( 2, 1) (1, 2)
3
7
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题 型一
2
1
指数式与根式的计算问题
【例 1】计算下列各式的值．
27 3 (1) ( ) ＋ (0.002) 2 －10( 5－2)－1＋( 2－ 3)0； 8
(2)
a 3b2 3 ab2 (a b ) a b
1 4 1 2 4 1 3 1 3
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[探究提高]
1．与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利 用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得 到其图像．
2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用
相应的指数型函数图像求解.
数缺形时少直观，形缺数时难入微 。 ——华罗庚
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变式训练
方程 2 ＝2－x 的解的个数是 1 ________ ．
4 ＝ 10 － 10 － 20 ＋ 1 ＝－ .. ＝＋ ＋ 10 5 5 － 10 5 5 － 20 ＋ 1 ＝－ 167 9 9 9 9 ＝ ＋10 5－10 5－20＋1＝－ . 9 9
22 2 3 3＋ ＋ 3 ＋
11 1 10 1 10 1 2 2 － ＋ 1 －－ －10 ＋ 1 2－ 2 2 ＋1
解析 方程的解可看作函数y＝2x和y＝2-x的图象交点的横坐标,
x
分别作出这两个函数图象(如图)．
由图象得只有一个交点， 因此该方程只有一个解．
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题 型 三 指数函数的性质及应用
【例3】 (1)求不等式 a
2x－7
＞a4x 1 中 x 的取值
－
范围； 1－x2＋2x＋1 (2)求 f(x)＝ 2 的单调区间、 值域．
x
. .
当 (0 ，＋ ∞ )上是减函数； 当x x>0 >0 时，所以函数在 时，所以函数在 (0 ，＋ ∞ )上是减函数； 当 x>0 时，所以函数在(0，＋∞)上是减函数； 当 (－ ∞ ， 0) 上是增函数， 当x x<0 <0 时，函数在 时，函数在 (－ ∞ ， 0) 上是增函数， 当 x<0 时，函数在(－∞，0)上是增函数，故选 D.
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题 型二
指数函数的图象及应用
(2)若函数 y＝ax＋b－1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、
0 a 1, b 0 ． 四象限,则 a, b 的取值范围是__________________
函数 y＝ax＋b－1 的图象经过第二、三、四象限， 大致图象如图． 所以函数必为减函数．
山东青州实验中学
它弹 解 〃钢 题 琴是 一一 样种 〄实 只践 能性 波 通技 利 过能 亚 模就 仿象 和游 实泳 践、 来滑 学来自 到、 ,——主页
[备考方向要明了]
复习目标
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义， 掌握幂的运算．
3.理解指数函数的概念，掌握指数函数的性质．
变式练习：1 求函数的单调区间和值域．
y2
2．函数f(x)＝
x 4 x1
2
a
x
(a>0，a≠1)在[1,2]中的最大
a 值比最小值大 ，则a的值为__________． 2
先学 知习 其数 然学 〄要 然多 后做 知习 其题 所〄 以边 然做 。边 思 苏索 步。
青
—
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解：u＝－x2－4x－1 在(－∞，－２)上是增函数， 在（－２，＋∞)上为减函数；而函数 y＝２u 在 R 上 为增函数， ∴f(x)在(－∞，－２)上是增函数，在（－２，＋∞) 上为减函数．
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讲义1----7必做，8、 9选做。
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u x －４x－1 ( x＋２ ) ＋３３
2 2
而y ２在R上为增函数，
u
0 y ８即函数值域为 , 0,８
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a 解：若a 1, y a 在R上为增函数，此时a a , 2 3 解得，a 2 a x 2 若0<a 1, y a 在R上为减函数，此时a a , 2 1 解得，a 2 3 1 综上，a 或a 2 2
x 2
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课堂小结
（1）通过本节课的复习，你有了哪些新的 收获？
（2）在学习的过程中，用到了怎样的数学 思想方法？
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当堂检测
1．函数y＝2 x值域是 ( B ) A．[0，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，＋∞) D． [ 2 ，＋∞) 2.已知函数f(x)＝ax＋b (a>0且a≠1)的图象如图 -2 所示，则a＋b的值是_______
对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，
如果有特殊要求，要根据要求写结果． 但结果不能同时含有根号和分数指数， 也不能既有分母又含有负指数． 主页
结合例2和例3小组合作思考并讨论以下问题：
1、y f ( x) 的图像可由y f ( x)的图像怎样变换得到？
方程的解的个数问题怎样借助函数图像解决？ 2、指数型函数y=a f(x)的性质怎样研究？
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[探究提高] 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知
指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次
要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等 问题时，一般要借助“同增异减”这一性质分析判断， 最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．当底 数不确定时，注意分类讨论。
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题 型 三 指数函数的性质及应用
（3）k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
解:函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝ 3x的图象向下平移一个单位后，再把位 于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方
得到的，函数图象如图所示．
①当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点, 即方程无解； ②当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有 唯一的交点，所以方程有一解； ③当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个 不同交点，所以方程有两解．
R 定义域: ( 0,+ ∞ ) 性 值 域: 恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
当 x < 0 时，. 0< y < 1
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基础自测
题号 答案
1 2
3 4 5
x ,(a b) , m
7
2 3
3 4
5 2
(a 0, b 0) .
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27)) 解 ::(1) 原式＝ 解 (1) 原式＝(( 27 27 ) 解: (1)原式＝ ( 8 8
1 )) (( 1 1 ) 5 － 2 ( 5 － 2 500 500 8 22 500 5－2 11 8 ))33 ＋ 22 1 2 500 500 ＝ － 10( ＋ 2) ＋ 1 ＝(( ＋ － 10( 5 5 ＋ 2) ＋ 1 8 8 2 3 ＝ ( 27 27 ) ＋ 500 －10( 5＋2)＋1 4 167 4 27 167
(2)
a 3b 2 3 ab 2 (a b ) a b
1 4 1 2 4 1 3 1 3
(a b a b ) aba b
2 1 3 1 3
3 2
1 3
2 1 3 2
a
3 1 1 1 2 6 3
b
1 1 2 1 3 3
ab 1 .
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[总结提高]
指数幂的化简与求值的原则及结果要求 1．化简原则 (1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数；(4)注意运算的先后顺序． 2.结果要求
4.知道指数函数是一类重要的函数模型.
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x y a 指数函数 的图象及性质
a>1 图
y=1 y y=ax
(a>1) (0,1)
0<a<1
y=ax (0<a<1) y
(0,1)
y=1 x
象
当 x > 0 时，y > 1.
0
x
0 y > 1； 当 x < 0 时，
当 x > 0 时， 0< y < 1。
所以函数必为减函数． 故 0<a<1. 所以函数必为减函数． 又当 x ＝0 时，y<0， 故 <1. 0< a 故 0<a<1.
又当 又当 x x＝ ＝0 0 时， 时，y y<0 <0， ， 0 0 即 a 即 a0＋ ＋b b－ －1<0 1<0， ， ∴ ∴b b<0. <0.
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即 a0＋b－1<0， ∴b<0.
改正错误，提炼规律、方法
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题型二 指数函数的图象及应用
xax 【例 2】(1)函数 y＝ (0<a<1)图象的大致形状是 ( D ) |x|
x a x>0 ， x >0 x， a a ，x>0 . 函数定义域为 x |x ∈ R,xx ≠ 0}, 且 且 y＝xa ＝ 函数定义域为 {{ x |x ∈ R, ≠ 0}, y＝ ＝ x x |x||x| ＝ 函数定义域为{x|x∈R, x≠0}, 且 y＝ － x<0 ， x<0 aa x， |x| － －a ，x<0 xx xa xa x
