第三章 多自由度系统振动
多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。
3.1 振动微分方程
虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。
[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。三个质量只作水平方
向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。
图3-1 3自由度系统
)
(1t P 3
m )
(2t P 1
m 2
m )
(3t P 1
k 1
c 2
c 3
c 2k 3
k 4
k 4
c
解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取
在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。质量块的速度分别为1x
，2x 和3x ，加速度分别为1x
，2x 和3x 。每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：
图3-2 (a) 图3-2(b)
图3-2(c)
)()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k x
m +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k x
m +--+--= 或
)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c x
m =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c x
m =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m
三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。若质量、
刚度和阻尼矩阵都是对角矩阵，则三个微分方程是独立的，相当于三个独立的
)(1t P 1
x 11x c 1
1x k )(212x x
c -)(212x x k -x m 1)
(2t P 2x )(323x x
c -)
(323x x k -x
m 2)
(212x x k -)
(3t P 34x c 3
4x k x
m 33x )(323x x c -)
(323x x k -1
m 3
m 2
m )(212x x c -
单自由度系统，其求解变为三个单自由度系统求解。
质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合，刚度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。此例中没有惯性耦合，因为质量矩是对角的。但一般情况下质量矩阵并不是对角的，所以一般情况下多自由度系统既有弹性耦合、也有惯性耦合。下面我们通过一个例子来说明质量矩阵不是对角的情况。 [例二] 写出图3-3所示系统振动微分方程
系统中均质刚性杆AB 的质量为m ，转动惯量为c J ，前后两端分别用刚度为
1k 和2k 的两个弹簧由承于地面上，杆全为长l 。
图3-3
若用杆两端的竖向位移1x 、2x 来描述刚杆的运动状态，则受力图如图3.4所示，
图3.4
显然、质心处的加速度为
()2
21x x +，根据牛顿第二定律，在竖直方向有：
221121)2
(
x k x k x
x m --=+ 杆的转动加速度为（顺时针为正）
()l
x x 21 -，对C 点应用动力矩定理：
1x 2
x A B
'A ,
B
C
1
1x k 2
2x k
2
2)(112221l x k l x k l x x J C -=-
整理并写成矩阵形式有：
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡0022222221
2121
21x x l k l k k k x x l J l J m m
C C
质量矩阵并不是对角的。当然，此例中若选质心的平动及绕质心的转动来描述运动，质量矩阵将是对角的。
一般地，对n 自由度系统，振动微分方程为：
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡432143212
1
222
21
1121143212
1
222
21
1121143212
1
2222111211...............................................................F F F F x x x x k k k k k k k k k x x x x
c c c c c c c c c x x x x
m m m m m m m m m nn n n n n nn n n n n nn n n n n 写成矩阵形式有：
[]{}[]{}[]{}{}F x K x C x
=++ M (3.1) 根据分析力学，具有定常约束的系统的动能T 与势能U 可写为下列二次型
{}[]{}x M x
T T 21=
{}[]{}x K x U T
2
1= (3.2) 对于稳定平衡的振动系统,系统的动能T 总是大于零的(除非系统是静止的)，所以质量矩阵一般是正定的。同样，系统的势能U 也总大于零，所以刚度矩阵也是正定的。此外，系统的动能和势能不会因为表达形式不同而改变，对式(3.2)转置，比较可知，刚度矩阵和质量矩阵必须是对称矩阵，因而有：
[][]K K T = [][]M M T = (3.3)
3.2无阻尼自由振动
一、固有频率和振形
本节主要目的是通过无阻尼自由振动系统来介绍多自由系统的固有频率和振型，它们是多自由振动系统的重要特征。
