对称电路等势点的判定方法

传递对称电路对复杂电路进行等势点短路或断路处理可使电路的求解得到简化．此方法的关键在于等势点的判定．不少文献，如[l]、[2]只侧重对等势点如何处理，未阐明等势点的一般判定方法．本文对等势点判定方法作较细致的研究．对有两个端子的线性电路N，若用垂直平分端口a、b的面横切电路N，可将N切为两完全相同的部分N′，且两N′间无交叉连接的支路，则电路N称平衡对称电路，其横切面是N对端口的平衡对称面．如图1（a）所示．方法一若在平衡对称电路的端子间接入电源，则落在平衡对称面上的节点都是等势点．对方法一可作严格证明，为了简化，只作定性说明．横切面把电路分为两对称部分；与横切面上各节点相联接的两对称部分的对应支路中的电流必相等，且相对节点方向相反（流入、流出节点），根据基尔霍夫电流定律，位于平衡对称面上各节点间的支路（若两节点间无支路，把两节点用导线短接也表示这种情况）无电流，各节点必等电势．对有两个端子的电路N，若用过两端扭a、b的平面直劈电路N，可将N劈为两完全相同的部分N′，则电路N称传递对称电路，其直劈面是N 的传递对称面．如图1（b）所示．方法二若在传递对称电路的端口接入电源，则与传递对称面对称的每一对节点分别等电势．因为传递对称面两侧电路结构对称，对应支路元件参数、电流、电压完全相同，对应节点必等电势．某电路是平衡对称，也可能同时是传递对称．一般来说，平衡对称面只有一个，而传递对称面有时不只一个（如立方体电路对角节点间的传递对称面）．若同时运用平衡对称和传递对称，或反复运用传递对称，可找出更多的等势点进行简化处理．根据方法一可得出推论:l 对平衡对称电路，若某支路被平衡对称面所平分，则该支路的电阻R节点等电势．2 若把平衡对称面上的一个节点分裂为平衡对称面上的几个节点后仍为平衡对称电路，则该节点可分裂为几个节点．根据方法二也可得到两个推论:3 对传递对称电路，若某支路被传递对称面所平分，则该支路的电阻R4 若把传递对称面上的一个节点分裂为几个节点后仍为传递对称电路，则该节点可分裂为几个节点．运用方法一、二找出尽可能多的等势点后并短路处理．可使复杂电路化为串、并联电路，运用推论1～4有时使复杂电路直接比为串、并联电路．这些方法很适宜求电路的等效电阻．图2（a）每边电阻均为R，对端扭a、b而言，既平衡对称，也传递对称．因此，节点c、d；e、f、g；h、i分别为等势点．把等势点短路后即成为申并联电路，电阻为据推论2，节点f可分裂为f′、f″两个节点见图2（b），则图3（a）所示的电路，每个电阻均为R0对端扭A、B而言，xx′为平衡对称面，yy′为传递对称面．xx′把上下两条支路平分，这两条支路可分裂，再把等势点短路得图3（b）．其等效电阻笔者曾用“递推法”研究过对称复杂电路[3][4]，本文则是研究对称复杂电路的又一方法．参考文献1 P·P·Ong．大学物理．1985．10．P4l2 刘绍清．大学物理．1987．11．p44．3 王光义．物理通报．1987．8．4 王光义．物理通报1988．6。

等电势点法简化电路电路的简化是电路分析和设计的重要步骤，它可以帮助我们更好地理解电路的工作原理，并且简化电路可以减少分析和计算的复杂性。

在电路简化的过程中，等电势点法是一种常用的方法，它通过找出电路中的等电势点来简化电路。

所谓等电势点，即指在电路中具有相同电势的点。

根据基本电路理论，电流总是沿着电势降低的方向流动，因此在电路中的某一点的电势值相同，意味着这些点之间没有电压差，电流也不会流过这些点。

因此，我们可以将这些等电势点视为一个整体，从而简化电路的分析和计算。

等电势点法的基本思想是将电路中的等电势点用一个虚拟的连接线连接起来，形成一个等电势线。

通过连接这些等电势点，我们可以将电路分为多个简单的电路段，从而简化电路。

在等电势点法中，我们需要注意以下几点：1. 确定等电势点：首先，我们需要在电路中确定一些等电势点。

一般来说，我们可以选择电路中的一些节点或连接线上的点作为等电势点。

在选择等电势点时，我们可以根据电路的特点和需要进行灵活的选择。

2. 连接等电势点：确定等电势点后，我们需要用虚拟的连接线将这些等电势点连接起来。

这样，我们就可以将电路分为多个简单的电路段，每个电路段中的电流只在连接线上流动，不会流过等电势点。

3. 简化电路：通过连接等电势点，我们可以将电路简化为多个简单的电路段。

在每个电路段中，我们可以根据需要应用电路分析和计算的方法，例如欧姆定律、基尔霍夫定律等。

通过简化电路，我们可以更方便地进行电路分析和计算，从而更好地理解电路的工作原理。

等电势点法的优点在于可以简化电路的复杂性，降低电路分析和计算的难度。

通过连接等电势点，我们可以将电路分为多个简单的电路段，每个电路段中的电流只在连接线上流动，不会流过等电势点。

这样，我们可以更方便地应用电路分析和计算的方法，从而更好地理解电路的工作原理。

然而，等电势点法也有一些限制。

首先，等电势点法只适用于那些可以近似看作等电势点的电路。

在某些复杂的电路中，等电势点可能难以确定，或者等电势点之间的电势差较大，无法忽略。

动 力 与 电 气 工 程28科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATIONDOI：10.16661/ki.1672-3791.2017.36.028电路中的等势点与能量守恒法高志强（四川师范大学附属中学 四川成都 610066）摘 要：电路中的电阻、电容等集中参数元件有其共性；从等势点出发，结合电路为保守场的观点，即任意两个等势点之间的电压降也相等，同时考虑到任意电路节点上流入的电流必定等于流出的电流，可以较为方便的分析电路问题。

正如能量守恒定律指出的规律，电路中的电流也遵循该规律。

关键词：集中参数元件 等势点 保守场 电压降 能量守恒中图分类号：TM715 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2017)12(c)-0028-02本文从电容网络和电阻网络两个角度出发，用能量守恒的观点解释了两种典型的电路问题，证明了能量守恒的性质不仅在功能关系中成立，在电学中也适用，在电磁能量的相互转换中，也是普遍适用的定律。

1 在等势点基础上计算电学问题由电磁场理论可知，导体在电场中要达到静电平衡，导体是个等势体，导体表面是个等势面，即导体内部的静电场为零，根据高斯定律，在内部没有电场线通过。

在电路中，由导线直接相连的两点之间，由于没有阻抗，其电势应该相等。

在对等的电路结构中，也存在电势相等的情形。

根据等电势，以及任意闭合回路的电压降为0，在这个总体思路下求解电学问题。

1.1 电容网络问题首先考虑一个较为复杂的纯电容网络，该网络具有形式上的对称性，但电容量对称，也可能不对称。

如图1连接的6个不全等的电容组成电容网络，为简化电路，先不考虑两个并联支路之外的电容，这两个电容和电容网络是串联的关系。

图1中判断等势点，分两种情况，一是导线直接相连的点，比如C，D两点，和E，F两点。

在图1的基础上将电路各节点分别标识为A～H，根据电路的对称形式C，D点等电势，E，F点等电势；G，H了两点在电路完全对称时等电势，其余情况下G，H点不一定等电势，根据对称性，C-G上的电压降与H-F上的相等，同理D-E与G-E相等。

等势点的几种求法方法一：等分找等势点法。

利用在匀强电场中同一直线上或相互平行的两条直线上距离相等的两点间电势差相等。

步骤：方法二：正交分解法方法三：过某点任意画出一条电场线，设定一个角度，并求出此角。

例1、一匀强电场的方向平行于xOy 平面，平面内a 、b 、c 三点的位置如图3所示，三点的电势分别为10 V 、17 V 、26 V ．下列说法正确的是( )A ．电场强度的大小为2.5 V/cmB ．坐标原点处的电势为1 VC ．电子在a 点的电势能比在b 点的低7 eVD ．电子从b 点运动到c 点，电场力做功为9 eV答案 ABD解析方法一：等分找等势点法。

利用在匀强电场中同一直线上或相互平行的两条直线上距离相等的两点间电势差相等。

如图所示，设a 、c 之间的d 点电势与b 点电势相同，则ad dc ＝10－1717－26＝79，所以d 点的坐标为(3.5 cm,6 cm)，过c 点作等势线bd 的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势．由几何关系可得，cf 的长度为3.6 cm ，电场强度的大小E ＝Ud ＝26－17 V 3.6 cm＝2.5 V/cm ，故选项A 正确；因为Oacb 是矩形，所以有U ac ＝U Ob ，可知坐标原点O 处的电势为1 V ，故选项B 正确；a 点电势比b 点电势低7 V ，电子带负电，所以电子在a 点的电势能比在b 点的高7 eV ，故选项C 错误；b 点电势比c 点电势低9 V ，电子从b 点运动到c 点，电场力做功为9 eV ，故选项D 正确．方法二：正交分解法。

找到某一点，顺着电势都降落或着都升高的方向建立直角坐标系，并求出两个方向上的场强，最后合成得到场强的大小。

选O 点（或者选b 点），因为,V O 1=ϕ,V b 17=ϕ，V a 10=ϕ。

所以oa 和ob 方向都为电势升高的方向。

cm V E Oa /2369== ，cm V E Ob /2816==。

对称法一．方法介绍由于物质世界存在某些对称性,使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中．应用这种对称性不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称法.物理中对称现象比比皆是，对称的结构、对称的作用、对称的电路、对称的物像等等．一般情况下，对称表现为研究对象在结构上的对称性、物理过程在时间上和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等．用对称性解题的关键是敏锐地抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径，利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题．二．典例分析例1 如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B 相连，木块A 放在木块B 上，两木块质量均为m ， 在木块A 上施有竖直向下的力F ,整个装置处于静止状态.(1）突然将力F 撤去，若运动中A 、B 不分离，则A 、B 共同运动到最高点时,B 对A 的弹力有多大?(2)要使A 、B 不分离，力F 应满足什么条件?解析:【解析】 力F 撤去后，系统作简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解,会简单得多。

（1)最高点与最低点有相同大小的回复力,只是方向相反，这里回复力是合外力。

在最低点,即原来平衡的系统在撤去力F 的瞬间，受到的合外力应为F ，方向竖直向上；当到达最高点时,系统受到的合外力也应为F ，方向竖直向下，A 受到的合 外力为21F ，方向向下，考虑到重力的存在，所以B 对A 的弹力为mg —2F （2)力F 越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性。

最高点时A 、B 间虽接触但无弹力,A 只受重力，故此时回复力向下,大小为mg .那么，在最低点时,即刚撤去力F 时,A 受的回复力也应等于mg ，但根据前一小题的分析,此时回复力为21F ，这就是说21F ＝mg ．则F ＝２mg ．因此,使A 、 B 不分离的条件是F ≤２mg ．例2.如图甲所示，ab 是半径为R 的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强为E ，在圆周平面内，将一带正电q 的小球从a 点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中,到达c 点时小球的动能最大．已知∠cab =300，若不计重力和空气阻力，试求:(1)电场方向与直径ab 间的夹角θ；(2）若小球在a 点时初速度方向与电场方向垂直,小球恰好能落在c 点，则初动能为多少?解析：由于从a 点以相同的初动能沿不同方向抛出的小球到达圆周上的各点时，其中到达c点的小球动能最大,因此过c 点的切线一定是等势线，由此可以确定电场线的方向,至于从a 点垂直于电场线抛出的小球可按类平抛运动处理．（1）用对称性判断电场的方向：由题设条件,在圆周平面内，从a 点以相同的动能向不同方向抛出带正电的小球，小球会经过圆周上不同的点，且以经过c 点时小球的动能最大，可知，电场线平行于圆平面．又根据动能定理，电场力对到达c 点的小球做功最多，为qU ac ．因此U ac 最大，即c 点的电势比圆周上任何一点的电势都低．又因为圆周平面处于匀强电场中，故连接Oc ,圆周上各点的电势对于Oc 对称（或作过c 点且与圆周相切的线cf 是等势线），Oc 方向即为电场方向(如图乙所示）,它与直径ab 的夹角为600． (2）小球在匀强电场中做类平抛运动．小球沿垂直于电场方向抛出，设其初速度为v 0，小球质量为m ．在垂直于电场线方向，有：x ＝v 0t ①在沿电场线方向，有y ＝21at 2 ② 由图中几何关系可得： x ＝R cos300 ③y ＝R （1十cos600） ④且：a =mqE ⑤ 将③、④、⑤式代入①、②两式解得：v 02＝m qER 4 所以初动能：E k0＝21mv 02 =8qER ． 例3。