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7.7 无穷等比数列各项的和课表解读1.理解无穷等比数列各项的和的含义，掌握无穷等比数列各项的和的公式，会求无穷等比数列各项的和。
2.会利用求无穷等比数列各项的和的方法把循环小数化为分数。
3. 会用无穷等比数列各项和解决相关问题。
目标分解1. 无穷等比数列的各项和的定义：我们把1||<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示，记作)1|(|11<-==∞→q qa S lin S n n 2. 无穷递缩等比数列的定义：把1||<q 的无穷等比数列成为无穷递缩等比数列。
解释“无穷递减缩等比数列”：(1)数列}{n a 本身是等比数列； (2)当1||<q 时，数列|}{|n a 单调递减，故称“递缩”； (3)当∞→n 时，数列为无穷数列。
强调：(1)只有当无穷等比数列的公比q 满足1||0<<q 时，其前n 项和的极限才存在；（当1=q 时，1lim lim na S n n n ∞→∞→=，极限不存在；当1-=q 时，nn q ∞→lim 不存在；当1||>q 时，nn q ∞→lim 不存在）(2)无穷等比数列各项的“和”已经不同于初等数学中的有限项的“和”，它已经不是代数和，实质上是一个无穷数列}{n S 的极限！(3)应用：化循环小数为分数。
问题分析一、无穷等比数列各项和例1. 计算1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n分析：n n 21814121lim++++∞→ 是无穷等比数列前n 项和的极限，即等于n 21814121++++ +…，可以利用无穷等比数列各项和的公式qa S -=11来计算，同理，分母也可以作类似计算，由于分子、分母都有极限，因此可以利用极限运算法则。
解：1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n=]31)1(91311[lim )21814121(lim 11--∞→∞→-+++-++++n n n n n=34431)31(1121121==---例2. 无穷递缩等比数列}{n a 各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。
无穷项等比数列求和在数学中，等比数列是一种非常重要的数列，它的每一项都是前一项乘以一个常数，这个常数被称为公比。
等比数列的求和公式是一个非常有用的工具，它可以用来计算无穷项等比数列的和。
在本文中，我们将探讨无穷项等比数列求和的公式及其应用。
让我们来看一下等比数列的定义。
一个等比数列是一个数列，其中每一项都是前一项乘以一个常数。
这个常数被称为公比，通常用字母q表示。
因此，等比数列的通项公式可以表示为：an = a1 * q^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示第一项，q表示公比。
接下来，我们来看一下无穷项等比数列的求和公式。
假设我们有一个无穷项等比数列，它的第一项是a1，公比是q。
我们可以使用以下公式来计算这个数列的和：S = a1 / (1 - q)这个公式被称为等比数列求和公式。
它的推导过程比较复杂，这里不再赘述。
但是，我们可以通过一个简单的例子来理解这个公式的应用。
假设我们有一个无穷项等比数列，它的第一项是1，公比是1/2。
我们可以使用等比数列求和公式来计算这个数列的和：S = 1 / (1 - 1/2) = 2因此，这个数列的和是2。
这个结果意味着，如果我们将这个数列的所有项相加，得到的结果将趋近于2。
等比数列求和公式的应用非常广泛。
它可以用来计算各种数学问题，例如金融、物理、工程等领域中的问题。
下面，我们将介绍一些常见的应用。
1. 财务分析等比数列求和公式可以用来计算复利。
假设我们有一个初始投资为P的账户，年利率为r，每年复利一次。
那么，这个账户在n年后的价值可以表示为：V = P * (1 + r)^n这个公式可以看作是一个等比数列的求和公式，其中第一项是P，公比是1 + r，项数是n。
因此，我们可以使用等比数列求和公式来计算这个账户在n年后的总价值。
2. 物理问题等比数列求和公式可以用来计算物理问题中的连续运动。
例如，假设一个物体以初速度v0开始运动，每秒速度增加一个常数a。
那么，这个物体在t秒后的位移可以表示为：s = v0 * t + (1/2) * a * t^2这个公式可以看作是一个等比数列的求和公式，其中第一项是v0 * t，公比是a，项数是t。
7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）一、教学内容分析本末节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面已经介绍了等比数列的前n项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无穷项求和”．教材如此处置，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限熟悉无穷、从已知熟悉未知、从近似熟悉精准的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的爱好．本末节的难点是正确明白得无穷等比数列的各项和的概念．冲破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出概念，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的爱好，引导学生进行思维创新，在不断探讨中发觉问题、解决问题．二、教学目标设计1．明白得无穷等比数列的各项和的概念；2．把握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；3．明白得无穷个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题进程中，形成和提高数学的应用意识.三、教学重点及难点教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.教学难点：正确明白得无穷等比数列的各项和的概念.四、教学用具预备实物投影仪五、教学流程设计六、教学进程设计一、温习引入 试探以下问题：一、0.9•和1哪个数大？什么缘故？二、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.关于问题1，先让学生进行讨论，然后展现他们的结果. 引导学生回答以下问题：（1）若是你以为0.91•<，那么0.9•比1小多少？（2）若是你以为0.91•<，那么你可否找到一个实数a ，使得0.91a •<<成立？换一个角度来看，事实上而()100.90.090.0009n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，，，，是首项为0.9，公比为110的无穷等比数列，它的前n 项和为 ()1010.911010.90.090.00091110110n n nn S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==- ⎪⎝⎭-个. 于是能够把0.9•看做n S 当n →∞时的极限，从而课堂小结并布置作业无穷等比数列的各项和的定实例引入无穷等比数列无穷等比数列的各项和 公式的运用与深化(例题解析、巩固练习)110.91111010n nn n n n n lim S lim lim lim •→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.关于问题2，一样进行分析.对照以上两个问题，它们有何一起特点？ 二、教学新课一、无穷等比数列的各项和的公式的推导提问：在问题1的讨论中，咱们将0.9•看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限.请同窗们试探，是不是无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？若是它的极限存在，那么极限等于什么？指出：当无穷等比数列的公比q 知足||1q <时，其前n 项和的极限才存在. 当0||1q <<时，无穷等比数列前n 项和的极限如下：∵ 111(1)111n n n a q a aS q q q q-==-⋅---（||1q <） ∴ 11(1)(1)11n n n n n n n a q alim S limlim lim q qq →∞→∞→∞→∞-==⋅--- 11(1)11n n n a alim lim q q q→∞→∞=-=--. ∵ 0||1q <<，∴0nn lim q →∞=. ∴ 11n n a lim S q→∞=-． 让学生尝试从上述推导进程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．强调：只有当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 二、无穷等比数列的各项和的概念提问：通过适才的讨论，你可否给无穷等比数列各项和下一个概念？请用数学语言来描述一下． 咱们把||1q <的无穷等比数列的前n 项的和n S 当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示.11a S q=-（||1q <）. 强调：只有当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 3、无穷等比数列各项和的应用 例1 化以下循环小数为分数： （1）0.29••； （2）3.431••.分析：设法将循环小数化成等比数列的前n 项和，然后求极限.解：（1）()2100.290.290.00290.00029n -••=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个 等式右边是首项为0.29，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，因此0.29290.2910.0199••==-.（2）3.431 3.40.0310.000310.0000031••=++++⋅⋅⋅，等式右边是3.4加上一个首项为0.031，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，因此0.0314314273.431 3.43310.0110990990••=+=++=-.师生一起总结得出：循环小数化为分数的法那么：1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数． 2． 混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部份的数减去不循环部份所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部份的数字个数相同． 练习：471,2P例2（补充） 求以下循环小数的和．分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和． 解：同例1可求得，290.2999••=，290.00299900••=，290.000029990000••=，…∴ 原式=292929999900990000+++⋅⋅⋅ 上式表示首项为2999，公比为1100的无穷等比数列的各项和．∴ 原式=29290099198011100=-． 练习：求以下循环小数的和：0.30.030.003•••+++⋅⋅⋅．答案：1027例3 如图，正方形ABCD 的边长为1，联结那个正方形各边的中点取得一个小正方形A 1B 1C 1D 1；又联结那个小正方形各边的中点取得一个更小正方形A 2B 2C 2D 2；如此无穷继续下去.求所有这些正方形周长的和与面积的和．分析：关键是求出第n 个正方形 的边长与前一个正方形的边长的关系.解：由题意得第1个正方形的边长11a =，第n 个 正方形的边长211222n n a a --==，2n ≥.即所有正方形的边长组成的数列为121221,,,,2242n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，于是所有正方形的周长组成的数列为124,2,2,,4,2n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，D 3C 3B 3A 3D 2C 2B 2A 2B 1C 1A 11DABC这是首项为4、公比为22的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和l 为 4842212l ==+-.所有正方形的面积组成的数列为111111,,,,,,2482n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 这是首项为1、公项为12的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和S 为 12112S ==-.练习：473P .补充练习：（能够和作业的试探题（2）联系讲解）在边长为1的正方形ABCD 中，取AD 、BC 中点1A 、1B ，得矩形11ABB A ；取11A B 、DC 中点2A 、2B ，得一小矩形212A B CB ；再取1A D 、22A B 中点33A B 、，得一小矩形1233A A B A ；如此无穷继续下去，求所有这些矩形的面积之和．所有面积组成首项为12，公比为12的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的进程可知，让作图无穷下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.三、课堂小结1. 无穷等比数列的各项和的公式：S=qa -11(1<q )； 2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，而且那个极限是能够达到的； 3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比q 知足01q <<； 4．要学会从特殊问题的解决进程中体会一样化问题的解决方式． 四、课后作业一、书面作业：21.1,2,3,5P A ；22.1,2P BA 44B 332A 21A 1CA二、试探题：（1）正项等比数列的首项为1，前n 项和为n S ，求1nn n S limS →∞-．（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和． 参看小结前的补充练习． 七、教学设计说明1．本节课的关键是让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法那么再也不适用．求无穷多个数的和事实上是求一个极限（而且那个极限能够达到）．一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n 项和的极限存在．因此，在新课引入时，利用讲义的问题2让学生充分的讨论.得出无穷等比数列的各项和的概念，并推导出无穷等比数列的各项和的公式．2．本节课的设计用意在于用问题驱动学生学习，让学生在解决问题的进程中体会无穷的思想，真正明白得什么缘故要用极限来概念一个无穷等比数列的各项和．当学生对无穷等比数列的各项和的概念明白得后，应用也就瓜熟蒂落了．。
一、引言无穷等比数列是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。
无穷等比数列各项和的研究，对于理解数列的性质、解决实际问题以及深入探索数学领域具有重要意义。
本文将介绍无穷等比数列各项和的概念、性质、计算方法以及应用，旨在为广大读者提供一份关于无穷等比数列各项和的全面概述。
二、无穷等比数列的定义及性质1. 定义无穷等比数列是指一个数列，其中任意一项与其前一项的比值是一个常数。
设无穷等比数列的首项为a1，公比为q，则该数列可表示为：a1, a1q, a1q^2, a1q^3, ...2. 性质（1）若公比q≠1，则无穷等比数列各项和S不存在。
（2）若公比q=1，则无穷等比数列各项和S=a1。
（3）若公比q≠1，且|q|<1，则无穷等比数列各项和S存在，且S=a1/(1-q)。
三、无穷等比数列各项和的计算方法1. 公比q=1时此时，无穷等比数列各项和S=a1。
2. 公比q≠1时此时，无穷等比数列各项和S=a1/(1-q)。
四、无穷等比数列各项和的应用1. 解决实际问题（1）计算无限级数的和在物理学、工程学等领域，许多实际问题都涉及到无限级数的和。
例如，计算电子在导体中的电阻、计算卫星在轨道上的能量等。
无穷等比数列各项和的计算方法为解决这类问题提供了有力工具。
（2）计算人口增长在生物学、经济学等领域，人口增长模型常常采用无穷等比数列。
利用无穷等比数列各项和的计算方法，可以预测未来人口数量。
2. 深入探索数学领域（1）研究数列的性质无穷等比数列各项和的研究有助于我们更好地理解数列的性质，如收敛性、极限等。
（2）探索数学问题无穷等比数列各项和的计算方法在解决一些数学问题中具有重要意义。
例如，在解析几何中，利用无穷等比数列各项和可以证明圆的面积公式。
五、总结无穷等比数列各项和是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。
本文介绍了无穷等比数列的定义、性质、计算方法以及应用。
通过对无穷等比数列各项和的研究，我们可以更好地理解数列的性质，解决实际问题，并深入探索数学领域。
无穷个等比数列求和公式在数学中，等比数列是指一个数列中的每个项与它的前一项之比都相等的数列。
而无穷个等比数列是指这样的数列中的项数是无穷的。
对于无穷个等比数列，我们可以通过一个求和公式来计算其和。
无穷个等比数列的求和公式如下所示：S = a / (1 - r)其中，S表示数列的和，a表示首项，r表示公比。
这个公式可以帮助我们快速求解无穷个等比数列的和，而不需要逐个计算每一项。
为了更好地理解这个公式，我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个无穷个等比数列，首项a为2，公比r为0.5。
根据公式，我们可以计算出该数列的和：S = 2 / (1 - 0.5) = 4这意味着，无穷个等比数列的和为4。
也就是说，如果我们将这个数列中的所有项相加，结果将会是4。
这个公式的推导过程涉及到一些数学知识，比如极限和无穷级数。
在这里，我们不深入探讨这些概念，而是简单介绍一下无穷个等比数列求和公式的应用。
这个公式在金融领域中有着广泛的应用。
例如，当我们考虑复利计算时，就可以将每一次的利率看作是一个等比数列，利用这个公式来计算未来的总金额。
同样地，在投资分析中，我们也可以将每年的收益率看作是一个等比数列，用这个公式来计算投资的总回报。
这个公式在计算机科学中也有重要的应用。
例如，在算法分析中，我们经常需要计算无穷级数的和，而这个公式可以帮助我们快速求解。
另外，在图像处理和信号处理中，我们也常常需要处理无穷个数据，这个公式可以帮助我们对这些数据进行求和。
除了以上两个领域，无穷个等比数列求和公式还有许多其他的应用。
例如，在物理学中，我们可以将无限小的时间间隔看作是一个等比数列，用这个公式计算物理量的总变化。
在概率论中，我们可以将无限个事件发生的概率看作是一个等比数列，用这个公式计算总概率。
无穷个等比数列求和公式是一个非常有用的数学工具。
它可以帮助我们快速计算无穷个等比数列的和，应用范围广泛。
无论是在金融、计算机科学、物理学还是概率论中，这个公式都有着重要的应用。
