二次函数公开课

本节课我们学习了什么？你还有什么疑问？
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x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=-x² ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ...
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5.2 二次函数图像和性质(1)
观察函数y＝－x2图像，说出图像特征．
图像有最高点，过(0,0) y有最大值．
当x＜0时，y随x增大而增大．
抛物线关于y轴对称．
当x＞0时，y随x增大而减小． 抛物线开口向下．
5.2 二次函数图像和性质(1)
画函数图像步骤：列表 描点 连线 研究函数性质方法：数形结合
二次函数图像是怎样？
试着画一画吧！
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5.2 二次函数图像和性质(1)
例1 画出函数y＝x2图像．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
列表时自变量要 均匀和对称！
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5.2 二次函数图像和性质(1)
观察函数y＝x2图像，说出图像特征．
当x＜0时，y随x增大而减小．
图像有最低点，过（0,0） y有最小值．
抛物线关于y轴对称． 当x＞0时，y随x增大而增大．
抛物线开口向上．
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5.2 二次函数图像和性质(1)
例2 画出y＝－x2图像．
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5.2 二次函数图像和性质(1)
比较函数y＝－x2与y＝x2图像，说出图像 特征异同点．
假如是函数y＝2x2与y＝－2x2(1)
在同一坐标系上画函数y＝2x²，y＝－2x²，
y＝
1 2
x²和y＝
-
1 2
x²图像，并说出图像特征．
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5.2 二次函数图像和性质(1)

数学教育改革
随着深度学习和人工智能的快速发展 ，二次函数在机器学习、数据分析和 模式识别等领域的应用将更加广泛。
随着数学教育改革的推进，二次函数 的教学内容和方法可能会更加注重实 践和应用，培养学生的创新能力和实 践能力。
数学与其他学科的交叉
未来，二次函数可能会与其他学科如 生物学、化学、地理学等产生更多交 叉，为解决实际问题提供更多思路和 方法。
对称变换包括关于原点对称、关于x轴对称 和关于y轴对称。关于原点对称是图像关于 原点进行翻转，关于x轴对称是图像关于x轴 进行翻转，关于y轴对称是图像关于y轴进行 翻转。对称变换会改变函数值的正负号，但 不会改变函数值的分布规律。
04 二次ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数的应用
CHAPTER
生活中的二次函数
总结词
二次函数在生活中的运用广泛，涉及到经济 、物理、工程等多个领域。
伸缩变换是指二次函数的图像在平面内 沿某一轴方向进行缩放。
VS
详细描述
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向 伸缩是图像沿x轴方向缩放，纵向伸缩是 图像沿y轴方向缩放。伸缩变换会改变函 数值的大小，但不会改变函数值的分布规 律。
对称变换
总结词
对称变换是指二次函数的图像在平面内进行 对称翻转。
详细描述
02 二次函数的解析式
CHAPTER
二次函数的表达式
总结词
二次函数的一般表达式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般表达式由三部分组成，分别是二次项系数$a$、一次项系数$b$ 和常数项$c$。其中，$a$决定了抛物线的开口方向和开口大小，$b$决定了抛 物线的对称轴位置，$c$决定了抛物线与y轴的交点位置。

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y a(x h)2 k的图像性质：
对称轴：x=h 顶点坐标：（h，k） 参数a、h、k对图像影响：
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小结：
y a(x h)2 k
简图
图像性质
a>0
a<0
开口方向
向上
向下
对称轴
x=h
x=h
顶点坐标 (h,k)
(h,k)
增减性
x<h,y随x增大而减小 x<h,y随x增大而增大
最值
最值
x>h,y随x增大而增大 x>h,y随x增大而减小
当x=h,y最小=k
当x=h，y最大=k
开口大小 • |a|越大，开口越小，y随x改变速
度越快
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例2. 已知一个二次函数，它顶点坐标与抛物线
y (x 1)2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ顶点坐标关于原点对称，其图像经过
点A（2，-16），求该二次函数解析式。
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小结：
y a(x h)2 k
简图
图像性质
a>0
a<0
开口方向
向上
向下
对称轴
x=h
x=h
顶点坐标 (h,k)
(h,k)
增减性
x<h,y随x增大而减小 x<h,y随x增大而增大
2.4.1二次函数y ax2 bx c的图像
y a(x h)2 k的图像
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1.指出以下每组函数图像之间关系：
(1) y 1 x2 2
向右平移 2个单位
y 1 (x 2)2 2
向上平移1 个单位
y 1 (x 2)2 1 2
(2) y 1 x2 向左平移 2 2个单位

y=x2-5x+6 (x 5)2 1 24
y=x2
y (x 5)2 1 24
一元二次方程根旳情况与b²-4ac旳关系
我们懂得:代数式b2-4ac对于方程旳根起着关键旳作用.
当b2 4ac 0时,方程ax2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
x1,2 b
b2 4ac .
（2）若该抛物线与x轴旳两个交点分别为A、B，
且它旳顶点为P，求△ABP旳面积。
模块二、常见题型
1.求解二次函数解析式， 16.求二次函数f (x) 2x2 6x
待定系数法；
在下列定义域上的函数取值范围；
2.图像特征；
(1)定义域为{x Z 0 x 3};
3.单调性；
(2)定义域为[2,1];
(1)有两个交点
b2 – 4ac > 0
(2)有一种交点
b2 – 4ac= 0
(3)没有交点
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
与x轴有两个不
b2-4ac＞0
同旳交点 （x1，0）
（x2，0）
与x轴有唯一种
b2-4ac=0 交点 ( b ,0) 2a
·co
x
6、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)旳图象
A 如图所示，则a、b、c旳符号为（ ）
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0 D、a>bx+c(a≠0)旳图象如图
C 所示，则a、b、c 、 △旳符号为（ ）
2.图像特征；

上述三个问题中旳函数解析式具有哪些共同旳 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 旳形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2&x)
y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)，
二次函数旳概念
温故知新
复习： 1、什么是函数？
在某个变化过程中，有两个变量x 和y ， 假如对于x 旳每一个可取旳值，都有唯一一 种y 值与它相应，那么y 称为x 旳 函数。 2、什么叫做一次函数？
形如y=kx+b (k、b为常数，k≠0)
3、函数有哪些表达措施？
解析法 列表法 图象法
合作学习，探索新知 :
请用合适旳函数解析式表达下列问题情 境中旳两个变量 y 与 x 之间旳关系：
(1)圆旳面积 y ( cm2)与圆旳半径 x ( cm ) y =πx2
(2)某商店1月份旳利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润旳月平 均增长率为x，3月份旳利润为y
y = 2(1+x)2
合作学习，探索新知 :
当a, b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数? （1）a 0
(2)它是一次函数？ (2)a 0,b 0
(3)它是正百分比函数？(3)a 0,b 0, c 0
例题精讲
例１ m取哪些值时，函数 y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以x为自变量旳二次
函数？
2: m取何值时，函数y=(m+1)xm2 2m 1
(3)拟建中旳一种温室旳平面图如图,假如

蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
B．y＝2a(1＋x)
C．y＝a(1＋x)2
D．y＝a(1－x)2
6．(4 分)已知某车的刹车距离 y(m)与开始刹车时的速度 x(m/s)之
间满足二次函数 y＝210x2(x＞0)，若该车某次的刹车距离为 5 m，则开
始刹车时的速度为( C )
A．40 mபைடு நூலகம்s
B．20 m/s
C．10 m/s
D．5 m/s
(2)依题意有 k2－k≠0，∴k≠0 且 k≠1.即当 k≠0 且 k≠1 时，函 数 y＝(k2－k)x2＋kx＋k＋1 是二次函数
14．(14分)一块矩形草地，长为8 m，宽为6 m，若将长和宽 都增加x m，设增加的面积为y m2.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若要使草地的面积增加32 m2，长和宽都增加多少米？
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。

02
二次函数的定义和 性质
二次函数的定义
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。 分类：二次函数有一般形式、顶点式和交点式。 表达式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0) 图像：二次函数的图像是一条抛物线。
二次函数的性质
开口方向：通过函数表达式判断 顶点坐标：使函数取得极值的点 对称轴：直线x=-b/2a 函数最值：在顶点处取得
二次函数公开课一 等奖课件
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目录
函数概念及表示方法
二次函数的解析式和分类 讨论
二次函数的扩展知识
二次函数的定义和性质 二次函数的应用 总结与展望
01
函数概念及表示方 法
函数定义
定义域：自变量的取值范围
变量：函数中的自变量和因 变量
值域：因变量的取值范围
对应关系：函数的核心关系， 将自变量和因变量联系起来
物理领域：研究 物体的运动轨迹、 振动等
化学领域：研究 化学反应过程中 物质浓度的变化 等
工程领域：用于 研究物体的受力 分析、优化设计 等
05
二次函数的扩展知 识
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元 二次方程的联系
二次函数与一元 二次方程的转化
利用二次函数解 决一元二次方程 的问题
通过一元二次方 程理解二次函数 的性质
应用：解决实际问题、数学考试中的应用、一元二次方程的求解问题等 总结：二次函数是数学中重要的基础知识之一，掌握其概念和性质对于解决各种实际问题 具有重要意义。
展望二次函数未来的发展前景和应用领域
未来发展前景：随着数学学科的进步，二次函数的理论和 算法将继续得到完善和发展，为数学和其他学科提供更丰 富的工具和手段。

最大值或最小值（即 $k$ 的值）。
公式法
总结词
适用于任何形式的二次函数，可以直接套用 公式求出函数的根。
详细描述
公式法是解二次方程的通用方法。对于一般 形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其 解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$。使用公式法时，需要注意判别 式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的正负，以确定 方程的实根个数。
详细描述
二次函数是数学中常见的函数形式之一，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中x为自变量，y为因变量。a、b、c为常 数，且a≠0。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线 开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线，其形 状由a、b、c的值决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。根据a 、b、c的值，抛物线的位置、开口方 向和开口大小会有所不同。当b=0时 ，抛物线关于y轴对称；当b≠0时，抛 物线关于x=-b/2a对称。
提升习题3
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$经过原点，求证 ：$a = 1$。
竞赛习题
竞赛习题1
已知抛物线$y = ax^2 + bx + c$的顶点在第二象限，求证：$a
< 0$。
竞赛习题2
若抛物线$y = ax^2 + bx + c$ 与直线$y = mx + n$相切于原 点，求证：抛物线的对称轴为直
配方法的基本步骤是将二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 转化为 $f(x) = a(x - h)^2 + k$ 的形式，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点 坐标。通过配方，我们可以确定函数的开口

y 1 x2
-1
2
-2
(2) 描点
-3
(3) 连线 y x2
-4
-5
y 2 x2
函数y=－21 x2,y=－2x2旳图象与函数y=－x2 (图中蓝线图形)旳图象相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线
旳最高点，对称轴是 y 轴
-3 -2
在对称轴旳左侧， y伴随x旳增大而增大。
3.当a<0时，开口向下，顶点是最高点， a值越大，抛物线开口越大； 在对称轴旳左侧，y随x旳增大而增大； 在对称轴旳右侧，y随x旳增大而减小。
巩固 1、说出下列函数图象旳性质：
(1) y 3x2 (2) y 3x2 (3) y 1 x2
3
2、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线旳函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6旳点旳坐标。
-4
-6
?
-8
-10 y=-x2
y
y x2
当x<0 (在对称轴旳 左侧)时,y伴随x旳增大而 增大.
当x>0 (在对称轴 旳右侧)时, y伴随 x旳增大而减小.
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
抛物线y= -x2在x轴旳 下方(除顶点外),顶点 是它旳最高点,开口 向下,而且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 旳值最大,最大值是0.
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
y ax2
二次函数y=ax2旳性质
1.抛物线y=ax2旳顶点是原点, y ax2 对称轴是y轴.
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴旳上方(除顶点外), 它旳开口向上,而且向上无限伸展；

们可以通过将特定的横坐标代入二次函数的方程来求得对应的函数值。这样我们可以得到函数图像上的点。
二次函数的图像
二次函数的图像形状可以是抛物线，其凹性取决于a的正负。正数a使抛物线开口朝上，负数a使抛物线开口朝 下。这种图像帮助我们直观地理解二次函数的变化规律。
开口朝上
正数a使抛物线形状开口朝上。
开口朝下
负数a使抛物线形状开口朝下。
二次函数的顶点
二次函数的顶点是抛物线的最高（或最低）点。顶点的横坐标可以通过求根 公式(-b/2a)得到，纵坐标是函数的最大值或最小值。
二次函数的轴对称线
抛物线的轴对称线在顶点处垂直于x轴。它将抛物线分为两个对称的部分，使 我们能够推断出函数值的对应关系。
二次函数的零点
二次函数的零点是使函数值为零的横坐标。我们可以使用求根公式找到二次函数的零点。
零点
零点是函数与x轴相交的点，使函数值为零。
二次函数的判别式
二次函数的判别式为Δ = b² - 4ac，它可以告诉我们方程的根有多少个，以及根 的性质。
二次函数(公开课)
欢迎参加我们的二次函数公开课！本课程将详细讲解二次函数的定义、特点 以及其在实际中的应用。让我们一起探索二次函数的奥秘吧！
二次函数的一般式
二次函数可以表示为y = ax²+ bx + c的一般式，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。这种形式使我们能够直观地了解 二次函数的性质和特点。