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《实际问题与二次函数》教学设计第3课时一、教学目标1．学会将实际问题转化为数学问题．2．掌握用二次函数的知识解决有关的实际问题．二、教学重点及难点重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题．难点：从现实问题中建立二次函数模型．三、教学用具多媒体课件。
四、相关资源《抛物线形拱桥》动画，《》动画，《》图片。
五、教学过程【创设情景，揭示课题】问题图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？师生活动：小组交流、讨论，由两小组代表汇报结果，全班评比哪组的解法最好．教师巡查，指导不会数学建模的小组．设计意图：创设问题情境，激发学生的学习兴趣．现实的、有意义的、富有挑战性的问题有利于学生主动地进行观察、交流、猜想、验证．【合作探究，形成新知】教师引导：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．解：如图所示：设这条抛物线表示的二次函数为y =ax 2．由抛物线经过点（2，－2），可得－2=a ×22． 解得12a =-． 故这条抛物线表示的二次函数为212y x =-． 当水面下降1 m 时，水面的纵坐标为－3，所以2132x -=-． 解得16x =-（不合题意，舍去），26x = 所以水面宽度为26．所以当水面下降1 m 时，水面宽度增加了(264)m ．设计意图：通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，通过建模学会用函数的观点认识问题，解决问题，体会数形结合思想，激发学生的探索精神，并提高学生解决问题的自信心．【例题分析，深化提高】例 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5 m (如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( )．A．50 m B．100 m C．160 m D．200 m 【解析】如图，建立坐标系．设抛物线的解析式为y=ax2＋k，∵(0，0.5)，(1，0)在抛物线上，∴0.50 ka k=⎧⎨+=⎩，．解得0.50.5 ka=⎧⎨=-⎩，．∴y=－0.5x2＋0.5．当x=0.2时，y=0.48，当x=0.6时，y=0.32．∴需要不锈钢支柱的总长度为(0.48＋0.32)×2×100=160(m)．故选C．设计意图：通过问题，引导学生不断思考，积极探索，让学生感受到数学的应用价值．【练习巩固，综合应用】1．某一拱桥呈抛物线形，其函数解析式为y=－0.25x2，当拱桥下水面宽为12 m时，水面离拱桥顶端的高度h是( )．A．3m B．26m C．43m D．9m2．如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下水面处在目前的水位时，水面宽AB=10 m．如果水位上升2 m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8 m．若洪水到来，水位以每小时0.1 m 的速度上升，经过多少小时会达到拱顶?参考答案1．D2．解：以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中点为原点，建立直角坐标系．则抛物线的顶点E 在y 轴上，且B ，D 两点的坐标分别为(5，0)，(4，2)，设抛物线的解析式为y =ax 2＋k ．由B ，D 两点在抛物线y =ax 2＋k 上，得162250a k a k +=⎧⎨+=⎩，． 解这个方程组，得a =－29，k =509． 所以y =29-x 2＋509． 所以顶点E 的坐标为5009⎛⎫ ⎪⎝⎭，．则OE =509m ，509÷0.1=5009(h )， 所以，若洪水到来，水位以每小时0.1 m 速度上升，经过5009h 会达到拱顶． 设计意图：加深认识，深化提高，查漏补缺． 六、课堂小结1．一般地，当a ＞0时，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当2b x a=-时，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最小值244ac b a -． 当a ＜0时，抛物线y =ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当2b x a=-时，二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最大值244ac b a -． 2．解决二次函数最值问题的一般步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值．设计意图：总结、归纳学习内容，帮助学生加深对数形结合思想的理解，培养学生的数学应用意识．七、板书设计22.3 实际问题与二次函数（3）1．用二次函数的知识解决有关的实际问题。
备课人：王 帅 审核人：胡哲 授课时间：2015年10月 日
一、新知探究 ： 3]：图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水 2 m 时，水面宽 4 m . 水面下降 1 m 水面宽度增加多少？ 想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降
1 m 时，水面宽度增加多少?
②可设这条抛物线表示的二次函数为：
【归纳】(1)用二次函数知识解决拱桥类的
实际问题一定要建立适当的直角坐标系．解题简便．
教学内容 课前预习：1.函数y=ax 2
条_______，它的______，对称轴是______，当时，开口向上，当a______O
抛物线y=2
1x 的顶点坐标是有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面20米，拱顶距离水面如图26-3-12所示的直角坐标系中，求（3）你学到了哪些思考问题的方法？1．能力培养
2．学案中课后作业部分．
22.3 实际问题与二次函数（第例3： 习题。
22.3第3课时RJ利用函数解决实际问题的一般步骤：：选取适当的点建立直角坐标系.：设自变量和因变量.：找函数关系.：列出函数关系式.：根据题意进行解答.：根据题目要求进行作答.1. 掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3. 能运用二次函数的图象与性质进行决策．1m 面下降1m， 水面的宽度么计算呢？水 怎探究图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水水面宽度增加多少？面宽4 m．水面下降1 m，知识点1图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽 4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．为解题简便， 以拋物线的顶点为原点， 以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图) ．设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2.由抛物线经过点(2 ，－2) ，可得－2＝a×22，a＝－ . 这条抛物线表示的二次函数为y＝－ x2.当水面下降1 m 时，水面的纵坐标为－3. 当y = -3时，- x2= -3 ，解得 x1= 6 ，x2= - 6 ， 所以当水面下降1 m 时，水面宽度为2 6 m. 水面下降1 m ，水面宽度增加 (2 6-4) m.除了这种建坐标系的方式外，还有其他建 坐标系的方式吗？P (0,2)A (2,0)OxP ( 2,2) B (4,0)My A (4,0)P (2,2)M x xA (2,2)O M O x ①③②O y y注意： 同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种， 建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式.通常应使已知 点在坐标轴上.解决桥拱形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步 骤：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；(3)恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物 线的解析式;(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到 实际问题的解.一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽 度 AB=8 m ，隧道的最高点 C到公路的距离为 6 m. ( 1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；解： ( 1) 答案不唯一.如以 AB所在直线为 x轴， 以 AB的中点为原点建立平面直角坐标系xOy，如图所示，则 A( -4,0) ，B(4,0) ，C(0,6).设这条抛物线的解析式为y=a(x-4)(x+4).一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽 度 AB=8 m ，隧道的最高点 C到公路的距离为 6 m. ( 1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；将 C(0,6)的坐标代入，得 - 16a=6，所以抛物线的解析式为y= − x2+ 6(−4 ≤ x ≤ 4).一条单车道的抛物线形隧道如图所示.隧道中公路的宽 度 AB =8 m ，隧道的最高点 C 到公路的距离为 6 m.(2)现有一辆货车的高度是 4.4 m ，货车的宽度是 2 m.为 了保证安全，车顶距离隧道顶部至少 0.5 m ，通过计算 说明这辆货车能否安全通过这条隧道.解：(2) 由(1)知抛物线的解析式为 4.4m 当 x = 1时，y = . 因为4.4+0.5=4.9< ，所以这辆货车能安全通过这条隧道.845845y = − 8 x 2 + 6(−4 ≤ x ≤ 4). 2m 3甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一 部分，如图所示，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛 球飞行的高度y (m) 与水平距离 x (m) 之间满足函数解析式y =a (x -4)2+h ，已知点 O 与球网的水平距离为 5 m ，球网的高度 为 1.55 m.( 1)当a =- 时， ①求 h 的值；解：( 1) ① 当a= − 时，y = − (x -4)2+h ，0,11.55m 将点P (0 ，1)的坐标代入， 得− × 16+h =1 ，解得h = . 5m甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一 部分，如图所示，甲在 O点正上方 1 m 的 P处发出一球，羽毛 球飞行的高度y(m) 与水平距离 x(m) 之间满足函数解析式 y=a(x-4)2+h ，已知点 O 与球网的水平距离为 5 m ，球网的高度为 1.55 m.( 1)当a=- 时，②通过计算判断此球能否过网；② 把x=5代入y= − (x-4)2+ ，得y= − ×(5-4)2+ = 1.625，∵1.625＞1.55 ， ∴此球能过网.0,1 1.55m5m甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部 分，如图所示，甲在 O 点正上方 1 m 的 P 处发出一球，羽毛球 飞行的高度y (m) 与水平距离 x (m) 之间满足函数解析式y =a (x - 4)2+h ，已知点 O 与球网的水平距离为 5 m ，球网的高度为1.55 m. (2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7 m ， 离地面的高度为 m 的 Q 处时，乙扣球成功，求 a 的值.解： (2) 由题意得，16a + ℎ = 1，9a + ℎ = 125 ，∴a = − 1 a = − 1ℎ = 215 ，5 ，5.1.如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正 常水位 AB时，宽为 20 m ，若水位上升 3 m ，水面就会 达到警戒线 CD，这时水面宽度为 10 m.( 1) 建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线的解析式；解： (答案不唯一) ( 1) 建立如图所示的平面直角坐标 系，设所求抛物线的解析式为y =ax 2 ，点D 的坐标为 D (5 ，b ) ，则B ( 10 ，b -3)，把D ，B 的坐标分别代入，得{ 10 ，3 ，解得 ，，∴抛物线的解析式为y = - x 2 .251ba如图，某河面上有一座抛物线形拱桥，桥下水面在正 常水位 AB时，宽为 20 m ，若水位上升 3 m ，水面就会 达到警戒线 CD，这时水面宽度为 10 m.(2) 若洪水到来时，水位以每小时 0.2 m 的速度上升， 从警戒线开始，再持续多少小时就能到达拱桥的拱顶？解：(2) ∵b= - 1，∴拱桥顶O到CD的距离为1 m.∵ =5 ， ∴再持续5小时到达拱桥的拱顶．2. 飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)关于滑行时t(单 位：s)的函数解析式是y=60t- 1.5t2.在飞机着陆滑行中， 最后 4 s滑行的距离是24m.解：当y取得最大值时，飞机停下来，则y=60t- 1.5t2=- 1.5(t-20)2+600，当t=20时，y取得最大值，即飞机着陆后滑行20 s时， 滑行距离为600米．因此 t的取值范围是0≤t≤20，当t=16时，y=576，所以最后 4 s滑行的距离是600-576=24(m)．实际问题 数学模型 归化回转能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；选择简便的运算方法.(实物中的抛物线形问题) (二次函数的图象和性质)运动中的抛物线形 问题建立恰当的直角坐标系转化的 关键拱桥问题A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒解： ∵x 取6和14时y 的值相等，∴抛物线y =ax 2+bx 的对称轴为直线x = = 10，即炮弹达到最大高度的时刻是第10 秒．1.发射一枚炮弹，经过 x 秒后炮弹的高度为y 米，x ，y 满足y =ax 2+bx ，其中 a ，b 是常数，且 a ≠0.若此炮弹在 第 6 秒与第 14 秒时的高度相等，则炮弹达到最大高度 的时刻是( B)2.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m处起 跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m ，然后准确落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m ，在如图所 示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是 ( A) A.此抛物线的解析式是y=- x2+3.5B.篮圈中心的坐标是 (4 ，3.05)C.此抛物线的顶点坐标是 (3.5 ，0)D.篮球出手时离地面的高度是 2 m解：选项A中， ∵抛物线的顶点坐标为(0 ，3.5)，∴可设抛物线的函数解析式为y=ax2+3.5.∵篮圈中心( 1.5 ，3.05)在抛物线上，将它的坐标代入得 3.05=a× 1.52+3.5 ， ∴a=-0.2 ， ∴y=-0.2x2+3.5 ，故 本选项正确；选项B中，由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5 ，3.05)，故本选项错误；选项C中，由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0，3.5)，故本选项错误；选项D中，设这次跳投时，球出手处离地面h m ，∵由选项A可知y=-0.2x2+3.5 ， ∴当x=-2.5时，h= -0.2×(-2.5)2+3.5=2.25．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25 m．故本选项错误．!。
22.3 实际问题与二次函数(第3课时)一、内容及其解析1．内容利用二次函数知识解决生活中实际问题．2．内容解析本节课通过探究实际生活中的抛物线与二次函数的关系，引导学生用适当的函数分析问题和解决问题，在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化，体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数解决实际问题．二、目标及其解析1．目标能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决实际问题．2．目标解析达成目标的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，将已有知识综合运用来解决实际问题．三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程解应用题，具备了一定的建模能力，这为本节课的学习奠定了基础，但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说要完成这一建模过程难度较大．基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题转化成二次函数问题．四、教学过程设计1．复习二次函数解决实际问题的方法问题1 解决上节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？师生活动：学生思考后回答，师生共同归纳：(1)由于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是最低(高)点，可得当x ＝－2b a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小(大)值244ac ba －；(2)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；(3)在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值． 设计意图：培养学生归纳概括能力，并利用所学知识构建数学模型的能力．2．探究“拱桥”问题问题2 图中是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽度4 m ，水面下降1 m ，水面宽度增加多少？师生活动：学生独立思考后教师提问：(1)求水面宽度增加多少需要知道什么数据？(2)如何求这组数据？需要先求什么？(3)从图中你还知道什么？(4)怎样求抛物线对应的函数的解析式？设计意图：通过审题，引导学生建立直角坐标系，将实际问题转化为函数问题进行解决，锻炼学生实际应用的能力．问题3 如何建立直角坐标系？师生活动：学生小组讨论解决问题的方法，有的小组是将抛物线顶点作为坐标系原点，有的小组是在宽度为4 m 的水面中点作为坐标系原点，还有的小组是以宽度为4 m 的水面的左或右端点作为坐标系的顶点．每个小组都成功确定了抛物线对应的函数的解析式．师生共同讨论后，为解题方便，以抛物线的顶点为坐标系的原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系．可设这条抛物线表示的二次函数为y ＝ax 2．由抛物线经过点(2，－2)，可得这条抛物线表示的二次函数为y ＝－221x ． 当水面下降1 m 时，水面的纵坐标为－3，可以求出抛物线上纵坐标为－3的点的横坐标，进而通过横坐标就能求出下降1 m 后的水面宽度．设计意图：利用一元二次方程解决问题，通过审题，引导学生建立合理的坐标系，再通过二次函数的知识解决问题，锻炼学生实际应用的能力．问题4 解决本题的关键是什么？师生活动：学生独立思考并小组内交流，本题的关键是建立合理的直角坐标系．设计意图：通过思考和讨论，使学生能够更好地将函数知识应用到实际生活中，培养学生的应用意识．3．应用新知，巩固提高问题5 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m ，拱顶距离水面4 m ．(1)在如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；(2)设正常水位时桥下的水深为2 m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m ．求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行．师生活动：每个学生在练习本上完成，教师巡视，指导．然后小组交流，并评价． 设计意图：通过练习，巩固学生解答此类问题的能力．4．小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：(1)这节课学习了用什么知识解决哪类问题？(2)解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？(3)学到了哪些思考问题的方法？用函数的思想方法解决抛物线型拱桥问题应注意什么？设计意图：培养学生及时总结归纳的能力，加深对二次函数的认识，为熟练地应用知识解决问题提供方法．5．布置作业教科书第52页习题22.3第3题．五、目标检测设计1．拱桥呈抛物线形，其对应的函数的关系式为y ＝－41x 2，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为12 m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是_________．设计意图：考查学生对本节课所学的内容的理解和掌握的程度．2．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距地面3 m 高各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示，则厂门的高为__________m ．(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m．)(第2题)设计意图：考查学生对本节课所学的内容的理解和掌握的程度．3．有一辆载有长方体体状集装箱的货车要想通过洞拱横截面为抛物线的隧道，如图，已知沿底部宽AB为4 m，高OC为3.2 m；集装箱的宽与车的宽相同都是2.4 m；集装箱顶部离地面2.1 m．该车能通过隧道吗？请说明理由．(第3题)设计意图：考查学生对本节课所学的内容的理解和掌握的程度．。
