当前位置：文档之家 › 第4章：连续体的振动

第4章：连续体的振动

  • 格式：ppt
  • 大小：2.74 MB
  • 文档页数：53

下载文档原格式

  / 53

合集下载

第四章 连续体的振动

第四章 连续体的振动

第四章连续体的振动拉格朗日（grange):1762年建立了离散系统振动的一般理论．对连续系统研究最早的是弦线的振动达朗贝尔（J.le R.d’Alembert)1746年用偏微分方程得到弦线振动的波动方程，并求出行波解伯努利（D.Bernoulli)1753年用无穷多个模态叠加的方法得到了弦线振动的驻波解1759年拉格朗日（grange):从驻波解推得行波解1811年傅里叶提出函数的阶数展开理论，给出严格的数学证明‘其它连续系统的振动问题也相继得到研究伯努利（D.Bernoulli)1744-1751年研究了梁的横向振动，导出了自由.简支和固定端的频率方程和振型函数奇拉尼（E.F.F.Chladni):1802年研究了杆的轴向和扭转振动．本章只讨论理想弹性体的振动理想弹塑性体满足以下假设条件①各向同性；②均质分布；③服从虎克定律§4.1 弦的振动T (,)q x t 讨论两端受到张力拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力的作用(,)q x t yxdxxdm Adsρ=第四章连续体的振动设弦的密度为ρ（质量/单位体积）假设小变形，弦力不随挠度变化。

则弦上的任意一点的位移y 应为位置x 与时间t 的函数，即(,)y y x t =22()()dm Ads A dx dy Adxρρρ==+≈(,)(,)y x t x t tg xθθ∂=≈∂y [,]x x dx +沿方向作用在微小区间的外力之和为(,)[(,)](,)(,)(,)(,)x t T x t dx T x t q x t dxxx t T dx q x t dxxθθθθ∂+-+∂∂=+∂根据牛顿第二定律，弦的单元微段ds 沿y 方向的运动微分方程为：22(,)(,)(,)y x t x t Adx T dx q x t dx txθρ∂∂=+∂∂(,)(,)y x t x t xθ∂=∂代入得：2222(,)(,)(,)y x t y x t A T q x t t xρ∂∂=+∂∂22222(,)(,)1(,)y x t y x t c q x t t x Aρ∂∂=+∂∂Tc A ρ=设代入得：C 为波沿长度方向的传播速度(,)()()()sin()n y x t Y x H t Y x t ωϕ==+如无干扰力作用时，22222(,)(,)y x t y x t c t x∂∂=∂∂——称为波动方程弹性体系统作某阶主振动时，其各点也应当作同样的频率及相位运动，各点也应当同时通过静平衡位置和到达最大偏离位置，即系统具有一定的与时间无关的振型()Y x 为振型函数2222222(,)()sin()(,)()sin()nn n y x t Y x t t y x t d Y x t xdx ωωϕωϕ⎧∂=-+⎪⎪∂⎨∂⎪=+⎪∂⎩得2222()()sin()sin()n n n d Y x Y x t c t dx ωωϕωϕ-+=+()sincosnnY x A x B xc c ωω=+(,)(sin cos )sin()n nn y x t A x B x t c cωωωϕ=+⋅+2222()()0n d Y x Y x dxcω+=故,,,n A B ωϕ4个待定常数，可由弦的边界条件及振动的两个初始条件来确定。

第十二次课第四章连续体的振动

第十二次课第四章连续体的振动

第四章连续体的振动§4.2 杆的纵向振动例：有一根 x =0 端为自由、x =l 端处为固定的杆，固定端承受支撑运动 td t u g ωsin )(=d 为振动的幅值试求杆的稳态响应。

l x 0)(t u g §4.2 杆的纵向振动解： l x 0t d t u g ωsin )(=方程建立 dx u dx x u u u g ∂-∂+)(22xu Sdx ∂∂ρdx x F F ∂∂+F 微段分析应变： xu u dx u dx x u u u g g ∂-∂=-∂-∂+=)(])([ε内力： xu u ES ES F g ∂-∂==)(ε达朗贝尔原理： F dx F F u Sdx -∂+=∂)(2ρ),(t x u 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移 22)(u u ES u S g -∂=∂ρl x 0td t u g ωsin )(=令： 代入方程： 2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*g u u u +=*即： **''g Su ESu Su ρρ-=-2sin Sd tρωω=-设解为： ∑∞==1*)()(i i i t q x u φ)(x i φ为归一化的正则模态 ,...5,3,1,2cos 2)(==i x li l x i πφ代入方程，得： tSd ESq q S i i i i i ωωρφφρsin )(2,...5,3,1''=-∑∞=l x0t d t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρgu u u -=*∑∞==1*)()(i i i t q x u φ,...5,3,1,2cos 2)(==i x l i l x i πφtSd ESq q S i i i i i ωωρφφρsin )(2,...5,3,1''=-∑∞= )(x j φ用 乘上式，并沿杆长积分：⎰∑⎰⎰=-∞=lj i l j i i l j i idx t Sd dx ES q dx S q 0210''0sin )(φωωρφφφφρ 利用正交性： t d i l l q q i i i i ωωπωsin )1(2222/)1(2--=+l x 0td t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*∑∞==1*)()(i i i t q x u φ,...5,3,1,2cos 2)(==i x li l x i πφt d i l l q q i i i i ωωπωsin )1(2222/)1(2--=+ 模态稳态解： t d i l l q i i i i ωπηωωsin )1(222/)1(22--=2)/(11i i ωωη-=t lx i d i E l u i i i ωπηπωρsin 2cos )1(16,...5,3,132/)1(322*∑∞=--=l x 0td t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*2)/(11i i ωωη-=t lx i d i E l u i i i ωπηπωρsin 2cos )1(16,...5,3,132/)1(322*∑∞=--=t d l x i i E l u u u i i i gωπηπωρsin 2cos )1(161 ,...5,3,12/)1(3322*⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=∑∞=-小结1. 建立动力学方程2. 根据边界条件求解固有频率和模态3. 变量分离4. 代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程5. 物理空间初始条件转到模态空间6. 模态空间方程求解7. 返回物理空间，得解)()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=)(2t Q q q j j j j =+ω )(,x i i φω)0(),0(j j q q )(t q j )()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=物理空间问题 模态空间问题 )()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=模态叠加法§4.3圆轴的扭转振动取圆轴的轴心线作为x 轴，图示轴任一 x 截面处的转角表示为θ(x ,t ) 。

飞行器结构动力学_第1章_2014版 [兼容模式]

飞行器结构动力学_第1章_2014版 [兼容模式]

• 分析力学基础（另加） • 2DOF系统自由振动 • 动力吸振减振 • MDOF系统振动特性(阻尼/固有频率、振型） • MDOF系统响应
– 第四章：连续系统
• 杆的振动 轴的振动 • 梁的振动 薄板振动
– 第五章：结构动力学建模
• 有限元模型建立（第6章） • 结构模态分析（第7章）
第1章 概 论
第1章 概 论
现代有限元分析——结果
第1章 概 论
实验手段
地面静力实验
第1章 概 论
地面振动实验（Ground Vibration Test，GVT）
• 确保边界条件 • 激励方式
第1章 概 论
• 传感器布置 • 信号处理
F-16 GVT悬吊
第1章 概 论
风洞实验——颤振
第1章 概 论
NASA兰利
第1章 概 论
结构动力学建模（2）
• 原则 – 保持原有系统的动力学特性（或近似） – 必须和观察到的实际模型尽可能相似
• 初步设计阶段可采用一定简化，详细设计阶段 尽可能细化
• 方法 – 1.集中参数描述的离散系统 – 2.分布参数描述 – 3.两种方法的混合
• 例子： – 导弹在空中飞行；飞机在空中飞行
• 量子场理论（quantum field theory，QFT）：具有很多自由度的量子一级
的问题 第1章 概 论
背景知识（续）
牛顿
• 牛顿三定律
– 奠定了经典力学基础 • 《自然哲学的数学原理》
– 对第2、3定律给出了合理的科学和数学描述 – 阐述了动量守恒和角动量守恒原理 • 万有引力定律 – 最先给出引力的科学、准确的表达式 • 牛顿运动定律和万有引力定律 – 对经典力学进行了最完整和最准确的描述 – 适用于日常物体和天体 • 发明了微积分 – 莱布尼茨发明了现在常用的求导和积分符号
连续系统的振动

连续系统的振动


p ( x, t )
0
x x
dx
u( x, t )
杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移
l
F ES ES u x
横截面上的内力：
2u F 由达朗贝尔原理： Sdx 2 ( F dx) F p( x, t )dx x t 2u u S 2 ( ES ) p( x, t ) 代入，得： x x t
杆的纵向强迫振动方程 对于等直杆，ES 为常数
a0 E /
2 2u 1 2 u a p( x, t ) 0 2 有： t 2 S x
弹性纵波沿杆的纵向传播速度
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）弦的横向振动
弦两端固定，以张力 F 拉紧 在分布力作用下作横向振动
F
o
y
小结：
（1）杆的纵向振动
2 2u 1 2 u a p( x, t ) 0 2 2 S t x
（2）弦的横向振动 （3）轴的扭转振动
2 2 y 1 2 y a0 p( x, t ) 2 2 t x
2 2 1 2 a p ( x, t ) 0 2 2 t x I p
模态函数
i i ( x) ci sin( x), i 1,3,5,... 2l
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
例： 一均质杆，左端固 定，右端与一弹 簧连接。
k
0
x
l
推导系统的频率方程。
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
解：
边界条件：
0
k
l
x
u (l , t ) u(0, t ) 0 ku (l , t ) ES x (0) 0 k (l ) ES x l l k sin ES cos 得出： c2 0 a0 a0 a0
机械振动6连续系统的振动1弦的横向振动

机械振动6连续系统的振动1弦的横向振动


15
例6.1-1 考虑两端固定的弦，求振动的前三阶固有频率和相
应的固有振型，并作出振型图。
解：弦的固有频率：
i
i
L
T
(i 1,2,)
y(x) ,T
L
x
1
L
T，
2
2
L
T
，
3
3
L
T.
弦的固有振型：
Yi (x)
sin i
a
x
sin i
L
x
(i 1,2)
Y1 ( x)
sin
L
x ， Y2 (x)
sin
x
L L/2
2 L
2hL
i2 2
sin
i
L
x
2hx cos i i L
这就是边界条件。
（6.1 3）
y( x, t )
f (x,t) T (L,t)
x
dx
x
（6.1 3）与（6.1 4）构成了偏微分方程的边界值问题。
若弦的线密度(x) 为常数，设横向位移y(x,t)为小量，
弦的张力T可以视为常数，则方程（6.1 3）简化为：
2 y t 2
T
2 y x2
f
( x, t )
至此，除了离散系统的固有频率和固有振型是有限集， 而连续系统的固有频率和固有振型是无限集以外， 离散系统和连续系统的相似性便完备了。
21
例6.1-3 设张紧弦在初始时刻将中点拨离h (如图) ，然后
无初速地释放，求弦的自由振动。
y(x)
解：弦的初始形状就是 y(x,0):
h
O
2hx / L (0 x L / 2) y(x,0) 2h(1 x / L) (L / 2 x L)
第十三次课第四章连续体的振动

第十三次课第四章连续体的振动


§4.4 梁的弯曲振动
C1 (cos l cosh l ) C2 (sin l sinh l ) 0 C1 (cos l cosh l ) C2 (sin l sinh l ) 0
cos l cosh l C1、C2 非零解条件： sin l sinh l
(3)
分部积分 ： j dx 0 j (EIi)dx j (EIi) 0 j (EIi) 0 0 EIi dx （4） (EI )dx EI dx S dx （5） 代入（3）式，有 ： EI dx S dx 同理， (2)式两边乘 i 并沿梁长积分可得： EI l
y
0
x
解得： 当 i 0 时
2 模态函数： i ( x) cos i x cosh i x i (sin i x sinh i x), (i 1,2,)
其中： i
0l 0 对应刚体模态 当 i=1,2,3时 1l 4.730 2l 7.853 3l 10.996 1 i 3 当 时 i l (i ) , (i 3,4,)
y ( x, t ) ( x)q (t )
固定端： (0) 0
y
(0) 0
0
k1
弹性支撑端： EI (l ) k2 (l ) EI (l ) k1 (l )
k2
l
x
由固定端条件解得：C1 C3 , C2 C4 由弹性支撑固定端条件解得：

4
2
2 a0
EI a S
2 0
§4.4 梁的弯曲振动
y
(0) 0
结构动力学 连续弹性体的振动(与“坐标”有关文档共69张)

结构动力学 连续弹性体的振动(与“坐标”有关文档共69张)


aa
aa
U ' 0 0 A' A' 0
a
U ' l B' sin l 0
aa
B
'
不恒为零，所以
sin
a
l
0
第13页，共69页。
sin l 0 l n , n 0,1, 2...
a
a
n
n
l
a
代入振型函数为
Un x
Bn'
cos n
a
x
Bn'
cos
n
l
x
对应的第 n 阶主振动为
(2)固支点
固支点处转角、位移均被锁住，为零
y x,t 0
y x,t 0
x
x 0或
第23页，共69页。
（3）自由端 力与力矩均为零
M
EI
2 y x2
0
x 0,
Q
M x
EI
3 y x3
0
x 0,
（4）梁端有弹性支承
弹性梁端剪力等于弹性恢复力, 弹性恢复力与
位移正向相反，右端截面的剪力也与位移正向相反,
3 y EI x3 0
第25页，共69页。
（5）梁端有集中质量力 梁端弯矩为零
2Y ,t
EI 2x2 0 梁端剪力等于惯性力，右端剪力与惯性力均与位移
正向相反，所以二者同号
EI
3 y x3
,t
M
2 y t 2
,t
对位移或转角施加的约束 称为几何边界条件。
对剪力和弯矩施加的约束 称为力边界条件。
2 y t 2
q( x, t )
第20页，共69页。
连续系统的振动 振动力学课件

连续系统的振动 振动力学课件


(l )q(t )
C1
sin
l
a
2 q(t )
q(t) A cos(t )
q(t) A2 sin(t ) 2q(t)
2u t 2
(l)q(t)
C1 sin
l
a
2 q(t )
代入
EA u(l,t) W x g
2u(l, t 2
t
)
ku(l
,
t
)
0
2
EA cos l q t W 2 sin l q t k sin l q t 0
u(x, 0) u(x) u(x, 0) u(x) 确定
2.两端自由
特征：两自由端轴向力为零
即 FN (0,t) 0 FN (l,t) 0
EA u(0,t) 0, x
EA u(l,t) 0, x
'(0)qt 0
'(l)qt 0
' (0) 0
' (l) 0
2.两端自由
' (x)
W gkl 2
Eg
EA kl
W
lA
tan
a
l
EA
a
W 2 k
g
EA ( l)
lk a
Wa2 gkl 2
a
l
2
1
l
a
( l)2
a
1
讨论：（1）
W 0 右端只有弹簧k，
频率方程
tan l (l )
a
a
tanu u作图法得出
（2） W 0 k 0 即自由端情形
频率方程 cos l 0
2. 弹性弦横向振动
微段分析
以变形前弦的方向为 x轴，
第4章：连续体的振动

第4章：连续体的振动


因为
C1 0
( i 1, 2, ) ( i 1, 2, )
2i 1 x 模态函数 i ( x ) Ci sin 2 l
亦可令这个常数为1,有
2i 1 x i ( x ) sin l 2
( i 0,1, 2,
)
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
Dynamics of Structures
• Prof. Lanhe Wu • Shijiazhuang Tiedao Univ.
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
第四章 连续系统的振动
具有连续分布的质量和弹簧系统称作连续系统或分布 质量系统。连续系统具有无限多个自由度，其动力学 方程为偏微分方程，只对一些简单情形才能求得精确 解。对于复杂的连续系统则必须利用各种近似方法简 化为离散系统求解。
EIy Sy 0
仍采用分离变量法，令 代入动力学方程,整理得到
y( x , t ) ( x ) q(t )
EI ( x ) ( x ) q q S ( x ) ( x )
DYNAMICS OF STRUCTURES
a 因为数学模型相同，以上在各种边界条件下导出的固有 频率和模态函数也完全适用于弦的横向振动、杆的扭转 振动和梁的剪切振动。关于这类系统的受迫振动本节不 作讨论，因为与下节梁的弯曲受迫振动的分析和计算方 法基本相同
相应的模态函数为 i ( x ) sin
将边界条件代入 ( x ) C1 sin a C 2 cos a 得到 C2 0 及频率方程
l
a
x
化作
tan
l
连续体振动讲解

连续体振动讲解

Vibration of Countinuous System1. Euler —Bernoulli BeamEuler —Bernoulli 运动过程中没有考虑剪切效应的影响。

Euler —Bernoull Beam ：变形前垂直于梁中心线的截面在变形后仍保持垂直于梁的中心线。

Timoshenko Beam ：Euler —Bernoull 梁中并没有考虑梁的剪切变形，在实际工程中，会存在梁的剪切变形，变形后截面与中心线存在一个夹角，截面的转角变为y xθγ∂=-∂中性面定义：+++变形的几何关系：假设距离中性层距离为h 的层为b b -。

根据平面假设，单元体d x 变形后层面b b -为b b ''-其中，d θ为变形的角度bbo ohCC 'd θoo 'o 'b 'b 'MMRhA 'B 'A ϕBϕMC应变的表达式为()d -d d R h R hR Rθθεθ+==弯矩的表达式为2d d d AAA E EIM h A h E A h A R Rσε====⎰⎰⎰其中，I 为截面的惯性矩。

转角的表达式，A 点的转角为A ϕ，B 点的转角为B ϕA y xϕ∂=∂对于B 点，假定转角对位置坐标线性变化，有22d d AB A x xy y x x x ϕϕϕ∂=+∂∂∂=+∂∂因此，弯曲的角度d θ表示为22d d B A yx xθϕϕ∂=-=∂由于梁弯曲变形为小变形，有如下d d R x θ=得到221y R x∂=∂得到弯矩的表达式2M EI x=∂1.1 Newton 2th law Equation.yx取长度为L 的梁中的微元体研究，单元体的长度为d x 。

假定受到与位置坐标x 相关的载荷()p x 的作用，考虑到变截面梁，假定截面面积为()A x 。

梁的密度表示为位置坐标x 的函数()x ρ。

单元体受力情况如图++所示。

机械振动第4章连续系统2-1.ppt

机械振动第4章连续系统2-1.ppt


T i T
L2
(i 1, 2, )
第4章 连续系统 4.3 杆的纵向振动 振动微分方程 从连续系统直接导出
设长度为L 、两端固定的杆上受均布轴向力 f (x, t) ，杆上x处的轴向刚度与单位长度质量分 别为E A (x) 和m (x) 。
取杆的微段dx，隔离体受力分析图
根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两端 的轴向内力与轴的应变成正比
x x
x2
t2
或
T
(x)
y
(x, t)
f
(x, t)
(x)
2
y
(x, t)
x
x
t2
0 x L
0 x
第4章 连续系统 4.2 弦振动 自由振动 特征值问题
方程
T
(x)
y
(x,
t)
(x)
2y
(x,
t)
x
x
t2
0 x L
边界条件 y ( 0, t ) y ( L, t ) 0
i
(t )
w
2
i
i
(t)
0
(i 1, 2 ,)
解为 i (t) C i cos ( w i t i ) (i 1, 2 ,)
常数C i 和 i 由初始条件得到。
自由振动
第4章 连续系统 4.2 弦振动
例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的张力为 常数，求解系统的特征值问题，画出系统前 四个特征函数，并验证正交性。
连续系统与离散系统的关系
连续系统与离散系统是同一物理系统的两个数学模型。
简化、离散化
连续系统
离散系统
自由度n 趋向于无穷
连续系统与离散系统的区别

振动力学


自由振动 激励消失后系统所作的振动（现实的振动） 强迫振动 系统在外部激励作用下所做的振动 随机振动 上的汽车的振动
系统在非确定性的随机激励下所作的振动。例如行驶在公路
自激振动 例如提琴发出的乐声，切削加工的高频振动，机翼的颤振等 参数振动 激励以系统本身的参数随时间变化的形式出现的振动。例如
2006年5月4日 秋千被越荡越高。秋千受到的激励以摆长随时间变化的形式 中国力学学会学术大会‘2005’ 出现，而摆长的变化由人体的下蹲及站立造成
2006年5月4日 中国力学学会学术大会‘2005’ 13
绪论
激励
（输入）
? √ √
系统
响应 （输出） 第二个逆问题
第三类：已知系统和响应，求激励 环境预测
例如：为了避免产品在公路运输中的损坏，需要通过实地行车 记录汽车振动和产品振动，以估计运输过程能有根 据地为产品设计可靠的减震包装
2006年5月4日 中国力学学会学术大会‘2005’ 12
绪论
激励
（输入）
√ ? √
系统
响应 （输出） 第一个逆问题
第二类：已知激励和响应，求系统 系统识别，系统辨识
求系统，主要是指获得对于系统的物理参数（如质量、刚度和 阻尼系数等）和系统关于振动的构有特性（如固有频率、主振 型等）的认识 以估计物理参数为任务的叫做物理参数辨识，以估计系统振动 固有特性为任务的叫做模态参数辨识或试验模态分析
中国力学学会学术大会‘2005’
绪论
各个不同领域中的现象虽然各具特色，但往往有着相似的数学 力学描述。正是在这个共性基础上，有可能建立某种统一的理 论来处理各种振动问题
振动力学
借助数学、物理、实验和计算技术，探讨各种振动现象，阐明 振动的基本规律，以便克服振动的消极因素，利用其积极因素 ，位合理解决各种振动问题提供理论依据

连续系统振动-杆的纵向振动PPT课件

x
达朗贝尔原理：
2019年10月15日
Sdx
2u t 2
(F

F x
dx) F

p(x,t)dx
7
p( x, t )
0 x dx l
连续系统的振动 / 一维波动方程
x
u(x,t)
杆上距原点 x 处截面
在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： F ES ES u
x
达朗贝尔原理：
a02
2u x 2

1
S
p(x,t)
（2）弦的横向振动 （3）轴的扭转振动
2y t 2

a02
2y x 2

1

p(x,t)
2
t 2
a02
2
x2

1
Ip
p( x, t )
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程
2019年10月15日 12
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
• 固有频率和模态函数
p( x, t ) x
0
以等直杆的纵向振动为对象
l
2u t 2
a02
2u x 2

1
S
p(x,t)
a0 E /
2u t 2

a02
2u x 2
自由振动
假设杆的各点作同步运动： u(x,t) (x)q(t)
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程 等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
I
p
dx
2
t 2
2019年2t210月 1a5日02
2
x2

声学与振动工程作业指导书

声学与振动工程作业指导书第1章声学基础理论 (4)1.1 声波传播原理 (4)1.1.1 声波的产生 (4)1.1.2 声波的传播速度 (4)1.1.3 声波的传播方程 (4)1.2 声场方程与声能量 (4)1.2.1 声场方程 (4)1.2.2 声能量 (5)1.3 声波在介质中的传播特性 (5)1.3.1 吸声 (5)1.3.2 反射 (5)1.3.3 折射 (5)1.3.4 散射 (5)1.3.5 衰减 (5)第2章振动理论基础 (5)2.1 单自由度系统振动 (5)2.1.1 自由度与简谐振动 (5)2.1.2 振动方程与固有频率 (6)2.1.3 强迫振动与共振 (6)2.1.4 阻尼对振动的影响 (6)2.2 多自由度系统振动 (6)2.2.1 多自由度系统的一般描述 (6)2.2.2 固有振型与固有频率 (6)2.2.3 振动响应的叠加原理 (6)2.2.4 耦合振动与解耦 (6)2.3 连续体振动 (6)2.3.1 弦振动 (6)2.3.2 梁振动 (6)2.3.3 板振动 (7)2.3.4 波传播与反射 (7)第3章声学测量技术 (7)3.1 声级测量 (7)3.1.1 测量原理 (7)3.1.2 测量方法 (7)3.1.3 测量仪器及注意事项 (7)3.2 声压级测量 (7)3.2.1 测量原理 (7)3.2.2 测量方法 (7)3.2.3 测量仪器及注意事项 (8)3.3 声学参数测量 (8)3.3.1 声学参数定义 (8)3.3.3 测量仪器及注意事项 (8)第4章振动测量与分析 (8)4.1 振动传感器与测量 (8)4.1.1 振动传感器概述 (8)4.1.2 振动传感器的选择与安装 (8)4.1.3 振动测量方法 (9)4.2 振动信号处理与分析 (9)4.2.1 振动信号的预处理 (9)4.2.2 振动信号的时域分析 (9)4.2.3 振动信号的频域分析 (9)4.3 振动模态分析 (9)4.3.1 振动模态分析概述 (9)4.3.2 振动模态参数识别 (9)4.3.3 振动模态分析的应用 (9)4.3.4 振动模态测试与验证 (9)第5章声学材料与结构 (9)5.1 声学吸声材料 (9)5.1.1 概述 (9)5.1.2 吸声机理 (10)5.1.3 功能评价 (10)5.1.4 常见声学吸声材料 (10)5.1.5 应用实例 (10)5.2 声学隔声材料 (10)5.2.1 概述 (10)5.2.2 隔声机理 (10)5.2.3 功能评价 (10)5.2.4 常见声学隔声材料 (11)5.2.5 应用实例 (11)5.3 声学透声材料 (11)5.3.1 概述 (11)5.3.2 透声机理 (11)5.3.3 功能评价 (11)5.3.4 常见声学透声材料 (11)5.3.5 应用实例 (11)第6章振动控制技术 (12)6.1 阻尼减振技术 (12)6.1.1 阻尼材料 (12)6.1.2 阻尼结构 (12)6.1.3 阻尼减振技术的应用 (12)6.2 主动振动控制 (12)6.2.1 主动振动控制原理 (12)6.2.2 控制算法 (12)6.2.3 主动振动控制的应用 (12)6.3.1 振动隔离元件 (13)6.3.2 振动隔离设计原则 (13)6.3.3 振动隔离技术的应用 (13)第7章声学信号处理 (13)7.1 声信号时域分析 (13)7.1.1 信号采集与预处理 (13)7.1.2 时域特征参数 (13)7.1.3 时域分析实例 (13)7.2 声信号频域分析 (13)7.2.1 傅里叶变换 (13)7.2.2 频谱分析 (13)7.2.3 短时傅里叶变换 (14)7.3 声信号处理算法 (14)7.3.1 滤波器设计 (14)7.3.2 声信号增强 (14)7.3.3 声学事件检测与分类 (14)第8章声学模拟与仿真 (14)8.1 边界元法 (14)8.1.1 基本原理 (14)8.1.2 离散化方法 (14)8.1.3 边界元法的应用 (14)8.2 有限元法 (15)8.2.1 基本原理 (15)8.2.2 有限元离散化 (15)8.2.3 有限元法的应用 (15)8.3 波动方程法 (15)8.3.1 基本原理 (15)8.3.2 离散化方法 (15)8.3.3 波动方程法的应用 (15)第9章声学环境评估与控制 (16)9.1 噪声评价量 (16)9.1.1 基本噪声评价量 (16)9.1.2 复合噪声评价量 (16)9.1.3 噪声评价指标 (16)9.2 声环境预测与模拟 (16)9.2.1 声环境预测方法 (16)9.2.2 声环境模拟技术 (16)9.2.3 声环境预测与模拟软件 (16)9.3 噪声控制策略 (17)9.3.1 噪声源控制 (17)9.3.2 传播途径控制 (17)9.3.3 接收端控制 (17)9.3.4 综合噪声控制策略 (17)第10章声学与振动工程应用案例 (17)10.1 建筑声学设计 (17)10.2 交通噪声治理 (17)10.3 工业振动控制与噪声降低 (18)10.4 声学检测与监测技术在实际工程中的应用 (18)第1章声学基础理论1.1 声波传播原理声波是一种机械波，它通过介质（如空气、液体和固体）的振动传播。

第12讲 连续体的振动

细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动
p(x,t)
0
x dx
x
杆参数：截面的极惯性矩 Ip 材料密度 切变模量 G
p(x,t) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
微段 dx 受力
pdx
T
T T dx x
(x,t) 为杆上距离原点 x 处的截面在时 刻 t 的角位移
由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此连续体是具有无限多自由度的系统。
简单连续体振动有弦的横向振动、圆轴的扭转振动、等直 杆的纵向振动、梁的弯曲振动，其中前面三种都属于一维 波动方程的范畴。
1
主要内容
• 一维波动方程 弦的横向振动
• 有限元法
杆的纵向振动
理想假说
1.本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹 性范围内服从虎克定律。
弹性体自由振动和受迫振动
自由振动 弹性体受到初干扰就作自由振动。在实际结 构中，自由振动会因阻尼作用而逐渐衰减。若弹性体的初 位移和初速度和某一固有振型成正比，则自由振动就是相 应的固有振动。
受迫振动 由随时间变化的外力或给定的某些部分的随 时间变化的位移引起的振动为受迫振动。若外力随时间作 简谐变化，而且变化频率和弹性体的某一固有频率接近， 则在一般情况下,振幅会急剧增大,这种现象称为共振。此 时弹性体振动的形状近似于相应的振型。共振频率有无穷 多个，但由于阻尼的存在，实际上只有在外力的频率和比 较低阶的固有频率接近时才可能产生共振。
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）弦的横向振动
弦两端固定，以张力 F 拉紧 在分布力作用下作横向振动
单位长度弦的质量 p(x,t) 单位长度弦上分布的作用力

【干货】基于ANSYS的悬臂梁模态分析

【干货】基于ANSYS的悬臂梁模态分析1、连续系统的振动实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。

由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统。

连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程。

在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。

2、说明(1) 本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律。

(2) 材料均匀连续；各向同性。

(3) 振动满足微振动的前提。

3、梁的弯曲振动动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动梁参数：ρ单位体积梁的质量E弹性模量I截面对中性轴的惯性距S 梁横截面积外部力：m(x,t): 单位长度梁上分布的外力矩f(x,t): 单位长度梁上分布的外力假设：(1) 梁各截面的中心惯性轴在同一平面xoy内(2) 外载荷作用在该平面内(3) 梁在该平面作横向振动（微振）(4) 这时梁的主要变形是弯曲变形(5) 在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响伯努利－欧拉梁（Bernoulli-Euler Beam）令：y(x,t):距原点x处的截面在t时刻的横向位移微段受力分析力平衡方程：4、悬臂梁的固有频率和模态函数5、两端固定杆的纵向模态分析问题描述：一悬臂梁截面为矩形，如图1所示，几何尺寸及材料特性如下，分析其前三阶固有频率及振型。

GUI操作如下：一、菜单建模分析过程第一步，清除内存准备分析1) 清除内存：选择菜单Utility Menu>File>Clear& Start New，单击OK按钮。

2) 更换工作文件名：选择菜单Utility Menu>File>ChangeJobname，输入vibration of cantilever，单击OK按钮。

第十一次课第四章连续体的振动


2
m x ) 并从 0到l对x进行积分， 将上式两边同乘以 sin( l l 得： l j m ( j m)
sin(
0
l
x) sin(
整理后得到：
x)dx 2 l 0( j m)
d 2 H m (t ) 2 m H m (t ) Qm (t ) 2 dt
'' (t ) q ( x) 2 a0 q(t ) ( x)
记：
2
q (t ) 2 q (t ) 0 2 ( x ) ( ) ( x) 0 a0
通解：
q(t ) a sin(t )
( x) c1 sin
得 得
B0
A sin
n
l 0 A0 则 c
sin
n
c
l 0
n
c
l j
( j 1, 2
j
cj j ) j l l
T A
j y( x, t ) Aj sin x sin( j t j ) l j 1

j y j ( x, t ) Aj sin x sin( j j ) l
u( x, t ) ( x)q(t )
( x) c1 sin
一一对应
q(t ) a sin(t )
x
a0
c2 cos
x
a0
i
第 i 阶主振动：
i ( x)
u (i ) ( x, t ) aφ it i ), i i ( x) sin(
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
§4.2 杆的纵向振动
p( x, t )
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2 I P dx 2 GI P 2 dx pdx t x 2 2 自由振动时 I P dx t 2 GI P x 2 dx
化为一维波动方程
a 2
a G/
一维波动方程 波速
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
u(l , t ) (l )q(t ) 0
i 1

(0) 0
(l ) 0
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
将 (0) 0 (l ) 0 代入
可得 因为
C2 0 C1 0
( x ) C1 sin
C1 sin
x
a
和
l
a
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
考虑微段的平衡
F Sdxu ( F dx ) F x u F ES ES 而 x
将上式代入动力平衡方程整理得
u a u 一维波动方程
2
a E/
波速
2.弦的横向振动
讨论两端固定，以张力F 拉紧的细弦的横向振动
EIy Sy 0
仍采用分离变量法，令 代入动力学方程,整理得到
y( x , t ) ( x ) q(t )
EI ( x ) ( x ) q q S ( x ) ( x )
DYNAMICS OF STRUCTURES
由频率方程确定的固有频率有无穷多个 i (i 1, 2, ) 一一对应
i
i ( x )
第i阶主振动 u ( x, t ) aii ( x)sin(i t i ) (i 1, 2, ) 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加
(i )
DYNAMICS OF STRUCTURES
a 因为数学模型相同，以上在各种边界条件下导出的固有 频率和模态函数也完全适用于弦的横向振动、杆的扭转 振动和梁的剪切振动。关于这类系统的受迫振动本节不 作讨论，因为与下节梁的弯曲受迫振动的分析和计算方 法基本相同
相应的模态函数为 i ( x ) sin
C1 0 C2 0
( x ) C1 sin
C 2 sin
x
a
和
l
a
C 2 cos
x
a
0 sin
故须有 i a 无穷多个固有频率 i l i x 模态函数 i ( x ) C i cos l 亦可令这个常数为1,有 i x i ( x ) cos l 3.一端固定另一端自由 因 边界条件为
C 2 cos
x
a
0 sin
0 频率方程 故须有 a i a ( i 0,1, 2, ) 无穷多个固有频率 i l i x ( i 0,1, 2, ) 模态函数 i ( x ) C i sin l 由于模态表示的是各振幅比值,故可令这个常数等于1 i x i ( x ) sin ( i 0,1, 2, ) l 2.两端自由 因 ESq(t ) 0 边界条件为
2 y a y p / l 将 y / x 代入整理得
自由振动时 p 0
上式化为
y a 2 y
a F / l
一维波动方程
波速
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
3.轴的扭转振动 设截面的二次极矩为 I P 材料的密度为 剪切模量 G 建立图示的坐标系 ( x , t ) 扭转角 该截面处的扭矩为 T GI P ( / x) 对右图示的微元体，列出
2 u a u 现来求解一维波动方程 利用分离变量法，令 u( x , t ) ( x ) q( t )
这个假设的实质是:假设杆上各点作同步运动
( x ) 杆上距原点x处的截面纵向振动的振幅
q(t ) 各截面振动随时间的变化规律 q(t ) 2 ( x ) a 代入波动方程得 q( t ) ( x)
f ( x, t ) m( x, t )
密度为
弹性模量为 E
截面二次矩 I ( x )
单位长度梁上的横向外力 单位长度梁上的外力矩
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
取一微段,其受力图如右图 利用达朗伯原理列出微元体沿 y 方向的动力学平衡方程
FS 2 y Sdx 2 FS ( FS dx ) f ( x, t )dx t x FS 2 y f ( x, t ) S 2 即 x t
u(0, t ) (0)q(t ) 0
ESu(l , t ) ES (l )q(t ) 0
l
a
0 频率方程
( i 0,1, 2, ( i 0,1, 2, ( i 0,1, 2,
ESq(t ) 0
) ) )
(0) 0
( l ) 0
STDU
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
设弦单位长度的质量为 l p( x , t ) 单位长度弦上横向 的干扰力 以变形前弦的方向为 x 轴 设横向挠度 y( x , t ) l ydx 振动过程中弦的张力不变 2 y 对图示微元体，列出 l dx t 2 F x dx pdx
因为
C1 0
( i 1, 2, ) ( i 1, 2, )
2i 1 x 模态函数 i ( x ) Ci sin 2 l
亦可令这个常数为1,有
2i 1 x i ( x ) sin l 2
( i 0,1, 2,
)
等式两边是互相无关的函数，因些只能等于常数
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
q(t ) 2 ( x ) a 2 思考:为什么这个常数为非正数? 记 q( t ) ( x)
上式可化为如下两个常微分方程 q(t ) 2q(t ) 0 2 ( x ) ( x ) 0 通解: 常数 C1 C2
再列出微元体力矩方向的平衡方程
M dx 2 y dx (M dx ) M FS dx f ( x , t )dx Sdx 2 m( x , t )dx 0 x 2 t 2 M 略去高阶微量得到 FS x m( x , t )
将该式代入前面的式子得到 M m f ( x, t ) Sy
i x
( i 1, 2, )
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
§ 4.2 Euler-Bernoulli梁的弯曲自由振动 一.动力学方程
考虑细直梁的弯曲振动
忽略梁的剪切变形和 截面绕中性轴转动对 弯曲的影响 Euler-Bernoulli梁 设梁的长度为 l 截面积为 S ( x )
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
例:
设杆的一端固定，另一端自由且有附加质量 m0
如图所示,试求杆纵向振 动的固有频率和模态 解: 边界条件写作 u(0, t ) 0
O
ES l
(0) 0 ES (l ) m0 2 (l )
x
m0
x
ESu xl m0u xl
§ 4.1 一维波动方程
基本假设: 1.所有连续体均为线性弹性体 2.材料均匀连续且各向同性 3.体系的振动变形都是微小变形 一.动力学方程 1.杆的纵向振动
考虑图示均质直杆 设 弹性模量为 E 横截面积为 S 材料密度为 杆件长度为 l 假定振动过程中各截面保持平面，并忽略因纵向振 动引起的横向变形
本章先讨论以杆的纵向振动为代表的一类振动以及 梁的横向振动，以掌握连续系统振动的一般规律， 然后介绍工程中常用的几种近似方法，包括集中质 量法、假设模态法、模态综合法和有限元法。本章 材料均为理想线弹性体，即材料为均匀的和各向同 性的，且在弹性范围内服从胡克定律
STDU
DYNAMICS OFSdx 2 dx 2 t x
整理得
截面形状系数 材料的密度为
y a 2 y
一维波动方程
a G /( ) 波速
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
二.固有频率和模态函数
以上四种物理背景不同的振动都归结为同一数学模型， 即一维波动方程。以杆的纵向振动为代表，讨论此数学 模型，所得结果也完全适用于其它振动问题。
q(t ) a sin( t ) x x ( x ) C1 sin C 2 cos
a
a

a
振动形态(模态)
由杆的边界条件确定
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连 续函数，即模态函数。由于是表示各坐标振幅的相对 比值，模态函数内可以包含一个任意常数
STDU
u( x, t ) aii ( x )sin(i t i )
其中积分常数 a i 和 i (i 1, 2, ) 由系统的初始条件确定 以下讨论几种常见边界条件下的固有频率和模态函数 1.两端固定 因 q(t ) 0 边界条件为
u(0, t ) (0)q(t ) 0
l
ESu(0, t ) ES (0)q(t ) 0 ESu(l , t ) ES (l )q(t ) 0
(0) 0 ( l ) 0
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
将 (0) 0 ( l ) 0 代入
可得 因为
将边界条件代入 ( x ) C1 sin a C 2 cos a 得到 C2 0 及频率方程
l
a
x
化作
tan
l
a

1
利用数值方法或作图法可解出此方程，得到频率 i