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难点22 轨迹方程的求法
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.
●难点磁场
(★★★★)已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.
●案例探究
［例1］如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.
命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.
知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.
错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.
技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.
解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)
又|AR |=|PR |=22)4(y x +-
所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0
因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2
,241+=
+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得
2
4
4)2()24(
22+⋅
-++x y x －10=0 整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.
［例2］设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)
命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系.
错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论.
技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.
解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=---=--⋅
-=⋅
==11
21
21212
12
2
1122
212
11144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有
2
121214y y p
x x y y +=--
⑥
①³②,得y 12²y 22=16p 2x 1x 2
③代入上式有y 1y 2=－16p 2 ⑦ ⑥代入④，得
y
x
y y p -=+214
⑧
⑥代入⑤，得
p
y
x y y x x y y y y p
442
1
11121--=--=+ 所以
2
1
1214)(44y px y y p y y p --=+ 即4px －y 12=y (y 1+y 2)－y 12－y 1y 2
⑦、⑧代入上式，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0)
当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.
故点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.
解法二：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b
由OM ⊥AB ，得k =－y
x
由y 2=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2+(2kb －4p )x +b 2=0
所以x 1x 2=22
k
b ,消x ,得ky 2－4py +4pb =0
① ② ③ ④ ⑤
所以y 1y 2=
k
pb
4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2 所以k
pk
4=－22k b ,b =－4kp
故y =kx +b =k (x －4p ),用k =－
y
x
代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.
［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？
命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.
错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键.
技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.
解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.
建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |P A |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5
∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为
3
225)41(162
2y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －
21)2+3
4y 2
=1 ② 由①、②可解得)14
12
,149(),1412,149(
-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-
故所求圆柱的直径为
7
6
cm. ●锦囊妙计
求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.
(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.
(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.
(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.
(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程
.
