「高一数学平面向量」

§２.1 平面向量的实际背景及基本概念

（一)向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量

４、零向量、单位向量概念:

①长度为０的向量叫零向量，记作０. 0的方向是任意的.

注意０与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小．

５、平行向量定义:

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定０与任一向量平行．

说明:(１）综合①、②才是平行向量的完整定义；(2）向量a、b、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥c.

6、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量．

说明:（1)向量ａ与ｂ相等，记作a＝b;(２)零向量与零向量相等；

(３)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起．．．．．．．点无关．．．．

7、共线向量与平行向量关系:

平行向量就是共线向量,

说明：(１）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；(2）共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

§2.2.１ 向量的加法运算及其几何意义

二、探索研究：

１、向量的加法:求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

2、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)

如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点A,作AB＝a,BC=ｂ,则向量AC叫做ａ与b的和，记作a+b,即 ａ+ｂACBCAB,规定： a ＋ ０-= ０ + a O A

B a a

a b b b

探究:（1)两相向量的和仍是一个向量；

(２）当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且｜a+b|<|a|+|b|；

（3）当a与b同向时,则a+b、a、b同向，且|a+b|=｜a｜+|b|,当a与b反向时，若|a|>|b|,则a＋b的方向与a相同，且|a+b|＝｜a｜-|b｜；若|a|<｜b|,则a+b的方向与b相同，且|a+ｂ|=｜b|-|a|．

(4)“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到n个向量连加

４.加法的交换律和平行四边形法则

1）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应)

2)向量加法的交换律:a+b=b＋a

５．向量加法的结合律:(a+b） +c＝a+ （b+c)

§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义

一、 提出课题:向量的减法

1． 用“相反向量”定义向量的减法

（1) “相反向量”的定义:与a长度相同、方向相反的向量.记作 a

（２) 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a. A B C

a+b a+b a a

b b a

ｂ ｂ ａa 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + （a) = 0

如果a、b互为相反向量,则a = b, b ＝ ａ, a + b = 0

(3) 向量减法的定义:向量a加上的ｂ相反向量，叫做a与b的差.

即:ａ  b = ａ + (ｂ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2． 用加法的逆运算定义向量的减法:

向量的减法是向量加法的逆运算:

若b + x = ａ,则x叫做a与b的差,记作a  ｂ

3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量

§2.3．1 平面向量基本定里

1.实数与向量的积:实数λ与向量a的积是一个向量,记作：λa

（１）|λa|=|λ||a|;(2)λ>０时λa与a方向相同；λ<０时λa与a方向相反；λ＝0时λa＝0

2．运算定律

结合律：λ(μa）=(λμ)a ；分配律:(λ+μ)a=λa+μa, λ(a＋b)=λa＋λb

3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ,使b=λa.

平面向量基本定理：如果1e,2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ１，λ2使a=λ11e＋λ22e．

MC和MD

§2．３.2—§2.3.３ 平面向量的正交分解和坐标表示及运算

１.平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y，使得 yjxia…………错误!

我们把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作

),(yxa…………错误!

标，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐错误!式叫做向量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(yx.

特别地,)0,1(i，)1,0(j，)0,0(0.

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作aOA，则点A的位置由a唯一确定.

设yjxiOA，则向量OA的坐标),(yx就是点A的坐标;反过来，点A的坐标),(yx也就是向量OA的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.

２．平面向量的坐标运算

(1) 若),(11yxa,),(22yxb,

则ba),(2121yyxx，ba),(2121yyxx

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

设基底为i、j,则ba)()(2211jyixjyixjyyixx)()(2121

即ba),(2121yyxx，同理可得ba),(2121yyxx

（2) 若),(11yxA，),(22yxB,则1212,yyxxAB

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB=OBOA=( x2， y2)  (ｘ1，y1)= (x2 ｘ1， ｙ2 y１)

(3)若),(yxa和实数，则),(yxa． 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．

设基底为i、j,则a)(yjxiyjxi，即),(yxa

§2．３．4 平面向量共线的坐标表示

a∥b (b0）的充要条件是x1ｙ2－ｘ２y1=0

例5 已知A(-1, －1), B(１,3)， Ｃ(１,５) ，D（２，7） ，向量AB与CD平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？

解：∵AB=(1-(-１)， 3-(-１）)=(2， 4) ， CD=(２－1,7-５)=(１,２)

又 ∵2×2-4×1＝０ ∴AB∥CD

又 ∵ AC=(1-(-1)， 5-（-1))=(2,6) ,AB=（2， 4),2×４－2×60 ∴AC与AB不平行

∴A，B,C不共线 ∴AB与CＤ不重合 ∴AB∥CD

一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义

6．线段的定比分点及λ

P1， P2是直线ｌ上的两点,P是l上不同于Ｐ1， Ｐ２的任一点,存在实数λ,

使 PP1=λ2PP,λ叫做点P分21PP所成的比，有三种情况:

λ>0（内分) (外分) λ<0 (λ<-1) （ 外分)λ<０ (-１

7. 定比分点坐标公式：

若点P1（x１,ｙ1) ,Ｐ2(ｘ2，y2),λ为实数，且PP1＝λ2PP,则点P的坐标为（1,12121yyxx），我们称λ为点P分21PP所成的比．

8. 点P的位置与λ的范围的关系: ①当λ＞０时,PP1与2PP同向共线，这时称点P为21PP的内分点.

②当λ＜0（1）时，PP1与2PP反向共线，这时称点Ｐ为21PP的外分点.

９.线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点O,设1OP=ａ，2OP=ｂ，

可得OP=baba1111.

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二、讲解新课:

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ,作OA＝ａ，OB＝b，则∠ＡＯB=θ(0≤θ≤π)叫a与b的夹角.

２．平面向量数量积(内积）的定义:已知两个非零向量ａ与b，它们的夹角是θ，则数量|a｜|b|ｃoｓ叫ａ与b的数量积，记作ａｂ,即有ab = |a||b|cos,

(０≤θ≤π)．并规定0与任何向量的数量积为0.

探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

(１）两个向量的数量积是一个实数,不是向量，符号由coｓ的符号所决定.

（2）两个向量的数量积称为内积,写成aｂ;今后要学到两个向量的外积a×b,而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．

（3）在实数中,若ａ０,且ａb＝0，则b=0;但是在数量积中，若a0,且ab＝0,不能推出b=０.因为其中cos有可能为0．

(4)已知实数ａ、b、c（ｂ0)，则ab＝ｂc  a=c.但是aｂ = bc a = c

如右图:ab ＝ |a||b|coｓ = |b||OA|，bc = |b||ｃ|cos = ｜b||OA|

 ab = bｃ 但a  c

（５）在实数中,有(ab)c = a(bc)，但是(aｂ）ｃ  a(bc)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与ａ共线的向量,而一般ａ与c不共线． 3.“投影”的概念:作图

定义：|b｜cｏs叫做向量b在a方向上的投影．

投影也是一个数量,不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值;当为直角时投影为0；当 ＝ 0时投影为 |ｂ|;当 ＝ 180时投影为 |b｜.

4.向量的数量积的几何意义:

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|ｂ｜coｓ的乘积．

５．两个向量的数量积的性质:

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

１ ea = aｅ =｜ａ|ｃos

2 aｂ  ａb = 0

3 当a与b同向时,aｂ = |a|｜b|;当a与b反向时，ab = |ａ||ｂ｜. 特别的ａａ = |ａ|2或aaa||

4 cos =||||baba

5 |ab| ≤ ｜a||b｜

三、讲解范例:

例6 已知|a|＝3,｜b|＝６,当①a∥b，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时,分别求a·b.

解:①当ａ∥ｂ时，若ａ与b同向,则它们的夹角θ=0°，

∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cｏｓ０°＝3×6×1＝18;

若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ=180°，

∴ａ·b＝|a｜｜ｂ|coｓ180°=3×６×(-1）=-1８;

②当a⊥b时,它们的夹角θ=90°,

∴a·ｂ=0；

③当a与ｂ的夹角是6０°时,有

ａ·ｂ＝｜a｜|ｂ｜coｓ60°＝3×６×21＝9

评述:两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是［0°,18０°],因此,当ａ∥ｂ时，有