二项式定理(理)(基础)

二项式定理高中
二项式定理是高中数学中的一个重要概念，它是代数学中的一个基本公式，也是组合数学中的一个重要定理。

该定理表明，对于任意实数a和b以及正整数n，有如下公式：
(a+b)^n = C(n,0)*a^n + C(n,1)*a^(n-1)*b + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a*b^(n-1) + C(n,n)*b^n
其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也就是n个元素中取k个元素的方案数，其计算公式为：
C(n,k) = n! / (k!*(n-k)!)
二项式定理的应用非常广泛，它可以用于求解各种代数式的展开式，也可以用于计算组合问题中的方案数。

在高中数学中，二项式定理通常是在数学归纳法的证明中使用，也是学习排列组合的基础。

需要注意的是，二项式定理只适用于整数幂，对于非整数幂的情况，需要使用泰勒公式进行展开。

此外，在计算组合数时，需要注意排列和组合的区别，以及重复元素的情况。

总之，二项式定理是高中数学中的一个重要概念，它不仅具有理论意义，还有广泛的应用价值。

在学习过程中，需要认真理解其定义和应用方法，掌握相关的计算技巧，才能更好地应用于实际问题中。

数学高考知识点二项式数学是一门令人又爱又恨的科目，对于许多人来说，高考数学可能是他们最头疼的问题之一。

而在高考数学中，二项式是个非常重要的知识点。

它不仅出现频率高，考点多，而且与概率、函数等其他知识点密切相关。

接下来，我将从不同角度论述二项式的相关知识。

一、基础概念二项式由两个整数指数的代数和组成，通常形式为a^m + b^n，其中m和n是非负整数，a和b是实数或复数，且a不等于0或1。

二项式函数是二项式的一般形式，表示为f(x) = a(x-b)^m，其中m是非负整数，a和b是实数。

在高考中，我们经常需要对二项式进行简化、展开、求系数、判断整除性等基础操作。

二、二项式定理二项式定理是高考中的一个重要公式，它被广泛应用于高中数学和概率论等领域。

二项式定理的公式为(a+b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 + C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + ... + C(n,n-1)·a^1·b^(n-1) +C(n,n)·a^0·b^n。

其中C(n, r)表示从n个元素中选择r个元素的组合数，也可以表示为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!))。

三、二项式在概率论中的应用二项式在概率论中有着广泛的应用。

以掷硬币为例，当我们将一枚硬币掷n次时，出现正面朝上次数的概率可以使用二项式计算。

当硬币掷出正面的概率为p时，掷n次硬币出现k次正面的概率可以表示为P(X=k) = C(n, k)·p^k·(1-p)^(n-k)。

这个公式也被称为二项分布。

在高考中，我们经常通过二项分布来计算概率问题，如抽样调查、某种产品合格率等。

四、二项式与函数的性质二项式的展开形式可以表示为多项式形式的函数。

在高考数学中，我们可以根据二项式定理来展开任意多项式，从而求解函数的特定值。

此外，二项式还可以用来证明一些函数的性质，如多项式函数的对称性、奇偶性等。

二项式定理及其应用二项式定理是数学中非常基础的一个定理，它的重要性不亚于勾股定理和皮克定理。

在高中数学学习中，学生一定会接触到它，它被广泛应用于高中数学乃至进一步的数学学习中。

下面我们就来介绍一下什么是二项式定理以及它的应用。

一、二项式定理的定义二项式定理又称为二项式展开定理，是可以展开(a+b)^n的定理。

其中a、b为任意数，n为正整数。

它的一般形式为：(a+b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 + C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + … + C(n,k)·a^(n-k)·b^k + … + C(n,n)·a^0·b^n其中C(n,k)表示组合数。

二、组合数的定义组合数是数学中一个非常重要的概念，它的作用非常广泛，不仅仅在二项式定理中使用，还在概率论、统计学、组合数学等多个领域中都有应用。

组合数C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，公式为：C(n,k) = n!/(k!(n-k)!),其中0≤k≤n，n!表示n的阶乘。

三、二项式定理的应用1.幂的展开(a+b)^n = C(n,0)·a^n·b^0 + C(n,1)·a^(n-1)·b^1 + … + C(n,k)·a^(n-k)·b^k + … + C(n,n)·a^0·b^n中，幂的展开就是应用二项式定理的一个实际应用。

例如：(2x+3)^3 = C(3,0)·2^3·3^0 + C(3,1)·2^2·3^1 + C(3,2)·2^1·3^2 + C(3,3)·2^0·3^3 = 8x^3+36x^2+54x+272.排列组合排列组合问题是组合数学中的一个重要分支，可以通过二项式定理来解决。

二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的； 第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。

二项式定理【学习目标】1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的法． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【要点梳理】 要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n ,都有：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110)((*N n ∈)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。

式中的rn rr n C ab -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r rr nT C a b -+=， 其中的系数rn C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， 2．二项式(a+b)n的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为rn C ，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅L L (*N n ∈) ②122(1)1n r r nn n n x C x C x C x x +=++++++L L要点二、二项展开式的通项公式公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是rn C ； ②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n 。

要点诠释：（1）二项式(a+b)n的二项展开式的第r+1项r n rr n C ab -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）。

二项式定理常用推论二项式定理是高中数学中的重要定理之一，它描述了一个二次多项式的展开形式。

在二项式定理的基础上，还有一些常用的推论，这些推论在数学中具有广泛的应用。

本文将介绍几个常用的二项式定理推论。

一、二项式定理的推论一：二项式系数的性质在二项式定理中，展开式的每一项都可以表示为C(n, k) * a^(n-k) * b^k的形式，其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。

根据组合数的性质，我们可以得到二项式系数的一些重要性质：1. C(n, k) = C(n, n-k)：这是组合数的对称性质，表示从n个元素中选择k个元素和选择n-k个元素的组合数是相等的。

2. C(n, k) = C(n-1, k) + C(n-1, k-1)：这是组合数的递推关系，表示从n个元素中选择k个元素的组合数等于从n-1个元素中选择k个元素的组合数加上从n-1个元素中选择k-1个元素的组合数。

这些性质在概率论、组合数学等领域中具有广泛的应用，可以简化计算过程，提高效率。

二、二项式定理的推论二：二项式系数的和根据二项式定理，展开式的每一项都可以表示为C(n, k) * a^(n-k)* b^k的形式。

如果我们将这些项的系数相加，可以得到以下结果：1. (a+b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n2. (a+b)^n = C(n, 0) * a^n + C(n, 1) * a^(n-1) * b + ... + C(n, n) * b^n这个结果表明，如果将两个数a和b相加后再求幂，然后将展开式的系数相加，结果就等于将a和b分别求幂后再相加。

这个推论在代数运算中经常被使用，可以简化计算过程。

三、二项式定理的推论三：二项式系数的对称性在二项式定理的展开式中，每一项的系数都是由组合数C(n, k)给出的。

二项式定理例题100道带解析摘要：一、二项式定理的概念与基本性质1.二项式定理的定义2.二项式系数的性质3.二项式定理的应用场景二、二项式定理的求解方法1.直接展开法2.组合数计算法3.递推法4.矩阵法三、二项式定理的例题解析1.基础题型解析2.进阶题型解析3.难题解析四、二项式定理的拓展与应用1.多项式定理与二项式定理的关系2.二项式定理在其他领域的应用3.相关研究进展与发展正文：一、二项式定理的概念与基本性质1.二项式定理的定义二项式定理是数学中一个重要的定理，它揭示了二项式（a+b）的展开式中各项的系数和幂次的规律。

二项式定理的表述为：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ...+ C(n,n)b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的不同组合的个数。

2.二项式系数的性质二项式系数具有以下性质：性质1：C(n,k) = C(n,n-k)性质2：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)性质3：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)3.二项式定理的应用场景二项式定理在数学分析、概率论、物理学等领域具有广泛的应用，例如求解二项式展开式的收敛性、求解概率论中的二项分布等问题。

二、二项式定理的求解方法1.直接展开法直接将二项式（a+b）^n展开，然后根据题目要求求解各项系数。

2.组合数计算法利用二项式系数的性质，通过计算组合数求解二项式定理的问题。

3.递推法利用二项式定理的性质，通过递推关系式求解问题。

4.矩阵法将二项式定理的问题转化为矩阵运算问题，然后利用矩阵的性质求解。

三、二项式定理的例题解析1.基础题型解析例如：(1+x)^5的展开式中，x的幂次为3的项的系数是多少？解析：利用二项式定理，可以直接求得系数为C(5,3) = 10。

2.进阶题型解析例如：求解不等式：(1+x)^6 > 1000解析：将不等式转化为二项式展开式的形式，然后根据二项式系数的性质，判断各项系数的符号，从而求解不等式。

二项式定理知识点二项式定理是高中数学中的重要知识点，也是进一步学习数学分析、概率论和数学推理的基础。

它是关于多项式的一个重要的数学定理，通过二项式定理，我们可以用简洁的方式表示多项式展开的结果。

在本文中，我们将深入探讨二项式定理的概念、性质以及应用。

首先，让我们来了解什么是二项式。

二项式是指两个单项式之和的代数式，其中包含两个不同的变量，每个变量的指数均为非负整数。

例如，(a + b)就是一个二项式，其中a和b为变量，且指数分别为1和0。

根据二项式定理，我们可以将二项式展开为多项式。

二项式定理的表述如下：对于任意非负整数n和实数a、b，有(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + C(n, 2)a^(n-2) b^2 + ... + C(n, n)a^0 b^n，其中C(n, k)表示组合数，计算公式为C(n, k) = n!/(k!(n-k)!)。

这个定理告诉我们，二项式(a + b)的展开式中的每一项都可以通过组合数进行系数的计算。

二项式定理的证明可以通过数学归纳法进行，但为了保持本文的简洁性，我将不涉及具体的证明过程。

而是着重介绍一些二项式定理的性质以及它的一些重要应用。

首先，二项式定理的性质之一是二项式展开式的系数的和等于2的n次方。

也就是说，展开式中每一项的系数相加，结果等于2的n次方。

这个性质可以通过将展开式中的每一项进行二项式系数的求和来证明。

二项式定理还可以用于计算多项式的平方、立方等高次幂。

通过使用二项式定理展开多项式的高次幂，我们可以更简洁地计算出结果。

另一个重要的应用是二项式定理在概率论中的应用。

在概率论中，我们经常需要计算一些事件的概率，而这些概率通常涉及到组合数的计算。

二项式定理为我们提供了一个快速计算组合数的方法，从而简化了概率计算的过程。

除此之外，二项式定理还在数学推理和数学分析中有重要的应用。

在数学推理中，我们经常需要进行代数式的变形和化简，而二项式定理可以帮助我们将复杂的代数式转化为更简单的形式。

2020年高考理科数学之高频考点解密28二项式定理(解析版)一、二项式定理的概念二项式定理是数学中非常重要的一个定理，它描述了二项式展开式的规律。

二项式定理的公式如下：$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{nk}b^k$其中，$C_n^k$ 表示组合数，表示从n个不同元素中选取k个元素的组合方式的总数。

组合数的计算公式为：$C_n^k = \frac{n!}{k!(nk)!}$其中，$n!$ 表示n的阶乘，即从1乘到n的连乘积。

二、二项式定理的应用1. 求解二项式展开式的系数：二项式定理可以帮助我们求解二项式展开式的系数。

例如，求解 $(x+2)^3$ 的展开式，可以使用二项式定理来计算各项的系数。

2. 求解二项式展开式的项数：二项式定理还可以帮助我们求解二项式展开式的项数。

例如，求解 $(x+1)^5$ 的展开式有多少项，可以使用二项式定理来计算。

3. 求解二项式展开式的通项公式：二项式定理还可以帮助我们求解二项式展开式的通项公式。

例如，求解 $(x+y)^4$ 的展开式的通项公式，可以使用二项式定理来推导。

三、二项式定理的例题解析为了更好地理解二项式定理的应用，下面我们将通过几个例题来进行解析。

例题1：求解 $(x+3)^4$ 的展开式。

解析：根据二项式定理，$(x+3)^4$ 的展开式可以表示为：$(x+3)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k x^{4k}3^k$计算各项的系数，得到展开式为：$(x+3)^4 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81$例题2：求解 $(x+1)^5$ 的展开式有多少项。

解析：根据二项式定理，$(x+1)^5$ 的展开式的项数等于 $C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$。

计算各项的系数，得到展开式的项数为：$C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32$因此，$(x+1)^5$ 的展开式共有32项。

第3讲二项式定理一、知识梳理1．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(2)通项：第k＋1项为T k＋1＝C k n a n－k b k．(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C k n(k＝0，1，2，…，n)．2．二项式系数的性质常用结论1．两个常用公式(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.2．二项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.3．三个易错点(1)二项式定理中，通项公式T k ＋1＝C k n a n －k b k是展开式的第k ＋1项，不是第k 项． (2)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在T k ＋1＝C k n a n －k b k 中，C k n 是该项的二项式系数，该项的系数还与a ，b 有关．(3)二项式系数的最值与指数n 的奇偶性有关．当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值．二、习题改编1．(选修2-3P31例2(1)改编)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数为________．解析：T k ＋1＝C k 5(2x )k ＝C k 52k x k ，当k ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40.答案：402．(选修2-3P31例2(2)改编)若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．解析：二项式系数之和2n＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k 6·x6－k ·⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 6x 6－2k ，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.答案：203．(选修2-3P41B 组T5改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为________．解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.答案：8一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a ＋b )n 的展开式中的第r 项是C r n an －r b r.( ) (2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)在(a ＋b )n 的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)通项T r ＋1＝C r n an －r b r 中的a 和b 不能互换．( ) (5)(a ＋b )n 展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)混淆“二项式系数”与“系数”致误；(2)配凑不当致误．1．在二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x n，的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．解析：由题意得2n ＝32，所以n ＝5.令x ＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1. 答案：－12．已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝________．解析：因为(1＋x )10＝[2－(1－x )]10，所以其展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 210－r ·C r 10(1－x )r，令r ＝8，得a 8＝4C 810＝180.答案：1803．(x ＋1)5(x －2)的展开式中x 2的系数为________．解析：(x ＋1)5(x －2)＝x (x ＋1)5－2(x ＋1)5展开式中含有x 2的项为－20x 2＋5x 2＝－15x 2.故x 2的系数为－15.答案：－15求二项展开式的特定项或系数(师生共研)(1)在⎝⎛⎭⎫x －12x 5的展开式中，x 2的系数为________．(2)在二项式⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a ＝________．【解析】 (1)⎝⎛⎭⎫x －12x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 5－r ⎝⎛⎭⎫－12x r＝⎝⎛⎭⎫－12rC r 5x 5－3r 2，令5－32r ＝2，得r ＝2，所以x 2的系数为C 25⎝⎛⎭⎫－122＝52.(2)⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ×⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 5a 5－r x 10－5r 2，令10－5r 2＝0，得r ＝4，所以C 45a5－4＝－10，解得a ＝－2. 【答案】 (1)52(2)－2求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤(1)利用通项将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .(3)代回通项得所求．1.⎝⎛⎭⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54B ．54C ．－1516D ．1516解析：选D.T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12rC r 6x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项为⎝⎛⎭⎫－124C 46＝1516. 2.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x 10的展开式中所有的有理项为________． 解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k 10⎝⎛⎭⎫－12kx10－2k3，由题意10－2k3∈Z ，且0≤k ≤10，k∈N .令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ，因为k ∈N ，所以r 应为偶数．所以r可取2，0，－2，即k 可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x 2，－638，45256x －2.答案：454x 2，－638，45256x －2二项式系数与各项系数和问题(师生共研)(1)在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405(2)若(1－x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝( ) A ．1 B ．513 C ．512D ．511【解析】 (1)由题意知4n 2n ＝64，得n ＝6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫3x r ＝3r C r 6x 6－3r 2，令6－3r2＝3，得r ＝2，则x 3的系数为32C 26＝135.故选C. (2)令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝－1，得|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.【答案】 (1)C (2)D“赋值法”普遍应用于恒等式，是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可．1.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( )A ．63x B ．4x C ．4x 6xD ．4x或4x 6x 解析：选A.令x ＝1，可得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中各项系数之和为2n ，即8<2n<32，解得n ＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C 24(x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＝63x . 2．若(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 9x 9，x ∈R ，则a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29的值为( ) A ．29 B ．29－1 C ．39D ．39－1解析：选D.(1＋x )(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝2，得a 0＋a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39，所以a 1·2＋a 2·22＋…＋a 9·29＝39－1.故选D.多项式的展开式问题(多维探究) 角度一 几个多项式的和的展开式问题在(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )11的展开式中，x 2项的系数是( )A ．55B ．66C ．165D ．220【解析】 展开式中x 2项的系数是C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 211＝C 34＋C 24＋…＋C 211＝…＝C 312，所以x 2项的系数是C 312＝220.故选D. 【答案】 D几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并．通常要用到方程或不等式的知识求解．角度二 几个多项式的积的展开式问题(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．24(2)(2020·南昌模拟)已知(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，则正实数a ＝________．【解析】 (1)展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34＋2C 14＝4＋8＝12.(2)(ax ＋1)6的展开式中x 2项的系数为C 46a 2，x 项的系数为C 56a ，由(x －1)(ax ＋1)6的展开式中含x 2项的系数为0，可得－C 46a 2＋C 56a ＝0，因为a 为正实数，所以15a ＝6，所以a ＝25. 【答案】 (1)A (2)25求解形如(a ＋b )m (c ＋d )n 的展开式问题的思路(1)若m ，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a ＋b )2·(c ＋d )n ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )n ，然后分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5·(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2.(3)分别得到(a ＋b )m ，(c ＋d )n 的通项，综合考虑．角度三 三项展开式的定项问题(1)(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3项的系数为( )A ．－210B ．210C ．30D ．－30(2)(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60【解析】 (1)(x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210.(2)(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )5－r ·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x 2＋x )3的展开式的通项为T k ＋1＝C k 3(x 2)3－k ·x k ＝C k 3x 6－k ，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.【答案】 (1)A (2)C三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．1．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n ∈N *)，若a 0＋a 1＋…＋a n ＝62，则log n 25等于________．解析：令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2)＝2（2n －1）2－1＝2n ＋1－2＝62，解得n ＝5，所以log n 25＝2.答案：22．在⎝⎛⎭⎫x －1x (2x －1)6的展开式中，x 3的系数是_________________________________． (用数字作答)解析：由题意得，⎝⎛⎭⎫x －1x (2x －1)6的展开式中含x 3的项为x C 46(2x )2(－1)4＋⎝⎛⎭⎫－1x C 26(2x )4(－1)2＝－180x 3，所以展开式中x 3的系数为－180.答案：－1803．在⎝⎛⎭⎫2＋x －x 2 0182 01712的展开式中，x 5项的系数为________． 解析：T r ＋1＝C r 12(2＋x )12－r ·⎝⎛⎭⎫－x 2 0182 017r，要出现x 5项，则r ＝0，T 1＝(2＋x )12，所以x 5项的系数为22C 1012＝4C 1012＝264.答案：264[基础题组练]1.⎝⎛⎭⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( ) A ．－3 2 B ．3 2 C ．6D ．－6解析：选D.通项T r ＋1＝C r 3⎝⎛⎭⎫2x 23－r(－x 4)r ＝C r 3(2)3－r ·(－1)r x －6＋6r ，当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6，故选D.2．(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数为( ) A ．50 B ．55 C ．45D ．60解析：选B.(1＋x )5＋(1＋x )6＋(1＋x )7的展开式中x 4的系数是C 45＋C 46＋C 47＝55.故选B. 3．(2020·四川成都实验外国语学校二诊)已知⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33x n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33x n 的各项系数的和为(1＋3)n ＝4n，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33x n的各项二项式系数的和为2n，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4n 2n ＝2n＝64，n ＝6.故选C.4．在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．－5 B ．－15 C ．－25D ．25解析：选B.因为(1－x )5＝(－x )5＋5x 4＋C 35(－x )3＋…，所以在(1－x )5·(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为5－2C 35＝－15.故选B.5．1＋(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数之和为( ) A ．2n －1 B ．2n －1 C ．2n ＋1－1D ．2n解析：选C.令x ＝1，得1＋2＋22＋…＋2n ＝1×（2n ＋1－1）2－1＝2n ＋1－1.6．(2020·湖南岳阳二模)将多项式a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0分解因式得(x －2)(x ＋2)5，则a 5＝( )A ．8B ．10C ．12D ．1解析：选A.(x －2)(x ＋2)5＝(x 2－4)·(x ＋2)4，所以(x ＋2)4的展开式中x 3的系数为C 14·21＝8，所以a 5＝8.故选A.7．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x －15展开式中的常数项是( )A ．12B ．－12C ．8D ．－8解析：选B.⎝⎛⎭⎫1x －15展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫1x 5－r(－1)r ＝(－1)r C r 5xr －5，当r －5＝－2或r －5＝0，即r ＝3或r ＝5时，展开式的常数项是(－1)3C 35＋2(－1)5C 55＝－12.故选B.8.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．21 C ．31D ．51解析：选D.因为⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15＝⎣⎡⎦⎤（x ＋1）＋1x 5＝C 05(x ＋1)5＋C 15(x ＋1)4·1x＋C 25(x ＋1)3·⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 35(x ＋1)2·⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 45(x ＋1)1·⎝⎛⎭⎫1x 4＋C 55⎝⎛⎭⎫1x 5. 所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋15展开式中的常数项为C 05·C 55·15＋C 15·C 34·13＋C 25·C 13·12＝51.故选D. 9．已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( )A ．1B ．243C ．121D ．122解析：选B.令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.故选B. 10．(2020·海口调研)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B ．12C ．1D ．2解析：选D.由题意得⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 10x 10－2k ，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.11．若(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n 等于( ) A ．2nB ．3n －12C ．2n ＋1D ．3n ＋12解析：选D.设f (x )＝(1＋x ＋x 2)n ， 则f (1)＝3n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ，① f (－1)＝1＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2n ，②由①＋②得2(a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝f (1)＋f (－1)， 所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝f （1）＋f （－1）2＝3n ＋12.12．已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A ．39B ．310C ．311D ．312解析：选D.对(x ＋2)9＝ a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝312，故选D.13．(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为________．解析：二项展开式的通项是T k ＋1＝C k 4(x y )4－k ·(－y x )k ＝(－1)k C k 4x 4－k 2y 2＋k 2，令4－k 2＝2＋k 2＝3，解得k ＝2，故展开式中x 3y 3的系数为(－1)2C 24＝6. 答案：614.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x >0)的展开式中的常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25(x >0)可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 10，因而T r ＋1＝C r 10⎝⎛⎭⎫1210－r (x )10－2r ，令10－2r ＝0，则r ＝5，故展开式中的常数项为C 510·⎝⎛⎭⎫125＝6322. 答案：6322 15．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则n ＝________，展开式中的第五项为________． 解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的二项式系数之和为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝1＋n ＋n （n －1）2＝37，则n ＝8，故展开式中的第五项为C 48·124·x ＝358x . 答案：8 358x 16．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝________．解析：(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，所以a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1. 因为13a ＝7b ，所以13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.所以13·（2m ）！m ！m ！＝7·（2m ＋1）！（m ＋1）！m ！. 所以m ＝6.答案：6[综合题组练]1．已知C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．31解析：选C.因为C 0n －4C 1n ＋42C 2n －43C 3n ＋…＋(－1)n 4n C n n＝729，所以(1－4)n ＝36，所以n ＝6，因此C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n －1＝26－1＝63，故选C.2．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12解析：选D.512 018＋a ＝(52－1)2 018＋a ＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…＋C 2 0172 018×52×(－1)2 017＋C 2 0182 018×(－1)2 018＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0182 018×(－1)2 018＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.3．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．解析：由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，11)．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.答案：64．设a ＝⎠⎛012x d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6的展开式中的常数项为________． 解析：a ＝⎠⎛012x d x ＝x 2⎪⎪⎪10＝1，则二项式⎝⎛⎭⎫ax 2－1x 6＝⎝⎛⎭⎫x 2－1x 6，其展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 6x 12－3r ， 令12－3r ＝0，解得r ＝4.所以常数项为(－1)4C 46＝15.答案：155．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)因为a 0＝C 07＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. (4)因为(1－2x )7的展开式中a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， 所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.6．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列．(1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项．解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由已知得2×12C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ， 解得n ＝8(n ＝1舍去)．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8的展开式的通项T r ＋1＝C r 8(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝2－r C r 8x 4－3r 4 (r ＝0，1，…，8)，要求有理项，则4－3r4必为整数，即r＝0，4，8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x2.(3)设第r＋1项的系数为a r＋1最大，则a r＋1＝2－r C r8，则a r＋1a r＝2－r C r82－（r－1）C r－18＝9－r2r≥1，a r＋1 a r＋2＝2－r C r82－（r＋1）C r＋18＝2（r＋1）8－r≥1，解得2≤r≤3.当r＝2时，a3＝2－2C28＝7，当r＝3时，a4＝2－3C38＝7，因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为T3＝7x52，T4＝7x74.。

二项式定理数学归纳法证明1. 引言好啦，今天我们来聊聊一个看似高大上的数学话题——二项式定理。

别害怕，虽然它听起来像外星语言，但其实非常简单，甚至有点儿像我们平时生活中常遇到的事情。

想象一下，你在选披萨的配料，二项式定理就像是告诉你，怎么把不同的配料组合在一起，最终形成美味的披萨，听起来不错吧？2. 二项式定理简介2.1 什么是二项式定理？首先，二项式定理是数学里的一个法宝，它描述了二项式 ((a + b)^n) 展开后的结果。

你可以把它想象成一场盛大的派对，(a) 和 (b) 是两位主角，(n) 就是派对的热闹程度。

公式告诉我们，每次你选择 (a) 或者 (b) 的方式有多少种，听起来是不是很有趣？2.2 为什么要用数学归纳法？那么，怎么证明这个定理呢？这时候就需要我们用上数学归纳法。

简单来说，数学归纳法就像是一个循序渐进的过程，先从简单的开始，然后逐步推导出更复杂的情况。

就像爬楼梯，先踩第一阶，然后逐步往上走，直到你站在顶层，哇，那种成就感简直无与伦比。

3. 数学归纳法的步骤3.1 基础步骤好，我们先来进行第一步：基础步骤。

我们先考虑当 (n=0) 的时候，((a + b)^0 = 1)，这可真是个简单的事情。

就像是在做一个甜甜的开场白，告诉大家今天的派对已经开始了！这一步没问题吧？3.2 归纳假设接下来，我们假设对于某个 (n=k)，公式成立，即 ((a + b)^k = sum_{i=0^{k C(k, i)a^{ki b^i)，这里的 (C(k, i)) 就是组合数，咱们可以理解为从 (k) 个小伙伴中选择 (i) 个来组成一个小队。

说到这，我的脑海里都浮现出了那些小伙伴们开心的笑脸。

3.3 归纳步骤现在，我们要证明当 (n=k+1) 时也成立。

也就是说，我们要证明 ((a + b)^{k+1 = sum_{i=0^{k+1 C(k+1, i) a^{k+1i b^i)。

这就像是把刚才的派对扩展了一下，增加了几个新朋友。

二项式定理【考纲要求】1、能用计数原理证明二项式定理.2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【基础知识】一、二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项式的展开式有n ＋1项，而不是n 项。

二、二项式通项公式：T r +1＝C r n an －r b r (r ＝0，1，…，n ) 1、它表示的是二项式的展开式的第r ＋1项，而不是第r 项2、其中C r n 叫二项式展开式第r ＋1项的二项式系数，而二项式展开式第r ＋1项的系数是字母幂前的 常数。

3、注意r ＝0，1，…，n三、二项式展开式的二项式系数的性质1、对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等，即C r n ＝C n －r n .2、增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值，如果二项 式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项 式系数相等且最大。

3、所有二项式系数的和等于2n，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n .奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.四、二项展开式的系数a 0，a 1，a 2，…，a n 的性质：对于f (x )=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x nf (1)=a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nf (－1)=a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n五、证明组合恒等式常用赋值法。

【例题精讲】 例1：若()()R x x a x a x a a x ∈++++=-200420042210200421 ，求()()()200402010a a a a a a ++++++ .例2：已知二项式()*22N n x x n ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是1:10. (1)求展开式中各项的系数和；(2)求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项。

二项式基础知识点总结一、二项式的定义二项式的定义比较简单，它是由两个单项式相加（或相减）而成。

也就是说，一个二项式可以写成a*x+b*y的形式，其中a、b为常数，x、y为变量。

一般我们把a称为二项式的第一项系数，b称为二项式的第二项系数。

例如，3*x+5*y就是一个二项式。

二、二项式的运算1. 二项式的加法两个二项式相加时，只需把它们的同类项相加即可。

例如，(3x+4y)+(5x+6y) =(3x+5x)+(4y+6y) = 8x+10y。

2. 二项式的减法两个二项式相减时，也是把它们的同类项相减。

例如，(3x+4y)-(5x+6y) = (3x-5x)+(4y-6y) = -2x-2y。

3. 二项式的乘法两个二项式进行乘法运算时，采用分配律进行展开即可。

例如，(3x+4y)*(5x+6y) =3x*5x+3x*6y+4y*5x+4y*6y = 15x^2+18xy+20xy+24y^2 = 15x^2+38xy+24y^2。

4. 二项式的除法在代数学中，通常不考虑二项式的除法运算，因此不同的教材对于二项式的除法规定也不尽相同。

三、二项式的展开公式1. 二项式系数定理二项式系数定理是指，对于任意实数a和b以及非负整数n，(a+b)^n展开成幂的时候，各项的系数就是二项式系数，它们服从杨辉三角的排列规律。

例如，(a+b)^3展开成幂得到a^3+3a^2b+3ab^2+b^3，其中的系数1、3、3、1就是二项式系数。

2. 二项式定理二项式定理是指，对于任意非负整数n，有(a+b)^n = C(n, 0)*a^n*b^0 + C(n, 1)*a^(n-1)*b^1 + ... + C(n, n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n, n)*a^0*b^n。

其中，C(n, k)表示组合数，即从n 个不同元素中取出k个元素的组合数。

例如，C(3, 2)表示从3个元素中取出2个元素的组合数，计算公式为C(3, 2) = 3!/(2!*1!) = 3。

二项式定理【学习目标】1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【要点梳理】 要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n ,都有：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。

式中的rn rr n C ab -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r rr nT C a b -+=， 其中的系数rn C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， 2．二项式(a+b)n 的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为rn C ，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅(*N n ∈)②122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++要点二、二项展开式的通项公式公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是rn C ； ②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n 。

要点诠释：（1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第r+1项r n rr n C ab -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）。