2
的图象．
.
• (2)由图象观察知，函数在(－∞，－2]上是单调增函数，在[－2，＋
∞)上是单调减函数．
•
(3)由图象观察知，x＝－2时，函数
y
1 x2
有最大值，最大
值为1，没有最小值．
2
规律总结 上述解法，通过化归与转化，把一个指数型函
数的问题转化为指数函数的图象，体现了化繁为简、化生为熟的 思想．另外，本例也可以不考虑去绝对值符号，而是直接用图象 变换作出，方法如下：
y
1
x
保留x0部分，将它沿y轴翻折得到x0部分
2
y
1 x 2
向左 平移2个单 位 y
1 2
x2
.
变式训练２函数 f x ax b的图象如右图，其中a、b为
常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
【解析】 ∵由图象显示函数是减函数，∴0<a<1.
又∵函数图象与y轴的交点在点(0,1)的下方，
∴图象是由 y a x 的图象向下平移所得，
∴－b<0，即b>0，故选C
【答案】 C
指数函数的性质及应用
已知函数
y
1
x2 6 x17
.
2
(1)求定义域及值域；(2)求函数的单调区间．
分析 上述函数是一个指数型函数的问题，可通过换元转化为指
数函数；利用指数函数的性质分别求定义域、值域和单调区 间．在求值域时，应先求指数的值域，再求指数式的值域；在求 单调区间时，注意利用复合函数的单调性．
变式训练1
1
已知x 2
1
x2
3,求
x2
3
x
2 3
2
的值.
x2 x 2 3
【解析】
1
x2
1
x2
1 3, x 2
1
x2
2
9,
x 2 x1 9, x x1 7,
x x1 2 49, x2 x2 47.
3
又 x2
3
x2
1
x2
1
x2
x
1
x 1
3 7 1
18,
x2 x2 2 47 2
变式训练４ 设集合A＝{x|1＜x≤2}，关于x的不等式
22ax 2ax a R 的解集为B，求使A∩B＝A的实数a的取值范围．
2
8
2
8
2 x 1;
4
2
当 1 x 1时，不等式f x 2 1,即24x 1 2 1,
2
8
8
1 x 5. 28
总上可知：2 4
x
5 8
,原不等式的解集为x
|
2 4
x
5 8
.
规律总结 上述问题的最终形式是解一个指数不等式，属于指数
函数的综合应用．求解该类问题的关键是，化简所给函数、方程或 不等式，使之能利用指数函数的性质，把原问题转化为熟悉的问题 加以解决．
f
x
1 2x 1
在
(－∞，＋∞)上单调递减，且无限趋于0，故
无最小值，故选A.
【答案】A
指数函数的综合应用
cx 10 x c,
(12分)
满足 f c2
已知函数 f 9.
x
x
1 c2
2
1c
x
1
(1)求常数c的8 值；(2)解不等式 f x 2 1 .
8
分析 (1)由题意判断c的取值范围，用 f c2 9 求常数c 8
的值．
(2)由求得的c化简已知函数式，分段解不等式，最后求并集，
得不等式的解集．
解 1依题意，0 c 1,c2 c,
f c2 9 ,即c3 1 9 ,c 1 .
8
8
2
2由1得f x 212x4x11012xx121,.
当0 x 1 时，不等式f x 2 1，即1 x 1 2 1,
解 1令ux x2 6x 17,ux x 32 8 8, x R，u 8,,
y
1 u 2
1 2
8 ,值域为 0,
1 28
.
2当x 3时, ux x2 6x 17为增函数，
又0 1 1, y 1 u 为减函数，
2
2
在3,上，函数y为减函数；
当x 3时，ux x2 6x 17为减函数,
解 1 原式
2
6
3
211 115
a3 2 6b2 3 6
4ab0 4a.
2 原式
a2
12
2 1 2
a 2 3
5
a6
6
a5 .
a2a3
规律总结 对于运算结果的形式，如果题目是以根式的形式给出的，
则结果一般用根式的形式表示；如果题目是以分数指数幂的形式给出 的，则结果一般用分数指数幂的形式表示．化简结果不要同时含有根 号和分数指数幂，也不要既有分母又含有负指数幂．
变式训练３ 若函数 f x 1 ，则该函数在(－∞，＋∞)
2x 1 上是( )
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
【解析】
(－令∞u，x＋∞ 2)上x 单1调，递则增f且uu(xu1)>.1因；为而u(f xu)在 1
u
在(1，＋∞)上单调递减．故
解 (1)由函数的解析式得
y 1 x2 2
1 2
x
2
x
2,
2x2 x 2.
其图象分成两部分：一部分是 的图象，由下列变换可得到：y
1
y
x
1 x2 x 2
2
向左 平移两个单位 y
1
x2
；
2
2
另一部分是 y 2x2 x 2的图象，由下列变换可得
到：y 2x 向左 平移两个单位 y 2x2 .如图实线部分为函数 y 1 x2
第二节 指数与指数函数
指数式的化简与求值
计算下列各式(式中字母均为正数)．
1
2a
2 3
b
1 2
6a
1 2
b
1 3
3a
1 6
b
5 6
;
2
a2 a3 a2
a
0.
分析 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号的先算括号内的．整数指数幂的运算性质及y运算规律 扩充到分数指数幂后，其运算规则仍符合整数指数幂的四则 运算法则．
又0 1 1, y 1 u 为减函数，
2
2
在 ,3上，函数y为增函数.
综上可得，函数y
1
x2 6 x17
的单调增区间
2
为 ,3,单调减区间为3,.
规律总结 讨论指数型函数的性质，最终要利用指数函
数的性质和其他基本初等函数的性质来解决．其关键是准 确把握函数的结构，弄清复合函数中各函数的性质，然后 有机地把二者结合起来．判断单调性时，要注意复合函数 的规律．
3
3
ห้องสมุดไป่ตู้.
18 3
x2 x 2 3
指数函数的图象及应用
已知函数 y 1 x2 . 2
(1)作出函数的图象； (2)由图象指出单调区间； (3)由图象指出，当x取什么值时y有最值．
分析 由于函数解析式中含有绝对值，故要考虑去绝对值符号，
把函数解析式写成分段函数的形式，再作出图象，然后利用图 象寻求单调区间及最值．
