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难点21直线方程及其应用直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程 的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容 •应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问 题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的•难点磁场(★★★★★)已知 |a|v 1,|b|v 1,|c|v 1,求证:abc+2 >a+b+c. •案例探究［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费， 他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为a (90°Wav 180° )镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a > b).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？命题意图：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目 知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值错解分析：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求 tanACB 的最大值.如果坐标系选择不当， 或选择求sinACB 的最大值. 都将使问题变得复杂起来.技巧与方法：欲使看画的效果最佳，应使/ ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值.解：建立如图所示的直角坐标系， AO 为镜框边，AB 为画的宽度, 下边缘上的一点，在 x 轴的正半轴上找一点 C(x,0)(x >0),欲使看画的 最佳，应使/ ACB 取得最大值.由三角函数的定义知： A 、B 两点坐标分别为(acos a ,asin a 卜 (bcos a ,bsin a ),于是直线 AC 、BC 的斜率分别为： asina k AC =ta nxCA=,acosa -x(a —b) xsina _ (a —b) sinaab-(a b)x cos ： x 2 辿 x-(a b) cos ：x由于/ ACB 为锐角，且x > 0,则tanACB w —(已一小驯〉,当且仅当 辿=x ，即x= • ab 时,2 Jab —(a + b)co 弊 x 等号成立，此时/ ACB 取最大值，对应的点为 C(、ab ,0),因此，学生距离镜框下缘 .ab cm 处时,视角最大，即看画效果最佳 .［例2］预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多， 但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考 查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解，属★★ ★★★级题目.知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解kBC=ta nxCB =bsin -■bcos.- —x于是 tanACB =kBC - k AC1 ' k BC k ACO 为 效果错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上 得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出 最优解. 解：设桌椅分别买 x,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件50x +20y E2000为y 兰 1.5x x _0,y _075• B 点的坐标为(25 , 一 )2［例3］抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的4|方向射出，今有抛物线 y 2=2px(p > 0). 一光源在点 M( ,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴 4的方向射向抛物线上的点P ,折射后又射向抛物线上的点Q ,再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线 1: 2x — 4y — 17=0上的点N ，再折射后又射回点 M(如下图所示)□2(1) 设 P 、Q 两点坐标分别为(x i ,y i )、(x 2,y 2),证明：y i • y 2=— p ； (2) 求抛物线的方程；(3) 试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点 M 关于PN 所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由命题意图：对称问题是直线方程的又一个重要应用.本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力，属★★★★★★级题目知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程 错解分析：在证明第(1)问题，注意讨论直线 PQ 的斜率不存在时.网 +2°y =200。
直线的参数方程及应用x = x0 + aty = y0 + bt其中(x0,y0)是直线上的一个固定点，a和b是表示直线方向的参数。
参数t的取值范围根据实际问题的情况来确定，可以是实数、整数或者其他范围。
1.直线与平面的交点在三维空间中，直线与平面的交点可以通过参数方程求解。
假设平面的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线的参数方程为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct将直线的参数方程代入平面的方程，可以得到一个关于参数t的二次方程：A(x0+at) + B(y0+bt) + C(z0+ct) + D = 0通过求解这个二次方程，可以得到直线与平面的交点坐标。
2.直线的斜率直线的斜率是表示直线的倾斜程度的一个重要指标，可以通过直线的参数方程求得。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的斜率可以表示为：m=(y2-y1)/(x2-x1)=(y0+b*t2-y0-b*t1)/(x0+a*t2-x0-a*t1)=b/a因此，直线的斜率可以通过参数a和b的比值得到。
当a=0时，直线是垂直于x轴的；当b=0时，直线是垂直于y轴的。
3.直线的长度直线的长度可以通过参数方程和积分来求解。
考虑直线上两个点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，它们对应的参数分别为t1和t2、直线的长度可以表示为：L = ∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt (t=t1到t2)其中 dx/dt 和 dy/dt 分别是直线参数方程关于 t 的导数。
将直线的参数方程代入到上式中，化简可得：L = ∫√(a²+b²) dt (t=t1到t2)=√(a²+b²)*(t2-t1)因此，直线的长度可以通过直线参数方程中的参数a和b计算得到。
4.直线的切线和法线y = y0 + (dy/dt) * (t-t0)其中 dy/dt 是直线参数方程关于 t 的导数。
直线系方程及其应用直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线族所满足的其它条件确定出参数的值，进而求出直线方程。
一、直线系方程的定义具有某一个共同性质的直线的集合叫做直线系，它的方程叫做直线系方程。
二、直线系方程的常见类型1、过定点),(00y x P 的直线系方程是：)(00x x k y y -=-（k 是参数，直线系中未包括直线0x x =），也就是平常所提到的直线的点斜式方程；2、平行于已经直线0=++C By Ax 的直线系方程是：0=++λBy Ax （λ是参数）；3、垂直于已经直线0=++C By Ax 的直线系方程是：0=+-λAy Bx （λ是参数）；4、过两条已知直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A 的交点的直线系方程是：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ是参数，当0=λ时，方程变为0111=++C y B x A ，恰好表示直线1l ；当0≠λ时，方程表示过直线1l 和2l 的交点，但不含直线1l 和2l 的任一条直线）。
三、直线系方程的应用由于两个独立条件确定一条直线，因此，在求直线方程时，可根据直线系概念，先写出满足其中一个条件的直线系方程，然后用另一个条件求出直线系方程中的参数，即得我们所要求解的直线方程。
平常实际教学中，直线系方程第一、第二和第三种常见类型我们用的比较多，而直线系方程第四种常见类型也有很好的用处。
下面主要阐述直线系方程第四种常见类型的应用。
例1、已知三角形三边所在的直线方程分别为：042=+-y x ，07=-+y x ，01472=--y x ，求边01472=--y x 上的高所在的直线方程。
分析：此题解题方法比较多，常规方法计算较多，若引入直线系方程，则运算简便，解法精彩。
解析：设所求高所在的直线方程为0)7(42=-+++-y x y x λ，即0)74()1()2(=-+-++λλλy x ，则由0)74()1()2(=-+-++λλλy x 与01472=--y x 垂直，可得0)7()1(2)2(=-⨯-+⨯+λλ，解得511=λ， 所以所求高所在的直线方程为01927=-+y x 。
直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。
高考数学中的直线方程高考数学中的知识点众多，而直线方程是其中比较常见且基础的知识点之一。
直线方程是指在平面直角坐标系中，描述一条直线的方程式。
了解直线方程是高中数学的基础，也是在高考数学中取得好成绩的必备知识点。
下面将从什么是直线方程、直线方程的种类、怎样求直线方程三个方面对直线方程进行详细的介绍。
一、什么是直线方程在平面直角坐标系中，一条直线上任意两点的坐标（x1, y1）和（x2, y2）之间总是存在一定的关系，我们可以通过确定这种关系来描述这条直线的方程式。
通常我们使用一元一次方程式来描述一条直线，即y=ax+b的形式。
其中，a和b是常数，而x和y则是未知数。
在这种形式下，a决定了这条直线的斜率，而b则决定了这条直线和y轴的交点。
二、直线方程的种类在高考数学中，我们需要掌握三种直线方程的形式：斜截式、点斜式和一般式。
下面我们分别进行详细介绍。
1.斜截式斜截式指的是y=ax+b的形式，其中a是这条直线的斜率，而b则是这条直线和y轴的交点。
在斜截式中，a的值决定了这条直线的斜率，也就是这条直线的倾斜程度。
当a的值为正数时，这条直线呈现上升的趋势；当a的值为负数时，则呈现下降的趋势。
而当a的值为0时，则表示这条直线为水平线。
在计算斜率时，通常我们需要注意两点之间的水平距离是否为0，如果是，则斜率不存在。
2.点斜式点斜式指的是y-y1=k(x-x1)的形式，其中k是这条直线的斜率，而（x1，y1）是这条直线上的一个点的坐标。
在点斜式中，我们需要发现这条直线的斜率，以及找到该直线上的一个点，然后通过点斜式计算出直线方程。
在计算时，我们可以使用任意一个点，因此对于一条直线，可以使用多个不同的点来计算直线方程。
3.一般式一般式指的是Ax+By+C=0的形式，在一般式中，A、B和C都是常数，而x和y为未知数。
在使用一般式来求解直线方程时，我们通常需要将其转化为斜截式或者点斜式。
具体的转化方式可以通过数学公式和推导来实现，在高考数学中，我们需要掌握这些转化方式，以便快速的解决具体的问题。
高考数学难点突破_难点21__直线方程及其应用直线方程及其应用是高考数学中的一个难点，学生在解题时常常容易出错。
下面我将就直线方程及其应用中的难点进行详细解析，帮助学生突破这一难点。
直线方程的一般式为：Ax+By+C=0，其中A、B、C为实数且A与B不同时为0，这是直线的一般表达式。
针对直线方程的难点，主要包括以下内容：1. 直线的一般方程与斜率截距方程之间的转换。
直线的一般方程通过整理可将其转换为斜率截距方程y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线与y轴的交点，也称为直线的截距。
此时，直线方程中A、B、C的值与斜率k和截距b之间存在一定的关系，学生需要掌握它们之间的转换方法。
2.直线的斜率计算。
直线的斜率可以通过两个点的坐标计算得到，斜率的计算公式为k=(y2-y1)/(x2-x1)。
在计算斜率时，学生常常会出现计算错误，需要仔细核对计算过程。
3. 直线与直线的关系。
直线与直线之间有三种相对关系：平行、重合和相交。
学生需要通过求解直线方程组来判断两条直线之间的关系。
在求解直线方程组时，常用的方法有代入法、消元法和Cramer法则等，学生需要掌握这些方法，并在解题过程中选择合适的方法。
4.直线与圆的关系。
直线与圆之间存在两种相对关系：相离和相切。
相离时，直线与圆没有交点；相切时，直线与圆有且只有一个交点。
学生在解题时需要掌握直线与圆的方程，如圆心半径方程、一般二次方程等，并通过解方程来求解直线与圆的交点。
在解题时，学生可以通过以下方法来突破难点：1.理解直线与斜率的关系。
学生需要理解直线的斜率是直线与x轴夹角的正切值，即斜率越大，直线越倾斜；斜率为正，直线向右上方倾斜；斜率为负，直线向右下方倾斜。
通过理解斜率的概念，可以更加灵活地应用直线方程及其应用。
2.多做习题，增加对知识点的熟练度。
学生在解题时应多做一些练习题，熟练掌握直线方程及其应用的解题方法和技巧，善于总结归纳。
3.注意题目中的条件和要求。
高考数学直线方程知识点数学是高中学业水平测试中的重要科目之一，而直线方程是数学中的基础知识点之一。
掌握直线方程的相关知识对于解题和应用数学思维具有重要意义。
本文将介绍高考数学中关于直线方程的知识点，帮助学生深入了解和掌握这一内容。
1. 直线方程的一般式和斜截式在高考数学中，直线方程通常以一般式和斜截式来表示。
一般式使用 Ax + By + C = 0 的形式，其中 A、B、C 为常数。
斜截式使用 y = kx + b 的形式，其中 k 为斜率，b 为截距。
这两种表示方式可以相互转化，但需要根据具体问题进行转换。
2. 直线方程的斜率和截距斜率和截距是直线方程中的重要概念。
斜率表示了直线的倾斜程度，可以用两个点的纵坐标之差除以横坐标之差来表示。
斜截式的斜率即为直线的斜率。
截距表示了直线与纵轴的交点在纵轴上的坐标，即直线在 y 轴上的截距。
斜截式的截距即为直线的截距。
3. 直线方程的平行和垂直关系在直线方程中，平行和垂直是两种重要的关系。
两条直线平行时，它们的斜率相等；两条直线垂直时，它们的斜率乘积为-1。
根据这些特性，可以判断两条直线是否平行或垂直，并且可以求出平行或垂直直线的方程。
4. 直线方程的应用直线方程在实际应用中有广泛的应用。
例如，在几何问题中，可以通过直线方程来描述两点之间的直线关系，计算线段的长度等；在经济学中，可以通过直线方程来表示成本与产量的关系，进行经济分析等。
掌握直线方程的应用方法，可以帮助学生解决实际问题，提高数学解题能力。
5. 直线方程的解法和图象表示解直线方程的问题通常涉及求解交点、判断位置关系等。
对于一般式的直线方程，可以通过代入和求解方程组的方法来求解；对于斜截式的直线方程，可以直接读出截距和斜率来求解。
此外，直线方程还可以通过绘制直线图象来表示，通过图象来进行可视化的解决问题。
6. 注意事项和解题技巧在学习直线方程时，需要注意以下几个方面。
首先，要熟练掌握直线方程的转化和求解方法，避免在复杂问题中出现计算错误。
直线方程的求法及应用直线是描述平面上一条无限延伸的线段，我们可以用数学方法来描述这条线段。
直线的一般式方程是Ax+By+C=0,其中A、B、C是实数，且A²+B²≠0。
这篇文章将深入探讨直线的求法和应用。
一、斜率截距式斜率截距式是直线方程的一种常用形式。
它是 y=kx+b 的形式，其中 k 是斜率，b 是截距。
斜率表示直线上每单位 x 轴上的 y 值的变化量，截距表示 y 轴截距。
如果给定斜率和截距的值，我们可以轻松地找出直线的方程 y=kx+b。
例如，给定直线的斜率 k=3 和截距 b=2，我们可以列出直线的方程y=3x+2 。
斜率截距式是一个有用的工具，它可以用于描述直线的性质，例如是否向上/向下、斜率大小以及与 y 轴的截距（截距是不考虑斜率时的 y 值）等。
二、点斜式点斜式常用于已知直线经过某个点的情况下，求直线的方程。
假设已知直线经过点 (x₁,y₁) 且斜率为 k，则直线的点斜式方程为 y-y₁=k(x-x₁)。
例如，如果直线经过点 (2,4) 且斜率为 3，则直线的点斜式方程为 y-4=3(x-2)。
我们可以通过简单的代数计算，将点斜式转换为 y=kx+b 的斜率截距式。
三、两点式两点式用于已知直线经过两个点的情况下，求直线的方程。
假设已知直线上的两个点分别为 P(x₁,y₁) 和 Q(x₂,y₂)，则直线的两点式方程为 (y-y₁)/(x-x₁)=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)。
例如，如果直线上的两个点分别为 P(3,4) 和 Q(5,8)，则直线的两点式方程为 (y-4)/(x-3)=(8-4)/(5-3)。
我们也可以通过代数计算，将两点式转换为 y=kx+b 的斜率截距式。
四、应用直线方程是一种有用的工具，可在许多领域中应用，如测绘、物理学和工程学等。
例如，如果需要建立新的一条公路或修建一座桥梁，我们需要知道直线的方程，以确定斜率和截距等必要信息。
直线方程还可用于计算平面几何中两点之间的距离，并且可用于描述电路、音频波形和图像等。
直线方程揭秘直线方程的求解和应用直线方程揭秘：直线方程的求解和应用直线是我们生活中常见的几何形状之一，也是数学中重要的概念。
而直线方程，则是描述直线的数学工具之一。
在本文中，我们将揭秘如何求解直线方程以及其在应用中的重要性。
一、直线方程的定义在平面直角坐标系中，一条直线可以由其斜率和截距来描述。
斜率表示直线的倾斜程度，截距表示直线与坐标轴的交点位置。
因此，直线方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。
二、直线方程的求解方法基于直线方程的定义，我们可以通过以下两种方法求解直线方程。
1. 两点法已知直线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以根据坐标差值计算斜率k，并利用其中一点的坐标代入直线方程求解截距b。
具体求解步骤如下：步骤一：计算斜率kk = (y2 - y1) / (x2 - x1)步骤二：代入一点的坐标求解截距bb = y - kx，其中(x, y)为已知点A或B的坐标。
2. 点斜式法已知直线上的一点A(x1, y1)和斜率k，我们可以通过点斜式直接写出直线方程。
具体求解步骤如下：步骤一：直接写出直线方程y - y1 = k(x - x1)三、直线方程的应用直线方程在几何和物理等领域有广泛的应用，下面介绍几个常见的例子。
1. 直线的图像绘制通过直线方程，我们可以绘制出直线在平面直角坐标系中的图像。
例如，对于y = 2x + 1这条直线，我们可以根据不同的x值计算对应的y值，并将这些点连线得到图像。
2. 直线方程的相交与平行判断通过直线方程，我们可以判断两条直线是否相交或平行。
两条直线相交当且仅当它们的斜率不相等，即k1 ≠ k2。
两条直线平行当且仅当它们的斜率相等，且截距不相等，即k1 = k2 且b1 ≠ b2。
3. 直线的最短距离计算直线方程可以帮助我们计算点到直线的最短距离。
例如，已知一点P(x0, y0)和直线方程y = kx + b，我们可以使用以下公式计算点P到直线的最短距离d：d = |kx0 - y0 + b| / sqrt(k^2 + 1)4. 直线的斜截式表示除了一般的直线方程y = kx + b外，我们还可以将直线方程表示为斜截式y = mx + c的形式，其中m代表斜率，c代表直线与y轴的交点。
难点21 直线方程及其应用直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容.应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的.●难点磁场(★★★★★)已知|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1,求证：abc +2＞a +b +c .●案例探究［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？命题意图：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值.错解分析：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tan ACB 的最大值.如果坐标系选择不当，或选择求sin ACB 的最大值.都将使问题变得复杂起来.技巧与方法：欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值.解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值.由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、(b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为：k AC =tan xCA =xa a -ααcos sin , .cos sin tan xb b xCB k BC -==αα 于是tan ACB =AC BC AC BC k k k k ⋅+-1ααααcos )(sin )(cos )(sin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x xb a x x b a ab x b a 由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则tan ACB ≤ααcos )(2sin )(b a ab b a +-⋅-,当且仅当xab =x ，即x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生距离镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最佳.［例2］预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解，属★★★★★级题目.知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解.错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设.技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解.解：设桌椅分别买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x x y x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得 ∴A 点的坐标为(7200，7200) 由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得 ∴B 点的坐标为(25，275) 所以满足约束条件的可行域是以A (7200，7200)，B (25，275)，O (0，0)为顶点的三角形区域(如右图)由图形直观可知，目标函数z =x +y 在可行域内的最优解为(25，275)，但注意到x ∈N ,y ∈N *,故取y =37. 故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.［例3］抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y 2=2px (p ＞0).一光源在点M (441,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，折射后又射向抛物线上的点Q ，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l ：2x －4y －17=0上的点N ，再折射后又射回点M (如下图所示)(1)设P 、Q 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，证明：y 1²y 2=－p 2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M 关于PN 所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由.命题意图：对称问题是直线方程的又一个重要应用.本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力，属★★★★★★级题目.知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程.错解分析：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ 的斜率不存在时.技巧与方法：点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键.(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F (2p ，0)， 设直线PQ 的方程为y =k (x －2p ) ① 由①式得x =k 1y +2p ,将其代入抛物线方程y 2=2px 中，整理，得y 2－k p 2y －p 2=0,由韦达定理，y 1y 2=－p 2.当直线PQ 的斜率角为90°时，将x =2p 代入抛物线方程，得y =±p ,同样得到y 1²y 2= －p 2.(2)解：因为光线QN 经直线l 反射后又射向M 点，所以直线MN 与直线QN 关于直线l 对称，设点M (441，4)关于l 的对称点为M ′(x ′,y ′)，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+'⨯-+'⨯-=⨯-'-'017244244121214414y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-='='1451y x 直线QN 的方程为y =－1,Q 点的纵坐标y 2=－1，由题设P 点的纵坐标y 1=4，且由(1)知：y 1²y 2=－p 2,则4²(－1)=－p 2,得p =2,故所求抛物线方程为y 2=4x .(3)解：将y =4代入y 2=4x ,得x =4，故P 点坐标为(4，4)将y =－1代入直线l 的方程为2x －4y －17=0,得x =213, 故N 点坐标为(213，－1) 由P 、N 两点坐标得直线PN 的方程为2x +y －12=0,设M 点关于直线NP 的对称点M 1(x 1,y 1)⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+++⨯-=-⨯--14101224244121)2(4414111111y x y x x y 解得则又M 1(41,－1)的坐标是抛物线方程y 2=4x 的解，故抛物线上存在一点(41，－1)与点M关于直线PN 对称.●锦囊妙计1.对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等.2.对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称.中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具.3.线性规划是直线方程的又一应用.线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域.求线性目标函数z =ax +by 的最大值或最小值时，设t =ax +by ,则此直线往右(或左)平移时，t 值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解.4.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)设M =120110,1101102002200120012000++=++N ，则M 与N 的大小关系为( ) A.M ＞N B.M =N C.M ＜N D.无法判断2.(★★★★★)三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为( )A.15B.30C.36D.以上都不对二、填空题3.(★★★★)直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是_________.4.(★★★★)自点A (－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0相切，则光线l 所在直线方程为_________.5.(★★★★)函数f (θ)=2cos 1sin --θθ的最大值为_________，最小值为_________. 6.(★★★★★)设不等式2x －1＞m (x 2－1)对一切满足|m |≤2的值均成立，则x 的范围为_________.三、解答题7.(★★★★★)已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上.(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.8.(★★★★★)设数列{a n }的前n 项和S n =na +n (n －1)b ，(n =1,2,…),a 、b 是常数且b ≠0.(1)证明：{a n }是等差数列.(2)证明：以(a n ,n S n －1)为坐标的点P n (n =1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程. (3)设a =1,b =21,C 是以(r ,r )为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围.参考答案 难点磁场证明：设线段的方程为y =f (x )=(bc －1)x +2－b －c ,其中|b |＜1,|c |＜1,|x |＜1,且－1＜b ＜1. ∵f (－1)=1－bc +2－b －c =(1－bc )+(1－b )+(1－c )＞0f (1)=bc －1+2－b －c =(1－b )(1－c )＞0∴线段y =(bc －1)x +2－b －c (－1＜x ＜1)在x 轴上方，这就是说，当|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1时，恒有abc +2＞a +b +c .歼灭难点训练一、1.解析：将问题转化为比较A (－1，－1）与B (102001，102000）及C (102002，102001）连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y =101x ，点A 在直线的下方，∴k AB ＞k AC ,即M ＞N .答案：A2.解析：设三角形的另外两边长为x ,y ,则 ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<≤<11110110y x y x点(x ,y ）应在如右图所示区域内当x =1时，y =11；当x =2时，y =10,11；当x =3时，y =9,10,11；当x =4时，y =8,9,10,11;当x =5时，y =7,8,9,10,11.以上共有15个，x ,y 对调又有15个，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六组，所以共有36个.答案：C二、3.解析：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点.答案：P (5，6）4.解析：光线l 所在的直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切.答案：3x +4y －3=0或4x +3y +3=05.解析：f (θ)=2cos 1sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率. 答案：34 0 6.解析：原不等式变为(x 2－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,则f (－2)＜0,且f (2)＜0. 答案：213217+<<-x 三、7.(1)证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，由题设知x 1＞1,x 2＞1,点A (x 1,log 8x 1),B (x 2,log 8x 2). 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,又点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1）、(x 2,log 2x 2).由于log 2x 1=3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,则228222118112log 3log ,log 3log x x x x k x x x x k OD OC ====由此得k OC =k OD ,即O 、C 、D 在同一直线上.(2)解：由BC 平行于x 轴，有log 2x 1=log 8x 2,又log 2x 1=3log 8x 1∴x 2=x 13 将其代入228118log log x x x x =,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1, 由于x 1＞1知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1x 2=3,于是A (3，log 83).9.(1)证明：由条件，得a 1=S 1=a ,当n ≥2时，有a n =S n －S n －1=［na +n (n －1)b ］－［(n －1)a +(n －1)(n －2)b ］=a +2(n －1)b . 因此，当n ≥2时，有a n －a n －1=［a +2(n －1)b ］－［a +2(n －2)b ］=2b .所以{a n }是以a 为首项，2b 为公差的等差数列.(2)证明：∵b ≠0,对于n ≥2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(11=--=--+--+=----b n b n a b n a a a b n n na a a S n S n n ∴所有的点P n (a n ,nS n －1)(n =1,2,…)都落在通过P 1(a ,a －1)且以21为斜率的直线上.此直线方程为y －(a －1)= 21 (x －a ),即x －2y +a －2=0. (3)解：当a =1,b =21时，P n 的坐标为(n ,22-n ),使P 1(1,0)、P 2(2, 21)、P 3(3,1)都落在圆C 外的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->-+->+-222222222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->+->-010*******)1(222r r r r r 即 由不等式①,得r ≠1由不等式②，得r ＜25－2或r ＞25+2 由不等式③，得r ＜4－6或r ＞4+6再注意到r ＞0,1＜25－2＜4－6=25+2＜4+6 故使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,25－2)∪(4+6,+∞). ① ② ③。
