高二数学竞赛题知识点

数学竞赛一试知识点数学竞赛是一项对学生数学能力的综合考察，常常涉及到各个数学领域的知识点。

在这篇文章中，我们将介绍一些常见的数学竞赛知识点，包括数列与数列极限、函数与方程、概率与统计、解析几何等。

一、数列与数列极限数列是数学中常见的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。

数列的极限是指当数列中的数趋向于某个值时，这个值就是数列的极限。

在数学竞赛中，常常需要求解数列的极限，掌握数列的性质和求解方法是很重要的。

二、函数与方程函数是一种特殊的关系，它将一个变量的值映射到另一个变量的值。

在数学竞赛中，常常需要分析函数的性质，求解函数方程以及利用函数的性质解决问题。

掌握函数的性质、方程的求解方法以及函数图像的特点对于解题非常有帮助。

三、概率与统计概率与统计是数学中的一个分支，它研究的是随机事件和数据的规律。

在数学竞赛中，常常需要计算概率、分析统计数据以及利用概率和统计的方法解决问题。

掌握概率的计算方法、统计数据的分析技巧以及概率与统计在实际问题中的应用是很重要的。

四、解析几何解析几何是数学中的一个分支，它将几何问题转化为代数问题来求解。

在数学竞赛中，常常需要利用解析几何的方法解决几何问题，例如求解直线和曲线的交点、求解几何图形的面积和体积等。

掌握解析几何的基本概念、常见解析几何问题的求解方法以及解析几何在实际问题中的应用是很重要的。

五、数论与组合数学数论是研究整数性质的数学分支，组合数学是研究离散结构的数学分支。

在数学竞赛中，常常需要利用数论和组合数学的方法解决问题，例如证明数论定理、计算组合数等。

掌握数论和组合数学的基本概念、常见问题的解决方法以及数论和组合数学在实际问题中的应用是很重要的。

数学竞赛一试涵盖了数学的各个领域，包括数列与数列极限、函数与方程、概率与统计、解析几何、数论与组合数学等。

掌握这些知识点，并灵活运用于解题过程中，将有助于提高数学竞赛的成绩。

希望同学们能够加强对这些知识点的学习和理解，为数学竞赛的取得好成绩打下坚实的基础。

数学竞赛知识点总结高中一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一种对应关系，将定义域中的元素映射到值域中的元素，通常用f(x)表示函数。

1.2 常见函数常见函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

1.3 函数的性质函数的奇偶性、周期性等性质对于解题非常重要。

1.4 函数的图像函数的图像对于理解函数的性质和解题都具有重要意义。

二、不等式2.1 不等式的表示不等式通常表示为a>b、a≥b、a<b、a≤b等形式。

2.2 不等式的解法解不等式通常通过分析不等式的性质、代数方法和图像法进行。

2.3 不等式的应用不等式在优化问题、绝对值不等式、三角不等式等问题中常常出现。

三、集合与映射3.1 集合的基本概念集合是由各种对象的总体，通常用大写字母表示集合。

3.2 集合的运算包括交集、并集、差集等。

3.3 映射的概念映射是一种元素之间的对应关系，通常用f:A→B表示从集合A到集合B的映射。

三、多项式和方程4.1 多项式的定义多项式是由多个项的代数式，通常表示为P(x)。

4.2 多项式的运算多项式包括加减乘除等基本运算。

4.3 多项式的因式分解因式分解是将多项式表示为若干个不可约的因式乘积。

4.4 方程与不等式方程和不等式是基于多项式的等式与不等式。

四、数列与数学归纳法5.1 等差数列与等比数列等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。

5.2 数学归纳法的基本思想数学归纳法用于证明递推关系的性质。

五、排列与组合6.1 排列的基本概念排列是从n个元素中取出m个元素进行排列的方式。

6.2 组合的基本概念组合是从n个元素中取出m个元素进行组合的方式。

6.3 排列组合的性质排列组合问题通常包括排列数、组合数、二项式定理等内容。

六、数论7.1 整数的性质奇数、偶数、素数、合数等是数论中的基本概念。

7.2 最大公约数与最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数论中的重要概念。

⾼中数学竞赛基础平⾯⼏何知识点总结⾼中数学竞赛平⾯⼏何知识点基础1、相似三⾓形的判定及性质相似三⾓形的判定：(1)平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三⾓形与原三⾓形相似;(2)如果⼀个三⾓形的两条边和另⼀个三⾓形的两条边对应成⽐例,并且夹⾓相等,那么这两个三⾓形相似(简叙为:两边对应成⽐例且夹⾓相等，两个三⾓形相似.);(3)如果⼀个三⾓形的三条边与另⼀个三⾓形的三条边对应成⽐例,那么这两个三⾓形相似(简叙为:三边对应成⽐例，两个三⾓形相似.);(4)如果两个三⾓形的两个⾓分别对应相等(或三个⾓分别对应相等)，则有两个三⾓形相似(简叙为两⾓对应相等，两个三⾓形相似.).直⾓三⾓形相似的判定定理:(1)直⾓三⾓形被斜边上的⾼分成两个直⾓三⾓形和原三⾓形相似;(2)如果⼀个直⾓三⾓形的斜边和⼀条直⾓边与另⼀个直⾓三⾓形的斜边和⼀条直⾓边对应成⽐例，那么这两个直⾓三⾓形相似.常见模型：相似三⾓形的性质:（1）相似三⾓形对应⾓相等（2）相似三⾓形对应边的⽐值相等，都等于相似⽐（3）相似三⾓形对应边上的⾼、⾓平分线、中线的⽐值都等于相似⽐（4）相似三⾓形的周长⽐等于相似⽐（5）相似三⾓形的⾯积⽐等于相似⽐的平⽅2、内、外⾓平分线定理及其逆定理内⾓平分线定理及其逆定理：三⾓形⼀个⾓的平分线与其对边所成的两条线段与这个⾓的两边对应成⽐例。

如图所⽰，若AM平分∠BAC，则该命题有逆定理：如果三⾓形⼀边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对⾓的两边对应成⽐例，那么该点与对⾓顶点的连线是三⾓形的⼀条⾓平分线外⾓平分线定理：三⾓形任⼀外⾓平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内⾓的两边成⽐例。

如图所⽰，AD平分△ABC的外⾓∠CAE，则其逆定理也成⽴：若D是△ABC的BC边延长线上的⼀点，且满⾜，则AD是∠A的外⾓的平分线内外⾓平分线定理相结合：如图所⽰，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外⾓∠CAE，则3、射影定理在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的⾼，则有射影定理如下：BD2=AD·CDAB2=AC·ADBC2=CD·AC对于⼀般三⾓形：在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA4、旋转相似当⼀对相似三⾓形有公共定点且其边不重合时，则会产⽣另⼀对相似三⾓形，寻找⽅法：连接对应点，找对应点连线和⼀组对应边所成的三⾓形，可以得到⼀组⾓相等和⼀组对应边成⽐例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE5、张⾓定理在△ABC中D为BC边上⼀点，则sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD6、圆内有关⾓度的定理圆周⾓定理及其推论：（1）圆周⾓定理指的是⼀条弧所对圆周⾓等于它所对圆⼼⾓的⼀半（2）同弧所对的圆周⾓相等（3）直径所对的圆周⾓是直⾓，直⾓所对的弦是直径（4）圆内接四边形对⾓互补（5）圆内接四边形的外⾓等于其内对⾓弦切⾓定理：顶点在圆上，⼀边和圆相交，另⼀边和圆相切的⾓叫做弦切⾓。

数学竞赛必考知识点总结一、基本概念与基本操作1. 整数2. 质数3. 最大公约数和最小公倍数4. 分数5. 百分数6. 有理数7. 实数8. 绝对值9. 分解质因数10. 基本运算11. 去分母12. 乘法公式、分配律、结合律、交换律13. 化简14.幂15.开方16.约分17. 合并同类项18. 海伦公式19. 二次根式20. 对数二、代数与方程式1. 代数式2. 一元一次方程3. 一元一次方程组4. 二元一次方程5. 一元二次方程6. 二元二次方程7. 一元一次不等式8. 解方程组的方法9. 分式方程10. 绝对值方程11. 方程的根与系数的关系12. 各类方程应用题13. 根据方程求解对应的函数表达式三、函数1. 函数的概念2. 函数的性质3. 一次函数4. 二次函数5. 幂函数6. 对数函数7. 指数函数8. 函数的求解9. 函数的图像和性质10. 函数的变化规律11. 函数的定义域和值域12. 函数的图像与特性13. 函数关系的应用题14. 不等式的解法四、三角函数1. 角的概念2. 三角函数的概念3. 正弦、余弦、正切、余切函数的性质4. 三角函数的图象及性质5. 角度制和弧度制的互换6. 锐角三角函数的定义7. 三角函数的基本关系8. 三角函数的图像与性质9. 三角函数的定积分10. 三角函数的方程11. 三角函数的不等式12. 三角函数的应用题五、平面向量与空间向量1. 向量的概念2. 向量的性质3. 向量的线性运算4. 向量的数量积5. 向量的夹角与垂直6. 向量的叉乘7. 平面向量的运算8. 空间向量的坐标表示9. 空间向量的数量积10. 空间向量的叉乘11. 平面与立体几何相关题目六、集合与函数1. 集合的概念2. 集合间的关系3. 集合的基本运算4. 集合的应用题5. 映射的概念6. 映射的类型7. 函数的概念8. 函数的性质9. 函数的图像与性质10. 函数的应用题七、数列与级数1. 递推数列2. 常数列3. 等差数列4. 等比数列5. 数列的性质6. 等差数列的和7. 等比数列的和8. 求和公式的应用9. 数列应用题10. 级数的性质11. 级数的求和八、概率与统计1. 随机事件与概率的概念2. 事件的概率3. 条件概率与事件的独立性4. 随机变量与概率分布5. 二项分布6. 正态分布7. 统计图表的绘制与分析8. 样本调查与结果的推论九、解析几何1. 点、直线、平面2. 直线与平面的位置关系3. 球面、圆柱面、圆锥面4. 圆锥曲线的方程与性质5. 空间曲线与曲面6. 几何方程应用题总结：数学竞赛知识点包括基本概念与基本操作、代数与方程式、函数、三角函数、平面向量与空间向量、集合与函数、数列与级数、概率与统计、解析几何等内容。

数学竞赛知识点总结一、数论1. 质数：质数是指只能被1和自身整除的自然数。

质数有许多特殊的性质，如朗格朗日四平方和定理、费马小定理等。

2. 素数：素数是指只有1和自身两个因数的自然数。

素数具有很多独特的性质，如欧拉公式、狄利克雷定理等。

3. 因数分解：对一个自然数进行因数分解可以得到其所有的素因数，进而可以得到其正因数的性质。

因数分解在解决二元一次方程、求最大公约数、求最小公倍数等问题中有很大的应用。

4. 同余：同余是指两个数的差能够被一个自然数整除。

同余理论是数论中重要的一部分，具有很多重要的性质和推论。

5. 约数和倍数：对一个自然数进行约数的求解可以得到其所有的因数，对一个自然数进行倍数的求解可以得到其所有的倍数。

约数和倍数在编程、数学证明等方面具有广泛的应用。

6. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是指两个数的公因数中最大的一个，最小公倍数是指两个数的公倍数中最小的一个。

最大公约数和最小公倍数在化简分数、约分、求解方程等方面有很多应用。

7. 质因数：一个合数可以通过质因数分解得到其所有的质因数。

质因数具有很多独特的性质，如欧拉函数、莫比乌斯函数等。

8. 模运算：模运算是指把数除以一个正整数后所得的余数。

模运算在密码学、编程等领域有很多应用。

9. 循环小数和无理数：循环小数是一类特殊的无限小数，无理数是指不能写成两个整数的比的数。

循环小数和无理数在解决方程、化简分数等方面有一定的应用。

10. 素数定理和哥德巴赫猜想：素数定理是指素数的分布规律，哥德巴赫猜想是指任何一个大于2的偶数可以被写成两个素数的和。

二、代数1. 多项式：多项式是由若干个单项式相加或相乘而成。

多项式在解方程、插值、二次函数等方面有广泛的应用。

2. 代数方程：代数方程是指含有未知数的等式。

代数方程的求解在计算机、数学证明等领域有很多应用。

3. 进制转换：进制转换是指将一个数从一种进制转换为另一种进制。

进制转换在计算机、密码学等领域有广泛的应用。

高二数学竞赛考的知识点高二数学竞赛是一项对学生数学能力的全面考核，并且考察的知识点涵盖了高一和高二的数学课程内容。

在这篇文章中，我们将详细介绍高二数学竞赛考试中涉及的各个知识点。

1.函数与方程函数与方程是高中数学的基础，也是竞赛中经常考察的内容。

其中包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数以及三角函数等。

考生需要理解各种函数的性质、图像特点，以及函数之间的关系。

此外，求解各种方程及不等式也是必备的技能。

2.数列与数列极限数列是一种特殊的函数，是将自然数映射到实数的一种方式。

高二数学竞赛中经常涉及到数列的性质、递推公式、通项公式等。

同时，数列极限也是重点考察的内容，包括数列的极限存在性、极限计算、极限的性质等。

3.概率与统计概率与统计是数学中的应用部分，也是高二数学竞赛中的重要内容。

其中包括事件的概率、条件概率、随机变量与概率分布以及统计图表的分析等。

考生需要掌握概率计算的方法和技巧，同时能够灵活运用统计学的基本理论进行问题求解。

4.立体几何立体几何是高中数学中的一大难点，也是高二数学竞赛中的考点之一。

重点包括立体图形的投影、表面积和体积的计算。

此外，还需要理解立体几何中的一些定理和推理思路，并能够应用到复杂的立体几何问题中。

5.平面向量平面向量是高二数学竞赛中的重要知识点，也是数学与物理结合的桥梁。

平面向量包括向量的性质、向量的加法与减法、数量积和向量积等。

考生需要掌握向量的运算方法和性质，并能够运用向量进行几何证明和问题求解。

6.三角函数与三角恒等式三角函数与三角恒等式是高二数学中的重要内容，也是竞赛考点之一。

考生需要熟练掌握三角函数的基本定义、性质和图像，以及能够灵活运用三角函数的恒等式解决各种三角函数的计算和证明题。

7.数学证明数学证明是高中数学中的重要部分，也是高二数学竞赛中的要求之一。

考生需要具备一定的证明思维能力，能够独立完成数学证明题。

在证明过程中，要注重逻辑严谨、推理准确，并能够灵活运用所学知识和定理。

竞赛数学知识点总结竞赛数学，是指各种数学竞赛中需要掌握的一些数学知识和解题技巧。

同时，竞赛数学也是一种对数学思维和解题能力的锻炼。

通过参加竞赛数学的学习和训练，可以提高学生的数学水平，培养学生的数学兴趣和数学思维能力。

下面，我将对竞赛数学常用的知识点进行总结，供学生参考。

一、基本数学知识1. 数论数论是研究整数性质的学科。

在数学竞赛中，常常会涉及到数论知识。

比如，质数、合数、最大公因数、最小公倍数、同余数、循环小数等知识点都是数论中的重要内容。

掌握这些知识对于解决一些数论题目是非常有帮助的。

2. 代数代数是数学的一个重要分支，它研究的是数与文字之间的相互关系。

在数学竞赛中，代数知识通常包括多项式、方程、不等式、函数、数列等内容。

解决代数题目需要熟练掌握各种代数知识，灵活运用各种代数运算法则。

3. 几何几何是研究空间和图形的形状、大小、相对位置等性质的学科。

在数学竞赛中，几何题目通常涉及到直角三角形、相似三角形、圆的性质、平行四边形、多边形等几何图形的性质和计算。

解决几何题目需要清楚地掌握几何图形的性质和变换规律。

4. 概率与统计概率与统计是数学中的一门新兴学科，它研究的是随机事件的规律性和统计数据的分析方法。

在数学竞赛中，通常会涉及到概率的计算、统计数据的分析、抽样调查等内容。

了解概率与统计知识对于解决一些概率与统计题目是很有帮助的。

二、解题技巧1. 分析题目解决数学竞赛题目的第一步是分析题目。

要仔细阅读题目，理解题目的要求，确定题目的难点和重点。

分析题目的条件和限制，清楚题目的求解目标。

2. 形成思路在分析题目的基础上，要形成解题思路。

可以通过举例、画图、列式等方法进行思维导图，找到解题的突破口。

在形成解题思路之前，可以适当进行头脑风暴，提出不同的解题思路。

3. 灵活运用知识在解题的过程中，要灵活运用所学的数学知识。

可以根据题目的要求，适当地引入数论、代数、几何、概率与统计等相关知识，使解题过程更加得心应手。

高中数学竞赛知识点总结
高中数学竞赛涉及的知识点非常广泛，以下是一份简要的知识点总结：
1. 数论基础：包括整除、余数、最大公约数、最小公倍数等。

2. 代数：包括方程组、不等式、函数、数列等。

3. 平面几何：包括三角形、四边形、圆、相似形、解析几何等。

4. 立体几何：包括球、长方体、四面体等。

5. 平面解析几何：包括直线、二次曲线、极坐标等。

6. 组合数学：包括排列、组合、二项式定理、组合恒等式等。

7. 图论：包括图的性质、欧拉路径、哈密顿路径等。

8. 概率与统计：包括概率、期望、方差等。

9. 初等数论：包括同余、费马小定理、中国剩余定理等。

10. 数学逻辑与问题解决：包括逻辑推理、集合论、问题解决策略等。

以上仅为基础知识点，竞赛中还可能涉及更深层次的知识和技巧。

如果想要深入学习，建议查阅数学竞赛的相关教材或咨询专业教师。

高二数学竞赛班二试讲义多项式的零点一、知识点1．设多项式()f x =1110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++，其中i a F ∈（F 可以是复数集C ，实数集R ，有理数集Q ，整数集Z ），在F 中的数α使()0f α=，则称α为()f x 的零点。

2．因式定理：设()[]f x F x ∈，则x α=是()f x 的零点的充要条件是()f x 被x α-整除。

3．[]F x 中n 次多项式至多有n 个不同的零点；[]C x 中n 次多项式有n 个不同的零点。

4．设[]F x 中多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++在F 中至少有1n +个零点，则()f x 是零多项式（即所有项系数都是0）。

5．恒等定理：设(),()[]f x g x F x ∈，如果有无穷多个F α∈，使得()()f g αα=，则 ()()f x g x =（即f 与g 的同次幂的系数相等）6．设()()()m f x x q x α=-，其中()0q α≠，当正整数1m =时，称α为单根，当正整数1m >时，称α为重根，计算()f x 的零点个数时，重根计入重数。

7．设()f x 是一个整系数多项式，p 是一个素数。

若整数α满足()0(mod )f p α≡，则称α是()f x 模p 的一个零点，或称α是同余方程()0(mod )f x p ≡的一个解。

8．拉格朗日定理：设()f x 是一个整系数多项式，p 是一个素数，()f x 模p 的次数为n ，则同余方程②至多有n 个互不相同（即模p 不同余）的解。

如3p =是，21(mod3)x ≡有两个解1x =±。

但如果p 是合数，则结论不再正确，如21(mod8)x ≡有两个解1,3x =±±9．设10()[]n n f x a x a x a Z x =+⋅⋅⋅++∈，1n ≥，00n a a ≠，且0(,,)1n a a ⋅⋅⋅=。

2023年中学生数学竞赛试题及答案知识
点复习考点归纳总结
考试概况
2023年中学生数学竞赛试题分为初级组和高级组，共计10道题，涵盖数学应用、计算思维、逻辑推理等方面，考试时间为2小时。

考试范围
初级组考试范围包括小学数学的基础知识和初中数学的简单应用，主要考察学生的计算能力和逻辑思维能力；
高级组考试范围包括初中数学和高中数学的知识，并且需具备一定的创新性和思维深度，主要考察学生的分析问题和解决问题的能力。

考试重点
数学竞赛试题注重考查学生的计算能力、推理能力和解决问题的能力，因此需要重点复以下知识点：
初级组
- 数的认识和数的大小比较；
- 常见的长度、重量、时间单位换算；
- 分数的认识和加、减、乘、除法的计算；
- 图形的认识、画法和度量；
- 简单的代数式和方程式；
- 简单的百分数计算。

高级组
- 函数和导数的应用；
- 几何平面图形的性质及计算方法；
- 三角函数及其应用；
- 微积分初步；
- 高中数学常用公式。

考试技巧
除了复知识点，考试技巧同样重要。

考试时建议注意以下几个方面：
1. 认真审题，把握题意，理解题目表述的意思；
2. 注意单位换算，量纲分析，特别要注意前后可以相约消去的变量；
3. 充分利用公式，结合实际情况，进行适当的变换；
4. 对于解答题，应清晰、简明地列出解题步骤，注意推理的逻辑性和完整性；
5. 坚持到考试结束，不放弃任何一道题目，重要的是保持冷静和清晰的思路。

祝愿大家考试顺利，取得好成绩！。

数学竞赛中的不等式知识点总结数学竞赛在学生的学习中扮演着很重要的角色，不仅能够提高学生的数学素养，还能够培养学生的逻辑思维能力和解题能力。

在数学竞赛中，不等式是一个非常重要的知识点，很多的数学竞赛都会考察不等式相关的题目，因此在备战数学竞赛的过程中，掌握好不等式知识点是非常必要的。

1.基本不等式基本不等式是指在所有正整数中，算术平均数大于等于几何平均数。

即对于任意正整数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，都有：$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$基本不等式是不等式中最基础的知识点，但是在数学竞赛中应用的非常广泛，尤其是在证明其他不等式定理时，基本不等式起到了非常重要的作用。

2.均值不等式均值不等式是指在所有实数中，算术平均数大于等于几何平均数。

均值不等式分为两种情况，一种是两个数的情况，另一种是多个数的情况。

两个实数$a$和$b$的均值不等式如下：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$多个实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$的均值不等式如下：$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}$均值不等式是在基本不等式的基础上发展起来的，应用范围比基本不等式更广泛，也更加灵活。

3.柯西不等式柯西不等式是指两个向量的点积不大于这两个向量的模的乘积。

柯西不等式可用于证明其他不等式，也可作为求极值的工具在数学竞赛中得到广泛应用。

柯西不等式如下：$(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)^2 \leq(x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2)$其中$x_1,x_2,\cdots,x_n$和$y_1,y_2,\cdots,y_n$是任意实数。

一、知识点金1．算术基本定理：任何一个正整数n ，都可以唯一分解成素因数乘积的形式，其中1212k k n p p p ααα=⋅⋅⋅。

12,,,k p p p ⋅⋅⋅均为素数，12,,,k ααα⋅⋅⋅为非负整数。

记()n τ是n 的正约数的个数，()n σ是n 的正约数的和，则1()(1)(1)k n ταα=+⋅⋅⋅+，11+1+1111111()(1)(1)11k k k k k k p p n p p p p p p αααασ--=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅--2．n 为平方数的充分必要条件是()n τ为奇数3．完系和缩系：在模m 的m 个剩余类中各任取一个数作为代表，这样的m 个数称为模m 的一个完全剩余系，简称完系。

如果i 和m 互素，则易知同余类i M 中所有数都和m 互素，这样的同余类称为模m 缩同余类，我们将模m 缩同余类的个数记作()m ϕ，称为欧拉函数。

在()m ϕ个缩同余类中各任取一个数作为代表，这样的()m ϕ个数称为模m 的一个缩剩余系，简称缩系（也称简系）。

4．设(,)1a m =，b 是任意整数。

（i ）,2,3,,(1),a a a m a ma ⋅⋅⋅-是模m 的完系。

a 叫做模m 的生成元。

（ii ）若12,,,m c c c ⋅⋅⋅是模m 的完系，则12,,,m ac b ac b ac b ++⋅⋅⋅+也是模m 的完系。

（iii ）若12(),,,m r r r ϕ⋅⋅⋅是模m 的缩系，则12(),,,m ar ar ar ϕ⋅⋅⋅也是模m 的缩系。

证明：(,)1a m =，（i ）假设(mod )ia ja m ≡，j i ≠，则|m ia ja -，因为(,)1a m =，所以|m i j -，矛盾！（ii ）假设(mod )i j ac b ac b m +≡+，j i ≠，则|()i j m a c c -，所以|i j m c c -，矛盾！（iii ）(,)1,(,)1i j ar m ar m ==，假设(mod )i j ar ar m ≡，j i ≠，则|i j m r r -，矛盾！5．欧拉函数()n ϕ，它表示不大于n 且与n 互素的正整数的个数，设1212k aa a k n p p p =⋅⋅⋅，12,,,k p p p ⋅⋅⋅均为素数，则11()(1)ki in n p ϕ==-∏。

数学竞赛：奥数知识点总结1. 引言在数学竞赛中，奥数（奥林匹克数学）是一项重要的领域。

奥数不仅要求解决复杂的问题，还要培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

本文将总结一些常见的奥数知识点。

2. 数论2.1 质数与素数•质数是指只有1和自身两个因数的整数，例如2、3、5等。

•素数是指大于1且只有1和自身两个因数的整数，例如2、3、5等。

2.2 最大公约数与最小公倍数•最大公约数（GCD）是指同时能够整除两个或多个整数的最大正整数。

•最小公倍数（LCM）是指能被两个或多个整数整除且能被它们共有的所有质因子整除的最小正整数。

3. 代数3.1 四则运算与算术级别•四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

•算术级别是指计算过程中按照一定顺序进行运算，如先乘除后加减。

3.2 代数式与方程•代数式是由数或字母和运算符号组成的式子，可以包含变量。

•方程是等于号连接的两个代数式，求解方程即找到使等式成立的变量值。

4. 几何4.1 基本几何概念•点：空间中没有大小和形状的基本元素。

•直线：由无穷多个点组成且不弯曲或折线的路径。

•长度、面积和体积：用于测量物体的尺寸和容积。

4.2 图形的性质和关系•正方形：四边长度相等且四个角都为直角的四边形。

•相似图形：具有相同形状但大小不同的图形。

•平行线：在同一个平面上永远不会相交的直线。

5. 概率与统计5.1 概率概念•概率是指根据某种规律性，对随机事件发生可能性进行度量的一种方法。

5.2 统计学概念•统计学是一门研究数据收集、分析、解释和展示的学科。

它包括描述统计和推断统计两个方面。

6. 解决奥数问题的方法6.1 列方程法•列方程法是通过将问题用代数式或等式表达，然后解决方程来解决问题的方法。

6.2 反证法•反证法是假设所需证明的命题为假，然后推导出与已知矛盾的结论，从而推断所需证明的命题为真。

结论本文概述了数学竞赛中常见的奥数知识点，包括数论、代数、几何、概率统计以及解决奥数问题的方法。

高中数学竞赛知识点整理高中数学竞赛作为一种新兴的学科竞赛，已经在中国大陆地区屡获殊荣。

许多智力学科竞赛有着严格的知识点提炼，高中数学竞赛也不例外。

本文尝试对高中数学竞赛中所涉及知识点进行归纳，以便于考生更好地复习、准备与参加竞赛。

首先，数的基本概念是必不可少的。

诸如基数、序数，定点数、整数、分数和小数，有理数、无理数和绝对值，都是需要掌握的基础知识点。

同时，还有一些需要注意的特殊数的概念，如负数、有理数的绝对值、科学计数法等。

其次，有关指标函数的概念与应用也非常重要。

函数指标可以用来描述一系列研究目标，并用数学语言表达出来。

函数指标的概念包括一元函数、二元函数、单调函数、变量函数、指数函数、对数函数、椭圆函数、双曲线函数、根号函数、正弦函数和余弦函数等。

这些函数指标的性质与应用可以帮助考生熟悉数学竞赛中的函数特征，为解决数学题目提供帮助。

另外，依据阶段不同，高中数学竞赛也有不同的内容组成，因此也有不同的知识概念需要掌握。

例如，在高中一年级，考生需要掌握基本的数学知识，比如数的概念、几何图形及其相互关系等；在高中二年级中，学生需要掌握函数的概念、统计学的知识以及数字的转换等；在高中三年级中，学生需要掌握概率论、动态系统与线性规划等。

此外，考生在参加高中数学竞赛中，还需要掌握一系列的计算手段。

算术运算是一项基础，考生应熟悉加减乘除，以及对于进制转换之类的基本运算；其次，还需要掌握数论、代数、几何和函数等高级计算手段。

最后，逻辑性和抽象性思维能力是参加数学竞赛的必备条件，需要考生积极主动地加强自己的抽象和逻辑思维能力，方能在数学竞赛中获得胜利。

综上所述，高中数学竞赛知识点主要涵盖了数的基本概念、指标函数概念、高中数学竞赛课程内容组成及计算手段、思维逻辑等，考生在参加数学竞赛时，都要掌握这些知识点，不断加深自己的知识储备，方能在比赛中取得优异的成绩。

数学知识竞赛知识点总结一、代数1. 一元一次方程和一元一次不等式一元一次方程和一元一次不等式是基础的代数知识点，在数学知识竞赛中经常出现。

解一元一次方程和一元一次不等式需要掌握方程式的移项变形、因式分解、等式的性质等基本技巧。

2. 一元二次方程和一元二次不等式一元二次方程和一元二次不等式是代数中的重要内容。

解一元二次方程和一元二次不等式需要掌握配方法、公式法、图像法等多种解法，并且要理解方程有实根的条件和二次不等式的性质。

3. 多项式多项式是代数中的一个基本概念，掌握多项式的加减乘除、多项式的因式分解、多项式的性质和应用都是数学知识竞赛中的考查点。

4. 分式分式的加减乘除、分式方程的解法、分式不等式的解法等都是代数中的重要内容，也是数学知识竞赛的考查重点。

5. 线性方程组线性方程组的解法有高斯消元法、矩阵法、克拉默法则等，理解线性方程组的解的存在唯一性和解的结构是解决线性方程组问题的关键。

6. 不定方程不定方程的解法主要是化归法、代数法、整数解的条件等，掌握不定方程问题的解法能够应对数学知识竞赛中的各种问题。

7. 数列等差数列、等比数列和通项公式等数列的性质和基本问题都是代数中的重要内容，对于数学知识竞赛来说，还要掌握一些不常见的数列问题的解法。

8. 绝对值绝对值问题在数学知识竞赛中常常出现，解绝对值方程和不等式需要区分绝对值的几何意义和符号函数的性质。

二、几何1. 三角形三角形的基本要素包括边长、角度、面积等，掌握三角形的几何性质，特别是角平分线、中位线、高线、中心、外心和内心等点的性质，对于解决数学知识竞赛中的三角形问题非常重要。

2. 圆圆的性质和圆的相关线段的长度、面积等问题是几何中的基础知识点，解决圆的问题需要掌握圆的基本性质、弧长和扇形面积等公式，以及与圆相关的其他几何概念。

3. 直角三角形直角三角形是数学竞赛中常见的一个几何图形，解决直角三角形的问题需要掌握勾股定理、正弦定理、余弦定理等基本原理，并能够灵活运用这些定理解决问题。

高二数学竞赛班二试讲义第2讲 多项式的零点班级 姓名一、知识点金1．设多项式()f x =1110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++，其中i a F ∈（F 可以是复数集C ，实数集R ，有理数集Q ，整数集Z ），在F 中的数α使()0f α=，则称α为()f x 的零点。

2．因式定理：设()[]f x F x ∈，则x α=是()f x 的零点的充要条件是()f x 被x α-整除。

3．[]F x 中n 次多项式至多有n 个不同的零点；[]C x 中n 次多项式有n 个不同的零点。

4．设[]F x 中多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++在F 中至少有1n +个零点，则()f x 是零多项式（即所有项系数都是0）。

5．恒等定理：设(),()[]f x g x F x ∈，如果有无穷多个F α∈，使得()()f g αα=，则 ()()f x g x =（即f 与g 的同次幂的系数相等）6．设()()()mf x x q x α=-，其中()0q α≠，当正整数1m =时，称α为单根，当正整数1m >时，称α为重根，计算()f x 的零点个数时，重根计入重数。

7．设()f x 是一个整系数多项式，p 是一个素数。

若整数α满足()0(mod )f p α≡，则称α是()f x 模p 的一个零点，或称α是同余方程()0(mod )f x p ≡的一个解。

8．拉格朗日定理：设()f x 是一个整系数多项式，p 是一个素数，()f x 模p 的次数为n ，则同余方程②至多有n 个互不相同（即模p 不同余）的解。

如3p =是，21(mod 3)x ≡有两个解1x =±。

但如果p 是合数，则结论不再正确，如21(mod8)x ≡有两个解1,3x =±±9．设10()[]nn f x a x a x a Z x =+⋅⋅⋅++∈，1n ≥，00n a a ≠，且0(,,)1n a a ⋅⋅⋅=。

高二数学竞赛班二试平面几何讲义第一讲 梅涅劳斯定理和塞瓦定理班级 姓名一、知识要点：1. 梅涅劳斯定理：若直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线分别交于,,P Q R ，则1BP CQ ARPC QA RB⋅⋅=1A B C C B AC A Bh h h A B C l h h h BP CQ AR PC QA RB h h h ⋅⋅=⋅⋅=证：设、、分别是、、到直线的垂线的长度，则： 2. 梅涅劳斯定理逆定理：P Q R ABC BC CA AB P Q R ABC BP 021P Q R PC CQ ARQA RB∆∆⋅⋅=设、、分别是的三边、、上或它们的延长线上的三点，并且、、三点中，位于边上的点的个数为或，若，则、、三点共线；''''''''''1BP BP 11PC PC 02,PQ AB R CQ AR CQ AR AR AR QA R BQA RB R B RBP Q R ABC R R AB AB R R AB R R AR AR ⋅⋅=⋅⋅=∆>证：设直线与直线交于，于是由定理得：又，则：＝由于在同一直线上的、、三点中，位于边上的点的个数也为或，因此与或者同在线段上，或者同在的延长线上；若与同在线段上，则与必定重合，不然的话，设 '''''',,AR AR AR AR AB AR AB AR BR BR BR BR BR BR-<-<>这时即于是可得这与＝矛盾''R R AB R R P Q R 类似地可证得当与同在的延长线上时，与也重合综上可得：、、三点共线；注：此定理常用于证明三点共线的问题，且常需要多次使用再相乘； 3. 塞瓦定理：1:=⋅⋅∆RBARQA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是三线共点、、边上的点，则、、的分别是、、设,1BCM ACMABP BMP ABM ACP CMP ACM ABM BCM AP BQ CR M S S S S S BP CQ AR PC S S S QA S RB S BP CQ AR PC QA RB∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=====⋅⋅证：先证必要性：设、、相交于点，则：同理：以上三式相乘，得：＝ M QRACPB11BP CQ AR AP BQ M CM AB R PC QA RBBP CQ AR AR ARR R PC QA R B R B RB AB R R AP BQ CR M ⋅⋅=⋅⋅=‘’’’‘‘’ 再证充分性：若，设与相交于，且直线交于，由塞瓦定理有：，于是：＝因为和都在线段上，所以必与重合，故、、相交于一点点；二、例题精析1//ABC CK CE ACK E AK D AC F DE CK BF CE ∆∠例：若直角中，是斜边上的高，是的平分线，点在上，是的中点，是与的交点，证明：。

数学竞赛中的数论知识点总结数学竞赛中，数论是竞赛题目中经常出现的一个重要知识点。

在数论中，各种定理和技巧层出不穷，很多时候需要针对特殊类型的问题有针对性地进行研究。

本文将对数论中的一些基本知识点进行总结，以便竞赛选手更好地备战数学竞赛。

一、同余同余是数论中常见的一个概念。

a与b模n同余，当且仅当它们的差能被n整除，即a-b是n的倍数。

可以表示为$a \equiv b\pmod{n}$。

同时，同余关系具有传递性、反身性和对称性。

同余关系在数论中有很多应用，特别是在求证和构造问题中。

二、模反元素求模反元素是数论中的一个重要技巧。

在模n的情况下，如果a乘以x再模n可以得到1，那么x就是a模n的反元素（或倒数）。

求模反元素的一般方法是通过使用扩展欧几里得算法，在求最大公约数的同时求出x和y的值，其中x就是a模n的反元素。

三、欧拉函数欧拉函数是数论中一个重要的概念，通常记为$\varphi (n)$。

欧拉函数的意义是小于n的正整数中，与n互质的数的个数。

求欧拉函数的方法有很多种，其中比较常用的有：将n分解为质因数的积，然后根据欧拉函数的性质，对于每个不同的质因数，将它的欧拉函数值相乘即可。

四、费马小定理费马小定理是数论中常用的一个定理，它表明如果p是一个质数，那么对于任意正整数a，$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$。

这个定理在构造和求证问题中有很多应用，特别是在判定质数的问题中。

五、中国剩余定理中国剩余定理是一种将模数分解成相对质数乘积的方法。

可以表示为：$\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{n_1} \\ x \equiv a_2\pmod{n_2} \end{cases}$ 其中，$n_1$和$n_2$是两个互质的正整数，a1和a2是任意整数。

该定理的思路是先根据n1和n2分别求出它们的模反元素，然后利用同余方程组的解法，得出一个通解，最后在将通解化简成最小正整数解即可。

数学均值不等式被称为均值不等式。

·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方〞。

其中：，被称为调和平均数。

，被称为几何平均数。

，被称为算术平均数。

，被称为平方平均数。

一般形式设函数〔当r不等于0时〕；〔当r=0时〕，有时，。

可以留意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即。

特例⑴对实数a,b，有〔当且仅当a=b时取“=〞号〕，〔当且仅当a=-b时取“=〞号〕⑵对非负实数a,b，有，即⑶对非负实数a,b，有⑷对实数a,b，有⑸对非负实数a,b，有⑹对实数a,b，有⑺对实数a,b,c，有⑻对非负数a,b，有⑼对非负数a,b,c，有在几个特例中，最闻名的当属算术—几何均值不等式〔AM-GM不等式〕：当n=2时，上式即：当且仅当时，等号成立。

依据均值不等式的简化，有一个简洁结论，即。

排序不等式根本形式：排序不等式的证明要证只需证依据根本不等式只需证∴原结论正确棣莫弗定理设两个复数〔用三角形式表示〕，那么：复数乘方公式：.圆排列定义从n个不同元素中不重复地取出m〔1≤m≤n〕个元素在一个圆周上，叫做这n个不同元素的圆排列。

假如一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，那么认为这两个圆排列一样。

计算公式n个不同元素的m-圆排列个数N为：特殊地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。

费马小定理费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假设p是质数，且(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1〔mod p〕。

即：假设a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

组合恒等式组合数C(k,n)的定义：从n个不同元素中选取k个进展组合的个数。

根本的组合恒等式nC(k,n)=kC(k-1,n-1)C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)∑C(i,n)=2^n∑[(-1)^i]*C(i,n)=0C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)〔这特性质叫组合的【聚合性】〕C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n)C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1, m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n)韦达定理逆定理假如两数α和β满意如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程的根。