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2020高考数学热点难点微专题隐圆问题(29张)

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微难点12-隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)

微难点12-隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)
P 在直线 x＋ 3y－b＝0 上，过点 P 分别作圆 O，O1 的切线，切点分别为 A，B，若 满足 PB＝2PA 的点 P 有且只有两个，则实数 b 的取值范围是____－__23_0_，__4_ ___．
【解析】由题意知 PA2＝PO2－12, PB2＝PO21－22.因为 PB＝1－4＝4(PO2－12)，所以 PO12＝4PO2.设 P(x，y)，则(x－4)2＋y2＝4(x2＋y2)，
2 ，
所以 BC 的取值范围是[ 6－ 2， 6＋ 2]．
(例 1(1))
方法二：设 BC 的中点为 M，设 AM＝x，OM＝y.
因为 OC2＝OM2＋CM2＝OM2＋AM2，所以 x2＋y2＝4. 因为 OA＝ 2，所以 x＋y≥ 2，x＋ 2≥y，y＋ 2≥x.
作出约束条件表示的可行域如图(2)所示，
微难点12 隐圆问题(含阿波罗尼斯圆)
栏 目 导
析典例 ·举题破难 解类题 ·融会贯通
航
析典例 ·举题破难
在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x2＋y2＝4 上的两点，点 A 的 坐标为(1,1)，且 AB⊥AC，求线段 BC 长度的取值范围．
【思维引导】思路 1：求出点 M 的轨迹方程，根据圆的性质及直角三角形的性质 不难求得，其轨迹为一个圆，问题就转化为一定点到圆上一点的距离，这是一个基本 题型，求解即得；思路 2：设出 AM＝x，OM＝y，寻找到 x，y 之间的关系式，通过 线性规划的知识去处理．
取值范围为－ 33， 33，即a－b2c的取值范围为－ 33， 33.
2. 已知圆 M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线 l：x＋y－6＝0，A 为直线 l 上一点．若 圆 M 上存在两点 B，C，使得∠BAC＝60°，则点 A 的横坐标的取值范围是__[_1_,5_]___．

2020高考数学复习专题58 隐形圆问题(解析版)

2020高考数学复习专题58 隐形圆问题(解析版)
专题知识梳理
专题 58 隐形圆问题
隐形圆也就是题目中给出的条件不是给出一个圆，而是要通过设点、列式、化简得到动点的轨迹是一个圆. 本专题分四个方面讲了隐形圆问题. 1． 利用圆的定义：在平面内到定点的距离等于常数，则这个点的轨迹是一个圆.解决这类问题只要抓住两
个关键词：定点，定长.然后再化归为圆中的有关问题去解.
－3)2＋(y－4)2＝1 上，且有两个，∴两圆相交，即 1 m 32 42 1 m ，
解得 4 m 6 . （2）∵AB⊥AC，设 D 为 AB 的中点，D 点坐标为 (x, y) ，BC 的长为 2m ，∴ DA m ，在三角形 OCD 中，有
m2 OD2 4 ，即
(2)（2019·南通一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B，C 为圆 x2＋y2＝4 上两点，点 A(1，1)，且 AB⊥AC， 则线段 BC 的长的取值范围为_ ___． 【解析】（1）∵∠APB＝90°，∴点 P 在以 AB 为直径的圆上，其方程为 x2 y2 m2 ，又点 P 在圆 C：(x
析几何中，是要自己建系后，才能看出点的轨迹.所以在解题时要当心给出的条件. 5． 化归思想在本专题的作用很重要，因为给出的条件不是圆，是需要大家在解题分析得出的，另外得到圆
以后，要合理用好点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系.
考点探究
【例 1】(1)已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条 切线，切点为 A，B，使得∠APB＝60°，则 a 的取值范围为____．
(2)如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值范围是____． 【解析】（1）连 OP，则 OPA 30 ，∵ OA 1，∴ OP 2 ，即 P 点的轨迹方程为 x2 y2 4 ，又点

数学高考二轮热点难点微专题五隐圆问题PPT文档共61页

数学高考二轮热点难点微专题五隐圆问题PPT文档共61页
数学高考二轮热点难点 微专题五隐圆问题
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿

高考数学复习知识点讲解课件16--- 隐圆问题

高考数学复习知识点讲解课件16--- 隐圆问题
1234
解析 由题意得|OM|＝ 5－1＝2，所以点 M 在以 O 为圆心，半径为 2 的 圆上. 设 CD 的中点为 N，则 N(2 2，a＋1)，且|CD|＝2. 因为当 A，B 在圆 O 上运动时，始终有∠CMD 为锐角，所以以 O 为圆心， 半径为 2 的圆与以 N(2 2，a＋1)为圆心，半径为 1 的圆外离， 所以 2 22＋a＋12>3，整理得(a＋1)2>1，解得 a<－2 或 a>0， 所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞).
A. 6
B. 7
√C. 10
D. 11
1234
解析 设 Q(a,0)，M(x，y)，所以|MQ|＝ x－a2＋y2， 由 P－12，0，所以|MP|＝ x＋122＋y2， 因为||MMQP||＝λ 且 λ＝2，所以 xx－＋a1222＋＋yy22＝2， 整理可得 x2＋y2＋4＋32ax＝a2－3 1， 又动点M的轨迹是x2＋y2＝1，
1234
跟踪演练
1.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－12,0)，B(0,6)，点 P 在圆 O：x2＋y2＝
50 上，若P→A·P→B≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是
A.[0， 2]
√B.[－5 2，1]
C.[－ 2， 2]
D.[－2,0]
1234
解析 设 P(x，y)，由P→A·P→B≤20 可得
解析 设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10， 可得x2＋(y－1)2＝4， ∴M点在圆x2＋(y－1)2＝4上， 故圆x2＋(y－1)2＝4和圆(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1相交或相切， ∴1≤ a2＋a－32≤3，∴0≤a≤3.
1234
4.已知圆 O：x2＋y2＝5，A，B 为圆 O 上的两个动点，且|AB|＝2，M 为弦 AB 的中点，C(2 2，a)，D(2 2，a＋2).当 A，B 在圆 O 上运动时，始终有 ∠CMD 为锐角，则实数 a 的取值范围为__(－__∞__，__－__2_)_∪__(_0_，__＋__∞__) _.

2020届高考数学江苏省二轮课件：微专题6 隐性圆问题

2020届高考数学江苏省二轮课件：微专题6 隐性圆问题
a2 1
14 或a≥ 14 .
2
2
栏目索引
题型二 与相交弦有关的隐性圆
例2 (2019南通通州、海门联考,13)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),
B,C为圆O:x2+y2=4上的两动点,且BC=2
3
,若圆O上存在点高考P,导使航得uAuBur
uuur
+ AC
=m
uuur
OP,m>0,则正数m的取值范围为
∴|m-1|≤ 2 ≤m+1,又m>0,
∴ 2 -1≤m≤ 2 +1.
栏目索引 高考导航
栏目索引
【方法归纳】 当直线与圆相交时,特征三角形(由弦心距、半弦、半径构 成)的应用是最普遍的,在特征三角形中应用边角关系求出动点的条件是解题
高考导航
的关键.
栏目索引
2-1 已知A,B是圆O:x2+y2=1上的动点,满足AB= 3,P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上
uur
PA+
uuur PB
|∈[7,13].
栏目索引
2-2 已知A,B是圆O:x2+y2=9上的动点,且直线AB过定点M(2,0),P是圆C:(x-3)2+
uur uuur
(y-4)2=1上的动点,则| PA+ PB |的取值范围是
.
高考导航
答案 [4 5 -4,4 5 +4]
解析 设AB的中点为Q,连接OQ,则OQ⊥QM,即点Q在以OM为直径的圆上,
.
答案 [ 2 -1, 2 +1]
解析 如图,取BC的中点M,连接OM.
∵BC=2 3 ,∴O到BC的距离OM=1,

2020高考数学热点难点微专题“隐圆”问题典型试题(3页)

2020高考数学热点难点微专题“隐圆”问题典型试题(3页)

2020高考数学热点难点微专题“隐圆”问题典型试题1. 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝4外，则直线ax ＋by ＝4与圆O 的位置关系是________．2. 已知|OA →|＝|OB →|＝2，且OA →·OB →＝1，若点C 满足|OA→＋OB →|＝1，则|OC→|的取值范围是________．3. 在平面直角坐标系xOy 中，点A (1,0)，B (4,0)．若直线x －y＋m ＝0上存在点P 使得P A ＝12PB ，则实数m 的取值范围是________．4. 已知两定点A (－3,0)，B (1,0)，如果直线l ：x ＋ay －2＝0上一点M 满足MA 2＋MB 2＝16，那么实数a 的取值范围是________．5. 已知△ABC 中，M 为线段BC 上一点，AM ＝BM ，AM→·AB →＝2，AC 2＋3BC 2＝4，则△ABC 的最大值为________．6. 已知点A (0,1)，B (1,0)，C (t,0)，点D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为________．7. 设直线x ＝－y ＋a 与圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋a ＝0相交于A ，B 两点，若CA→·CB →<0，则实数a 的取值范围为________．8. 已知A ，B 为圆O ：x 2＋y 2＝5上的两个动点，AB ＝4，M 为线段AB 的中点，点P 为直线l ：x ＋y －6＝0上一动点，则PM→·PB →的最小值为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4,0)，B (0,4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则PB P A 的最大值是________．。

2020江苏高考数学(理)(提高版)大一轮复习课件：微难点10 “隐圆”问题(共31张PPT)


(4) A，B 是两个定点，动点 P 满足P→A·P→B＝l(l 为常数)确定隐圆(如变式)； (5) A，B 是两个定点，动点 P 满足 PA＝λPB(λ＞0 且 λ≠1)确定隐圆(阿波罗尼斯 圆)； (6) 由圆周角的性质确定隐圆等．
解类题 ·融会贯 通
1.(2017·海安期末)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P(－1，0)，Q(2,1)，直线 l：ax＋by＋c＝0，其中实数 a，b，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H，则 线段 QH 的取值范围是__[__2_，__3__2_]__．
【思维引导】(1)过点 B 作圆 M 的直径 BD，求点 D 的轨迹．(2)将 PB＝2PA 利用 坐标法得到点 P 的轨迹，从而得到隐圆．(3)两条直线均过定点，交点在以两个定点 间线段为直径的圆周上，从而问题转化为求圆上的点到直线 x－y－4＝0 距离的最大 值．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【解析】方法一：如图，过点 B 作圆 M 的直径 BD，连接 DA，DP，
方法二：设 A(x，y)，则 B(2x－a,2y)． 因为点 B 在圆 M 上，所以(2x－a－1)2＋(2y－4)2＝4，即x－a＋2 12＋(y－2)2＝1(*)， 这表明点 A 在方程(*)表示的圆上，又点 A 在圆 M 上，因此这两个圆有公共点，
所以 2－1≤ 2 5]．
a＋2 1－12＋2－42≤1＋2，解得 a 的取值范围是[1－2 5，1＋
得 x2＋y2－2x－3≤0，则圆 C：x2＋y2＋2x－1＝0 与圆 C′：x2＋y2－2x－3＝0 有公共 点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为 x＝－12，代入 x2＋y2－2x－3≤0， 可得－ 27≤y≤ 27，所以点 M 的纵坐标的取值范围是－ 27， 27.

2020版高考数学(江苏专用)新增分大一轮课件：第九章 平面解析几何 微专题四

1－1 －2＋0 ， 此圆的圆心 A 的坐标为 ， 2 2
1 即 A(0，－1)，半径 r＝2PQ＝ 2，
又因为 N(3,3)，所以 AN＝5，所以(MN)max＝5＋ 2.
跟踪训练 2 (2018· 江苏省通州区检测)设 m∈R，直线 l1：x＋my＝0 与直线
2 l2 ：mx－ y－ 2m－4＝0 交于点 P(x0，y0) ，则 x2 ＋ y 0 0 ＋ 2x0 的取值范围是 [12－4 10，12＋4 10] ______________________.
∴tmax＝2 2＋ 5，tmin＝2 2－ 5，
2 2 ∴(x2 ＋ y ＋ 2 x ) ＝ (2 2 ＋ 5) －1＝12＋4 10， 0 0 0 max
2 2 (x2 ＋ y ＋ 2 x ) ＝ (2 2 － 5) －1＝12－4 10， 0 0 0 min
故所求范围是[12－4 10，12＋4 10].
(2)(2019· 江苏省徐州市第一中学月考)若实数a，b，c成等差数列且点P(－1,0) 在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M，点N(3,3)，则线段MN长度的最大值是
5＋ 2 ________.
解析 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，即0＝a－2b＋c， 方程ax＋by＋c＝0恒过点Q(1，－2)， 又因为点P(－1,0)在动直线ax＋by＋c＝0上的射影为M， 所以∠PMQ＝90°，M在以PQ为直径的圆上，
解析 设A(－1,0)，B(1,0)，C(x，y)， 由已知可得(x＋1)(x－1)＋y2＝λ， ∴x2＋y2＝1＋λ.
λ<0， ∴1＋λ≥0， 1 1＋λ＋ ≤1或 2
1 1＋λ－2≥1，
3 解得－1≤λ≤－4.

江苏省2020届高三数学二轮复习第10讲 “隐形圆”问题(共50张PPT)

因为圆C 上存在点M ，满足MA2 MO2 10，
所以两圆有公共点，所以2 1 a2 a 32 2 1，
所以0 a 3．
变式 1：已知两定点 A3,0， B1,0，若直线l ：
x ay 2 0上的一点P满足PA2 PB2 16，则实数 a 的取值范围是___________．
O B
可得OP 2 ，所以d 3 2 ，
a2 1
解得a2 7 ，所以a 14 或a 14 ．
2
2
2
解：②OA AP， AB OP，
② AB 3
由等积法可得 SOAPB
OA
AP
1 2
OA 1, AB 3, AP OP2 1，
D O
B
所以 OP2 1 1 3 OP，解得OP2 4，
2
2
所以2 2 m 2 2 ．
变式 1：在平面直角坐标系中，已知点 A0,2，
B1,1， P 为圆 x2 y2 2上一动点，则 PB 的最大
PA 值是________．
解：设P x, y，则x2 y2 2，
PB
2
PA
x 12 y 12 x2 y 22
x2 y2 2x 2y 2 x2 y2 4y 4
________．
A P
O B
A
解：由APB 60 可得APO 30 ，
P
由OA 1可得OP 2，所以点P在以 O 为圆心，OP 为半径的圆上，
O B
其方程为 x2 y2 4．
又点P在直线l ：ax y 3上，故直线l与圆x2 y2 4
有公共点，
所以d 3 2， a2 1
2 2x 2y 2 x y 2，
2 4y 4
2y 3

2020届江苏省高考二轮复习专题：隐形圆问题梳理及运用课件(共15张PPT)

Q
小结： 核心思想： 合理转化
数形合
常见转化途径： 三角形外接圆 轨迹思想求出圆 阿波罗尼斯圆
作业：
1.在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足 2a2+b2+c2=8 ， 求三角形ABC面积的最大值． 2.已知A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，点D是直线AC上的动点，若AD ≤ 2BD恒成立， 则最小正整数t的值为________________．
5.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过A(0，2)，O(0，0)，D(t，0) ( t > 0 ) 三点，
M是线段AD上的动点，l1，l2是过点B(1，0)且互相垂直的两条直线，其中l1交y轴 于点E，l2 交圆C于P，Q 两点． (1)若t ＝PQ＝6，求直线l2的方程； (2)若t是使 AM ≤ 2BM 恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值．
本专题主要来研究发现隐圆并用隐圆解决相关问题.
A
B
C
D
E
轨迹思想
注：ABC 中，若AB为定长，则以下关系表明点C在圆上 ：
1. AC2 BC2 定值； 2.kAC kBC - 1；
阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯圆：平面上到两个定点的距离之比为定值（不为1）的点的 轨迹是一个圆。
.
3.已知点A（2，3），点B（6，-3），点P在直线3x - 4y + 3 = 0上，若满足等式 uuur uuur AP BP 2 0 的点P有两个，则实数 的取值范围是_______________．
4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知B，C为圆 x2 y2 4 上两点，点A（1，1）， 且 AB AC ，则线段BC的长的取值范围为_______________．
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热点难点微专题五 “隐圆”问题
热点难点微专题五 “隐圆”问题
第1页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
专课 题时 综作 述业
江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级考点，近几年在各地模考和高考的填空题 和解答题中都有出现且频率较高，难度为中档题．在题设中没有明确给出圆的相 关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最 终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．
第14页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
则点 C 的运动轨迹是以点 P 为圆心，1 为半径的圆，而|O→P|＝ 6，则|O→C|的取值范 围为[ 6－1， 6＋1]．
第15页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
3. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1,0)，B(4,0)．若直线 x－y＋m＝0 上存在点 P
第12页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
课 后时 作 业
1. 已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝4 外，则直线 ax＋by＝4 与圆 O 的位置关系是 ________．
相交 解析：因为点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝4 外，所以 a2＋b2>4，圆心 O(0,0) 到直线 ax＋by＝4 的距离为 d＝ a24＋b2<2＝r，故直线 ax＋by＝4 与圆 O 的位置关 系是相交．
第18页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
解法二：A→M·A→B＝|A→M||A→B|cos∠MAB＝12|A→B|2＝2，|A→B|＝c＝2，又 AC2＋3BC2＝4 即 b2＋3a2＝4 得 a2＝4－3b2，cosA＝b2＋2cb2c－a2＝b23＋b 2.
所以 S△ABC＝12bcsinA＝b 1－cos2A＝ －b4＋3 5b2－4＝
则△ABC 的最大值为________．
1 2
解析：解法一：由 AM＝BM，设 AM＝BM＝t，则 cos∠BAM＝c2＋2tc2t－t2.又A→M·A→B
＝2，tc2cc2t＝2，得 c＝2，设点 C(x，y)，A(－1,0)，B(1,0)，由 AC2＋3BC2＝4，
x－122＋y2＝14(y≠0)，△ABC 面积的最大值为12.
x2＋y2＝50，得 2x－y＋5≤0.由x22x＋－yy2＋＝55＝0，0， 可得 E：xy＝ ＝－ －55， 或 F：yx＝＝71.， ︵
由 2x－y＋5≤0 得点 P 在圆左边弧EF上，结合限制条件－5 2≤x≤5 2，可得点 P 的横坐标的取值范围是[－5 2，1]．
转化为两个圆有公共点的问题，利用圆心距与半径关系求出 x0 的取值范围．
第6页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
(3)
－
33，
3 3
解析：记线段 AB 的中点为 M，因为△ABC 为等腰直角三角形(C
为直角顶点)，所以点 C 在以 M 为圆心，半径为 1 的圆上．又因为点 C 在圆 O 上，
－∞，－ 25∪ 25，＋∞
解析：设 M(x，y)，则(x＋3)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝16，
即(x＋1)2＋y2＝4，所以 1＋3 a2≤2，解得 a≤－ 25或 a≥ 25.
第17页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
5. 已知△ABC 中，M 为线段 BC 上一点，AM＝BM，A→M·A→B＝2，AC2＋3BC2＝4，
第11页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
2. 已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，使得 PA⊥PB，则实数 a 的取值范围为________． －2≤a≤2 解析：由 PA⊥PB，PA⊥AO，PB⊥OB，PA＝PB，得四边形 PAOB 是 正方形，所以 P 的轨迹是以原点 O 为圆心， 2为半径的圆．又点 P 也在圆 M 上， 所以 OM≤ 2＋ 2，得 a2＋22≤8，解得－2≤a≤2.
第3页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
(3) 若直线 l：ax＋y－4a＝0 上存在相距为 2 的两个动点 A，B，圆 O：x2＋y2＝1 上存在点 C，使得△ABC 为等腰直角三角形(C 为直角顶点)，则实数 a 的取值范围 为________． (4) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点 P 在直线 x＋ 3y－b＝0 上，过 P 分别作圆 O，O1 的切线，切点分别为 A，B.若满足 PB＝2PA 的点 P 有且只有 2 个，则实数 b 的取值范围是________．
第4页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题五 “隐圆”问题
(1) [－ 2， 2] 解析：设点 G(x，y)，因为 G 为中点的弦 AB，且 AB＝2GO，所 以 AG＝GO＝ x2＋y2. 在 Rt△AGC 中，AC＝ 3，CG＝ x＋22＋y－m2，∠AGC＝90°. 由 AC2＝AG2＋CG2 得 3＝x2＋y2＋(x＋2)2＋(y－m)2，即(x＋1)2＋y－m2 2＝2－4m2， 显然2－4m2≥0，所以－ 2≤m≤ 2，即所求实数 m 的取值范围是[－ 2， 2]．
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典课 型时 例作 题业
例 (1)平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：(x＋2)2＋(y－m)2＝3.若圆 C 存在以 G 为中 点的弦 AB，且 AB＝2GO，则实数 m 的取值范围是________． (2) 已知圆 C：(x－2)2＋y2＝1，点 P 在直线 l：x＋y＋1＝0 上，若过点 P 存在 直线 m 与圆 C 交于 A，B 两点且满足 P→B＝2P→A ，则点 P 横坐标 x0 的取值范 围是________．
－b23－522＋94≤12.
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6. 已知点 A(0,1)，B(1,0)，C(t,0)，点 D 是直线 AC 上的动点，若 AD≤2BD 恒成立， 则最小正整数 t 的值为________．
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2. 已知|O→A|＝|O→B|＝ 2，且O→A·O→B＝1，若点 C 满足|O→A＋O→B|＝1，则|O→C|的取值范 围是________． [ 6－1， 6＋1] 解析：O→A·O→B＝|O→A|×|O→B|×cos〈O→A，O→B〉＝1，cos〈O→A，O→B〉 ＝12，cos〈O→A，O→B〉＝π3.以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，建立平面直角 坐标系，则 O(0,0)，令 A( 2，0)，B 22， 26，令O→P＝O→A＋O→B＝32 2， 26，|O→P |＝ 6，|O→A＋O→B|＝|O→A＋O→B－O→C|＝|O→P－O→C|＝1，
m)2＝4(x－1)2＋4(x＋m)2，整理得 2x2＋2mx＋m2－4＝0(*)．因为方程(*)有解，则 Δ
＝4m2－8(m2－4)≥0，解得－2 2≤m≤2 2.
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4. 已知两定点 A(－3,0)，B(1,0)，如果直线 l：x＋ay－2＝0 上一点 M 满足 MA2＋ MB2＝16，那么实数 a 的取值范围是________．
使得 PA＝12PB，则实数 m 的取值范围是________． [－2 2，2 2] 解析：解法 1 设满足条件 PB＝2PA 的点 P 坐标为(x，y)，则(x－
4)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，化简得 x2＋y2＝4，要使直线 x－y＋m＝0 有交点，只需要
|m2|≤2，即－2 2≤m≤2 2. 解法 2 设在直线 x－y＋m＝0 上有一点(x，x＋m)满足 PB＝2PA，则(x－4)2＋(x＋
所以圆 M 和圆 O 有公共点，即 0≤OM≤2，故圆心 O 到直线 l 的距离 d＝ |－a24＋a|1≤2，
解得－ 33≤a≤ 33，所以实数 a 的取值范围为－ 33， 33.
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(4) －230，4 解析：设点 P 坐标为(x，y)，因为 PB＝2PA，所以 PB2＝4PA2，即 (x－4)2＋y2－4＝4(x2＋y2－1)，整理得 3x2＋3y2＋8x－16＝0. 解法 1 该方程表示一个圆，圆心－43，0，r＝83.因为点 P 有且只有两个，所以直 线和圆相交，故－432－b<83，解得 b∈－230，4.
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【方法归类】 发现隐圆的方法：1. 利用圆的定义或圆的几何性质确定隐形圆． 2. 在平面上给定相异两点 A、B，设点 P 在同一平面上且满足 PA＝λPB, 当 λ>0 且 λ≠1 时，点 P 的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆． 3. 两定点 A，B，动点 P 满足P→A·P→B＝λ 确定隐形圆． 4. 两定点 A，B，动点 P 满足 PA2＋PB2 是定值确定隐形圆．
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【思维变式题组训练】
1. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－12,0)，B(0,6)，点 P 在圆 O：x2＋y2＝50 上，
若P→A·P→B≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是________． [－5 2，1] 解析：设 P(x，y)，由P→A·P→B≤20 得 x(x＋12)＋y(y－6)≤20，注意到