高二数学无穷等比数列各项的和

无穷等比数列所有奇数项之和
无穷等比数列求和公式：Sn=[a1（1-q^n）]/（1-q）
（q≠1），或Sn=（a1-an×q）/（1-q）（q≠1）。

1、把|q|<1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n 项和的极限才存在。

当等比数列的项数n=+∞(无穷大)时，就是无穷等比数列。

其通项公式为：an=a1×q^(n-1)。

2、当|q|≥1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存在的。

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。

3、S是前n项和Sn当n→∞的极限，即S=S=a/(1-q)。

一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。

在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

7.7 无穷等比数列各项的和课表解读1.理解无穷等比数列各项的和的含义，掌握无穷等比数列各项的和的公式，会求无穷等比数列各项的和。

2.会利用求无穷等比数列各项的和的方法把循环小数化为分数。

3. 会用无穷等比数列各项和解决相关问题。

目标分解1. 无穷等比数列的各项和的定义：我们把1||<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号S 表示，记作)1|(|11<-==∞→q qa S lin S n n 2. 无穷递缩等比数列的定义：把1||<q 的无穷等比数列成为无穷递缩等比数列。

解释“无穷递减缩等比数列”：(1)数列}{n a 本身是等比数列； (2)当1||<q 时，数列|}{|n a 单调递减，故称“递缩”； (3)当∞→n 时，数列为无穷数列。

强调：(1)只有当无穷等比数列的公比q 满足1||0<<q 时，其前n 项和的极限才存在；（当1=q 时，1lim lim na S n n n ∞→∞→=，极限不存在；当1-=q 时，nn q ∞→lim 不存在；当1||>q 时，nn q ∞→lim 不存在）(2)无穷等比数列各项的“和”已经不同于初等数学中的有限项的“和”，它已经不是代数和，实质上是一个无穷数列}{n S 的极限！(3)应用：化循环小数为分数。

问题分析一、无穷等比数列各项和例1. 计算1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n分析：n n 21814121lim++++∞→ 是无穷等比数列前n 项和的极限，即等于n 21814121++++ +…，可以利用无穷等比数列各项和的公式qa S -=11来计算，同理，分母也可以作类似计算，由于分子、分母都有极限，因此可以利用极限运算法则。

解：1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n=]31)1(91311[lim )21814121(lim 11--∞→∞→-+++-++++n n n n n=34431)31(1121121==---例2. 无穷递缩等比数列}{n a 各项和是4，各项的平方和是6，求各项的立方和。

高考数学《无穷等比数列各项的和》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知无穷等比数列{}n a 的首项为1，公比为13，则{}n a 各项的和为（ ）A ．23B ．34 C ．43D ．322．设无穷等比数列所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为3-，1a 为其首项，则1a =（ ） A ．685B ．785C ．725D ．8453．无穷数列4 ，2-，1，12-，14，的各项和为（ ）A ．83B ．53C ．43D ．734．已知数列{}n a 是等比数列,()121lim 4n n a a a →∞++⋯+=，则1a 的取值范围是（ ）A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1110442⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，5．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=（ ） A ．13B ．23C ．1D ．436．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和()*13n n S a n N =+∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和是（ ） A ．13B ．13-C ．1D ．-17．若数列{}n b 的每一项都是数列{}n a 中的项，则称{}n b 是{}n a 的子数列.已知两个无穷数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，其中321n a n =+，{}n b 是各项和为12的等比数列，且{}n b 是{}n a 的子数列，则满足条件的数列{}n b 的个数为 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个8．设无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，若数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，则数列{}n b 的各项和为（ ） A ．3SB ．2SC ．SD ．3S9．已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得()*3n S S n N <∈恒成立的是（ ）A ．10a >，0.80.9q <<B ．10a <，0.90.8q -<<-C ．10a >，0.70.8q <<D ．10a <，0.80.7q -<<-10．无穷数列12，13，14，16，⋅⋅⋅，12n ，1132n -⋅，⋅⋅⋅的各项和为（ ） A ．83B ．53C ．43D ．7311．已知121,20151,20152n n n n a n --<⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（ ）A ．lim n n a →∞和lim n n S →∞都存在B ．lim n n a →∞和lim n n S →∞都不存在C ．lim n n a →∞存在，lim n n S →∞不存在 D ．lim n n a →∞不存在，lim n n S →∞存在 12．已知两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点 P 1是线段 OQ 的中点，点 P 2是线段 QP 1的中点， P 3 是线段 P 1P 2的中点，……，Pn + 2是线段 Pn Pn +1的中点，则点 Pn 的极限位置应是（ ） A ．(,)22a bB ．(,)33a bC ．22(,)33a b D ．33(,)44a b二、填空题13．首项为1，公比为12-的无穷等比数列{}n a 的各项和为______．14．若{}n a 是无穷等比数列，且12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，则1a 的取值范围为___________. 15．已知数列{}n a 是公比为q 无穷等比数列，若12i i a q +∞==∑，则1a 的取值范围是____．16．无穷等比数列{}()*,n n a n a ∈∈N R 的前n 项和为n S ，且lim 2n n S →+∞=，则首项1a 的取值范围是_______．三、解答题17．一个无穷等比数列前n 项和的极限存在，记作S ，首项为12a =，公比0q <，求S 的取值范围．18．一个无穷等比数列的公比q 满足1q <，它的各项和等于6，这个数列的各项平方和等于18，求这个数列的首项1a 与公比q ．19．已知数列{}n a 的首项1(0)a b b =≠，它的前n 项之和n S 组成的数列{}()*n S n N ∈是一个公比为(||1)q q <的等比数列.（1）求证：234,,a a a ，…是一个等比数列； （2）设1122n n n W a S a S a S =+++，求lim n n W →∞，（用,b q 表示）20．已知6614=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑i i i x a x .(1)等比数列{}n b 的首项11b a =，公比4=q a ，求1∞=∑i i b 的值；(2)等差数列{}n c 首项15=c a ，公差6=d a ，求{}n c 通项公式和它的前2022项和2022S .21．数列{}n a 中，11a =，22a =，数列{}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列. （1）求使11223()n n n n n n a a a a a a n N ++++++>∈成立的q 的取值范围； （2）若212()n n n b a a n N -=+∈，求n b 的表达式； （3）若12n n S b b b =+++，求1lim→∞n nS .22．设a b ∈R 、，已知函数2()3bf x ax x=++满足(1)(1)10f f +-=. （1）求a 的值，并讨论函数()f x 的奇偶性（只需写出结论）；（2）若函数()f x 在区间,⎛-∞ ⎝上单调递减，求b 的最小值； （3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：函数()f x 有且仅有一个零点q ，且存在递增的正整数列{}n a ，使得31223n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立.23．正三棱锥012P A A A -中，01A PA α∠=，侧棱0PA 长为2，点0B 是棱PA 的中点，定义集合{}12,,B B ⋅⋅⋅如下：点n B 是棱n PA 上异于P 的一点，使得11n n n B B PB --=(1n ≥)，我们约定：若n除以3的余数r ，则r n A A =(例如：30A A =､20152A A =等等) （1）若3πα=，求三棱锥012P B B B -的体积；（2）若{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个只有两个元素的有限集，求α的范围； （3）若{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个无限集，求各线段0PB ，1PB ，2PB ，…的长度之和(用α表示).(提示：无穷等比数列各项和公式为11a S q =-(01q <<)参考答案1．D2．C3．A4．D5．A6．D7．C8．C9．D10．B11．A12．C 13．2314．(0,2)(2,4) 15．1(4,0)(0,)2-16．()()0,22,4;17．解：因为无穷等比数列前n 项和的极限存在， 所以()11lim1nn a q q∞→--1211a q q==--，且1q <， 又0q <，所以10q -<<， 又21S q=-在()1,0-上单调递增， 所以()1,2S ∈18．由题意可知：这个数列的各项平方后，依然构成一个等比数列，且公比为2,q 首项为21a ，故112126114,3181a q a q a q⎧=⎪-⎪⇒==⎨⎪=⎪-⎩， 19．（1）由题知11S a b ==，所以1n n S bq -=，当2n ≥时，()12211n n n n n n a S S bq bq bq q ----=-=-=-， 所以()()()112121n n n n bq q a q n a bq q -+--==≥-， 所以234,,a a a ，…是一个等比数列；（2）由（1）知，()2,11,2n n b n a bq q n -=⎧=⎨-≥⎩，所以()2223,11,2n n n b n a S b q q n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()22323lim lim 1n n n n W b b q q q q -→∞→∞=+-+++⎡⎤⎣⎦… ()()23232lim lim 1n n n b q q q b q -→∞→∞=+-+++…()2222111q b b b q q q=+-⋅=-+.20．（1）解：614x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()6161C 6,N 4kk kk T x k k -*+⎛⎫=⋅⋅≤∈ ⎪⎝⎭，则661C 4kk k a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，所以，1151364512b a ==⨯=，2446115C 416q a ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，则01q <<， 所以，()111313512lim151132116ni n i b q b b qq ∞→∞=-====---∑.（2）解：1513642c a ==⨯=，61d a ==，则()1112n c c n d n =+-=+， 所以，202212022202132022202210112021204626422d S c ⨯⨯=+=⨯+⨯=.21．（1）{}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列，且12122a a ⋅=⋅=112n n n a a q -+∴⋅=由11223(n n n n n n a a a a a a n +++++⋅+⋅>⋅∈N )，有11222(0)n n n q q q q -++>> 210q q ∴--<解得0q <<（2）121n n n n a a q a a +++=，2n n a q a +∴=，2121,222n n n n a qa a qa +-+∴==212n n n b a a -=+，1123b a a ∴=+=，又12122212212212n n n n nn n n n nb a a qa qa q b a a a a +++---++===++ {}n b ∴是首项为13b =，公比为q 的等比数列，13n n b q -∴=（3）当1q =时，3n S n =，11lim lim 03n n n S n→∞→∞==； 当1q >时，3(1)1n n q S q -=-，11111lim lim lim 03(1)131n n n n n n nn q q q S q q -→∞→∞→∞--===-⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当01q <<时，1111lim3lim 31n n n n qS S q→∞→∞-===-即1lim →∞n n S 13q -=. 综上，0,11lim 1,013n n q q S q →∞≥⎧⎪=-⎨<<⎪⎩. 22．（1）(1)(1)10(3)(3)102f f a b a b a +-=⇒+++-+=⇒=2()23bf x x x=++的定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞ 当20,()()23,()b f x f x x f x =-==+为偶函数； 当0,(1)(1)100,(1)(1),(1)(1)b f f f f f f ≠-+=≠-≠-≠- ∴()f x 既不是偶函数也不是奇函数；（2）由（1）得：2()25bf x x x=++则2()4bf x x x '=-， 若()f x在区间(,-∞上单调递减， 则2()40bf x x x'=-在区间(,-∞上恒成立， 即34b x在区间(,-∞上恒成立，当x =342x =-， 故b 的最小值为2-；（3）22()23,0,()0f x x x f x x -=++<>恒成立， 所以函数22()23f x x x -=++在(,0)-∞上无零点， 当0x >时，22()40f x x x '=+>，所以函数22()23f x x x-=++在(0,)+∞上单调递增， 2112(1)2230,2301444f f -⎛⎫⎛⎫=-+>=⨯++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数()f x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点q ，23322()230223013q f q q q q q q -=++=⇒-+=⇒=-47323213n q q q q q q -==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- 所以存在递增的正整数列{},32n n a a n =-，使得31223n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立. 23．点n B 是正三棱锥012P A A A -棱n PA 上异于P 的一点，且11n n n B B PB --=(1n ≥)1n n PB B -∴是等腰三角形，且1n n B B -、1n PB -为两腰 又正三棱锥012P A A A -中，01A PA α∠=， 01121n n A PA B PB B PB α-∴∠=∠==∠=，()1112cos 2cos 1n n n n n PB PB B PB PB n α---=⋅∠=⋅≥，则数列{}()n PB n N ∈是一个以01PB =为首项，2cos α为公比的等比数列，（1）当3πα=时，2101PB PB PB ===，且011220B PB B PB B PB ∠=∠=∠，则三棱锥012P B B B -为正四面体，其高h ==，底面积01221B B B S ==，故其体积01213P B B B V -==（2）{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个只有两个元素的有限集，2230,B PA B PA ∴∈∉，即223022PB PA PB PA ≤=⎧⎨>=⎩由()12cos 1n n PB PB n α-=⋅≥，得()2222cos 4cos PB αα==，()3332cos 8cos PB αα==，∴由234cos 28cos 2αα⎧≤⎨>⎩解得213211()cos ()22α<≤ 213211arccos(),arccos()22α⎫⎡∴∈⎪⎢⎣⎭；（3）{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个无限集，且()12cos 1n n PB PB n α-=⋅≥，则数列{}()n PB n N ∈是一个以01PB =为首项，2cos α为公比的无穷等比数列，01112cos n PB +PB +PB α∴++=-.。

无穷等比数列各项的和教学目的：掌握无穷等比数列各项的和公式；教学重点：无穷等比数列各项的和公式的应用教学过程：一、复习引入1、等比数列的前n 项和公式是_________________________________________________2、设AB 是长为1的一条线段，等分AB 得到分点A 1，再等分线段A 1B 得到分点A 2，如此无限继续下去，线段AA 1，A 1A 2，…，A n －1A n ，…的长度构成数列,21,,81,41,21n ① 可以看到，随着分点的增多，点A n 越来越接近点B ，由此可以猜想，当n 无穷大时，AA 1+A 1A 2+…+ A n －1A n 的极限是________.下面来验证猜想的正确性，并加以推广二、新课讲授1、无穷等比数列各项的和：公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和. 设无穷等比数列 ,,,,,112111-n q a q a q a a 的公比q 的绝对值小于1，则其各项的和S 为qa S -=11 )1(<q 例1、求无穷等比数列0.3， 0.03， 0.003，…各项的和.例2、将无限循环小数。

92.0化为分数.三、课堂小结：1、无穷等比数列各项的和公式；2、化循环小数为分数的方法四、练习与作业1、求下列无穷等比数列各项的和：（1）； ,83,21,32,98-- （2） ，，，，754154311326A B Cah 第4题（3） ，，，131311313+--+ （4）)1(,,,,132<--x x x x ，2、化循环小数为分数：（1）。

72.0 （2）。

603.0（3）。

832.1 （4）。

3204.0-3、如图，等边三角形ABC 的面积等于1，连结这个三角形各边的中点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.4、如图，三角形的一条底边是a ,这条边上的高是h（1）过高的5等分点分别作底边的平行线，并作出相应的4个矩形，求这些矩形面积的和（2）把高n 等分，同样作出n －1个矩形，求这些矩形面积的和；（3）求证：当n 无限增大时，这些矩形面积的和的极限等于三角形的面积ah/2。