高中数学笔记-5-平面向量

高一平面向量的知识点归纳总结

平面向量是高中数学中一个重要的概念，也是数学建模中常用的工具。在高一阶段，学生首次接触平面向量，并需要掌握其相关的计算方法和性质。本文将对高一平面向量的知识点进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。

一、平面向量的定义与表示方法

平面向量是有大小和方向的量，可以用有向线段表示，用一个点与另一个点之间的坐标差表示。一般用字母加箭头表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。

二、平面向量的运算

1. 平面向量的相加减：向量的相加是指将一个向量的终点与另一个向量的起点相连，并以此线段为新向量的长度和方向。向量的相减可以转换为向量的相加：A - B = A + (-B)。

2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的长度与一个实数相乘，得到一个新的向量，其方向与原向量相同（若实数为正）或相反（若实数为负）。

3. 向量的数量积：向量的数量积等于向量的长度乘积与两向量夹角的余弦值的乘积。数量积具有交换律和分配律。

三、平面向量的基本性质

1. 平移性质：可以将一个向量平移至另一个点，其大小和方向不变。 2. 平面向量的共线性：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是共线的；如果两个向量的方向互相垂直，那么它们是互相垂直的；如果两个向量不共线且不垂直，那么它们是不共线也不垂直的。

3. 向量共点性质：三个向量共点的充分必要条件是其中一个向量等于另外两个向量的和。

四、平面向量的几何应用

平面向量在几何中具有广泛的应用。其中，平面向量的模表示向量的长度，平面向量的方向角表示向量与坐标轴的夹角，平面向量的端点坐标可以确定向量在平面直角坐标系中的位置。通过对平面向量的几何运算，可以解决平面上的定位、距离和角度等问题。

五、平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，一个向量可以用其横坐标和纵坐标来表示。具体地说，如果向量的起点在原点O(0, 0)，终点在A(x₁, y₁)，那么这个向量可以用[x₁, y₁]来表示。向量的坐标表示方法简化了向量的运算和表示，对于解决实际问题具有实际意义。

高中数学平面向量知识点总结

一、平面向量的基本概念

1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。

3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。

4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。

二、平面向量的运算

1. 加法：

- 规则：平行四边形法则或三角形法则。

- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。

- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} +

(\vec{b} + \vec{c})$。

2. 减法：

- 规则：与加法类似，但方向相反。

- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。

3. 数乘：

- 定义：向量与实数相乘。

- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与

$k$ 的符号一致。

- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。

- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。

三、平面向量的坐标表示

1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。

2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。

3. 坐标运算：

- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。

高中数学《平面向量》知识点总结

平面向量是高中数学中的重要内容之一、它是描述平面上的有向线段的数学工具，广泛应用于几何、物理和工程等领域。以下是对平面向量知识点的总结。

1.平面向量的定义和表示法：

平面向量是具有大小和方向的有向线段。可以用有序数对(x,y)表示向量，也可以用字母加上箭头表示向量，如向量a用小写字母a加上箭头表示。

2.平面向量的运算：

(1)向量的加法：向量的加法满足“三角形法则”，即两个向量相加等于以它们为相邻边的平行四边形的对角线；

(2)向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量，其大小等于原向量大小乘以实数，方向与原向量相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）；

(3)数乘的性质：数乘满足交换律、结合律和分配律；

(4)向量的减法：向量减法即向量加上其负向量；

(5)零向量：大小为0的向量，任何向量与零向量相加等于原向量本身，与零向量的数乘等于零向量本身；

(6)向量的线性组合：若有一组向量，每个向量乘以相应的实数再相加得到的向量称为向量的线性组合； (7)内积：内积是一种向量间的一种运算，定义为两个向量的大小之积乘以夹角的余弦值，用点乘符号表示，即向量a与向量b的内积为a·b；

(8)内积的性质：内积满足交换律、结合律、分配律和数乘结合律，同时与向量的长度、夹角以及方向都有关系；

(9)垂直：若两个非零向量的内积为0，则它们互相垂直。

3.平面向量的坐标表示：

平面上的向量可以用坐标表示。设平面上一个点的坐标为A(x1,y1)，则以原点O为起点的向量可以表示为向量a(x1,y1)，其中x1和y1分别是向量在x轴和y轴上的投影长度。

4.平面向量的模和方向角：

(1) 模：向量的模是指向量的长度，用，a，表示，计算公式为：，a，=sqrt(x^2 + y^2)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度；

(2) 方向角：向量的方向角是指向量与x轴正半轴之间的夹角，一般用θ表示，计算公式为：θ=tan^(-1)(y/x)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。

精品文档

. 平面向量

1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数。〔1〕向量式：a∥b(b≠0)a=b;〔2〕坐标式：a∥b(b≠0)x1y2－x2y1=0;

2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 〔1〕向量式：a⊥b(b≠0)ab=0; 〔2〕坐标式：a⊥bx1x2+y1y2=0;

3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab=cosba=x1x2+y1y2;其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；

4.设A〔x1,x2〕、B(x2,y2)，那么S⊿AOB＝122121yxyx；

5.平面向量数量积的坐标表示：

〔1〕假设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab=x1x2+y1y2;221221)()(yyxxAB;

〔2〕假设a=(x,y),那么a2=aa=x2+y2,22yxa;

十、向量法

1、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，那么：

〔1〕线线平行：l∥ma∥bakb

〔2〕线面平行：l∥au0au

〔3〕面面平行：////uvukv

注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.

2、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，那么：

〔1〕线线垂直：lmab0ab

〔2〕线面垂直：la∥uaku

〔3〕面面垂直：uv0uv

3、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，那么：

〔1〕直线、ml所成的角(0)2，cosabab

〔2〕直线l与平面所成的角(0)2，sinauau

〔3〕平面与平面所成的二面角的平面角(0)，cosuvuv