下载文档原格式
§1.5 函数的连续性一、函数的连续性1.改变量(增量)： 定义1.9 当自变量由初值0x 变化到终值x 时，终值与初值之差0x x -称为自变量的改变量，记为0x x x ∆=-(0x x x ⇒=+∆).图象演示相应地函数()y f x =由初值0()f x 变化到终值()f x 时，终值与初值之差0()()f x f x -称为函数的改变量，记为0()()y f x f x ∆=-即00()()y f x x f x ∆=+∆-2.连续的定义： 定义1.10 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，如果当自变量x 在点0x 处取得的改变量x ∆趋于0时，对应的函数改变量y ∆也趋于0，即0lim 0x y ∆→∆= 或000lim[()()]0x f x x f x ∆→+∆-= 则称函数()y f x =在点0x 处连续.图象演示由于0x x x ∆=-，当0x ∆→时0x x →，而0x x x =+∆，所以000lim[()()]0x f x x f x ∆→+∆-=等价于00lim[()()]0x x f x f x →-=，即00lim ()()x x f x f x →=定义1.11 设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，如果00lim ()()x x f x f x →=，则称函数()y f x =在点0x 处连续.函数()y f x =在点0x 处连续必须同时满足三个条件：(1)函数()y f x =在点0x 处有定义；(2)0lim ()x x f x →存在； (3)00lim ()()x x f x f x →=；例1 讨论cos 0()1sin 0x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩，在0x =处的连续性.解：(0)1sin01f =+=00lim ()lim cos 1x x f x x --→→==00lim ()lim(1sin )1x x f x x ++→→=+=图象演示0lim ()1x f x →∴=0lim ()(0)x f x f →∴=()f x ∴在0x =处连续.定义1.12 如果函数()y f x 在开区间(,)a b 内每一点都连续，则称()f x 在(,)a b 内连续.如果函数()f x 满足00lim ()()x x f x f x -→=，则称函数在点0x 处左连续．．．；如果函数()f x 满足00lim ()()x x f x f x +→=，则称函数在点0x 处右连续．．．； 如果函数()f x 在(,)a b 内连续，且在左端点a 处右连续，在右端点b 处左连续，则称()f x 在闭区间．．．[,]a b 上连续．．．.利用函数的连续性求极限：如果函数在某点连续，求该点的极限，只需求该点的函数值即可.例2 220ln()ln(0)lim 11cos 1cos0x x e e x →++==++. 对于连续函数，极限符号与函数符号可以交换，因为000lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==.例31 00ln(1)lim limln(1)x x xxxx→→+=+=1ln[lim(1)]ln1xxx e→+==二、函数的间断点定义 1.13 如果函数()y f x 在点0x 处不满足连续条件，则称0x 为函数()f x 的间断点.如果函数()y f x =在点0x 处有下列三种情况之一，则点0x 为函数()f x 的一个间断点.(1)()f x 在点0x 处没有定义；(2)0lim ()x x f x →不存在； (3)0lim ()x x f x →存在，但00lim ()()x x f x f x →≠例4讨论1()1f xx=-在1x=处的连续性.解：1()1f xx=-在1x=处没有定义，所以1()1f xx=-在1x=处间断. 图例5 讨论0()0x e x f x x x -⎧≤=⎨>⎩在0x =处的连续性.解：0(0)1f e ==因为00lim ()lim 1x x x f x e ---→→== 而00lim ()lim 0x x f x x ++→→== 所以0lim ()x f x →不存在 所以()f x 在0x =处间断. 图例6 讨论11()11x x f x x +≠⎧=⎨=⎩在1x =处的连续性. 解：(1)1f =因为11lim ()lim(1)2x x f x x →→=+= 所以1lim ()(1)x f x f →≠ 所以()f x 在1x =处间断. 图三、连续函数的运算定理1.10 如果函数()f x 与()g x 在点0x 处连续，则它们的和、差、积、商(分母不为0)在点0x 处也连续.连续函数的反函数仍是连续函数；两个连续函数的复合函数仍是连续函数.基本初等函数在其有定义的区间上都是连续函数.一般初等函数在其有定义的区间上也都是连续函数.四、闭区间上连续函数的主要性质定理1.11 (最大值和最小值定理)如果函f x在闭区间上连续，则它在该区间上一定数()有最大值和最小值.图定理1.12 (介值定理)如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，m 与M 分别为()f x 在闭区间[,]a b 上的最小值与最大值，则对于介于m 与M 之间的任一实数c (m c M <<)，至少存在一点ξ(a b ξ<<),使得()f c ξ=.图推论 如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()0f ξ=.图。
红星照耀中国第一章第五节概括
《红星照耀中国》第一章第五节主要讲述了中国共产党领导下的农村
改革和土地改革运动。
在这一节中，作者首先介绍了中国农村面临的
土地问题，包括地主和农民之间的不公平地主权益占有和农民贫困等。
接着，作者描述了中国共产党及其领导下的农民运动和土地改革运动
的起源和发展。
中国共产党通过组织和动员农民群众，推动了土地革
命和农民自我解放的进程，以实现农民对土地和生产资料的公平分配
和占有。
这一节还介绍了中国共产党在农村地区的组织与运动的一些
重要经验和方法，如建立农村革命根据地和农村党组织等。
最后，作
者强调了农村革命和土地改革是中国共产党的基本路线，为中国的革
命事业作出了重要贡献，并对未来农村工作的重要意义进行了展望。
鲁滨逊漂流记第一章第五节风暴主要内容鲁滨逊出身于一个体面的商人家庭，渴望航海，一心想去海外见识一番。
他瞒着父亲出海，第一次航行就遇到大风浪，船只沉没，他好不容易才逃出性命。
第二次出海到非洲经商，赚了一笔钱。
第三次又遭不幸，被摩尔人俘获，当了奴隶。
后来他划了主人的小船逃跑，途中被一艘葡萄牙货船救起。
船到巴西后，他在那里买下一个庄园，做了庄园主。
他不甘心于这样的发财致富，又再次出海，到非洲贩卖奴隶。
船在途中遇到风暴触礁，船上水手、乘客全部遇难，唯有鲁滨逊幸存，只身飘流到一个杳无人烟的孤岛上。
他用沉船的桅杆做了木筏，一次又一次地把船上的食物、衣服、枪支弹药、工具等运到岸上，并在小山边搭起帐篷定居下来。
接着他用削尖的木桩在帐篷周围围上栅栏，在帐篷后挖洞居住。
他用简单的工具制作桌、椅等家具，猎野味为食，饮溪里的水，度过了最初遇到的困难。
他开始在岛上种植大麦和稻子，自制木臼、木杵、筛子，加工面粉，烘出了粗糙的面包。
他捕捉并驯养野山羊，让其繁殖。
他还制作陶器等等，保证了自己的生活需要。
虽然这样，鲁滨逊一直没有放弃寻找离开孤岛的办法。
他砍倒一棵大树，花了五六个月的时间做成了一只独木舟，但船实在太重，无法拖下海去，只好前功尽弃，重新另造一只小的。
鲁滨逊在岛上独自生活了17年后，一天，他发现岛边海岸上都是人骨，生过火，原来外岛的一群野人曾在这里举行过人肉宴。
鲁滨逊惊愕万分。
此后他便一直保持警惕，更加留心周围的事物。
直到第24年，岛上又来了一群野人，带着准备杀死、吃掉的俘虏。
鲁滨逊发现后，救出了其中的一个。
鲁滨孙把被救的土人取名为“星期五”。
此后，“星期五”成了鲁滨逊忠实的仆人和朋友。
接着，鲁滨逊带着“星期五”救出了一个西班牙人和“星期五”的父亲。
不久有条英国船在岛附近停泊，船上水手闹事，把船长等三人抛弃在岛上，鲁滨逊与“星期五”帮助船长制服了那帮水手，夺回了船只。
他把那帮水手留在岛上，自己带着“星期五”和船长等离开荒岛回到英国。
