指数式与指数函数复习课件(精选)

a,
1 a
,
此时f(t)在
a,
1 a
上为增函数,
所以f(t)max=f
1 a
=
1 a
2
1 -2=14.
所以
1 a
2
1
=16,
±n a
负数没有偶次方根
2.两个重要公式
⑥ a , n为奇数,
n
an
= |
a
|
⑦ a (a ⑧ a (a
0), n为偶数; 0),
( n a )n=⑨ a (注意a必须使 有意义).
二、有理数指数幂
1.分数指数幂的表示
na
(1)正数的正分数指数幂:
m
a n =⑩ n am (a>0,m,n∈N*,n>1).
栏目索引
答案 B 当x≥1时, f(x)=2x-1;当x<1时, f(x)=21-x,选B.
2.已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是 ( )
栏目索引
答案 B 先将y=2x的图象下移2个单位,再将x轴下方图象翻折即可得y =|f(x)|的图象,选B.
栏目索引
3.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则 ( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a
(2)正数的负分数指数幂:
栏目索引
m
a n=
1
m
an =
1
n am (a>0,m,n∈N*,n>1).
(3)0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义. 2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q). (2)(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q). (3)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图象与性质

高中
数学
§第一节
指数与指数函数
（复习+习题练习）
指数函数与
对数函数
真题在线
知识清单
考点一 指数幂的性质与运算
1.定义
（1）正整数指数幂： = ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∈ ∗ .
个
1
（2）负整数指数幂：− = ≠ 0, ∈ ∗ .


（3）分数指数幂： =
2.幂函数的性质
(1)图像分布：幂函数的图像分布在第一、二、三象限，第四象限内无图像.幂函
数是偶函数时，图像分布在第一、二象限(图像关于y轴对称)；幂函数是奇函数时，图
像分布在第一、三象限(图像关于原点对称)；幂函数是非奇非偶函数时，图像只分布
在第一象限.
知识清单
考点二 幂函数
(2)过定点：所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图像都经过点(1，1).
典例精析
例
例
题
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
典例精析
例
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
巩固练习
过关练习
同学们！再见！
课后一定要多练习哦！


> 0, , ∈
0, , ∈ ∗ , > 1ሻ.
（4）零指数幂：0 = 1 ≠ 0 .
∗,
> 1 ;Biblioteka −=
1

ሺ >
知识清单
考点一 指数幂的性质与运算
2.有理数指数幂的性质

第六节
指数与指数函数
指数与指数函数
结束
1．有理数指数幂 (1)幂的有关概念
m
①正分数指数幂：a n
＝n
am(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
－m
②负分数指数幂：a n ＝
1
m
＝
1
(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
a n n am
课 前 ·双 基 落 实 课 堂 ·考 点 突 破
课 后 ·三 维 演 练
探究指数型 与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、 函数的性质 奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致
[提醒] 在研究指数型函数的单调性时，当底数与
“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．
课 前 ·双 基 落 实 课 堂 ·考 点 突 破
课 后 ·三 维 演 练
指数与指数函数
结束
[演练冲关]
已知函数 f(x)＝b·ax(其中 a，b 为常数且 a>0，a≠1)的图象经过点
课 后 ·三 维 演 练
指数与指数函数
结束
2．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点A 2，13 ，则 f(－1)＝________． 答案： 3
3．(教材习题改编)已知0．2m<0．2n，则m______n (填“>”或“<”)． 答案：>
课 前 ·双 基 落 实 课 堂 ·考 点 突 破
课 后 ·三 维 演 练
指数与指数函数
结束
4．(教材习题改编)(1)2 3×3 1.5×6 12＝________．
2 1
1 1
1 5
(2)2a
3
b
2
－6a

4 3
25
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得3 ⋅ 4 = 3+4 = 12 ≠ ，选项A错误；
对于B，8 = 2，故 = ± 8 2，选项B正确；
1
1
1
1
1
对于 C， + = 3， (2 + −2 )2 = + −1 + 2 = 3 + 2 = 5，因为 > 0，所以2 + −2 = 5，选项C错误；
立，
则满足2 − 4 < 0，即2 < 4，解得−2 < < 2，所以实数的取值范围是(−2,2)．
故答案为：(−2,2)．
考向典题讲解


【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式4 − ⋅ 2 + 2 > 0，对于 ∈ (−∞, 3]恒成立，则实数
的取值范围是_________．
当 n 为偶数时， an＝|a|＝
－a，a<0.
n
考点知识梳理
2.分数指数幂
m
n
n
m
a
正数的正分数指数幂， a ＝____(a>0，m，n∈N*，n>1).
1

m
n
m
n
1 (a>0，m，n∈N*，n>1).
a
正数的负分数指数幂，a ＝____＝
n m
a
0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂没有意义.
当() = 0时，e = ，结合图象可知，此时 < 0，所 > 0，则e > e0 = 1，所以 > 1，
故选：C．
）
考向典题讲解

A．2x2y
B．2xy
C．4x2y
D．－2x2y
因为x<0，y<0，
所以
4
16 8 4
＝
1
16 8 4 4
＝ 16
1
4
8
＝2x2|y|
＝－2x2y.
1
4
4
1
4
3．已知当x>0时，函数f(x)＝(3a－2)x的值总大于1，则实数a的
取值范围是( C )
A．
2
,1
3
C．(1，＋∞)
B．(－∞，1)
n
a
叫做根式，这里____叫做根指数，______叫做被开方数．
②a的n次方根的表示：
xn＝a⇒
x=

，当n为奇数且n∈N* ， n>1时
x= ± ，当n为偶数且n∈N* 时
(2)根式的性质
①( )n＝a(n∈N*，且n>1)．
a，n为奇数
②

＝
a，a≥0
|a| ＝
－a，a<0
D． 0,
2
3
✓ 根据指数函数性质知3a－2>1，解得a>1.
4．(易错题)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P 2,
则f(－1)＝________．
2
1
＝a2
2
a＝
2
2
f(x)＝
f(－1)＝
2
2
2
2

−1
＝ 2
1
2
，

2
5．(易错题)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大 ，

1．设 a＝40.8，b＝80.46，c＝12－1.2，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
解析：选 A ∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c
＝12－1.2＝21.2，又∵1.6＞1.38＞1.2，∴21.6＞21.38＞21.2. 即 a＞b＞c.
1．若函数 y＝ax＋b－1(a＞0 且 a≠1)的图象经过第二、三、 四象限，则 a、b 的取值范围分别是________．
解析：因为函数 y＝ax＋b－1(a＞0 且 a≠1)的图象经过第 二、三、四象限，所以0b＜－a1＜＜1－，1， 即0b＜＜a0＜. 1，
答案：a∈(0,1) b∈(－∞，0)
解析：令 t＝ax(a＞0 且 a≠1)， 则原函数化为 y＝(t＋1)2－2(t＞0)．
①当 0＜a＜1 时， x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a，此时 f(t)在a，1a上为增函数． 所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.所以1a＋12＝16， 即 a＝－15或 a＝13.
答案：(2,3)
考点一
指数幂的化简与求值
[例 1]
化简：(1)a14ba123b4a23－a13bb213(a＞0，b＞0)；
(2)－287－23＋(0.002)－12－10( 5－2)－1＋( 2－ 3)0.
[自主解答]
(1)
原
式
＝
a3b2a13b2312 ab2a－13b13
1．化简[(－2)6]12－(－1)0 的结果为(
)
A．－9
B．－10
C．9
D．7
解析：选 D [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝8

+
1

＝2 5，故D正确．
1
1 −2
4
3．已知a＞0，b＞0，化简：
8
5
解析：原式＝2 ×
3
3
−
3
2 ·2 · 2
3
3
−
102 · 2
1
·
4 −1
0.1
1
−1 · 3 −3 2
8
1+3
-1
＝2 ×10 ＝ .
2
5
3
4
3
＝___________．
2
4．计算：
167
－
9
10
27 −3
1
2
为 a ＋ a-1 ＝ 3 ， 所 以 +

1
−2
1
2
2
=+
−1
1
2
+ 2 = 5，且 > 0，所以 +
＝ 5 ， 故 C 错 误 ； 在 选 项 D 中 ， 因 为 a3 ＋ a-3 ＝ 18 ， 且 a>0 ， 所 以
+
1

2
＝a3＋a-3＋2＝20，所以a
1
2
3
4
−
8
+ 0.002
解析：原式＝
−
1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
－10( 5－2)-1＋π0＝___________．
1
3 −2
−
＋5002
2
167
5－20＋1＝－ .
9
1
2
3
4
−
10
5−2
5+2

√B.0<a<1,0<b≤1
D.a>1,0<b≤1
若0<a<1，则函数y＝ax的图象如图所示， 要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上 平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或 －1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正确； 若a>1，则函数y＝ax的图象如图所示，要想f(x)＝ax －b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b >0，解得b<0，即C正确，D错误.
3
a4
43
a3 4
25
a12
，当a
25
25
＝1时，a12＝a；当a≠1时，a12 ≠a，故A错误；
对于 B，m8＝2，故 m＝±8 2，故 B 正确；
对于C，a＋a－1＝3，则
a
1 2
1
a 2
2
＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，因为
1
1
a>0，所以 a 2 a 2＝ 5 ，故C错误；
对于 D，4 2－π4＝|2－π|＝π－2，故 D 错误.
命题点3 指数函数性质的综合应用 例5 已知函数f(x)＝8x＋a·4ax·2x (a为常数，且a≠0，a∈R)是奇函数. (1)求a的值；
f(x)＝1a·2x＋21x， 因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)， 即1a·21x＋2x＝－1a·2x＋21x， 所以1a＋12x＋21x＝0， 即1a＋1＝0，解得 a＝－1.
命题点2 解简单的指数方程或不等式 例4 已知p：ax<1(a>1)，q：2x＋1－x<2，则p是q的 A.充分不必要条件
√B.必要不充分条件

(2)方程的解可看作函数 y＝2x 和 y＝2－x 的图象交点的横 坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)．
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．
[规律方法] 指数函数图象由其底数确定，在底数不确定时 要根据其取值范围进行分类讨论．从甲函数图象通过变换 得到乙函数的图象，通过顺次的逆变换，即可把乙函数的 图象变换为甲函数的图象．
指数与指数函数
1．根式 (1)根式的概念 ①若___x_n＝__a____，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且
n∈N*．式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被 开方数． ②a 的 n 次方根的表示：
xn＝a⇒xx＝＝_n_±a_（n__a当__n__为_（奇当数n且为n偶∈数N*且时n）∈，N*时）.
方法思想——解决与指数函数型有关的值域问题(换元法)
函数 f(x)＝14x－12x＋1 在 x∈[－3，2]上的值域
是____34_，__5_7_____．
[解析] 因为 x∈[－3，2]，若t2－t＋1＝t－122＋34．
当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57．
元”的范围．
2．指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键
点：(1，a)，(0，1)，－1，1a．
[做一做] 3．(2015·东北三校联考)函数 f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象
恒过点 A，下列函数中图象不经过点 A 的是( A )
A．y＝ 1－x
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N*)．
②n
a，n为奇数， an＝___|_a_| _____＝a－，aa，≥a0<，0，

解析：选D. =
B.[, ]

−


)
C.(−∞, ]
−+
=
D.[, +∞)
√
,因为 = 在上单调递增，
= �� − 在 −∞, 上单调递减，在[, +∞)上单调递增，所以

−+
=
在 −∞, 上单调递减，在[, +∞)上单调递增.故选D.
C.(, ]
D.[, +∞)
√
［分析及溯源］ 本题考查指数函数与二次函数的复合函数的单调性，试
题源于教材人教A版必修第一册 习题4.2复习巩固 、 习题4.2拓广
探索 .
解析：设 = − ，易知函数 = 是增函数.因为 =
−
在 ,
2.指数函数


（1）概念：函数 =⑫____( > ，且 ≠ )叫做指数函数，其中指数
是自变量，定义域是.
（2）图象和性质
底数
图象
>
<<
续表

, +∞
定义域为⑬___，值域为⑭________
,
图象过定点⑮______
性质
当 > 时，恒有 > ；当
当 > 时，恒有 < < ；
即 + − ≤ ,
解得− ≤ ≤ ,
故原不等式的解集为{| − ≤ ≤ }.
指数方程或不等式的解法
（1）解指数方程或不等式的依据： ①
②

>


=

⇔ = .
,当 > 时，等价于 > ；当 < < 时，等价于