复变函数第四章

第四章 解析函数的级数表示法1. 复数列和复数列的极限（1）定义 4.1 设{}(1,2,)n a n =L 为一复数列，其中.n n n a i a i αβαβ=+=+为一确定的复数. 如果对任意的正数ε，存在正整数N ，使得当n N >时，有n a a ε-< (4.1)成立，则称a 为复数列{a n }当n →∞时的极限，记作lim n n a a →∞=.并称复数列{a n }收敛于a .（2）与实数列极限的关系：定理 4.1 复数列{a n }收敛于a 的充分必要条件是：lim ,lim n n n n a a ββ→∞→∞==.lim .n n a a →∞=2. 复级数 （1）定义设(1,2,3,) n n n a i n αβ=+=L 为一复数列，表达式121nn n aa a a ∞==+++∑L L (4.2)称为复数域上的无穷级数，简称复级数或级数.记该级数的前n 项部分和为12,1,2,,n n S a a a n =+++=L L{}n S 称为该级数的部分和数列.显然，若一般项a n 的虚部0(1,2,)n n β==L 则级数1n n a ∞=∑实质上是实级数，因此实级数可以看作是复级数的特例.定义 4.2 若级数1nn a∞=∑对应的部分和数列{}n S 收敛于常数S ，即lim n n S S →∞=那么1nn a∞=∑称为收敛的级数.数S 叫做该级数的和，记为1.nn aS ∞==∑若lim n n S →∞不存在，则称1nn a∞=∑为发散的级数.我们首先研究级数(4.2)的收敛性问题. （2）收敛的条件： 定理 4.2复级数1nn a∞=∑收敛于S 的充要条件是实级数1nn α∞=∑和1nn β∞=∑分别收敛于δ和τ，其中i ,(1,2,).n n n S a n δταβ=+=+=L定理 4.3 复级数1nn a∞=∑收敛的必要条件是lim 0.n n a →∞=3.绝对收敛与条件收敛 （1）定义4.3 对于复级数1nn a∞=∑，若1nn a∞=∑收敛，则称级数1nn a∞=∑绝对收敛；若1nn a∞=∑发散，而1nn a∞=∑收敛，则称级数1nn a∞=∑条件收敛.（2）定理 4.4 如果级数1nn a∞=∑绝对收敛，则1nn a∞=∑也收敛，且不等式11n nn n a a∞∞==≤∑∑成立.（3）推论 4.1 设i ,1,2,n n n a n αβ=+=L . 则级数1nn a∞=∑绝对收敛的充要条件是级数1nn α∞=∑和1nn β∞=∑都绝对收敛.4. 幂级数的概念所谓幂级数，是指形如01000()()()nn nn n a z z a a z z a z z ∞=-=+-++-+∑L L (4.3)的表达式.给定z 的一个确定值z 1，则(4.3)为复数项级数100110100()()()n n n n n a zz a a z z a z z ∞=-=+-++-+∑L L (4.4)若(4.4)所表示的级数收敛，则称幂级数(4.3)在z 1处收敛，z 1称为(4.3)的一个收敛点，否则则称为发散点.若D 为级数(4.3)所有收敛点的集合，则级数在D 上的和确定一个函数S (z ):0100()()(),,n n S z a a z z a z z z D =+-++-+∈L L (4.5)称S (z )为(4.3)的和函数. 5.收敛半径和收敛圆定理 4.5 如果幂级数0n n n a z ∞=∑在1(0)z z =≠收敛，则对于满足1z z <的z ，级数必绝对收敛；如果在2z z =处级数发散，则对于2z z >的z ，级数必发散.根据定理4.5，幂级数(4.6)的收敛情况必是下列情形之一：1°除z =0外，级数处处发散；2°对于所有z 级数都收敛，由定理4.5知，级数在复平面内处处绝对收敛； 3°存在一个正实数R ,使级数在|z |<R 中收敛，在|z |>R 中发散（如图4.1）.我们把该正实数R 称为级数(4.6)的收敛半径，以原点为中心，半径为R 的圆盘称为级数的收敛圆.对幂级数(4.3)来说，它的收敛圆是以z 0为中心的圆盘.值得注意的是，在收敛圆的圆周上级数是收敛还是发散，不能作出一般的结论，要对具体级数进行具体分析 6. 收敛半径的求法定理4.6 若nn n a z∞=∑的系数满足1lim ,n n na a ρ→∞+==则1°当0ρ<<+∞时，1R ρ=；2°当0ρ=时，R =+∞(处处收敛)； 3°当ρ=+∞时，R =0(仅有一个收敛点z =0). 定理 4.7 若幂级数nn n a z∞=∑的系数满足,n ρ=则1°当0ρ<<+∞时，1R ρ=；2°当0ρ=时，R =+∞； 3°当ρ=+∞时，0R =. 图4.17. 幂级数的运算及性质性质 4.1 若幂级数nn n a z∞=∑和nn n b z∞=∑的收敛半径分别为R 1和R 2，则幂级数()n nn n ab z ∞=±∑的收敛半径不小于12min(,)R R R =，且在R z <内有：().nnn nnnn n n n a z b z ab z ∞∞∞===±=±∑∑∑性质 4.2 若幂级数nn n a z∞=∑和nn n b z∞=∑的收敛半径分别为R 1和R 2，则幂级数20001100211200()()()n i n i i a b a b a b z a b a b a b z a b z ∞-=++++++++∑L L的收敛半径不小于12min(,)R R R =，且在R z <内有：().nn nn nni n i n n n i a z b za b z ∞∞∞-====⋅=∑∑∑∑上述性质说明了由两个幂级数经过相加或相乘的运算后，所得到的幂级数的收敛半径只是大于或等于R 1和R 2中较小的一个.定理 4.8 设幂级数()nnn a z z ∞=-∑的收敛半径为R ，那么1°它的和函数0()()nn f z a z z ∞==-∑在收敛圆0z z R -<内是解析函数.2°()f z 的导数可通过对其幂级数逐项求导得到，即100()()n n n f z na z z ∞-='=-∑.3°()f z 在0z z R -<内可以逐项积分，即()()d d nnn CCf z z a z z z ∞==-∑⎰⎰其中C 为0z z R -<内的曲线（证明略）. 8.泰勒(Taylor)展开式定理 4.9 设K 表示以z 0为中心，半径为r 的一个圆，()f z 在K 内解析，则()f z 可以在K 内展开成幂级数，即()000()()(),,!n n n f z f z z z z K n ∞==-∈∑(4.8) 并称它为()f z 在z 0的泰勒(Taylor)展开式，(4.8)式右端的级数称为()f z 的泰勒级数. 间接展开法：由于解析函数在一点的泰勒展开式是唯一的，借助于已知函数的展开式并利用幂级数的一些性质来求得另一函数的泰勒展开式，这种方法称为间接法211, 1.1n z z z z z=+++++<-L L (4.13)1,!e nzz z z n =++++<∞L L (4.14)20252cos (1)(2)!1(1),.2!5!(2)!nnn nn z z n z z z z n ∞==-=-+++-+<∞∑L L (4.15)213521sin (1)(21)!(1),.3!5!(21)!n nn n n z z n z z z z z n +∞=+=-+=-+++-+<∞+∑L L (4.16)9.罗朗级数，收敛圆环，罗朗展开式定理 4.11 双边级数100100100()()()()(),nn nn n n n a z z a z z a z z a a z z a z z ∞----=-∞-=+-++-++-++-+∑L L L L 的收敛域若存在必为圆环：0r z z R <-<，且在其收敛圆环内的和函数是解析的，而且可以逐项求积分和逐项求导数.定理 4.12 设()f z 在圆环0r z z R <-<内解析，那么 0()(),,nnf z a z z r z zR ∞-∞=-<-<∑(4.20)其中101()d ,0,1,2,,2π()n n Cf a n i z ξξξ+==±±-⎰L Ñ (4.21)这里C 为圆环0r z z R <-<内任何一条绕0z 的正向简单闭曲线（如图4.5），且(4.20)式是唯一的.注：罗朗展开式只能用间接展开法10. 孤立奇点（1）定义 4.4 若0z z =为函数()f z 的一个奇点，且存在一个去心邻域00z z δ<-<,()f z 在其中处处解析，则0z 称为()f z 的孤立奇点.（2）孤立奇点的罗朗级数：设0z 为()f z 的一个孤立点，因为在00z z δ<-<中()f z 解析，由上一节的定理4.12知()f z 可展成0z z -的罗朗级数，即001()()()nn nnn n f z a z z az z ∞∞--===-+-∑∑（2）孤立奇点的分类：我们按展开式中的负幂项部分的状况把孤立奇点分为三类：1︒ 级数中不出现负幂项，此时称点0z 为()f z 的可去奇点；2︒ 级数中只含有有限个负幂项，则点0z 称为()f z 的极点；3︒ 级数中含有无穷多个负幂项，点0z 称为()f z 的本性奇点.例 4.7 求函数1()(1)(2)f z z z =--在下列圆环内的罗朗级数.(1)01z <<; (2)12z <<;(3)2z <<+∞; (4)011z <-<; (5)11z <-<+∞.。

第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.（定理）复级数收敛的充要条件：实部虚部分别收敛。

2.（定理）复级数收敛的充要条件（用定义）：对任给的>0，存在正整数N()，当n>N且p为任何正整数时，注1：收敛级数通项必趋近于零；注2：收敛级数各项必有界；注3：级数省略有限个项不改变敛散性。

3.（定理）收敛4.（定理）（1）绝对收敛的复级数可任意重排，不改变收敛性，不改变和；（2）两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出乘积（柯西积）级数，也绝对收敛于。

5.一致收敛的定义：对任给的>0以及给定的，存在正整数N=N(,z)，当n>N 时，有式中6.不一致收敛的定义7.（定理柯西一致收敛准则）：级数收敛的充要条件是：任给>0，存在正整数N=N()，使当n>N时，对一切，均有8.（定理’不一致收敛准则）：9.（优级数准则）：如果有正数列，使对一切，有|)|≤，且正项级数收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。

10.优级数定义：称为的优级数。

11.（定理）级数各项在点集E上连续，且一致收敛于f(z)，则和函数也在E上连续。

12.（定理积分求和符号可交换）级数的各项在曲线C上连续，且一致收敛于f(z)，则沿C可逐项积分13.内闭一致收敛：有界闭集上一致收敛14.（定理）在圆K：|z-a|<R内闭一致收敛的充要条件：对任意正整数，只要<R，级数在闭圆上一致收敛。

15.（定理魏尔斯特拉斯定理）：设（1）函数在区域D内解析；（2）在D内内闭一致收敛于函数f(z):则：（1）f(z)在D内解析；（2）（3）在D内内闭一致收敛于§2.幂级数1.（定理阿贝尔定理）：幂级数在某点(≠a)收敛它必在圆K：|z-a|<|-a|（以a为圆心，圆周通过的圆）内绝对收敛且内闭一致收敛。

2.（推论）：幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心，圆周通过的圆周外发散。

第四章 复级数§1.级数的基本性质教学目的与要求: 了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛一致收敛等概念,掌握解析函数项级数的性质.重点: 解析函数项级数.难点：一致收敛的函数项级数;解析函数项级数. 课时：2学时1.复数项级数定义4.1 复数项级数就是121nn n zz z z ∞==++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.1)其中n z (1,2,)n =为复数定义4.2 对于复数项级数(4.1)，设 n σ=121nnn k zz z z ==++⋅⋅⋅+∑ (4.2)若lim n n σ→∞存在，则称级数(4.1)收敛，否则为发散.据此定义，我们立即推出：若级数(4.1)收敛，则1lim lim()0n n n n n z σσ-→∞→∞=-= (4.3)其次，由复数的性质易于推得 定理4.1 设111n nn n n n z ai b ∞∞∞====+∑∑∑ (4.4)其中,n n a b (1,2,)n =均为实数，则级数(4.3)收敛的充要条件为基数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛，复数项级数具有与实数项级数完全相同的性质，不再一一给出.定理4.2（柯西收敛准则）级数(4.1)收敛的充要条件是0,N ε∀>∃，使n N >及P N ∀∈，均有11Pn kn n P k zz z ε+++==++<∑定义4.3 若级数1nn z∞=∑收敛，则称级数1nn z∞=∑为绝对收敛.由关系式1kk a∞=∑及1111kk k k k k k k k bz a b ∞∞∞∞∞=====≤=≤+∑∑∑∑及定理4.1即可推得.定理4.3 级数(4.1)绝对收敛的充要条件为：级数1kk a+∞=∑及1kk b+∞=∑绝对收敛.再由定理4.2可知：绝对收敛级数必为.收敛级数. 例1.对于级数1nn a+∞=∑当1a <时，由于111121n knn k a aa aσ+∞=-==+++=-∑，而当1a <时，1lim 0n n a+→∞=，于是1lim 1n n aσ→∞=- 因此级数1nn a ∞=∑(1)a <收敛且有111n n a a∞==-∑， 显然，当1a <时，级数1nn a∞=∑亦为绝对收敛的级数.2.复函数项级数定义4.4设函数()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在复平面点集E 上有定义，则称级数11()()()nn n fz f z f z ∞==+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.5)为定义在E 上的复函数项级数.定义4.5 设函数()f z 在E 上有定义，如果z E ∀∈，级数(4.5)均收敛于()f z ，则称级数(4.5)收敛于()f z ，或者说级数(4.5)和函数()f z 记作1()()nn fz f z ∞==∑ (4.6)定义4.6 如果0,()N N εε∀>∃=，使得当n N >时，对任一z E ∈，均有1()()nkk fz f z ε=-<∑则称级数(4.5)在E 一致收敛于()f z .与定理4.2类似地我们有定理4.4 级数(4.5)在E 上一致收敛的充要条件是：0,()N N εε∀>∃=，使当n N >时，对任一z E ∈及P N ∀∈均有1()()n n P f z f z ε++++<由此我们即得一种常用的一致收敛的判别法：定理4.5 (魏尔斯特拉斯M -判别法) 设()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在点集E 上有定义12n a a a ++++为一收敛正项级数，若在E 上成立()(1,2,)n n f z a n <=⋅⋅⋅则级数(4.5)在E 上一致收敛于()f z ，则()f z 在E 上一致收敛.与实数项级数一样，不难证明以下定理：定理4.6 设()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在复平面点集E 上连续，级数(4.5)在E 上一致收敛于()f z ，则()f z 在E 上连续.定理4.7 设()n f z (1,2,)n =⋅⋅⋅在简单曲线C 上连续，级数(4.5)在C 上一致收敛于()f z ，则1()()n n CCn f z dz f z dz ∞==∑⎰⎰.对于复函数项级数的逐项求导问题，我们考虑解析函数项级数，首先，引入一个新概念.定义4.7 设函数()n f z (1,2,)n =⋅⋅⋅在区域D 内解析,如果级数(4.5)在D 内任一有界闭区域上一致收敛于函数()f z ,则称级数(4.5)在D 内闭一致收敛于()f z .由此,我们有下列重要的魏尔斯特拉斯定理.定理4.8 设函数()(1,2,)n f z n =⋅⋅⋅在区域D 内解析,级数1()nn fz ∞=∑在D 内中闭一致收敛于函数()f z ,则()f z 在D 内解析,且在D 内成立()()1()()k k n n fz f z ∞==∑ (1,2,)k =⋅⋅⋅证明: 0z D ∀∈,取0r >,使得0(,)U z r D ⊂.在U 内任作一条简单闭曲线C ,根据定理4.7及柯西定理推得1()()0n CCn f z dz f z dz +∞===∑⎰⎰.因而由莫勒拉定理知()f z 在U 内解析,再由0z D ∈的任意性即得()f z 在D 内解析.其次,设U 的边界r C D ⊂,由已知条件得1()nn fz +∞=∑在r C 上一致收敛于()f z ,从而110()()k n f z z z +∞+=-∑在r C 上一致收敛于1()()k f z z z +-,根据定理4.7,我们有 10!()2()r k C k f z dz i z z π+-⎰=110()!2()r n k C n f z k dz i z z π+∞+=-∑⎰ 即 ()()001()()k k n n fz f z +∞==∑ (1,2,)k =⋅⋅⋅ 于是定理结论成立.作业:第178页 1.§2幂级数教学目的与要求: 了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法.掌握幂级数在收敛圆内一些基本性质及幂级数在收敛圆周上的性质.重点: 幂级数收敛半径的求法; 幂级数在收敛圆内一些基本性质. 难点：幂级数在收敛圆周上的性质. 课时：2学时 定义4.8 形如()000100()()()k n n n n n fz a z z a a z a z z +∞==-=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅∑ (4.7)的级数称为幂级数,其中z 是复变量, (1,2,)n a n =⋅⋅⋅是复常数. 特别地,当00z =时,级数(4.7)就变为010nn n n n a za a z a z +∞==++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∑ (4.8)幂级数在复变函数论中有着特殊重要意义,它不仅是研究解析函数的工具,而且在实际计算中应用也比较方便.我们首先研究级数(4.8)的收敛性.显然,当00z =时,级数(4.8)总是收敛的. 当00z ≠时,则有定理4.9 如果幂级数(4.8)在1(0)z ≠收敛,则对任意满足1z z <的z ,级数(4.8)绝对收敛.若级数(4.8)在2z 发散,则对任意满足2z z >的z ,级数(4.8)发散.证明:级数(4.8)在1z 收敛.∴1lim 0nn n a z →∞=从而0M ∃>,使得1nn a z M ≤ (0,1,2,)n =⋅⋅⋅其次,级数(4.8)可写成11()nn n n z a zz +∞=⋅∑,因此111n n n n n n z z a z a z M z z =≤⋅1(1)nz k z =< 由于级数nn Mk+∞=∑收敛,故级数(4.8)绝对收敛.根据上述结论用反证法即可推得定理第二部分成立,于是定理得证.由此,我们可知存在实数R ,(0)R <<+∞,使得级数(4.8)当z R <时绝对收敛,当z R >时发散.R 称为级数(4.8)的收敛半径, z R <称为收敛圆,当R =+∞时,我们说(4.8)的收敛半径是+∞,收敛圆为复平面.当0R =时,我们说(4.8)的收敛半径是0,收敛圆只有一点0z =,以下说幂级数有收敛圆均指收敛半径大于0的情况.通常,幂级数(4.8)的收敛半径可用以下公式求得:定理4.10 (柯西Cauchy -阿达玛Hadamard 公式).若以下条件之一成立.(1)1limn n na l a +→∞= (4.9)(2)n l = (4.10)则当0l <<+∞时, (4.2)的收敛半径1R l=,当R =+∞,l =+∞时, 0R =.下面我们证明幂级数的和函数在其收敛圆内解析.定理4.11 设幂级数(4.8)的收敛圆为:V z R <.则它的和函数.01()nn f z a a z a z =++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅ (4.11)在V 内解析,且()1()!(1)!(1,2,)n n n f z n a n a z n +=+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ (4.12)证明:事实上,对0r R ∀<<,则在z r =上n nn n a z a r ≤由定理4.9知级数(4.8)在z r =上绝对收敛,从而根据M -判别法知(4.8)在z r ≤上一致收敛,故(4.8)在z r <中内闭一致收敛,在z r <内, (4.2)的和函数()f z 解析且(4.12)成立,由0r R <<的任意性即知定理成立.但幂级数在其收敛圆上可能收敛,也可能发散. 例2 级数2111n z z z z=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- 的收敛半径为1 由于在收敛圆1z =上,此级数一般不趋于0,因而在1z =上级数处处发散,但其和函数却除1z =处处解析.例3 级数11(1)n n z n n ++∞=+∑的收敛半径为1在收敛圆1z =上, 11(1)(1)n z n n n n +=++而级数11(1)n n n +∞=+∑收敛,故此技术在收敛圆上也处处收敛.作业: 第178页 2 (1) (3) 3 (2)§3解析函数的泰勒Taylor 展式教学目的与要求: 了解泰勒定理; 掌握初等解析函数的展开式，并能利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数.重点: 泰勒定理,初等函数的泰勒展开式. 难点：泰勒定理证明. 课时：2学时一．定理4.12(泰勒Taylor 展式)设函数()f z 在圆0:U z z R -<内解析,则在U 内()00000()()()()()()1!!n n f z f z f z f z z z z z n '=+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅ (4.13)证明: 1z U ∀∈,以1z 为心作一圆C U ⊂,且使1z C ∈,(如图4.1)U图4.1则由柯西公式111()()2C f f z d i z ξξπξ=-⎰ (4.14)而当C ξ∈时,101z z q z ξ-=<-,因此有101011()z z z z ξξ=----01100000()11()1n n n z z z z z z z ξξξ+∞+=-=⋅=-----∑ (4.15) 由于(4.15)右端级数当C ξ∈时是一致收敛的,把(4.15)代入(4.14)后逐项积分得10100()()()n n f z a a z z a z z =+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅ (4.16)其中 ()010()1()2()!n n n C f z f a d i z n ξξπξ+==-⎰(1,2,)n =⋅⋅⋅ (4.17) 由1z 为U 内任意一点知定理成立.结合定理4.11与4.12我们就可推出:推论4.2 幂级数是它的和函数()f z 在收敛圆内的泰勒展式.即()000()(),!n n f z a f z a n == (1,2,)n =⋅⋅⋅推论4.3 函数()f z 在一点0z 解析的充要条件是: ()f z 在0z 的某一邻域内有泰勒展式(4.13).与实变数的情形相同,我们不难求得某些初等函数的泰勒展式. 二． 求泰勒展式的方法1．求Taylor 系数n C =()()!n f a n如求ze 在z=0的展开式0C =0e =1 1C ='0()1!z z e = =11!,1!n C n =,∴z e =1+z+22!z +33!z+=0!nn z n ∞=∑ ()z <∞2.利用级数的运算。

第四章 解析函数的幂级数表示方法第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是：111222,,...,,...n n n z a ib z a ib z a ib =+=+=+在这里，n z 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。

按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。

设0z 是一个复常数。

如果任给0ε>，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说{}n z 收敛或有极限0z ，或者说{}n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作0lim z z n n =+∞→。

如果序列{}n z 不收敛，则称{}n z 发散，或者说它是发散序列。

令0z a ib =+，其中a 和b 是实数。

由不等式0||||||||||n n n n n a a b b z z a a b b --≤-≤-+-及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式： ,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注1、序列{}n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列{}n a 收敛（于a ）以及序列{}n b 收敛（于b ）。

注2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列{}n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n N >时，n z在这个邻域内。

注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

定义4.1复数项级数就是12......n z z z ++++或记为1n n z +∞=∑，或n z ∑，其中n z 是复数。

定义其部分和序列为：12...n n z z z σ=+++如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数n z ∑收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说n z ∑的和是σ，或者说n z ∑收敛于σ，记作1nn zσ+∞==∑，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数n z ∑发散。