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连续系统

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第2章连续系统的时域分析

第2章连续系统的时域分析

信号与线性系统 令 t 0 ，可得
2.2 LTI连续系统的响应
1 uC (0 ) uC (0 ) C


0
0
iC ( )d 0
如果 iC ( t ) 为有限值，则

此时
0 0
iC ( )d 0
uC (0 ) uC (0 )
如果 iC ( t ) ( t ) ，则
y( t ) 2e
2 t
e
3 t
2 cos( t

4
),
t 0
瞬态响应
2-13
稳态响应
信号与线性系统
二、初始条件的确定
(1) t = 0＋与t = 0－的概念
认为换路在 t=0时刻进行
x(0 ) x(0 )
x(t)
0－ 0＋
：换路前一瞬间 ：换路后一瞬间
x(0 ) x(0 )
2-18
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
(3)初始条件的确定
这里我们介绍用冲激函数匹配法来确定 0 状态的
值，它的基本原理根据 t 0 时刻微分方程左右两端
的 ( t ) 及其各阶导数应该平衡相等。
2-19
信号与线性系统
2.2 LTI连续系统的响应
例2-2：如果描述系统的微分方程为 y ( t ) 3 y ( t ) 3 ( t ) ，给 定 0 状态起始值为 y(0 ) ，确定它 0 的状态 y(0 ) 。
2-4
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
信号与线性系统 (1)齐次解是齐次微分方程
2.2 LTI连续系统的响应 的解。
y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0

连续系统的系统函数

连续系统的系统函数

连续系统的系统函数二、系统函数与时域响应由§5.4和§6.4可知，系统自由（固有）响应的函数（或序列）形式由()0=⋅A 的根确定，亦即由()⋅H 的极点确定，而冲激响应或单位序列响应的函数形式也由()⋅H 的极点确定。

下面讨论()⋅H 极点的位置与其所对应的响应（自由响应、冲激响应、单位序列响应等）的函数（序列）形式。

1. 连续系统连续系统的系统函数()s H 的极点，按其在s 平面上的位置可分为：左半开平面（不含虚轴的左半平面）、虚轴和有半开平面三类。

在左半开平面的极点有负实极点和共轭复极点（其实部为负）。

若系统函数有负实单极点()0>-=ααp ，则()s A 有因子()α+s ，其所对应的响应（自由响应、冲激响应等）函数为()t Ae t εα-；如有一对共轭复极点βαj p ±-=2,1，则()s A 中有因子()[]22βα++s ，其所对应的响应函数为()()t t Aetεθβα+-cos ，式中A 、θ为常数，响应均按指数衰减，当∞→t 时趋近于零。

它们的波形见图8.5-1。

如()s H 在左半开面有r 重极点，则()s A 中有因子()rs α+或()[]rs 22βα++，它们所对应的响应函数分别为()t et A tj j εα-或()()()1,,2,1,0cos -=+-r j t t et A tjj εθβα，式中j A 、jθ为常数。

用罗必塔法则不难证明，当∞→t 时，它们均趋于零。

()s H 在虚轴上的单极点0=p 或βj p ±=2,1，相应于()s A 的因子为s 或22β+s ，它们所对应的响应函数分别为()t A ε或()()t t A εθβ+cos ，其幅度不随时间变化（见图8.5-1）。

()s H 在虚轴上的r 重极点，相应于()s A 的因子为rs或()rs 22β+，其所对应的响应函数分别为()t t A j j ε或()()t t t A j j j εθβ+cos ，它们都随t 的增长而增大。

连续系统与离散系统的概念

连续系统与离散系统的概念

连续系统与离散系统的概念连续系统和离散系统是系统控制理论中两种基本的模型类型。

连续系统是指系统的输入和输出信号是连续变化的，并且系统的状态可以在任意时间点进行测量和控制。

而离散系统则是指系统的输入和输出信号是离散的，即只在离散的时刻进行测量和控制，而在两个离散时刻之间的信号变化是未知的。

首先，我们来详细介绍连续系统。

连续系统可以用微分方程来描述，通常采用微分方程的求解方法来求得系统的时域响应。

连续系统可以是线性的，也可以是非线性的。

线性连续系统的特点是具有叠加性质，即输入的线性组合对应于输出的线性组合。

而非线性连续系统则是具有非线性性质，输入的线性组合对应于输出的非线性组合。

连续系统的状态可以通过求解微分方程来得到，并且可以通过选择系统的控制输入来实现对系统状态的调节。

在连续系统中，我们可以利用传递函数来描述系统的频域特性，传递函数是输入和输出的拉普拉斯变换的比值。

传递函数可以用来分析系统的稳定性、频率响应、阻尼特性等。

接下来，我们来介绍离散系统。

离散系统可以用差分方程来描述，通过求解差分方程可以得到系统的时域响应。

离散系统也可以是线性的或非线性的，线性离散系统满足叠加性质，非线性离散系统则不满足叠加性质。

离散系统的状态可以通过迭代差分方程来得到，并且可以通过选择系统的控制输入来实现对系统状态的调节。

离散系统的频域特性可以用离散时间傅里叶变换（DTFT）或离散傅里叶变换（DFT）来描述，这些变换可以将系统的输入和输出信号从时域转换到频域。

离散系统的稳定性、频率响应等也可以通过这些变换来进行分析。

在实际应用中，连续系统和离散系统都有各自的优缺点。

连续系统具有高精度和高灵敏度的特点，适用于需要高精度控制和测量的应用，如机器人控制、飞行器导航等。

而离散系统则具有较低的复杂度和较好的实时性，适合于计算机控制、数字信号处理等应用。

此外，由于实际系统中往往存在传感器采样和控制执行的离散性，所以很多情况下需要将连续系统进行离散化，从而使用离散系统进行建模和控制。

连续系统模型

连续系统模型

举例：具有质量弹簧阻尼器的机械位移系统


（1）确定输入、输出量为F 、y （2）根据力学、运动学原理列微分方程
ma F Fs F f d2y a 2 dt Fs ky dy F f f dt

（3）消去中间变量，可得微分方程
d2y dy m 2 f ky F dt dt
ai (i 0,1, , n 1), b j ( j 0,1, , m)为微分方程的常系数。 其中： 对应的初始条件为：
( y (t0 ) y0 , y(t0 ) y0 , , y ( n ) (t0 ) y0n ) ( u (t0 ) u0 , u (t0 ) u0 , , u ( m ) (t0 ) u0m )
则得到 s nY ( s ) an 1s n 1Y ( s ) a1sY ( s ) a0Y ( s )
bm s U ( s ) bm 1s U ( s ) b1sU ( s ) b0U ( s )
m
m 1
（3.1）
式（3.1）中，Y(s)=L[y(t)]，U(s)=L[u(t)]，故系 统的传递函数G(s)为
X (t ) AX (t ) Bu(t ) y (t ) CX (t ) Du (t )


状态方程
输出方程
（4.1）
（4.2）
Biblioteka 状态空间表达式的两种标准型

X AX Bu y CX


X AX Bu y CX
Laplace变量s可视为微分算子，1/s视为积分算子。
对方程（2.1）两边取Laplace变换，并假设y(t)和u(t)及各阶 导数的初值均为零，即

连续系统

连续系统
（4.3.9）式的解的形式是：
2
(4.3.9)
( y ) C1 sin t C2 cos y a a
(4.3.10)
其中， C1 与 C2 是待定系数，它们由轴的边界条件决定。常见的扭转振动时轴的边界条件 为： 自由端：
y 0 时，GJ (0, t ) GJ (0)T (t ) 0 ，即 (0) 0 y l 时，GJ (l , t ) GJ (l )T (t ) 0 ， 即 (l ) 0
3
但是在工程中有实际意义的，只有有限个低阶频率。
X i ( x) Ai sin
前三阶主振型如图 4.2-3(a)所示。
(2i 1) x 2l
(i 1, 2,3,)
(1) (2) (3)
f (1) f (2) f (3)
(a)
图 4.2-3
(b)
如果 k ，该边界相当于固定边界，频率方程为
(4.3.8)
关于（4.3.6）式，只有某些典型的轴，如 I ( y ) / GJ ( y ) 可按某种函数形式表达时，才可 假定 1/ a I ( y ) / GJ ( y ) ， 则 （4.3.6） 能找到精确解答。 对于均匀轴，I ( y ) 与 GJ ( y ) 是常数，
2
式可改写成：
( y ) ( y ) 0 a
( y, t ) ( y, t ) I ( y )
（4.3.2）
( y, t ) 代表扭转角加速度。 其中， I ( y ) 代表单位长度的梁对扭转轴的转动惯量；
将（4.3.2）式代入（4.3. 1b ）式中，并引用扭角与力矩 M 的关系式，得到扭转自由振 动的微分方程：
2 [GJ ( y ) ] I ( y ) 2 0 y y t

连续系统幅频特性

连续系统幅频特性

实验项目三：连续系统的幅频特性一、 实验项目名称：连续系统的幅频特性测量二、实验目的与任务：目的：使学生对系统的频率特性有深入了解。

任务：记录不同频率正弦波通过低通、带通滤波器的响应波形，测量其幅度，拟合出频率响应的幅度特性；分析两个滤波器的截止频率。

三、实验原理：正弦波信号)cos()(0t A t x ω=输入连续LTI 系统，输出)(t y 仍为正弦波信号。

图3.3-1信号输入连续LTI 系统 图3.3-1中，)(cos()()(000ωωωj H t j H A t y ∠+=)通过测量输入)(t x 、输出)(t y 的正弦波信号幅度，计算输入、输出的正弦波信号幅度比值，可以得到系统的幅频特性在0ω处的测量值)(0ωj H 。

改变0ω可以测出不同频率处的系统幅频特性。

四、实验内容打开PC 机端软件SSP.EXE ，在下拉菜单“实验选择”中选择“实验三”；使用串口电缆连接计算机串口和实验箱串口，打开实验箱电源。

实验内容（一）、低通滤波器的幅频特性测量 实验步骤：1、信号选择：按实验箱键盘“3”选择“正弦波”，再按“＋”或“－”依次选择表3.1中一个频率。

2、连接接口区的“输入信号1”和“输出信号”，如图3.3-2所示。

点击SSP 软件界面上的按钮，观察输入正弦波。

将正弦波频率值和幅度(x )(t y值(Vpp/2, Vpp为峰-峰值)记录于表3.3-1。

图3.3-2观察输入正弦波的连线示意图3、按图3.3-3的模块连线示意图连接各模块。

图3.3-3 实验三实验内容（一）模块连线示意图4、点击SSP软件界面上的按钮，观察输入正弦波通过连续系统的响应波形；适当调整X、Y轴的分辨率可得到如图3.3-4所示的实验结果。

将输出正弦波的幅度值(Vpp/2, Vpp为峰-峰值)记录于表3.3-1。

5、重复步骤1~4，依次改变正弦波的频率，记录输入正弦波的幅度值和响应波形的幅度值于表3.3-1。

测量表3.3-1实验内容（二）、带通滤波器的幅频特性实验步骤：重复实验内容（一）的实验步骤1~5。

离散连续详解

matlab/simulink/simpowersystem中连续vs离散!1.连续系统vs离散系统连续系统是指系统状态的改变在时间上是连续的，从数学建模的角度来看，可以分为连续时间模型、离散时间模型、混合时间模型。

其实在simpowersystem 的库中基本所有模型都属于连续系统，因为其对应的物理世界一般是电机、电源、电力电子器件等等。

离散系统是指系统状态的改变只发生在某些时间点上，而且往往是随机的，比如说某一路口一天的人流量，对离散模型的计算机仿真没有实际意义，只有统计学上的意义，所以在simpowersystem中是没有模型属于离散系统的。

但是在选取模型，以及仿真算法的选择时，常常提到的discrete model、discrete solver、discrete simulate type等等中的离散到底是指什么呢？其实它是指时间上的离散，也就是指离散时间模型。

下文中提到的连续就是指时间上的连续，连续模型就是指连续时间模型。

离散就是指时间上的离散，离散模型就是指离散时间模型，而在物理世界中他们都同属于连续系统。

为什么要将一个连续模型离散化呢？主要是是从系统的数学模型来考虑的，前者是用微分方程来建模的，而后者是用差分方程来建模的，并且差分方程更适合计算机计算，并且前者的仿真算法（simulationsolver）用的是数值积分的方法，而后者则是采用差分方程的状态更新离散算法。

在simpowersystem库中，对某些物理器件，既给出的它的连续模型，也给出了它的离散模型，例如：离散模型一个很重要的参数就是采样时间sampletime，如何从数学建模的角度将一个连续模型离散化，后面会有介绍。

在simpowersystem中常用powergui这个工具来将系统中的连续模型离散以便采用discrete算法便于计算机计算。

2.连续模型的数学建模vs离散模型的数学建模Note：这里的连续和离散都是指时间上的连续和离散，无关乎现实世界的连续系统和离散系统。

5.5连续系统的串联校正

(2)选中[实验课题一连续系统串联校正一滞后校正]菜单项，鼠标点击将弹出参数设置窗口。系统加入阶跃信号。参数设置完成后鼠标点击确认，测量系统阶跃响应，并记录超调量σ%和调节时间ts。
(3)开关K接通，重复（2）的步骤，将两次所测的波形进行比较。
4.串联滞后校正系统实验步骤
（1）连接被测量典型环节的模拟电路（图5.5.6串联滞后校正电路），电路的输入R（S）接A／D、D／A卡的D/A1输出，电路的输出C(S)接A／D、D／A卡的A/D1输入。检查无误后接通电源。
(2)选中[实验课题一连续系统串联校正一超前滞后校正]菜单项，鼠标点击将弹出参数设置窗口。系统加入阶跃信号。参数设置完成后鼠标点击确认，测量系统阶跃响应，并记录超调量σ%和调节时间ts。
(3)开关K接通，重复（2）的步骤，将两次所测的波形进行比较。
5.5.5仿真实验
1.Multisim仿真实验
（1）在Multisim仿真平台上建立如图5.5.8（a）所示串联超前校正电路。图5.5.8(b)测出的是校正前的超调量σ%和调节时间ts。图5.5.8(c)测出的是校正后的超调量σ%和调节时间ts。
图中 的传递函数是：
校正前
校正后
3.串联超前－滞后校正
串联超前－滞后校正模拟电路如图5.5.6所示，串联超前－滞后校正模拟电路框图如图5.5.7所示。图中开关K1和K2同时断开对应未校正情况，同时接通为对应串联超前－滞后校正。观测校正前后系统的阶跃响应。
图5.5.6串联超前－滞后校正模拟电路
图5.5.7串联超前－滞后校正模拟电路结构框图
（1）串联超前校正
串联超前校正系统矫正前系统结构框图如图5.5.11(a)所示，矫正后系统结构框图如图5.5.11(b)所示。
(a)超前校正前系统结构框图

连续系统的典型例子

连续系统的典型例子
首先这个问题的本质在于连续与一致连续两个概念的区别，要说实际遇到的“印象深刻”的例子，并没有…不过还是举个例子吧，不然不切题。

一致连续的概念是为了使连续函数极限扩展到区间端点所引入的。

大家都知道，“闭区间上的”连续函数区间端点处单侧极限存在。

可开区间呢？也就是区间端点是个空心圆的…
例子(两条都是向右下趋向于0的曲线)：
y=e^(-x) 在区间(0,1) y=1/x 在区间(0,1)
在左侧端点x=0 处，后者极限不断趋向于无穷大，而前者极限则被y=e^0=1 这个空心点“拴住”。

我们说前者在(0,1)是一致连续的，后者不是【或者在(0,1]，(0,+∞)，结论一样,于是无论对闭区间还是开区间上的连续函数，我们需要一个共同的“检验方法”：
连续函数在该区间满足怎样的条件，则其极限能扩展到该区间的端点？
要求这一检验方法对无论闭区间还是开区间还是半开半闭区间都适用——这个检验方法就是“一致连续性”，满足一致连续性，就知道可以扩展了。

为了理解一致连续的定义，首先要知道“一致”的概念是指什么。

如果是对于个体而言，就不存在“一致不一致”的问题了，要讨论“一致”必须有一个“集体”。

比如“全班同学着装必须一致”、“全体员工必须一致出席”之类的这种说法…所以首先要搞明白这个“一致”所指的“集体”是什么…毕竟同样在数分里我们还学过另外一个概念叫“一致收敛”，而且还分“函数项级数的一致收敛”和“函数列的一致收敛”，搞清楚各个“一致”指的是什么无疑是重要的(这俩不做讨论)…
另外，“一致”还暗含了一个意思，叫“和XX无关”。

比如“全体员工必须一致出席”，指的可以是“与员工的高矮胖瘦无关”。

连续系统状态方程的求解

x ' 2 0 x 1 3 2
y 2 x1 4 x2
2.此系统为并联摸拟系统 2 4 2s 2 H ( s) 2 s 2 s 3 s 5s 6
x1 y [2,4] x2
y' '5 y'6 y 2(u'u)
T 1 1 1
其中（A jk )是以余因子A jk 为元素的矩阵 ， jk ) ( Akj )是它的转置矩阵。 (A
T
2.状态过渡矩阵
令F ( s) 0, 则X ( s) ( s) X (0) z.i.r : x(t ) (t ) x(0) 1 adj( sI A) 1 (t ) L { }, (t ) L [ ( s)] sI A At x(t ) (t ) x(0), (t ) e
1
第i个输出Ri (s)中第j个输入的响应 H ij (s) 其它输入 0 第j个输入E j (s)
3.例(p369,12-18)
解:设回路电流 i (t ) i1 (t ) A 3 i1,i2如图所示:并 1 设元件A两端的 ) 电压为状态变量 (t，电容两端的电压为
2
R1
1 1 2 ' (t ) 1 (t ) 3 (t )(由2， 3，得出） R2 R2 d i1 (t ) i 2 (t ) c 3 (t )(带入1得出） dt d d i1 (t ) c 3 (t ) 2 (t ) dt dt R12 ' (t ) R1C13 ' (t ) 3 (t ) e(t )...4
X (s) [ X (0) BF(s)] (S ) x(t ) L [ (s)]X (0) L [ (s) BF(s)] z.s.r z.i.r
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l
可知：
Ai
1 2 l i x g ( x) sin dx i l 0 l
Bi
2 l i x f ( x) sin dx l 0 l
例 4.2-1 长为 l 的等截面直杆，如图 4.2-2 所示。左端固定，而右端通过刚度为 k 的弹簧固 定，试求系统的轴向振动固有特性。
l u k x
其中考虑轴的扭转刚度可能沿其轴线变化。 此方程也可用分离变量法来求解。为此，设
（4.3.3）
( y, t ) ( y )T (t )
将它代入（4.3.3）式，得到：
（4.3.4）
( y ) 2T GJ T ( t ) I ( y ) ( y ) 0 y y t 2
d GJ ( y) 2 I ( y) 0 dy
(t ) 2T (t ) 0 T
（4.3.6）
（4.3.7）
显然，此处 只能是正实数。因而， （4.3.7）式的解的形式是：
2
T (t ) A sin t B cos t
其中， A 与 B 是待定常数。
图 4.2-1
所截取的微段如图 4..2-1(b)所示。按照平面假设，振动过程中横截面始终保持为平面， 也不考虑杆的纵向伸缩引起的横向变形。 由于轴向力的作用， 微段 dx 的两端点在 x 及 x+dx 处的轴向位移分别为 u 及 u 对应于这两点的内力分别为 N 和 N
N dx 。由胡克定律知 x N u (4.2.1) E A x
这两个式子都是二阶常系数线性常微分方程，有标准形式的解答：取 a= ，把它们改写
2
为2
d 2 X ( x) 2 2 X ( x) 0 dx 2 c d 2Y (t ) 2Y (t ) 0 2 dt
由(4.2.6a)式可解得振型函数
(4.2.6a)
(4.2.6b)
X ( x) C1 sin
sin
得到
l
c
0
i
相应的振型函数
i l
E

i x l
(n 1, 2,3,)
X i ( x) Ai sin
前三阶主振型如图 4.2-3(b)所示。
(n 1, 2,3,)
4.3 轴的扭转振动 为求得轴扭转振动的运动方程， 可以采用与拉杆类似的方法， 从轴上截取一个微段作为 自由体，如图 4.3-1 所示。由微体的平衡，得到：
u ( x,0) g ( x ) t i x f ( x) l i x g ( x) l
B sin
i 1 i i 1 i i

A sin
由三角函数正交性：
l i j i x j x 0 sin l sin l dx 2 0 i j
左边界条件
右边界条件
u (0, t ) 0
u 0 x u ku EA x 2u u m 2 EA t x
u (l , t ) 0
u 0 x ku EA
u x
惯性载荷(m-集中质量) 杆对应于各阶固有频率 i 的主振型为
2u u m 2 EA t x
u ( x, t ) (C1 sin
2
x
a
C2 cos
x
a
)(C3 sin t C4 cos t )
(4.2.8)
后面的推导将表明恰好是系统的振动频率。
杆作纵向振动的典型边界条件见表 4.2-1。其中，前两行为位移边界条件，后两行为静 力学边界条件。
表 4.2-1
端部状态 固定 自由 弹簧载荷(k-弹簧常数)
图 4.2-2 解 由表 4.2-1 可知杆的边界条件为
左端:
x0
右端:
u (0, t ) 0 X (0) 0
xl
将上述边界条件代入(4.2.7a)式，得
EA
dX (l ) kX (l ) dx
C2 0 EA
有

c
cos
l
c
k sin
l
c
tg
l
c
l
c EA kl
4.2 杆的纵向振动 考察受轴向激励的均质等截面细长直杆，如图 4..2-1(a)所示。杆长为 l，密度为，横 截面积为 A，弹性模量为 E。这里采用的研究方法和结构静力学完全类似：在杆轴上位于 x 处截取一个微段 dx，画出示力图，写出平衡方程式。唯一区别在于计入惯性力的影响，以
及用时间 t 标记所观察的时刻，因为所研究的对象是随时间变化的。例如，在杆上距原点 x 处在 t 时刻产生纵向位移 u ( x, t ) ，它是位置 x 与时间 t 的函数。
图 4.3-1
M
M M ( y, t )dy 0 y
（4.3. 1a ）
或者写为
M ( y, t ) 0 y
其中：
（4.3. 1b ）
M GJ
( y, t ) ——弹性内力矩； y
GJ ——轴的扭转刚度；
( y, t ) ——梁的扭角.
轴做扭转自由振动时，微元 dy 段上只有惯性力矩，即
u dx ， x
由牛顿第二定律知
dm
2u N (N dx) N 2 t x
(4.2.2)
式中 dm 为微元 dx 的质量。若 为质量密度，则有
dm Adx
将上式代入(4.2.2)式，化简后得运动方程
A
2u u ( AE ) 2 t x x
(4.2.3)
u ( x, t ) X i ( x)Yi (t ) ( Ai sin i t Bi cos i t ) sin
杆的自由振动为各阶主振型的叠加
i x l
u( x, t ) ( Ai sin i t Bi cos i t ) sin
i 1

i x l
其中， Ai , Bi 由初始条件确定。 假设初始条件为： u ( x, 0) f ( x) ； 则有
(4.3.8)
关于（4.3.6）式，只有某些典型的轴，如 I ( y ) / GJ ( y ) 可按某种函数形式表达时，才可 假定 1/ a I ( y ) / GJ ( y ) ， 则 （4.3.6） 能找到精确解答。 对于均匀轴，I ( y ) 与 GJ ( y ) 是常数，
2
式可改ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ成：
( y ) ( y ) 0 a
3
但是在工程中有实际意义的，只有有限个低阶频率。
X i ( x) Ai sin
前三阶主振型如图 4.2-3(a)所示。
(2i 1) x 2l
(i 1, 2,3,)
(1) (2) (3)
f (1) f (2) f (3)
(a)
图 4.2-3
(b)
如果 k ，该边界相当于固定边界，频率方程为
一维波动方程可用分离变量法求解，设描述振动的函数 u ( x, t ) 可以分解为空间函数和 时间函数的乘积，即：
u ( x, t ) X ( x)Y (t )
(4.2.5)
式中 X ( x) 只是 x 的函数，称为特征函数或振型函数，它描述了振动的形态；而 Y (t ) 只是时 间 t 的函数，描述了各点的振动规律。将(4.2.5)式代入(4.2.4)式得
x
c
C2 cos
x
c
(4.2.7a)
式中积分常数 C1 ， C2 由边界条件决定。由(4.2.6b)式可解得振动的时间历程函数
Y (t ) C3 sin t C4 cos t
(4.2.7b)
积分常数 C3 ， C4 由初始条件决定。显然，振动的圆频率为 ，(4. 2.7a)式与(4.2.7b)式是通 过圆频率互相联系的。将(4.2.7)式代入(4.2.5)式，即得到(4.2.4)式的解为：
对于均匀杆件 A，E 是常数，故(4.2.3)式可写成
2u 1 2u x 2 c 2 t 2 c2 E /
(4.2.4)
(4.2.4)式是典型的波动方程，c 为波沿杆纵向的传播速度1。
1
工程中的许多问题，其运动微分方程都为一维波动方程，除了杆的纵向振动外，还有弦的横向振动，声音 的传播，轴的扭转振动等问题。
第四章 连续系统的振动
4.1 前言
在此之前，已经研究了多自由度离散系统的振动。实际上飞行器结构的质量元件和承 力结构元件都是连续分布的质量及刚度，所以这章开始讨论连续系统的振动问题。 弹性连续系统可以看作是由具有无限多质点相互作用的有弹性约束的系统，需要无限 多个坐标值才能确定系统在空间的位形。 从数学的角度讲， 连续体的振动是时间和空间坐标 的连续函数。 离散的多自由度系统与连续系统的这个差别， 使得描述运动状况的运动方程也 具有明显的差别，前者归结为常微分方程组，而后者归结为偏微分方程，因而在解法上增加 了难度。 尽管如此，这两类模型描述的都是振动现象，所以在很多方面有共同之处。在多自由度 系统振动分析中所形成的一系列概念， 在弹性体振动分析中都有相应的地位和发展。 例如弹 性体振动中系统固有频率的数目增加为无限多个， 而主振型的概念发展为固有振型函数， 而 且这些振型函数之间也存在关于分布质量与刚度的加权正交性； 在线性振动问题中， 叠加原 理以及建立在这一原理基础上的模态分析方法、 脉冲响应方法、 频率响应方法也同样适用于 弹性体的振动分析。 本章将通过杆及梁的振动问题来介绍分析弹性系统振动的一般原则， 主要介绍连续体运 动方程的建立过程及其振动的性质。 讨论的对象是理想弹性体的小变形问题， 它满足以下假 设条件：①材料是均匀、连续和各向同性的；②材料的应力－应变关系服从胡克定律；③变 形是微小的，允许使用线性的应变－位移关系。 应该指出， 弹性体振动问题涉及求解相应的偏微分方程组， 因而只有在一些简单情形下, 才能找到解析形式的精确解。而实际问题往往是复杂的，很少能归结为这些简单的情形。但 了解这些简单情形下精确解的特征，对于掌握复杂问题的物理本质却是很有帮助的。