第四章 小结与思考(2) 作业

第六章《二次函数》小结与思考（2）教案课型：复习课 时间：2011-1-6 主备：熊诚燕 审核：九年级数学组一、学习目标：注重知识梳理，让零散的知识结构化、系统化；注重问题解决，将类似的问题联系起来，形成方法的总结；重点培养数形结合的思想。

二、学习重点与难点：（1）体会二次函数的意义，能在实际问题中建立恰当的函数关系式；（2）会用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思.三、复习指导：问题一：某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件(1)假定每件商品降价x 元，商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请写出y 与x 间的函数关系式，并注明x 的取值范围．(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本)（本题复习如何在实际问题中建立恰当的函数关系式）（类比巩固：课本34页10题，把过程下来）问题二：课本34页6题。

（本题复习如何建立恰当的平面直角坐标系，将抛物线型拱桥问题数学化）（类比巩固：课本34页5题，把过程下来）问题二：某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC ，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为c x y +-=2201且过顶点C （0，5）（长度单位：m ） （1）直接写出c 的值；（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m 的地毯，地毯的价格为20元 / 2m ,求购买地毯需多少元？（3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH （H 、G 分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG .已知矩形EFGH 的周长为27.5 m ，求G 点坐标。

（本题要求灵活用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思. ）（类比巩固：课本35页12题，把过程下来）补充练习：1、如图，两条抛物线12121+-=x y 、12122--=x y 与分别经过点()0,2-, ()0,2且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．42、如图，正方形A B C D 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形A B C D 的顶点上，且它们的各边与正方形A B C D 各边平行或垂直．若小正方形的边长为x ，且010x <≤，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）3、初三数学课本上，用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：该二次函数2y ax bx c =++在3x =y=．4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？5、某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y （件）与销售单价x （元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额-总成本）为P 元，求P 与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；根据题意判断：当x 取何值时，P 的值最大？最大值是多少？6、某桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过Ａ、Ｃ、Ｂ三点的抛物线，以桥面的水平线为Ｘ轴，经过抛物线的顶点Ｃ与Ｘ轴垂直的直线为Ｙ轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱）ＣＯ＝１米，ＦＧ＝２米（1）求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。

小结与思考学习目标:1．掌握等腰三角形的性质和判定方法，理解等边三角形的概念和性质。

2.在探索图形性质，发展合情推理，进一步学习有条理地思考和表达。

重点、难点：发展合情推理，进一步学习有条理地思考和表达学习过程一. 知识回顾：1.等腰三角形的性质和判定方法。

2.等边三角形的性质和判定。

3.直角三角形斜边上中线的性质。

二.预学练习1．（1）等腰三角形的一个角是100°，则底角为。

（2）等腰三角形的一个角是32°，则底角为。

2．若等腰三角形的一边长为4cm，周长为10cm，则另外两边长为__________。

3．等腰三角形底边长为6cm，一腰上的中线把它的周长分为两局部的差为2cm，则该三角形的腰长为__________。

4. 在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F为BC的中点，则以下结论：①DF=EF ②当∠ABC=60°时，ED∥BC③ B D=2AE，一定准确的是__________（填序号）。

三.新知探究问题 1：如图，AD是△ABC的中线，且∠ADC=60°，BC=4．把△ADC沿直线AD•折叠后，点C落在C′的位置上，求BC′的长。

问题 2: 已知：在△ABC中，AD是高，CE是中线。

DC=BE，DG⊥CE，G为垂足。

求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE问题3.（1）如图，在ΔABC 中，∠BAC ＝900，AB ＝AC ，点D 在 BC 上，且BD ＝BA ，点E 在BC 的延长线上，CE ＝CA ，试求∠DAE 的度数。

（2）假如把第（1）题中“AB ＝AC ”的条件舍去，其余条件不变，那么∠DAE 的度数会改变吗？（3）假如把第（1）题中“∠BAC ＝900”的条件改为“∠BAC ＞900”，其余条件不变，那么∠DAE 与∠BAC 有怎样的大小关系？四.变式拓展如图，已知△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥AB ，垂足是D ，P 是BC 边上任意一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，（1）试说明：PE+PF=CD ；（2）若P 是BC 延长线上任意一点，其它条件不变，则PE 、PF 与CD 有何关系？请你写出结论并完成证明过程。

第一章小结与思考学习目标：通过对本章知识的小结与梳理，进一步掌握等腰三角形的性质和判定、直角三角形全等的判定、角平分线的性质定理与判定定理、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的定义、性质和判定；等腰梯形的性质和判定；中位线定理，并会灵活运用．学习难点：性质定理和判定定理的应用学习过程：一．知识点：1．根据“等腰三角形，等腰梯形的性质定理与判定定理，直角三角形全等的判定定理，角平分线的性质定理与判定定理，三角形中位线定理等。

”填表：直角三角形全等的判定方法有：。

二、例题学习1、我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系。

如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行。

那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件。

2、如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是（ ） A 、线段EF 的长逐渐增大 B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变D 、线段EF 的长与点P 的位置有关3、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF =BD ，连结BF 。

（1） 求证：BD =CD ；⑵如果AB =AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论。

RP D CB AEFD图1A BCE【课后作业】1．平行四边形ABCD 中，如果∠A=55°，那么∠C 的度数是(A)45°(B)55° (C)125°(D)145°2． 如图1，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC=12，则DE 的长是(A)4(B)5(C)6(D)73、已知:如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是边BC 、AB 上的点,且EF=ED,E F ⊥ED. 求证:AE 平分∠BAD.4、如图11，已知ABC ∆中，D 是AB 中点，E 是AC 上的点， 且ABE BAC ∠=∠，EF ∥AB ，DF ∥BE ，⑴猜想DF 与AE 有怎样的特殊关系？ ⑵证明你的猜想．5、如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ．（1）求证：四边形AFCE 是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°，上述的结论还成立吗?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．O N MFECA 6、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是直线BC 上一点，DE ∥AC 交直线AB 于E ，DF ∥AB 交直线AC 于点F ，解答下列各问：（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，有DE ＋DF ＝AB ，请你说明理由； （2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，请你参考（1）画出正确的图形，并写出线段DE 、DF 、AB 之间的关系（不要求证明）．7、如图，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 相邻的外角平分线CF 于是点F . （1）点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？证明你的结论；（2）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，试判别△ABC 的形状，并证明理由.8、操作：在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠C＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点.如图1，2，3是旋转三角板得到的图形中的3种情况.研究：（1）三角板绕点P 旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么数量关系？并结合如图2加以证明.（2）三角板绕点P 旋转，△PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE 的长；若不能，请说明理由. （3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB 上的M 处，且AM∶MB＝1∶3，和前面一样操作，试问线段MD 和ME 之间有什么数量关系？并结合如图4加以证明.DA BCF ED C B A 图1CD E PA B图3DECPAB图2 DCPEBAE图4。

教学设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——自我总结；第二环节：合作交流；第三环节：练习提高；第四环节：课堂小结；第五环节：评测练习；第六环节：作业第一环节课前准备活动内容：提前一天布置，让学生选择自己喜欢的方式梳理本章的知识,其中建议学生留出一个环节写出自己对本章的知识还有什么疑惑，或者可以写出在本章中留下印象最深刻的习题与大家分享和交流。

活动目的：由学生自己梳理本章的知识既可以锻炼学生自主学习的能力又可以调动学生学习的热情和兴趣，还可以加强学生在小组内活动交流的意识。

第二环节：合作交流活动内容：开课时由学生在小组内交流各自的知识总结，互相查缺补漏，先组内解决疑惑问题，小组长充分发挥组织能力，调动全组每一名学生参与。

然后选出一份全组最满意的一份总结做好全班交流展示的准备。

其它小组要主动与展示小组交流：可以纠正错误，补充不足，提出问题，表扬鼓励等。

活动目的：这个环节可以调动每个学生参与到课堂中来，真正做到让每个学生都成为课堂的主人。

第三环节：练习提高例1．如图，在△ABC中∠B=30°，∠ACB=110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，则∠DAE=例2．三角形两边为3cm，7cm，且第三边为奇数，则三角形的最大周长是例3．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点．若S△BFC=1，则S△ABC= ．例4．实验探究：（1）动手操作：①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A=30°，则∠ABD+∠ACD= ；②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，那么∠ABD+∠ACD= ；（2）猜想证明：如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由；（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，若∠BAC=40°，∠BDC=120°，求∠BEC的度数；②如图5，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9，若∠BDC=120°，∠BF3C=64°，则∠A的度数为活动内容：结合典型习题回顾重要知识点。

人教版数学五下第4章《分数的意义和性质》（分数与除法的关系）教案一. 教材分析人教版数学五年级下册第四章《分数的意义和性质》主要讲述了分数与除法的关系。

这一章的内容是学生进一步理解分数概念，掌握分数的运算方法，以及理解分数在实际生活中的应用。

通过本章的学习，学生将能够理解分数的意义，掌握分数的加减乘除运算，以及分数与除法的关系。

二. 学情分析五年级的学生已经掌握了分数的基本概念和简单的运算方法，但是对于分数与除法的关系可能还不太理解。

因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，引导学生通过探究活动，理解分数与除法的关系，提高他们的数学思维能力。

三. 教学目标1.理解分数的意义和性质，掌握分数的加减乘除运算方法。

2.理解分数与除法的关系，能够运用分数解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力，提高他们的数学素养。

四. 教学重难点1.分数的意义和性质的理解。

2.分数与除法的关系的把握。

五. 教学方法采用问题驱动法、探究学习法、小组合作学习法等，引导学生主动参与，积极思考，通过探究活动，理解分数的意义和性质，掌握分数的运算方法，以及理解分数与除法的关系。

六. 教学准备1.PPT课件2.教学用具（如分数模型、卡片等）七. 教学过程导入（5分钟）我会通过一个实际问题引入分数的概念：“如果把一个苹果平均分成5份，你吃了2份，那么你吃了这个苹果的几分之几？”让学生思考并回答，引出分数的概念。

呈现（10分钟）我会用PPT课件呈现分数的意义和性质，以及分数与除法的关系。

通过分数模型的展示，让学生直观地理解分数的意义和性质。

同时，我会讲解分数与除法的关系，让学生明白分数就是除法的一种表现形式。

操练（10分钟）我会让学生进行一些分数的运算练习，如分数的加减乘除。

通过这些练习，让学生进一步理解和掌握分数的运算方法。

巩固（10分钟）我会用一些实际问题，让学生运用分数的知识解决。

如：“一个篮子里有5个苹果，小明拿走了3个，小明拿走了篮子里苹果的几分之几？”通过这些问题，让学生巩固分数的知识。

南沙初中初三数学教学案教学内容：一元一次方程小结与思考课 型：复习课 学生姓名：______ 教学过程：一、知识点归纳：1.方程的分类：2.一元二次方程：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为 。

◆ 解一元二次方程的方法有：① ；② ；③ ；④ ；3.一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式为x= 。

4.一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式。

二、例题：（一）一元二次方程的概念、一般形式的考查：1、下列方程中，是一元二次方程的是 （ ）A 、x 2+3x +y=0 ；B 、 x+y+1=0 ；C 、 213122+=+x x ；D 、0512=++xx 2、关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m 2－1＝0有一根为0，则m 的值为 （ ）A 、1B 、－1C 、1或－1D 、213、（2008东营）若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于 （ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0（二）一元二次方程的解及其解法的考查1、（2007潍坊）关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是 （ ）A ．4B ．0或2C ．1D ．1- 2、要使分式4452-+-x x x 的值为0，则x 应该等于（ ） （A ）4或1 （B ）4 （C ）1 （D ）4-或1- 3、 必有一个根是则一元二次方程如果)0(0,02≠=++=+-a c bx ax c b a 。

4、若最简二次根式 x x 42- 与3x -10是同类二次根式，则x 的值是5、三角形的两边长分别是5和9 第三边的长为一元二次方程x 2-14x+48=0的根，则这个三角形的边长为______________。

6、若关于x 的一元二次方程220x mx -+=与2(1)0x m x m -++=有一个相同的实数根，求m 的值。

怀文中学2013—2014学年度第一学期教学设计初 二 数 学第四章实数小结与思考（1）主备：：陈秀珍 审校: 毛云峰 日期：2013年11月28日 教学目标： 1. 进一步巩固实数的定义性质及其运算规律。

2. 熟练使用计算器求一些数值的估算值。

3. 能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高对知识的应用能力。

教学重难点：无理数、平方根、算术平方根、立方根及实数的定义与性质，以及实数的运算法则。

教学内容：一、自主探究1.平方根和算术平方根（1）定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

（2）性质 正数有两个平方根，它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

0的平方根是0负数不存在平方根。

（3）算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（4）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

2．立方根（1）.如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。

记做：3a ，读作，3次根号a 。

注意：这里的3表示的是开根的次数。

一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

二、自主合作例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？三、自主展示例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±B ．24±= C.81的平方根是 3± D.0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ） A.981±= B.14.314.3-=-ππ C.3927-=- D.235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。

第四章课堂小结的设计1.问题的提出在数学课堂教学过程中，课堂小结几乎是每节课都不能少的.的确，在一堂课临近结束的时候，全面总结一堂课的重点内容，回顾学习探究的历程，领悟重要的思想方法(包括学习方法)，对于巩固课堂教学成果，深化知识网络结构，培养学生能力(包括学习能力)，以及教师总结反思自己的教学等都是十分有意义的.然而，在我们的课堂教学实践中，我们还存在着下述现象：只把课堂小结当作不可或缺的一环(这当然也是对的)，鲜有明确的目标意识；几乎是一成不变的形式－教师的独白与告知－学生听(接受教师强加给自己的教学成果)；课堂小结成了课堂结束的序曲.当老师作课堂小结时，学生往往在作下课的准备，至多是记下了小结的内容和作业，很少再有积极主动的思考.如何努力追求课堂小结的高效益，最大限度地发挥其应有的作用，是我们应该积极探索并不断完善的.2.一个案例以下的课堂小结案例(片段)有一定的普遍性.【例1】教学内容是“等差数列”，课堂小结实录如下：……师：同学们，今天我们讨论了等差数列，有等差数列的定义、等差数列的通项公式、等差中项等概念.初步应用等差数列解决了一些简单的问题，特别是在四个量1,,,na d n a中，知道其中任意三个可求第四个，这是本节课的重点.另外，函数与方程的数学思想、不完全归纳法是本节课重要的数学思想方法，请大家一定要记住.下面布置作业……课后对学生进行访谈：问：对老师的课堂小结，你们感觉如何？生1：通过老师的总结，我们知道了本节课的重点内容.生2：老师一作小结，就快要下课了，我们都不太在意.生3：我一般都是记下或抄录老师的小结，但课后很少去看.生4：听不听老师小结无所谓，实际上老师是重复前面的话.……显然，这样的课堂小结难以唤起学生的激情，学生至多是在被动地听、记，有些还听不进去，例如数学思想方法，只能在教学过程中有意渗透、点拨，让学生在学习过程中去领悟.有时学生虽然记下“重点”、“难点”，但记下又能产生多少作用呢？这种形式单一，只重结果，强加于人的课堂小结，久而久之会使学生失去兴趣，甚至生厌.3.思考首先，按照新课程的教学理念，数学教学是数学活动的教学，数学教学活动应该是学生经历“数学化”、“再创造”的活动过程，是师生互动的过程.课堂小结既然是课堂教学的组成部分，就必须是数学活动教学的一部分.应该是在教师引导下，自主学习、探究的继续和深入.学生依然是学习的主人.只是这种学习活动目标更明确，过程更集中，教师的引导作用也为重要.在这一过程中，教师要敢于放手，同时要积极参与其中，适时点拨，正确引导.也许学生的思考与总结不够完善，“你一言我一语”，甚至一些学生说不到点子上而影响一堂课的“完美结局”，但毕竟是属于学生自己的成果，是学生主动自我建构的结果，从发展学生的认知结构而言，显然更具有意义.其次，构建以学生自主探究、合作交流为特征的课堂小结，为学生搭建进一步探究学习、交流展示的平台，可以更好地培养学生反思、概括、表述等能力；使学生养成良好的数学学习惯－善于反思，体验过程、领悟规律；使学生充分享受课堂学习带来的成功喜悦；将培养学生的课堂学习主人翁意识贯穿课堂教学始终.再次，通过学生的主体参与可以更加充分地暴露学生的思维过程，教师可以发现教学中存在的问题与不足，有些还可能是出乎教师意外的.哪儿是成功之处，哪儿是需要改进的地方，思想方法渗透效果怎样，等等，这种来自教学对象的流露与反馈，既真实自然，又及时贴切，实在是教师反思自我，促进自身专业成长的重要途径之一.4.尝试课堂小结，教师应该紧扣课堂教学内容，同其他教学环节一样，继续创设有利于学生进一步探究的情境，引导学生反思学习过程，归纳总结方法，引申升华规律，把数学思考更加引向深入，使师生都进入更高的“悟”的境界.4.1 反思走过的路一节课下来，学生学习了哪些知识，经历了怎样的探究过程，领悟到了怎样的数学思想方法，获取了怎样的研究、学习经验，甚至遭受到怎样的挫折，都是值得我们引导学生加以回顾、反思和总结的.例如，在小结“异面直线所成角”、“异面直线的距离”概念的学习过程中，我们可以首先引导学生回顾概念建立的全过程，设计思考题：①建立概念的必要性；②建立概念的合理性；③如何理解概念的本质属性.让学生用自己的语言表述.经过学生的思考、发言、交流，大家对概念建立的过程及概念本身就会有较为深刻的理解，比起教师独白来显然要好得多.例如，某堂课上，师生共同探究并解答了如下一题：如图，已知平面,,c αβαβ⋂=，且//,//d d αβ，求证//d c .在对解题过程进行小结时，我们并没有强调问题本身的证法(对一题多解也没有投入太多的精力)，而是与学生一道回顾问题的探究过程，明晰以下的证明脉络，领悟化归与转化的数学思想方法.我们认为，比起问题解决本身，学生对思想方法的领悟更为重要.4.2 体验数学学习方法通过数学学习，学生要获取重要的数学知识，更要体验学习、研究数学的方法.我们在课堂小结时，要有意引导学生总结数学学习的经验，领悟数学研究的方法，发展学生的终身学习能力.例如，“数形结合”思想伴随函数学习过程的始终.教材中很多函数的性质，都是通过观察个别函数的图象归纳抽象出来的.如互为反函数的函数图象间的关系，就是在同一坐标系中画出一对互为反函数图象，然后看图说话而得到的重要结论.这实际上是一种研究学习函数性质的重要方法.但它隐含在知识学习的过程中.我们在课堂小结时要予以点拨.教学实践表明，长期坚持对研究历程的回顾与总结，对于学生领悟数学研究方法，把握数学的本质，提高学习能力都是十分有效的.4.3 对比优化策略在课堂小结过程中，我们应当引导学生对数学思维过程、解题思路与策略进行对比优化.让学生在比较中鉴别，在选择中得到发展，在优化中得到提高.例如，在解排列组合问题时，学生往往对何时用间接法，何时用直接法感到心中无底.为此，我们可有意设计相关的一组问题：一个用直接法较简单而用间接法较繁杂，另一个则相反，第三个是两种方法相差无几的问题.在进行小结点评时，我们可让学生通过解题亲身经历，谈解题体会，并努力说明为什么有的时候直接法较容易，有的时候间接法较简单.在实际教学中，一些学生还能结合集合的补集用韦恩图给出说明.学生思维之深刻，论述之清晰当时确出乎意料.学生的潜能一旦被激发，将会开出绚丽的思维火花.4.4 领悟数学思想方法数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，这就决定了数学思想方法的教学要靠平时的渗透，要靠学生主动领悟，就此而言，课堂小结的点拨作用就显得尤为重要了.例如，对于问题：关于x 的方程[]230,1,12x x k x --=∈-总有实数解，求实数k 的取值范围.经过探讨，师生给出了以下三种思路：【方法1】分离参数，反客为主，得[]23,1,12k x x x =-∈-，把问题转化为求函数的值域.【方法2】数形结合，转化为求函数[]23,1,12y x x x =-∈-与y k =的图象有交点时k 的取值范围.【方法3】化为二次函数，令23()2f x x x k =--，把问题转化为一元二次函数的图象与x 轴上的线段(1-到1之间)有交点的问题，观察图象，用不等式组表述条件加以解决.在进行课堂小结时，我们与学生共同思考、讨论，逐步提炼出解决该问题过程中所展示出来的数学思想方法：化归、函数、方程和不等式、数形结合、分类讨论等，同时对三种解法进行比较，得出最优解法.而这一切都是在教师的引导下学生的自觉领悟.4.5 向学生提出富有挑战性的问题课堂小结不应是四平八稳的大结局，而应成为学生新的学习探究的开始.我们可以在学生课堂学习的基础上，在学生的最近发展区内，向学生提出相关的、有吸引力和富有挑战性的问题，让学生带着问题、带着思考的探究欲望走出课堂，从而把课堂延续到课外.例如，抛物线几何性质的教学，由于是在学生已经学习了椭圆、双曲线的基础上进行的，学生并不感到困难，课堂小结临近结束时，我们向学生抛出一个“节外生枝”的问题：……师：同学们此前已经学习了双曲线，请问抛物线的图象与双曲线图象的一支有何区别？ 此言一出，学生显然兴趣盎然，陷入深深的思考之中.下课铃响了，学生们还欲罢不能!真是一石激起千重浪!这里所提的问题正好处于新旧知识的最近发展区，因而能唤起学生探究的欲望.而学生回答这一问题要对抛物线、双曲线的变化趋势进行深入的对比分析，另外问题探究本身对促进抛物线的学习，准确把握其本质属性都是十分有意义的，所以这一问题的提出可以把学生的数学思考引向深入，把课堂上的探究思维活动延伸到课外.我们应当明白，课堂小结不是课堂教学结束的序曲，不是课堂教学成果的开列清单，也不是学生学习活动的结束.诚然，课堂小结这一环节可能不是课堂教学的高潮，且用时短暂，故往往不为师生关注，但只要我们用心而为之，就能够创造出意犹未尽、回味无穷的境界来.【附】课堂小结的几种方式● 表格方式● 框图方式● 问题方式● 问题情境串联方式● 歌诀方式。