高一数学 平面向量
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§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：AB；
④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．．A(起点) B
（终点）
a 2
的起点无关．．．．．.
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．．.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
（四）理解和巩固：.
例 判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例 下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 3 O A
B a a
a b b b 二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝ｂ，则向量AC叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂACBCAB，规定： a + 0-= 0 + a
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且|a+b|<|a|+|b|；
（3）当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|，当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量a、b，求作向量a+b
作法：在平面内取一点，作aOA bAB，则baOB.
４．加法的交换律和平行四边形法则
１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
a A B C
a+b a+b a a
b b a
ｂ ｂ ａa 4
２）向量加法的交换律：a+b=b+a
５．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
证：如图：使aAB， bBC， cCD
则(a+b) +c=ADCDAC，a+ (b+c) =ADBDAB
∴(a+b) +c=a+ (b+c)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
一、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = b， b = a， a + b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O，
作OA= a， AB= b O a
b
B a
b ab 5
则BA= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1AB表示a b.强调：差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
§2.3.1 平面向量基本定理
1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0
2．运算定律
结合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b)=λa+λb
3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.
平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e.
MC和MD
§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
1．平面向量的坐标表示 O A B
a B’
b b
b
B a+ (b) a
b 6 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得
yjxia„„„„○1
我们把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作
),(yxa„„„„○2
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a相．等的向量的坐标也为．．．．．．．．．),(yx.
特别地，)0,1(i，)1,0(j，)0,0(0.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作aOA，则点A的位置由a唯一确定.
设yjxiOA，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标；反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若),(11yxa，),(22yxb，
则ba),(2121yyxx，ba),(2121yyxx
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为i、j，则ba)()(2211jyixjyixjyyixx)()(2121
即ba),(2121yyxx，同理可得ba),(2121yyxx
（2） 若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 7 AB=OBOA=( x2， y2) (x1，y1)= (x2 x1， y2 y1)
（3）若),(yxa和实数，则),(yxa.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为i、j，则a)(yjxiyjxi，即),(yxa
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
a∥b (b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0
设a=(x1， y1) ，b=(x2， y2) 其中ba.
由a=λb得， (x1， y1) =λ(x2， y2) 2121yyxx 消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1， y2有可能为0， ∵b0 ∴x2， y2中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成2211xyxy ∵x1， x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：a∥b (b0)01221yxyxba
例 若向量a=(-1，x)与b=(-x， 2)共线且方向相同，求x
解：∵a=(-1，x)与b=(-x， 2) 共线 ∴(-1)³2- x•(-x)=0
∴x=±2 ∵a与b方向相同 ∴x=2
例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
