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专题3.5 指数与指数函数（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养．2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养．3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．【知识点展示】1．根式(1)根式的概念若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)a的n次方根的表示x n＝a⇒n n1)n n1)x⎧>⎪=⎨>⎪⎩当为奇数且当为偶数且【特别说明】：(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数．n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．n为偶数，a为非负实数n为奇数，a为任意实数，且na符号与a的符号一致2．有理数指数幂3函数y＝a x(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，a是底数，指数函数的定义域为R.【特别提醒】形如y＝ka x，y＝a x＋k(k∈R，且k≠0；a＞0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．4．指数函数的图象和性质函数的定义域为R；值域为(0，＋∞)5．常用结论（1）指数函数图象的画法画指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，1 (1,)a -.（2）指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．【常考题型剖析】题型一 根式的化简与求值例1.（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的个数是（ ）（1）49的平方根为7； （2a (a ≥0)；（3）5155a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （4）13(3)=-．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【分析】（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为55a b -；（4）符号错误 【详解】49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；555aa b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，（3133，(4)错，正确个数为1个，故选：A例2．化简下列各式：(1)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9(－3<x <3)； (2)(a －1)2＋1－2a ＋a 2＋3(1－a )3. 【答案】见解析.【解析】(1)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3<x <1，－4，1≤x <3.(2)由a －1知a －1≥0，∴原式＝a －1＋(a －1)2＋1－a ＝a －1.【规律方法】1.根式化简或求值的注意点解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．对n a n 与(na )n 的进一步认识(1)对(n a )n 的理解：当n 为大于1的奇数时，(n a )n 对任意a ∈R 都有意义，且(na )n ＝a ，当n 为大于1的偶数时，(n a )n 只有当a ≥0时才有意义，且(na )n ＝a (a ≥0)．(2)对n a n 的理解：对任意a ∈R 都有意义，且当n 为奇数时，n a n ＝a ；当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0－a a ＜0.(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论． 3.有限制条件的根式化简的步骤题型二： 指数幂的化简与求值例3．（2022·河南·模拟预测）下列计算正确的是（ ） A ．()22239a b a b +=+ B ．336325a a a += C ．248a a a ⋅=D ．()362328a b a b =【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法的运算法则，积的乘方的运算法则解答即可. 【详解】A 、222(3)96a b a ab b +=++，故A 错误；B 、333325a a a +=，故B 错误；C 、246a a a ⋅=，故C 错误；D 、2363(2)8a b a b =，故D 正确. 故选：D例4.（2022·全国·高三专题练习）化简：（1）126016(2018)449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭（2111332ab a b -⎫⎪⎭a >0，b >0). （3）312211122211111a a aa a a a a -+--++++-.【答案】（1）99π+；（2）ab；（3）12a .【解析】 【分析】（1）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案. （2）根据指数幂的化简原则，计算整理，即可得答案.（3）根据指数幂的化简原则，结合立方差公式，通分计算，即可得答案. 【详解】（1）原式6614342717399πππ=⨯+--=⨯+-+-=+ （2）原式＝11121082232333354331127272333333a b a b a b a b a b ab a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===.（3）原式1122313122221211111a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-⋅++ ⎪ ⎪-+--+-+⎝⎭⎝⎭=--++1122111a a a a -=--=-. 【规律方法】1.指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 2.根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是： (1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点； (2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如(x 12+x −12)2=x +2+x−1，(x +x−1)2=x 2+2+x−2，x 32+x−32=(x 12+x −12)(x −1+x −1)，解题时要善于应用公式变形． 题型三：指数函数的概念例5．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））设()xf x a =，且()12f =，则()()02f f +=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求得函数()2xf x =，结合指数幂的运算，即可求解.【详解】由题意，函数()xf x a =，因为()12f =，可得()112f a ==，解得2a =，即()2xf x =，所以()()0202225f f +=+=.故选：B.例6．（2022·浙江金华·模拟预测）已知a ∈R ，函数24,2()2,2x x f x x a x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，(3)f =___________；若((2))2f f =，则=a ___________.【答案】 4 0 【解析】 【分析】根据分段函数解析式计算可得； 【详解】解：因为()24,22,2x x f x x a x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，所以3(3)244f =-=，2(2)240f =-=，(0)||2f a =+， 即((2))(0)||22f f f a ==+=，所以0a =， 故答案为：4；0.题型四：指数函数的图象及应用例7.（2020·山东高考真题）已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01x y a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项. 【详解】当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，所以()f x 在()0,∞+上递减，()f x 是偶函数，所以()f x 在(),0-∞上递增. 注意到01a =， 所以B 选项符合. 故选：B例8．（2022·陕西咸阳·三模（文））我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数()22x x f x x-+=的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶性定义判断()f x 奇偶性，结合(1),(3)f f 大小判断(0,)+∞上是否递减，即可得答案. 【详解】由定义域为{|0}x x ≠，则()2222()()x x x xf x f x x x ----++-==-=--，所以()f x 为奇函数，排除A 、C ； 而565(1)(3)224f f =<=，故()f x 在(0,)+∞上不递减，排除B. 故选：D例9．（2021·全国高一课时练习）如图是指数函数①x y a =，①x y b =，①x y c =，①x y d =的图像，则a ，b ，c ，d 与0和1的大小关系是（ ）A ．01a b c d <<<<<B ．01b a d c <<<<<C ．1a b c d <<<<D ．01a b d c <<<<<【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性分析得到c ，d 大于1，a ，b 大于0小于1，再通过取1x =得到具体的大小关系．【详解】当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数， 当底数大于0小于1时是定义域内的减函数， 由图可知c ，d 大于1，a ，b 大于0小于1． 又由图可知11c d >，即c d >．11b a <，即b a <．a ∴，b ，c ，d 与1的大小关系是01b a d c <<<<<．故选：B ．例10.（2020·北京·高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A ．(1,1)- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(0,1) D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果. 【详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.例11.（2021·湖南高考真题）已知函数()2,0282,24x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩（1）画出函数()f x 的图象； （2）若()2f m ≥，求m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）{}|13m m ≤≤ 【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出[]0,2x ∈的图象，再根据一次函数的特点作出(]2,4x ∈的图象即可； （2）当02m ≤≤时，解不等式22m ≥，当24m <≤，解不等式822x -≥即可求解. 【详解】（1）函数()f x 的图象如图所示：（2）()2,0282,24m m f m m m ⎧≤≤=⎨-<≤⎩，当02m ≤≤时， ()22mf x =≥，可得：12m ≤≤，当24m <≤，()822f x x =-≥，可得：23m <≤，所以()2f m ≥的解集为：{}|13m m ≤≤， 所以m 的取值范围为{}|13m m ≤≤. 【总结提升】 1. 常考题型及技法(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较． 2.识图的三种常用方法（1）抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 3.过定点的图象(1)画指数函数y ＝ax(a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点(0,1)，(1，a)， .特别注意，指数函数的图象过定点（0，1）； (2) xy a ＝与xy a-＝的图象关于y 轴对称；(3)当a ＞1时，指数函数的图象呈上升趋势，当0＜a ＜1时，指数函数的图象呈下降趋势；简记：撇增捺减．题型五：指数函数的性质及应用例12.（2016·全国·高考真题（理））已知432a =，254b =，1325c =，则 A ．b a c << B ．a b c <<C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A 【解析】 【详解】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =， 因为幂函数13y x =在R 上单调递增，所以a c <， 因为指数函数16x y =在R 上单调递增，所以b a <，故选：A.例13.（2017·北京高考真题（理））已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质，可得答案. 详解：函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xxx xxx f x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xx y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数.故选A.例14.（2017·全国·高考真题（理））设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________. 【答案】1(,)4-+∞【解析】【详解】 由题意得：当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即014x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞.例15.（2014·全国·高考真题（文））设函数113,1(){,1x e x f x x x -<=≥，则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是_______________. 【答案】(,8]-∞ 【解析】试题分析：当时，，∴，∴；当时，，∴，∴，综上，使得()2f x ≤成立的的取值范围是．故答案为．例16．（2015·福建·高考真题（文））若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______． 【答案】1 【解析】 【详解】试题分析：根据(1)(1)f x f x +=-可知函数的图像关于直线对称，可知，从而可以确定函数在上是增函数，从而有，所以，故的最小值等于.【总结提升】1. 底数相同，指数不同：借助指数函数单调性进行比较；底数不同，指数相同：利用导数不同的指数函数的图象变化规律来判断；底数不同，指数不同：常找到一个中间值，通过比较函数值与中间值的大小进行判断．2. 指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据 ①af (x )＝a g (x )⇔f (x )＝g (x )．②af (x )＞ag (x )，当a ＞1时，等价于f (x )＞g (x )；当0＜a ＜1时，等价于f (x )＜g (x )． (2)解指数方程或不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解．与指数函数有关的复合函数的单调性3.形如函数y ＝af (x )的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关：(1)若a ＞1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝af (x )的单调增(减)区间；(2)若0＜a ＜1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝af (x )的单调减(增)区间．即“同增异减”． 4.与指数函数有关的复合函数的值域形如y ＝af (x )的函数的值域，可先求f (x )的值域再根据函数y ＝a t 的单调性确定y ＝af (x )的值域．。
