第四章 小结与思考

教学设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——自我总结；第二环节：合作交流；第三环节：练习提高；第四环节：课堂小结；第五环节：评测练习；第六环节：作业第一环节课前准备活动内容：提前一天布置，让学生选择自己喜欢的方式梳理本章的知识,其中建议学生留出一个环节写出自己对本章的知识还有什么疑惑，或者可以写出在本章中留下印象最深刻的习题与大家分享和交流。

活动目的：由学生自己梳理本章的知识既可以锻炼学生自主学习的能力又可以调动学生学习的热情和兴趣，还可以加强学生在小组内活动交流的意识。

第二环节：合作交流活动内容：开课时由学生在小组内交流各自的知识总结，互相查缺补漏，先组内解决疑惑问题，小组长充分发挥组织能力，调动全组每一名学生参与。

然后选出一份全组最满意的一份总结做好全班交流展示的准备。

其它小组要主动与展示小组交流：可以纠正错误，补充不足，提出问题，表扬鼓励等。

活动目的：这个环节可以调动每个学生参与到课堂中来，真正做到让每个学生都成为课堂的主人。

第三环节：练习提高例1．如图，在△ABC中∠B=30°，∠ACB=110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，则∠DAE=例2．三角形两边为3cm，7cm，且第三边为奇数，则三角形的最大周长是例3．如图，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点．若S△BFC=1，则S△ABC= ．例4．实验探究：（1）动手操作：①如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC∥EF，已知∠A=30°，则∠ABD+∠ACD= ；②如图2，若直角三角板ABC不动，改变等腰直角三角板DEF的位置，使三角板DEF的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，那么∠ABD+∠ACD= ；（2）猜想证明：如图3，∠BDC与∠A、∠B、∠C之间存在着什么关系，并说明理由；（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：①如图4，BE平分∠ABD，CE平分∠ACB，若∠BAC=40°，∠BDC=120°，求∠BEC的度数；②如图5，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点F1、F2、…、F9，若∠BDC=120°，∠BF3C=64°，则∠A的度数为活动内容：结合典型习题回顾重要知识点。

南沙初中初三数学教学案教学内容：一元一次方程小结与思考课 型：复习课 学生姓名：______ 教学过程：一、知识点归纳：1.方程的分类：2.一元二次方程：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为 。

◆ 解一元二次方程的方法有：① ；② ；③ ；④ ；3.一元二次方程ax 2+bx+c=0的求根公式为x= 。

4.一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式。

二、例题：（一）一元二次方程的概念、一般形式的考查：1、下列方程中，是一元二次方程的是 （ ）A 、x 2+3x +y=0 ；B 、 x+y+1=0 ；C 、 213122+=+x x ；D 、0512=++xx 2、关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m 2－1＝0有一根为0，则m 的值为 （ ）A 、1B 、－1C 、1或－1D 、213、（2008东营）若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于 （ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0（二）一元二次方程的解及其解法的考查1、（2007潍坊）关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是 （ ）A ．4B ．0或2C ．1D ．1- 2、要使分式4452-+-x x x 的值为0，则x 应该等于（ ） （A ）4或1 （B ）4 （C ）1 （D ）4-或1- 3、 必有一个根是则一元二次方程如果)0(0,02≠=++=+-a c bx ax c b a 。

4、若最简二次根式 x x 42- 与3x -10是同类二次根式，则x 的值是5、三角形的两边长分别是5和9 第三边的长为一元二次方程x 2-14x+48=0的根，则这个三角形的边长为______________。

6、若关于x 的一元二次方程220x mx -+=与2(1)0x m x m -++=有一个相同的实数根，求m 的值。

怀文中学2013—2014学年度第一学期教学设计初 二 数 学第四章实数小结与思考（1）主备：：陈秀珍 审校: 毛云峰 日期：2013年11月28日 教学目标： 1. 进一步巩固实数的定义性质及其运算规律。

2. 熟练使用计算器求一些数值的估算值。

3. 能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高对知识的应用能力。

教学重难点：无理数、平方根、算术平方根、立方根及实数的定义与性质，以及实数的运算法则。

教学内容：一、自主探究1.平方根和算术平方根（1）定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

（2）性质 正数有两个平方根，它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

0的平方根是0负数不存在平方根。

（3）算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（4）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

2．立方根（1）.如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。

记做：3a ，读作，3次根号a 。

注意：这里的3表示的是开根的次数。

一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

二、自主合作例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是（4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？三、自主展示例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±B ．24±= C.81的平方根是 3± D.0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ） A.981±= B.14.314.3-=-ππ C.3927-=- D.235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。

怀文中学2013—2014学年度第一学期教学设计初 二 数 学 第四章实数小结与思考（2）主备：陈秀珍 审校: 毛云峰 日期：2013年11月28日教学目标： 1、经历小结与复习，建立本章知识框架图。

2、进一步复习本章知识，强调有关概念、运算的联系与区别及数的范围由有理数扩大到实数后，有关概念和运算的变化情况。

3.通过回顾与思考使学生能进一步掌握实数的相关知识并会灵活运用，体会归纳的数学思想方法。

教学重难点：知识间的内在联系与区别。

教学内容：一、自主探究（1）实数定义及分类：①按定义分类 ② 按正负分类（2）数从有理数扩充到实数后，有理数的相反数、倒数、绝对值、大小比较、运算律、运算顺序、运算法则对实数同样适用。

（3）一一对应：实数 数轴上的点二、自主合作（1）下列说法正确的是( )A. 无限小数都是无理数B. 带根号的数都是无理数C. 无限不循环小数是无理数D. π是无理数, 故无理数也可能是有限小数（2）2的相反数是 ，35的倒数是 ，3，0，—π的绝对值分别是 ，3—π的绝对值是 。

（3）判断下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数。

7，-π，3.14，1.732，0，722，-2，320，5-，38-，94，3.464664666， 0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）。

（4）若2x =3，则x= 。

23-a ）（=3-a ，则a 的取值范围是 。

（5）17在两个相邻的整数 和 之间。

（2）比较大小：（1）14与15；（2）4与15；（3）3与115-三、自主展示1求下列各式中x 的值：（1）3x 2-27=0 （2） 2x 2=10 （3） 16（x-1）2=92、已知数m 的两个平方根分别为a+3和2a-15，求m 的值。

3、若373-x ,试求x+y 的值．4、如果2-x +（x+y-3）2=0,求x,y 的值．5、已知322+-+-=x x y ，求x y 的平方根．四、自主拓展6、当1<x<3时，求 ︳1-x ︳+23-x ）（的值。

第四章课堂小结的设计1.问题的提出在数学课堂教学过程中，课堂小结几乎是每节课都不能少的.的确，在一堂课临近结束的时候，全面总结一堂课的重点内容，回顾学习探究的历程，领悟重要的思想方法(包括学习方法)，对于巩固课堂教学成果，深化知识网络结构，培养学生能力(包括学习能力)，以及教师总结反思自己的教学等都是十分有意义的.然而，在我们的课堂教学实践中，我们还存在着下述现象：只把课堂小结当作不可或缺的一环(这当然也是对的)，鲜有明确的目标意识；几乎是一成不变的形式－教师的独白与告知－学生听(接受教师强加给自己的教学成果)；课堂小结成了课堂结束的序曲.当老师作课堂小结时，学生往往在作下课的准备，至多是记下了小结的内容和作业，很少再有积极主动的思考.如何努力追求课堂小结的高效益，最大限度地发挥其应有的作用，是我们应该积极探索并不断完善的.2.一个案例以下的课堂小结案例(片段)有一定的普遍性.【例1】教学内容是“等差数列”，课堂小结实录如下：……师：同学们，今天我们讨论了等差数列，有等差数列的定义、等差数列的通项公式、等差中项等概念.初步应用等差数列解决了一些简单的问题，特别是在四个量1,,,na d n a中，知道其中任意三个可求第四个，这是本节课的重点.另外，函数与方程的数学思想、不完全归纳法是本节课重要的数学思想方法，请大家一定要记住.下面布置作业……课后对学生进行访谈：问：对老师的课堂小结，你们感觉如何？生1：通过老师的总结，我们知道了本节课的重点内容.生2：老师一作小结，就快要下课了，我们都不太在意.生3：我一般都是记下或抄录老师的小结，但课后很少去看.生4：听不听老师小结无所谓，实际上老师是重复前面的话.……显然，这样的课堂小结难以唤起学生的激情，学生至多是在被动地听、记，有些还听不进去，例如数学思想方法，只能在教学过程中有意渗透、点拨，让学生在学习过程中去领悟.有时学生虽然记下“重点”、“难点”，但记下又能产生多少作用呢？这种形式单一，只重结果，强加于人的课堂小结，久而久之会使学生失去兴趣，甚至生厌.3.思考首先，按照新课程的教学理念，数学教学是数学活动的教学，数学教学活动应该是学生经历“数学化”、“再创造”的活动过程，是师生互动的过程.课堂小结既然是课堂教学的组成部分，就必须是数学活动教学的一部分.应该是在教师引导下，自主学习、探究的继续和深入.学生依然是学习的主人.只是这种学习活动目标更明确，过程更集中，教师的引导作用也为重要.在这一过程中，教师要敢于放手，同时要积极参与其中，适时点拨，正确引导.也许学生的思考与总结不够完善，“你一言我一语”，甚至一些学生说不到点子上而影响一堂课的“完美结局”，但毕竟是属于学生自己的成果，是学生主动自我建构的结果，从发展学生的认知结构而言，显然更具有意义.其次，构建以学生自主探究、合作交流为特征的课堂小结，为学生搭建进一步探究学习、交流展示的平台，可以更好地培养学生反思、概括、表述等能力；使学生养成良好的数学学习惯－善于反思，体验过程、领悟规律；使学生充分享受课堂学习带来的成功喜悦；将培养学生的课堂学习主人翁意识贯穿课堂教学始终.再次，通过学生的主体参与可以更加充分地暴露学生的思维过程，教师可以发现教学中存在的问题与不足，有些还可能是出乎教师意外的.哪儿是成功之处，哪儿是需要改进的地方，思想方法渗透效果怎样，等等，这种来自教学对象的流露与反馈，既真实自然，又及时贴切，实在是教师反思自我，促进自身专业成长的重要途径之一.4.尝试课堂小结，教师应该紧扣课堂教学内容，同其他教学环节一样，继续创设有利于学生进一步探究的情境，引导学生反思学习过程，归纳总结方法，引申升华规律，把数学思考更加引向深入，使师生都进入更高的“悟”的境界.4.1 反思走过的路一节课下来，学生学习了哪些知识，经历了怎样的探究过程，领悟到了怎样的数学思想方法，获取了怎样的研究、学习经验，甚至遭受到怎样的挫折，都是值得我们引导学生加以回顾、反思和总结的.例如，在小结“异面直线所成角”、“异面直线的距离”概念的学习过程中，我们可以首先引导学生回顾概念建立的全过程，设计思考题：①建立概念的必要性；②建立概念的合理性；③如何理解概念的本质属性.让学生用自己的语言表述.经过学生的思考、发言、交流，大家对概念建立的过程及概念本身就会有较为深刻的理解，比起教师独白来显然要好得多.例如，某堂课上，师生共同探究并解答了如下一题：如图，已知平面,,c αβαβ⋂=，且//,//d d αβ，求证//d c .在对解题过程进行小结时，我们并没有强调问题本身的证法(对一题多解也没有投入太多的精力)，而是与学生一道回顾问题的探究过程，明晰以下的证明脉络，领悟化归与转化的数学思想方法.////////////////d d a a b a a c d c d d b αββ→⎫⇒⇒⇒⇒⎬→⎭我们认为，比起问题解决本身，学生对思想方法的领悟更为重要.4.2 体验数学学习方法通过数学学习，学生要获取重要的数学知识，更要体验学习、研究数学的方法.我们在课堂小结时，要有意引导学生总结数学学习的经验，领悟数学研究的方法，发展学生的终身学习能力.例如，“数形结合”思想伴随函数学习过程的始终.教材中很多函数的性质，都是通过观察个别函数的图象归纳抽象出来的.如互为反函数的函数图象间的关系，就是在同一坐标系中画出一对互为反函数图象，然后看图说话而得到的重要结论.这实际上是一种研究学习函数性质的重要方法.但它隐含在知识学习的过程中.我们在课堂小结时要予以点拨.教学实践表明，长期坚持对研究历程的回顾与总结，对于学生领悟数学研究方法，把握数学的本质，提高学习能力都是十分有效的.4.3 对比优化策略在课堂小结过程中，我们应当引导学生对数学思维过程、解题思路与策略进行对比优化.让学生在比较中鉴别，在选择中得到发展，在优化中得到提高.例如，在解排列组合问题时，学生往往对何时用间接法，何时用直接法感到心中无底.为此，我们可有意设计相关的一组问题：一个用直接法较简单而用间接法较繁杂，另一个则相反，第三个是两种方法相差无几的问题.在进行小结点评时，我们可让学生通过解题亲身经历，谈解题体会，并努力说明为什么有的时候直接法较容易，有的时候间接法较简单.在实际教学中，一些学生还能结合集合的补集用韦恩图给出说明.学生思维之深刻，论述之清α α β β d c a b c d γ δ晰当时确出乎意料.学生的潜能一旦被激发，将会开出绚丽的思维火花.4.4 领悟数学思想方法数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象概括，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的过程中，这就决定了数学思想方法的教学要靠平时的渗透，要靠学生主动领悟，就此而言，课堂小结的点拨作用就显得尤为重要了.例如，对于问题：关于x 的方程[]230,1,12x x k x --=∈-总有实数解，求实数k 的取值范围.经过探讨，师生给出了以下三种思路：【方法1】分离参数，反客为主，得[]23,1,12k x x x =-∈-，把问题转化为求函数的值域. 【方法2】数形结合，转化为求函数[]23,1,12y x x x =-∈-与y k =的图象有交点时k 的取值范围.【方法3】化为二次函数，令23()2f x x x k =--，把问题转化为一元二次函数的图象与x 轴上的线段(1-到1之间)有交点的问题，观察图象，用不等式组表述条件加以解决.在进行课堂小结时，我们与学生共同思考、讨论，逐步提炼出解决该问题过程中所展示出来的数学思想方法：化归、函数、方程和不等式、数形结合、分类讨论等，同时对三种解法进行比较，得出最优解法.而这一切都是在教师的引导下学生的自觉领悟.4.5 向学生提出富有挑战性的问题课堂小结不应是四平八稳的大结局，而应成为学生新的学习探究的开始.我们可以在学生课堂学习的基础上，在学生的最近发展区内，向学生提出相关的、有吸引力和富有挑战性的问题，让学生带着问题、带着思考的探究欲望走出课堂，从而把课堂延续到课外.例如，抛物线几何性质的教学，由于是在学生已经学习了椭圆、双曲线的基础上进行的，学生并不感到困难，课堂小结临近结束时，我们向学生抛出一个“节外生枝”的问题：……师：同学们此前已经学习了双曲线，请问抛物线的图象与双曲线图象的一支有何区别？ 此言一出，学生显然兴趣盎然，陷入深深的思考之中.下课铃响了，学生们还欲罢不能!真是一石激起千重浪!这里所提的问题正好处于新旧知识的最近发展区，因而能唤起学生探究的欲望.而学生回答这一问题要对抛物线、双曲线的变化趋势进行深入的对比分析，另外问题探究本身对促进抛物线的学习，准确把握其本质属性都是十分有意义的，所以这一问题的提出可以把学生的数学思考引向深入，把课堂上的探究思维活动延伸到课外.我们应当明白，课堂小结不是课堂教学结束的序曲，不是课堂教学成果的开列清单，也不是学生学习活动的结束.诚然，课堂小结这一环节可能不是课堂教学的高潮，且用时短暂，故往往不为师生关注，但只要我们用心而为之，就能够创造出意犹未尽、回味无穷的境界来.【附】课堂小结的几种方式● 表格方式● 框图方式● 问题方式● 问题情境串联方式● 歌诀方式。

电大《民族理论与民族政策》课后小结第一章绪论：小结：民族理论的研究对象是世界上普遍存在的民族和民族问题，目的是揭示民族和民族问题的一般发展规律，正确认识与妥善处理民族发展及民族之间的矛盾、问题。

民族理论的研究内容包括：研究民族发展规律、民族问题发展规律、马克思主义的民族纲领和民族政策以及马克思主义民族理论的历史发展过程。

民族理论的研究方法包括：多学科综合研究方法、整体系统研究方法、抽象归纳研究方法、理论联系实际研究方法、调查研究方法、定量分析方法等。

学习和研究民族理论的意义在于：（1）树立正确民族观的需要；（2）是认真、全面贯彻党的民族政策，做好民族工作的需要；（3）对民族研究工作具有重要指导意义。

思考题：1.请说明民族理论研究的对象和内容。

答：民族理论的研究对象是世界上普遍存在的民族和民族问题，目的是揭示民族和民族问题的一般发展规律，正确认识与妥善处理民族发展及民族之间的矛盾、问题。

民族理论的研究内容包括：（1）研究民族发展的一般规律；（2）研究民族问题发展的规律；（3）研究马克思主义的民族纲领和民族政策；（4）研究马克思主义民族理论的历史发展过程。

2.请概述民族理论研究的方法。

答：民族理论的研究方法包括：（1）多学科综合研究方法；（2）整体系统研究方法；（3）抽象归纳研究方法；（4）理论联系实际的方法；（5）调查研究方法；（6）定量分析方法等。

3.请概括学习和研究民族理论的意义。

答：学习和研究民族理论的意义在于：（1）是树立正确民族观的需要；（2）是认真、全面贯彻党的民族政策，做好民族工作的需要；（3）对民族研究工作具有重要指导意义。

第二章民族小结：民族是在一定的历史发展阶段形成的稳定的人们共同体。

一般来说，民族在历史渊源、生产方式、言语、文化、风俗习惯以及心理认同等方面具有共同的特征。

有的民族在形成和发展的过程中，宗教起着重要作用。

民族具有：族体属性、社会属性和生物属性，民族是民族族体、民族社会体、民族生物体的统一体，与氏族、部落、种族、国家等人们共同体有明显区别。

第四章因式分解4.1 因式分解教学目标：知识与技能：使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力。

过程与方法：认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。

情感与态度：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。

重点：因式分解的概念难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法教学过程：第一环节复习回顾：下题简便运算怎样进行问题1：736×95+736×5问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67第二环节比较探究：问题3：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。

993-99 = 99×992-99 = 99(992-1)∴993-99能被99整除(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。

小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100所以993-99能被100整除想一想：（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？（2）请你说明小明每一步的依据。

（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？（老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？）小结：以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。

第四章 一元二次方程小结与思考设计：孙 祥 审核：孙兴华一、学习目标：会用一元二次方程解决简单的实际问题，并能检验所得结果是否符合实际意义。

二、知识导学：（一）、知识网络：1.用一元二次方程解决问题时，通常要经历一下的过程：列一元二次方程 解方程解释、检验2.用一元二次方程解决问题的关键是找出问题中的 关系，列出方程。

3.列一元二次方程解应用题的一般步骤是： 。

4．解题技巧总结：（1）用一元二次方程解决实际问题时，要善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数量间的相互关系，正确列出方程。

（2）在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．（二）、基础训练：1.一个两位数，它的数字之和为7，如果十位数字为a ，那么这个两位数是： 。

2.一个直角三角形三边的长为连续偶数，则这个直角三角形的斜边的长是： 。

3.一张长方形桌子的长是150cm ，宽是100cm.现在要设计一块长方形桌布，面积是桌面的 2倍，且使四周垂下的宽度均是xcm ，则由题意得方程： （ ） (A)(150+x)(100+x)=150×100×2 (B)(150+2x)(100+2x)=150×100×2(C)(150+x)(100+x)=150×100×2 (D)150x+100x=150×1004.把一物体从地面以10m/s 的速度竖直上抛，经过xs 后，物体离地面的高度（单位：m ）为10x-4.9x 2.试问该物体经过多长时间落回地面？（精确到0.01s ）5．如图，长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米。

如果梯子底部向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。

数学问题（方程） 实际 问题 方程 的解三、知识巩固：1.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。

（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。