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高考数学平面向量

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1 / 9 高三一轮复习讲座五 ----平面向量

主讲教师：王思俭 （苏州中学）

二、复习要求

1、向量的概念；

2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；

3、向量运算的运用

三、学习指导

1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。

2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下：

运 算 图形语言 符号语言 坐标语言

加法与减法 OA+OB=OC

OB-OA=AB 记OA=(x1,y1)，OB=(x1,y2)

则OA+OB=(x1+x2,y1+y2)

OB-OA=（x2-x1,y2-y1）

OA+AB=OB

实数与向量

的乘积

AB=λa

λ∈R 记a=(x,y)

则λa=(λx,λy)

两个向量

的数量积

a·b=|a||b|

cos<a,b> 记a=(x1,y1), b=(x2,y2)

则a·b=x1x2+y1y2

3、运算律

加法：a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c) 2 / 9 实数与向量的乘积：λ(a+b)=λa+λb；(λ+μ)a=λa+μa，λ(μa)=

(λμ) a

两个向量的数量积：a·b=b·a；(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)，(a+b)·c=a·c+b·c

说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(a±b)2=22bba2a

4、重要定理、公式

（1）平面向量基本定理；如果1e+2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对数数λ1，λ2，满足a=λ11e+λ22e，称λ11eλ+λ22e为1e，2e的线性组合。

根据平面向量基本定理，任一向量a与有序数对(λ1,λ2)一一对应，称(λ1,λ2)为a在基底{1e，2e}下的坐标，当取{1e，2e}为单位正交基底{i，j}时定义(λ1，λ2)为向量a的平面直角坐标。

向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则OA=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量AB坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则AB=(x2-x1,y2-y1)

（2）两个向量平行的充要条件

符号语言：若a∥b，a≠0，则a=λb

坐标语言为：设a=（x1,y1），b=(x2,y2)，则a∥b(x1,y1)=λ(x2,y2)，即2121yyxx，或x1y2-x2y1=0

在这里，实数λ是唯一存在的，当a与b同向时，λ>0；当a与b异向时，λ<0。

|λ|=|b||a|，λ的大小由a及b的大小确定。因此，当a，b确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

（3）两个向量垂直的充要条件

符号语言：a⊥ba·b=0

坐标语言：设a=(x1,y1), b=(x2,y2)，则a⊥bx1x2+y1y2=0

（4）线段定比分点公式

如图，设21PPPP

则定比分点向量式：21OP1OP11OP

定比分点坐标式：设P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2） 3 / 9 则1yyy1xxx2121

特例：当λ=1时，就得到中点公式：

)OPOP(21OP21，2yyy2xxx211211

实际上，对于起点相同，终点共线三个向量OP，1OP，2OP（O与P1P2不共线），总有OP=u1OP+v2OP，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。

（5）平移公式：

①点平移公式，如果点P（x，y）按a=（h，k）平移至P’（x’，y’），则ky'yhx'x

分别称（x，y），（x’，y’）为旧、新坐标，a为平移法则

在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标

②图形平移：设曲线C：y=f(x)按a=（h，k）平移，则平移后曲线C’对应的解析式为y-k=f(x-h)

当h，k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移

利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质

（6）正弦定理，余弦定理

正弦定理：R2CsincBsinbAsina

余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosA

b2=c2+a2-2cacosB

c2=a2+b2-2abcosc

定理变形：cosA=bc2acb222，cosB=ac2bac222，cosC=ab2cba222

正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本，理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。

四、典型例题 4 / 9 例1、如图，OA，OB为单位向量，OA与OB夹角为1200， OC与OA的夹角为450，|OC|=5，用OA，OB表示OC。

分析：

以OA，OB为邻边，OC为对角线构造平行四边形

把向量OC在OA，OB方向上进行分解，如图，设OE=λOA，OD=μOB，λ>0，μ>0

则OC=λOA+μOB

∵ |OA|=|OB|=1

∴ λ=|OE|，μ=|OD|

△OEC中，∠E=600，∠OCE=750，由00045sin|CE|60sin|OC|75sin|OE|得：

6)623(560sin75sin|OC||OE|00

36560sin45sin|OC||CE|00

∴ 365,6)623(5

∴ OB365OA6)623(5OC

说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理

例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD坐标。

分析：

用解方程组思想

设D（x，y），则AD=（x-2，y+1）

∵BC=（-6，-3），AD·BC=0

∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 ①

∵BD=(x-3，y-2)，BC∥BD

∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 ②

由①②得：1y1x

∴ D（1，1），AD=（-1，2） 5 / 9 例3、求与向量a=3(，-1）和b=（1，3）夹角相等，且模为2的向量c的坐标。

分析：

用解方程组思想

法一：设c=（x，y），则a·c=3x-y，b·c=x+3y

∵ <a，c>=<b，c>

∴

|c||b|cb|c||a|ca

∴ y3xyx3

即y)32(x ①

又|c|=2

∴ x2+y2=2 ②

由①②得213y213x 或213y213x（舍）

∴c=)213,213(

法二：从分析形的特征着手

∵ |a|=|b|=2

a·b=0

∴ △AOB为等腰直角三角形，如图

∵ |OC|=2，∠AOC=∠BOC

∴ C为AB中点

∴ C（213,213）

说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。

例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|OM|∶|OA|=1∶3，|ON|∶|OB|=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记OA= a，OB=b，用 a，b表示向量OP。

分析：

∵ B、P、M共线

∴ 记BP=sPM 6 / 9 ∴ a)s1(3sbs11OA)s1(3sOBs11OMs1sOBs11OP ①

同理，记PNtAP

∴ OP=b)t1(4tat11 ②

∵ a,b不共线

∴ 由①②得)t1(4ts11)s1(3st11解之得：38t29s

∴ b112a118OP

说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。

例5、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点

（1）利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=450；

（2）若∠PED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。

分析：

利用坐标系可以确定点P位置

如图，建立平面直角坐标系

则C（2，0），D（2，3），E（1，0）

设P（0，y）

∴ ED=（1，3），EP=（-1，y）

∴ 1y|EP|,10|ED|2

ED·EP=3y-1

代入cos450=|EP||ED|EPED

解之得21y（舍），或y=2

∴ 点P为靠近点A的AB三等分处

（3）当∠PED=450时，由（1）知P（0，2）

∴ PD=（2，1），EP=（-1，2）

∴EP·PD=0

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平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四）

一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分）

1．设1(acos,3), (bsin)3,,且a∥b， 则锐角为（ ）

A. 6 B. 4 C. 3 D. 125

2．已知点)0,2(A、)0,3(B，动点2),(xPBPAyxP满足，则点P的轨迹是（ ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

3．已知向量值是相互垂直，则与且kbabakba2),2,0,1(),0,1,1(（ ）

A. 1 B. 51 C. 53 D. 57

4．已知ba,是非零向量且满足的夹角是与则babababa,)2(,)2(（ ）

A. 6 B. 3 C. 32 D. 65

5．将函数y=sinx的图像上各点按向量a（2,3）平移，再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ）

A.y=sin(2x+3)+2 B.y=sin(2x－3)－2 C.y=(321x)－2 D.y=sin(321x)+2

6．若A,B两点的坐标是A(3cos,3sin,1),B(2,cos2,sin1),|AB|的取值范围是( )

A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25]

7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(a方向取线段长|AB|=34,则点B的坐标为（ ）

A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17)

高考数学基础训练题(18)平面向量

高考数学基础训练题(18)平面向量

十八、平面向量

1.在梯形ABCD中，AB//CD,CDAB2,FE,是BADC,的中点，bABaAD,,是以ba,为基底表示EFBCDC,,

2.如图，在四边形ABCD中，下列各式成立的是( )

A．BC→－BD→＝CD→ B．CD→＋DA→＝AC→

C．CB→＋AD→＋BA→＝CD→ D．AB→＋AC→＝BD→＋DC→

3.如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF→＝( )

A．12AB→－13AD→ B．14AB→＋12AD→

C．13AB→＋12DA→ D．12AB→－23AD→

4.如图，已知AB→＝a，AC→＝b，BD→＝3DC→，用a，b表示AD→，则AD→＝( )

A．a＋34b B．14a＋34b

C．14a＋14b D．34a＋14b

5.如图所示，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若AB→＝a，AD→＝b，用a，b表示AG→＝________.

6.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.

7.设a，b是两个不共线的非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝__________.

8.在△ABC中，点D，F是BC，AC的中点，E是AD和BF的交点，AE→＝23AD→，AB→＝a，AC→＝b.

(1)用a，b表示向量AD→，AE→，AF→，BE→，BF→；

(2)求证：B，E，F三点共线．

9.已知向量(1,2),(,1),2abxuab，2vab，且//uv，则实数x等于________. 第5题图 第6题图 10.已知a＝(x,3)，b＝(3，－1)且a∥b，则x等于________.

平面向量高考探秘

平面向量高考探秘

数学有数　平面向量高考探秘　■王佩其　２０１３年高考渐渐远去，２０１４年高考的烽火已经　点燃．俗活说，知彼知己，百战不殆．平面向量作为数　学高考的必考内容．它在高考中主要涉及哪些考点？　让我们从２０１３年高考真题中看分明．　一、平面向量的有关概念　平面向量的有关概念，包括平面向量本身的定　义、以及零向量、单位向量、相等向量和共线（平　行）向量等概念，还包含向量的夹角和一个向量在另　一个向量方向上的投影等概念，本考点一般以小题形　式出现．难度不大．　例１．（１）　（２０１３年高考辽宁（理））已知点Ａ（１，３），　Ｂ（４，一１）．贝　与向量　同方向的单位向量为（　）　Ａ．（｝，一争）　Ｂ．（　，一｝）　ｃ．（一｝，争）　Ｄ．（一争，｝）　（２）（２０１３年高考湖北卷（理））已知点Ａ（一１，１）、　Ｂ（１，２）、ｃ（一２，一１）、ｏ（３，４），则向量碗　向上　的投影为（　）　Ａ．—３ｘ　，＇ＴＢ．—３—ｖ　ｑ一３－　Ｃ．一—３—＂Ｖ　￣—一Ｄ．一—３ｖ　ｑ３－点拨：（１）　＝（４，一１）一（１，３）＝（３，－－４），故与向量　同方向的单位向量为备＝　＝（｝，号）；　（２）ａ－－－ｇ＝（１，２）一（一１，１）＝（２，１），ＣＤ＝（３，４）一（一２，一１）＝　（５，５），黼量　在　为　：—３Ｎ，／—２．　５、／，　２　答案：（１）Ａ；（２）Ａ．　点评：准确理解向量的有关概念是解决该类问题　的关键．如与向量平行的单位向量有两个ａ，ｂ），它们　是　和一　，向量二在向量　方向上的投　影为借，是一个数值．　Ｉ　ｂ　ｊ　二、平面向量的基本定理　所谓平面向量基本定理，即如果　，－＋ｅ２，是同　一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的　任一向量　，有且只有一对实数入　，　使二＝　。　＋　．在高考中主要考查对这个定理的理解和应用．涉及　试题以小题为主．难度中等．　例２．（１）（２０１３年高考广东卷（文））设口是已知　的平面向量且ｏ≠０，关于向量ｎ的分解，有如下四个　命题：　①给定向量　，总存在向量；，使　：　＋；；　②给定向量　和；，总存在实数Ａ和　，使二：Ａ　＋　；　③给定单位向量６和正数　，总存在单位向量ｃ和　实数Ａ，使０＝入６　；　④给定正数Ａ和　，总存在单位向量６和单位向　量ｃ，使０＝Ａ６＋　．　上述命题中的向量　，；和　，和在同一平面内且　两两不共线，则真命题的个数是（　）　Ａ．１　Ｂ．２　Ｃ．３　Ｄ．４　（２）（２０１３年高考北京卷（理））向量口、６、ｃ在正　方形网格中的位置　如图所示．若；：Ａ二机 Ｅ），则　／．ｔｂ　Ｒ　＝　（　，　Ｅ　），贝０　一＝　高中２０１　

高考一轮复习：平面向量的概念及线性运算

高考一轮复习：平面向量的概念及线性运算

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我爱学习网 高中数学学习方法/gaozhong/shuxue/fangfa/ 第1讲 平面向量的概念及线性运算

【2015年高考会这样考】

1．考查平面向量的线性运算．

2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．

【复习指导】

本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．

基础梳理

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则 (1) 交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 我爱学习网 在线学习网 分享学习方法 励志人生

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减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 a－b＝a＋(－b)

3.向量的数乘运算及其几何意义

(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则

①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb.

4．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.