高中数学-平面向量专题

第一部分：平面对量的概念及线性运算

一.基础学问 自主学习

1．向量的有关概念

名称 定义 备注

向量 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 ) 平面对量是自由向量

零向量 长度为 的向量；其方向是随意的 记作0

单位向量 长度等于 的

向量 非零向量a的单位向量为±a|a|

平行向量 方向 或 的非零向量 0与任一向量 或共线 共线向量

的非零向量又叫做共线向量

相等向量

长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何

意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

(1)交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 法则 a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|.

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；

当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb.

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的 条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

二.难点正本 疑点清源

1．向量的两要素

向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．

2．向量平行与直线平行的区分

向量平行包括向量共线(或重合)的状况，而直线平行不包括共线的状况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必需说明这两条直线不重合．

三．基础自测

1．化简OP→－QP→＋MS→－MQ→的结果等于________．

2．下列命题：①平行向量肯定相等；②不相等的向量肯定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；

④相等向量肯定共线．其中不正确命题的序号是_______．

3．在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b.若点D满意BD→＝2DC→，则AD→＝________(用b、c表示)．

4．如图，向量a－b等于( )

A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2

C．e1－3e2 D．3e1－e2

5．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则肯定共线的三点是 ( )

A．A、B、D B．A、B、C

C．B、C、D D．A、C、D

四．题型分类 深度剖析

题型一 平面对量的有关概念

例1 给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的序号是________．

变式训练1 推断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．

(1)若向量a与b同向，且|a|＝|b|，则a>b；

(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；

(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与随意向量平行；

(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；

(6)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；

(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

(8)任一向量与它的相反向量不相等

题型二 平面对量的线性运算

例2 如图，以向量OA→＝a，OB→＝b为边作▱OADB，BM→＝13BC→，CN→＝13CD→，用a、b表示OM→、ON→、MN→.

变式训练2 △ABC中，AD→＝23AB→，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设AB→＝a，AC→＝b，用a、b表示向量AE→、BC→、DE→、DN→、AM→、AN→.

题型三 平面对量的共线问题

例3 设e1，e2是两个不共线向量，已知AB→＝2e1－8e2，CB→＝e1＋3e2，CD→＝2e1－e2.

(1)求证：A、B、D三点共线；

(2)若BF→＝3e1－ke2，且B、D、F三点共线，求k的值．

变式训练3 设两个非零向量a与b不共线，

(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

五．思想与方法

5．用方程思想解决平面对量的线性运算问题

试题：如图所示，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，设OA→＝a，OB→＝b.试用a和b表示向量OM→.

六．思想方法 感悟提高

方法与技巧

1．将向量用其它向量(特殊是基向量)线性表示，是非常重要的技能，也是向量坐标形式的基础．

2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB→∥CD→且AB与CD不共线，则AB∥CD；若AB→∥BC→，则A、B、C三点共线．

失误与防范

1．解决向量的概念问题要留意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满意条件．要特殊留意零向量的特殊性．

2．在利用向量减法时，易弄错两向量的依次，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．

七．课后练习

1．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，肯定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误命题的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

2．若A、B、C、D是平面内随意四点，给出下列式子：AB＋CD→＝BC＋DA→；②AC＋BD→=ADBC；③AC－BD→＝DC→+AB.其中正确的有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

3. 已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满意CBAC2=0，则OC等于( ) A.OA2－OB→

B.OA＋2OB→

C.OA32－13OB→ D.OA31＋23OB→

4.如图所示，在△ABC中，BD＝12DC→，AE→＝3ED→，若AB＝a，AC＝b，则BE→等于( )

A.13a＋13b B．－12a＋14b

C.12a＋14b D．－13a＋13b

5. 在四边形ABCD中，AB＝a＋2b,BC＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则四边形ABCD的形态是( )

A．矩形 B．平行四边形

C．梯形 D．以上都不对

6. AB＝8，AC＝5，则BC的取值范围是__________．

7．给出下列命题：

①向量AB的长度与向量BA→的长度与向量BA→的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个有公共终点的向量，肯定是共线向量；

⑤向量AB与向量CD→与向量CD→是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．

其中不正确的个数为____________．

8.如图，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N.若AB＝mAM→，

AC＝nAN→，则m＋n的值为________．

9．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.

10.在正六边形ABCDEF中，AB＝a，AF→＝b，求ADAC,，AE→.

11.如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值．

12.已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点.

（1）求GA＋GB→＋GO→；

(2)若PQ过△ABO的重心G,且AO＝a, OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.

其次部分：平面对量的基本定理及坐标表示

一．基础学问 自主学习

1．两个向量的夹角

定义 范围

已知两个 向量a，b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)

向量夹角θ的范围是 ,

当θ＝ 时,两向量共线，当θ＝ 时，两向量垂直，记作a⊥b.

2.平面对量基本定理及坐标表示

(1)平面对量基本定理 假如e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的随意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝ .其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内全部向量的一组 ．

(2)平面对量的正交分解及坐标表示

把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．

(3)平面对量的坐标表示

①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面对量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a＝ ，其中 叫做a在x轴上的坐标， 叫做a在y轴上的坐标．

②设OA→＝xi＋yj，则向量OA→的坐标(x，y)就是 的坐标，即若OA→＝(x，y)，则A点坐标为 ，反之亦成立．(O是坐标原点)

3．平面对量坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝ ，a－b＝ ，

λa＝ ，|a|＝ .

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝ ，|AB→|＝ .

4．平面对量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔ .

二．难点正本 疑点清源

1．基底的不唯一性

只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内随意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．

2．向量坐标与点的坐标的区分

在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA→＝a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应留意其表示形式的区分，如点A(x，y)，向量a＝OA→＝(x，y)．