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第四章连续体

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结构动力学第四章连续体1

结构动力学第四章连续体1
M x, t EI x 2 y x, t x 2
2 x 2
2 y 2 y EI ( x) 2 m( x ) 2 q ( x, t ) x t
4.3.2 等截面均匀细长梁的自由振动
4 y 2 y EI 4 A 2 0 x t
M t GJ p x G ——剪切弹性模量， J p ——截面的极惯性矩 由达朗贝尔原理
M t 2 Mt dx M t J p 2 dx 0 x t
2 2 GJ p 2 J p 2 x t
2 2 G 2 2 a 2 2 2 t x x
, , ,,
4 y d 4Y T (t ) 4 4 x dx
a 2 d 4Y d 2T 2 Ydx 4 Tdt 2 2 d 4Y Y 2 4 k 4Y 0 a dx
自由振动的解为：
T (t ) Ci sin(t )
Y ( x) A sin(kx) B cos(kx) Csh(kx) Dch(kx)
' n
4.1.3 两端自由
u x, t x
U x A sin
'
x 0 x l
dU 0 ，也就是， dx
'
x0 x l
0

a
x B cos

a
x
U ' x A'
'

a
cos
'

a
x B'

a
sin

a
x
U 0 0 A
U l B
y( x, t ) 0, x 0, l

(大学物理基础)第一章连续体力学

(大学物理基础)第一章连续体力学
液体的结构特征是近程有序、远程无序。
液体的分类：
（1）极性液体(polar liquid)：由带极性的分子组成的液体。 这种液体分子的正负电部分不相重合而使分子具有极性。
（2） 非极性液体(non-polar liquid)又称范德瓦耳斯液体。 特征是液体的分子不带电荷或没有极性,分子之间主要依靠 微弱的分子力联系起来。
重点例题
第一章P28 例题1-3 P31 例题1-5 第二章P75 例题2-1 P86例题2-3 P97 例题2-6 第三章P121例题3-2 P124例题3-3 P128例题34 P134例题3-5 第四章P164例题4-3 P164例题4-4 P165例题45 P169 例题4-6 P170 例题4-7 P171例题4-8 P176例题4-10 P176例题4-11 P178 例题4-12 P181 例题4-13 第六章P240例题6-1 P241例题6-2 P242例题63 P251例题6-4 P251例题6-5 第八章P315例题8-4 P345例题8-6 第九章P378例题9-1 P383例题9-2 P399例题9-5 P401例题9-6 共计30个。
物质的三态
固体 液体 气体 问题：固液之间的态是什么？有没有？（液 晶） 三态特点：固体：体积、形状固定，不易压 缩；液体：不易压缩，形状不定，容易流动， 各向同性 原因：结构决定
液体的结构：
结构特点：分子排列比晶体稍微松散。大多数液体都是 以分子为基本结构单元，分子之间的键联较弱，主要是 范德瓦耳斯键。由杂乱分布的变动的微区构成。
参考书目
1，《现代农业和生物学中的物理学》
习岗，李伟昌
科学出版社
2，《物理学教程》马文蔚
高等教育出版社
3，《普通物理学》 程守洙 江之泳 高等教育出版社

“问题连续体”在高中生物课堂教学中的应用分析

“问题连续体”在高中生物课堂教学中的应用分析

“问题连续体”在高中生物课堂教学中的应用分析1. 引言1.1 问题连续体的概念问题连续体是指在一定范围内，由无限多个微小单位构成的连续体。

在生物学中，问题连续体主要用来描述群体生物现象中的统计特征和动态变化。

通过将整个群体视为一个连续体，可以更好地理解和预测群体生态系统的变化规律。

在问题连续体的概念中，主要关注群体的平均特征，而非个体的具体性质。

这种抽象的思维方式有助于我们对复杂生物系统的理解和建模。

通过问题连续体的描述，我们可以研究群体的密度分布、演化趋势和环境适应能力等重要特征。

问题连续体的概念在生物学研究中具有重要意义，不仅可以帮助我们更好地理解生物群体的行为，还可以为生态学、进化学等领域提供重要的理论支持。

在高中生物课堂教学中，引入问题连续体的概念可以帮助学生更深入地理解群体生物学的基本原理，培养他们的系统思维和科学分析能力。

1.2 高中生物课堂教学的重要性高中生物课堂教学是培养学生生命科学素养和科学思维能力的重要环节。

通过生物课堂教学，学生可以系统学习生命科学知识，了解生物学原理和规律，培养科学观察、实验设计和问题解决的能力。

高中生物课堂教学还可以帮助学生认识到生物对人类社会和生态系统的重要性，引导他们形成可持续发展的生态文明观念。

在当今信息爆炸的时代，高中生物课堂教学也可以帮助学生过滤和筛选信息，培养他们正确的科学态度和信息素养。

高中生物课堂教学在学生综合素质和未来发展中扮演着不可替代的重要角色。

如何有效提升高中生物课堂教学的质量和效果是当前教育工作者和研究者面临的重要课题之一。

2. 正文2.1 问题连续体在生物学中的应用问题连续体在生物学中的应用是非常广泛的。

问题连续体可以帮助生物学家研究生物体内部的各种复杂系统。

生物体内的各种生物分子、细胞和器官之间存在着复杂的相互作用，问题连续体可以帮助我们理解这些作用是如何影响生物体的生命活动的。

问题连续体可以帮助生物学家模拟生物体内的各种生物过程。

力学7.连续体力学(固体的弹性)

力学7.连续体力学(固体的弹性)
3
1.1 外力、内力、应力和应变 外力、内力、
㈠外力与内力
• 外界对弹性体的作用力称为外力；内力就是弹性体内 外界对弹性体的作用力称为外力； 部各部分间的相互作用力 • 为研究内力，必须在弹性体内部取一假想截面 S ，它 为研究内力， 把弹性体分为两部分， 把弹性体分为两部分，这两部分间的相互作用力叫截 上的内力， 面 S 上的内力，内力总是成对出现的 • 在一般情况下，取不同的截面，内力不同；在同一截 在一般情况下，取不同的截面，内力不同； 面的不同点处， 面的不同点处，内力也不相同
Y 2(1+σ )
㈢剪切形变的势能密度： E p = 1 Gψ 2 剪切形变的势能密度： 0 2
0 2 与拉、 与拉、压形变的势能密度 E p = 1 Yε 具有相同的形式 2
10
1.4 弯曲和扭转
㈠梁的纯弯曲
o'
R b h F F
θ o
y
o x
y dx
x 梁仅在一对等大反向力偶距作用下的弯曲称为纯弯曲,上层被 梁仅在一对等大反向力偶距作用下的弯曲称为纯弯曲 上层被 压缩, 下层被拉长， 轴所在的中间层，既不被压缩， 压缩 下层被拉长，y 轴所在的中间层，既不被压缩，也不被 拉长,保持原长 称为中性层,可见纯弯曲形变是由程度不同的 保持原长， 拉长,保持原长，称为中性层,可见纯弯曲形变是由程度不同的 压形变组成。 拉、压形变组成。
z φ
L ψ
τ'
R
r
dθ
⒉扭转角与力偶矩的关系
r dr dF
Gϕ τ = Gψ = r L
τ 取图示体元，作用在上表面的内力 及 对 轴的力矩 轴的力矩： 取图示体元，作用在上表面的内力dF及dF对z轴的力矩： Gϕ Gϕ 2 Gϕ 3

第四章 专题强化 动力学中的连接体问题

第四章 专题强化 动力学中的连接体问题

例2(多选)(2022·黔东南高一期末)如图所示，在光滑的水平桌面上有一个质量为3m的物体A，通过绳子与质量为m的物体B相连，假设绳子的质量以及绳子与定滑轮之间的摩擦力都忽略不计，绳子不可伸长。

重力加速度为g，将两物体同时由静止释放，则下列说法正确的是()g B．物体B的加速度大小为gA．物体A的加速度大小为14C．绳子的拉力大小为mg D．物体B处于失重状态拓展1如图所示，在例2中，若平面MN变为倾角为37°的光滑斜面，求两物体的加速度大小及绳子的拉力大小。

(已知sin37°＝0.6)拓展2若A、B跨过光滑定滑轮连接，如图所示，求两物体的加速度大小及绳子的拉力大小。

例1如图所示，一个小球从竖直立在地面上的轻弹簧正上方某处自由下落，不计空气阻力，在小球与弹簧开始接触到弹簧被压缩到最短的过程中，小球的速度和加速度的变化情况是()A．加速度越来越大，速度越来越小B．加速度和速度都是先增大后减小C．速度先增大后减小，加速度方向先向下后向上D．速度一直减小，加速度大小先减小后增大例2(多选)已知雨滴下落过程中受到的空气阻力与雨滴下落速度的平方成正比，用公式表示为F f＝k v2。

假设雨滴从足够高处由静止竖直落下，则关于雨滴在空中的受力和运动情况，下列说法正确的是() A．雨滴受到的阻力逐渐变小直至为零B．雨滴受到的阻力逐渐变大直至不变C．雨滴受到的合力逐渐变小直至为零，速度逐渐变小直至为零D．雨滴受到的合力逐渐变小直至为零，速度逐渐变大直至不变例3如图所示，质量分别是m和2m的两个物体A、B用一根轻质弹簧连接后再用细绳悬挂，稳定后将细绳剪断，则剪断的瞬间下列说法正确的是(g是重力加速度)()A．物体A加速度是0B．物体B加速度是gC．物体A加速度是3g D．物体B加速度是3g针对训练如图所示，质量为m的小球被水平细绳AO和与竖直方向成θ角的轻弹簧系着处于静止状态，现将绳AO烧断，在烧断绳AO的瞬间，下列说法正确的是(重力加速度为g)()A．弹簧的拉力F＝mgB．弹簧的拉力F＝mg sinθcosθC．小球的加速度为零D．小球的加速度a＝g sinθ例4如图所示，物块1、2间用竖直刚性轻质杆连接，物块3、4间用竖直轻质弹簧相连，物块1、3的质量为m ，物块2、4的质量为M ，两个系统均置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。

02.连续体的运动-0.2

02.连续体的运动-0.2
M rF sin θ
r
F
q m Fn
M rF mr
2
M mr
2
（2）刚体 质量元受外力 Fej， 内力 Fij
2 j j
z
O
Mej Mij m r
内力矩
ej
r j m j
Fej
外力矩
Fij
2 j j
M
j
M ij m r
第2章
连续体的运动
刚体：
刚体：形状和大小都不变的 物体。 实质上可以把刚体看作是质量 连续分布的且任意两质量元之间 距离保持不变的质点系。
重点研究：刚体的定轴转动
0
§2.2.1 刚体运动的描述
刚体：形状和大小都不变的物体。
实质上可以把刚体看作是质量连续分布的且任意两 质量元之间距离保持不变的质点系。
Z
Z’
”
m
Z
2 2 2 J 4 m ( a ) 2 m a m m Z a 2 ●若转轴平移至正 J ' 2ma2 m( 2a) 2 4ma2 Z
方形的一个顶点 ●若转轴平移 J 至正方形的一 Z " 边中点
·
a
· O
a
·
· a
正方形框架，边长为a ，其 四个顶点上分别有一个质量 为m 的质点，求此质点系 绕垂直于正方形平面且过其 m 中心的轴OZ的转动惯量。
( t ) ( t ) q( t )
d dL J J dt dt
例1. 一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量 为 m1 和 m2 的物体，m1 < m2 ，滑轮的 质量为 m ，半径为 R，所受的摩擦阻 力矩为 r ，绳与滑轮间无相对滑动。 试求：物体的加速度和绳的张力。 动画

有限元分析第四章


19
4）形函数的性质
形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具 有以下性质： 性质1 形函数Ni在节点i上的值等于1，在其它节点 上的值等于0。对于本单元，有
20
Ni ( xi , yi ) 1 Ni ( x j , y j ) 0 Ni ( xm , ym ) 0
（i、j、m）
利用 N i 1 (ai bi x ci y )和ai、bi、ci公式证明 2A
对于一个具体问题进行分析，不管采用什么样的单元， 分析过程与思路是一样的，所不同的只是各种单元的位移模 式和单元刚度矩阵不一样，其他的包括整体刚度矩阵的组装 过程都完全一样，所以我们仅仅对矩形单元位移模式的求取 和单元刚度矩阵的求解加以介绍。
4.7 收敛准则
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系统的数 值要比精确值大。所以，在给定载荷的作用下，有限元计算 模型的变形要比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到 真实解的下界。 为了保证解答的收敛性，要求选取的位移模式必须满足 以下三个条件： 1）位移模式必须包含单元的刚体位移 也就是说，当节点位移是某个刚体位移所引起时，弹 性体内将不会产生应变。所以位移模式不但要具有描述单元 本身形变的能力，而且还要具有描述由其他变形而通过节点 位移引起单元刚体位移的能力。例如，三角形三节点位移模 式中，常数项就是用于提供刚体位移的。
Ni(x、y)
1 i(xi，yi) x xi
x xi N i ( x, y ) 1 x j xi
N m ( x, y ) 0
证
N
y j (xj，yj)
m (xm，ym)
xj
x
N i ( x, y )

人教版高中生物必修二第四章第3节《遗传密码的破译(选学)》 教案

第3节遗传密码的破译三维目标1.知识与技能（1）说出遗传密码的阅读方式。

（2）说出遗传密码的破译过程，包括伽莫夫的三联体推断，克里克的实验证据，尼伦伯格和马太的蛋白质的体外合成实验。

2.过程与方法（1）感受和重温科学家的思维历程。

（2）类比的学习方法。

3.情感态度与价值观（1）对科学家那种敏锐、大胆、睿智和创新的精神还有那种巧妙的构思表达敬佩。

（2）认同遗传密码的破译对生物学发展的重要意义。

教学重点遗传密码的破译过程，引导学生感受这种思维过程并产生与科学家的思维共鸣。

教学难点1.克里克的T4噬菌体实验。

2.尼伦伯格和马太设计的蛋白质体外合成实验。

教具准备多媒体演示课件课时安排1课时教学过程［情境创设］在第1节我们学习了有关基因指导蛋白质合成的过程，我们知道了核酸中的碱基序列就是遗传信息，翻译实际上就是将mRNA中的碱基序列翻译为蛋白质的氨基酸序列，那碱基序列与氨基酸序列是如何对应的呢？就是通过密码子。

（呈现密码子表）现在大家已经十分清楚了这些遗传密码，而当时是经过许多科学家艰辛的思考和探索，最后被几个年轻人的富有创新的实验才破译的，这个过程充满了思维的智慧。

那这些遗传密码是怎样被破译的呢？让我们重新重温一下这段科学史，追寻科学家探索的足迹，对我们的思维会有好的启迪作用的。

［师生互动］1.研究背景在孟德尔遗传规律于1900年被再次证实之后，许多科学家投入到遗传问题的研究上来，试图揭示基因的本质和作用原理。

“中心法则”提出后更为明确地指出了遗传信息传递的方向，总体上来说是从DNA →RNA→蛋白质。

那DNA和蛋白质之间究竟是什么关系？或者说DNA是如何决定蛋白质？这个有趣而深奥的问题在五十年代末就开始引起了一批研究者的极大兴趣。

1944年，理论物理学家薛定谔发表的《什么是生命》一书中就大胆地预言，染色体是由一些同分异构的单体分子连续所组成。

这种连续体的精确性组成了遗传密码。

他认为同分异构单体可能作为一般民用的莫尔斯电码的两个符号：“·”“—”，通过排列组合来储存遗传信息。

连续系统

（4.3.9）式的解的形式是：
2
(4.3.9)
( y ) C1 sin t C2 cos y a a
(4.3.10)
其中， C1 与 C2 是待定系数，它们由轴的边界条件决定。常见的扭转振动时轴的边界条件 为： 自由端：
y 0 时，GJ (0, t ) GJ (0)T (t ) 0 ，即 (0) 0 y l 时，GJ (l , t ) GJ (l )T (t ) 0 ， 即 (l ) 0
3
但是在工程中有实际意义的，只有有限个低阶频率。
X i ( x) Ai sin
前三阶主振型如图 4.2-3(a)所示。
(2i 1) x 2l
(i 1, 2,3,)
(1) (2) (3)
f (1) f (2) f (3)
(a)
图 4.2-3
(b)
如果 k ，该边界相当于固定边界，频率方程为
(4.3.8)
关于（4.3.6）式，只有某些典型的轴，如 I ( y ) / GJ ( y ) 可按某种函数形式表达时，才可 假定 1/ a I ( y ) / GJ ( y ) ， 则 （4.3.6） 能找到精确解答。 对于均匀轴，I ( y ) 与 GJ ( y ) 是常数，
2
式可改写成：
( y ) ( y ) 0 a
( y, t ) ( y, t ) I ( y )
（4.3.2）
( y, t ) 代表扭转角加速度。 其中， I ( y ) 代表单位长度的梁对扭转轴的转动惯量；
将（4.3.2）式代入（4.3. 1b ）式中，并引用扭角与力矩 M 的关系式，得到扭转自由振 动的微分方程：
2 [GJ ( y ) ] I ( y ) 2 0 y y t

Chap-1-连续体力学解析


例1-1 图1-8（a）所示为一装有高压气体的薄壁圆柱形容器的横 断面，壁厚为d，圆柱半径为R，气体压强为p，求壁内沿圆周切 向的应力（不计容器自重和大气压）
解：截取如图b所示的一半圆柱 形容器和气体作为隔离体，设 容器的长度为l。
气体对器壁的压力2pRl与器 壁的应力2σld相抗衡，按力的 平衡条件有：
3.14 3108
§2 静止液体的性质
一、液体的结构与分类
1.结构(structure)
特点：难以压缩，易于流动，各向同性
分子排列比晶体稍微松散。大多数液 体都是以分子为基本结构单元，分子之间 的键联较弱，主要是范德瓦耳斯键。由杂
乱分布的变动的微区构成。
近程有序和远程无序是液体结构的基本特征
非晶体有许多类型，玻璃体、弹性体和塑 性体是其中最主要的类型。生物材料大多属于 非晶体。
非晶体的分类：
❖ 玻璃体：近程有序，远程无序。如：玻璃 ❖ 弹形体：近，远程都无序，分子互相缠绕，有
弹性。如：橡胶。 ❖ 塑性体：近，远程都无序，分子相互分开，分
子间可以相互滑动，无弹性。
二、 应变与应力
1. 应变（strain)绪论一 物理学基本介绍 二 物理学的发展 三 本课程主要内容 四 学习本课程的基本方法 五 注意事项
第一章 连续体力学
（Mechanics of continuous medium)
引言
连续体力学又称连续介质力学，包括固体的弹 性力学和流体力学。连续体的共同特点是其内部质 点之间可以有相对运动。从宏观上看，连续体可以 有形变或非均匀流动。处理连续体的办法是不再把 它看成一个个离散的质点，而是取“质元”，即有 质量的体积元。在连续体力学中，力不再看成是作 用在一个个离散的质点上，而看成是作用在质量元 的表面上。本章主要研究固体的弹性性质、液体的 表面性质、液体的流动性质和黏滞性质，这些性质 无疑对农业和生物学中是非常重要的。
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扭矩为零
（3）弹性支承
k
, t GJp ,t X
(4) 右端有一惯性圆盘，则有
2 J o 2 , t Jpd ,t t x J 圆盘对称轴转动惯量
o
4.3 梁的弯曲振动
4.3.1 梁的横向振动微分方程 研究对象：匀质细长梁（一般假定长细比>10） ， 有纵向对称平面。振动运动过程中，假设： 1）梁的轴向位移可以忽略 2）截面绕中性轴（梁几何中心线）转动可忽略 3） 变形时满足平面假设， 并忽略剪力引起的变形
N A x A x E EA x u x
由牛顿第二定律
2u N N x A x dx 2 N dx N dx t x x u E A x x x
对于等截面的杆，由同种材料构成的
A x A
， x
u u A 2 EA 2 t x
2 2
2 2u E 2u u 2 a 2 2 t x x 2
该方程为一维波动方程， a 为纵波在杆内的传播速 度。方程可用分离变量的方法求解
u x, t U x T t
' 2
l l l l ' x ,U 2 0，x ,U 2 A2 2 4 2 4 x 3l 3l ' ,U 2 A2 4 4
显然第 n 个振型有 n-1 个节点。对每一阶主振动都 求出一个固有频率，对第 n 阶主振动有
n un x, t A sin x sin nt n l 系统的自由振动是 n 阶主振动的叠加
4 y 2 y EI 4 A 2 0 x t
2 y EI 4 y 0 2 4 t A x
4 2 y y 2 a 0 2 4 t x 采用分离变量的求解思路,
,
y x, t Y x T t
2 y d 2T Y ( x) 2 2 t dt
U n x A sin
' n
n
a
' x An sin
n a x n ' An sin x l a l
画出振型图，就是各点的振幅。 1阶
1 U1 x A sin
' 1
x
l
l l x , U1 A1' 2 2
2阶
2 x 2 U 2 x A sin l
n a n l
代入振型函数为
' U n x Bn cos
n
a
' x Bn cos
n x l
对应的第 n 阶主振动为
n un x, t B cos x sin nt n l 注意： 可以为零，与两端固定不同，当 0 时
' n
' U x Bn ，意味着各点振幅完全一样，对应杆的
2 2 GJ p 2 J p 2 x t
2 2 G 2 2 a 2 2 2 t x x
a——剪切波在杆内传播速度 边界条件： 1）固定端
x, t 0, x 0,
转角为零
2）自由端 x, t 0, x 0, x
4.1 直杆的纵向自由振动 4.1.1 直杆纵向振动微分方程 假设： 1） 杆的任一横截面在作纵向振动过程中始终保持为 平面， 横截面上各点， 在轴向上以相同的位移运动。 2） 纵向运动过程中， 略去杆的纵向伸缩而引起的横 向变形。 对任一横截面的纵向位移 u 都可写成关于 x 和 t 的函数 u x, t
则有
u x, t T t U x
' ' A sin x B cos x sin t a a
' ' A , B , , 为待定常数，由边界条件和初始条 这里
件确定。 其中 U x 相当于在 x 处截面（质点）的振动的 振幅，则 U x 也称振型函数。
0

a
x B cos
'

a
x
U ' x A'
'

a
cos
'

a
x B'

a
sin

a
x
U 0 0 A
U ' l B'

a
A' 0

a
sin

a
l0
B' 不恒为零，所以 sin a l 0

sin

a
l 0
l
a
n , n 0,1, 2...
u x, t ( A sin
'

a
x B cos
'

a
x) sin t
u 0, t B sin t 0
'
' sin t B 由于 不恒为零，故定有 0
u l , t A sin
'

a
l sin t
同理，由于 A 和 sin t 都不恒为零，所以有
'
sin
l
a
0
边界条件确定了频率方程，频率是未知的。
l
a 0 舍去（导致振型函数为零，不振动） 。所以
n a n (n 1, 2,3...) l
有无数多个频率，对每一频率有一个主振型函数。 如对 n 有
0, , 2 ,3 ,... n ( n 1, 2,3...)
T '' T 0
U
''

a
2
U 0
只有 为负数才能确定振动运动，所以不妨设为
2 ，这样有
T T 0
'' 2
U U 0 a
''
2
T t C sin t
U x Asin x B cos x a a
六个任意数由初、边界条件决定. 典型边界条件: （1）简支（铰支）点 简支（铰支）点横向位移、弯矩为零：
Y x, t 0, x 0或
y x, t M x, t EI 0, x 0或 2 x
2
(2)固支点 固支点处转角、位移均被锁住，为零
y y x, t 0 x x, t 0
' n
n u x, t A sin x sin nt n l n 1 ' B 其中 n 与 n 由初始条件确定。
' n
4.1.3 两端自由
u x, t dU 0 x x 0 dx ，也就是， x l
U x A sin
'
x 0 x l
纵向刚性位移。
4.2 圆轴扭转 假设: 1） 每一横截面， 绕通过截面形心的轴线转动 一个角度， 截面保持平面; 2） 截面上每一个点都转 动相同的角度。 扭转振动位移用 表示。 由材料力学可知
M t GJ p x
G
——剪切弹性模量，
J p ——截面的极惯性矩
由达朗贝尔原理
M t 2 Mt dx M t J p 2 dx 0 x t
自由振动的解为：
T (t ) Ci sin(t )
d 4Y 2 d 4Y 4 Y k Y 0 4 2 4 dx a dx Y ( x) A sin(kx) B cos(kx) Csh(kx) Dch(kx)
y( x, t ) { A sin(kx) B cos(kx) Csh(kx) Dch(kx)}sin(t )
x 0或
（3）自由端 力与力矩均为零
2 y M EI 2 0 x
M 3 y Q EI 3 0 x x
x 0,
x 0,
（4）梁端有弹性支承 弹性梁端剪力等于弹性恢复力 , 弹性恢复力与 位移正向相反， 右端截面的剪力也与位移正向相反, 梁端弯矩为零.
2 y 3 y EI 3 , t k y , t EI 2 , t 0 x x ,
中截面上的 x 点，取微元段为
M(x,t), Q(x,t)
Q Q( x dx, t ) Q( x, t ) dx x
M ( x d x , ) t Q M ( x , ) t x dx
外载：q( x, t ) 为分布载荷，在一个微段内可假设为均 匀分布的，即可化为 q( x, t )dx 惯性力：已知单位长度的质量
几种典型的边界条件 （1） 固定端 该处纵向位移为零。
u x, t 0 ， x 0, l 。
（2） 自由端 该处横向内力为零。
u N EA 0 x ， x
即
0, l
u x, t 0 x ， x
0, l
(3) 弹性支承 杆的一端是弹性支承， 设为右端。 此处轴向内力 等于弹性力。
第四章
连续弹性体的振动
实际的工程结构实质都是由连续分布的质量和连续分布的刚 度所组成，在一定条件下简化成离散的多自由度系统，是必要的 合理的。但在某些条件下用连续模型描述更合理。例如细长飞行 器（导弹，火箭结构） ，细长比大于 4 时可用连续的变截面梁模型 描述，小于 4 时可用弹簧质量块模型描述。 本章的连续体建模，都假设结构是线弹性体，材料力学特性 是各向同性、均质的。主要的力学模型为杆、梁、板、壳等。主 要研究直杆的纵向振动、圆轴扭转振动，梁的横向振动以及薄板 的横向振动等常用的典型情况。