2020届高考数学(文科)总复习课时跟踪练：(八)指数与指数函数 Word版含解析

课时作业(八)A　[第8讲　指数与指数函数] [时间：35分钟 分值：80分] 1．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( ) A．－9 B．7 C．－10 D．9 2．下列函数中，值域为{y|y>0}的是( ) A．y＝－5x B．y＝1－x C．y＝ D．y＝ 3．下列等式成立的是( )A.7＝mn7B.＝ C＝(x＋y) D.＝ 4．若a＝50.2，b＝0.50.2，c＝0.52，则( ) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 5．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于( ) A．5 B．7 C．9 D．11 6．定义一种运算：ab＝已知函数f(x)＝2x(3－x)，那么函数y＝f(x＋1)的大致图像是( ) 图K8－1 7．函数y＝(00且a≠1)，若f(2)＝4，则f(－2)与f(1)的大小关系是________． 10．已知集合P＝{(x，y)|y＝m}，Q＝{(x，y)|y＝ax＋1，a>0，a≠1}，如果P∩Q有且只有一个元素，那么实数m的取值范围是________． 11．函数y＝ax＋2012＋2011(a>0且a≠1)的图像恒过定点________． 12．(13分)函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M，当xM时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值． 13．(12分)(1)已知f(x)＝＋m是奇函数，求常数m的值； (2)画出函数y＝|3x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？课时作业(八)A 【基础热身】 1．B　[解析] －(－1)0＝8－1＝7. 2．B　[解析] y＝x的值域是正实数，而1－xR，y＝1－x的值域是正实数． 3．D　[解析] 7＝n7·m－7，＝，＝(x3＋y3)≠(x＋y). 4．A　[解析] a＝50.2>50＝1,0.52<0.50.20时，y＝ax；x<0时，y＝－ax.即把函数y＝ax(00时不变，在x－1，g(x)＝－x2＋4x－3≤1，要有f(a)＝g(b)，则一定要有－1＜－x2＋4x－3≤1，解之得：有2－＜x＜2＋，即2－＜b＜2＋，故选B. 9．f(－2)>f(1)　[解析] 由f(2)＝a－2＝4，解得a＝， f(x)＝2|x|，f(－2)＝4>2＝f(1)． 10．(1，＋∞)　[解析] 如果P∩Q有且只有一个元素，即函数y＝m与y＝ax＋1(a>0，且a≠1)的图像只有一个公共点．y＝ax＋1>1，且单调，m>1.∴m的取值范围是(1，＋∞)． 11．(－2012,2012)　[解析] y＝ax(a>0且a≠1)恒过定点(0,1)，y＝ax＋2012＋2011恒过定点(－2012,2012)． 12．[解答] 由3－4x＋x2＞0，得x＞3或x＜1， M＝{x|x＞3或x＜1}， f(x)＝－3×(2x)2＋2x＋2＝－32＋. x＞3或x＜1，2x＞8或0＜2x＜2， 当2x＝，即x＝log2时，f(x)最大，最大值为，f(x)没有最小值． 【难点突破】 13．[解答] (1)常数m＝1. (2)y＝|3x－1|的图像如下． 当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像无交点，即方程无解； 当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解； 当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解． 。

课时作业8　指数与指数函数一、选择题1．化简4a ·b ÷的结果为(　C )－(－23ab )A ．－B ．－2a 3b 8a b C ．－D ．－6ab6ab 2．设函数f (x )＝Error!若f (a )<1，则实数a 的取值范围是(　C )A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：当a <0时，不等式f (a )<1为a－7<1，(12)即a <8，即a <－3，(12)(12)(12)因为0<<1，所以a >－3，12此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为<1，所以0≤a <1.a 故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.3．(2019·湖南永州模拟)下列函数中，与函数y ＝2x －2－x 的定义域、单调性与奇偶性均一致的是(　B )A ．y ＝sin xB ．y ＝x 3C ．y ＝xD ．y ＝log 2x(12)解析：y ＝2x －2－x 是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数．而y ＝sin x 不是单调递增函数，不符合题意；y ＝x 是非奇非偶(12)函数，不符合题意；y ＝log 2x 的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；y ＝x 3是定义域为R 的单调递增函数，且是奇函数符合题意．故选B.4．二次函数y ＝－x 2－4x (x >－2)与指数函数y ＝x的图象的交(12)点个数是(　C )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：因为函数y ＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4(x >－2)，且当x ＝－2时，y ＝－x 2－4x ＝4，y ＝x＝4，则在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2(12)－4x (x >－2)与y ＝x的图象如图所示，由图象可得，两个函数图象(12)的交点个数是1，故选C.5．(2019·福建厦门一模)已知a ＝0.3，b ＝log 0.3，c ＝a b ，则a ，b ，c(12)12的大小关系是(　B )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．b <c <a解析：b ＝log 0.3>log ＝1>a ＝0.3，c ＝a b <a .∴c <a <b .故选B.121212(12)6．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x <a x ，则(　C )A ．0<b <a <1B ．0<a <b <1C ．1<b <aD ．1<a <b解析：∵当x >0时，1<b x ，∴b >1.∵当x >0时，b x <a x ，∴当x >0时，x>1.(a b)∴>1，∴a >b .∴1<b <a ，故选C.ab7.如图，在面积为8的平行四边形OABC 中，AC ⊥CO ，AC 与BO 交于点E .若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)经过点E ，B ，则a 的值为(　A )A. B.23C ．2D ．3解析：设点E (t ，a t )，则点B 的坐标为(2t,2a t )．因为2a t ＝a 2t ，所以a t ＝2.因为平行四边形OABC 的面积＝OC ×AC ＝a t ×2t ＝4t ，又平行四边形OABC 的面积为8，所以4t ＝8，t ＝2，所以a 2＝2，a ＝.2故选A.二、填空题8．不等式2x 2－x <4的解集为{x |－1<x <2}．解析：∵2x 2－x <4，∴2x 2－x <22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2.9．若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是.(0，12)解析：(数形结合法)当0<a <1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图象，由图象可知0<2a <1，∴0<a <；12同理，当a >1时，解得0<a <，与a >1矛盾．12综上，a 的取值范围是.(0，12)10．已知函数f (x )＝2x －，函数g (x )＝Error!则函数g (x )的最小12x 值是0.解析：当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －为单调增函数，所以g (x )≥g (0)12x ＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －为单调减函数，所以g (x )>g (0)12－x ＝0，所以函数g (x )的最小值是0.11．(2019·湖南益阳调研)已知函数f (x )＝(a ∈R )的图象关2x1＋a ·2x 于点对称，则a ＝1.(0，12)解析：由已知，得f (x )＋f (－x )＝1，即＋＝1，2x 1＋a ·2x 2－x1＋a ·2－x 整理得(a －1)[22x ＋(a －1)·2x ＋1]＝0，所以当a －1＝0，即a ＝1时，等式成立．三、解答题12．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值．解：令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x ∈，此时f (t )在上为[a ，1a ][a ，1a]增函数．所以f (t )max ＝f ＝2－2＝14.所以2＝16，解得a ＝(1a )(1a ＋1)(1a＋1)－15(舍去)或a ＝.13②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈，此时f (t )在上是增[1a ，a ][1a，a ]函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝或3.1313．(2019·河南八市第一次测评)设函数f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝0.1的大小关系是(　D )(1a)A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N解析：因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，所以a >2，所以M ＝(a －1)0.2>1，N ＝0.1<1，所(1a)以M >N ，故选D.14．已知函数f (x )＝1－(a >0，a ≠1)且f (0)＝0.42a x ＋a (1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k 有零点，求实数k 的取值范围；(3)当x ∈(0,1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)对于函数f (x )＝1－(a >0，a ≠1)，由f (0)＝1－＝42a x ＋a 42＋a 0，得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝1－＝1－.42·2x ＋222x ＋1因为函数g (x )＝(2x ＋1)·f (x )＋k ＝2x ＋1－2＋k ＝2x －1＋k 有零点，所以函数y ＝2x 的图象和直线y ＝1－k 有交点，∴1－k >0，即k <1.(3)∵当x ∈(0,1)时，f (x )>m ·2x －2恒成立，即1－>m ·2x －222x ＋1恒成立，亦即m <－恒成立，32x 22x (2x ＋1)令t ＝2x ，则t ∈(1,2)，且m <－＝＝＋.3t 2t (t ＋1)3t ＋1t (t ＋1)1t 2t ＋1由于y ＝＋在t ∈(1,2)上单调递减，1t 2t ＋1∴＋>＋＝，∴m ≤.1t 2t ＋11222＋17676尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．已知实数a ，b 满足>a >b >，则(　B )12(12)(22)14A ．b <2B ．b >2b －a b －aC ．a <D ．a >b －a b －a解析：由>a ，得a >1，由a >b，得2a >b ，故2a <b ，12(12)(12)(22)(22)(22)由b >，得b >4，得b <4.由2a <b ，得b >2a >2，a <<2，(22)14(22)(22)b2∴1<a <2,2<b <4.对于选项A ，B ，由于b 2－4(b －a )＝(b －2)2＋4(a －1)>0恒成立，故A 错误，B 正确；对于选项C ，D ，a 2－(b －a )＝a ＋2－，12(b ＋14)由于1<a <2,2<b <4，故该式的符号不确定，故C ，D 错误．故选B.16．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max(e |x |，e |x －2|)，则f (x )的最小值为e.解析：由题意得，f (x )＝Error!当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(当x ＝1时取等号)，当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ，因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.。

D.-2X _4. 函数f(x)=1-e |x|的图象大致是(5. 若函数y=a x -b(a>0,且a 鬥)的图象经过第二、第三、第四象限A.(1, + 叼B. (0, +旳基础巩固i •化简 (x<O,y< 0)得(A.2xB.2xC.(0,1)D.无法确定 6.已知 a=20.2,b= O.40.2,C =O.40.6,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a 7.若函数f(x)=a |2x-4|(a>0,a 为)满足f(1)=~,则f(x)的单调递减区间是(A.(-s ,2]B.[2, +旳C.-2xJ Lk1D3.已知f(x)=3x-b (2<x w 4,b 为常数)的图象经过点 (2,1),则f(x)的值域为(A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[1, + 乡 a b 的取值范围为()2.函数f(x)=2|x-11的大致图象是 ),则C. [-2,+ 旳D. (a,-2]8. 函数 y= 2-2 x 是( )A. 奇函数，在区间(0, +乡内单调递增B. 奇函数，在区间(0,+旳内单调递减C. 偶函数，在区间(-x ,0)内单调递增D. 偶函数，在区间(-x ,0)内单调递减9. 曲线 y=2a |x-1|-1(a>0,a 鬥)过定点 __________10.函数f(x)= ____________ - 的值域为 .15.已知函数f(x)=|2x -1|,且当a<b<c 时有f(a)>f(c)>f(b),则下列结论一定成立的是 (A. a< 0,b< 0,c<0B.a< 0,b > 0,c>0 — -a cC. 2 <2 a c小D.2 +2 <216. _______________ 记X 2-X 1为区间［x 1,x 2］的长度,已知函数y=2|x|,x € ［-2,a ］(a > 0),其值域为［m,n ］,则区间［m,n ］的长度的 最小值是.三、高考预测11.函数y= -+ 1在x € ［-3,2］上的值域是_X、,12.已知函数 f(x)= (a-2)a (a>0,且 a 为),若对任意 x 1,x 2€ R ,>0,则a 的取值范围二、能力提升13.当x € (-a ,-1］时,若不等式(m 2-m) 4x -2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(-2,1)B.(-4,3)C.(-1,2)D.(-3,4)14.若存在正数 x 使2x (x-a)< 1成立，则a 的取值范围是 A. (a,+汨 B.(-2,+ 叼C. (0,+ a ) D. (-1,+a )17.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6，则a,b,c 的大小关系是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a考点规范练8指数与指数函数1. D2. B 解析因为f(x)=2|x-1|= -所以f(x)在［1,+ x)内为增函数，在(-円1)内为减函数•3. C 解析由f(x)的图象经过点(2,1)可知b=2.因为f(x)=3x-2在区间［2,4］上是增函数，所以f(x)min =f (2) = 1,f(x)max=f (4) = 9.故f(X)的值域为［1,9］•4. A 解析因为函数f(x)= 1 -e|x|是偶函数，且值域是(-x,0］,只有A满足上述两个性质.故选A.5. C 解析因为函数图象经过第二、第三、第四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在y轴负半轴上•令x=0，得y=a°-b= 1-b,由题意得解得故a b€ (0,1),故选C.6. A 解析由0.2<0.6,0<0.4<1,可知0.40.2>0.40",即b>c.又因为a=20.2>1,b=O.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.7. B 解析由f(1) = 一得a2=-,故a=- -- 舍去，即f(x)= - .由于y=|2x-4|在(-x,2］上单调递减，在［2, + x)上单调递增，故f(x)在(-x,2］上单调递增，在［2, + X上单调递减■故选B.8. A 解析令f(x)=2x-2-x，则f(x)的定义域为R，且f(-x) = 2-x-2x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数，排除C,D. 又函数y=-2-x,y=2x均是R上的增函数，所以y= 2x-2-x在R上为增函数.9. (1,1) 解析由|x-1|=0,即x= 1,此时y=1 故函数恒过定点(1,1).10. ［0,1)解析由1-e x>0,可知e x w 1.又0<e x,所以-K -e x<0,即0W 1 -e x< 1.故函数f(x)的值域为［0,1).11•- 解析令匸-，由x€ [-3,2],得t €_.则y=t2-t+ 1=-一 - - .当t= -时,y min = -；当t=8 时,y max= 57.故所求函数的值域为一12. (0,1) U (2,+旳解析由题意知f(x)在R上是增函数•当0<a< 1时,a-2<0,y=a x单调递减，所以f(x)单调递增；当1<a< 2时,a-2<0,y=a x单调递增，所以f(x)单调递减；当a=2时,f(x)=0;当a>2时,a-2>0,y=a x 单调递增所以f(x)单调递增•故a的取值范围是(0,1) U (2,+旳.213. C 解析原不等式可变形为m -m< - •函数y= -在(-8,-1]上是减函数，当x€ (-8,-1］时,m2-m< -恒成立等价于m2-m<2，解得-1<m< 2.14. D 解析不等式2x(x-a)< 1可变形为x-a< - •在同一平面直角坐标系中作出直线y=x-a与y= 一的图象.由题意知，在(0,+ 8内，直线有一部分在y= -图象的下方.由图可知，-a< 1所以a>-1.15. D 解析作出函数f(x)=|2x-1|的图象，如图.T当a<b<c 时,有f(a)>f (c)>f (b),•••结合图象知0<f(a)<1,a<0,c>0.•••0<2a<l.•••f(a)=|2a-i|=i-2a<1.•••f(c)< 1, /.0<c< 1.• 1<2c<2,•f(c)=|2c-1|=2c-1,又f(a)>f (c), • 1-2a>2c-1,•2a+2c<2,故选D.16.3 解析令f(x)=y= 2|x|，则f(x)= _(1)当a=0时,f(x)=2-x在［-2,0］上为减函数值域为［1,4］.⑵当a>0时,f(x)在［-2,0)上为减函数，在［0,a］上为增函数①当0<a < 2 时,f(x)max=f(-2)=4，值域为［1,4］;②当a>2 时,f(x)max=f(a)=2a>4，值域为［1,2a］.综上(1)(2),可知［m,n］的长度的最小值为 3.17. C解析函数y=0.6x在定义域R上为减函数，0 0.6 1.5•1=0.60>0.60.6>0.61.5.而函数y=1.5x为增函数，• 1.50.6> 1.5°= 1, • b<a<c.。

课时跟踪检测(八) 函数的图象一、题点全面练1．函数f (x )＝x e－|x |的图象可能是( )解析：选C 因为函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，排除A 、B ；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x e －x，因为e －x＞0，所以f (x )＞0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)时，其图象恒在x 轴上方，排除D ，故选C.2.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，x ＋a ，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选C 由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，x ＋，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.3．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：选B 函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝f (a －x )的图象关于直线x ＝a2对称，令a ＝2可得与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是函数y ＝ln(2－x )的图象．故选B.4．已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )解析：选D 在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1,1]上的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一条线段，因此选项D 不正确．故选D.5．若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )解析：选C 要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后向左平移一个单位长度得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．6．(2019·汉中模拟)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x 的图象大致为( )解析：选A ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·s in x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1·sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x －1·sinx ＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，故排除C 、D ；当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2－1·sin2＜0，故排除B ，选A.7.若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝1，b ＝－2C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2解析：选B 令f (x )＝0，则(ax 2＋bx )e x＝0，解得x ＝0或x ＝－b a ，由图象可知，－b a＞1，又当x ＞－b a时，f (x )＞0，故a ＞0，结合选项知a ＝1，b ＝－2满足题意，故选B.8．定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x,2x －3,6－x }，则M 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．6解析：选C 画出函数M ＝max{2x,2x －3,6－x }的图象如图中实线部分所示，由图可得，函数M 在点A (2,4)处取得最小值，最小值为4，故选C.9.已知在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，该函数的图象与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )解析：选B 由题意知，当－1＜t ＜0时，S 越来越大，但增长的速度越来越慢．当t ＞0时，S 的增长速度会越来越快，故在S 轴右侧图象的切线斜率逐渐增大，选B.10.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：令y ＝log 2(x ＋1)，作出函数y ＝log 2(x ＋1)图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．答案：{x |－1<x ≤1}11．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)12．已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a ＞0. (1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0,1]时，由图象写出f (x )的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －a ，x ≥0，－x x －a ，x ＜0，其图象如图所示．(2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a2.(3)由图象知，当a2＞1，即a ＞2时，f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当0＜a2≤1，即0＜a ≤2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 24.综上，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a 24，0＜a ≤2，1－a ，a ＞2.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2019·大同质检)已知函数f (2x ＋1)是奇函数，则函数y ＝f (2x )的图象关于下列哪个点成中心对称( )A ．(1,0)B ．(－1,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 解析：选C 因为f (2x ＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f (2x )的图象是由f (2x ＋1)的图象向右平移12个单位得到的，故f (2x )关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0成中心对称． 2．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在(－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．3．(2019·合肥质检)对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x－a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，知f (x )＝－f (－x )有非零解，由f (x )＝－f (－x )得，e x －a ＝－(e －x－a )，即a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＞1(x ≠0)，所以当f (x )＝e x －a 存在奇对称点时，实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)(二)素养专练——学会更学通4．[数学建模]如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a )经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (图中阴影部分)，若函数y ＝f (x )的大致图象如右图所示，那么平面图形的形状不可能是( )解析：选C 由y ＝f (x )的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项C ，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.5．[直观想象]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)解析：选C 当x ＞0时，f (x )＝f (x －1)，所以f (x )是以1为周期的＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1.函数．又当0＜x ≤1时，x －1≤0，所以f (x )＝f (x －1)＝21－x－1方程f (x )＝x ＋a 的根的个数可看成是两个函数y ＝f (x )与y ＝x＋a 的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数a 的取值范围是(－∞，1)．(三)难点专练——适情自主选6．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数， ∴1－a ＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 7．若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，求a 的取值范围．解：不等式4a x －1<3x －4等价于ax －1<34x －1. 令f (x )＝ax －1，g (x )＝34x －1，当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件； 当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x ≥2时，f (2)≤g (2)， 即a2－1≤34×2－1， 解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.。