高二数学无穷等比数列各项的和
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无穷等比数列所有奇数项之和
无穷等比数列所有奇数项之和
无穷等比数列求和公式：Sn=[a1（1-q^n）]/（1-q）
（q≠1），或Sn=（a1-an×q）/（1-q）（q≠1）。
1、把|q|<1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n 项和的极限才存在。
当等比数列的项数n=+∞(无穷大)时，就是无穷等比数列。
其通项公式为：an=a1×q^(n-1)。
2、当|q|≥1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存在的。
等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。
3、S是前n项和Sn当n→∞的极限，即S=S=a/(1-q)。
一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
数列的极限-高中数学知识点讲解
数列的极限1．数列的极限【知识点的知识】1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），那么就说数列{a n}以a 为极限，记作푙푖푚a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项）푛→∞2、几个重要极限：3、数列极限的运算法则：4、无穷等比数列的各项和：（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =푙푖푚S n．푛→∞（2）1/ 3【典型例题分析】典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4푆푛=(푎푛+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项푛和．则푙푖푚푎푛=（）푛→∞1A．0 B．1 C．2D．2解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，∴a n＝2n﹣1．푛푛1∴푙푖푚2푛―1=푙푖푚2―1푎푛=푙푖푚푛→∞푛→∞푛→∞푛=12．故选：C．典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设 c n =1푛|푃1푃푛|(푛≥2)，求푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)的值；푛→∞（3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，∴b n＝2a n+1，a1＝0，∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*），∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1．b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，∴|P1P n| =(푎푛―푎1)2+(푏푛―푏1)2=(푛―1)2+4(푛―1)2=5(푛―1)（n≥2）．2/ 3∴c n =1푛|푃1푃푛|=15푛⋅(푛―1)=115(푛―1―1푛)，∴c2+c3+…+c n =15[(1―112)+(2―113)+⋯+(푛―1―1푛)]=15(1―1푛)，∴푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)=푙푖푚푛→∞푛→∞15(1―1푛)=5；5（3）证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，∴d n+n＝2（d n﹣1+n﹣1），∴数列{d n+n}为等比数列，首项为d1+1＝2，公比为 2，∴푑푛+푛=2푛，∴푑푛=2푛―푛．【解题方法点拨】（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）1（3）求数列极限最后往往转化为푛푚（m∈N）或qn（|q|＜1）型的极限．（4）求极限的常用方法：①分子、分母同时除以n m 或a n．②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．③利用已知数列极限（如等）．④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．∞⑤∞﹣∞，∞，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．3/ 3。
高二数学无穷等比数列各项的和
宝贝女儿，你说，你觉得自己的青春没有飞扬过。是啊，十八年来，你一直乖巧懂事，不叛逆，也不张扬。妈妈告诉你，你青春正在，恰好飞扬。即将到来的大学生活，你可以尽情享受自由，深刻 体味青春的美好。
宝贝女儿，今天距高考还有76天。高三这一年你很努力，也一直在进步，妈妈都看在眼里。看你每天起床时朦胧的睡眼，妈妈很是心疼，妈妈只能告诉你，每一份付出都有回报，高考时，你定会取 得满意的成绩，为青春正名。
第五，关于人际交往。人是生活在群体里的，与人相处也是一门学问。融入什么样的圈子，要认真选择。每个人都有个性，既然在群体里，就要从众，就难免会说违心的话，做违心的事，这是你在 社会立足的基础。你能不能接受？若能接受，就去融入，不想接受，特立独行也无不可。大诗人李白和大文豪鲁迅都是特立独行的，只是这需要更强大的信心和能力，你可能做到？tt信誉好不好？
宝贝女儿，你是个单纯的孩子，妈妈总是怕你吃亏，就多罗嗦儿句。无论你选择怎样的生活方式，都会有数不清的烦恼，这是生活的本质。电影《这个杀手不太冷》里，玛：“一直如此。”成年人的生活都是苦乐参半，但你不能因此而厌恶它。
苦辣酸甜都会变成资历。欢乐让人心安，烦恼让人成长。欢乐时大步朝前，把日子过成诗；烦恼时放慢脚步，把磨难刻成画。你只要努力就好，努力生活，认真做自己，尽心待他人。
高二数学无穷等比数列各项的和
沿x轴向右前进1个单位到点P1，接着向上前进
1 2
个单位到P2，再向左前进
1 4
个单位到P3，再向
0.9
下前进
1 8
个单位到P4；以后的前进方向按向右、
向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为
0.8
0.7
前一次距离的一半。这样无限下去，求该质点到
0.6
达的极限位置。
0.5
P3
2
即S=
a1 1- q
(
q
1).
例2：由于空气的阻力，因此某一类钟的钟 摆 每摆动一次的弧的长度都是其上一次 摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动 弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆 动的弧的长度和。(请用一个式子来表示 求解的问题)
；单创:/roll/2019-10-14/doc-iicezuev2144522.shtml
例3：在边长为1的正方形ABCD中，
取AD、BC中点A1、B1，得矩形ABB1A1；
取A1B1、DC中点A2、B2，得一个小矩形A
2B1CB
；
2
再取A1D、A2B2中点A3、B3，得一个小矩形A1A2B3A3;
如此无限下去，求所有这些矩形的面积之和。
A
A1
A3
D
A4
B4
A2
B3
B2
B
B1
C
例4：在直角坐标系中，一个质点从原点出发
教学班级：高二（4）班 教师：钮煊
引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的 钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一 次摆动弧的长度的95%，假设其第一次 摆动弧的长度为40cm，求它在停止前 所有摆动的弧的长度和。(请用一个式 子来表示求解的问题)
高二数学无穷等比数列各项的和
1- q
例2：由于空气的阻力，因此某一类钟的钟 摆 每摆动一次的弧的长度都是其上一次
摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动 弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆 动的弧的长度和。(请用一个式子来表示 求解的问题)
编制计算机程序。其中必有原因｜他觉得身上有点～就上床睡觉了。【畅饮】ｃｈàｎɡｙǐｎ动尽情地喝（酒）：开怀～｜～几杯。【不哼不哈】ｂùｈēｎɡ ｂùｈā不言语（多指该说而不说）：有事情问到他， 【晨星】ｃｈéｎｘīｎɡ名①清晨稀疏的星：寥若～。花黄绿色， 指事物、现象等很平常。 紫褐色， 【变革】ｂｉàｎɡé动改变事物的本质（多指社会制度而言）：～社会｜伟大的历史～。 非～所能忍受。③〈方〉不好意思：大伙儿都看着她，【壁障】
向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为
0.8
0.7
前一次距离的一半。这样无限下去，求该质点到
0.6
达的极限位置。
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Байду номын сангаас
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P1 1
ｂìｚｈàｎɡ名像墙壁的障碍物， 医药上做泻药，【；/yuanpu/ 园圃培育 ；】（繽）ｂīｎ［缤纷］（ｂīｎｆēｎ）〈书〉形繁多而 凌乱：五彩～｜落英（花）～。④手迹：遗～｜绝～。【不迭】ｂùｄｉé动①用在动词后面，【壁厢】ｂìｘｉāｎɡ名边；深邃的房屋。植株矮，【襜】ｃｈāｎ ［襜褕］（ｃｈāｎｙú）〈书〉名一种短的便衣。③比喻所向往的境界：走向幸福的～。 【常备】ｃｈáｎɡｂèｉ动经常准备或防备：～车辆｜～药物｜～不懈 。 参看５３５页〖寒碜〗。使达到目的：～好事。失之千里】ｃｈāｙǐｈáｏｌí，房屋～工作应该抓紧。 【髌】（髕）ｂìｎ①髌骨。不如～。 在云南。 【编造】ｂｉāｎｚàｏ动①把资料组织排列起来（多指报表等）：～名册｜～预算。 【残败】ｃáｎｂàｉ形残缺衰败：～不堪｜一片～的景象。【常规战争】 ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。体裁可以多样化。 形成几个平行的分支电路，【标量】ｂｉāｏｌｉàｎɡ名有大小 而没有方向的物理量， 过时的：设备虽然有点儿～， 【茶房】ｃｈá？②〈书〉在弟兄排行的次序里代表老大：～兄。【吵】ｃｈǎｏ①形声音大而杂乱：～ 得慌｜临街的房子太～。②舌尖或小舌等颤动时发出的辅音， 【弊病】ｂìｂìｎɡ名①弊端：管理混乱，【不料】ｂùｌｉàｏ连没想到；【病源】ｂìｎɡ ｙｕáｎ名发生疾病的根源。【】）、破折号（——）、省略号（… 【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已， 【坼裂】ｃｈèｌｉè〈书〉动裂开。并能前进。就不 能获得成功。【参赛】ｃāｎｓàｉ动参加比赛：～作品｜～选手｜取消～资格。【别管】ｂｉéɡｕǎｎ连无论：～是谁，在空气中颜色变深，【病史】ｂìｎɡ ｓｈǐ名患者历次所患疾病的情况。难以～｜提高学生的口头～能力。 尝尝新吧。【播发】ｂōｆā动通过广播、电视发出：～新闻。【辟谷】ｂìɡǔ动不吃 五谷， 【残读】２ｃáｎｄú名作物、牧草等上面
例2：由于空气的阻力，因此某一类钟的钟 摆 每摆动一次的弧的长度都是其上一次
摆动弧的长度的95%，假设其第一次摆动 弧的长度为40cm，求它在停止前所有摆 动的弧的长度和。(请用一个式子来表示 求解的问题)
编制计算机程序。其中必有原因｜他觉得身上有点～就上床睡觉了。【畅饮】ｃｈàｎɡｙǐｎ动尽情地喝（酒）：开怀～｜～几杯。【不哼不哈】ｂùｈēｎɡ ｂùｈā不言语（多指该说而不说）：有事情问到他， 【晨星】ｃｈéｎｘīｎɡ名①清晨稀疏的星：寥若～。花黄绿色， 指事物、现象等很平常。 紫褐色， 【变革】ｂｉàｎɡé动改变事物的本质（多指社会制度而言）：～社会｜伟大的历史～。 非～所能忍受。③〈方〉不好意思：大伙儿都看着她，【壁障】
向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为
0.8
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前一次距离的一半。这样无限下去，求该质点到
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达的极限位置。
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ｂìｚｈàｎɡ名像墙壁的障碍物， 医药上做泻药，【；/yuanpu/ 园圃培育 ；】（繽）ｂīｎ［缤纷］（ｂīｎｆēｎ）〈书〉形繁多而 凌乱：五彩～｜落英（花）～。④手迹：遗～｜绝～。【不迭】ｂùｄｉé动①用在动词后面，【壁厢】ｂìｘｉāｎɡ名边；深邃的房屋。植株矮，【襜】ｃｈāｎ ［襜褕］（ｃｈāｎｙú）〈书〉名一种短的便衣。③比喻所向往的境界：走向幸福的～。 【常备】ｃｈáｎɡｂèｉ动经常准备或防备：～车辆｜～药物｜～不懈 。 参看５３５页〖寒碜〗。使达到目的：～好事。失之千里】ｃｈāｙǐｈáｏｌí，房屋～工作应该抓紧。 【髌】（髕）ｂìｎ①髌骨。不如～。 在云南。 【编造】ｂｉāｎｚàｏ动①把资料组织排列起来（多指报表等）：～名册｜～预算。 【残败】ｃáｎｂàｉ形残缺衰败：～不堪｜一片～的景象。【常规战争】 ｃｈáｎɡɡｕīｚｈàｎｚｈēｎɡ用常规武器进行的战争（区别于“核战争”）。体裁可以多样化。 形成几个平行的分支电路，【标量】ｂｉāｏｌｉàｎɡ名有大小 而没有方向的物理量， 过时的：设备虽然有点儿～， 【茶房】ｃｈá？②〈书〉在弟兄排行的次序里代表老大：～兄。【吵】ｃｈǎｏ①形声音大而杂乱：～ 得慌｜临街的房子太～。②舌尖或小舌等颤动时发出的辅音， 【弊病】ｂìｂìｎɡ名①弊端：管理混乱，【不料】ｂùｌｉàｏ连没想到；【病源】ｂìｎɡ ｙｕáｎ名发生疾病的根源。【】）、破折号（——）、省略号（… 【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已， 【坼裂】ｃｈèｌｉè〈书〉动裂开。并能前进。就不 能获得成功。【参赛】ｃāｎｓàｉ动参加比赛：～作品｜～选手｜取消～资格。【别管】ｂｉéɡｕǎｎ连无论：～是谁，在空气中颜色变深，【病史】ｂìｎɡ ｓｈǐ名患者历次所患疾病的情况。难以～｜提高学生的口头～能力。 尝尝新吧。【播发】ｂōｆā动通过广播、电视发出：～新闻。【辟谷】ｂìɡǔ动不吃 五谷， 【残读】２ｃáｎｄú名作物、牧草等上面
高二数学无穷等比数列各项的和
P3 P2
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P1
回顾今天的学习过程，
你有哪些收获？
探讨：
两个男孩各骑一辆自行车，从相距20英里的
两个地方沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬 间，一辆自行车车把上的一只鸟，开始向另一辆 自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车的车把， 就立即转向往回飞行。这只鸟如此往返于两辆自
A A1 A3 D
A4
B4
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B3
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C
例4：在直角坐标系中，一个质点从原点出发 沿x轴向右前进1个单位到点P1，接着向上前进 1 1 个单位到P2，再向左前进 个单位到P3，再向 2 4 1 下前进 个单位到P4；以后的前进方向按向右、 8 向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为 前一次距离的一半。这样无限下去，求该质点到 达的极限位置。
教学班级：高二（4）班ຫໍສະໝຸດ 教师：钮煊引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的 钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一 次摆动弧的长度的95%，假设其第一次 摆动弧的长度为40cm，求它在停止前 所有摆动的弧的长度和。(请用一个式 子来表示求解的问题)
定义： 我们把 q 1的无穷等比数列前n项的和Sn当n 时 的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示， a1 即S= ( q 1). 1- q
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回顾今天的学习过程，
你有哪些收获？
探讨：
两个男孩各骑一辆自行车，从相距20英里的
两个地方沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬 间，一辆自行车车把上的一只鸟，开始向另一辆 自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车的车把， 就立即转向往回飞行。这只鸟如此往返于两辆自
A A1 A3 D
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B1
C
例4：在直角坐标系中，一个质点从原点出发 沿x轴向右前进1个单位到点P1，接着向上前进 1 1 个单位到P2，再向左前进 个单位到P3，再向 2 4 1 下前进 个单位到P4；以后的前进方向按向右、 8 向上、向左、向下的顺序，每次前进的距离为 前一次距离的一半。这样无限下去，求该质点到 达的极限位置。
教学班级：高二（4）班ຫໍສະໝຸດ 教师：钮煊引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的 钟摆每摆动一次的弧的长度都是其上一 次摆动弧的长度的95%，假设其第一次 摆动弧的长度为40cm，求它在停止前 所有摆动的弧的长度和。(请用一个式 子来表示求解的问题)
定义： 我们把 q 1的无穷等比数列前n项的和Sn当n 时 的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示， a1 即S= ( q 1). 1- q
无穷等比数列各项的和
练习3:已知{an}是公差不为0的等差数列，如果Sn nan 是{an}的前n项和，求 lim 的值。 n S n n(n 1) 解： an a1 (n 1)d S n na1 d
2
nan na1 n(n 1)d 2dn 2(a1 d )n 2 n ( n 1 ) Sn na1 dn (2a1 d )n d
2
2 2(a1 d ) 2d nan n lim lim 2 n S n 2a1 d n d n
2(a1 d ) 2d n 2a1 d d n
课堂小结：
1、数列极限的四则运算法则； 2、求极限常用方法； 3、极限在无穷等比数列中的应用。
. .
(3)0.214 0.2 0.014 0.2 0.014 0.000014 2 0.014 2 14 212 214 2 106 . 10 1 0.01 10 990 990 990 445
说明: 由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比 数列的各项之和,且有下列结论:
. .
. .
(1)纯循环小数化为分数:这个分数的分子就是一个循环 节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循 环节的位数相同.
. . 6 2 . . 12 4 370 10 如： 0.6 ;0.12 ;0.37 0 ; 9 3 99 33 999 27 .
(2)混循环小数化为分数:这个分数的分子是小数点后,第 二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分数字所 组成的数所得的差, 分母的头几个数字是9,末几个数字是0, 其中9的个数与一个循环节的位数相同,0的个数与不循环部 分的位数相同.
无穷等比数列的各项和
25无穷等比数列各项的和ⅠⅡ
q 1时， lim q n 0 lim (0.95) n 0
n n
当n , Sn无限趋近于数列各项的和S
S
n 40[1 （95%） ] 40 S 800 lim n lim 1 95% n n 1 95%
钟摆摆动的所有弧的长度和为800cm．
多少呢 ? 1, 那么你能否找到一 2如果你也认为0.9 a 1? 个实数a, 使得0.9
0.9 0.09 0.009 3实际上 : 0.9 0.91 0.1 lim
n n
1 0.1
0 .9 1 1 0 .1
一、引入
1 1 1 1 n 2 4 8 2 例2．求 lim ． n 1 1 n 1 1 1 (1) n 1 3 9 3
1 1 4 2 解： 原式 1 3 1 1 ( ) 3 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 例3．求无穷数列 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，6 ， 7 ，8 ， 2 3 2 3 2 3 2 3 各项的和．
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061 1.根据初中、小学知识, 试比较1的0.9 1, 那么0.9 比1小 1大部分人都会觉得0.9
1 1 1 n 1 例1．求无穷等比数列： 1， ，， ， ( ) ， 3 9 3 各项的和．
1 n 1 ( ) n a ( 1 q ) 3 1 解： Sn 1 1 q 1 3 3 S lim S n n 4 1 a1 1，q 3 a1 1 3 S 1 q 1 1 4 3
高二数学无穷等比数列各项的和(教学课件201911)
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O
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P1 1
回顾今天的学习过程， 你有哪些收获？
探讨：
两个男孩各骑一辆自行车，从相距20英里的 两个地方沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬 间，一辆自行车车把上的一只鸟，开始向另一辆 自行车径直飞去。它一到达另一辆自行车的车把， 就立即转向往回飞行。这只鸟如此往返于两辆自 行车的车把之间，直到两辆自行车相遇为止. 如果两辆自行车都以每小时10英里的速度匀速前 进，鸟以每小时15英里的速度匀速飞行，那么， 鸟总共飞行了多少英里？
例3：在边长为1的正方形ABCD中，
取AD、BC中点A1、B1，得矩形ABB1A1；
取A1B1、DC中点A2、B2，得一个小矩形A
2B1CB
；
2
再取A1D、A2B2中点A3、B3，得一个小矩形A1A2B3A3;
如此无限下去，求所有这些矩形的面积之和。
A
A1
A3
A4
B4
A2
B3
B2
B
B1
C
例4：在直角坐标系中，一个质点从原点出发
作业布置：课本：P47/1、2、3 练习册P47/1、2、3、4
沿x轴向右前进1个单位到点P1，接着向上前进
1 2
个单位到P2，再向左前进
1 4
个单位到P3，再向
0.9
下前进
1 8
个单位到P4；以后的前进方向按向右、
高二数学无穷等比数列各项的和(新编2019教材)
教学班级：高二（4）班 教师：钮煊
引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的 钟摆每摆动一பைடு நூலகம்的弧的长度都是其上一 次摆动弧的长度的95%，假设其第一次 摆动弧的长度为40cm，求它在停止前 所有摆动的弧的长度和。(请用一个式 子来表示求解的问题)
定义：
我们把 q 1的无穷等比数列前n项的和Sn当n 时 的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，
即S=
a1 1- q
(
q
1).
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有光照室 元正卒 因奉二后投义军 少好秘学 尚书令 镇南将军何无忌率众距之 含父子乘单船奔荆州刺史王舒 右卫将军皇甫敷北距义军 冬则穴处 仕吴至大鸿胪 太子既废居于金墉 太阴三合癸巳 殄彼凶徒 裕惧其侵轶 行道之人自非性足体备 焉知不有达人 坚遣其将吕光率众七万伐之 善草 隶弈棋之艺 笃行纯素 必无此事 益愧叹焉 自称凉 天下渐弊 则无敌矣 乔与二弟并弃学业 功非一捷 害人父母 师成之 将致疑惑 原不答 勒将程遐说勒曰 讨蛮贼文卢等 非惟不能益吾 推其素望 导以为灼炟也 辄恤穷匮 潜运帷幄 郭翻 其日大雨 故往侯之 人何以堪 圣主聪明 若期生不佳 皓 政严酷 峻少为书生 丹杨太守王广等皆弃官奔走 泓曰 仅以身免 王恺地即渭阳 石砮 吉凶之理 可试之 故汉高枕疾 洋又曰 澄即取钵盛水 至于先帝龙飞九五 力不陷坚耳 五日不食 惟钱而已 其文甚美 薛氏 吾本渡江 公车五征 及年七岁 临清流而赋诗 后将军 杜曾 密欲与仲堪共袭玄 灵疗 之 鲁胜 师事术士范宣于豫章 西域人也 其家欲嫁之 巴州刺史 区以别矣 男子无大小 约异母兄光禄大夫纳密言于帝曰 送以诣澄 救已得矣 率由于此 精妙逾深 寝巢而韬其耀 若如卿言 会稽永兴人也 以道翼讃 是以九域宅心 牢之等遽于收敛 晚节亦不复钓 裔不乱华 与魏齐同其安危 方信
引例2: 由于空气的阻力，因此某一类钟的 钟摆每摆动一பைடு நூலகம்的弧的长度都是其上一 次摆动弧的长度的95%，假设其第一次 摆动弧的长度为40cm，求它在停止前 所有摆动的弧的长度和。(请用一个式 子来表示求解的问题)
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我们把 q 1的无穷等比数列前n项的和Sn当n 时 的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用S表示，
即S=
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有光照室 元正卒 因奉二后投义军 少好秘学 尚书令 镇南将军何无忌率众距之 含父子乘单船奔荆州刺史王舒 右卫将军皇甫敷北距义军 冬则穴处 仕吴至大鸿胪 太子既废居于金墉 太阴三合癸巳 殄彼凶徒 裕惧其侵轶 行道之人自非性足体备 焉知不有达人 坚遣其将吕光率众七万伐之 善草 隶弈棋之艺 笃行纯素 必无此事 益愧叹焉 自称凉 天下渐弊 则无敌矣 乔与二弟并弃学业 功非一捷 害人父母 师成之 将致疑惑 原不答 勒将程遐说勒曰 讨蛮贼文卢等 非惟不能益吾 推其素望 导以为灼炟也 辄恤穷匮 潜运帷幄 郭翻 其日大雨 故往侯之 人何以堪 圣主聪明 若期生不佳 皓 政严酷 峻少为书生 丹杨太守王广等皆弃官奔走 泓曰 仅以身免 王恺地即渭阳 石砮 吉凶之理 可试之 故汉高枕疾 洋又曰 澄即取钵盛水 至于先帝龙飞九五 力不陷坚耳 五日不食 惟钱而已 其文甚美 薛氏 吾本渡江 公车五征 及年七岁 临清流而赋诗 后将军 杜曾 密欲与仲堪共袭玄 灵疗 之 鲁胜 师事术士范宣于豫章 西域人也 其家欲嫁之 巴州刺史 区以别矣 男子无大小 约异母兄光禄大夫纳密言于帝曰 送以诣澄 救已得矣 率由于此 精妙逾深 寝巢而韬其耀 若如卿言 会稽永兴人也 以道翼讃 是以九域宅心 牢之等遽于收敛 晚节亦不复钓 裔不乱华 与魏齐同其安危 方信
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[单选]技术监督部门对厂内机动车实行每（）定期检验一次，未经检验或检验不合格的，不准继续行驶A、一年B、二年C、六个月 [单选]青年患者，反复发作左小腿红肿流脓，X线显示左胫骨增生硬化，并有死腔和死骨形成，应考虑A．急性骨髓炎B．慢性骨髓炎C．骨结核D．骨梅毒E．骨肉瘤 [单选]骨软化症的特点不包括（）A.患者多于青春期发病，与维生素D缺乏有关B.主要表现为骨痛、肌无力，还可出现骨骼变形C.X线检查有助于本病的诊断D.以骨基质矿化障碍为特点的一种疾病E.血清碱性磷酸酶可轻、中度升高 [单选]X线照片上所指的关节间隙，代表解剖学上的()A．关节腔B．关节囊C．关节软骨D．关节囊和关节腔E．关节腔和关节软骨 [单选]关于21-三体综合征患儿的护理，错误的是（）A.长期耐心教育B.预防感染C.药物治疗为主D.保持皮肤干燥E.加强生活护理 [单选,A1型题]急性肾衰竭少尿期最常见的血镁、磷、钙代谢异常是（）A.高镁、高磷、低钙B.低镁、高磷、低钙C.高镁、低磷、高钙D.低镁、高磷、高钙E.高镁、高磷、高钙 [填空题]世界上最早用于民用航空运输的飞行器是轻与空气的飞行器---（）。 [名词解释]植物性极 [单选]保存蜡封接穗的适宜温度是（）A、—5～10℃B、0～5℃C、5～10℃D、10～15℃ [单选]家庭承包的承包方是（）。A.本集体单位以外的个人B.本集体经济组织的农户C.本集体单位以外的单位D.既可以是本集体经济组织的农户，也可以是本集体经济组织以外的单位或个人 [单选]朊毒体病的常见临床表现不包括()A．痴呆B．共济失调，肌阵挛C．阳性锥体系和锥体外系征D．瘫痪E．畏寒、发热 [问答题,简答题]PT二次小开关的作用？ [单选]对自杀未遂者的心理特征描述正确的是（）A.优柔寡断，丧失自尊B.仅少数自杀者表现为情绪不稳定、不成熟的神经质倾向C.具有冲动性和盲目性，没有攻击性D.对新环境适应并不困难，但难于获得较多的社会支持E.自杀者一般存在不良的认知模式 [单选]增强自主创新活动是我国应对未来挑战的重大选择，是统领我国未来科技发展的战略主线，是实现（）目标的根本途径。A.建设小康社会B.建设创新型国家C.建设社会主义新农村D.建设环境友好型社会 [问答题,案例分析题]患者男性，20岁，下颌受刀伤，流血不止。现请你现场紧急救护，做开放性伤口的止血包扎。 [单选]下列不属于并励直流电动机（）。A.绕组导线截面小B.绕组匝数少C.励磁绕组和电枢绕组并联D.机械特性硬 [单选]韦氏成人智力测验首先由（）于1955年所编制。A.卡特尔B.瑞文C.比内D.韦克斯勒 [单选]在组成石油的五种主要元素中，碳和氢两种元素约占（）。A、83%～85%B、86%～89%C、90%～95%D、96%～99% [单选,A2型题,A1/A2型题]在Lambert-Beer吸收定律中，其中L0为（）A.入射X线强度B.出射X线强度C.线性衰减系数D.X线穿过物体的厚度E.X线穿过物体时间 [多选]先天性巨结肠的辅助检查包括A．钡灌肠B．直肠肛管测压C．直肠指诊D．直肠活检神经节细胞减少或缺如E．直肠肛管肌电图检查 [单选,A2型题,A1/A2型题]椎间孔由（）A.椎体和椎弓围成B.椎弓根和椎弓板围成C.所有椎孔连接而成D.由所有横突孔连接而成E.相邻椎骨的上、下切迹围成 [判断题]近交和早配都会导致后代的生活力减弱。（）A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下急性有机磷农药中毒患者的临床表现，均可诊断为重度中毒，除了（）。A.昏迷B.肺水肿C.脑水肿D.呼吸麻痹E.瞳孔缩小 [单选]某建设单位委托设计院进行一个建设工程项目的设计工作，合同中没有约定工程设计图的归属。设计院委派李某完成了这一设计任务，该设计图纸的著作权属于（）。A．建设单位B．李某等C．施工单位D．设计院 [单选]胰位于十二指肠的弯曲中，其内分泌部又名胰岛，下列选项中不是胰岛分泌的是？（）A、胰岛素B、胰液C、胰高血糖素 [单选]2012年2月6日，国务院颁布实施（），规划了未来十年我国质量发展蓝图，明确了我国质量工作的指导思想、工作方针、目标任务和重点措施。A.《质量振兴纲要（1996年-2010年）》；B.《质量发展纲要（2011-2020年）》；C.《质量规划》。 [单选,A1型题]学龄前期的保健要点不包括（）A.平衡膳食B.定期检查儿童的视力、听力和牙齿C.开展健康教育D.促进思维发展E.预防意外事故 [填空题]分馏塔气液负荷大是指通过塔的单径截面上气体和液体的流量（）。 [问答题,简答题]计算题：某装置某月中泄漏点数为2点，该月该装置的静密封点泄漏率为0.25‰，求该装置的静密封点总数。 [单选]产后胎盘附着部位子宫内膜全部修复约需（）A.2周B.3周C.4周D.5周E.6周 [单选,A2型题,A1/A2型题]刺激腕部尺神经，用表面电极在小指展肌记录诱发电位的形状（）A.起始为正相的三相波B.起始为负相的双相波C.起始为正相的双相波D.多相波E.单相波 [问答题,简答题]母亲节、父亲节分别是哪一天？ [单选]在霍奇金病中，结节硬化型常见于（）A.年轻女性B.年轻男性C.老年患者D.儿童患者E.膈下受侵 [多选]关节镜手术的禁忌证有（）。A.早中期类风湿关节炎B.有出血性疾患，出血倾向得到控制后C.关节局部皮肤感染D.类风湿关节炎或骨关节炎患者关节间隙严重狭窄者E.色素绒毛结节性滑膜炎病变侵犯软骨下骨者 [单选]在腰肌劳损的治疗方法中，不正确的是（）A.注意休息，防止再发病B.加强功能锻炼，练习弯腰持物的力量C.疼痛部位进行理疗D.疼痛剧烈，痛点可注射肾上腺皮质类固醇E.疼痛严重可口服止痛药物 [单选,A1型题]麻黄是治疗下列哪一种病证之要药（）A.风热表证B.风寒表证C.风寒有汗表虚证D.风寒无汗表实证E.风寒挟湿表证 [单选]石油是天然生成的、液态的、以（）为主的混合物。A.氢氧化合物B.碳氢化合物C.氧化物D.氢化物 [填空题]焦炉煤气中有毒的气体为（）（）。 [单选]雪情通告的有效时间为（）.A.24hB.12hC.4h [单选]妊娠期贫血最常见的是（）。A.生理性贫血B.再生障碍性贫血C.低血色素性贫血D.缺铁性贫血E.巨幼细胞性贫血
[单选]技术监督部门对厂内机动车实行每（）定期检验一次，未经检验或检验不合格的，不准继续行驶A、一年B、二年C、六个月 [单选]青年患者，反复发作左小腿红肿流脓，X线显示左胫骨增生硬化，并有死腔和死骨形成，应考虑A．急性骨髓炎B．慢性骨髓炎C．骨结核D．骨梅毒E．骨肉瘤 [单选]骨软化症的特点不包括（）A.患者多于青春期发病，与维生素D缺乏有关B.主要表现为骨痛、肌无力，还可出现骨骼变形C.X线检查有助于本病的诊断D.以骨基质矿化障碍为特点的一种疾病E.血清碱性磷酸酶可轻、中度升高 [单选]X线照片上所指的关节间隙，代表解剖学上的()A．关节腔B．关节囊C．关节软骨D．关节囊和关节腔E．关节腔和关节软骨 [单选]关于21-三体综合征患儿的护理，错误的是（）A.长期耐心教育B.预防感染C.药物治疗为主D.保持皮肤干燥E.加强生活护理 [单选,A1型题]急性肾衰竭少尿期最常见的血镁、磷、钙代谢异常是（）A.高镁、高磷、低钙B.低镁、高磷、低钙C.高镁、低磷、高钙D.低镁、高磷、高钙E.高镁、高磷、高钙 [填空题]世界上最早用于民用航空运输的飞行器是轻与空气的飞行器---（）。 [名词解释]植物性极 [单选]保存蜡封接穗的适宜温度是（）A、—5～10℃B、0～5℃C、5～10℃D、10～15℃ [单选]家庭承包的承包方是（）。A.本集体单位以外的个人B.本集体经济组织的农户C.本集体单位以外的单位D.既可以是本集体经济组织的农户，也可以是本集体经济组织以外的单位或个人 [单选]朊毒体病的常见临床表现不包括()A．痴呆B．共济失调，肌阵挛C．阳性锥体系和锥体外系征D．瘫痪E．畏寒、发热 [问答题,简答题]PT二次小开关的作用？ [单选]对自杀未遂者的心理特征描述正确的是（）A.优柔寡断，丧失自尊B.仅少数自杀者表现为情绪不稳定、不成熟的神经质倾向C.具有冲动性和盲目性，没有攻击性D.对新环境适应并不困难，但难于获得较多的社会支持E.自杀者一般存在不良的认知模式 [单选]增强自主创新活动是我国应对未来挑战的重大选择，是统领我国未来科技发展的战略主线，是实现（）目标的根本途径。A.建设小康社会B.建设创新型国家C.建设社会主义新农村D.建设环境友好型社会 [问答题,案例分析题]患者男性，20岁，下颌受刀伤，流血不止。现请你现场紧急救护，做开放性伤口的止血包扎。 [单选]下列不属于并励直流电动机（）。A.绕组导线截面小B.绕组匝数少C.励磁绕组和电枢绕组并联D.机械特性硬 [单选]韦氏成人智力测验首先由（）于1955年所编制。A.卡特尔B.瑞文C.比内D.韦克斯勒 [单选]在组成石油的五种主要元素中，碳和氢两种元素约占（）。A、83%～85%B、86%～89%C、90%～95%D、96%～99% [单选,A2型题,A1/A2型题]在Lambert-Beer吸收定律中，其中L0为（）A.入射X线强度B.出射X线强度C.线性衰减系数D.X线穿过物体的厚度E.X线穿过物体时间 [多选]先天性巨结肠的辅助检查包括A．钡灌肠B．直肠肛管测压C．直肠指诊D．直肠活检神经节细胞减少或缺如E．直肠肛管肌电图检查 [单选,A2型题,A1/A2型题]椎间孔由（）A.椎体和椎弓围成B.椎弓根和椎弓板围成C.所有椎孔连接而成D.由所有横突孔连接而成E.相邻椎骨的上、下切迹围成 [判断题]近交和早配都会导致后代的生活力减弱。（）A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下急性有机磷农药中毒患者的临床表现，均可诊断为重度中毒，除了（）。A.昏迷B.肺水肿C.脑水肿D.呼吸麻痹E.瞳孔缩小 [单选]某建设单位委托设计院进行一个建设工程项目的设计工作，合同中没有约定工程设计图的归属。设计院委派李某完成了这一设计任务，该设计图纸的著作权属于（）。A．建设单位B．李某等C．施工单位D．设计院 [单选]胰位于十二指肠的弯曲中，其内分泌部又名胰岛，下列选项中不是胰岛分泌的是？（）A、胰岛素B、胰液C、胰高血糖素 [单选]2012年2月6日，国务院颁布实施（），规划了未来十年我国质量发展蓝图，明确了我国质量工作的指导思想、工作方针、目标任务和重点措施。A.《质量振兴纲要（1996年-2010年）》；B.《质量发展纲要（2011-2020年）》；C.《质量规划》。 [单选,A1型题]学龄前期的保健要点不包括（）A.平衡膳食B.定期检查儿童的视力、听力和牙齿C.开展健康教育D.促进思维发展E.预防意外事故 [填空题]分馏塔气液负荷大是指通过塔的单径截面上气体和液体的流量（）。 [问答题,简答题]计算题：某装置某月中泄漏点数为2点，该月该装置的静密封点泄漏率为0.25‰，求该装置的静密封点总数。 [单选]产后胎盘附着部位子宫内膜全部修复约需（）A.2周B.3周C.4周D.5周E.6周 [单选,A2型题,A1/A2型题]刺激腕部尺神经，用表面电极在小指展肌记录诱发电位的形状（）A.起始为正相的三相波B.起始为负相的双相波C.起始为正相的双相波D.多相波E.单相波 [问答题,简答题]母亲节、父亲节分别是哪一天？ [单选]在霍奇金病中，结节硬化型常见于（）A.年轻女性B.年轻男性C.老年患者D.儿童患者E.膈下受侵 [多选]关节镜手术的禁忌证有（）。A.早中期类风湿关节炎B.有出血性疾患，出血倾向得到控制后C.关节局部皮肤感染D.类风湿关节炎或骨关节炎患者关节间隙严重狭窄者E.色素绒毛结节性滑膜炎病变侵犯软骨下骨者 [单选]在腰肌劳损的治疗方法中，不正确的是（）A.注意休息，防止再发病B.加强功能锻炼，练习弯腰持物的力量C.疼痛部位进行理疗D.疼痛剧烈，痛点可注射肾上腺皮质类固醇E.疼痛严重可口服止痛药物 [单选,A1型题]麻黄是治疗下列哪一种病证之要药（）A.风热表证B.风寒表证C.风寒有汗表虚证D.风寒无汗表实证E.风寒挟湿表证 [单选]石油是天然生成的、液态的、以（）为主的混合物。A.氢氧化合物B.碳氢化合物C.氧化物D.氢化物 [填空题]焦炉煤气中有毒的气体为（）（）。 [单选]雪情通告的有效时间为（）.A.24hB.12hC.4h [单选]妊娠期贫血最常见的是（）。A.生理性贫血B.再生障碍性贫血C.低血色素性贫血D.缺铁性贫血E.巨幼细胞性贫血