沪教版(上海 )高中数学 无穷等比数列的各项和

无穷等比数列各项的和教材：上海市教育出版社高中二年级第一学期第七章第八节 教学目标1. 理解无穷等比数列各项的和的意义；2. 利用无穷等比数列各项的和解决有关问题，特别是无限循环小数化分数的问题，对有理数有进一步清晰、完整的认识；3. 通过无穷等比数列各项的和概念的引入及其研究，初步形成研究数学问题的能力，对数学中出现的有关无穷的问题有一个初步的认识，并对解决无穷问题的方法有一个初步的了解.重点难点1. 无穷等比数列各项的和概念的引入以及定义的准确表述；2. 如何转变学生在认识无穷问题上一些感性认识的错误，比如等式.0.90.9991==的成立是否是准确的.教学过程一、引入课题今天我们学习无穷等比数列各项的和.在小学，同学们学习过分数化小数，我们知道分数可以化成有限小数或无限循环小数.例如： 3333.03.031==，但是我们是怎样理解无限循环小数，怎样理解 3333.03.0=的呢？我想大家对此是不多加思考的，知道它就是31.那么对于 9999.09.0=呢？你想到什么呢，它是什么意思，表示什么，等于多少，它是哪个数化成的，它是大于1，等于1，还是小于1？今天我们学习无穷等比数列各项的和，要从理论上根本解决这些问题.二、概念产生的过程我们已经学过无穷等比数列，但是什么是各项的和呢？我们先看一个具体的无穷等比数列.（1）求无穷等比数列}21{n ，即： ,21,,41,21n各项的和. 分析：求数列各项的和，顾名思义，就是求数列全部项的和.无穷数列有无穷项，无穷项写也写不完，怎样相加求和？很明显，这在传统算术意义上是无法相加求和的，是不存在和的.但是这个问题是数学发展过程中产生的一个新问题，是需要加以研究解决的.对于新问题，就要用新思维、新方法加以研究解决，与时俱进，有所创造.创造要有一定的基础，我们先回顾一下与这个问题有关的我们已知什么？我们已知的是数列的前n 项的和n S ，下面我们就探讨n S 与“各项和”的关系？求无穷数列各项的和，根据和的基本含义，是要把它们加起来，从前面开始加起来，它的基础是前n 项和n S ，对于数列}21{n ，n n S 211-=.我们想像一直加下去能得到“和”，即“和”是存在的，是一个确定的数“S ”，那么前n 项和n S 与“S ”的关系为：当n 愈来愈大时，n S 就会接近、无限制地接近这个和“S ”.根据前面学习过的极限的知识，这个和“S ”应该是前n 项和n S 的极限.通过上面的分析：我们首先要明确什么是“无穷项的和”，即要赋予“无穷项的和”的意义（定义）.有了意义，才能讨论怎样计算，也就是给出计算方法.用已知刻画未知.我们已知的是前n 项和n S 以及它的极限（如果极限存在）.未知的是无穷项的和.对于数列}21{n ，已知n n S 211-=，且1)211(lim lim =-=+∞→+∞→n n n n S .根据前面所认识到的前n 项和n S 的极限与我们所探索的“各项和”的关系，我们有如下定义. 对于无穷等比数列}21{n ，我们定义n n S +∞→lim 为它的各项的和，记为S ，即1lim ==+∞→n n S S .即：121814121=+++++ n . （2）上升到一般的无穷等比数列}{n a ，其中11-=n n q a a ，１）1=q ，1na S n =，n S 的极限不存在；２）1≠q n n n q qa q a q q a S ---=--=111)1(111， 当1≥q ，n S 的极限不存在； 当1<q 时：0lim =+∞→n n q ，所以：qa q q a q a S n n n n -=---=+∞→+∞→1)11(lim lim 111， 即前n 项和n S 的极限存在且等于qa -11. 定义：对于1<q 的无穷等比数列}{n a ，我们定义n n S +∞→lim 为它的各项的和，记为S ，即qa S S n n -==+∞→1lim 1. 三、应用（1）无限循环小数的问题 我们知道分数化小数 3333.03.031==，逆过来呢？ +++==003.003.03.03333.03.0是表示首项为3.0，公比为1.0的无穷等比数列数列各项的和，即319.03.01.013.03333.03.0==-== .由此也可以看出我们定义的合理性.对于 9999.09.0=， +++=009.009.09.09999.0是表示首项为9.0，公比为1.0的无穷等比数列数列各项的和， 即19.09.01.019.09999.09.0==-== . 19999.09.0== ，121814121=+++++ n. 这两个等式的成立是准确的呢，还是近似的？即左边是否真的等于１，还是近似等于１，还是小于１？对于这两个等式，同学们感觉上总认为等式左边小于右边，总觉得差一点.本质上同学们还是用有限来理解无限，通过今天的学习，我们要明确这两个等式的成立是准确的，因为这是根据无穷等比数列各项和的定义得到的.（2）例题例：正方形ABCD 的边长为1，连接这个正方形各边的中点得到一个小的正方形1111D C B A ；又连接这个小正方形各边的中点得到一个更小的正方形2222D C B A ；如此无限继续下去，求所有这些正方形的面积的和.解：设第n 个正方形的面积为n a ，由条件：11=a由题设，可得到：11211211211222)()2()2(--------==+=n n n n n n n n n n B A B A C B B A B A ，CA 1 1 D 1进而：1211221)(21)(---===n n n n n n a B A B A a ， 所以，所有正方形的面积组成的数列}{n a 是首项为1，公比为21的无穷等比数列，故所有正方形的面积之和为：22111=-=S .四、总结1）本节课我们学习了“无穷等比数列各项的和”，是同学们第一次真正意义上碰到有关无穷的问题，也就是无穷个数相加.请同学们回去好好体会一下今天我们是如何处理有关无穷的问题，好好思考一下我们处理无穷问题的方法.2）作为“无穷等比数列各项的和”的应用，我们解决了无限循环小数的问题，也就是无限循环小数都可以化成分数，对有理数有了更清晰和完整的认识.。

7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）一、教学内容分析本末节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面已经介绍了等比数列的前n项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无穷项求和”．教材如此处置，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限熟悉无穷、从已知熟悉未知、从近似熟悉精准的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的爱好．本末节的难点是正确明白得无穷等比数列的各项和的概念．冲破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出概念，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的爱好，引导学生进行思维创新，在不断探讨中发觉问题、解决问题．二、教学目标设计1．明白得无穷等比数列的各项和的概念；2．把握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；3．明白得无穷个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题进程中，形成和提高数学的应用意识.三、教学重点及难点教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.教学难点：正确明白得无穷等比数列的各项和的概念.四、教学用具预备实物投影仪五、教学流程设计六、教学进程设计一、温习引入 试探以下问题：一、0.9•和1哪个数大？什么缘故？二、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.关于问题1，先让学生进行讨论，然后展现他们的结果. 引导学生回答以下问题：（1）若是你以为0.91•<，那么0.9•比1小多少？（2）若是你以为0.91•<，那么你可否找到一个实数a ，使得0.91a •<<成立？换一个角度来看，事实上而()100.90.090.0009n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，，，，是首项为0.9，公比为110的无穷等比数列，它的前n 项和为 ()1010.911010.90.090.00091110110n n nn S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==- ⎪⎝⎭-个. 于是能够把0.9•看做n S 当n →∞时的极限，从而课堂小结并布置作业无穷等比数列的各项和的定实例引入无穷等比数列无穷等比数列的各项和 公式的运用与深化(例题解析、巩固练习)110.91111010n nn n n n n lim S lim lim lim •→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.关于问题2，一样进行分析.对照以上两个问题，它们有何一起特点？ 二、教学新课一、无穷等比数列的各项和的公式的推导提问：在问题1的讨论中，咱们将0.9•看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限.请同窗们试探，是不是无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？若是它的极限存在，那么极限等于什么？指出：当无穷等比数列的公比q 知足||1q <时，其前n 项和的极限才存在. 当0||1q <<时，无穷等比数列前n 项和的极限如下：∵ 111(1)111n n n a q a aS q q q q-==-⋅---（||1q <） ∴ 11(1)(1)11n n n n n n n a q alim S limlim lim q qq →∞→∞→∞→∞-==⋅--- 11(1)11n n n a alim lim q q q→∞→∞=-=--. ∵ 0||1q <<，∴0nn lim q →∞=. ∴ 11n n a lim S q→∞=-． 让学生尝试从上述推导进程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．强调：只有当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 二、无穷等比数列的各项和的概念提问：通过适才的讨论，你可否给无穷等比数列各项和下一个概念？请用数学语言来描述一下． 咱们把||1q <的无穷等比数列的前n 项的和n S 当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示.11a S q=-（||1q <）. 强调：只有当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 3、无穷等比数列各项和的应用 例1 化以下循环小数为分数： （1）0.29••； （2）3.431••.分析：设法将循环小数化成等比数列的前n 项和，然后求极限.解：（1）()2100.290.290.00290.00029n -••=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个 等式右边是首项为0.29，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，因此0.29290.2910.0199••==-.（2）3.431 3.40.0310.000310.0000031••=++++⋅⋅⋅，等式右边是3.4加上一个首项为0.031，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，因此0.0314314273.431 3.43310.0110990990••=+=++=-.师生一起总结得出：循环小数化为分数的法那么：1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数． 2． 混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部份的数减去不循环部份所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部份的数字个数相同． 练习：471,2P例2（补充） 求以下循环小数的和．分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和． 解：同例1可求得，290.2999••=，290.00299900••=，290.000029990000••=，…∴ 原式=292929999900990000+++⋅⋅⋅ 上式表示首项为2999，公比为1100的无穷等比数列的各项和．∴ 原式=29290099198011100=-． 练习：求以下循环小数的和：0.30.030.003•••+++⋅⋅⋅．答案：1027例3 如图，正方形ABCD 的边长为1，联结那个正方形各边的中点取得一个小正方形A 1B 1C 1D 1；又联结那个小正方形各边的中点取得一个更小正方形A 2B 2C 2D 2；如此无穷继续下去.求所有这些正方形周长的和与面积的和．分析：关键是求出第n 个正方形 的边长与前一个正方形的边长的关系.解：由题意得第1个正方形的边长11a =，第n 个 正方形的边长211222n n a a --==，2n ≥.即所有正方形的边长组成的数列为121221,,,,2242n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，于是所有正方形的周长组成的数列为124,2,2,,4,2n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，D 3C 3B 3A 3D 2C 2B 2A 2B 1C 1A 11DABC这是首项为4、公比为22的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和l 为 4842212l ==+-.所有正方形的面积组成的数列为111111,,,,,,2482n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅， 这是首项为1、公项为12的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和S 为 12112S ==-.练习：473P .补充练习：（能够和作业的试探题（2）联系讲解）在边长为1的正方形ABCD 中，取AD 、BC 中点1A 、1B ，得矩形11ABB A ；取11A B 、DC 中点2A 、2B ，得一小矩形212A B CB ；再取1A D 、22A B 中点33A B 、，得一小矩形1233A A B A ；如此无穷继续下去，求所有这些矩形的面积之和．所有面积组成首项为12，公比为12的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的进程可知，让作图无穷下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.三、课堂小结1. 无穷等比数列的各项和的公式：S=qa -11(1<q )； 2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，而且那个极限是能够达到的； 3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比q 知足01q <<； 4．要学会从特殊问题的解决进程中体会一样化问题的解决方式． 四、课后作业一、书面作业：21.1,2,3,5P A ；22.1,2P BA 44B 332A 21A 1CA二、试探题：（1）正项等比数列的首项为1，前n 项和为n S ，求1nn n S limS →∞-．（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和． 参看小结前的补充练习． 七、教学设计说明1．本节课的关键是让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法那么再也不适用．求无穷多个数的和事实上是求一个极限（而且那个极限能够达到）．一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n 项和的极限存在．因此，在新课引入时，利用讲义的问题2让学生充分的讨论.得出无穷等比数列的各项和的概念，并推导出无穷等比数列的各项和的公式．2．本节课的设计用意在于用问题驱动学生学习，让学生在解决问题的进程中体会无穷的思想，真正明白得什么缘故要用极限来概念一个无穷等比数列的各项和．当学生对无穷等比数列的各项和的概念明白得后，应用也就瓜熟蒂落了．。

数学学科高一年级导学案课题：无穷等比数列各项的和【预习案】一、知识的准备1、等比数列前n 项和公式；2、极限的定义和常用的三个数列极限公式。

二、预习的目标和要求1、知道无穷数列各项的和的含义；2、会求简单的无穷等比数列各项的和。

三、预习的内容（一）复习准备1、已知{}n a 是等比数列，公比为(0)q q ≠，前n 项和为n S =____________.2、在n 无限增大的过程中，如果无穷数列{}n a 中n a ___________一个常数A ,那么A 叫做数列{}n a 的极限，记作_____________.3、lim n n a →∞=___________.（二）问题引入已知无穷等比数列{}n a ，满足1()3nn a =（1）求这个数列的前10项和10S ； （2）求这个数列的前n 项和n S ； （阅读教材P45思考以下问题） （3）可不可以求这个数列各项的和S ？（三）概念的形成 思考1：你如何理解“无穷项的和”？无穷数列的各项“和”已经不同于初等数学中有限项的“和”，它已经不是代数和，如果无穷数列各项“和”S 存在的话，当n 越来越大时，前n 项和为n S __________S ,因此无穷数列的各项“和”S 可以看作____________________ 即______________.思考2：如何求“无穷项的和”？四、预习自测判断下列无穷等比数列的各项和是否存在？（1）111393n++++ -------（2）211333n -+++++--------（3）111333++++ --------你认为无穷等比数列的各项和是否存在，由等比数列的____________决定。

五、预习的疑问与收获我的收获：（1）____________________________________________________________________。

（2）____________________________________________________________________。

附件一浦东新区中小学讲堂教课评论表（试行稿）姓名严永芳学校南汇中学学科数学时间课题无量等比数列各项的和评论指标教课目注明确、详细、适切，切合学科课程标准和学生学目标习实质。

内容正确充分，切合学生认知规律，突出要点，联系教课实质。

内容凸现学科内涵，能整合教课资源，力争适合、有效。

激发学生兴趣，培育旺盛的求知欲。

学生学习主动、踊跃、投入，敢于怀疑，发布自己的见解。

教课关注全体，重视学法指导，着重启迪性和针对性。

教过程学方法灵巧、生动，注意生成资源，发挥教课机智。

教课环境有序、互动、民主、和睦。

教课落实“双基”，增强体验，身心欢乐。

成效为人师表，教课基本功扎实，技术运用适当。

教师学科功底厚实，知识面广，有研究新知的热忱。

修养讲课班级高二（15）节次10~9 8~7 6~5 4以下9999987910努力形成教课特点，有创新意识。

8听了严老师的这堂课此后，感觉她的教课目的明确,要点突出,难点打破,环节过分自然,，引入适当自然。

从小学分数的引入充足表现出重视知识的发生、发展过程，无穷循环小数乞降问题的提出更激发学生的求知欲。

经过将循环小数化为分数睁开课题，研究无量等比数列各项的和的过程中，用原有的知识引起悖论，通教课过对悖论的思虑研究出用极限的方法来推导无量等比数列各项和的公式．教会学生评论用极限的思想来解决无量等比数列的乞降。

充足显现了讲课老师的扎实的基本功，从引例的设计，公式的推导，都紧贴学生的认知水平，切合教课规律。

讲堂上经过发问、思虑、研究、议论、沟通等多种形式，让学生与老师互动，教与学融为一体，讲堂氛围活跃，经过学生自主研究、合作沟通，让学生体验知识的产生过程，在教师的指引下，增强了学生对数学分类议论思想的认识。

是一节很有创意的课。

总分87 等第优评论人张淑芬备注累计得分85分以上为优，75-84分为良，60-74分为中，60分以下为差。

7.8（1）无穷等比数列的各项和（1）一、教学内容分析本小节的重点是无穷等比数列的各项和公式及简单应用．教材在前面已经介绍了等比数列的前n项和与极限的概念，利用极限不难将“等比数列的有限求和”转化为“等比数列的无限项求和”．教材这样处理，既符合学生的认知规律，又让学生深刻体会从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的极限思想，能充分调动学生的求知欲望，开扩学生思路，激发学习数学的兴趣．本小节的难点是正确理解无穷等比数列的各项和的定义．突破难点的关键是创设问题情景，利用对问题的分析，得出定义，推导出无穷等比数列的的各项和的公式，激发学生学习知识的兴趣，引导学生进行思维创新，在不断探索中发现问题、解决问题．二、教学目标设计1．理解无穷等比数列的各项和的定义；2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识.三、教学重点及难点教学重点：无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用.教学难点：正确理解无穷等比数列的各项和的定义.四、教学用具准备实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计一、复习引入 思考下列问题：1、0.9•和1哪个数大？为什么？2、由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%.假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和.对于问题1，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果. 引导学生回答以下问题：（1）如果你认为0.91•<，那么0.9•比1小多少？（2）如果你认为0.91•<，那么你能否找到一个实数a ，使得0.91a •<<成立？ 换一个角度来看，事实上()100.90.9990.90.090.0009n -•=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅678个而()100.90.090.0009n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅678个，，，，是首项为0.9，公比为110的无穷等比数列，它的前n 项和为 ()1010.911010.90.090.00091110110n n n n S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==- ⎪⎝⎭-678个.于是可以把0.9•看作n S 当n →∞时的极限，从而110.91111010n nn n n n n lim S lim lim lim •→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.对于问题2，同样进行分析.对比以上两个问题，它们有何共同特征？ 二、讲授新课1、无穷等比数列的各项和的公式的推导提问：在问题1的讨论中，我们将0.9•看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n 项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等于什么？指出：当无穷等比数列的公比q 满足||1q <时，其前n 项和的极限才存在. 当0||1q <<时，无穷等比数列前n 项和的极限如下：∵ 111(1)111n n n a q a aS q q q q-==-⋅---（||1q <） ∴ 11(1)(1)11n n n n n n n a q alim S limlim lim q qq →∞→∞→∞→∞-==⋅--- 11(1)11n n n a alim lim q q q→∞→∞=-=--. ∵ 0||1q <<，∴0nn lim q →∞=.∴ 11n n a lim S q→∞=-． 让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 2、无穷等比数列的各项和的定义提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下．我们把||1q <的无穷等比数列的前n 项的和n S 当n →∞时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示.11a S q=-（||1q <）. 强调：只有当无穷等比数列的公比q 满足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在． 3、无穷等比数列各项和的应用 例1 化下列循环小数为分数： （1）0.29••； （2）3.431••.分析：设法将循环小数化成等比数列的前n 项和，然后求极限.解：（1）()2100.290.290.00290.00029n -••=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅678个等式右边是首项为0.29，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，所以0.29290.2910.0199••==-.（2）3.431 3.40.0310.000310.0000031••=++++⋅⋅⋅，等式右边是3.4加上一个首项为0.031，公比是0.01的无穷等比数列的各项的和，所以0.0314314273.431 3.43310.0110990990••=+=++=-.师生共同总结得出： 循环小数化为分数的法则：1． 纯循环小数化分数：将一个循环节的数作分子，分母是99……9，其中9的个数是循环节数字的个数．2． 混循环小数化分数：将一个循环节连同不循环部分的数减去不循环部分所得的差作分子，分母是99…900…0，其中9的个数与一个循环节的个数相同，0的个数和不循环部分的数字个数相同． 练习：471,2P例2（补充） 求下列循环小数的和． 0.290.00290.000029••••••+++⋅⋅⋅分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和．解：同例1可求得，290.2999••=，290.00299900••=，290.000029990000••=，…∴ 原式=292929999900990000+++⋅⋅⋅ 上式表示首项为2999，公比为1100的无穷等比数列的各项和．∴ 原式=29290099198011100=-． 练习：求下列循环小数的和：0.30.030.003•••+++⋅⋅⋅．答案：1027例 3 如图，正方形ABCD 的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形A 1B 1C 1D 1；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形A 2B 2C 2D 2；如此无限继续下去.求所有这些正方形周长的和与面积的和．分析：关键是求出第n 个正方形 的边长与前一个正方形的边长的关系.解：由题意得第1个正方形的边长11a =，第n 个 正方形的边长n n n a A B ==12n a -==，2n ≥.即所有正方形的边长组成的数列为111,,,,2242n -⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎝⎭，于是所有正方形的周长组成的数列为B 1C 1A DABC14,,4,2n-⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭，这是首项为4、公比为2的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和l为8l==+所有正方形的面积组成的数列为111111,,,,,,2482n-⋅⋅⋅⋅⋅⋅，这是首项为1、公项为12的无穷等比数列，故所有的正方形的面积之和S为12112S==-.练习：473P.补充练习：（可以和作业的思考题（2）联系讲解）在边长为1的正方形ABCD中，取AD、BC中点1A、1B，得矩形11ABB A；取11A B、DC中点2A、2B，得一小矩形212A B CB；再取1A D、22A B中点33A B、，得一小矩形1233A AB A；如此无限继续下去，求所有这些矩形的面积之和．所有面积组成首项为12，公比为12的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的过程可知，让作图无限下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.三、课堂小结1. 无穷等比数列的各项和的公式：S=qa-11(1<q)；2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比q满足01q<<；4．要学会从特殊问题的解决过程中体会一般化问题的解决方法．四、课后作业4211、书面作业：21.1,2,3,5P A ；22.1,2P B2、思考题：（1）正项等比数列的首项为1，前n 项和为n S ，求1nn n S limS →∞-．（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和． 参看小结前的补充练习． 七、教学设计说明1．本节课的关键是让学生体会到：无穷多个数相加时，加法法则不再适用．求无穷多个数的和实际上是求一个极限（并且这个极限可以达到）．一个无穷等比数列的各项和存在的关键是该数列的前n 项和的极限存在．所以，在新课引入时，利用课本的问题2让学生充分的讨论.得出无穷等比数列的各项和的概念，并推导出无穷等比数列的各项和的公式．2．本节课的设计意图在于用问题驱动学生学习，让学生在解决问题的过程中体会无穷的思想，真正理解为什么要用极限来定义一个无穷等比数列的各项和．当学生对无穷等比数列的各项和的概念理解后，应用也就水到渠成了．。

7.8 (2) 无穷等比数列的各项和（2）一、教学内容分析本末节的重点是无穷等比数列的各项和的公式的应用.教材在上一节已经介绍了无穷等比数列的各项和的公式，在此基础上进一步利用公式解决实际中的一些求和问题，将所学的理论知识应用到实际生活中.教材如此处置，表现了数学知识自身的科学性：理论知识来源于实际又进一步应用于实际中去，让学生深刻体会数学知识的内在规律和所学知识的应用价值.本末节的难点是正确把握无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件：11,0q q -<<≠,冲破难点的关键在于对等比数列的前n 项和与极限概念的深刻明白得，有助于逻辑思维能力的进展.二、教学目标设计进一步明白得和把握无穷等比数列的各项和的公式；利用无穷等比数列的各项和公式解决一些实际应用问题;进展逻辑思维能力，强化应用意识.三、教学重点及难点无穷等比数列的各项和公式的应用;无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件. 四、教学流程设计五、教学进程设计课堂小结并布置作业 公式深刻复习回顾无穷等比数列各项和公式在实际中的公式的深化与实际应用(例题解析、巩固练习)一、温习回忆试探并回答以下问题：1.无穷等比数列的各项和公式的回忆:2.无穷等比数列的各项和公式中的隐含条件:当且仅当无穷等比数列的公比q 知足0||1q <<时，其前n 项和的极限才存在，在此基础上概念无穷等比数列的各项和,进一步得出计算公式.二、教学新课1. 无穷等比数列的各项和概念的进一步强化例题1 已知无穷等比数列{a n }的各项之和为4，求首项a 1的取值范围.分析：无穷等比数列的各项和概念的前提条件是0||1q <<.解：设无穷等比数列{a n }的公比为q ，由题设知 141a q =-，得1114q a =- 又0||1q <<， 故 110114a <-<， 解得11111144a a -<-<≠，且， 因此10448a ∈⋃（，）（，）.另解：141a q =-（） （0||1q <<），利用一次函数的值域来求解.[说明]（1） 数学概念的深刻明白得；（2） 两种解法的比较：不等式的求解与函数思想.2.无穷等比数列的各项和的实际应用例题2 如图（见讲义第48页 图7-13）在Rt ABC 内有一系列的正方形，它们的边长依次为12,,...,,...n a a a ，假设,2AB a BC a ==，求所有正方形的面积之和.分析：解决该实际问题的关键在于转化成一个无穷等比数列的各项和.解：由题设知：1112a a AB a BC -==，解得123a a =. 由112n n n a a a --=，得12(2)3n n a a n -=≥ 因此正方形的面积22212,,...,,...n a a a 是一个首项为249a ，公比为49的无穷等比数列，于是所有正方形的面积之和为:224494519a a =- . 另解：所有正方形的面积之和等于Rt ABC 的面积减去所有内部的三角形的面积之和，而第n 个正方形的面积与内部对应的第n 个三角形的面积之比为4：1,因此所有正方形的面积之和等于Rt ABC 面积的45 . [说明] （1）问题的实质：所有正方形的面积是一个无穷等比数列的各项和；（2）另解的关键在于图形中正方形与三角形的对应分析.三、巩固练习1. 讲义练习 讲义第48页 练习7.8 (2)第1,2,3题2. 补充练习 如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后取得图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形P 3 ，P 4 ，… ,P n ,…,记纸板P n 的周长、面积别离为n L 、n S ，求（1） lim n n L →∞； （2） lim n n S →∞.分析：纸板P n 的周长等于n 个半圆的周长（依次组成一个等比数列）与一条线段的长度的和，lim n n L →∞即是一个无穷等比数列的各项和; 纸板P n 的面积等于一个半圆面积减去n-1个半圆的面积（依次组成一个等比数列）的和，lim n n S →∞即是一个半圆面积减去一个无穷等比数列的各项和所得的差. 略解：（1） lim 2112n n L ππ→∞==-；P 1 2P 3 P 4（2） 8lim 12314n n S πππ→∞=-=- . [说明] 问题的关键在于转化为无穷等比数列的各项和.四、课堂小结1. 无穷等比数列的各项和公式：S=qa -11(10<<q )的明白得； 2．如何将某些实际问题转化为一个无穷等比数列的各项和；3．学会表达：等比数列→无穷等比数列的前n 项和→无穷等比数列的各项和.五、课后作业一、书面作业：第21页 习题7.8 A 组第4，6，7题第22页 习题7.8 B 组第3，4题二、试探题：无穷等比数列{}n a 中，首项11a =，公比0q >，前n 项和为n S ，记2222123...n n T a a a a =++++，求n n nS lim T →∞. （提示：依照公比q 的不同取值范围讨论）六、教学设计说明1．本节课的设计用意表现了数学教学中的一个常见模式：学习了一个新的数学概念或公式后从什么角度进一步加深拓宽和应用；2．本节课的关键在于在上一节课的基础上强化概念和公式，深刻地明白得数学概念的本质所在，而且将所学的知识应用到实际问题中去；3．教学进程中要注重逻辑思维能力的进展和应用意识的强化.。

无穷等比数列各项的和【教学目标】1．理解无穷等比数列的各项和的定义；2．掌握无穷等比数列的各项和的公式，会应用公式求无穷等比数列的各项和；3．理解无限个数的和与有限个数的和在意义上的区别；4．通过在利用无穷等比数列的各项和的公式解决一些简单的实际问题过程中，形成和提高数学的应用意识。

【教学重难点】1．无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用。

2．正确理解无穷等比数列的各项和的定义。

【教学过程】一、复习引入思考下列问题：1．0.9•和1哪个数大？为什么？2．由于空气的阻力，因此某一类钟的钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一次摆动弧的长度的95%。

假设其第一次摆动弧的长度为40cm ，求它在停止前所有摆动的弧的长度和。

对于问题1，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果。

引导学生回答以下问题：（1）如果你认为0.91•<，那么0.9•比1小多少？（2）如果你认为0.91•<，那么你能否找到一个实数a ，使得0.91a •<<成立？换一个角度来看，事实上： ()100.90.9990.90.090.0009n -•=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个；而()100.90.090.0009n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个，，，，是首项为0.9，公比为110的无穷等比数列，它的前n 项和为： ()1010.911010.90.090.00091110110n n n n S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==- ⎪⎝⎭-个。

于是可以把0.9•看作n S 当n →∞时的极限，从而：110.91111010n n n n n n n lim S lim lim lim •→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦。

对于问题2，同样进行分析。

对比以上两个问题，它们有何共同特征？二、讲授新课1．无穷等比数列的各项和的公式的推导。

提问：在问题1的讨论中，我们将0.9•看成首项为0.9、公比为0.1的无穷等比数列的前n 项和的极限。