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第二节二重积分的计算法• 一、二重积分在直角坐标系中的计算法 • 二、二重积分在极坐标系中的计算法 •三、小结思考题练习题一、二重积分在直角坐标系中的计 算法a < x <^h 9 (p t (x) V y V (pAx).—型]其中函数©（劝、02（兀）在区间［“,6上连续・如果积分区域为:1 1J = <p 2(x)」_屮心)1 1 ab的值等于以。
为底，以曲面z =f(x,y)为曲顶柱体的体积.应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,SRcy=fdyr 2>f(x,y)dx.兴 切(丿)y =©(x)y =^(x)A(x (JX型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式n 勿+u •D D、D2 D、例1 改变积分f(x y y)dy的次序.解例2改变积分’/（X 』）心的次序.解积分区域如图2J = 2-x X、»= \ 2x -5^• ■ 70.91\ *・53原式=』dy J二缶f f(x,y)dx.例 3 改变积分j ^-p/(x,j)Jy (« >0) 的次序.f(x^y)dx+他(：丹八3)必+f"dy0gy)必.x 2 =>x =a ± x a 2 -y 2=\ 2ax —::2例4求jj(x 2 + y )dxdy ,其1=1©是由抛物线解两曲线的交点 产二=>(0,0) ,(1,1), 1兀=厂+ y)dxdy {x 1+y)dyD=x - x 2) + ^(x-x 4)]rfx =豊・Jo2 140例5 求JJ x 2e'y2dxdy ,其中 D 是以0,0),(1,1),(<M)为顶点的三角形.x 2e~ydxdy =^dy^ x 2e ydx D□□y =，和兀=b 所围平面闭区域.解・・・“》心无法用初等函数表示・・・积分时必须考虑次序- 卩 f 了 -e x dx^ \dy \ e x dx.y解^e xdx 不能用初等函数表示・•・先改变积分次序. =f x(e —e x)dx = -e — -<e.码 8 2例7求由下列曲面所围成的立体体积， z = x +j, z = xy 9 x+ ‘=l, x =0, j =0.原式=I = e^dy例6计算积分成的立体如图.所围立体在xoy 面上的投影是•・• 0< x4-j < 1, x + y> xy 9 所求 =JJ(x +j- xy)daD(x-hy-xy)dy訂：住(1 一兀)+ £(1-兀尸血=召二、二重积分在极坐标系中计算 法 1 ^1 .Aa,=-（巧 + ZV;$ ・一 乙叮・=-(2r ； + zXr f )Ar ； •2-"+叫・M “A2=片• Ar z•〃亍△o \JJ f (x9y)dxdy = f (rcosG3rsinO)rdrd0.D D二重积分化为二次积分的公式（1）区域特征如图a<0<. p y(p\O}<r < 02(&)・JJ f(rcos0^rsin0)rdrd0D=f (r cos^,r sin^)rJr.JaJ 卩i (0)区域特征如图a V & V 0，0（&）＜厂 V 02（&）・JJ f (rcos09rsin0)rdrdO =\p dor O}Ja J®©) 01 (0)f (rcosG yrsin0)rdr.CQE二重积分化为二次积分的公式（2 ）JJ f (r cos^,r sin0)rdrdOD“r (p2、=J do] f(r cos^,rsin^)rJr.二重积分化为二次积分的公式（3）|| f (r cos^,r sinff)rdrd0 D极坐标系下区域的面积a = \\rdrdO./(rcos^,rsin^)rJr.区域特征如图0 < r < 0（&）・SB区域特征如图0 V & V 2眄例8写出积分\\f(x.y)dxdy 的极坐标二次积分形 式，其中积分注域D = {(x 9y)\ 1-x < y < \ l-x\O<x<l}.所以圆方程为厂=1,直线方程为厂=^―1—-sin& + cos &SR例9 计算^e~x ^ydxdy ，其中D 是由中心在 原点，半径站的圆周所围成的闭区域. 解在极坐标系下D ： 0<r <« , 0<0<2兀・\\e~x ~ydxdy= J 冷町：”皿解在极坐标系下{X = rcos 0 y= rsin &\\f(x.y)dxdy= [}dd^ xf (r cos G^rsinG)rdr.豈」A ^e~x2~y ：dxdy<帖宀怙心 ffe'^ dxdy.D tSD 2又•・• 1 = ^e~x dxdys=e~xl dx e~y dy =([ e~' dx)2; =jje~xydxdyD\同理笃=fj e~x' ydxdy=^(\-e~1R");UH例10 求广义积分Jx ・ 解9={(%』)1云 +，2<尺2}D 2={(x 9y)\x 2^y 2<2R 2}S = {(2)\0<x<Rfi<y<R}{x 5:0, j >0}显然有 D] u S u 。
《说勤》原文与教案第一章：教案简介1.1 教学目标让学生理解《说勤》这篇文章的主题思想和观点。
培养学生对勤奋学习和工作的重要性的认识。
提高学生对文言文的理解和阅读能力。
1.2 教学内容文章背景介绍：《说勤》是清代学者纪昀的一篇议论文，主要讲述了勤奋对于个人成长和成功的重要性。
教学重点：理解文章中的主要观点和论据。
教学难点：理解文言文的语言特点和含义。
1.3 教学方法采用讲授法，教师讲解文章内容和背景知识。
采用问题驱动法，引导学生思考和讨论勤奋的重要性。
采用小组合作学习法，让学生分组讨论和分享观点。
第二章：教学过程2.1 导入新课引入话题：讨论勤奋的重要性。
引导学生思考：为什么勤奋对个人成长很重要？2.2 自主学习学生自主阅读《说勤》原文，理解文章大意。
学生查找相关资料，了解作者纪昀的生平和思想。
2.3 课堂讲解教师讲解文章的背景知识和作者思想。
教师解释文言文的语言特点和难点词汇。
2.4 小组讨论学生分组讨论文章中的主要观点和论据。
学生分享自己的观点和感受，进行互动交流。
第三章：课堂练习3.1 练习题设计设计一些练习题，让学生巩固对文章内容的理解。
练习题包括选择题、填空题和简答题等类型。
3.2 学生练习学生独立完成练习题，检验自己对文章内容的理解。
学生相互检查和讨论答案，共同提高。
第四章：拓展活动4.1 活动设计设计一些拓展活动，让学生进一步理解和运用文章内容。
活动可以包括角色扮演、辩论赛、小组讨论等。
4.2 学生参与学生积极参与拓展活动，展示自己的理解和观点。
学生通过活动提高口语表达和团队合作能力。
第五章：总结与反思5.1 课堂小结教师引导学生总结文章的主要观点和论据。
学生分享自己对勤奋重要性的认识和体会。
5.2 学生反思学生反思自己在学习过程中的表现和收获。
学生提出问题和建议，为今后的学习做好准备。
第六章：案例分析6.1 案例选择选择一些与勤奋相关的案例，如成功人士的故事、学术成就等。
案例应具有代表性和启发性，能够引起学生的兴趣和思考。
苏科版数学八年级下册第9章《中心对称图形小结与思考》说课稿1一. 教材分析《中心对称图形小结与思考》是苏科版数学八年级下册第9章的内容。
本节内容是在学生已经掌握了中心对称图形的定义、性质和判定方法的基础上进行进一步的拓展和应用。
教材通过一系列的问题引导学生在实际情境中发现和探究中心对称图形的性质，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了中心对称图形的定义和性质，具备了一定的观察和推理能力。
但是，对于中心对称图形在实际问题中的应用，学生可能还不够熟练，需要通过实例和练习来进一步巩固和提高。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握中心对称图形的性质和判定方法，能够运用中心对称图形解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、实验、推理等方法，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：中心对称图形的性质和判定方法。
2.教学难点：中心对称图形在实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、练习题等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际生活中的中心对称图形，引导学生回顾中心对称图形的定义和性质。
2.新课导入：介绍中心对称图形的判定方法，并通过实例进行解释和演示。
3.探究活动：学生分组进行探究，通过实际操作和推理，发现和总结中心对称图形的性质。
4.应用拓展：教师提出一些实际问题，引导学生运用中心对称图形的方法进行解决。
5.总结提升：教师引导学生总结本节课的主要内容和收获，强调中心对称图形在实际问题中的应用。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出中心对称图形的性质和判定方法。
可以采用图示、列表、流程图等形式进行设计。
八. 说教学评价教学评价可以通过学生的课堂表现、练习完成情况和小组合作情况进行综合评价。
苏科版数学九年级上册《小结与思考》说课稿3一. 教材分析苏科版数学九年级上册《小结与思考》这一章节，是在学生已经学习了概率的初步知识、二次函数、相似三角形等数学知识的基础上进行讲解的。
本章主要内容包括：几何图形的对称性、圆的性质、函数的性质、概率的性质等。
这些内容是学生进一步学习高中数学的基础，也是培养学生逻辑思维、空间想象、抽象概括能力的重要环节。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于一些基本的数学概念和运算规则有一定的了解。
但是，学生在学习过程中，对于一些抽象的数学概念和理论的理解还不够深入，需要通过大量的练习来巩固。
此外，学生的学习兴趣和学习习惯也影响着他们的学习效果，因此在教学过程中，需要关注学生的学习兴趣，培养良好的学习习惯。
三. 说教学目标根据教材内容和学情分析，本节课的教学目标如下：1.理解并掌握本章所涉及的几何图形的对称性、圆的性质、函数的性质、概率的性质等基本概念和性质。
2.培养学生的逻辑思维、空间想象、抽象概括能力。
3.提高学生的数学运用能力，使他们在解决实际问题时，能够灵活运用所学的数学知识。
4.激发学生的学习兴趣，培养他们积极主动探究数学问题的习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：理解和掌握本章所涉及的几何图形的对称性、圆的性质、函数的性质、概率的性质等基本概念和性质。
2.教学难点：对于一些抽象的数学概念和理论的理解，以及如何在实际问题中灵活运用所学的数学知识。
五. 说教学方法与手段为了达到本节课的教学目标，我将采用以下教学方法和手段：1.讲授法：对于一些基本的数学概念和性质，我将通过讲解来引导学生理解和掌握。
2.案例分析法：通过分析一些实际问题，让学生学会如何灵活运用所学的数学知识。
3.小组讨论法：学生进行小组讨论，培养他们的合作意识和团队精神。
4.多媒体教学：利用多媒体课件，直观地展示一些几何图形的对称性、圆的性质等，帮助学生更好地理解和掌握。
六. 说教学过程1.导入：通过复习前几章的内容，引导学生进入本章的学习。
1 小结与思考教学目标：1．进一步理解本章的有关内容，掌握有关的运算法则，并会应用法则进行计算。
2．了解公式的几何背景。
教学重、难点：灵活运用整式乘法法则和乘法公式进行运算。
教学过程：一．知识回顾：1．学生自己回顾本章所学的内容，在学生独立思考的基础上，开展小组交流和全班交流，使学生在反思与交流的过程中逐渐建立知识体系：2．己举出整式乘法与因式分解的例子，体会整式乘法的运算法则和乘法公式以及因式分解与整式乘法的互逆关系。
二．例题讲解：例1．计算：（1）2)32(n m -； （2）)2)(2()3)(3(a b a b a b b a +-+-+-；（3）)2(6)2(23332x x x x x ++-； （4）223403)62()21()2(---÷⨯+---； （5）32237)()()(a a a a -÷-⋅÷-。
例2．把下列各式分解因式：（1）1)4)(2(+++x x ； （2）)1(4)(2++++b a b a ；（3）22)()(b a b a --+； （4）)()(2)(2x y y x x y x x ---+-。
例3．化简后求值：22)32()32)(32(2)32(b a b a b a b a ++-+--，其中2-=a ，31=b 。
例4．（1）两个边长分别为a,b,c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个新的图形。
试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？a cc b2（2）由四个边长分别为a,b,c 的直角三角形拼成一个新的图形。
试用两种不同的方法计算这个图形的面积，并说说你发现了什么。
例5．（1）观察下面各式规律：2222)121(2)21(1+⨯=+⨯+；2222)132(3)32(2+⨯=+⨯+；2222)143(4)43(3+⨯=+⨯+；……写出第n 行的式子，并证明你的结论。
(2)计算下列各式，你发现了什么规律？①2200220032001-⨯； ②210010199-⨯；③210000100019999-⨯。
《库仑定律》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 理解库仑定律的基本观点和公式。
2. 能够运用库仑定律解决简单的静电力问题。
3. 培养观察、分析、归纳的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：理解库仑定律，并能运用其解决静电力问题。
2. 教学难点：理解并掌握库仑定律的适用条件和限制。
三、教学准备1. 准备教学用视频或图片，展示静电力现象。
2. 准备相关例题和练习题，以稳固库仑定律的应用。
3. 准备实验设备，进行简单的静电力实验。
4. 了解学生已掌握的电学基础知识，以便进行教学。
四、教学过程：1. 引入课题教师通过展示带电物体互相作用的图片或视频，引导学生思考带电物体之间的互相作用力是如何产生的。
学生讨论并回答问题，引出库仑力这个观点。
教师介绍库仑力的大小和方向如何计算，并引出库仑定律。
2. 讲授库仑定律教师介绍库仑定律的内容和意义，并诠释如何用数学公式表示库仑定律。
教师通过举例说明库仑定律的应用，如带电粒子在电场中的运动、带电物体之间的互相作用等。
3. 实验验证库仑定律教师介绍历史上科学家验证库仑定律的实验方法和原理，并介绍摩登科技手段（如计算机模拟）对验证库仑定律的作用。
学生思考如何用摩登科技手段验证库仑定律，并展开讨论。
4. 探究学习教师引导学生探究学习库仑定律的应用，如带电粒子在磁场中的运动、电磁感应等，并鼓励学生提出自己的问题和猜想。
学生通过实验或讨论等方式探究学习，加深对库仑定律的理解和应用。
5. 教室小结和作业安置教师对本节课的内容进行总结，强调重点和难点，并安置相应的作业以稳固所学知识。
课后反思和评判：教师和学生共同对本节课的教学效果进行反思和评判，以便更好地改进教学方法和提高教学质量。
教学设计方案（第二课时）一、教学目标1. 理解库仑定律，能运用该定律进行定量计算。
2. 学会分析两个点电荷之间的互相作用力干系。
3. 培养观察、分析、解决问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：库仑定律的理解和应用。
非暴力沟通第九章读后感小结篇一非暴力沟通第九章读后感小结最近读了非暴力沟通的第九章，哎呀妈呀，真的是让我感触颇多！这一章里提到的那些观点，就像是给我的脑袋来了一记重锤。
也许你会说，有那么夸张吗？我觉得还真有！比如说，书中强调要倾听自己和他人内心深处的需求，这可太重要了。
以前我总是噼里啪啦说个不停，根本没心思去听别人到底想说啥，自己心里想的也是一团乱麻。
我想起有一次和朋友吵架，我俩争得面红耳赤，谁也不让谁。
现在想想，要是当时能冷静下来，倾听一下对方的需求，可能就不会闹得那么僵了。
也许是我太固执，总觉得自己是对的，可谁能保证自己永远正确呢？这一章还让我意识到，我们很多时候的愤怒、不满，其实并不是别人的错，而是我们自己的需求没有得到满足。
就像我考试没考好，我会生气自己为啥没多努力一点，而不是怪题目太难。
这是不是很有意思？非暴力沟通真的就像一盏明灯，照亮了我在与人交流中的黑暗角落。
不过，我也在想，真的能完全做到这样的沟通吗？可能很难，但至少我有了努力的方向，不是吗？篇二非暴力沟通第九章读后感小结嘿，朋友！今天我要和你唠唠非暴力沟通的第九章，这可真是让我大开眼界！读这一章的时候，我就一直在琢磨，为啥我们平常总是不能好好说话呢？比如说，我妈唠叨我房间乱，我就会顶嘴，然后我俩就会吵起来。
现在想想，可能是我没理解她真正的需求，她也许只是希望我能养成整洁的习惯，而我只觉得她在挑刺儿。
这章里说要体会自己和他人的感受，这让我想起了之前和同学闹矛盾的事儿。
我觉得他不仗义，可我从来没去问问他是不是有啥难处。
也许他也有自己的苦衷呢？我怎么就这么轴呢？还有啊，书中讲的那些沟通技巧，听起来简单，做起来可不容易。
我觉得自己就像个学走路的孩子，跌跌撞撞的。
我能学会吗？也许能，也许不能，但总要试试吧！非暴力沟通就像是给我打开了一扇新的大门，让我看到了人与人之间更好相处的可能性。
不过，这一路上会不会有很多坎坷呢？我心里也没底，但不管怎样，我都想勇敢地走下去，你呢？篇三非暴力沟通第九章读后感小结非暴力沟通的第九章，真的是让我思绪万千！一开始读的时候，我还没啥感觉，觉得不就是讲沟通嘛，能有多深奥？可越读越发现，这里面的学问大了去了！比如说，我们总是容易被情绪左右，一冲动就说出伤人的话。
电大《民族理论与民族政策》课后小结第一章绪论：小结：民族理论的研究对象是世界上普遍存在的民族和民族问题，目的是揭示民族和民族问题的一般发展规律，正确认识与妥善处理民族发展及民族之间的矛盾、问题。
民族理论的研究内容包括：研究民族发展规律、民族问题发展规律、马克思主义的民族纲领和民族政策以及马克思主义民族理论的历史发展过程。
民族理论的研究方法包括：多学科综合研究方法、整体系统研究方法、抽象归纳研究方法、理论联系实际研究方法、调查研究方法、定量分析方法等。
学习和研究民族理论的意义在于：（1）树立正确民族观的需要；（2）是认真、全面贯彻党的民族政策，做好民族工作的需要；（3）对民族研究工作具有重要指导意义。
思考题：1.请说明民族理论研究的对象和内容。
答：民族理论的研究对象是世界上普遍存在的民族和民族问题，目的是揭示民族和民族问题的一般发展规律，正确认识与妥善处理民族发展及民族之间的矛盾、问题。
民族理论的研究内容包括：（1）研究民族发展的一般规律；（2）研究民族问题发展的规律；（3）研究马克思主义的民族纲领和民族政策；（4）研究马克思主义民族理论的历史发展过程。
2.请概述民族理论研究的方法。
答：民族理论的研究方法包括：（1）多学科综合研究方法；（2）整体系统研究方法；（3）抽象归纳研究方法；（4）理论联系实际的方法；（5）调查研究方法；（6）定量分析方法等。
3.请概括学习和研究民族理论的意义。
答：学习和研究民族理论的意义在于：（1）是树立正确民族观的需要；（2）是认真、全面贯彻党的民族政策，做好民族工作的需要；（3）对民族研究工作具有重要指导意义。
第二章民族小结：民族是在一定的历史发展阶段形成的稳定的人们共同体。
一般来说，民族在历史渊源、生产方式、言语、文化、风俗习惯以及心理认同等方面具有共同的特征。
有的民族在形成和发展的过程中，宗教起着重要作用。
民族具有：族体属性、社会属性和生物属性，民族是民族族体、民族社会体、民族生物体的统一体，与氏族、部落、种族、国家等人们共同体有明显区别。
第九章中心对称图形复习（2）【学习目标】1． 回顾、思考本章所学的知识及思想方法，并能用自己喜欢的方式进行梳理，使所学知识系统化；2． 进一步丰富对平面图形相关知识的认识，能有条理的、清晰地阐述自己的观点；3． 通过“小结与思考”的教学，培养学生归纳、反思的意识；【学习重点、难点】重点：本章知识的巩固与应用；难点：灵活应用本章所学知识【学习过程】一、课前复习：1．已知：△ABC 和一点O ，画△ABC 关于点O 成中心对称的三角形；（1）点O 在△ABC 外；（2）点O 与△ABC 的顶点A 重合（3）点O 是△ABC 的一边 BC 的中点2．在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 （ ）3．如图：△ABC 和△ADE 都是顶角为45°的等腰三角形，BC 、DE 分别是两个三角形的底边。
图中的△ACE 可以看成是三角形 通过 得到4．能判断一个四边形是平行四边形的为（ ）A 、一组对边平行，另一组对边相等B 、一组对边平行，一组对角相等C 、一组对边平行，一组对角互补D 、一组对边平行，两条对角线相等5．矩形的两条对角线所成的钝角为120°，若一条对角线的长是2，那么它的周长是6．若菱形ABCD 的周长为20，一条对角线AC 长为6，菱形的面积= 。
7．如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上的一点，且CE=AC ，若AE 交CD 于点F ，则∠E= °；∠AFC= °二、课堂学习研讨三、课堂测试晴 A 冰雹B 雷阵雨C 大雪 （D ）1．下列说法中，正确的是 ( )A ．一组对边平行的四边形是平行四边形B ．有一个角是直角的四边形是矩形C ．四条边相等的四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．下列说法中，不正确的是( )A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形B ．一组邻边相等的矩形是正方形C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形3．如图，在□ABCD 中，CE ⊥AB ，垂足为E 若∠A=125°，则∠BCE度数为 ( )A ．55°B ．35°C ．25°D ．30°4．在等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．正方形具有而菱形不一定具有的特征是 ( )A ．对角线互相垂直B ．四条边都相等C ．对角线互相平分D ．对角线相等五、课后作业1．如图，正方形ABCD 旋转后得到正方形AB ′C ′D ′．(1)旋转角是______°；(2)若AB=1，求C ′D ．2．如图，E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上的两点，AE=CF ．试说明：(1)△ADF ≌△CBE ．(2)BE ∥DF ．3．在正方形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点．PE ⊥BC,PF ⊥CD.求证：(1)四边形PECF 为矩形 （2）EF=AP4. 如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，过点C 作BD 的平行线CE ，过点D 作AC 的平行线DE ，CE 与DE 相交于点E ，试说明四边形OCED 是矩形。
荣辱榜第九章 整式乘法与因式分解小结与思考班级 姓名 成绩一．知识回顾： 3．你知道吗？1)单项式乘单项式:① ；② ；③单独字母 . 2)单项式乘多项式： ，再把 .3)多项式乘多项式:用其中一个多项式的每一项去 ，再把 . 4)乘法公式： 、 、 。
5)因式分解方法： . 二．例题讲解： 例1. 计算 (-3xy+23y2-x2)×6x 2y (x ＋2)(2x －3) (2m-n)2 (x-21)(x 2+41)(x+ 21)练习：（1）(2x-y)(____)=4x 2-y 2（2）(b-a)(____)=a 2-b 2(3)4x 2-12xy+(___)=(_____)2(4)小兵计算一个二项整式的平方式时,得到正确结果是9x 2+ +16y 2，但中间一项不慎被污染了,这一项应是 ( )A. 12xyB. 24xyC.±12xyD.±24xy 例2.计算：(1)(x-3y)(y+3x)-(x-3y)(3y-x) (2)(p+2q)2-2(p+2q)(p+3q)+(p+3q)2例3．（1）两个边长分别为a,b,c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个新的图形。
试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？（2）由四个边长分别为a,b,c 的直角三角形拼成一个新的图形。
试用两种不同的方法计算这个图形的面积，并说说你发现了什么。
例4．（1）观察下面各式规律：2222)121(2)21(1+⨯=+⨯+；2222)132(3)32(2+⨯=+⨯+；a bc c ab23222(4).3x (x y -2x)-4x(-x y)2(5).(1)(5)t t t -+-2222)143(4)43(3+⨯=+⨯+；……写出第n 行的式子，并证明你的结论． (2)计算下列各式，你发现了什么规律？①2200220032001-⨯； ②210010199-⨯；③210000100019999-⨯．三、盘点收获：本节课你有哪些收获？ 四、检测反馈1. 若单项式与3131y x n -是同类项，那么这两个单项式的积是 .2. 当13==y ,x 时，代数式()()2y y x y x +-+的值是 ．3. 已知32-=ab ，则()=---b ab b a ab 352 . 4. 若212=++a a ，则()()=+-a a 65 .5. 观察下列等式：()1212112⨯+=+⨯，()2222222⨯+=+⨯，()3232332⨯+=+⨯，…… ，则第n 个等式可以表示为 ．6. 一个多项式除以122-x ，商式为2-x ，余式为1-x 则这个多项式是 . 7. 已知1km 2的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108km 2煤所产生的能量,那么我国9.6×106km 2的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤 kg. 8. 数学家发明了一个魔术盒，当任意数对()b a ,进入其中时，会得到一个新的数：()()21--b a .现将数对()1,m 放入其中得到数n ，再将数对()m n ,放入其中后，如果最后得到的数是 .（结果要化简）9.己知x+5y=6 , 求 x 2+5xy+30y 的值 10.把下列式子分解因式：2na -502+n a12.一个正方形的一边增加3cm ，另一边减少3cm ，所得长方形的面积与这个正方形每一边都减少1cm 所得的正方形面积相等，求原正方形的面积。
小结与思考一、教学目标：1、梳理全章知识结构，使学生系统地把握全章知识。
2、复习整式乘法、乘法公式和因式分解的内容，能熟练地进行基本运算或变形。
3、通过对主要知识点回顾，对易错、易混点分析，进一步提高学生的知识技能。
4、通过探索、合作、交流活动，培养学生团结、协作精神。
5、通过做一做，使学生感受到整式乘法与因式分解具有相同的几何背景，提高对两者关系的认识高度，从而培养学生“两分法”看世界的观点，使学生初步感受矛盾对立统一的辩证思想。
6、在教学过程中和阅读材料里，渗透类比、转化等数学思想以提高学生数学素养。
二、重难点：1、能准确理解整式乘法和因式分解的关系，能准确规范地进行基本的整式乘法运算，能准确规范地用提公因式法、公式法分解因式。
2、通过操作理解整式乘法与因式分解的几何背景，感受数、形结合思想，进而抽象到用“两分法”看世界。
3、理解整式变形中蕴含的数学思想、方法，培养初步推理能力。
说明本课时是本章的小结与复习，重在对全章内容重新梳理，对学生易错、易混点要多做提醒，教学中要抓住本章的灵魂，整式乘法与因式分解的关系——互为逆过程这一中心来设计。
在对比中让学生理解它们的区别，在动手操作时理解它们的关系，还要注意渗透类比、转化等数学思想。
要关注考一考中的学生掌握情况，以利于采取补救措施，本课时内容较多，在时间安排上要根据学生情况作出灵活调整。
三、教具、学具矩形、正方形纸板若干块，有条件的用实物投影仪或多媒体演示。
四、教学过程(一)设置情境情境1你能说出(－2)2005+(－2)2006的结果吗？说明：学生讨论、交流后回答，注意学生可能采取的不同的策略。
对学生思维中出现的创造性火花予以鼓励，本设计旨在让学生体会因式分解合理性、实用性。
思考1、在解题过程中你用了什么方法？2、这种方法的要点是什么？在使用这种方法时，要注意哪些问题？建议教学时，及时复习公因式如何确定等要点，可以自己配套选取相应内容的练习。
情境2 小明、小丽、小亮三人做游戏，小明、小亮一人手里拿一块正方形纸片。
小明说：我这块纸片边长比小亮的大2cm，小亮说：我这块面积比小明的小20cm2，现在，让小丽猜他们两人手中的正方形纸片边长各是多少？你能帮助你小丽解决这个问题吗？说明：让学生讨论、交流，确定解决策略，建立数学模型后得出方程(x+2)2－x2=20，可能不困难，要重点关注下面的变形，有的用完全平方公式展开后合并、化简的解；有的是用因式分解变形，教学时要鼓励学生用不同的方法以达到复习目的。
思考：1、刚才的解题过程中，用了哪些方法？引出乘法公式和因式分解。
2、你能说说整式乘法和因式分解的关系吗？3、本章的主要内容有哪些？从而引出本章的知识结构。
情境3 提问：本章学了哪些主要内容？小组交流、讨论、口答，老师补充、规范。
思考：1、你能举一个单项式乘多项式的例子吗？2、你能举一个多项式乘多项式的例子吗？3、你能举一个乘法公式的例子吗？然后让学生把上面几个例子倒过来看，是什么？用什么方法？引出因式分解与整式乘法的关系。
(二)知识回顾说明：小组讨论、交流回答，教师归纳整理出本章知识结构图，有条件的尽量用多媒体演示，这样能更好反映出本章各知识点之间的联系，更直观地揭示整式乘法与因式分解的关系。
注意：图中蓝色方框中单项式乘单项式与因式分解不是互逆关系，准确地说：有多项式参与的整式乘法与因式分解是可逆的。
(三)例题讨论例1 下列变形中哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法？(1)8a 2b 3c=2a 2b ·2b 3·2c (2)3a 2+6a=3a(a+2)(3)x 2－21y =(x+y 1)(x －y 1) (4)x 2－4+3x=(x+2)(x －2)+3x(5)ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)(6)(2a+5b)(2a －5b)=4a 2－25b 2说明：此练习旨在复习学生对因式分解与整式乘法的认识，强调因式分解必须是左边是多项式，右边整体是积。
解：（略）例2 下列变形中，因式分解对不对？为什么？(1)x 2y －xy 2=xy(x －y)(2)a 3－2ab+ab 2=a(a －b)2=a(a 2－2ab+b 2)(3)62ab －4ab 2+2ab=2ab(3a －2b)(4)4a2－100=(2a+10)(2a－10)(5)a2－b2=(a－b)2说明：此例旨在提醒学生常出现的错误，1、剩下的1漏写；2、没有先提公因式分解不完全；3、平方差与差平方相混，尤其是(2)中是学生常见错误类型，原因是学生对整式乘法先入为主，而对因式分解的本质没有完全理解，形成心理学上的“倒摄抑制”效应，应提醒学生注意。
解：（略）例3 因式分解(x+a)2－(x－a)2说明：让学生先做，小组交流、总结，以达到复习公式的目的。
思考：1、你分解的思路是什么？2、其中用到哪两个公式？3、你能把这两个公式特征说出来吗？说明：此例旨在复习完全平方公式展开和因式分解的平方差公式，学生叙述时可能说不清楚，教师要规范说法，随时说明每步变形的依据，培养学生以理驭算的能力。
解：（略）例4 分解因式(1)x(x－y)+y(y－x) (2)16a2b－16a3－4ab2解：(1)x(x－y)+y(y－x)=x(x－y)－y(x－y)→整理、看清了公因式=(x－y)(x－y) →提公因式=(x－y)2→规范(2)16a2b－16a3－4ab2=4a(4ab－4a2－b2) →整理=－4a(4a2－4ab+b2)→提公因式=－4a(2a－b)2→用公式说明：板书出规范解题格式，提醒学生因式分解时的步骤，一提(提公因式提完)，二套(准确用公式)，三查(养成检查习惯)，尤其是最后一步，检查是否还可再分下去。
例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)…(22n+1)谁算得快。
说明：此练习旨在复习乘法公式——“平方差”，要求学生用转化方法，使之转化为符合平方差公式的形式，还意在提醒学生整式乘法与因式分解区别，不要相混。
解：（略）思考：1、此题是整式乘法还是因式分解？2、你能为同位出类似的一道题吗？教师要关注学生的思维变化过程有典型的可以投影简评，鼓励以激发学生兴趣。
(四)做一做：用边长分别为a、b的正方形纸若干和边长为a、b的长方形纸片若干，你能拼成长方形吗？学生可能拼出以上图形，教师巡视对拼图有困难的小组提供适当的帮助。
投影出上图：思考：1、两矩形长宽分别是什么？2、由计算面积能得出什么结论？3、把过程倒过来，你发现了什么？说明：通过拼图，计算面积，先得出多项式乘多项式的结果，然后启发学生回头看，就成了多项式的因式分解了，体会两者联系，使学生感受它们具有相同的几何背景，这里要体现新课标理念，让学生“做”数学。
要给学生较充足的时间，让学生充分动手，合作交流，以培养学生团结协作的精神。
建议教学时针对学生特点，不要作统一要求，对拼出较多图形的小组予以表扬，激发其对数学的思趣。
(五)小结：1、整式乘法与因式分解的关系。
2、因式分解的一般步骤：一提，二套，三查。
3、本章有哪些容易混淆，出错的地方。
说明：小结时，可先让学生回答，教师补充、归纳。
(六)考一考：一、填空(1)(2x＋1)(－2x＋1)=(2)若x2＋mx＋1是一个完全平方式，则m=(3)(－x－y)2=(4)a＋b=－3，ab=2，则a2＋b2= (a－b)2=(5)单项式6a3b与9a2b3c的公因式为分解因式(6)x(x－y)＋y(y－x)(7)9x2－25y2(8)3x(a－b)－6y(b－a)(9)(m－n)2－m(m－n)2－n(n－m)2(10)4ab2－4a2b+b3课堂练习1、计算(1)5a2b·(－2ab3) (2)4x2y(3xy2z－7xy)(3)(a＋9)(a＋1) (4)(5－2x)(2x＋5)(5)(5－2x)(2x－5) (6)(a＋b＋c)22、分解因式(1)3ax2－3ay2(2)2xy2－3x2y＋xy(3)(a＋b)2－a2(4)49(a－b)2＋6(a＋b)2(5)x4y4－8x2y2＋16 (6)16－24(x－y)＋9(x－y)2 3、选做(1)若x2－4x＋y2－10y＋29=0，求x2y2＋2x3y2＋x4y2的值(2)①两个连续整数的平方差是个什么数？为什么？②两个连续偶数的平方差呢？③两个连续奇数平方差呢？课内作业：复习题第8题选做探索研究18课外：复习题14、15，探索19选作如图：用两个边长为a、b、c的直角三角形拼成一个新的图形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明：让学生制作纸片拼图，可给予适当提示，鼓励有兴趣的同学去做，以体现不同的人在数学上有不同的发展这一理念。
阅读·欣赏·探索数学是奇妙的、有趣的，你知道因式分解还可以这样做吗？1、分解因式：x2+4x+3X2+4x+3=x2+4x+4－1 →怎样变形的？=(x+2)2－1 →能用什么公式？=[(x+2)+1][(x+2)－1] →平方差=(x+3)(x+1)对于此类二次三项式，可以先把常数项拆成两项在前面配出三项正好符合完全平方式，后面恰好是一个完全平方数，然后再用平方差公式分解。
这种方法叫配方法，这是很重要的一种数学方法，以后还能用到。
看完上面，你有何收获？请你尝试用刚才的方法分解因式。
(1)x2+2x－3 (2)x2+6x+8 (3)x2－4x+3(4)x2－4x－5 (5)x2－6x－7 (6)x2－x－22、做一做：先观察下面整式乘法过程(x+1)(x+3)=x(x+3)+1×(x+3)=x2+3x+x+3=x2+4x+3→这是什么运算？思考：因式分解与乘法有何区别与联系？生甲：把整式乘法过程倒过来就变成因式分解了。
师：根据因式分解与乘法关系，你能把x2+4x+3这个二次三项式因式分解吗？建议让学生讨论、交流、体会变形的关键要想到一次项可能是合并后的结果，关键是把一次项还原成合并前的情况，这就要求学生作出猜想，评价，推理后才能合理拆项，训练了学生的思维能力。
进一步体会因式分解与整式乘法的对立统一的关系。
思考：你能用这种方法分解下列二次三项式吗？(1)x2－4x+3 (2)x2－x－2 (3)x2+2x－3(4)x2－4x－5 (5)x2－6x+8 (6)x2－6x－7思考：你认为所有的二次三项式都能用此方法分解吗？说明：十字相乘法在新课标中明确不做要求，但考虑到今后的实际作用，还有其本身变形时蕴含的方法，思想如配方，拆项，尤其是两个一次二项式的乘积在反过来，就得到了分解过程，也符合本章的主旨，建议给学生介绍，但要控制难度，二次项系数限为1，教学中注意引导学生体会变形的依据，以培养学生的推理能力。
