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第四章连续体的振动§4.2 杆的纵向振动例：有一根 x =0 端为自由、x =l 端处为固定的杆，固定端承受支撑运动 td t u g ωsin )(=d 为振动的幅值试求杆的稳态响应。
l x 0)(t u g §4.2 杆的纵向振动解： l x 0t d t u g ωsin )(=方程建立 dx u dx x u u u g ∂-∂+)(22xu Sdx ∂∂ρdx x F F ∂∂+F 微段分析应变： xu u dx u dx x u u u g g ∂-∂=-∂-∂+=)(])([ε内力： xu u ES ES F g ∂-∂==)(ε达朗贝尔原理： F dx F F u Sdx -∂+=∂)(2ρ),(t x u 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移 22)(u u ES u S g -∂=∂ρl x 0td t u g ωsin )(=令： 代入方程： 2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*g u u u +=*即： **''g Su ESu Su ρρ-=-2sin Sd tρωω=-设解为： ∑∞==1*)()(i i i t q x u φ)(x i φ为归一化的正则模态 ,...5,3,1,2cos 2)(==i x li l x i πφ代入方程，得： tSd ESq q S i i i i i ωωρφφρsin )(2,...5,3,1''=-∑∞=l x0t d t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρgu u u -=*∑∞==1*)()(i i i t q x u φ,...5,3,1,2cos 2)(==i x l i l x i πφtSd ESq q S i i i i i ωωρφφρsin )(2,...5,3,1''=-∑∞= )(x j φ用 乘上式，并沿杆长积分：⎰∑⎰⎰=-∞=lj i l j i i l j i idx t Sd dx ES q dx S q 0210''0sin )(φωωρφφφφρ 利用正交性： t d i l l q q i i i i ωωπωsin )1(2222/)1(2--=+l x 0td t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*∑∞==1*)()(i i i t q x u φ,...5,3,1,2cos 2)(==i x li l x i πφt d i l l q q i i i i ωωπωsin )1(2222/)1(2--=+ 模态稳态解： t d i l l q i i i i ωπηωωsin )1(222/)1(22--=2)/(11i i ωωη-=t lx i d i E l u i i i ωπηπωρsin 2cos )1(16,...5,3,132/)1(322*∑∞=--=l x 0td t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*2)/(11i i ωωη-=t lx i d i E l u i i i ωπηπωρsin 2cos )1(16,...5,3,132/)1(322*∑∞=--=t d l x i i E l u u u i i i gωπηπωρsin 2cos )1(161 ,...5,3,12/)1(3322*⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=∑∞=-小结1. 建立动力学方程2. 根据边界条件求解固有频率和模态3. 变量分离4. 代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程5. 物理空间初始条件转到模态空间6. 模态空间方程求解7. 返回物理空间，得解)()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=)(2t Q q q j j j j =+ω )(,x i i φω)0(),0(j j q q )(t q j )()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=物理空间问题 模态空间问题 )()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=模态叠加法§4.3圆轴的扭转振动取圆轴的轴心线作为x 轴，图示轴任一 x 截面处的转角表示为θ(x ,t ) 。
第四章 连续系统的振动4.1 概述连续系统是指质量、弹性和阻尼等参数在定空间上连续分布的系统。
对于连续系统，需要描述过每一点的位置变化，它不但是时间的函数，也是空间坐标的函数。
工程中的弦、杆件、块体都是连续系统，某些连续系统可以简化为多自由度系统，但是还有很多问题是不能简化的。
本章只介绍弦的横向振动和杆件的振动。
杆件横向受力时叫作梁，所以杆件振动分为杆的扭转振动、杆的轴向振动和梁的振动。
主要讨论连续振动的运动微分方程、边界值问题、在初始条件下得自由振动响应、强迫振动响应等。
从微分方程上看，弦和杆的振动微分方程都具有相同形式，都是二阶偏微分方程，在数学上叫作波动方程。
梁的振动相对复杂一些，是四阶偏微分方程。
方程的求解不但要满足初始条件，还要满足边界条件。
4.2 弦和杆振动微分方程4.2.1弦的横向振动微分方程弦和绳索是工程上和生活上常用的构件，如悬索桥梁、悬索屋顶、输电线及琴弦等。
弦和索的质量是连续分布的，且抗弯刚度较小，故当其横向振动时可忽略弯曲刚度。
设一个要张紧的弦长l ，受横向分布力),(t x P 作用，弦的单位长度的质量为ρ，振动过程张力为),(t x T 。
为了建立微分方程，在直角坐标系中用),(t x y 描述弦上距原点x 处的截面在时刻t 横向位移，任取弦的一微段长dx ，其受力如图4-1所示。
图4-1弦横向振动力学模型dx xT ∂∂+在竖直方向应用牛顿第二定理，并考虑振动是微小的，有sin θθ≈，且yxθ∂=∂可得： pdx T dx x dx x T T ty dx +-∂∂+∂∂+=∂∂θθθρ))((22 (4.1)整理后得到：pdx dxdx x x T dx x T dx x T ty dx +∂∂∂∂+∂∂+∂∂=∂∂θθθρ22 (4.2)因为：dx xT dx x T dx x T∂∂=∂∂+∂∂)(θθθ (4.3)将式（4.3）代入式（4.2），可得：pdx dxdx x x T dx x T ty dx +∂∂∂∂+∂∂=∂∂θθρ)(22 (4.4)略去二阶小量dxdx xx T ∂∂∂∂θ后，整理可得： ),()(22t x p x T ty +∂∂=∂∂θρ (4.5)两边同时除以ρ，得：ρρθ),()(22t x p x T t y +∂∂=∂∂ (4.6) 当张力为常数时，则上式可化为:),(12222t x p x y T ty ρρ+∂∂=∂∂ (4.7) 这就是弦的横向振动的偏微分方程，它与波动方程地方相同，属于一维波动方程。
Vibration of Countinuous System1. Euler —Bernoulli BeamEuler —Bernoulli 运动过程中没有考虑剪切效应的影响。
Euler —Bernoull Beam ：变形前垂直于梁中心线的截面在变形后仍保持垂直于梁的中心线。
Timoshenko Beam ：Euler —Bernoull 梁中并没有考虑梁的剪切变形，在实际工程中，会存在梁的剪切变形，变形后截面与中心线存在一个夹角，截面的转角变为y xθγ∂=-∂中性面定义：+++变形的几何关系：假设距离中性层距离为h 的层为b b -。
根据平面假设，单元体d x 变形后层面b b -为b b ''-其中，d θ为变形的角度bbo ohCC 'd θoo 'o 'b 'b 'MMRhA 'B 'A ϕBϕMC应变的表达式为()d -d d R h R hR Rθθεθ+==弯矩的表达式为2d d d AAA E EIM h A h E A h A R Rσε====⎰⎰⎰其中，I 为截面的惯性矩。
转角的表达式，A 点的转角为A ϕ，B 点的转角为B ϕA y xϕ∂=∂对于B 点，假定转角对位置坐标线性变化，有22d d AB A x xy y x x x ϕϕϕ∂=+∂∂∂=+∂∂因此，弯曲的角度d θ表示为22d d B A yx xθϕϕ∂=-=∂由于梁弯曲变形为小变形，有如下d d R x θ=得到221y R x∂=∂得到弯矩的表达式2M EI x=∂1.1 Newton 2th law Equation.yx取长度为L 的梁中的微元体研究，单元体的长度为d x 。
假定受到与位置坐标x 相关的载荷()p x 的作用，考虑到变截面梁，假定截面面积为()A x 。
梁的密度表示为位置坐标x 的函数()x ρ。
单元体受力情况如图++所示。
课程名称：振动力学Fundamentals of Vibrations课程代码：24410079学分：3学时：48 （课堂教学学时：48；实验学时：0；上机学时：0；课程实践学时：0）先修课程：理论力学、材料力学、常微分方程、偏微分方程适用专业：工程力学教材：《振动力学》，谢官模，国防工业出版社，2011年第2版一、课程性质与课程目标（一）课程性质振动是自然界最普遍的现象之一。
大至宇宙，小至原子粒子，无不存在着振动。
人类本身也离不开振动：心脏的搏动，耳膜和声带的振动等。
工程中的振动更是比比皆是，例如：建筑结构和桥梁在风或地震载荷下的振动，机械系统运行中所产生的振动，刀具切削过程中的振动，飞机机翼的颤振等等。
振动力学借助于刚体力学与变形体力学的许多基本原理和方法、物理学的许多基本原理以及大量的数学工具，探讨各种振动现象的机理，描述和阐明振动的基本力学与物理规律，以便克服振动的消极有害的因素，利用其积极有利的因素，为合理解决实践中遇到的各种振动问题提供理论依据。
该课程是工程力学专业的一门主要专业基础课。
其任务是使学生掌握固有频率、振型及振动响应等基本概念及常用的求解方法，为学习有关后继课程准备必要的基础，并为将来学习和掌握新的科学技术创造条件；使学生初步学会应用振动力学的理论和方法分析、解决工程实际问题。
（二）课程目标课程目标1:掌握离散系统和连续体系统振动方程建立的方法；课程目标2：掌握振动力学固有频率、周期、阻尼、振型等的基本概念，以及会采用经典的方法求解固有频率、振型与强迫振动响应；课程目标3：掌握数值计算大型结构的固有频率、振型与强迫振动响应的常用方法的数学原理, 并采用数学软件编写程序进行数值运算；课程目标4：了解隔振与测振的基本原理。
（三）课程目标与专业毕业要求指标点的对应关系本课程支撑专业培养计划中毕业要求指标点3、4、5、6,对应关系如下：课程目标1:掌握工程力学所需的数学、物理学等基本内容，了解机械工程、材料工程等相关领域的基础知识和挑战，初步具备从中提炼关键力学问题并利用基本力学思维和方法解决问题的能力。
第四章连续体的振动拉格朗日（grange):1762年建立了离散系统振动的一般理论．对连续系统研究最早的是弦线的振动达朗贝尔（J.le R.d’Alembert)1746年用偏微分方程得到弦线振动的波动方程，并求出行波解伯努利（D.Bernoulli)1753年用无穷多个模态叠加的方法得到了弦线振动的驻波解1759年拉格朗日（grange):从驻波解推得行波解1811年傅里叶提出函数的阶数展开理论，给出严格的数学证明‘其它连续系统的振动问题也相继得到研究伯努利（D.Bernoulli)1744-1751年研究了梁的横向振动，导出了自由.简支和固定端的频率方程和振型函数奇拉尼（E.F.F.Chladni):1802年研究了杆的轴向和扭转振动．本章只讨论理想弹性体的振动理想弹塑性体满足以下假设条件①各向同性；②均质分布；③服从虎克定律§4.1 弦的振动T (,)q x t 讨论两端受到张力拉紧的弦，弦上还受到横向干扰力的作用(,)q x t yxdxxdm Adsρ=第四章连续体的振动设弦的密度为ρ（质量/单位体积）假设小变形，弦力不随挠度变化。
则弦上的任意一点的位移y 应为位置x 与时间t 的函数，即(,)y y x t =22()()dm Ads A dx dy Adxρρρ==+≈(,)(,)y x t x t tg xθθ∂=≈∂y [,]x x dx +沿方向作用在微小区间的外力之和为(,)[(,)](,)(,)(,)(,)x t T x t dx T x t q x t dxxx t T dx q x t dxxθθθθ∂+-+∂∂=+∂根据牛顿第二定律，弦的单元微段ds 沿y 方向的运动微分方程为：22(,)(,)(,)y x t x t Adx T dx q x t dx txθρ∂∂=+∂∂(,)(,)y x t x t xθ∂=∂代入得：2222(,)(,)(,)y x t y x t A T q x t t xρ∂∂=+∂∂22222(,)(,)1(,)y x t y x t c q x t t x Aρ∂∂=+∂∂Tc A ρ=设代入得：C 为波沿长度方向的传播速度(,)()()()sin()n y x t Y x H t Y x t ωϕ==+如无干扰力作用时，22222(,)(,)y x t y x t c t x∂∂=∂∂——称为波动方程弹性体系统作某阶主振动时，其各点也应当作同样的频率及相位运动，各点也应当同时通过静平衡位置和到达最大偏离位置，即系统具有一定的与时间无关的振型()Y x 为振型函数2222222(,)()sin()(,)()sin()nn n y x t Y x t t y x t d Y x t xdx ωωϕωϕ⎧∂=-+⎪⎪∂⎨∂⎪=+⎪∂⎩得2222()()sin()sin()n n n d Y x Y x t c t dx ωωϕωϕ-+=+()sincosnnY x A x B xc c ωω=+(,)(sin cos )sin()n nn y x t A x B x t c cωωωϕ=+⋅+2222()()0n d Y x Y x dxcω+=故,,,n A B ωϕ4个待定常数，可由弦的边界条件及振动的两个初始条件来确定。
l(0,)0y t =(,)0y l t =由于两端固定，故有0(0)sin()n B t ωϕ=++0(sin coscos )sin()n nn A l B l t c cωωωϕ=++j cj j T ll Aππωρ==()sin sin j j j j j Y x A x A xc l ωπ==(,)sin sin()j j j j j y x t A x lπωπϕ=+0sinnB A l cω==得0A ≠sinnl cω=则(1,2)nl j j cωπ==∞得1(,)sin sin()j j j j j y x t A x t l πωϕ∞==+∑22222(,)(,)1(,)y x t y x t c q x t t x Aρ∂∂=+∂∂l (,)q x t 强迫振动对于长为的两端固定受分布力作用下的弦的强迫振动，其运动微分方程为：()sin j j Y x A x lπ=振型函数1j A =令()sin j Y x xl π=则有(,)sin()()j j y x t x H t lπ=设其解为1(,)sin()()j j j y x t x H t lπ∞==∑代入方程222211()1sin()()sin()()(,)j j j j d H t j j j x c x H t q x t l dt l l A πππρ∞∞==+=∑∑sin()m x lπ0l x 到对进行积分，将上式两边同乘以并从2mcm lπω=02()(,)sin l m m Q t q x t xdx Al lπρ=⎰0()sin()sin()20()l l j m j m x x dx l l j m ππ⎧=⎪=⎨⎪≠⎩⎰得：222()()()m m m m d H t H t Q t dtω+=整理后得到：1()cos sin ()sin ()lm m m m m m m mH t C t D t Q t d ωωτωττω=++-⎰1,2m =其通解为：§4.2 杆的纵向振动设杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动。
略去杆纵向伸缩而引起的横截面变形。
取杆的纵向作为x轴，各个截面的纵向位移表示为u(x,t)，如图所示。
杆的微元dx在自由振动中的受力图也在图5-3中给出。
设杆单位体积的质量为ρ，杆长为l，截面积为A，材料的弹性模量为E。
再设任一x截面处，纵向应变为ε(x) ，纵向拉力表示为N(x)§ 4.2 杆的纵向振动(,)(,)(,)(,)u x t u x t dx u x t dx u x t x dx dx xε∂+-∆∂∂===∂(,)()()u x t N EA x EA x xε∂==∂22(,t)()u x N NA x dx N dx N dx t x x ρ∂∂∂=+-=∂∂∂22(,)1(,)[()]()u x t u x t EA x t A x x xρ∂∂∂=⨯∂∂∂由牛顿第二定律：当杆为均质，等截面时2222(,)(,)u x t E u x t t xρ∂∂=⨯∂∂22222(,)(,)u x t u x t c t x∂∂=∂∂(,)()()()sin()(sin cos )sin()n n nn u x t U x T t U x t A x B x t c cωϕωωωϕ==+=++2Ec ρ=设例-1：两端固定的等值杆(0,)(,)0u t u l t ==(,)(sincos)sin()nnn u x t A x B x t ccωωωϕ=++0B =sinsin()0nn A l t cωωϕ+=代入得sinnl cω=则有(1,2)jl j j cωπ==j j c j El lππωρ==j cj j Tl lAππωρ==弦的振动频率各阶主振型()sin sin jj U x x xc lωπ==(,)sin sin()j j j j j u x t A x t l πωϕ=+1(,)sin sin()nj j j j j u x t A x t lπωϕ==+∑各阶主振动：11(,)(sin cos )sin()n nn u x t A x B x tccωωωϕ=++0(0,)0x u t ==(,)k u l t -的作用左端：右端：杆受到弹簧力(,)(,)u l t x l EA k u l t x∂==-∂10B =cos sin n n n EA l k l c c cωωω=-代入由上式，根据不同的k 值，可解出不同的固有频率例5.2 如图所示，一长为l k 的等截面均质直杆，左端固定，右端联结一刚度为的弹簧，试求其纵向自由振动的运动方程。
cosnl cω=(21)2j j c lωπ-=⨯sinn lcω=(1,2)j j c j Ej l lππωρ===∞()sin (1,2)j j j U x A x j lπ==∞0k =①相当于自由端(21)()sin 2j j U x xlπ-=主振型k =∞②即相当于固定端，其频率方程为取圆轴的轴心线作为x 轴，图示轴任一x 截面处的转角表示为θ(x ,t )。
设轴长为l ，单位体积的质量为ρ，圆截面对其中心的极惯量矩为J p ，材料的剪切弹性模量为G。
轴的扭转应变为，作用于微元dx 两截面上的扭矩分别为，及。
假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动。
x θ∂∂p GJ x θ∂∂22()p GJ dx x xθθ∂∂+∂∂(,)(,)p x t M x t GJ x θ∂=∂M MM dx M dxx x∂∂+-=∂∂p GJ x θ杆的扭转振动，抗扭刚度截面处的扭转角(,)x t θ由材料力学知识dx 微元段扭矩的增量为22(,)(,)[]p p x t M x t J dx dx GJ dx t x x xθθρ∂∂∂∂==∂∂∂∂2P AJ r dA=⎰极惯性矩：圆截面极惯性矩：4J 32P dπ=2221(2P P P I r dm dx r dA dxJ I mR ρρ====⎰⎰圆截面):ρ密度的转动惯量）2222(,)(,)p px t x t J GJ t xθθρ∂∂=∂∂得：G c ρ=设22222(,)(,)x t x t c t xθθ∂∂=∂∂则有：c :表示剪切波在杆内的传播速度(,)(sin cos )sin()n nn x t A x B x t c cωωθωϕ=++(,)(sin cos )sin()j jj j j j j x t A x B x t ccωωθωϕ=++1,2j =∞它的解为式中四个待定常数,,,n A B ωϕ及由系统的边界条件和初始条件确定。
一般解为：1(,)(sincos)sin()jjj j j j j x t A x B x ccωωθωϕ∞==++∑(,)(sincos)sin()nnn x t A x B x t ccωωθωϕ=+⋅+解：(0,)0t θ=(,)(,)|p x lx t M l t GI xθ=∂=-∂边界条件：对于圆盘的运动微分方程：22(,)(,)||p x l p x lx t x t I GJ t xθθ==∂∂=-∂∂例-3：上端固定，下端装有转动惯量为的圆盘，圆轴的极惯性矩为J P ，其剪切弹性模量为G ，试分析其扭转振动的频率方程。
