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振动力学与结构动力学第四章1

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振动力学与结构动力学研究

振动力学与结构动力学研究

振动力学与结构动力学研究振动力学和结构动力学是机械工程领域中非常重要的研究方向。

本文将介绍振动力学和结构动力学的基本概念、研究内容和应用领域。

一、引言振动力学是研究物体在受到外力作用时如何振动的学科。

它包括自由振动、受迫振动和阻尼振动等内容。

振动力学的研究对于理解物体振动的特性以及对其进行控制和优化具有重要意义。

结构动力学是研究物体在受到外力作用时的动力响应的学科。

它主要包括结构的自由振动、受迫振动和响应谱分析等内容。

结构动力学在工程设计中起着至关重要的作用，可以评估结构的安全性、稳定性和舒适性等方面的参数。

二、振动力学研究1. 自由振动自由振动是指物体在没有外界干扰的情况下以自身固有频率振动的现象。

通过分析物体的固有频率和振型，可以了解物体的振动特性以及其对外界干扰的敏感程度。

在振动力学研究中，常用的方法包括模态分析和频率响应分析。

模态分析是通过测量物体在不同频率下的振动模态，获得其固有频率、振型和阻尼比等参数。

频率响应分析则是通过施加不同频率的外力，观察物体的振动响应，以获取其频率响应函数和阻尼参数。

受迫振动是指物体在外界施加周期性力或非周期性力的情况下产生的振动现象。

在振动力学研究中，受迫振动被广泛应用于机械系统的振动控制和信号分析。

受迫振动的研究包括强迫振动和共振现象。

强迫振动是指物体在受到周期性外力作用后的振动响应。

共振是指物体在受到特定频率的外力作用时，振幅增大到最大值的现象。

3. 阻尼振动阻尼振动是指物体在振动过程中由于阻力的存在而逐渐减小振幅的现象。

阻尼对振动系统的稳定性和动态响应有重要影响。

在振动力学研究中，常用的阻尼模型包括线性阻尼、非线性阻尼和阻尼比等。

通过分析阻尼对振动系统的影响，可以优化结构的设计和减小振动的能量损耗。

三、结构动力学研究1. 自由振动在结构动力学的研究中，自由振动是一个重要的内容。

通过分析结构的固有频率和振型，可以了解结构的振动特性和稳定性。

自由振动的研究方法包括模态分析和有限元分析。

结构动力学课件(大众普及版)

结构动力学课件(大众普及版)

第二章
单自由度 体系模型
运动方程的建立
y (t) c m k F (t)
质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结 构的阻尼力 随时间变化的荷载F(t)
cy ky F ( t ) （2-3） m y
12 EI 12 EI cy m y l3 l3 y FP ( t ) 2 1
令： k FS 1 FS 2
12 EI 12 EI 3 3 ；k 为（等效）刚度系数。 l1 l2
y (t) FD FS FI F (t)
平衡方程：
FI FD FS F ( t ) FI m y
惯性力： 根据d’Alembert原理： 弹性力： 等于弹簧刚度与位移的乘积：
FS ky
FD cy
阻尼力： 阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：
由此得到体系的运动方程：
cy ky F ( t ) m y
建立体系运动方程的方法
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。 虚功法: 根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移 上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运 动方程。 变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据 理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导 出以广义坐标表示的运动方程。
地震作用

结构动力学4

结构动力学4
瞬态反应和稳态反应 稳态反应
4.1 无阻尼体系的简谐振动
稳态反应 ：
p0 1 u (t ) sin t 2 k 1 ( / n )
u0—稳态反应的振幅：
p0 1 u0 k 1 ( / n ) 2
ust—等效静位移，或静位移： Rd—动力放大系数：
p0 u st k
u0 1 Rd 2 u st 1 ( / n )
(1) 当
1 2 1 2
时， Rd 1 ，即体系不发生放大反应。
(2) 当
时， ( Rd ) max
1 2 1 2 1 。 2
, (
) 峰值 1 2 2 。 n
(3) 当 / n 1 （共振时） ， Rd (4) 当 / n
2
4.2 有阻尼体系的简谐振动
通解uc对应于有阻尼自由振动反应：
uc (t ) e
nt
( A cos Dt B sin Dt )
特解up可以设为如下形式 :
u p (t ) C sin t D cost
p0 2 n u n u u sin t m
通解对应的方程是一个自由振动方程，其解uc 为无阻尼自由振动：
u c (t ) A cos n t B sin n t
n k / m
c - complementary
4.1 无阻尼体系的简谐振动
ku p0 sin t mu
特解—满足运动方程的解，记为up(t) ，是由动 荷载p0sinωt直接引起的振动解。 设特解为：u p (t ) C sin t D cost
待定系数A、B由初值条件确定
A u (0) (0) p0 / n u B 2 n k 1 ( / n )

振动力学与结构动力学-(第一章).

振动力学与结构动力学-(第一章).

摩擦力： Fd cdx2sgxn
c d ：阻力系数
在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
Ecdx2sgxndx2
T/4
c T/4 d
x3dt
8 3
cd02
A2
等效粘性阻尼系数：
ce
8
3
cd0
A
24
四、结构阻尼
由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起 的阻尼称为结构阻尼
特征：应力－应变曲线存在滞回曲线
6
第一章 概 论
§1-1 动荷载及其分类 - 从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减
小的反复变化，就可以称这种运动为振动。 - 如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移
、速度、加速度、应力及应变等，这种振动便称为机械振动 。 - 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动
7
– 知识要点：结构被动控制、主动控制的基本概念。常用主动 控制方法的原理。结构主动控制在机械、土木结构工程中应 用简介。
– 重点难点：理解各种控制方法的原理及其具体实现。 – 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合。
主要参考书： • 刘延柱.振动力学.北京：高等教育出版社,1998 • 倪振华. 振动力学. 西安：西安交通大学出版社，1989 • 张准、汪凤泉. 振动分析.南京：东南大学出版社，1991 • 陈予恕.非线性振动. 天津：天津科技出版社，1983 • 龙驭球等编著.《结构力学》下册. 北京：高等教育出版 社，1994
– 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合
• 第六章 结构反应谱与地震荷载计算（8学 时）
– 知识要点：结构反应谱、单自由度和多自由度地震 荷载计算公式、规范中地震荷载计算公式。

结构动力学习题解答

结构动力学习题解答
̇̇ = hδ ( t ) ； θ 0
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度 为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R M 图 1-35 x
T平动 = T转动
1 ̇2; Mx 2 2 2 ̇ ⎞ 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ x ̇⎞ 1 ⎛x = I⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ; 2 ⎝R⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
d (T + U ) = 0 ，进一步得到系 dt
统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤： （1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值 Ai 、 Ai +1 。 （2）由对数衰减率定义 δ = ln(

振动力学［PDF］

振动力学［PDF］

第四章多自由度系统的振动4.1多自由度系统运动方程的建立4.2 耦合与坐标变换4.3 固有频率和主振型4.4振型矩阵、主坐标和正则坐标4.5 固有频率相等的情况4.6 固有频率为零的情况4.7 无阻尼系统对初始条件的响应4.8 无阻尼系统对任意激励的响应4.9 多自由度系统的阻尼4.10 有阻尼系统的响应4.11 一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应i nj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i Q q k q c q m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}Q q k q c q m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211••••••n 11•••n 11n 11n 11inj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i P x k x c x m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••n 2121•i ••i1m 12m 23m 3ii •i i Q q Dq T =∂∂+∂∂•1m 12m 23m 32222)2221k +2222•2221⎟⎠⎞+•x c jjj j q W δδ11x δ11P 111x P δ1x δ22P 33P 2⎟⎠⎞21221212212111••••122121221211123323212332321222•••••2332321233232122233323332333••••33323332333•••••••••321333322221321321321333322221321321000000003213213333222213213213333222210•1•1θv ••2θv •1•=1θ•2•=2θ22θ−+mg l 22θl +k Oθ222yk+=•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••••••••n n i j j i i 1111•••nn i j j i i 1111in n i j j i i 1111i j刚度影响系数k i j 若系统各自由度的广义速度和广义加速度为零，除j i i j i 。

1.4有阻尼的受迫振动振动力学课件

1.4有阻尼的受迫振动振动力学课件

F (t )
m mx
实部和虚部分别与 F0 cos和t F相0 s对in 应t 。 振动微分方程：
mx cx kx F0eit
x为复数变量，分别与 F0 c和ost 相F0对sin应。t
kx cx
mx cx kx F0eit
显含 t，非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
而相位滞后激振力的简谐振动；
（2）稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质
（m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方
式（即初始条件）无关。
例题1： 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。
x x1 Asin t
c
k
m
解：运动微分方程： mx cx k(x1 x) 0
02
sin
（实部和虚部分别相等）
振幅放大因子
A
02
F0
k
2
02 40
F0 k
1
B
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
相位差
tan
20 02 2
2 s
1 s2
(s) arctan 2 s
1 s2
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设：x Xeit
c2 x0 / 0
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
mx kx F0 cost 的全解：
因此：
x(t)

结构动力学(5)-第四章 结构动力学的求解

结构动力学(5)-第四章 结构动力学的求解

H ( ) Z 1 ( ) ( K 2 M )1 , r
def
u H ( ) f
其中 H ( ) 正是系统的位移频响函数矩阵，它的元素 H ij ( ) 具有柔度系数的量纲， 反映了在系统第j个自由度上施加单位正弦激励后第i个自由度的稳态位移响应幅值。
（2）频响函数矩阵的模态展开式 利用固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，对式动刚度矩阵左乘 和右乘
4．1 无阻尼自由振动
Mu(t ) Ku(t ) 0 u(0) u0 , u(0) u0
特性： 质量矩阵 1）反映系统的动能
T
1 T u Mu 0 2
1 T u Mu 0 2
2）正定 但也有例外：存在纯静态模态
u ，使
（针对两种情况：当采用集中质量矩阵时和当离散系统中设有无质量点的自由度时）
根据前面的分析，线性系统的响应可分为零初始状态下激励引起的响应及零 激励条件下初始条件引起的响应，即零状态响应及零输入响应。系统的响应可以 是其中某一种或两种之线性组合。研究下述微分方程的求解问题
Mu(t ) Ku(t ) f (t ) u(0) 0 u(0) 0,
Φ{diag [cos r t ]a diag [sin
1 r N
1 r N
r
t ]b}
其中
a [a1 aN ] ,
T def
b [b1 bN ]T
def
对于给定的初始条件
u0
和
u0
，可得到
u0 Φa ,
解出参数向量
u0 Φ diag[ r ]b
0 0
t
t
当考虑进系统初始状态对响应的贡献时，系统的响应为

结构振动分析基础2-3章

结构振动分析基础2-3章

ω1
ω2
在振型空间是独立的，而在物理上是同时发生的。
当结构按某一自振频率作自由振动时，其变形形状 保持不变，此变形形状称为结构的主振型，简称为 振型(mode of vibration)。
基本振型：与基频对应的振型称为结构的基本振型 (fundamental mode of vibration)。 结构的位移响应： 对线性（线弹性）系统，结构的 位移响应可用结构振型的线性组合来表示。
a
x0


x(t )
利用三角 关系： 令： 见图，显 然有：
x0
sin(a b) cosasinb sinacosb
b — t; a—
sin t x0 cos t
x0

A cos
2
x0 A sin
arctan x 0
a x T t
A
2A
x、 、a

A
o
-A - A - 2A
> 0 a<0 减速
( 0)
<0 <0 加速 <0 >0 减速 >0 >0 加速
• 结构动力学的基本特性
与结构静力学相比，动力学的复杂性主要表现在： 1）数学处理复杂 引入惯性力涉及到二阶微分方程的求解； 结构阻尼机理的复杂性。 2）解答不是惟一的 由于荷载是时间的函数，因此结构的动力响应（位移、 速度和加速度等）也与时间有关。 3）需考虑结构本身的动力特性 惯性力是结构内部弹性力所平衡的的一个重要部分； 阻尼对结构响应也有一定的影响。
稀疏型 单跨梁、悬臂梁和不考虑扭转振动的 房屋建筑等结构
分 类
密集型 连续梁、板、空间结构、考虑扭转振 动的房屋建筑等结构

《振动力学结构力学》课件

《振动力学结构力学》课件

2
来分析振动系统。
介绍如何使用强度准则等方法来计算
阻尼比，并将其应用在结构设计中。
3
振动测试技术
讨论了如何通过测试和测量来评估和 优化结构阻尼，以及如何使用主动振 动控制。
地震响应分析
地震的概念
解释了地震是如何发生的，以 及为什么结构必须考虑地震响 应。
地震波的类型
结构抗震
探索了地震波的前、横、纵波， 以及它们对结构的影响。
描述了如何通过结构修改来提 高结构的抗震能力。
稳定性分析和控制方法
1 平衡状态和稳定性
介绍了结构的平衡状态和稳定边界，以及如何使用状态空间法和增益调节来分析和控制。
2 非线性稳定性
讨论了非线性系统的稳定性和卡亚平面，并介绍了极限环的概念。
3 动态响应
演示了如何用MATLAB分析系统的稳态和动态响应，以及如何应用控制策略来改进系统响 应。
讨论了当系统的响应超出其线性范围 时会发生什么，以及如何预测和控制
这种行为。
单自由度振动系统
自由振动
描述了如何使用拉格朗日 方程来建模自由振动，并 演示了振子的周期性运动。
强制振动
讨论了当外力施加在简谐 振动系统上时何时会出现 共振现象，并介绍了振动 吸收器的作用。
阻尼振动
深入探讨了系统响应的逐 渐减弱，并讨论了如何使 用对数减速图来分析振动 系统。
振动力学结构力学
本课程通过多种方式介绍了结构力学和振动学的基本知识，以及如何应用这 些知识来分析和控制结构振动。
振动基础知识
1
简介
解释了为什么振动是如此重要以及振
基础概念
2
动分析所需的数学知识。
探索了相位、频率、振幅等基本术语

振动力学与结构动力学共41页文档

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振动力学与结构动力学
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 Байду номын сангаас头。 ——左

结构动力学 绪论(与“振动”有关文档共16张)

结构动力学 绪论(与“振动”有关文档共16张)
参考教材
❖ 刘延柱，振动力学，高等教育出版社，1998年，普通高等 教育“九五”国家教委重点教材
❖ Ray Clough (R.克拉夫),Joseph Penzien (J. 彭津)著,王光 远等翻译，结构动力学（第二版），2006年，高等教育出 版社出版。
❖ 方同 薛璞，振动理论以及应用，西北工业大学出版社， 1998
结构所承受的力，按是否随时间变化分静载荷和动载荷。动
载荷在结构动力学问题中更多被称为激励。
工程上有时将随时间变化缓慢的载荷按照静载荷处理， 带来方便，同时也不会引起较大偏差。
第3页，共16页。
动响应： 结构在动载荷作用下将发生变形，这种变形可以是随时间变
化的弹性变形或者塑性，称作动态响应 振动：
多数情况下动态响应表现为一种往复变化的形式，这种在某一平
第4页，共16页。
结构动力学与振动力学的区别 多数情况下，二者是统一的，此时结构动力学也称结构
振动。严格地说，结构动力学研究的范围更广一些。
机械振动，结构振动区别 工程技术领域所涉及的机械部件、工程结构等研究
对象都称为振动系统。
多数场合机械振动、结构振动并不加以严格区分。 机械振动研究内容偏重于机械工程领域的对象，结构振 动研究内容偏于建筑工程领域的对象。
❖
前两个问题称结构动力学正问题，最后一个称为结构动力学反问题
第7页，共16页。
三、结构动力学研究的目的
工程结构发展需求
现代工程结构一方面向大型、高速、大功率方向发展，百吨空间站，大型运 载火箭（直径5米），高速列车（磁悬浮），07年4月18日计划第六次大提速 （车桥振动），超高摩天大楼，各种新型悬浮、斜拉桥，大功率发电机组（30 万，60万，120万千瓦汽轮机）。

结构动力学 ppt课件

结构动力学 ppt课件

7
§1.3 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体 系的动力自由度数。
单自由度体系、有限自由度体系、无限自由度体系 二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难， 而且从工程角度也没必要。常用简化方法有： 集中质量法 广义坐标法 有限单元法
EI
P(t )
(t ) m y y(t )
1
k11
l
k11
12EI / l 3 12EI / l 3
k11 24 EI / l 3
(t ) m y
(t ) k11 y(t ) P(t ) m y
24 EI y (t ) P(t ) 3 l
PPT课件 18
例4.
P(t )
1P
P(t)
P(t )
l Pl/4
l/2
2l 3 11 3EI
Pl 3 1P 16 EI
2l 3 l3 (t )] 1P (t )] y(t ) 11[m y [m y P(t ) 3EI 16 EI
PPT课件 17
例3.
P(t )
l
EI
m
EI1
第三类问题：荷载识别。
PPT课件
5
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 控制系统 （装置、能量） 输出 （动力反应）
本课程主要介绍结构的反应分析 任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找 结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述 结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的 有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗伯原理基础上的 “动静法”。 m

结构动力学4资料

结构动力学4资料

D2
m
1
m1 2 21
1P 2 P
全为零时，位移幅值将趋于无限 大，即出现共振。
y1 (t ) Y1 sin t y2 (t ) Y2 sin t
各质点的位移和惯性力为：
m1 y1 (t ) m1 2Y1 sin t m2 y2 (t ) m2 2Y2 sin t
例题 设如图所示框架在底层横梁上作用简谐荷载 FP1 (t ) FP sin t ，
试画出第一层、第二层横梁的振幅Y1、Y2与荷载频率 之间的关系曲线。 设 m1 m2 m, k1 k2 k 。
解：
m2 FP sin t m1 k2
刚度系数为： k11 k1 k2 , k12 k21 k2 , k22 k2 荷载幅值为： FP1 FP , FP 2 0 位移幅值为：
D1 (k2 2 m2 ) FP Y1 D0 D0 D2 k2 FP Y2 D0 D0
k1
2 D0 (k1 k2 2 m1 )(k2 2 m2 ) k2
m1 m2 Y1 D0
m
位移幅值为：
D0
D1 D2 Y1 , Y2 D0 D0
m
2 1
11 1
m2 212
m1 2 21
m
2 2
22
1
D1
1P 2 P
2 1
m
2 2 11
m2 212
22
1
当荷载频率 与任一个自振频率
1 , 2 相等时， D0 0 。当 D1 , D2 不
Y2
k2 FP D0

结构动力学基础全文

结构动力学基础全文

2
目
录
第一章 结构动力学简述...............................................................................................................1 第二章 动力学原理.......................................................................................................................3 §2-1 约束 ....................................................................................................................................3 2-1-1 完整约束 .................................................................................... 错误！未定义书签。 2-1-2 非完整约束 ................................................................................ 错误！未定义书签。 §2-2 广义力 ................................................................................................................................3 §2-3 达朗贝（D′ALEMBERT）原理 ........................

假设模态法 振动力学课件

假设模态法 振动力学课件

3x
2l
1 1.7723
G
l 2
1 (x)
sin
x
2l
0.0681sin
3x
2l
2 4.7795
G
l 2
2
(x)
0.1995sin
x
2l
sin
3x
2l
注意：
由于近似模态不是真正自然振型，故相当于增加约束即刚
度，所以对于各阶近似频率均有 i，即它i 解出了的上
限 。
工程上常取一系列近似方案，并算出结果中选一组最小的 i
I 0
l 1 0
x sin 2 2l
3x
2l
dx
0.3806
lI
0
m12
m21
I 0
l 0
1
x 2l
sin
x
2l
sin
3x
2l
dx
0.038
lI 0
00..30830860
i
(x)
sin
2i
2l
1
x
V 1
2
l 0
GI
(x) (x,t)2
dx
1 2
l
0 GI (x)
l
mij 0 l (x)i (x) j (x)dx mi (xa ) j (xa )
kij
l 0
EI
(
x)i"
(
x)
" j
(
x)dx
k1i'
(
xb
)
' j
(
xb
)
k
2i
(
xb
)
j
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t 2
微段应变：
(u
u x
dx)
u
u
达朗贝尔惯性力
dx
x
横截面上内力： 达朗贝尔原理：
F ES ES u
x
Sdx
2u t 2
(F
F x
dx)
F
p(x,t)dx
连续系统的振动 / 一维波动方程
p( x, t )
0 x dx l
x
u(x,t)
杆上距原点 x 处截面
在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： F ES ES u
（杆的边界条件确定固有频率）
与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函 数 ，表示各坐标振幅的相对比值
由频率方程确定的固有频率 i 有无穷多个 （下面讲述）
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
2u t 2
a02
2u x 2
q(t) a sin(t
u(x,
)
t)
(x)q(t)
(x) c1 sin
x
达朗贝尔原理：
Sdx
2u t 2
(F
F x
dx)
F
p(x,t)dx
S
2u t 2
x
(ES
u ) x
p(x,t)
杆的纵向强迫振动方程
等直杆ES 为常数
2u t 2
a02
2u x 2
1 S
p(x,t)
a0 E / 弹性纵波沿杆的纵向传播速度
连续系统的振动 / 一维波动方程
（2）弦的横向振动
F
dx 2 y 达朗贝尔 t2 惯性力
达朗贝尔原理：
dx 2 y F ( dx) F p(x,t)dx
t 2
x
令：a0 E /
并考虑到： y
x
2y t 2
a02
2y x 2
1
p(x,t)
a0 弹性横波的纵向传播速度
弦的横向强迫振动方程
连续系统的振动 / 一维波动方程
（3）轴的扭转振动
－在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差 别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度 系统是完全类似的
教学内容
• 第一节 一维波动方程 • 第二节 梁的弯曲振动 • 第三节 集中质量法 • ﹡第四节 假设模态法 • ﹡第五节 模态综合法 • ﹡第六节 有限元法
说明
（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性 体，即在弹性范围内服从虎克定律
l
杆参数：杆长 l
截面积 S
材料密度 弹性模量 E
假定振动过程中各横截面仍保持为平面 忽略由纵向振动引起的横向变形 p(x,t) 单位长度杆上分布的纵向作用力
连续系统的振动 / 一维波动方程
dx
微段分析 p(x,t)
x
0 x dx l
u u dx x
u p(x,t)dx
F
F F dx x
u(x,t) 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移 Sdx 2u
细长圆截面等直杆在分布 扭矩作用下作扭转振动
p( x, t )
0
x dx
x
杆参数：截面的极惯性矩 Ip
材料密度 切变模量 G
p(x,t) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
微段 dx 受力
pdx
T
T T dx x
(x,t) 为杆上距离原点 x 处的截面在时 刻 t 的角位移
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程
等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
p( x, t )
x dx
x
微段 dx 受力
pdx
T
T T dx x
I
p
dx
2
t 2
2
t 2
a
2 0
2
x2
1
I p
p(x,t)
a0
G
剪切弹性波的 纵向传播速度
连续系统的振动 / 一维波动方程
小结：
（1）杆的纵向振动
（2）弦的横向振动
第四章 连续系统的振动
－实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统
－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此 连续体是具有无限多自由度的系统
－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程 组，它是偏微分方程
（2）材料均匀连续；各向同性 （3）振动满足微振动的前提
连续系统的振动 / 一维波动方程
第一节 一维波动方程
• 动力学方程 • 固有频率和模态函数 • 主振型的正交性 • 杆的纵向强迫振动
连续系统的振动 / 一维波动方程
• 一、动力学方程
（1）杆的纵向振动
p( x, t )
x
讨论等截面细直杆的纵向振动 0
y
y( x, t )
弦的定义: 很细长
F
o
弦两端固定，以张力 F 拉紧
x
p( x, t )
dx
F
x
在分布力作用下作横向振动 振动中认为张力不变 微段受力情况
单位长度弦的质量
p(x,t) 单位长度弦上分布的作用力
微振
sin
dx pdx
F
dx x
建的横截面在 t 时刻的横向位移
q(t) q(t)
a02
( x) (x)
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
q(t) q(t)
a02
'' (x) (x)
记： 2
q(t) 2q(t) 0
(
x)
(
a0
)2
(
x)
0
通解： q(t) a sin(t )
(
x)
c1
sin
x
a0
c2
cos
x
a0
c1, c2 , 由杆的边界条件确定 （确定杆纵向振动的形态，称为模态 ）
x
a0
c2
cos
x
a0
i
一一对应
i (x)
第 i 阶主振动：
u(i) (x, t) aφi i (x) sin(it i ),
(i 1,2 )
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
u(x, t) ai i sin(it i ) i 1
（3）轴的扭转振动
2u t 2
a02
2u x 2
1 S
p(x,t)
2y t 2
a02
2y x 2
1
p(x,t)
2 t 2
a
2 0
2 x2
1 I p
p(x,t)
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
• 二、固有频率和模态函数
p( x, t )
x
0
以等直杆的纵向振动为对象
l
方程：
2u t 2
a02
2u x 2
1
S
p(x,t)
a0
纵向自由振动方程：
2u t 2
a02
2u x 2
E/
假设杆的各点作同步运动： u(x,t) (x)q(t)
q(t) 表示运动规律的时间函数 (x) 杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅
2 I pdx t2
达朗贝尔 惯性力偶
截面处的扭矩为 T
I pdx ：微段绕轴线的转动惯量
连续系统的振动 / 一维波动方程
达朗贝尔原理：
I
p
dx
2
t 2
(T
T x
dx) T
pdx
0
I p
2
t 2
T x
p( x, t )
材料力学：
T
GI p
x
I p
2
t 2
x (GI p
)
x
p(x,t)