧拉－伯努利梁（Bernoulli-Euler Beam）
2
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
f(x,t): 单位长度梁上分布的外力 m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩
令： y(x,t): 距原点 x 处的截面在 t 时刻
的横向位移
y
f ( x, t )
y( x, t )
0
m( x , t )
dx
Fs
2015年1月24日 《振动力学》
3
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
f ( x, t )dx
力平衡方程 ：
F 2 y Sdx 2 ( Fs s dx) Fs f ( x, t )dx 0 t x
Fs 2 y f ( x, t ) S 2 x t
x
S 梁横截面积
外部力： m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩 f(x,t): 单位长度梁上分布的外力 假设：
梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内外载荷作用在该平面内 梁在该平面作横向振动（微振）, 这时梁的主要变形是弯曲变形
在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响
2015年1月24日 《振动力学》
2 0
2
24 日 可通过梁的边界条件确定 Ci (i2015 1年 ~1月 4) 和 《振动力学》
6
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
等截面梁：
主振动：
y ( x, t ) ( x) q (t ) ( x) a sin( t )
4 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) EI S 0 4 2 x t
2
连续系统的振动 / 梁的弯曲振动
C1 C3 C4 0
( x) C1 cos x C2 sin x C3 cosh x C4 sinh x
i l i , (i 1,2,)
频率方程： sin l 0
固有频率：
模态函数： 模态形状
i 2 EI i ( ) , (i 1,2,) l S i i ( x) sin x, (i 1,2,) l
Fs
M
m( x, t )dx
M Fs dx x
M dx x
2 y Sdx 2 t
dx
Fs
以右截面上任一点为矩心，力矩平衡： M dx 2 y dx （M dx) M Fs dx f ( x, t )dx Sdx 2 m( x, t )dx 0 x 2 t 2 M m( x, t ) 略去高阶小量得： Fs x