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第四章 连续体的振动

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理论力学 第四章

理论力学 第四章

(m
(m
2J r
2
) x kxx 0 x
) kx 0 x
2J r
2
－－自由振动微分方程
系统的固有频率为
0
k r2 mr 2 2 J
§ 4－2 计算固有频率的能量法
如图所示无阻尼振动系统
当系统作自由振动时，运动规律为
x A sin(0t )
2

2
当圆柱体作微振动时， 可认为 sin

2


2
1 V mg ( R r ) 2 2
设系统作自由振动时θ的变化规律为 A sin(0 t )
3m 2 ( R r ) 2 0 A 2 则系统的最大动能 Tmax 4 1 2 系统的最大势能 Vmax mg ( R r ) A 2 由机械守恒定律 有 Tmax Vmax
2 0
k m
0
k m
0 只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关
而与运动的初始条件无关
它是振动系统固有的特性
所以称为固有角（圆）频率（一般也称固有频率） m=P/g
k P / st
0
g
0
k m
st
（2）振幅与初相角
x A sin( 0 t )
速度为
dx v 0 A cos(0t ) dt
在瞬时t 物块的动能为
1 2 1 2 T mv m0 A2 cos2 (0t ) 2 2
若选平衡位置为零势能点，有
1 2 V k[( x st ) 2 st ] Px 2
k st P
1 2 1 2 V kx kA sin 2 (0 t ) 2 2

连续系统振动(a)-杆的纵向振动

连续系统振动(a)-杆的纵向振动
令： a0 F / A
2015年1月24 日 并考虑到： 《振动力学》
2 y 达朗贝尔 Adx 2 t 惯性力
y x
2 2 y 1 2 y a p ( x, t ) 弦的横向强迫振动方程 0 2 2 t x
a0 弹性横波的纵向传播速度
9
连续系统的振动 / 一维波动方程
( l ) 0 l cos 0 a0
u (l , t ) 0 x
频率方程
零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移 x x 2015年1月24日 u ( x , t ) ( x ) q (t ) ( x ) c1 sin c2 cos 《振动力学》 a0 a0
2015年1月24日 《振动力学》
( x) (t ) q 2 a0 （常数） q(t ) ( x)
13
连续系统的振动 / 杆的纵向振动 记： 2
(t ) q 2 ( x) a0 q(t ) ( x)
''
q (t ) 2 q (t ) 0 2 ( x) ( a ) ( x) 0 0
i 1
2015年1月24日 《振动力学》 15
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
几种常见边界条件下的固有频率和模态函数
（1）两端固定 特征：两端位移为零 边界条件： u(0, t ) (0)q(t ) 0
0 l
x
u(l , t ) (l )q(t ) 0
q(t )
不能恒为零
u ( x , t ) ( x ) q (t ) 19
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
0 l
x
0 l
x

连续系统振动

连续系统振动

连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动

0x
f
(
x)


0
(
l 2

x)

0 (l x)
0x l
4
l x 3l
4
4
3l x l
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 假设模态法
连续系统的振动/ 一维波动方程
一维波动方程 动力学方程 固有频率和模态函数 主振型的正交性 杆的纵向强迫振动
连续系统的振动/ 一维波动方程
• 动力学方程
（1）杆的纵向振动
讨论等截面细直杆的纵向振动
杆参数: 杆长l ,截面积S 材料密度ρ 弹性模量E
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
p(x,t) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
θ (x,t) 为杆上距离原点x 处的截面在时 刻t 的角位移
截面处的扭矩为T
：微段绕轴线的转动惯量
连续系统的振动/ 一维波动方程
连续系统的振动/ 一维波动方程
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
•固有频率和模态函数

第四章 连续系统振动5.6

第四章 连续系统振动5.6

第四章 连续系统的振动4.1 概述连续系统是指质量、弹性和阻尼等参数在定空间上连续分布的系统。

对于连续系统，需要描述过每一点的位置变化，它不但是时间的函数，也是空间坐标的函数。

工程中的弦、杆件、块体都是连续系统，某些连续系统可以简化为多自由度系统，但是还有很多问题是不能简化的。

本章只介绍弦的横向振动和杆件的振动。

杆件横向受力时叫作梁，所以杆件振动分为杆的扭转振动、杆的轴向振动和梁的振动。

主要讨论连续振动的运动微分方程、边界值问题、在初始条件下得自由振动响应、强迫振动响应等。

从微分方程上看，弦和杆的振动微分方程都具有相同形式，都是二阶偏微分方程，在数学上叫作波动方程。

梁的振动相对复杂一些，是四阶偏微分方程。

方程的求解不但要满足初始条件，还要满足边界条件。

4.2 弦和杆振动微分方程4.2.1弦的横向振动微分方程弦和绳索是工程上和生活上常用的构件，如悬索桥梁、悬索屋顶、输电线及琴弦等。

弦和索的质量是连续分布的，且抗弯刚度较小，故当其横向振动时可忽略弯曲刚度。

设一个要张紧的弦长l ，受横向分布力),(t x P 作用，弦的单位长度的质量为ρ，振动过程张力为),(t x T 。

为了建立微分方程，在直角坐标系中用),(t x y 描述弦上距原点x 处的截面在时刻t 横向位移，任取弦的一微段长dx ，其受力如图4-1所示。

图4-1弦横向振动力学模型dx xT ∂∂+在竖直方向应用牛顿第二定理，并考虑振动是微小的，有sin θθ≈，且yxθ∂=∂可得： pdx T dx x dx x T T ty dx +-∂∂+∂∂+=∂∂θθθρ))((22 (4.1)整理后得到：pdx dxdx x x T dx x T dx x T ty dx +∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂θθθρ22 (4.2)因为：dx xT dx x T dx x T∂∂=∂∂+∂∂)(θθθ (4.3)将式（4.3）代入式（4.2），可得：pdx dxdx x x T dx x T ty dx +∂∂∂∂+∂∂=∂∂θθρ)(22 (4.4)略去二阶小量dxdx xx T ∂∂∂∂θ后，整理可得： ),()(22t x p x T ty +∂∂=∂∂θρ (4.5)两边同时除以ρ，得：ρρθ),()(22t x p x T t y +∂∂=∂∂ (4.6) 当张力为常数时，则上式可化为:),(12222t x p x y T ty ρρ+∂∂=∂∂ (4.7) 这就是弦的横向振动的偏微分方程，它与波动方程地方相同，属于一维波动方程。

连续系统的振动 振动力学课件

连续系统的振动 振动力学课件

(l )q(t )
C1
sin
l
a
2 q(t )
q(t) A cos(t )
q(t) A2 sin(t ) 2q(t)
2u t 2
(l)q(t)
C1 sin
l
a
2 q(t )
代入
EA u(l,t) W x g
2u(l, t 2
t
)
ku(l
,
t
)
0
2
EA cos l q t W 2 sin l q t k sin l q t 0
u(x, 0) u(x) u(x, 0) u(x) 确定
2.两端自由
特征：两自由端轴向力为零
即 FN (0,t) 0 FN (l,t) 0
EA u(0,t) 0, x
EA u(l,t) 0, x
'(0)qt 0
'(l)qt 0
' (0) 0
' (l) 0
2.两端自由
' (x)
W gkl 2
Eg
EA kl
W
lA
tan
a
l
EA
a
W 2 k
g
EA ( l)
lk a
Wa2 gkl 2
a
l
2
1
l
a
( l)2
a
1
讨论：（1）
W 0 右端只有弹簧k，
频率方程
tan l (l )
a
a
tanu u作图法得出
（2） W 0 k 0 即自由端情形
频率方程 cos l 0
2. 弹性弦横向振动
微段分析
以变形前弦的方向为 x轴，

哈工程振动噪声--第4章连续体振动

哈工程振动噪声--第4章连续体振动
2 2 ( ,t) x,(tx ),t ) ( x , t( )x GI J1 J p p 2 t 2t 2 GI x x x 0 x l x 0 x l
page 16
page 9
i a i i l l
授课人——柳贡民
E

2016年9月7日星期三
(i 1, 2, )
动力与能源工程学院 College of Power and Energy Engineering
第四章 连续体振动
§4.2 杆的纵振
由于U（x）幅值的任意性，对应于ωi的振型可取 i x U i cos l 令i=1、2、3，分别代入前两式，求得前3个非零阶固 有频率和相应的主振型，即
应力为零
左端边界条件
u u0, t 0 x u 0 x
u ku EA x 2u u m 2 EA t x
2016年9月7日星期三
右Байду номын сангаас边界条件
ul , t 0
F AE
u 0 x
u ku EA x
2u u m 2 EA t x

a
x D cos

a
x) sin(t )
动力与能源工程学院 College of Power and Energy Engineering
2016年9月7日星期三
第四章 连续体振动
§4.2 杆的纵振
在实际应用中，边界条件一般很难确定。杆的几种 典型边界条件是： 杆端条件 固定端 自由端
第四章 连续体振动
§4.2 杆的纵振
利用分离变量法，设 ux, t U x Gt 代入上述一维波的方程，得到 即

连续体振动讲解

Vibration of Countinuous System1. Euler —Bernoulli BeamEuler —Bernoulli 运动过程中没有考虑剪切效应的影响。

Euler —Bernoull Beam ：变形前垂直于梁中心线的截面在变形后仍保持垂直于梁的中心线。

Timoshenko Beam ：Euler —Bernoull 梁中并没有考虑梁的剪切变形，在实际工程中，会存在梁的剪切变形，变形后截面与中心线存在一个夹角，截面的转角变为y xθγ∂=-∂中性面定义：+++变形的几何关系：假设距离中性层距离为h 的层为b b -。

根据平面假设，单元体d x 变形后层面b b -为b b ''-其中，d θ为变形的角度bbo ohCC 'd θoo 'o 'b 'b 'MMRhA 'B 'A ϕBϕMC应变的表达式为()d -d d R h R hR Rθθεθ+==弯矩的表达式为2d d d AAA E EIM h A h E A h A R Rσε====⎰⎰⎰其中，I 为截面的惯性矩。

转角的表达式，A 点的转角为A ϕ，B 点的转角为B ϕA y xϕ∂=∂对于B 点，假定转角对位置坐标线性变化，有22d d AB A x xy y x x x ϕϕϕ∂=+∂∂∂=+∂∂因此，弯曲的角度d θ表示为22d d B A yx xθϕϕ∂=-=∂由于梁弯曲变形为小变形，有如下d d R x θ=得到221y R x∂=∂得到弯矩的表达式2M EI x=∂1.1 Newton 2th law Equation.yx取长度为L 的梁中的微元体研究，单元体的长度为d x 。

假定受到与位置坐标x 相关的载荷()p x 的作用，考虑到变截面梁，假定截面面积为()A x 。

梁的密度表示为位置坐标x 的函数()x ρ。

单元体受力情况如图++所示。

《课程名称：振动力学》课程教学大纲(本科)

课程名称：振动力学Fundamentals of Vibrations课程代码：24410079学分：3学时：48 （课堂教学学时：48；实验学时：0；上机学时：0；课程实践学时：0）先修课程：理论力学、材料力学、常微分方程、偏微分方程适用专业：工程力学教材：《振动力学》，谢官模，国防工业出版社，2011年第2版一、课程性质与课程目标（一）课程性质振动是自然界最普遍的现象之一。

大至宇宙，小至原子粒子，无不存在着振动。

人类本身也离不开振动：心脏的搏动，耳膜和声带的振动等。

工程中的振动更是比比皆是，例如：建筑结构和桥梁在风或地震载荷下的振动，机械系统运行中所产生的振动，刀具切削过程中的振动，飞机机翼的颤振等等。

振动力学借助于刚体力学与变形体力学的许多基本原理和方法、物理学的许多基本原理以及大量的数学工具，探讨各种振动现象的机理，描述和阐明振动的基本力学与物理规律，以便克服振动的消极有害的因素，利用其积极有利的因素，为合理解决实践中遇到的各种振动问题提供理论依据。

该课程是工程力学专业的一门主要专业基础课。

其任务是使学生掌握固有频率、振型及振动响应等基本概念及常用的求解方法，为学习有关后继课程准备必要的基础，并为将来学习和掌握新的科学技术创造条件；使学生初步学会应用振动力学的理论和方法分析、解决工程实际问题。

（二）课程目标课程目标1:掌握离散系统和连续体系统振动方程建立的方法；课程目标2：掌握振动力学固有频率、周期、阻尼、振型等的基本概念，以及会采用经典的方法求解固有频率、振型与强迫振动响应；课程目标3：掌握数值计算大型结构的固有频率、振型与强迫振动响应的常用方法的数学原理, 并采用数学软件编写程序进行数值运算；课程目标4：了解隔振与测振的基本原理。

（三）课程目标与专业毕业要求指标点的对应关系本课程支撑专业培养计划中毕业要求指标点3、4、5、6,对应关系如下：课程目标1:掌握工程力学所需的数学、物理学等基本内容，了解机械工程、材料工程等相关领域的基础知识和挑战，初步具备从中提炼关键力学问题并利用基本力学思维和方法解决问题的能力。

北航工程振动4-连续线弹性系统的振动


（2）两端自由杆 边界条件
u(0,t) (0) (t) 0 (0) 0 u(l,t) (l) (t) 0 (l) 0
(x)
C1
cos
c
x
C2
sin
c
x
模态函数通解
C2 0
( x)
C1
cos
c
x
C2
sin
c
l
0
频率方程
sin l 0
c
j
jc
l
问题： j 为何能够等于零呢？
j (x) cos
7
Engineering Vibration, Chapter 4
3 模态函数正交性
(EAi) Ai2i 0
l 0
( EAi)
j
dx
2 i
l
0 Ai jdx 0
(EAi)
j
l 0
l 0
EAi j dx
i2
l
0 Aijdx
若杆具有简单边界条件，即杆的端部是固支的或是自由的，则
0 对固支端 0 对自由端
( j 0,1,2,)
j
l
j (x)
C1 j
cos j
c
x
x
模态函数
C1 j
cos
j
l
x
5
Engineering Vibration, Chapter 4
(a)固支杆
(b) 一端固定一端自由杆
前三阶模态图
(c)自由杆
6
Engineering Vibration, Chapter 4
u j (x,t) j (x) j (t) j (x)(B1 j cos jt B2 j sin jt)

第12讲 连续体的振动

细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动
p(x,t)
0
x dx
x
杆参数：截面的极惯性矩 Ip 材料密度 切变模量 G
p(x,t) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
微段 dx 受力
pdx
T
T T dx x
(x,t) 为杆上距离原点 x 处的截面在时 刻 t 的角位移
由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此连续体是具有无限多自由度的系统。
简单连续体振动有弦的横向振动、圆轴的扭转振动、等直 杆的纵向振动、梁的弯曲振动，其中前面三种都属于一维 波动方程的范畴。
1
主要内容
• 一维波动方程 弦的横向振动
• 有限元法
杆的纵向振动
理想假说
1.本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹 性范围内服从虎克定律。
弹性体自由振动和受迫振动
自由振动 弹性体受到初干扰就作自由振动。在实际结 构中，自由振动会因阻尼作用而逐渐衰减。若弹性体的初 位移和初速度和某一固有振型成正比，则自由振动就是相 应的固有振动。
受迫振动 由随时间变化的外力或给定的某些部分的随 时间变化的位移引起的振动为受迫振动。若外力随时间作 简谐变化，而且变化频率和弹性体的某一固有频率接近， 则在一般情况下,振幅会急剧增大,这种现象称为共振。此 时弹性体振动的形状近似于相应的振型。共振频率有无穷 多个，但由于阻尼的存在，实际上只有在外力的频率和比 较低阶的固有频率接近时才可能产生共振。
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）弦的横向振动
弦两端固定，以张力 F 拉紧 在分布力作用下作横向振动
单位长度弦的质量 p(x,t) 单位长度弦上分布的作用力
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l
m x) 并从 0到l对x进行积分， 将上式两边同乘以 sin( l
得：
整理后得到：
l j m ( j m) 0 sin( l x)sin( l x)dx 2 0( j m)
l
d 2 H m (t ) 2 m H m (t ) Qm (t ) 2 dt
§4.2 杆的纵向振动
u( x, t ) u( x, t ) dx u( x, t ) dx u( x, t ) x dx dx x
u ( x, t ) N EA( x) EA( x) x
j Y j ( x) Aj sin x Aj sin x c l
cj j j l l j
强迫振动 对于长为 l 的两端固定受分布力 q( x, t ) 作用下的弦的强迫振动，其运动微分方程为： 振型函数 Y ( x) Aj sin j x l 令 Aj 1 j 则有 Y ( x) sin x l 设其解为 y ( x, t ) sin( j x) H (t ) j
y ( x, t ) ( x, t ) tg x
根据牛顿第二定律， y 方向的运动微分方程为： 弦的单元微段 ds 沿 2 y ( x, t ) ( x, t ) Adx T dx q( x, t )dx 2
代入
得：
2 y( x, t ) 2 y ( x, t ) A T q( x, t ) 2 2 t x
弹性体系统作某阶主振动时，其各点也应当作同样的频 率及相位运动，各点也应当同时通过静平衡位置和到达最 大偏离位置，即系统具有一定的与时间无关的振型
Y ( x) 为振型函数 2 y ( x, t )
t 2 2 2 y ( x, t ) d Y ( x) sin( t ) n 2 2 dx x
第四章 连续体的振动
本章只讨论理想弹性体的振动 理想弹塑性体满足以下假设条件 ①各向同性；②均质分布；③服从虎克定律
§4.1 弦的振动
讨论两端受到张力T 拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力
q( x, t )的作用
q( x, t )
x x
y
dx
dm Ads
设弦的密度为 （质量/单位体积） 假设小变形，弦力不随挠度变化。 则弦上的任意一点的位移y应为位置x与时间t的函数，即
个初始条件来确定。
A, B, n , 4个待定常数，可由弦的边界条件及振动的两
y(0, t ) 0 y(l , t ) 0 由于两端固定，故有
0 ( A sin
l
0 (0 B)sin(nt ) n n
c l B cos cos c
l ) sin(nt )
x y ( x, t ) ( x, t ) x
t
T 设 c 代入得： A 2 2 y( x, t ) y( x, t ) 1 2 c q( x, t ) 2 2 t x A
C为波沿长度方向的传播速度
如无干扰力作用时， 2 2 y ( x, t ) y ( x, t ) 2 ——称为波动方程 c 2 2 t x y( x,t ) Y ( x)H (t ) Y ( x) sin(nt )
y y( x, t )
dm Ads A (dx) 2 (dy ) 2 Adx
沿 y 方向作用在微小区间 [ x, x dx] 的外力之和为
( x, t ) T [ ( x, t ) dx] T ( x, t ) q( x, t ) dx x ( x, t ) T dx q ( x, t )dx x
2 n Y ( x)sin(nt )
2 d 得 2Y ( x)sin( t ) c 2 Y ( x) sin( t ) n n n 2 dx 2 2 d Y ( x ) n 故 Y ( x) 0 2 2 dx c n n Y ( x) A sin x B cos x c c n n y ( x, t ) ( A sin x B cos x) sin(nt ) c c
得 得
B0
A sin
n
c
l 0
A0 则
T A
n
c
sin
n
c
l 0
l j
( j 1, 2 )
j y( x, t ) Aj sin x sin( j t j ) l j 1

j y j ( x, t ) Aj sin x sin( j j ) l

2 2 y( x, t ) y( x, t ) 1 2 c q( x, t ) 2 2 t x A
j y( x, t ) sin( x)H j (t ) 代入方程 l j 1 2 2 d H ( t ) j j j 1 j 2 sin( x ) c ( ) sin( x ) H ( t ) q( x, t ) j 2 l dt l l A j 1 j 1
2 l m Qm (t ) q( x, t )sin xdx 0 Al l
cm l
2 m
其通解为：
H m (t ) Cm cos mt Dm sin mt
1
m
Q
0
l
m
( )sin m (t )d
m 1, 2
§4.2 杆的纵向振动
设杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动。略去 杆纵向伸缩而引起的横截面变形。 取杆的纵向作为 x 轴，各个截面的纵向位移表示为u(x,t)， 如图所示。杆的微元dx在自由振动中的受力图也在图5-3中给出。 设杆单位体积的质量为ρ ，杆长为 l，截面积为A ， 材料的弹性模量为E 。再设任一 x 截面处，纵向应变为ε(x) ， 纵向拉力表示为N(x)