轴对称作图及实际应用(讲义及答案)

尺规作图题--模型1：轴对称模型学习或讲解思路：1、问题定位：所选题目的依据：①学生考过②学生用心做过③学生印象深刻④较难题2、先简单题分析，推理、总结得出“轴对称模型”3、运用“轴对称模型”返回求解问题定位的题目4、运用“轴对称模型”解答一系列类型题（尺规作图、轴对称图形）尺规作图题--模型1：轴对称模型大前提：尺规作图题，图形为轴对称图形小前提：让画对称点、画相等线段、画平行线段方法：轴对称模型：①一定要与对称轴构造交点②与对称轴形成交点的另外两个点一定要关于对称轴对称一、问题定位问题定位：所选题目的依据：①学生考过②学生用心做过③学生印象深刻④较难题题目来源:2021年江西省初中“名校联盟”九年级阶段性测试卷1、如图：已知二次函数y=x2+4x−5的图像及对称轴，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图1中作点A（-4，-5）（2）已知点A（-4，-5），在图2中的对称轴上作点P，使得CP-AP的值最大解答：（1）二次函数为轴对称图形，点A是（0，-5）关于对称轴对称的点，做法如图1所示（2）可知：三角形CAP的性质：CP-AP < AC （两边之差小于第三边），所以点C、P、A三点共线时：CP-AP = AC ，此时AC最大。

二、方法分析1、先简单题分析，推理、总结得出“轴对称模型”2、建议该步骤用A4纸直接讲解，先不要在教案上做，之后返回来做；讲好该部分，与问题定位之间的联系、相似之处。

3、联系：都是轴对称图形4、证明三角形APC全等三角形AP'B , 即可总结出：轴对称模型5、轴对称模型：①一定要与对称轴构造交点②与对称轴形成交点的另外两个点一定要关于对称轴对称三、简单题分析1、如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)如图①，点P为AB上任意一点，请你用无刻度的直尺在AC上找出一点P′，使得AP＝AP′；(2)如图②，点P为BD上任意一点，请你用无刻度的直尺在CD上找出一点P′，使得BP＝CP′.解答：（1）满足轴对称模型：①一定要与对称轴构造交点②与对称轴形成交点的另外两个点一定要关于对称轴对称（2）使用两次轴对称模型，即可求出P′2、如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相交于点O，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．(保留作图痕迹，不写作法)(1)在图①中作线段BC的中点P；(2)在图②中，在OB，OC上分别取点M，N，使MN∥BC.解答：（1）求对称轴，满足轴对称模型的逆向使用（2）先画出对称轴，再使用一次轴对称模型四、题型训练1、在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于O，点P是BC的中点．请仅用无刻度直尺按要求画图．(1)在图①中，画出△ABC的边AB上的中线；(2)在图②中，画出正方形ABCD.解答：（1）以BO为对称轴，使用一次轴对称模型（2）以BO为对称轴，使用一次轴对称模型；再以OP为对称轴使用一次轴对称模型，求出Q点关于OP的对称点M；最后连接CM2、如图，已知四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于点O，E为AO上一点，过点E 作EF⊥AC，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．(保留画图痕迹)(1)在图①中，EF交AD于点F，画出线段EF关于BD的对称线段E′F′；(2)在图②中，点F在AD外时，画出线段EF关于BD的对称线段E′F′.图①图②解答：（1）解法一：对称轴BD，画点F关于BD的对称点，使用一次轴对称模型；再画点E关于BD的对称点，使用一次轴对称模型解法二：使用两次中心对称模型（2）解法一：延长对角线，重新构造等腰三角形（轴对称图形）对称轴BD，画点F关于BD的对称点，使用一次轴对称模型；再画点E关于BD的对称点，使用一次轴对称模型解法二、延长对角线，重新构造等腰三角形使用两次中心对称模型3、如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺，分别在图①，图②中按要求作图(保留作图痕迹，不写作法)．(1)在图①中，在AB边上求作一点N，连接CN，使得CN＝AM；(2)在图②中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使得CQ∥AM.解答：（1）以BD为对称轴，作点M关于BD的对称点，使用一次轴对称模型（2）求出对称中心，作点M关于对称中心的对称点，使用一次中心对称模型4、如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，垂足为E，请仅用无刻度的直尺按要求作图．(1)在图①中，作菱形ABCD的高CF，使得点F在AB上；(2)在图②中，作出以AE为边的等边△AEG.解答：（1）三线合一（三角形的三条高相交于一点）（2）以AC为对称轴，作点E关于AC的对称点，使用一次轴对称模型五、类型题更新。

第14讲简单的轴对称图形与利用轴对称进行设计目标导航知识精讲知识点01 角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C 在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE【知识拓展】（2021秋•昌吉市校级期末）如图，∠A＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，且AB＝3cm，BD＝2cm，则DE＝cm．【即学即练1】（2021秋•顺平县期末）如图（1），三角形ABC中，BD是∠ABC的角平分线．（1）若∠A＝80°，∠ABC＝58°，则∠ADB＝°．（2）若AB＝6，设△ABD和△CBD的面积分别为S1和S2，已知，则BC的长为．（3）如图（2），∠ACE是△ABC的一个外角，CF平分∠ACE，BD的延长线与CF相交于点F，CG平分∠ACB，交BD于点H，连接AF，设∠BAC＝α，求∠BHC与∠HFC的度数（用含α的式子表示）．【即学即练2】（2022春•江都区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2，BD ＝3，则AC的长为（）A．3B．C．4D．知识点02线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．【知识拓展1】（2021秋•曲阳县期末）如图，AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，则AB＝，AC＝．【即学即练1】（2022•珠海二模）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC，BC于点D，E．若△ABC 的周长为30，BE＝5，则△ABD的周长为（）A．10B．15C．20D．25【即学即练2】（2021秋•长丰县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，分别以A、B为圆心画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交BC于点D，连接AD．若BD＝2，则AD的长为（）A．B．C．1D．2【知识拓展2】（2021秋•汉阴县校级期末）；如图，已知△ACD的周长是14，AB﹣AC＝2，BC的垂直平分线交AB于点D，BC交AB于点D，交BC于点E，求AB和AC的长．【即学即练1】（2021秋•怀柔区期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，连接BD．若∠A＝100°，∠ABD＝22°，求∠C的度数．知识点03 等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．【知识拓展1】如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝15cm，AC＝10cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s【即学即练1】（2021秋•鼓楼区校级期末）量角器测角度时摆放的位置如图所示，在△AOB中，OA＝OB，射线OC交边AB于点D，则∠ADC＝°．【知识拓展2】（2022•拱墅区模拟）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连结CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠DCA的度数；（2）若∠DCA＝x°，求∠EBC的度数（用含x的代数式表示）．【即学即练1】（2021秋•自贡期末）在△ABC中，AB＝AC，过点C作CD⊥BC，垂足为C，∠BDC＝∠BAC，AC与BD交于点E．（1）如图1，∠ABC＝60°，BD＝6，求DC的长；（2）如图2，AM⊥BD，AN⊥CD，垂足分别为M，N，CN＝4，求DB+DC的长．知识点04等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．【知识拓展1】（2022春•江都区月考）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF＝（）A．8B．9C．12D．15【即学即练1】（2022春•泰州月考）如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝4．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC内（不包括各边）的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝m，OE＝n，则m+2n的取值范围是．【知识拓展2】（2021秋•连江县期末）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D，E，AE，BD相交点O，连接DE．（1）判断△CDE的形状，并说明理由；（2）求证：S△AOB＝2S△OBE．【即学即练1】（2021秋•绵竹市期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．知识点05 作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．【知识拓展1】（2021秋•昌吉市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1各顶点的坐标；（3）求△ABC的面积．【即学即练1】（2021•安徽模拟）如图，在四边形ABCD中，请在所给的图形中进行操作：①作点A关于BD的对称点P；②作射线PC交BD于点Q；③连接AQ．试用所作图形进行判断，下列选项中正确的是（）A．∠PCB＝∠AQB B．∠PCB＜∠AQBC．∠PCB＞∠AQB D．以上三种情况都有可能【即学即练2】（2021秋•广饶县期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'，并在所画图中标明字母；（2）△ABC的面积为；（3）在直线l上找一点P，连接PB、PC，当PB+PC最小时，这个最小值是．知识点06 利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．【知识拓展1】（2021秋•吐鲁番市期末）在6×6的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．【即学即练1】（2022春•海淀区校级月考）北京2022年冬奥会的举办，再次点亮了北京这座千年古都．在下列北京建筑的简笔画图案中，是轴对称图形的是（）A．国家体育场B．国家游泳中心C．天安门D．国家大剧院【即学即练2】（2021秋•兴化市期末）如图，在3×3的正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形构成一个轴对称图形，那么涂法共有种．【即学即练3】（2021秋•黄石港区期末）如图a，网格中的每一个正方形的边长为1，△ABC为格点三角形，直线MN为格点直线（点A、B、C、M、N在小正方形的顶点上）．（1）仅用直尺在图a中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．（2）如图b，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．（3）如图c，仅用直尺作三角形ABC的边AC上的高，简单说明你的理由．能力拓展一．选择题（共6小题）1．（2020•西安自主招生）已知等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为（）A．110°B．70°C．55°D．70°或55°2．（2020•郎溪县校级自主招生）如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P（A、P、C三点不共线），记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（）A．S1+S3＝S2+S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S4＝S2+S3D．S1＝S33．（2018•市南区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的中垂线交于点D，DE⊥AB于E，连接CD．若CD＝2，DE ＝，则∠ACD＝（）A．150°B．135°C．120°D．110°4．（2021•黄州区校级自主招生）直线a∥b，A、B分别在直线a、b上，△ABC为等边三角形，点C在直线a、b之间，∠1＝10°，则∠2＝（）A．30°B．40°C．50°D．70°5．（2019•汉阳区校级自主招生）如图，已知等边△ABC外有一点P，P落在∠BAC内，设点P到BC、CA、AB三边的距离分别为h1，h2，h3且满足h2+h3﹣h1＝18，那么等边△ABC的面积为（）A．B．C．D．6．（2019•柯桥区自主招生）平面上任意一点到边长为的等边三角形三顶点距离之和不可能的是（）A．3B．6C．4D．8二．填空题（共7小题）7．（2019•和平区校级自主招生）把3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成正三角形，如图所示，则第6个三角形数是．8．（2020•浙江自主招生）设锐角△ABC的边BC上有一点D，使得AD把△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC的最小内角的取值范围为．9．（2020•武昌区校级自主招生）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是．（结果用m，n表示）10．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB，与AB交于点M，AD⊥BC于点D，ME⊥BC于点E，MF⊥MC与BC交于点F，若CF＝10，则DE＝．11．（2019•顺庆区校级自主招生）已知△ABC中，AB＝AC，线段AB的垂直平分线与直线AC相交形成的锐角是50°，则∠BAC＝．12．已知直线AB和△DEF，作△DEF关于直线AB的对称图形，将作图步骤补充完整：（如图所示）（1）分别过点D，E，F作直线AB的垂线，垂足分别是点；（2）分别延长DM，EP，FN至，使＝，＝，＝；（3）顺次连接，，，得△DEF关于直线AB的对称图形△GHI．13．（2008•合肥开学）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形，这样的三角形共有个，请在下面所给的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未必全用）．三．解答题（共4小题）14．（2021秋•寻乌县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3）C（﹣1，﹣1）（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，请写出点A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1；B1，；C1；（2）△ABC的面积为；（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．15．（2021秋•绵竹市期末）在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB 的延长线上，且EC＝ED．（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．16．（2021秋•木兰县期末）在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上．建立如图所示平面直角坐标系，点A的坐标为（﹣5，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的A1B1C1；（2）通过画图在x轴上确定点Q，使得QA与QB之和最小，画出QA与QB并直接写出点Q的坐标．Q 的坐标为．17．（2021秋•开封期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时＝；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共6小题）1．（2021秋•普兰店区期末）如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC，则（）A．∠A＝∠C B．∠B＝∠ADC C．DA＝DC D．DE＝DF2．（2021秋•细河区期末）如图，已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（在B，C不与点O重合）连接AB，连AC交射线OE于点D，且AB∥ON，当△OCD是等腰三角形时，则∠OAC＝（）A．60°或40°或120°B．80°或40°C．60°或120°D．70°或120°3．（2022•宝鸡模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是AD上的点，且AE＝EC，若∠BAC＝45°，BD＝3，则CE的长为（）A．3B．3C．2D．44．（2021秋•嵊州市期末）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD＝15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF＝，则AB的长为（）A．B．2C．4D．65．（2021秋•雁江区期末）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（）A．5B．7C．8D．7或86．（2021秋•信都区期末）如图，在等边三角形ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，且∠BAD＝30°，则CD的长为（）A．1B．C．2D．3二．解答题（共6小题）7．（2021秋•定陶区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠C＝35°，求∠BAE的度数．8．（2021秋•濮阳期末）如图，AB＝AC＝AD，且AD∥BC，∠BAC＝28°，求∠D的度数．9．（2021秋•岑溪市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB 于点E，∠C＝75°．（1）求∠A的度数；（2）求∠CBD的度数．10．（2021秋•嘉鱼县期末）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，求∠C的度数；（2）如图2，在△ABC中，AB＝AD＝DC，且AC＝BC，求∠C的度数．11．（2021秋•岑溪市期末）在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（2，﹣1），C（4，4）．（1）请在所给的坐标系中画出△ABC；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点）．12．（2021秋•利通区校级期末）如图，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并直接写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各点坐标．试求出△ABC的面积．题组B 能力提升练一．选择题（共3小题）1．（2021秋•望城区期末）如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝116°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，BC的垂直平分线PQ交BC于点P，交AC于点Q，连接BE，BQ，则∠EBQ＝（）A．62°B．58°C．52°D．46°2．（2021秋•南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，则∠MBC的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°3．（2021秋•西城区校级期中）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（）种涂法．A．1B．2C．3D．4二．填空题（共6小题）4．（2021秋•鹿邑县期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，CD⊥AD，CB⊥AB，AC的延长线与∠ADC、∠ABC相邻的两个角的平分线交于点E，若CD＝CB，则∠CED的度数为．5．（2021秋•钢城区期末）如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，F A⊥AC，垂足为A，AF ＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为．6．（2022•鼓楼区校级开学）如图，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是．7．（2021秋•道县期末）如图，已知∠MON＝30°，A、B、C、D在射线ON上，点E、F、G在射线OM 上，△ABE、△BCF、△CDG均为等边三角形，若OA＝1，则△CDG的周长为．8．（2021春•城阳区期末）（1）已知：线段a，∠α，∠β．求作：△ABC，使AB＝a，∠A＝α，∠B＝β．（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）结论：．（2）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在小正方形的顶点上，在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'．结论：．9．（2021春•大洼区月考）在4×4的方格中，有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中的小正方形A 到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形．这样的移法共有种．三．解答题（共4小题）10．（2021秋•道县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．（1）∠BPC的度数是．（2）请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由．（3）证明：AB＝PC．11．（2021秋•安庆期末）教材呈现，如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：如图②，△ABC的周长是10，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD ＝3，求△ABC的面积．12．（2021秋•宜州区期末）如图，点D在等边△ABC的外部，E为BC边上的一点，AD＝CD，DE交AC 于点F，AB∥DE．（1）判断△CEF的形状，并说明理由；（2）若BC＝10，CF＝4，求DE的长．13．（2022•黄陂区模拟）在8×6的网格中，A，B，C是格点，D是AB与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示：（1）在线段AC上取点E，使DE＝CD；（2）画格点F，使EF∥AB；（3）画点E关于AB的对称点G；（4）在射线AG上画点P，使∠PDE与∠GAE互补．题组C 培优拔尖练一．解答题（共12小题）1．（2021秋•仓山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC边上的一点，且∠CBE＝∠CAD．求证：BE⊥AC．2．（2021秋•伊川县期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC＝50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．3．（2021秋•南阳期末）在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝．（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝．（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明．4．（2021秋•沂源县期末）如图，在△ABC中，点E，F在BC上，EM垂直平分AB交AB于点M，FN垂直平分AC交AC于点N，∠EAF＝90°，BC＝12，EF＝5．（1）求∠BAC的度数；（2）求S△EAF．5．（2021秋•武城县期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．（1）作出边AC的垂直平分线DE；（2）当AE＝BC时，求∠A的度数．6．（2021秋•黄石期末）如图，平面直角坐标系中，△AOB的顶点均在边长为1的正方形在顶点上．（1）求△AOB的面积；（2）若点B关于y轴的对称点为C，点A关于x轴的对称点为D，求四边形ABCD的面积．7．（2021秋•尚志市期末）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，6），B（﹣4，2），C（﹣1，3）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）在x轴上找出点P，使PC+PB1最小，并直接写出点P的坐标．（保留必要作图痕迹）8．（2021秋•垦利区期末）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．（1）请在网格平面内画出平面直角坐标系；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；（3）分别写出点A′、B′、C′的坐标．9．（2020秋•澄海区期末）直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．（1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数；（2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．10．（2021秋•滑县校级期末）已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB 于E，DF交直线BC于F．（1）如图（1），求证：DE＝DF；（2）如图（2），若BE＝3AE，求证：CF＝BC．（3）如图（3），若BE＝AE，则CF＝BC；在图（1）中，若BE＝4AE，则CF＝BC．11．（2020秋•大足区期末）在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．（1）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE 的数量关系，并证明你的猜想．（2）当点D在直线BC上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，求∠CDE 的度数（直接写出结果）．12．（2021秋•常州期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．请同学们利用网格线进行画图：（1）在图1中，画一个顶点为格点、面积为5的正方形；（2）在图2中，已知线段AB、CD，画线段EF，使它与AB、CD组成轴对称图形；（要求画出所有符合题意的线段）（3）在图3中，找一格点D，满足：①到CB、CA的距离相等；②到点A、C的距离相等．。

2.9画轴对称图形（一）一、新课导入1、关于某直线轴对称的两个图形全等吗？2、关于某直线轴对称的两个图形的对应点与对称轴有什么关系？二、学习目标1、掌握关于某直线轴对称的两个图形的对称点被对称轴垂直平分；2、利用对称轴对称点的垂直平分线画一个图形的对称图形。

三、研读课本认真阅读课本的内容，完成以下练习。

（一）划出你认为重点的语句。

（二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。

研读一、认真阅读课本要求：思考“探究”如何画一个图形的对称图形。

(1)在一张半透明的纸的左边画一只左脚印，在把这张纸对折后描图，打开对折的纸。

就能得到相应的右脚印，图中的点P与点P′关于直线l有什么关系？(2)已知两个图形关于某直线轴对称，如何找到这两个图形的对称轴？检测练习一、1、把一个平面图形沿某条直线对折，可以得到它关于这条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小_____ ；______________改变；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的______。

2、成轴对称的两个图形的对称轴是对称点的________；3、已知点A、B关于某直线轴对称，连接线段AB，作线段AB的_________，这条垂直平分线就是点A、B的对称轴；4、已知，直线l是线段AB的对称轴，那么点A、B关于直线l_________。

结论：①如果点A、B关于直线l轴对称，那么直线l是线段AB的垂直平分线；②如果直线l是线段AB的垂直平分线，那么点A、B关于直线l轴对称。

研读二、认真阅读课本要求：思考“探究”中的问题，利用对称轴对称点的垂直平分线作已知图形的对称图形。

问题探究：(2)、已知对称轴L和一个点A，你能画出点A关于L的对应点A´吗？(2)、已知线段AB和直线L，如何作线段AB关于直线L轴对称的线段A´B´呢？如何画一个已知图形关于某直线对称的图形呢？小窍门：画一个图形关于某直线对称的图形，只要先画出几个关键点关于对称轴的对称点，然后再顺次连接对称点，得到对称图形。

第十三章《轴对称》一、知识点归纳（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

轴对称作图及应⽤（讲义）（含答案）轴对称作图及应⽤（讲义）课前预习1. 作⼀条线段等于已知线段．已知：如图，线段a ．求作：线段AB ，使AB =a ．作法：（1）作射线AP ；（2）以_________为圆⼼，_______为半径作弧，交射线AP 于点B ．___________即为所求．2. 作⼀个⾓等于已知⾓．已知：如图，∠AOB ．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB ．OAB作法：（1）作射线O′A′；（2）以________为圆⼼，_______为半径作弧，交OA于点C ，交OB 于点D ；（3）以____为圆⼼，____为半径作弧，交O′A′于点C ′；（4）____________，__________作弧，交前弧于点D ′；（5）过点D ′作射线O′B′．∠A′O′B′_____________．证明：如图，连接________，________．在___________和___________中，______________________________________________________??（已作）（已作）（已作）∴____________________（）∴____________________a知识点睛1.五种基本作图：①作⼀条线段等于已知线段；②作⼀个⾓等于已知⾓；③作已知⾓的⾓平分线；④作已知线段的垂直平分线；⑤过平⾯内⼀点，作已知直线的垂线．精讲精练1.作已知线段的垂直平分线．已知：线段MN．求作：直线AB，使AB垂直平分MN．N作法：（1）分别以_______，______为圆⼼，___________为半径作弧，两弧相交于点A和点B；（2）_______________________________________．_______________________________________．2.（1）过直线上⼀点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN上⼀点．求作：直线AB，使AB⊥MN．A作法：①________________________________________________________________________________________________；②________________________________________________________________________________________________；③________________________________________________．_________________________________________________．（2）过直线外⼀点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN外⼀点．求作：直线AB，使AB⊥MN．AM N作法：①________________________________________________；②________________________________________________________________________________________________；③________________________________________________________________________________________________；④________________________________________________．_________________________________________________．3.作已知⾓的⾓平分线．已知：如图，∠AOB．求作：射线OP，使∠AOP=∠BOP（即OP平分∠AOB）．AOB作法：（1）________________，__________________作弧，交OA于点M，交OB于点N；（2）分别以______，______为圆⼼，______________为半径作弧，两弧在________________交于点P；（3）_________________________．______________________________．4.作已知⾓的四等分线．已知：如图，∠AOB．求作：射线OP，OQ，OM，使∠AOP=∠POQ=∠QOM=∠MOB（即OP，OQ，OM四等分∠AOB）．AOB5.在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．图2 B．图1与图2C．图1与图3 D．图2与图3A BCD图1AB CD图2图3DCBA6.电信部门要修建⼀座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条⾼速公路m，n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？（不写作法，保留作图痕迹）7. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，分别以A ，C 为圆⼼，⼤于12AC 长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，分别交AC ，BC 于点D ，E ，连接AE ，则：（1）∠ADE =_________．（2）AE _______EC ；（填“=”“＞”或“＜”）（3）当AB =3，BC =4时，△ABE 的周长为______．MNED CBAA BCD NM第7题图第8题图8. 如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B ，C 为圆⼼，以⼤于12BC 长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若CD =AC ，∠B =25°，则∠ACB 的度数为___________．9. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠CAB =50°．按以下步骤作图：①以点A 为圆⼼，⼩于AC 的长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点E ，F ；②分别以点E ，F 为圆⼼，⼤于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG 交BC 边于点D ．则∠ADC 的度数为_________．GC B A10. 如图，已知点D ，E 分别在∠CAB 的边AB ，AC 上，观察图中作图痕迹，若PD =6，则PE 的最⼩值是（） A ．2B ．3C ．6D ．12EDC BAP11. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ，AB =CD ，已知CD =8，BC =10，按以下步骤作图：①以点C 为圆⼼，适当长度为半径作弧，分别交BC ，CD 于M ，N 两点；②分别以点M ，N 为圆⼼，以⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧在四边形ABCD 的内部交于点P ；③连接CP 并延长交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，则AE 的长为（） A ．2B ．3C ．4D ．5PF EDC BAMN12. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，已知∠B =60°，AB =4．以点A 为圆⼼，任意长为半径画弧分别交边AB ，AD 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆⼼，以⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧相交于四边形ABCD 内⼀点P ，连接AP 并延长交BC 边于点E ，连接DE ．当BE =2EC 时，BC 的长为_________．P13.如图，在△ABC中，以点A为圆⼼，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆⼼，⼤于12EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B=45°，∠C=2∠CAD，则∠BAC的度数为（）A．80°B．75°C．65°D．30°E DCBAPCB Al1l21第13题图第14题图14.如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆⼼，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC．若∠ABC=70°，则∠1的⼤⼩为（）A．20°B．35°C．40°D．70°15.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找⼀点C，使△ABC是等腰三⾓形．这样的点能找⼏个？请你找出所有符合条件的点．16.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹⾓为60°，请在直线l上另找⼀点C，使△ABC是等腰三⾓形．这样的点能找⼏个？请你找出所有符合条件的点．【参考答案】 ? 课前预习1. 点Aa 长线段AB 图略2. 作法：（1）作射线O′A′；（2）以点O 为圆⼼，任意长为半径作弧，交OA于点C ，交OB 于点D ；（3）以点O′为圆⼼，OC 长为半径作弧，交O′A′于点C ′；（4）以点C ′为圆⼼，CD 长为半径作弧，交前弧于点D ′；（5）过点D ′作射线O′B′．∠A′O′B′即为所求．证明：如图，连接CD ，C ′D ′．在COD △和C O D '''△中OC O COD O D CD C D ''=??''=??''=?（已作）（已作）（已作）SSS COD C O D '''∴△≌△（） ?∴∠A′O′B′=∠AOB精讲精练 1. 图略（1）点M ，点N ，⼤于12MN 长（2）作直线AB 直线AB 即为所求 2. （1）图略①以点A 为圆⼼，任意长为半径作弧，交直线MN 于C ，D 两点；②分别以点C ，点D 为圆⼼，⼤于12CD 长为半径作弧，两弧交MN 上⽅于⼀点B ；③作直线AB ．直线AB 即为所求．（2）图略①在MN 下⽅任取⼀点P ；②以点A 为圆⼼，AP 长为半径作弧，交MN 于C ，D 两点；③分别以点C ，点D为圆⼼，以⼤于12CD长为半径作弧，两弧交MN下⽅于⼀点B；④作直线AB．直线AB即为所求．3.（1）以点O为圆⼼；任意长为半径；（2）点M；点N；⼤于12MN长；AOB内部；（3）作射线OP；射线OP即为所求．4.略5. C6.略7.（1）90°；（2）=；（3）78.105°9.65°10.C11.A12.613.B14.C15.略16.略。

简单的轴对称及利用轴对称进行设计（基础）知识讲解【要点梳理】要点一、作轴对称图形和对称轴1.做轴对称图形可以根据两个图形成轴对称的性质，先确定图形关键点关于已知直线的对称点，然后依顺序连接点即可得已知图形关系直线的对称图形.要点诠释：已知一点和直线确定其对称点的作法如下：过这一点作已知直线的垂线，得垂线段，再以垂足为起点，在直线的另一旁截取一点，使这条线段的长与垂线段等长，截取的这点就是已知点关于直线的对称点.2.对称轴的作法若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．要点诠释：在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.要点二、等腰三角形的性质及判定1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．要点诠释：（1）性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．（2）性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．（3）等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴．2.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 要点三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了. 要点四、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；逆定理：在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点五、利用轴对称性质进行简单设计欣赏现实生活中的轴对称图形，能利用轴对称进行一些图案设计，体验轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，感受生活中的数学美.【典型例题】类型一、作轴对称图形及对称轴1、已知如下图，求作△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′．【思路点拨】分别作出点B与点C关于直线l的对称点，然后连接AB′，AC′，B′C′．即可得到△ABC关于对称轴l的轴对称图形△A′B′C′．【答案与解析】解：【总结升华】作一个图形的对称图形就是作各个顶点关于对称轴的对称点，把作对称图形的问题可以转化为作点的对称点的问题．2、画出如图中的各图的对称轴．【思路点拨】根据轴对称图形的性质，找到图形中的一组对应点，连接对称图形的两个对应点，作这个线段的垂直平分线就是这个图形的对称轴．【答案与解析】解：如图所示：【总结升华】本题考查了对称轴的画法．解答此题要明确对称轴所具有的性质：对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．举一反三：【变式】在下图中，画出△ABC关于直线MN的对称图形.A B C为所求.【答案】△'''类型二、等腰三角形的性质与判定3、已知：如图所示，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．【思路点拨】由题意，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角∠C．【答案与解析】解：在△ABC中，AB=AD=DC，∵AB=AD，在三角形ABD中，∠B=∠ADB=（180°﹣26°）×=77°，又∵AD=DC，在三角形ADC中，∴∠C==77°×=38.5°．【总结升华】本题考查等腰三角形的性质及应用等腰三角形两底角相等，还考查了三角形的内角和定理及内角与外角的关系．利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法，要熟练掌握．举一反三：【变式】如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．【答案】证明：延长AD 至点G ，使DG ＝AD ，连接BG..,,,().AD BD CD ACD GBD AD DG ADC GDB CD BD ACD GBD SAS ==⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵为中线,∴在△和△中,∴△≌△,.,.,..BG AC G CAD AE EF CAD AFE BFD AFE G BFD BF BG AC =∠=∠=∠=∠∠=∠∠=∠==∴∵∴又∵∴∴类型三、线段垂直平分线性质定理及其逆定理4、如图，△ABC 中，∠BAC=110°，DE 、FG 分别为AB 、AC 的垂直平分线，E 、G 分别为垂足．（1）求∠DAF 的度数；（2）如果BC=10cm ，求△DAF 的周长．【思路点拨】1）根据三角形内角和定理可求∠B+∠C ；根据垂直平分线性质，DA=BD ，FA=FC ，则∠EAD=∠B ，∠FAC=∠C ，得出∠DAF=∠BAC ﹣∠EAD ﹣∠FAC=110°﹣（∠B+∠C ）求出即可．A BCDE FG（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=FC，即可得出△DAF的周长为BD+FC+DF=BC，即可得出答案．【答案与解析】解：（1）设∠B=x，∠C=y．∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴110°+∠B+∠C=180°，∴x+y=70°．∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，∴DA=BD，FA=FC，∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．∴∠DAF=∠BAC﹣（x+y）=110°﹣70°=40°．（2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，∴DA=BD，FA=FC，∴△DAF的周长为：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用，注意数形结合思想与整体思想的应用.举一反三【变式】如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A= °．【答案】87．解：∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∴∠DBE=∠ABC=（180°﹣31°﹣∠A）=（149°﹣∠A），∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，∴∠DBE=∠C，∴∠DBE=∠ABC=（149°﹣∠A）=∠C=31°，∴∠A=87°．故答案为：87．5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【思路点拨】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．【答案与解析】证明：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥CE，即直线AD是线段CE的垂直平分线．【总结升华】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．举一反三【变式】如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（）A．P是∠A与∠B两角平分线的交点B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C．P为AC、AB两边上的高的交点D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点【答案】Ｂ；类型四、角平分线性质定理及其逆定理6、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于O．求证：点O到三边AB、BC、CA的距离相等．【思路点拨】作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，根据角平分线性质可得OD=OE，OF=OE，∴OD=OE=OF．【答案与解析】证明：作OD、OE、OF分别垂直于三边AB、BC、CA，D、E、F为垂足，∵BM为△ABC的角平分线，OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD=OE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．同理可证：OF=OE．∴OD=OE=OF．即点O到三边AB、BC、CA的距离相等．【总结升华】此题主要考查角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．正确作出辅助线是解答本题的关键．举一反三【变式】如图：△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是（）①PA=PC ②BP平分∠ABC ③P到AB，BC的距离相等④BP平分∠APC．A．①②B．①④C．③②D．③④【答案】Ｃ；7、已知如图：AD、BE是△ABC的两条角平分线，相交于P点求证：P点在∠C的平分线上．【思路点拨】首先过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，然后证明PQ=PN 即可．【答案与解析】证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ，P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN，∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线上．【总结升华】本题主要考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质．用此性质证明它的逆定理成立．角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．正确作出辅助线是解答本题的关键．类型五、利用轴对称性质进行设计8、如图所示，请你用三种方法，把左边的小正方形分别平移到右边三个图形中，使各个图形成为轴对称图形，并分别画出其对称轴所在的位置．【思路点拨】根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图．【答案与解析】解：如图所示．．【总结升华】本题考查了轴对称图形的性质及其作图的方法，做这些题时找对称轴及对称点是关键．。

轴对称知识点一、轴对称图形轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.知识点二、轴对称1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点要点诠释：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称图形与轴对称的区别：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形.知识点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．知识点四、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.类型一、轴对称变换1.如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点坐标分别为(1,6)A -，(5,3)B -，(3,1)C -．（1）ABC ∆关于y 轴对称的图形△111A B C （其中1A ，1B ，1C 分别是A ，B ，C 的对称点），请写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（2）若直线l 过点(1,0)，且直线//l y 轴，请在图中画出ABC ∆关于直线l 对称的图形△222A B C （其中2A ，2B ，2C 分别是A ，B ，C 的对称点，不写画法），并写出点2A ，2B ，2C 的坐标．类型二、线段垂直平分线知识点① 线段垂直平分线的性质2. 如图，已知ABC ∆，AB 、AC 的垂直平分线的交点D 恰好落在BC 边上．（1）判断ABC ∆的形状；（2）若点A 在线段DC 的垂直平分线上，求AC BC的值．知识点② 线段垂直平分线的判定3. 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，BE CD =，且BD 与CE 相交于点O ，求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．类型三、利用轴对称的性质求图形的面积4. 在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点A 关于BC 边的对称点为A '，点B 关于AC 边的对称点为B '，点C 关于AB 边的对称点为C '，若1ABC S ∆=，求A B C S '''．类型四、“将军饮马”问题5. 如图，点P、Q为MON内两点，分别在OM与ON上找点A、B，使四边形PABQ的周长最小．类型五、角平分线与线段垂直平分线的综合6. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB于点F，交BC的延长线于E（1）在图①中，连接DF，证明DF//AC（2）在图①中，连接AE，证明∠EAC=∠B（3）如图②，若线段CD上存在一点M，使∠MPD=∠ACD，AM与EF交于点P，连接DP 并延长与AC交于点N，求证：AN=DM.①②【复习巩固】一．选择题（共7小题）1．如图，ABC ∆中，D 点在BC 上，将D 点分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ，并连接AE 、AF ．根据图中标示的角度，求EAF ∠的度数为何？( )A ．113︒B ．124︒C ．129︒D ．134︒2．如图所示，在四边纸片ABCD 中，//AD BC ，//AB CD ，将纸片沿EF 折叠，点A ，D 分别落在A '，D '处，且A D ''经过点B ，FD '交BC 于点G ，连接EG ，若EG 平分FEB ∠，//EG A D ''，80D FC '∠=︒，则A ∠的度数是( )A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒3．如图，直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN 上的点，下列判断错误的是( )A ．AM BM =B ．AP BN =C ．M AP M BP ∠=∠D ．ANM BNM ∠=∠4．如图，在ABC ∆中，AB 边的中垂线DE ，分别与AB 边和AC 边交于点D 和点E ，BC 边的中垂线FG ，分别与BC 边和AC 边交于点F 和点G ，又BEG ∆周长为16，且1GE =，则AC 的长为( )A ．13B ．14C ．15D ．165．如图，50∠的平分线BE交AD于点E，连接∠=︒，AD垂直平分线段BC于点D，ABCABC∠的度数是()EC，则AECA．115︒B．75︒C．105︒D．50︒6．如图，四边形ABCD中，AB AD=，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若110∠=︒，BAD则ACB∠的度数为()A．40︒B．35︒C．60︒D．70︒7．如图，P是AOB∠两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰∠外的一点，M，N分别是AOB好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上．若 2.5PN=，PM=，3 MR=，则线段QN的长为()7A．1 B．1.5 C．2 D．2.5二．解答题（共3小题）8如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA PB+的值最小，画出图形并证明．9．如图，OBC ∆中，BC 的垂直平分线DP 交BOC ∠的平分线于D ，垂足为P ．（1）若60BOC ∠=︒，求BDC ∠的度数；（2）若BOC α∠=，则BDC ∠= （直接写出结果）．10．如图，ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．（1）若60A ∠=︒，24ABD ∠=︒，求ACF ∠的度数；（2）若5BC =，:5:3BF FD =，10BCF S ∆=，求点D 到AB 的距离．。

13.1 轴对称1．轴对称图形(1)概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．(2)理解：轴对称图形是对一个图形而言，是一种具有特殊性质的图形，它能被一条直线分割成两部分，沿这条直线折叠时，其中一部分能与这个图形的另一部分重合．(3)对称轴：对称轴是一条直线，有的轴对称图形只有一条对称轴，而有些轴对称图形有几条甚至无数条对称轴．“圆的对称轴是圆的一条直径”为什么不对呢?对称轴是一条直线，而直径是线段，所以圆的对称轴是直径所在的直线．并且圆有无数条对称轴．一定要注意哦！解技巧轴对称图形的识别判断一个图形是否是轴对称图形可以根据定义，把图形沿某一条直线折叠，看直线两旁的部分是否能够重合．另外还可以观察是否有对称轴，能找到对称轴也说明是轴对称图形．【例1】下列图形中，是轴对称图形的是()．A．①②B．③④C．②③D．①④解析：观察图形，①④的图形都能找到一条直线，沿这条直线对折，图形两边能够重合，而②③的图形中找不出这样的直线，因此只有①④是轴对称图形．答案：D2．轴对称(1)概念：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称．这条直线叫做对称轴．(2)含义：轴对称图形是两个图形之间的关系，这两个图形沿一条直线折叠后能够互相重合，即全等．(3)对称点：折叠后重合的对应点叫对称点，两个图形正是由无数个对称点组合而成的，也正是无数个对称点的重合构成了图形的重合．(4)与轴对称图形的异同：a．区别：轴对称图形指的是一个图形本身的特点，而轴对称指的是两个图形之间的关系．b．联系：都关于某条直线对称，如果把成轴对称的两个图形看成一个整体图形，那么它就是一个轴对称图形，如果把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称．析规律轴对称的特点图形的轴对称和平移一样，都是图形位置的变换，共同的特点是变化后图形的大小、形状都没有改变，不同点是变换的方式不同，所以性质也不尽相同，判断的方法关键看变换方式．【例2】如图所示，下列每组中两个图形成轴对称的是()．解析：图A、B、C沿某一条直线折叠，左右两个图形不能重合，所以它们不构成轴对称．如图，D 沿右图所画直线折叠，左右两个图形能够重合，所以成轴对称．答案：D3．线段的垂直平分线(1)概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．(2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(3)判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．(4)线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的所有点的集合．这是线段垂直平分线的集合定义．谈重点 线段垂直平分线及性质与判定的理解和应用 ①线段的垂直平分线必须同时具备两个条件：过线段的中点和垂直于这条线段．②线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段其中的一条对称轴．③线段垂直平分线的性质是证明线段相等的一种方法，运用过程中可以省去证明三角形全等，使得过程更简便．【例3】 已知线段AB ，直线CD 是AB 的垂线，垂足为O ，且OA ＝OB ，若点M 在直线CD 上，则MA ＝__________；若NA ＝NB ，则点N 在__________．解析：本题是线段垂直平分线性质和判定的最基本的应用，根据CD ⊥AB ，又经过线段AB 的中点O ，所以CD 为线段AB 的垂直平分线，所以有MA ＝MB ，因为NA ＝NB ，由线段垂直平分线的判定定理可知点N 在直线CD 上，即线段AB 的垂直平分线上．答案：MB 线段AB 的垂直平分线CD 上4．线段垂直平分线的画法(1)折叠法：将线段两端点对齐，沿线段折叠重合，折痕就是线段的垂直平分线．(2)尺规作图法：如图，①分别以A 、B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于C 、D 两点；②作直线CD ；CD 即为所求作的直线．【例4】 如图，在某条公路的同旁有两座城市A 、B ，为了方便市民就医治疗，政府决定在公路边建一所医院，这所医院建在什么位置，能使两座城市到这个医院的路程一样长？分析：两座城市A 、B 到这个医院的路程一样长，说明这所医院要建在AB 的垂直平分线上，又要在公路边，所以应是AB 垂直平分线与公路的交点处．解：如图所示，(1)连接AB ，分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于C ，D 两点；(2)作直线CD ，交公路所在直线于P ，则点P 即为所建医院的位置．5．轴对称(轴对称图形)的性质(1)关于某条直线轴对称的两个图形全等，对应线段、对应角相等，只要是对应的部分就全等．(2)对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．(3)对应线段所在的直线的交点在对称轴上．谈重点 成轴对称的两个图形的性质特征 (1)成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够相互重合，所以它们一定是全等的，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．(2)成轴对称的两个图形能够重合，所以它们的周长、面积也相等，正如全等的两个三角形对应边上的高、中线也相等一样．【例5】如图，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线l 对称，下列结论中：①△ABC ≌△A ′B ′C ′；②∠BAC ′＝∠B ′AC ；③l 垂直平分CC ′；④直线BC 和B ′C ′的交点不一定在l 上．正确的有( )．A．4个B．3个C．2个D．1个解析：①由轴对称性质可知，关于某条直线对称的两图形重合，所以△ABC≌△A′B′C′；②由轴对称性质可知对应角∠BAC＝∠B′A′C′，等号两边同时都加上∠CAC′，可得∠BAC′＝∠B′AC；③点C与点C′为对称点．对称轴垂直平分对称点连线，所以也正确；④BC和B′C′为对应线段，由性质可知，所在直线的交点一定在对称轴上．由以上分析可知①②③都正确，只有④错误，所以选B.答案：B6．轴对称(轴对称图形)对称轴的画法如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．(1)两个图形成轴对称或轴对称图形的对称轴是对应点连线的垂直平分线，这是画图形的对称轴的依据.(2)作已知图形的对称轴的步骤：找特殊对称点→作对称的两点的垂直平分线.【例6】如图，试作出下列图形中的一条对称轴．分析：作图的关键在于找到对称点，等边三角形ABC中B、C是一对对称点，所以作BC的垂直平分线即可得到△ABC的一条对称轴；同样在正五边形ABCDE中，B与E、C与D是对称点，所以作BE 或CD的对称点都能得到正五边形ABCDE的对称轴．解：如图．7．线段垂直平分线性质的应用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，在这个性质中，它的条件是“一条直线垂直平分一条线段”，结论是“这条直线上的任意一点到线段两端点的距离相等”，它是证明线段相等常用的一种方法．析规律利用线段垂直平分线的性质证明线段相等用线段垂直平分线性质解决问题，一般需要连接直线上某一点与线段两端点的线段(常用的添加辅助线的方法)，从而由性质可以直接得到相等的两条线段，因为它省去了证明三角形全等，所以较为简便，它通常和三角形周长，等腰三角形知识相结合运用．8．线段垂直平分线判定的应用与一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，它的题设是“一个点到一条线段的两个端点的距离相等”，结论是“这个点在这条线段的垂直平分线上”，这与线段垂直平分线性质的题设和结论正好相反；线段垂直平分线的判定是为数不多的证明点在线上的定理，很多时候用在作图中，用来确定到两固定点距离相等的点．破疑点判定线段垂直平分线的方法判断一条直线是线段的垂直平分线时，必须证明该直线上有两个点到线段两端点的距离相等，因为只有两点才能确定一条直线．【例7】如图1，△ABC中，EF垂直平分AB，GH垂直平分AC，设EF与GH相交于O，则点O与边BC 的关系如何？请用一句话表示：________________________________.图1图2 解析：如图2，连接OA 、OB 、OC ，因为EF 垂直平分AB ，所以OA ＝OB .因为GH 垂直平分AC ，所以OA ＝OC . 所以OB ＝OC ，即点O 到边BC 两端点的距离相等．答案：点O 到边BC 两端点的距离相等(答案不唯一，也可以说成点O 在BC 的垂直平分线上)【例8】 (综合应用题)如图，AD 为△ABC 的角平分线，AE ＝AF ，请判断AD 是否是EF 的垂直平分线？如果不是请说明理由，如果是，请给予证明．解：AD 是EF 的垂直平分线．证明：因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD .在△AED 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AE ＝AF ，∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝AD ，所以△AED ≌△AFD .所以DE ＝DF ，所以D 在EF 的垂直平分线上．同样AE ＝AF ，A 也在EF 的垂直平分线上．所以AD 是EF 的垂直平分线．9．生活中的镜面对称生活中的倒影，镜子中的影像是日常生活中最常见的轴对称，它们都具备轴对称的特点，如果沿某一条直线折叠一样能够重合．因而实物和图形大小形状也完全一样．只要注意观察，会有很多有趣的现象和规律．解技巧 镜面问题的解决方法①镜面对称问题可以看作是沿镜子的左右边沿轴对称，镜子的边沿所在的直线就是对称轴，判断标准是沿镜子左或右边沿折叠就会重合，如果是在透明纸上的图案，从反面看到的影像，就是原来的图案；②对于倒影问题，水面所在的直线是对称轴，沿这条直线折叠观察，就可得到原来图案．【例9－1】 小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如下图所示，则实际时间是( )．A ．21：10B ．10：21C ．10：51D ．12：01解析：镜面中的影像问题是以镜面的左边沿或右边沿所在的直线为对称轴的轴对称，假定最左侧或右侧有一条直线为对称轴，沿此直线折叠都会得到10：51，或将此图案从反面观察，也可得到10：51.答案：C【例9－2】 一个汽车车牌在水中的倒影为，则该车的牌照号码是__________．解析：只需将倒影沿图案上沿或下沿某一条直线翻折，即可得到该车牌的号码为W5236499.同样在纸上也可以从反面，倒看也能得到它的轴对称图形W5236499.答案：W5236499.10.折叠问题中的轴对称折叠问题是近几年中考的热点，它主要分为两类：(1)一类是图形的折叠问题，一般是将矩形、正方形、三角形沿某条线段所在的直线折叠，求角的度数．这类问题，条件隐蔽，要仔细观察图形，善于运用隐含条件解决问题．(2)另一类是折纸问题，大多是将一个正方形纸片，经过几次轴对称折叠，挖取其中的一小部分，观察展开后的图形，观察得到的是哪种图案．解决方法一般是将所给图案按逆顺序复原，看是否能得到折叠后的图案，另一种方法是折叠、观察、想象，最好的办法是动手按题目要求折叠、裁剪、展开观察．析规律利用轴对称性质解决折叠问题解决这类问题的关键是，折叠前后重合的部分全等，即折叠前和折叠后盖上的部分重合，所以对应角、对应线段相等．【例10－1】如图，把一个长方形沿EF折叠后，点D、C分别落在D1、C1的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED1＝__________度．解析：因为AD∥BC，所以∠DEF＝∠EFB＝65°.又因为折叠前后重合的部分全等，所以∠AED1＝∠DEF＝65°.所以∠DED1＝130°.所以∠AED1＝180°－∠DED1＝50°.答案：50【例10－2】如下图所示，把一个正方形纸片对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是()．解析：解题关键是明确两条折痕都是对称轴，故本题可借助空间想象，将两次对折后的图形沿两条折痕展开，易知展开后的图形应是B.注意折叠方向和剪去的角度．答案：B。

轴对称作图及实际应用（习题）例题示范例1：如图，∠AOB =60°，点P 在∠AOB 的平分线上，OP =10 cm ，点E ，F 分别是∠AOB 两边OA ，OB 上的动点，当△PEF 的周长最小时，点P 到EF 的距离是________． 【思路分析】此题求解应分为两步：① 找出△PEF 的周长最小时E ，F 的位置； ② 求出点P 到EF 的距离． 结合题目条件：特征：有定点（点P ），有动点（点E ，F ），动点在定直线OA ，OB 上运动，满足△PEF 的周长最小，判断这是轴对称最值问题．操作方法：作定点关于定直线的对称点，分别作点P 关于直线OA ，OB 的对称点P ′和P ′′，折转直，利用两点之间，线段最短，找到当△PEF 的周长最小时E ，F 的位置，进而求解． 如图1：P''P'CNM AOB EFPPF EBOAM N CP'图1 图2 如图2，连接OP ′，OP ′′， ∵∠AOB =60°，OP 平分∠AOB ， ∴∠AOP =∠BOP =30°，由轴对称性质可知OP =OP ′，OP =OP ′′，∠AOP ′=∠AOP =30°， ∠BOP ′′=∠BOP =30°，∴OP ′=OP ′′，∠POP ′=∠POP ′′=60°， ∴OP 平分∠P ′OP ′′， ∴OP ⊥P ′P ′′∴点P 到EF 的距离为线段PC 的长． 在△POP ′中，∠POP ′=60°，OP =OP ′P FEBA∴△POP ′是等边三角形 又∵OP ⊥P ′P ′′，OP =10 ∴152P C O P ==巩固练习1. 作已知线段的中点．已知：线段MN ．求作：MN 上一点O ，使OM =ON ．NM作法：（1）分别以_______，_______为圆心，__________为半径作弧，两弧相交于_______和________； （2）___________________________________． ___________________________．2. 已知△ABC ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并填空：（1）作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ；（2）作线段BD 的垂直平分线交AB 于点E ，交BC 于点F ，交BD 于点O ．由（1），（2）可得：线段EF 与线段OE 的数量关系为______________，并证明．3. 如图，已知∠AOB 的大小为α，P 是∠AOB 内部的一个定点，且OP =2，点E ，F 分别是OA ，OB 上的动点，若△PEF 周长的最小值等于2，则α=________．AB CP FEBA4. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ．当△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM =_________°．ABC DNMD C B A5. 如图，一牧童在A 处放牛，其家在B 处，A ，B 到河岸的距离分别为AC ，BD ，且AC =BD ，已知A 到河岸CD 的中点的距离为500米．牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家，请作图说明牧童怎样走路程最短，并求出最短路程．思考小结1. 轴对称最值问题的特征及操作D C B A2.如图，在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP最小，并说明理由．BAl思路提示：在l上任取一点P′（P′不与P重合），则AP+BP_____AP′+BP′（填“>”、“<”或“=”）理由如下：①由对称得：AP=_____，AP′=_____；②AP+BP=________=________，AP′+BP′=________；③由_______________________可得AP+BP_____AP′+BP′．【参考答案】1.图略（1）点M，点N，大于1M N长，点A，点B2（2）连接AB交MN于点O点O即为所求2.图略，EF=2OE；证明略3.30°4.∠AMN+∠ANM=120°5.图略，最短路程为1 000米思考小结1. 动点动和最小定点，定直线交点2. ＜①'A P，''A P②'A P+BP=AB；''B PA P+'③三角形两边之和大于第三边，＜。

初二数学讲义（轴对称）知识梳理1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

6、等腰三角形：（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

底角只能是锐角。

（2）性质：①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。

②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。

③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和地边上的高相互重合。

（3）判定方法：①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②判定（“等角对等边”）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

7、等边三角形：（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。

（2）性质：①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条。

②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。

③等边三角形的三个内角都等于60°。

（3）判定方法：①定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。

第十三章《轴对称》一、知识点归纳（一）轴对称和轴对称图形1、有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．2、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

（对称轴必须是直线）3、对称点：折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

4、轴对称图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。

5．画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

（二）、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．联系：1：都是折叠重合2;如果把成轴对称的两个图形看成一个图形那么他就是轴对称图形，反之亦然。

（三）线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．（证明是必须有两个点）因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（四）用坐标表示轴对称2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；(五）关于坐标轴夹角平分线对称点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y＝x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y＝－x对称的点的坐标是（－y，－x）（六）关于平行于坐标轴的直线对称点P（x，y）关于直线x＝m对称的点的坐标是（2m－x，y）；点P（x，y）关于直线y＝n对称的点的坐标是（x，2n－y）；(七）等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

轴对称作图及实际应用（作图）（人教版）一、单选题（共9道，每道分）1.如图1,己知线段MN,在MN. 下列上求作一点0,使0M=0N.如图2用尺规作图作出了点0,作图语言叙述止确的是（A.分别以点M,点N为圆心，任意长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交MN于点0,点0即为所求.B.分别以点M,点N为圆心，以大于2 长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交MN于点0,点0即为所求.C.以点M为圆心，任意长为半径作弧，再以点N为圆心，大于2 长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交MN于点0,点0即为所求.D.分别以点M,点N为圆心，任意长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB,直线AB 即为所求.答案:B解题思路：在上求作一点0,使可以转化为作线段的垂直平分线，与MV的交点即为点O・正确作法为：分别以点点N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点A和点B；作直线AB交JfV于点0, 点。

即为所求；要找到垂直平分线上的两点，需要保证以相同长为半径作弧，且两弧有交点，所以此半径应大于故选项A, C, D错误.故选B.试题难度：三颗星知识点：尺规作图2•平血内，过直线外一点作已知直线的垂线最终都转化为下列哪一种基本作图（）A.作一个角等于己知角B.作一条线段等于已知线段C.作已知角的角平分线D.作已知线段的垂直平分线答案：D解题思路：过直线外一点作已知直线的垂线可以先在直线上做一条线段，使直线外的一点在这条线段的垂直平分线上，再作这条线段的垂直平分线.故选D.试题难度：三颗星知识点：尺规作图3.如图1,已知A为直线MN外一点，求作直线AB,使AB丄MN.如图2用尺规作图作出直线AB,下列叙述：①任取一点P;②以点A为圆心，AP长为半径作弧，交MN于C, D两点;}rCD③分别以点C,点D为圆心，以大于2长为半径作弧，两弧交MN下方于一点B；④作直线AB.直线AB即为所求.其中错误的是（）A.A.①B.②C.③D.④答案：A 解题思路：过点A作直线■站，使AB1A4N的作法为:①任取一点P,使点P和点山位于直线的异侧；②以点为圆心，川P长为半径作弧，交JfV于C,刀两点；③分别以点G点刀为圆心，以大于i CD长为半径作弧，两弧交MV下方于一点④作直线•站.直线•站即为所求.要保证以且P为半径的弧与直线儿N有交点，点P与点A应位于直线她V异侧,①错误.故选A.试题难度：三颗星知识点：尺规作图4.如图，A, B, C三个村庄联合打井，为使井到三个村庄的距离相等，下列确定水井的位置的说法中正确的是（）A・cB.A.连接AB, AC, BC,作线段AB的垂直平分线MN,作ZABC的角平分线BD交直线MN于点P,点P 即为水井的位置B.连接AB, AC,作线段AB的垂直平分线MN,作线段AC的垂直平分线EF交直线MN于点P，点P 即为水井的位置C.连接AB, AC, BC,作ZABC的角平分线BD,作ZBAC的角平分线AE交BD于点P,点P 即为水井的位置D.作直线AB, BC,过点A作BC的垂线MN,过点C作AB的垂线EF交MN于点P,点P即为水井的位置答案：B解题思路：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以井的位萱在线段AB, AC f EQ中任意两线段的垂直平分线的交点处.故选B.试题难度：三颗星知识点：尺规作图5.在高速公路2的同侧有两个化工厂A, B,为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人到医院的距离相等，关于医院位置，下列说法正确的是（）£A■A.连接BA并延长交直线2于点P,点P即为医院的位置B.连接AB,取AB的中点C,过点C作直线2的垂线MN交直线？于点P,点P即为医院的位置C.过点B作直线2的垂线MN交直线/于点P,点P即为医院的位置D.连接AB,作线段AB的垂直平分线交直线2于点P,点P即为医院的位置答案：D解题思路：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以医院的位置在线段的垂直平分线与公路/的交点处.故选D.试题难度：三颗星知识点：尺规作图6.如图，已知ZAOB及其内部两点C, D,求一点P,使PC=PD,并且P点到ZAOB的两边的距离相等.用尺规作图作出点P的位置，下列作法正确的是（）AA.连接CD,作CD的垂直平分线MN与ZAOB的角平分线OE, MN与0E的交点P即为所求B.作直线CD,作ZAOB的角平分线OE, 0E与CD的交点P即为所求C.连接OC, 0D,分别作OC, 0D的垂直平分线MN, EF, MN与EF的交点P即为所求D.连接CD,作CD的垂直平分线MN, MN与0A的交点P即为所求答案：A解题思路：要使PC=PD f则点P在线段CD的垂直平分线上，要使P点到AAOB的两边的距离相等，则点P在ZAOB的平分线上，所以点P为线段CD的垂直平分线弓厶0B平分线的交点.故选A.试题难度：三颗星知识点：尺规作图7.P是ZAOB内一点，分别作点P关于直线OA, 0B的对称点珂，占，连接还，。

描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.1 轴对称一、学习任务1. 了解轴对称图形和图形成轴对称的意义，并会识别．2. 掌握线段垂直平分线的判定和性质．3. 会用尺规作图做出线段的垂直平分线．二、知识清单轴对称 垂直平分线的性质与判定 尺规作图三、知识讲解1.轴对称轴对称相关概念如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形（axisymmentric figure ），这条直线就是它的对称轴（axis of symmetry ）．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点（symmetric points ）．轴对称的性质① 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；② 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称作图例题：下列图形成轴对称图形的有（ ）A. 个B. 个C. 个D. 个解：A．一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，所以成轴对称图形有 个．54325如图，某小区花坛的形状是左右对称的六边形 ，若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D. 解：B．根据四边形内角和 ，可得 ，再根据轴对称的性质，．ABCDEF ∠AF C +∠BCF =150∘∠E +∠D 200∘210∘230∘250∘360∘∠A +∠B =−=360∘150∘210∘∠E +∠D =∠A +∠B =210∘作图题：（写出做法，保留作图痕迹）、 为 为 、 上的两个顶点，请你在 边上找一点 ，使 周长最小？分析：由于 的周长 ，而 是定值，故只需在 上找一点，使 最小．如果设 关于 的对称点为 ，所以只要使 最小即可．作法：① 作 关于 的对称点 ；② 连接 交 于 点；③ 连接 ，则 周长最小， 为所求．M N △ABC AB AC BC P P MN △P MN =P M +P N +MN MN BC P P M +P N M BC M ′P +P N M ′M BC M ′N M ′BC P MP △PMN P描述：例题：描述：2.垂直平分线的性质与判定垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（perpendicularbisector ）．垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．垂直平分线的判定与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．3.尺规作图线段的画法（1）线段的画法．画一条线段等于已知线段，用圆规在射线 上截取 ，也可以测量长度的方法，再画一条等于这个长度的线段．（2）线段的和、差的画法，已知线段 ，（设）．如图，在 中，，， 边上的垂直平分线 交 、 分别于点 、，则 的周长等于（ ）A. B. C. D. 解：A．根据垂直平分线的性质，可知 ，所以 的周长等于 的值．△ABC AB =a AC =b BC DE BC BA D E △AEC a +b a −b 2a +b a +2bEC =BE △AEC AB +AC 如图，有 、、 三个居民小区的位置呈三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A. 在 ， 两边高线的交点处B. 在 ， 两边中线的交点处C. 在 ， 两边垂直平分线的交点处D. 在 ， 两内角平分线的交点处解：C．A B C AC BC AC BC AC BC ∠A ∠B AC AB =a a b a<b和 的和，记作段 就是线段 与 ③ 连接 ，则此时角 等于 ．③ 过 ， 两点作射线 AB BC AC =a BD AB ON ∠MON ∠AOB O C② 作出 的平分线．② 过 、 两点作直线 ∠DCE M N 已知线段 ，，作一条线段，使其长为 即线段 为所要画的线段．a bAB四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）分析：要找一点 ，使 ，则点 一定在线段 的垂直平分线上，又点 到 两边的距离相等，则点 也在 的平分线上，所以作线段 的垂直平分线和 的平分线，两线的交点即为点 ．解：分别作线段 的垂直平分线 和 的平分线 ， 与 相交于点 ，则点 即为所求．P P C =P D P CD P ∠AOB P ∠AOB CD ∠AOB P CD EF ∠AOB OM EF OM P P 答案：1. 下列图形中，为轴对称图形的是 A．B ．C ．D ．D()2. 如图，在 中 ，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，边 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ．若 ，则 的周长为 ．△ABC AB AB BC D E AC AC BC F G BC =4△AEG()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

初二数学北师大版利用轴对称作图答案及解析1、如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（; ▲答案A 解析2、（2014?含山县一模）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八九月份平均每月的增长答案D 解析试题分析：根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程．解：∵七月份生产零件50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，∴八月份的产量为50（1+x）万个，九月份的产量为50（1+x）2万个，∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196，故选D．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能分别将8、9月份的产量表示出来，难度不大．3、计算【小题1】【小题2】－+ 答案解析4、等于（）A．2B．C．D．答案A 解析5、不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) 答案B 解析6、下列运算正确的是A．2m3＋m3＝3m6B．m3·m2＝m6C．(－m4)3＝m7D．m6÷2m2＝m4 答案D 解析7、一个数的平方等于它本身，这个数是（）A．1B．1，0C．0D．0，±１答案B解析8、下列说法正确的是答案D 解析9、在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是〔〕毛A．平行或相交B．垂答案A 解析10、下列各图中，是中心对称图形的是图答案D 解析11、有理数、在数轴上的位置如图所示，则的值A．大于0B．小于0C．小于D．大于答案A 解析初二数学部审浙教版三角形的稳定性（2011湖北鄂州，10，3分）计算=（;）A．2B．答案A 解析1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；在同一时刻，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的答案D 解析12、“某幼儿园给小朋友分苹果，若每个小朋友分3个则剩1个；若每个小朋友分4个则少2个，问苹果有多少个？”若设共有x 答案C 解析13、。

第一章轴对称图形一、基础知识点知识点一：轴对称图形如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴知识点二：轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。

这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。

知识点三：关于某条直线成轴对称的图形的性质特征1、成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．2、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系？区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。

②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。

联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。

②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。

常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等知识点四：垂直平分线的定义经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线知识点五：线段垂直平分线的性质（1）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的与这条线段的距离思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．知识点六：轴对称的性质以及轴对称图形：性质：⑴成轴对称的两个图形全等。

⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。

知识点七：用坐标表示轴对称1．关于x轴与y轴对称的点的坐标的规律；（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为________；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为________．（3）点（x，y）关于原点对称的点的坐标为________．2．图形关于坐标轴对称一个图形内任一点的横坐标保持不变，纵坐标乘以-1所得的图形与原图形关于________轴对称．专题：等腰三角形知识点一：等腰三角形有相等的三角形是等腰三角形；相等的两边叫作，另一边叫作，两腰的夹角叫作，底边和腰的夹角叫作．练习1：1．如图（1）：△ABC中，若则△ABC是等腰三角形，是腰、是底边、是顶角，是底角．2．等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，这个三角形的周长为________．知识点二：等腰三角形的性质问题：如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线．求证：∠B=∠C；AD平分∠A，AD⊥BC．归纳性质：（1）等腰三角形的两个相等（简写成“等边对”）；C BA图（1）DC BA（2）等腰三角形的顶角 、底边上的 线、底边上的 互相重合（通常称作“三线合一”）；友情提醒：（1）等边对等角的边角必须是同一个三角形的边与角；（2）等腰三角形的“三线合一”不要与三角形全等混淆．练习2：1．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是_______．2．已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是__ _ ___ _． 3．如果等腰三角形的一个外角是125°，则底角为 ．注：已知等腰三角形一个角的度数，求另外两角的度数，常有两种情况，需要分类讨论． 4．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各个内角的度数．知识点三： 等腰三角形的判定活动：如图（4），位于海上A 、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A ＝∠B ．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？COBA图（4）DC BA归纳：证明边相等或角相等，一般需要构造全等的三角形．判定定理：如果一个三角形有两个 相等，那么这两个角所对的 也相等（简写成“等角对 ”）．练习3：1．如图（5），CD 、BD 平分∠BCA 及∠ABC ，EF 过D 点且EF ∥BC ， 则图中的等腰三角形有 个，它们是2．在△ABC 中，∠B ＝36°，D 、E 在BC 边上，且AD 和AE 把∠BAC 三等分，则图中等腰三角形的个数（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 63．如图（6），∠CAE 是△ABC 的一个外角，∠1＝∠2，AD//BC ， 求证：AB=AC ．4．如图（7）,在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠DCB ＝∠B －∠ACB ， 求证：△DCE 是等腰三角形．知识点四：等边三角形相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫 ；图（6）21EDCBA 图（5）图（7）练习4：如果一个等边三角形的一条边长为6cm，那么这个等边三角形的周长是．知识点五：等边三角形的性质（1）等边三角形的三个都相等，且都等于；（2）等边三角形是轴对称图形，且有对称轴；（3）等边三角形每条边上的、和三线合一，它们所在的直线都是等边三角形的．友情提醒：等边三角形是一种特殊的等腰三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等．练习5：1．△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，则∠A=_____度．2．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，连结AE，BD．求证：AE=BD．知识点六：等边三角形的判定（1）三条都相等的三角形是等边三角形；（2）三个都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是的三角形是等边三角形．练习6：1．已知△ABC中，AB=AC, ∠A+∠B=120°,那么∠A= ；△ABC是三角形；2．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．•其中是等边三角形的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3． 如图，在△ABC 中，点D 是AB 上的一点，且AD=DC=DB ，∠B=30°，求证：△ADC 是等边三角形．分析：由已知条件知△ADC 是等腰三角形，要想证明它还是等边三角形，只需要说明这个三角形中有一个内角等于60°即可．4．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、AC 上的点， （1）若AD=BE=CF ，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF 是等边三角形，问AD=BE=CF 成立吗？试证明你的结论．规律技巧总结：要说明一个三角形是等边三角形，可以考虑： ①利用定义证明； ②证明三个角相等；③证明它是等腰三角形并且有一个角是60°知识点七：有一个角是30°的直角三角形在直角三角形中30°的角所对的 为斜边的 ． 练习7：三角形三内角度数之比为1：2：3，最大边长是8cm ，则最小边的长是______．AC BDAFaDBEC二、典型例题讲解（2010无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝____°。

中考系列复习之（1）轴对称一、基础知识梳理（一）主要概念1．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，•直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．2．线段的垂直平分线：线段是轴对称图形，•它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它，这样的直线叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）．3．等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（二）主要性质1．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．3．等腰三角形是轴对称图形等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．等腰三角形的两个底角相等．4．两个图形关于某条直线成轴对称，•则对应点所连的线段被对称轴垂直平分．对应线段相等，对就角相等．二、考点与命题趋向分析（一）能力1．通过具体实例认识轴对称，探索它的基本性质，•理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．2．能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；•探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴．3．探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、•圆）的轴对称性及其相关性质．4．欣赏现实生活中的轴对称图形，•结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称，能利用轴对称进行图案设计．5．了解角平分线及其性质．6．了解线段垂直平分线及其性质．7．了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质．（二）命题趋向分析1．中考中常在拼图中考查轴对称的有关概念，考查学生动手操作能力．【例1】（2001年福建省福州市）两个全等的三角板，•可以拼出各种不同的图形，图中已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分别成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）．【思路分析】只要对轴对称图形的概念清楚，弄清题意，本题还是很容易完成的，现举几例如下．【解】2．有些找规律题也利用轴对称图形出题．【例2】（2004年烟台市）把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5•个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（）①F R P J L G □；②H I O □③N S □；④B C K E □⑤V A T Y W U □A．Q X Z W D B．D M Q Z X C．Z X M D Q D．Q X Z D M 【思路分析】第①组不是中心对称图形，也不是轴对称图形，应填Q；第②组既是中心对称图形，也是轴对称图形，应填X；第③组是中心对称图形，不是轴对称图形，应填Z；第④组不是中心对称图形，仅是轴对称图形，并且对称轴为一条水平线，应填D；第⑤组也不是中心对称图形，仅是轴对称图形，并且对称轴为一条竖线，应填M．【解】选D三、解题方法与技巧方法1：转化方法【例1】如图所示，已知等腰三角形ABC ，AB 边的垂直平分线交AC 于D ，AB=•AC=8，BC=6，求△BDC 周长．【解】∵DE 是AB 的垂直平分线∴点B 、A 关于BD 轴对称∴AD=BD∴△BCD 的周长=BC+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC ∵AC=8，BC=6∴△BCD 周长=8+6=14．【规律总结】本题的思路主要是将线段转化代换，把三角形周长转代为已知线段的和，这种转化的思想是解决数学问题的重要思想方法．【例2】如图所示，在公路a 同侧有两个居民小区A 、B ，•现需要在公路旁建一个液化气站，要求到A 、B 的距离之和最短，这个液化气站应建在哪一个地方？【解】已知直线a 和a 的同侧两点A 、B ，如同所示．求作：点C ，使C 在直线a 上，并且使AC+BC 最小．作法：1．作A 点关于直线a 的对称点A ′．2．连结A ′B 交直线a 于点C ，则C 就是所求作的点． 【规律总结】本题通过作点A 关于直线a 的对称点A 把AC+BC 的和最短问题转化为A ′、B 两点之间线段最短的问题．方法2：分类讨论法【例3】如图所示，在四个正方形拼接的图形中，以这十个点中任意三点为顶点，共能组成________个等腰直角三角形，你愿意把得到上述结论的探究方法与他人交流吗？请在下面简要写出你的探究过程．______________________________________________________________________________________________________。

轴对称作图及实际应用（讲义）➢课前预习1.尺规作图书写作法时注意：点线取__________，作弧说__________．应用作图：①______________________，设计作图方案；②调用__________________完成图形．2.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到奶站的距离之和最小？街道居民区B 居民区A➢知识点睛1.五种基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的角平分线；④作已知线段的垂直平分线；⑤过平面内一点，作已知直线的垂线．2.轴对称最值问题：（1）特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求动点与定点连接组成的线段和（周长）最小．（2）解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP 最小．BAl➢精讲精练1.作已知线段的垂直平分线．已知：线段MN．求作：直线AB，使AB垂直平分MN．MN作法：（1）分别以_______，______为圆心，___________为半径作弧，两弧相交于点A和点B；（2）_______________________________________．_______________________________________．2.（1）过直线上一点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN上一点．求作：直线AB，使AB⊥MN．A作法：①________________________________________________________________________________________________；②________________________________________________________________________________________________；③________________________________________________．_________________________________________________．（2）过直线外一点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN外一点．求作：直线AB，使AB⊥MN．AM N作法：①________________________________________________；②________________________________________________________________________________________________；③________________________________________________________________________________________________；④________________________________________________．_________________________________________________．3.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m，n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？（不写作法，保留作图痕迹）4.为打造“宜居城市”，某市拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A ，B 之间距离的一半，A ，B ，C 的位置如图所示．请在题目给的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M 的位置（不写作法，保留作图 痕迹）．5. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最小．FED A第5题图 第6题图6. 如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点．若AE =2，当EF +CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为____________．7. 如图，等腰三角形ABC 的底边BC 的长为4 cm ，面积是12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM的最小周长为_________．8. 已知：如图，∠ABC =30°，P 为∠ABC 内部一点，BP =4，如果点M ，N 分别为边AB ，BC 上的两个动点，请画图说明当M ，N 在什么位置时使得△PMN 的周长最小，并求出△PMN 周长的最小值．M FEDC B A9. 如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，∠BAD =110°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ．当△AMN 周长最小时，求∠AMN +∠ANM 的度数．A BCD MNDCBA10. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时，四边形PMNQ 的周长最小．【参考答案】➢课前预习1. 名称、心径画出草图，基本作图2. 图略➢知识点睛2. （1）定直线，（2）将折线转直图略➢精讲精练1.图略（1）点M，点N，大于12MN长（2）作直线AB直线AB即为所求2.（1）图略①以点A为圆心，任意长为半径作弧，交直线MN于C，D两点；②分别以点C，点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交MN上方于一点B；③作直线AB．直线AB即为所求．（2）图略①在MN下方任取一点P；②以点A为圆心，AP长为半径作弧，交MN于C，D两点；③分别以点C，点D为圆心，以大于12CD长为半径作弧，两弧交MN下方于一点B；④作直线AB．直线AB即为所求．3.略（提示：AB的垂直平分线和m，n所成角的平分线的交点即为所求）4.略（提示：先作出AB的垂直平分线，再以点C为圆心，以12AB长为半径作弧，交AB的垂直平分线于点M）5.略（作点P关于BC的对称点P'，连接P Q'交BC于点R）6.30°7.8 cm8.作图略，△PMN周长的最小值为4．9.140°10.如图所示：点M，N即为所求．。