第五讲 数列的极限与无穷等比数列各项的和
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无穷等比数列各项的和
7.7 无穷等比数列各项的和课表解读1.理解无穷等比数列各项的和的含义，掌握无穷等比数列各项的和的公式，会求无穷等比数列各项的和。
2.会利用求无穷等比数列各项的和的方法把循环小数化为分数。
3. 会用无穷等比数列各项和解决相关问题。
目标分解1. 无穷等比数列的各项和的定义：我们把1||<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示，记作)1|(|11<-==∞→q qa S lin S n n 2. 无穷递缩等比数列的定义：把1||<q 的无穷等比数列成为无穷递缩等比数列。
解释“无穷递减缩等比数列”：(1)数列}{n a 本身是等比数列； (2)当1||<q 时，数列|}{|n a 单调递减，故称“递缩”； (3)当∞→n 时，数列为无穷数列。
强调：(1)只有当无穷等比数列的公比q 满足1||0<<q 时，其前n 项和的极限才存在；（当1=q 时，1lim lim na S n n n ∞→∞→=，极限不存在；当1-=q 时，nn q ∞→lim 不存在；当1||>q 时，nn q ∞→lim 不存在）(2)无穷等比数列各项的“和”已经不同于初等数学中的有限项的“和”，它已经不是代数和，实质上是一个无穷数列}{n S 的极限！(3)应用：化循环小数为分数。
问题分析一、无穷等比数列各项和例1. 计算1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n分析：n n 21814121lim++++∞→ 是无穷等比数列前n 项和的极限，即等于n 21814121++++ +…，可以利用无穷等比数列各项和的公式qa S -=11来计算，同理，分母也可以作类似计算，由于分子、分母都有极限，因此可以利用极限运算法则。
解：1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n=]31)1(91311[lim )21814121(lim 11--∞→∞→-+++-++++n n n n n=34431)31(1121121==---例2. 无穷递缩等比数列}{n a 各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。
导数第五课时：数列极限的运算法则+无穷等比数列和
数列极限的运算法则一、复习引入：函数极限的运算法则：如果{ EMBED Equation.3 |,)(lim ,)(lim 0B x g A x f x x x x ==→→则＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿（B ）数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似： 如果那么推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。
例如，若，，有极限，则： 特别地，如果C 是常数，那么 例1.已知，求例2.求下列极限： （1）； （2）（3） （4）例4.求下列极限： （1） （2）1.数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点。
当无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。
2.有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）。
3.两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在。
小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。
练习与作业：1.已知，求下列极限 （1）； （2）无穷等比数列各项的和1、等比数列的前n 项和公式是_________________________________________________无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和当n 无限增大时的极限，叫做这ABCah 第4题个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列的公比的绝对值小于1，则其各项的和S 为1、求无穷等比数列 0.3， 0.03， 0.003，…各项的和.1、求下列无穷等比数列各项的和： （1） （2）（3） （4）3、如图，等边三角形ABC 的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和（2）把高n 等分，同样作出n －1个矩形，求这些矩形面积的和；（3）求证：当n 无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/2.求下列极限：（1）； （2）。
数列与数列的极限与等比数列的求和问题解答的证明
数列与数列的极限与等比数列的求和问题解答的证明数学中，数列是由一串有限或无限的数按照一定顺序排列而成的。
数列的极限是指当数列中的数值无限逼近某个固定值时，该固定值即为数列的极限。
而等比数列是指数列中的每一项与其前一项之比都相等的数列。
在本文中，我们将详细探讨数列与数列的极限以及等比数列的求和问题，并给出相关问题的证明。
一、数列的极限1. 有界数列的极限对于一个有界数列，它的上界与下界各有一个固定值。
假设数列的上界为M，下界为m。
当数列中的每一项都无限逼近M或m时，该数列的极限即为M或m。
证明过程如下：- 首先，根据上界与下界的定义，数列中的所有项必定小于等于M 且大于等于m。
- 其次，由于数列是按照一定顺序排列的，可以推断出随着数列中项的增加，每一项都会无限逼近M或m。
- 最后，可以根据数列定义及数学归纳法证明，当数列中的每一项都无限逼近M或m时，该数列的极限即为M或m。
2. 无穷大数列的极限无穷大数列是指当数列中的每一项都趋向于正无穷或负无穷时。
证明过程如下：- 首先，根据数列的定义，无穷大数列中的每一项都无限逼近正无穷或负无穷。
- 其次，可以利用数学归纳法证明，当数列中的每一项都趋向于正无穷或负无穷时，该数列的极限即为正无穷或负无穷。
二、等比数列的求和问题等比数列的求和问题是指对于一个等比数列，求其前n项的和。
设等比数列的首项为a，公比为r，前n项的和为Sn。
根据等比数列的性质，可得到以下公式：1. 当r=1时，等比数列退化为等差数列，其前n项和的计算公式为Sn = na。
2. 当r≠1时，等比数列的前n项和的计算公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。
以上公式可以通过数学归纳法证明，具体证明过程略。
三、综合例题考虑一个等差数列的极限与等比数列的求和问题的综合例题：已知数列{an}的通项公式为an = 2^n + 3^n，求该数列的前n项和Sn。
首先，我们可以观察到该数列是由两个不同的幂函数相加而成的。
无穷等比数列各项的和
无穷等比数列各项的和教学目标1. 明白得无穷等比数列各项的和的意义；2. 利用无穷等比数列各项的和解决有关问题，专门是无穷循环小数化分数的问题，对有理数有进一步清楚、完整的熟悉；3. 通过无穷等比数列各项的和概念的引入及其研究，初步形成研究数学问题的能力，对数学中显现的有关无穷的问题有一个初步的熟悉，并对解决无穷问题的方式有一个初步的了解.重点难点1. 无穷等比数列各项的和概念的引入和概念的准确表述；2. 如何转变学生在熟悉无穷问题上一些感性熟悉的错误，比如等式.0.90.9991==的成立是不是是准确的.教学进程一、引入课题今天咱们学习无穷等比数列各项的和.在小学，同窗们学习过度数化小数，咱们明白分数能够化成有限小数或无穷循环小数.例如： 3333.03.031==，可是咱们是如何明白得无穷循环小数，如何明白得 3333.03.0=的呢？我想大伙儿对此是不多加试探的，明白它确实是31.那么关于 9999.09.0=呢？你想到什么呢，它是什么意思，表示什么，等于多少，它是哪个数化成的，它是大于1，等于1，仍是小于1？今天咱们学习无穷等比数列各项的和，要从理论上全然解决这些问题.二、概念产生的进程咱们已经学过无穷等比数列，可是什么是各项的和呢？咱们先看一个具体的无穷等比数列.（1）求无穷等比数列}21{n ，即： ,21,,41,21n各项的和. 分析：求数列各项的和，顾名思义，确实是求数列全数项的和.无穷数列有无穷项，无穷项写也写不完，如何相加求和？很明显，这在传统算术意义上是无法相加求和的，是不存在和的.可是那个问题是数学进展进程中产生的一个新问题，是需要加以研究解决的.关于新问题，就要用新思维、新方式加以研究解决，与时俱进，有所创造.制造要有必然的基础，咱们先回忆一下与那个问题有关的咱们已知什么？咱们已知的是数列的前n 项的和n S ，下面咱们就探讨n S 与“各项和”的关系？求无穷数列各项的和，依照和的大体含义，是要把它们加起来，之前面开始加起来，它的基础是前n 项和n S ，关于数列}21{n ，nn S 211-=.咱们想像一直加下去能取得“和”，即“和”是存在的，是一个确信的数“S ”，那么前n 项和n S 与“S ”的关系为：当n 愈来愈大时，n S 就会接近、无穷制地接近那个和“S ”.依照前面学习过的极限的知识，那个和“S ”应该是前n 项和n S 的极限.通过上面的分析：咱们第一要明确什么是“无穷项的和”，即要给予“无穷项的和”的意义（概念）.有了意义，才能讨论如何计算，也确实是给出计算方式.用已知刻画未知.咱们已知的是前n 项和n S 和它的极限（若是极限存在）.未知的是无穷项的和.关于数列}21{n ，已知n n S 211-=，且1)211(lim lim =-=+∞→+∞→n n n n S .依照前面所熟悉到的前n 项和n S 的极限与咱们所探讨的“各项和”的关系，咱们有如下概念. 关于无穷等比数列}21{n ，咱们概念n n S +∞→lim 为它的各项的和，记为S ，即1lim ==+∞→n n S S .即：121814121=+++++ n . （2）上升到一样的无穷等比数列}{n a ，其中11-=n n q a a ，１）1=q ，1na S n =，n S 的极限不存在；２）1≠q n n n q qa q a q q a S ---=--=111)1(111， 当1≥q ，n S 的极限不存在； 当1<q 时：0lim =+∞→n n q ，因此：qa q q a q a S n n n n -=---=+∞→+∞→1)11(lim lim 111， 即前n 项和n S 的极限存在且等于qa -11. 概念：关于1<q 的无穷等比数列}{n a ，咱们概念n n S +∞→lim 为它的各项的和，记为S ，即qa S S n n -==+∞→1lim 1. 三、应用（1）无穷循环小数的问题 咱们明白分数化小数 3333.03.031==，逆过来呢？ +++==003.003.03.03333.03.0是表示首项为3.0，公比为1.0的无穷等比数列数列各项的和，即319.03.01.013.03333.03.0==-== .由此也能够看出咱们概念的合理性.关于 9999.09.0=， +++=009.009.09.09999.0是表示首项为9.0，公比为1.0的无穷等比数列数列各项的和， 即19.09.01.019.09999.09.0==-== . 19999.09.0== ，121814121=+++++ n. 这两个等式的成立是准确的呢，仍是近似的？即左侧是不是真的等于１，仍是近似等于１，仍是小于１？关于这两个等式，同窗们感觉上总以为等式左侧小于右边，总感觉差一点.本质上同窗们仍是用有限来明白得无穷，通过今天的学习，咱们要明确这两个等式的成立是准确的，因为这是依照无穷等比数列各项和的概念取得的.（2）例题例：正方形ABCD 的边长为1，连接那个正方形各边的中点取得一个小的正方形1111D C B A ；又连接那个小正方形各边的中点取得一个更小的正方形2222D C B A ；如此无穷继续下去，求所有这些正方形的面积的和.解：设第n 个正方形的面积为n a ，由条件：11=a由题设，可取得：11211211211222)()2()2(--------==+=n n n n n n n n n n B A B A C B B A B A ，CA 1 1 D 1进而：1211221)(21)(---===n n n n n n a B A B A a ， 因此，所有正方形的面积组成的数列}{n a 是首项为1，公比为21的无穷等比数列，故所有正方形的面积之和为：22111=-=S .四、总结1）本节课咱们学习了“无穷等比数列各项的和”，是同窗们第一次真正意义上碰着有关无穷的问题，也确实是无穷个数相加.请同窗们归去好好体会一下今天咱们是如何处置有关无穷的问题，好好试探一下咱们处置无穷问题的方式.2）作为“无穷等比数列各项的和”的应用，咱们解决了无穷循环小数的问题，也确实是无穷循环小数都能够化成份数，对有理数有了更清楚和完整的熟悉.教学设计说明1． 教材分析咱们利用的是上海市二期课改的教材.本教材的特点是：新颖、知识面广、图文并茂、引人入胜.本章节教材内容翔实、主次分明，给了教师专门大的进展空间.针对不同的学生有了更多不一样的适合学生的设计.无穷等比数列各项的和是数列与数列极限以后的内容，是数列学习中的一个重要的概念.求无穷等比数列各项和，是无穷级数求和的一个最简单的特例.对高中生来讲，是从初等数学到高等数学过渡的一个重要桥梁.2． 教学目标的设计 遵循二期课改的“以学生进展为本”的理念，依照本校（上海市示范性高中）学生的特点：个性活泼，思维活跃，学习数学的踊跃性高，初步具有对数学问题进行合作探讨的意识与能力，和学生的现有数学知识的预备：已把握了数列和数列极限的概念及性质等，我设计了适当的教学目标.通过本节课的学习，很重要的一个方式确实是要同窗们对无穷（或无穷）有一个初步的熟悉，对在数学上如何处置无穷的问题有一个初步的了解.通过本节课的学习，另外一个方式确实是通过新概念引入的进程，使同窗们慢慢学会从一个问题的提出，到一个问题解决的进程，学会如何准确的描述一个数学对象，从学习的进程中提高自己的数学思维能力.总之在学习的进程中使学生“学会学习、学会试探”，增强对数学概念的学习和明白得.3．教学进程的设计本节课是求无穷等比数列各项和，对高中生来讲，是未见过的新问题、新概念，需要帮忙试探、研究、明白得，使之能正确成立新概念，不仅能明白得把握，而且能启发思维，增进以后的学习，为可持续进展打下良好的基础.由于之前的求和都是求有限项的和，因此说到求和，无形当中就把有限项的求和的思想方式移植过去，阻碍正确明白得无穷项和的概念和它的必要性和合理性.为此，在教学进程的引入问题、分析问题、解决问题中强调了以下三点：1．在问题引入时期中，通过学生熟悉的一些例子，强调求无穷项和是数学进展进程中客观产生的一个新问题，必需加以研究解决.引导学生踊跃试探，参与解决问题.2．在分析问题时期中，强调在传统的算术求和概念里，求无穷项的和是无法解决的，是不可能求出和来的，是不存在和的.不破不立，不破旧概念，难立新概念.3．在解决问题时期中，用新思想、新方式研究新问题，从研究新问题的最大体的思想方式动身，用已知刻画未知，用有限刻画无穷来加以研究解决.由于在传统算术意义上求无穷项和是没成心义的，因此第一要给出概念（什么是、是什么），再寻觅求法（怎么求），在教学进程中，这两个问题是同时取得解决的.在整个教学进程中，遵循学生的思维进程，引导学生自己发觉问题、解决问题，并在此进程中形成质疑精神，主动参与问题的解决，在积存知识的同时，能力取得提高，思维品质取得提升.4．本节课的特点强调进程教学，启发思维，调动学生学习数学的踊跃性，让学生真正的参与其中，体验学习数学的乐趣.在学习无穷项的和的进程中，在教师的引导下、学生进行理性的试探，通过思辩，不仅使学生知其然，而且还知其因此然.。
无穷等比数列各项的和
练习3:已知{an}是公差不为0的等差数列，如果Sn nan 是{an}的前n项和，求 lim 的值。 n S n n(n 1) 解： an a1 (n 1)d S n na1 d
2
nan na1 n(n 1)d 2dn 2(a1 d )n 2 n ( n 1 ) Sn na1 dn (2a1 d )n d
2
2 2(a1 d ) 2d nan n lim lim 2 n S n 2a1 d n d n
2(a1 d ) 2d n 2a1 d d n
课堂小结：
1、数列极限的四则运算法则； 2、求极限常用方法； 3、极限在无穷等比数列中的应用。
. .
(3)0.214 0.2 0.014 0.2 0.014 0.000014 2 0.014 2 14 212 214 2 106 . 10 1 0.01 10 990 990 990 445
说明: 由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比 数列的各项之和,且有下列结论:
. .
. .
(1)纯循环小数化为分数:这个分数的分子就是一个循环 节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循 环节的位数相同.
. . 6 2 . . 12 4 370 10 如： 0.6 ;0.12 ;0.37 0 ; 9 3 99 33 999 27 .
(2)混循环小数化为分数:这个分数的分子是小数点后,第 二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分数字所 组成的数所得的差, 分母的头几个数字是9,末几个数字是0, 其中9的个数与一个循环节的位数相同,0的个数与不循环部 分的位数相同.
无穷等比数列的各项和
无穷等比数列各项的和-沪教版精品PPT教学课件
图3
解 (1 ) ： 每个图形 在中 后的 一一 个 条 条 图 线
N 1 3 ,N n 4 N n 1 (n 2 ) N n34n 1 .n ( N *)
2020/12/6
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例5： 设 图 中 的 等 边 三 的 角 边 形 长1， 为 并 分 别 将 图(1)(2)(3)中 的 图 形 依 次M记 1,M作2,M3, (1)求Mn中 的 边N数n;(2)求Mn中 每 条 边 的T长 n; 度 (3)求Mn的 周 长 Ln;(4)求Mn所 围 成 的 面 An;积 (5)求 周 长 和 面 积 的 . 极 限
把Mn-1的每条边三等分，并以中间的那一条线段，为边向外作 等边三角形，再擦去中间的那一条线段，得Mn(n=2,3,4, …)
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例5： 设 图 中 的 等 边 三 的 角 边 形 长1， 为 并 分 别 将 图(1)(2)(3)中 的 图 形 依 次M记 1,M作2,M3, (1)求Mn中 的 边N数n;(2)求Mn中 每 条 边 的T长 n; 度 (3)求Mn的 周 长 Ln;(4)求Mn所 围 成 的 面 An;积 (5)求 周 长 和 面 积 的 . 极 限
边长Tn T1 1
3
12
48 …
11 3 T1 3
11 3 T2 32
1 1…
3 T3 33
增加的 每个小 三角形 的面积
A1
A1
A1
9
92
93
…
曲线所围 A 1
面积
2020/12/3
A4
A2
12
A1 92
A3
48
A1 93
…
Nn
3 4n1 N n1
无穷等比数列各项和
一、引言无穷等比数列是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。
无穷等比数列各项和的研究，对于理解数列的性质、解决实际问题以及深入探索数学领域具有重要意义。
本文将介绍无穷等比数列各项和的概念、性质、计算方法以及应用，旨在为广大读者提供一份关于无穷等比数列各项和的全面概述。
二、无穷等比数列的定义及性质1. 定义无穷等比数列是指一个数列，其中任意一项与其前一项的比值是一个常数。
设无穷等比数列的首项为a1，公比为q，则该数列可表示为：a1, a1q, a1q^2, a1q^3, ...2. 性质（1）若公比q≠1，则无穷等比数列各项和S不存在。
（2）若公比q=1，则无穷等比数列各项和S=a1。
（3）若公比q≠1，且|q|<1，则无穷等比数列各项和S存在，且S=a1/(1-q)。
三、无穷等比数列各项和的计算方法1. 公比q=1时此时，无穷等比数列各项和S=a1。
2. 公比q≠1时此时，无穷等比数列各项和S=a1/(1-q)。
四、无穷等比数列各项和的应用1. 解决实际问题（1）计算无限级数的和在物理学、工程学等领域，许多实际问题都涉及到无限级数的和。
例如，计算电子在导体中的电阻、计算卫星在轨道上的能量等。
无穷等比数列各项和的计算方法为解决这类问题提供了有力工具。
（2）计算人口增长在生物学、经济学等领域，人口增长模型常常采用无穷等比数列。
利用无穷等比数列各项和的计算方法，可以预测未来人口数量。
2. 深入探索数学领域（1）研究数列的性质无穷等比数列各项和的研究有助于我们更好地理解数列的性质，如收敛性、极限等。
（2）探索数学问题无穷等比数列各项和的计算方法在解决一些数学问题中具有重要意义。
例如，在解析几何中，利用无穷等比数列各项和可以证明圆的面积公式。
五、总结无穷等比数列各项和是数学中一个重要的概念，它具有广泛的应用。
本文介绍了无穷等比数列的定义、性质、计算方法以及应用。
通过对无穷等比数列各项和的研究，我们可以更好地理解数列的性质，解决实际问题，并深入探索数学领域。
无穷等比数列的各项和
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于是，这些垂线长的和l是：
如图，从∠BAC的一条边上一点B作BC⊥AC， 从C作CD⊥AB，从D再作DE⊥AC，这样无限地进行 下去，假定BC＝7cm，CD＝6cm，求这些垂线长的和．
小结:
1.无穷等比数列各项的和
S a1 , q 1,q0 1q
2. S与Sn的关系
S
lim
n
Sn
3. 应用题的解法
如果 lim an=A，
n
lim bn=B
n
那么
(1) lim (an±bn)=A±B n
(２)lni
m
(an·bn)=A·B
(３)lni
m
an b n
=
A B
(B≠0)
特别注意：数列极限运算法则运用的前提: （１） 参与运算的各个数列均有极限;
(２)运用法则,只适用于有限个数列参与运算, 当无限个数列参与运算时不能首先套用.
(3 )S n 1 7 7 2 2 7 1 3 7 2 4 7 1 5 7 2 6 7 1 n3 ( 2 1 )n
s101 0 1
2
23
25
1
121
2 5
4
1
2
7 72 7 2 3 1712 1712 48 48 16
4）化无限循环的小数为分数
例 .化 0 .9 为 分 数 .
1 2n
111 39
31n1
5 3
lim
n
1
a
a
n
0
a1
2
3、若
a
1
A、
2
,则a的范围是( ) B、a<1
C、
D、a=1
数列的极限与等比数列的求和公式的应用
数列的极限与等比数列的求和公式的应用在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
数列的极限是数列理论中的一个重要概念，而等比数列的求和公式也是数列运算中常见的应用。
一、数列的极限数列的极限即数列中的数随着项数增加无限接近某个确定的值，称为数列的极限。
数列的极限可以有有限极限和无限极限两种情况。
1. 有限极限若数列{an}满足当n趋于无穷大时，数列的值an趋于有限值a，则称数列{an}趋于有限极限。
记作lim (n→∞) an = a。
2. 无限极限若数列{an}满足在数轴上不断向正无穷或负无穷延伸，则称数列{an}趋于无限极限。
记作lim (n→∞) an = ±∞。
数列的极限可以根据其数值规律来判断。
例如，在等差数列中，随着项数增加，公差不为零的等差数列的极限为无穷大或者无穷小，而公差为零的等差数列的极限为数列首项的值。
二、等比数列的求和公式的应用等比数列是数列中的一种常见形式，它的每一项与前一项之比等于一个常数q，称为公比。
1. 等比数列的求和公式等比数列的求和公式是一种用于计算等比数列所有项和的公式。
对于公比不等于1的等比数列{an}，其求和公式为Sn = a1/(1-q)，其中a1为首项，q为公比，Sn为数列的前n项和。
2. 应用举例假设有一个等比数列{2, 4, 8, 16, 32, ...}，公比q为2，我们可以利用等比数列的求和公式计算前n项的和。
当n为5时，即求前5项的和，代入公式得S5 = 2/(1-2) = -2。
当n为10时，即求前10项的和，代入公式得S10 = 2/(1-2^10) = 2046。
等比数列的求和公式在数学问题中经常被用到，例如在金融领域中，我们可以利用等比数列的求和公式来计算投资理财产品的收益情况，评估投资回报率等。
总结：数列的极限与等比数列的求和公式是数列理论中重要的概念和应用。
数列的极限可以帮助我们理解数列的性质和趋势，而等比数列的求和公式则广泛应用于数学、金融等领域，帮助我们计算数列的和以及解决实际问题。
无穷个等比数列求和公式
无穷个等比数列求和公式在数学中，等比数列是指一个数列中的每个项与它的前一项之比都相等的数列。
而无穷个等比数列是指这样的数列中的项数是无穷的。
对于无穷个等比数列，我们可以通过一个求和公式来计算其和。
无穷个等比数列的求和公式如下所示：S = a / (1 - r)其中，S表示数列的和，a表示首项，r表示公比。
这个公式可以帮助我们快速求解无穷个等比数列的和，而不需要逐个计算每一项。
为了更好地理解这个公式，我们来看一个具体的例子。
假设我们有一个无穷个等比数列，首项a为2，公比r为0.5。
根据公式，我们可以计算出该数列的和：S = 2 / (1 - 0.5) = 4这意味着，无穷个等比数列的和为4。
也就是说，如果我们将这个数列中的所有项相加，结果将会是4。
这个公式的推导过程涉及到一些数学知识，比如极限和无穷级数。
在这里，我们不深入探讨这些概念，而是简单介绍一下无穷个等比数列求和公式的应用。
这个公式在金融领域中有着广泛的应用。
例如，当我们考虑复利计算时，就可以将每一次的利率看作是一个等比数列，利用这个公式来计算未来的总金额。
同样地，在投资分析中，我们也可以将每年的收益率看作是一个等比数列，用这个公式来计算投资的总回报。
这个公式在计算机科学中也有重要的应用。
例如，在算法分析中，我们经常需要计算无穷级数的和，而这个公式可以帮助我们快速求解。
另外，在图像处理和信号处理中，我们也常常需要处理无穷个数据，这个公式可以帮助我们对这些数据进行求和。
除了以上两个领域，无穷个等比数列求和公式还有许多其他的应用。
例如，在物理学中，我们可以将无限小的时间间隔看作是一个等比数列，用这个公式计算物理量的总变化。
在概率论中，我们可以将无限个事件发生的概率看作是一个等比数列，用这个公式计算总概率。
无穷个等比数列求和公式是一个非常有用的数学工具。
它可以帮助我们快速计算无穷个等比数列的和，应用范围广泛。
无论是在金融、计算机科学、物理学还是概率论中，这个公式都有着重要的应用。
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第五讲 数列的极限与无穷等比数列各项的和
知识提要
1. 数列的极限 ：n 无限增大，n a 无限趋近一个常数.A
（1） 数列极限的运算法则（加法、乘法法则可推广到有限多个数列）.
如果n n a ∞
→lim =A ，n n b ∞
→lim =B 存在，那么 ①B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞
→∞
→∞
→lim lim )(lim ；
②B A b a b a n n n n n n n ⋅=⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim ； ③lim lim (0)lim n n n n n n
n a a A B b b B →∞
→∞→∞
==≠. （2）数列极限的几种类型：
①有理分式型：同除以某个非零因式； ②求和型：无限项，先求和再求极限；无穷数列各项的和.
③指数型0(1)
1(1)lim ;(1)(1)
n n q q q q q →∞
<⎧⎪
=⎪
=⎨=-⎪⎪>⎩不存在不存在 ④{}n n S S .lim n n S →∞⎧⎪⎨⎪⎩表示数列的极限，可先求，再求极限；无穷运动的归宿，直接考虑极限位置；无穷数列各项的和
2．无穷等比数列各项的和：若1q <且0q ≠，则1
lim 1n n a S S q
→∞
==
-存在. （1）1
1,0;1q q a S q <≠⎧⎪⎨=⎪-⎩
注意区别： (a)11lim ≤<-⇔∞→q q n n 存在; (b)1||0lim <⇔=∞
→q q n
n ; (c)无穷等比数列各项和存在1,0q q ⇔<≠
（2）无穷等比数列建模：①求出首项1a ；②找到1n n a a +与的关系式；③利用q
a S -=
11
求出答案. 典型例题
【例1】求极限：（1）(51)(1)
lim 3(21)n n n n n →∞--=+ ； （2）()()21
1223lim 23n n n n n ++→∞--=-+ ； （3）()2111lim 2n n n n a a a ++
+-→∞-∈=+R ；
（4）若234lim()62
n n an b n →∞+-+=+，则a b += .
【例2】已知无穷等比数列{}n a ，且()12lim n n a a a a →∞
++
+=，求首项1a 的取值范围.
【例3】在半径为R 的圆内作内接正三角形，在这三角形内作内切圆，在第二个圆内又作内接正三角形，如此无限作下去，则所有这些圆的面积之和是 ( )
(A) 234R π (B) 23
5
R π (C) 22R π (D) 都不是
【例4】已知数列{}n a ()0n a >是一个首项为a ，公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和，求lim
.n n n
a a
S →∞+
巩固练习
1、数列 ,11
)1(,,41,31,211+--+n n 的极限为 . 2、=-+++∞→)1
21(lim 222n
n n n n .
3、计算：()11
1
1111112482lim 111
1393
n n n n --→∞--+-++-=++++ .
4、=+-++⨯+⨯+⨯∞
→))
13)(23(1
1071741411(
lim n n n . 5、等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项为n S 、n T ，若
2453++=n n T S n n ，则
=∞→n
n
n b a lim . 6、若b an n n n =-+∞→)4
5(
lim 2
，则常数b a ,构成点),(b a 的坐标为 . 7、求和.
.
.
0.90.090.009+++
= .
8、已知数列{}n a 与{}n b 都是等差数列，且lim 2,n n n a b →∞=则∞→n lim 12212n
n
a a a
b b b ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+的值为 .
9、若()
21
lim 21n n x +→∞
+存在,则实数x 的取值范围是 .
10、下列命题中假命题的个数为（ ）
①若)0(lim 2
2
>=∞
→A A a n n ，则A a n n =∞→lim 或A a n n -=∞
→lim
②若n n b a >且q b p a n n n n ==∞
→∞
→lim ,lim ，则q p >
③若0)(lim =-∞
→n n n b a ，则n n n n b a ∞
→∞
→=lim lim
④若数列{}{}n n b a ,均无极限，则数列{}n n b a ⋅和{}n n b a +也一定无极限 ⑤首项为1，公比为2的无穷等比数列各项和1
112
S =
=-- （A ） 1 （B ） 5 （C ） 2 （D ） 4
11、若0log log <<ππb a ，则lim n n
n n
n a b a b →∞-+的值为 .
12、已知数列{}n a 是一个以q 为公比的等比数列，则0lim =∞
→n n a 是1
lim 1n n a S q
→∞
=
-成立的（ ） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件 13、一个无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S ，则（ ）
（A ） 10<<S （B ） 2<S （C ） 20<<S （D ） 21<<S 14、已知点)0,2
4(),2,0(),2,0(n
C n B n A +
-，其中n 为正整数，设n S 表示ABC ∆外接圆的面积，则=∞
→n n S lim .
15、已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，⎪⎩
⎪
⎨⎧≥⋅-≤≤=-)2010(.)31(2)20091(12009
n n a n n ，
，设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．下列说法正确的有 . ①lim 1n n a →∞
=②lim 0n n a →∞
= ③⎩
⎨
⎧≥-≤≤=+∞
→)2010(.1)20091(2009lim n n S n n ，
（*N n ∈）④2008lim =+∞→n n S ⑤1lim -=+∞→n n S
16、若()2
3lim 51,,73n n n
n n a pb c
a b c p R a b c →∞++=-<<∈-+，则p = . 17、已知数列23
11111
sin0,
sin ,sin ,,
sin ,332332
n n πππ-，则该数列所有项之和为 .
18、已知13n n b kb +=+，若lim 5n n b →∞
=，则k = . 19、设正数等比数列{}24,4,16,n a a a == ∞
→n lim (
2
221lg ...lg lg n a a a n
n n +++++)
20、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，公比为()0x x >，求lim n
n n
a S →∞.
21、已知数列{}n a 中, 0n a >，前n 项的和为n S ，且满足()2
28n n a S =+. （1）求证: 数列{}n a 是等差数列 （2）若数列{}n b 满足()()24
11,n a n b t t +->=n T 为数列{}n b 的前n 项和, 求lim n n T →∞
22、已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．找出所有数列{}n a 和{}n b ，使对一切*n N ∈，1
n n n
a b a +=，并说明理由.。