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高中数学-公式-平面向量

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. 平面向量

1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数。〔1〕向量式：a∥b(b≠0)a=b;〔2〕坐标式：a∥b(b≠0)x1y2－x2y1=0;

2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 〔1〕向量式：a⊥b(b≠0)ab=0; 〔2〕坐标式：a⊥bx1x2+y1y2=0;

3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab=cosba=x1x2+y1y2;其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；

4.设A〔x1,x2〕、B(x2,y2)，那么S⊿AOB＝122121yxyx；

5.平面向量数量积的坐标表示：

〔1〕假设a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么ab=x1x2+y1y2;221221)()(yyxxAB;

〔2〕假设a=(x,y),那么a2=aa=x2+y2,22yxa;

十、向量法

1、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，那么：

〔1〕线线平行：l∥ma∥bakb

〔2〕线面平行：l∥au0au

〔3〕面面平行：////uvukv

注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.

2、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，那么：

〔1〕线线垂直：lmab0ab

〔2〕线面垂直：la∥uaku

〔3〕面面垂直：uv0uv

3、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，那么：

〔1〕直线、ml所成的角(0)2，cosabab

〔2〕直线l与平面所成的角(0)2，sinauau

〔3〕平面与平面所成的二面角的平面角(0)，cosuvuv

教学过程：

二、新课讲授

1.

定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.

3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．

⑴加法交换律：a +b = b + a；

⑵加法结合律：(a + b) + c =a+ (b + c)； 精品文档

. ⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb；

⑶数乘结合律：λ(ua) =(λu)a ．

4. 推广：⑴12233411nnnAAAAAAAAAA；

⑵122334110nnnAAAAAAAAAA；

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.称平面向量共线定理，

二、新课讲授

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b．

2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论：

共线向量定理：空间任意两个向量a、b〔b≠0〕，a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a∥b〔a≠0〕，那么有b＝a，其中是唯一确定的实数。②判断定理：假设存在唯一实数，使b＝a〔a≠0〕，那么有a∥b〔假设用此结论判断a、b所在直线平行，还需a〔或b〕上有一点不在b〔或a〕上〕.

⑵对于确定的和a，b＝a表示空间与a平行或共线，长度为 |a|，当>0时与a同向，当<0时与a反向的所有向量.

3. 推论：如果l为经过点A且平行于非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式 OPOAta．

平面向量根本定理：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

1. 定义：如果表示空间向量a的有向线段所在直线与平面α平行或在平面α内，那么称向量a平行于平面α，记作a//α．

向量与平面平行，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．

2. 定义：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．

5. 得出共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得 p= xa+yb ．

证明：必要性：由，两个向量a、b不共线．

∵ 向量p与向量a、b共面

∴ 由平面向量根本定理得：存在一对有序实数对x，y，使得 p= xa+yb．

充分性：如图，∵ xa，yb分别与a、b共线， ∴ xa，yb都在a、b确定的平面内．

又∵ xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a、b确定的平面内，

∴ p= xa+yb在a、b确定的平面内，即向量p与向量a、b共面．

说明：当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内．

6. 共面向量定理的推论是：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得MPxMAyMB，① 或对于空间任意一定点O，有 OPOMxMAyMB．②

分析：⑴推论中的x、y是唯一的一对有序实数； ⑵由OPOMxMAyMB得：()()OPOMxOAOMyOBOM， ∴(1)OPxyOMxOAyOB ③

1. 两个非零向量夹角的概念：两个非零向量a与b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，那么∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作＜a,b＞．

说明：⑴规定：0＜a，b＞． 当＜a、b＞＝０时，a与b同向； 当＜a、b＞＝π时，a与b反向；

当＜a、b＞＝2时，称a与b垂直，记a⊥b．

⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a,b＞＝＜b,a＞．

⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的． 精品文档

. ②＜a,b＞(a,b)

2. 两个向量的数量积：空间两个向量a与b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的数量积，记作a·b，即 a·b＝|a||b|cos＜a,b＞.

说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝０；

⑵符号“· 〞在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×〞代替.

几何意义：向量AB＝a和轴l，e是l上和l同方向的单位向量．作点A在l上的射影A′，点B在l上的射影B′，那么''AB叫做向量AB在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影．可以证明：''AB＝｜AB｜cos＜a,e＞＝a·e．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a·e的几何意义．

3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：

⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞； ⑵a⊥ba·b＝０

⑶当a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜； 当a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜.

特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝2aaa.

⑷cos＜a,b＞＝abab; ⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜.

4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：

⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)； ⑵ a·b＝b·a (交换律)；

⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c (分配律)

说明：⑴(a·b)c≠a〔b·с〕；⑵有如下常用性质：a2＝｜a｜2，(a＋b)2＝a2＋２a·b＋b2

3. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系和向量a，且设i、j、k为坐标向量，那么存在唯一的有序实数组123(,,)aaa，使a＝1ai＋2aj＋3ak．

空间中相等的向量其坐标是相同的．→讨论：向量坐标与点的坐标的关系？

向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A111(,,)xyz，B222(,,)xyz，那么AB＝OB－OA＝222(,,)xyz－111(,,)xyz＝212121(,,)xxyyzz．

5. 两个向量共线或垂直的判定：设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，那么

⑴a//ba＝λb112233,,ababab，()R312123aaabbb；

⑵a⊥ba·b=01122330ababab．

⒈ 向量的模：设a＝123(,,)aaa，b＝123(,,)bbb，求这两个向量的模.

｜a｜＝222123aaa，｜b｜＝222123bbb．这两个式子我们称为向量的长度公式．

这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．

2. 夹角公式推导：∵ a·b＝|a||b|cos＜a,b＞

∴ 112233ababab＝222123aaa·222123bbb·cos＜a,b＞

由此可以得出：cos＜a,b＞＝112233222222123123abababaaabbb

这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：

当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；

当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．

3. 两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，点111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，那么

222211212()()()ABdxxyyzz、，其中ABd、表示A与B两点间的距离．

5. 用向量方法证明：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

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高中数学-公式-平面向量

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平面向量

1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数。（1）向量式：a∥b(b≠0)a=b;（2）坐标式：a∥b(b≠0)x1y2－x2y1=0;

2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), （1）向量式：a⊥b(b≠0)ab=0; （2）坐标式：a⊥bx1x2+y1y2=0;

3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=cosba=x1x2+y1y2;其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；

4.设A（x1,x2）、B(x2,y2)，则S⊿AOB＝122121yxyx；

5.平面向量数量积的坐标表示：

（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;221221)()(yyxxAB;

（2）若a=(x,y),则a2=aa=x2+y2,22yxa;

十、向量法

1、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，则：

（1）线线平行：l∥ma∥bakb

（2）线面平行：l∥au0au

（3）面面平行：////uvukv

注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.

2、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，则：

（1）线线垂直：lmab0ab

（2）线面垂直：la∥uaku （3）面面垂直：uv0uv

3、设直线、ml的方向向量分别是、ab，平面、的法向量分别是、uv，则：

（1）直线、ml所成的角(0)2，cosabab

（2）直线l与平面所成的角(0)2，sinauau

（3）平面与平面所成的二面角的平面角(0)，cosuvuv

教学过程：

二、新课讲授

高中数学-平面向量专题

高中数学-平面向量专题

第一部分：平面对量的概念及线性运算

一.基础学问 自主学习

1．向量的有关概念

名称 定义 备注

向量 既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 ) 平面对量是自由向量

零向量 长度为 的向量；其方向是随意的 记作0

单位向量 长度等于 的

向量 非零向量a的单位向量为±a|a|

平行向量 方向 或 的非零向量 0与任一向量 或共线 共线向量

的非零向量又叫做共线向量

相等向量

长度 且方向 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度 且方向 的向量 0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何

意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

(1)交换律：

a＋b＝b＋a.

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 法则 a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|.

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向 ；

当λ<0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＝0时，λa＝0. λ(μa)＝λμa；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb.

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的 条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

二.难点正本 疑点清源

1．向量的两要素

向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．

2．向量平行与直线平行的区分

向量平行包括向量共线(或重合)的状况，而直线平行不包括共线的状况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必需说明这两条直线不重合．

高中数学平面向量知识点总结

高中数学平面向量知识点总结

高中数学平面向量知识点总结

一、平面向量的基本概念

1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。

3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。

4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。

二、平面向量的运算

1. 加法：

- 规则：平行四边形法则或三角形法则。

- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。

- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} +

(\vec{b} + \vec{c})$。

2. 减法：

- 规则：与加法类似，但方向相反。

- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。

3. 数乘：

- 定义：向量与实数相乘。

- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与

$k$ 的符号一致。

- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。

- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。

三、平面向量的坐标表示

1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。

2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。

3. 坐标运算：

- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。

高考数学平面向量的基本定理总结

高考数学平面向量的基本定理总结

高考数学平面向量的基本定理总结

平面向量是高中数学中一个重要的概念，它是代数学在几何学中的应用。在高考数学中，平面向量涉及到许多定理和性质。本文将对高考数学中的平面向量的基本定理进行总结，并重点介绍向量的加减法、数量积和向量积等相关内容。

一、向量的加减法

向量的加法是指将两个向量按顺序“首尾相接”的方法进行相加。具体而言，设有向量a、b，它们的加法运算为a + b，其结果是一个新的向量c。根据平行四边形法则，向量加法满足以下性质：

1. 交换律：a + b = b + a。

2. 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。

3. 零向量的存在：对于任意向量a，存在一个称为零向量的向量0，满足a + 0 = a。

4. 反向向量的存在：对于任意向量a，存在一个称为反向向量的向量-b，满足a + (-b) = 0。

向量的减法可以理解为向量的加法的逆运算。具体而言，设有向量a、b，它们的减法运算为a - b，其结果是一个新的向量c。向量的减法可以通过向量的加法和取反向量来实现，即a - b = a + (-b)。

二、数量积 向量的数量积（也称为点积或内积）是指将两个向量按一定规则进行乘法运算得到一个数的运算。设有向量a、b，它们的数量积记为a·b，其结果是一个实数。数量积的计算公式为a·b = |a| ∙ |b| ∙ cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示两个向量之间的夹角。

数量积满足以下性质：

1. 对于任意向量a，有a·a = |a|^2 ≥ 0，等号成立当且仅当a为零向量。

2. 交换律：a·b = b·a。

3. 结合律：(k · a)·b = k·(a·b)，其中k为实数。

4. 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c。

数量积的应用颇多，例如求向量的模、求两个向量之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。

三、向量积

向量的向量积（也称为叉积或外积）是指将两个向量按一定规则进行乘法运算得到一个新的向量的运算。设有向量a、b，它们的向量积记为a×b，其结果是一个新的向量c。向量积的计算公式为c = |a| ∙ |b| ∙