2014年广东省高中数学竞赛试题

试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2014.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式ShV 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 是虚数单位，若()2i 34im +=-，则实数m 的值为A ．2-B ．2± C．D ．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则cb 为A ．2sin CB ．2cos BC ．2sin BD ．2cos C3．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-=D ．()()22121x y -++=4．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．(][),22,-∞-+∞ D ．[]2,2-5．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[]80,100范围内的数据16个，则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个6．已知集合32A x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z 且，则集合A 中的元素个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b成立的一个必要非充分条件是A ．=a bB ．⊥a bC ．λ=a b()0λ> D ．a b8．设a ，b ，m 为整数（0m >），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．若不等式1x a -<的解集为{}13x x <<，则实数a 的值为 ．10．执行如图2的程序框图，若输出7S =，则输入k ()*k ∈N 的值为 ．11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是 ．12．设α为锐角，若3cos 65απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 12απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ． 13．在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos aρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若AB=a 的值为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图4，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆O 交于A ，B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD 的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，．（1）求实数a 的值； （2）设[]2()()2g x f x =-，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间．17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）．18．（本小题满分14分）如图5，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D的中点，点F 在棱1B B上，且满足12B F FB=．（1）求证：11EF AC ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ， 使A ，E ，G ，F 四点共面，并求 此时1C G的长；（3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值． 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S ．（注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值．）20．（本小题满分14分）已知双曲线E ：()222104x y a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为5，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF = ．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PMMH PNHN=，证明点H 恒在一条定直线上．21．（本小题满分14分）已知函数()()221e xf x x x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x的单调区间；（2）定义：若函数()h x在区间[],s t()s t<上的取值范围为[],s t，则称区间[],s t为函数()h x的“域同区间”．试问函数()f x在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即022a -+=．解得a =（2）方法1：由（1）得()sin f x x x =．所以2()[()]2g x f x =-()2sin 2x x =-22sin cos 3cos 2x x x x =++-2cos 2x x =+122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭2sin 2cos cos 2sin 66x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以()g x 的最小正周期为22π=π．因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ， 所以当πππ2π22π262k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增，即ππππ36k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ． 方法2：由（1）得()sin f x x x =+2sin cos cos sin 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以2()[()]2g x f x =-2π2sin 23x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π4sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 2π2cos 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭分 所以函数()g x 的最小正周期为22π=π分因为函数cos y x =的单调递减区间为[]2,2k k ππ+π()k ∈Z ，所以当22223k x k ππ≤+≤π+π()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．即ππππ36k x k -≤≤+（k ∈Z ）时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．17．（本小题满分1）（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） 解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ，由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足()()()()()113232,5611,253.10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎡⎤⎡⎤⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩解得()212P A =，()335P A =．所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35．（2）ξ的可能取值为1，3．因为()()()1231233P P A A A P A A A ξ==+()()()()()()123123111P A P A P A P A P A P A =+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦213312525525=⨯⨯+⨯⨯625=．所以()()113P P ξξ==-=61912525=-=．所以ξ的分布列为所以1963713252525E ξ=⨯+⨯=．18．（本小题满分1）（本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）推理论证法： （1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111AC B D ⊥．在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，所以111AC DD ⊥．因为1111B D DD D = ，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D，所以11AC ⊥平面11BB D D．因为EF ⊂平面11BB D D，所以11EF AC ⊥．（2）解：取1C C的中点H ，连结BH ，则BH AE ．在平面11BB C C中，过点F 作FG BH ，则F G A E ．连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面．因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a===， 所以1C G 116C C CH HG a =--=． 故当1C G16a=时，A ，E ，G ，F 四点共面．（3）延长EF ，DB ，设EF DB M = ，连结AM ， 则AM 是平面AEF 与平面ABCD 的交线．过点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，连结FN ， 因为FB AM ⊥，FB BN B = ， 所以AM ⊥平面BNF ．因为FN ⊂平面BNF ，所以AM ⊥FN ． 所以FNB ∠为平面AEF 与平面ABCD 所成 二面角的平面角．因为123132aMB BF MD DE a ===，即23=，所以MB =．在△ABM 中，AB a =，135ABM ∠=， 所以2222cos135AM AB MB AB MB =+-⨯⨯⨯()2222a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭213a =．即AM =．因为11sin13522AM BN AB MB ⨯=⨯⨯，所以sin135a AB MB BN AM⨯⨯⨯⨯===．所以39FN a ===．所以6cos 7BN FNB FN ∠==．故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．空间向量法：（1）证明：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,,C a a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()11,,0AC a a =-，1,,6EF a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ． 因为221100AC EF a a =-++= ，所以11A C EF⊥ ． 所以11EF AC ⊥．（2）解：设()0,,G a h ，因为平面11ADD A平面11BCC B ，平面11ADD A平面AEGF AE =，平面11BCC B平面AEGF FG =，所以FG AE ．所以存在实数λ，使得FG AE λ=．因为1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，1,0,3FG a h a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ， 所以11,0,,0,32a h a a a λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 所以1λ=，56h a=． 所以1C G 15166CC CG a a a =-=-=．故当1C G 16a=时，A ，E ，G ，F 四点共面．（3）解：由（1）知1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ． 设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-． 所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量． 而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则11cos DD DD θ=n n (1)67==．故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．第（1）、（2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法： （1）、（2）给分同推理论证法．（3）解：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则(),0,0A a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ． 设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-． 所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量． 而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则11cos DD DD θ=n n (1)67==．故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．19．（本小题满分1）（本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识） 解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯，即28n a n =+．因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，所以112n n b -=⨯，即12n n b -=． （2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =．易知当5n ≤时，n na b >．下面证明当6n ≥时，不等式n nb a >成立．方法1：①当6n =时，616232b -==620268a >=⨯+=，不等式显然成立．②假设当n k =()6k ≥时，不等式成立，即1228k k ->+．则有()()()()122222821826218k k k k k k -=⨯>+=++++>++．这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立． 所以当6n ≥时，n nb a >．方法2：因为当6n ≥时()()()112281128n n n n b a n n ---=-+=+-+()()01211111C C C C 28n n n n n n -----=++++-+()()012321111111C C C C C C 28n n n n n n n n n n ---------≥+++++-+()()0121112C C C 28n n n n ---=++-+()()236460n n n n n =--=-+->，所以当6n ≥时，n nb a >．所以{}min ,n n n c a b =12,5,28,5.n n n n -⎧≤=⎨+>⎩则()22222,5,44, 5.n n n c n n -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩当5n ≤时，2222123n n S c c c c =++++ 2222123n b b b b =++++024222222n -=++++1414n -=-()1413n =-．当5n >时，2222123n n S c c c c =++++()()22222212567n b b b a a a =+++++++()51413=-()()()222464744n ⎡⎤+++++++⎣⎦()()()222341467867165n n n ⎡⎤=+++++++++-⎣⎦()()()()2222223414121253267645nn n ⎡⎤=++++-++++++++-⎣⎦()()()()()121653414553264562n n n n n n+++-⎡⎤=+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦3242421867933n n n =++-．综上可知，n S ()32141,5,3424218679, 5.33nn n n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪++->⎪⎩20．（本小题满分1）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得22 4.c ac a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得a =．（2）证明：由（1）可知，直线2533a x ==，点()23,0F ．设点5,3P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,()00,Q x y ，因为220PF QF =，所以()0053,3,03t x y ⎛⎫----= ⎪⎝⎭ ．所以()00433ty x =-．因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即()2200455y x =-．所以20000200005533PQ OQy t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=--()()2002004453453553x x x x ---==-．所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45．（3）证法1：设点(),H x y ，且过点5,13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则22114520x y -=，22224520x y -=，即()2211455y x =-，()2222455y x =-．设PM MHPN HN λ==，则,.PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 即()()1122112255,1,1,33,,.x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩整理，得()()()1212121251,31,1,1.x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得()()22221222221251,31.x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩⑤⑥将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入⑥，得2221224451x x y λλ-=⨯--． ⑦将⑤代入⑦，得443y x =-．所以点H 恒在定直线43120x y --=上．证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在．设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 由2251,31.54y k x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩ 消去y 得()()()22229453053255690k xk k x k k -+---+=．因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053,95425569.954k k k k k k k x x k k k x x k ⎧⎪∆=-+--+>⎪⎪-⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩设点(),H x y ，由PM MH PN HN =，得112125353x x x x x x --=--．整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．1将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954k k x k k x k k -++--+=--．整理得()354150x k x --+=． ④因为点H 在直线l 上，所以513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ⑤ 联立④⑤消去k 得43120x y --=． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．（本题（3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．） 21．（本小题满分1）（本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） 解：（1）因为()()221e xf x x x =-+，所以2()(22)e (21)e x x f x x x x '=-+-+()21e x x =-(1)(1)e xx x =+-．当1x <-或1x >时，()0f x '>，即函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞．当11x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 的单调递减区间为()1,1-．所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-．（2）假设函数()f x 在()1,+∞上存在“域同区间”[,](1)s t s t <<，由（1）知函数()f x 在()1,+∞上是增函数，所以(),().f s s f t t =⎧⎨=⎩ 即22(1)e ,(1)e .s t s s t t ⎧-⋅=⎨-⋅=⎩也就是方程2(1)e xx x -=有两个大于1的相异实根．设2()(1)e(1)xg x x x x=-->，则2()(1)e1xg x x'=--．设()h x=2()(1)e1xg x x'=--，则()()221e xh x x x'=+-．因为在(1,)+∞上有()0h x'>，所以()h x在()1,+∞上单调递增．因为()110h=-<，()223e10h=->，即存在唯一的()1,2x∈，使得()h x=．当()1,x x∈时，()()0h x g x'=<，即函数()g x在()01,x上是减函数；当(),x x∈+∞时，()()0h x g x'=>，即函数()g x在(),x+∞上是增函数．因为()110g=-<，0()(1)0g x g<<，2(2)e20g=->，所以函数()g x在区间()1,+∞上只有一个零点．这与方程2(1)e xx x-=有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数()f x在()1,+∞上不存在“域同区间”．。

广东省高中数学竞赛试题及详解答案x广东省高中数学竞赛试题及详解答案一、选择题1. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 5x + 3 ，则 f(-1) =（）。

A. 0B. 3C. 4D. 6解析：将 x = -1 代入函数 f(x) 中，得到 f(-1) = 2(-1)^2 - 5(-1) + 3 = 2 + 5 + 3 = 10，选项 D 正确。

2. 若函数 f(x) = 3^x + 3^(x+1)，则 f(2x) =（）。

A. 6^(2x)B. 6^(4x)C. 6^(x+1)D. 6^(x+2)解析：将 x 替换为 2x，得到 f(2x) = 3^(2x) + 3^(2x+1) = 9^x + 27^x =（3^2）^x + （3^3）^x = 6^x + 27^x，选项 C 正确。

3. 设函数 f(x) 的解析式为 f(x) = ax^2 + 3bx + c ，且 f(1) = 4 ，f(-1) =2 ，则 f(3) =（）。

A. 22B. 26C. 38D. 58解析：根据题意可写出方程组：a + 3b +c = 4 （1）a - 3b +c = 2 （2）将（1）+（2）得到 2a + 2c = 6，即 a + c = 3。

再将（1）-（2）得到 6b = 2，即 b = 1/3。

将 a = 3 - c 和 b = 1/3 代入函数 f(x) 中，得 f(3) = a(3^2) + 3b(3) + c = (3 - c)(9) + 1 + c = 27 - 8c，代入 a + c = 3 得到 a = 3 - c。

将 a = 3 - c 代入 f(3) 中，得到 f(3) = 27 - 8c = 27 - 8(3 - a) = 27 - 24+ 8a = 8a + 3，代入 a + c = 3 得到 a = 3 - c。

由 a + c = 3 可得到 a = 2 ，代入 f(3) = 8a + 3 中得到 f(3) = 16 + 3 = 19，选项与解析结果不符，因此该题无解。

2014 年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题及答案2014 年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题（2014 年4 月13 日上午9∶00－11∶00）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，满分50 分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．1．设集合，，映射：满足，则映射：的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．直角梯形中，，，.以直线为轴将梯形旋转一周所得旋转体的体积为3．已知是奇函数，定义域为，又在区间上是增函数，且，则满足的的取值范围是4．已知虚数，其中、均为实数，当时，的取值范围是5．设，且，，则点在（为坐标原点）平面上的区域的面积是A．B．1C．2D．2014 年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题及答案阅读版(可调整文字大小)广州市2014 届高三语文调研测试试卷及答案广州市2014 届高三年级调研测试语文来源：刘超衡的博客2014.01本试卷共8 页，六大题，共24 小题，满分150 分。

考试用时150 分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、本大题 4 小题，每小题 3 分，共12 分。

1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是A．肄业/肆扰懈怠/亵渎押解/浑身解数B．聒躁/恬静咯血/炮烙中肯/一语中的C．戳穿/杀戮希冀/契约咀嚼/咬文嚼字D．国粹/荟萃悭吝/信笺拓本/落拓不羁2．下面语段中划线的词语，使用不恰当的一项是梁启超先生是一位百科全书式的人物。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0 :11,,60,.22BB=∴答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 200,20B. 100,20C. 200,10D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l，满足122334,,l l l l l l⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l⊥ B.14//l l C.14,l l既不垂直也不平行 D.14,l l的位置关系不确定答案:D8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i∈-=，那么集合A中满足条件“1234513x x x x x≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C10;:C40;:C C C80.104080130,D.x x x x xC C AC C++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-xx的解集为.(][)(][) ,32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-x e y 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sincos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f .55233:(1)()sin()sin ,12124322(2)(1):()sin(),4()()))44(sin coscos sin ))cos cos()sin )44443cos sin 42cos (0,),42f A A Af x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得sin 433()sin()).44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-===17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.121272:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2):n n f f ======解频率分布直方图如下所示(](](]044(3),30,350.2,30,35(4,0.2),130,35:1(0.2)(0.8)10.40960.5904.B C ξξ-=-=根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为设日加工零件数落在区间的人数为随机变量,则故4人中,至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE∥CD ， 交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ； （2）求二面角D －AF －E 的余弦值. :(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则00,CD 2,30,130,==1,21324,,,,,22333EG .,423EHG D AF E DPC CDF CF CD DECF CP EF DC DEDF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅======⋅∴===为二面角的平面角设从而∥还易求得EF=从而易得故cos GH EHG EH ∴∠===12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),,(23,22,0),,,431,0),ADF CP (3,1,0),22AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CFF E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,||||2n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数()f x =，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）.222222122222:(1)(2)2(2)30,2123:210,44(1)4(2)0(2),21=01210:11230,23044(3)x x k x x k x x k x x k x x k k k k x x k x x k x x x x k x x k k +++++->++>++<-++->∆=--=-><-∴++--±∴++-><-->-++++<+++=∆=-+=解则①或②由①得方程的解为由得由②得:方程的判别式23'24(2)0(2),1230:112,11111(,1(12,12)(12,).(2)0,1()2(2k k x x k x k D k k k u f x u x ---><-∴-±+++<--<-+<-∴--<-<-<-+<-+∴=-∞-------+---+-+∞=>=-⋅⋅该方程的解为由得设则23222'2'22)(22)2(22)2(1)(21)()(,1,10,21110,()0;()(11),10,21310,()0;()(1,1,10,21310,x k x x u x x x k i x x x x k f x ii x x x x k f x iii x x x x k f -⎡⎤++⋅+++⎣⎦=-+⋅+++∈-∞-+<+++>+>∴>∈---+<+++<-+<∴<∈--++>+++<-+<∴当时当时当时'2'()0;()(1),10,21110,()0.,():(,11,1,():(11),(1).x iv x x x x k f x f x D f x D >∈-++∞+>+++>+>∴<-∞--------++∞当时综上在上的单调增区间为在上的单调减区间为22222222222(3)g(x)(2)2(2)3,(1),x D ,g(x)0;g(1)(3k)2(3)3(6)(2),,6,(1)0,()(1)()(1),()(1)[(2)2(2)3][(3k)2(3)3][(2)(3k)]x x k x x k k k k k g f x f g x g g x g x x k x x k k x x k =+++++-∈>=+++-=++<->>⇔<-=+++++--+++-=++-+设由知当时又显然当时从而不等式2222[(2)(3)](3)(1)(225),()(3)(1)0,()(1),()(6,111311111,1111),2250,k x x k k x x x x k i x x x f x f g x x g x k x x +++-+=+-++<-∴----<<-+-+----+<+->∴><+<-++<<当欲使即亦即即2222(3)(1)0,225(2)(5)3(5)0,()(1),()(1);(1iii)31,(3)(1)0,2253(5)0,()(1),;(iv)1(()13,13)(1)0,,2ii x x x x x k x x k k k g x g f x f x x x x x k k g x g x x x x x <+->+++=++++<-++<<>-<<+---<--<+++<-++<∴><<+->++时此时即时不合题意21,11253(5)0,()(1),;(v)(3)(1)0,()(1),2250,()(1)11,11(13)(1(1(,11k k g x x g x x x g x g x x x k f x f -+-<-+<-++<∴<>+->∴<+-<---⋃--⋃-+⋃--+++<>从而综合题意欲使则即的解集为:上所述。

广东省佛山市2014届高三教学质量检测（二）数学理试题一、选择题1、复数11z i =+（其中i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是 A 、1122z i =- B 、1122z i =-- C 、1z i =- D 、1z i =--2、已知(){}(){},2,,xM x y y N x y y a ====，若MN =∅，则实数a 的取值范围为A 、(),1-∞B 、(],1-∞C 、(),0-∞D 、(],0-∞ 3、下列函数为奇函数的是A 、y x x =B 、2cos y x x =-C 、sin y x x =D 、x x y e e -=+4、若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则35z x y =+的取值范围是A 、[)3,+∞B 、[]8,3-C 、(],9-∞D 、[]8,9-5、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐进线与实轴的夹角为60，则双曲线的离心率为 AB 、2 C、 D6、如右图是求10!的程序框图，则在判断框内应填的条件可以是 A 、10?i < B 、10?i ≤ C 、11?i ≤ D 、10?i >7、已知p ：“1x =是方程20ax bx c ++=的一个根”，q ：“0a b c ++=”，则p 是q 的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要8、若集合M,N 满足M N =Ω，则称[],M N 是集合Ω的一组双子集拆分，规定：[],M N 和[],M N是Ω的同一组双子集拆分，已知集合{}1,2,3Ω=，那么Ω的不同双子集拆分共有 A 、16组 B 、15组 C 、14组 D 、13组 二、填空题 （一）必做题9、不等式13x x -+≥的解集为 10、记函数()12l o gfx x=的反函数为()g x ，则函数()()y f x g x =+在区间[]1,2上值域为11、某正三棱锥的三视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积为 12、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且9420S S =+，则13S 的值为13、在圆O AB 不过圆心，则AO AB 的值为 （二）选做题14、（坐标系与参数方程）已知曲线()1:sin x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数与曲线()2:2x tC t y kt =⎧⎨=-⎩为参数有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为15（几何证明选讲）如图所示，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C的切线交AB 的延长线于点D ，已知3CD AB BC ===,则AC 的长为三、解答题16、已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=3sin sin )(πx x x f ，R x ∈.（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若10612=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθf ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈43,2ππθ，求θs i n .17、“行通济”是广东佛山一带在元宵节期间举行的游玩祈福活动，每到这一天，家家户户都会扶老携幼，自清晨到夜幕，举着风车、摇着风铃、拎着生菜浩浩荡荡地由北到南走过通济桥，祈求来年平平安安、顺顺利利。

【数学试卷· 参考答案 第1页 共4页（文科）】广东省百所高中高三联合考试数学试卷参考答案（文科）1．C 2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（i －1）2＝－1＋i. 2．D M ∩N ＝{0，2}．3．D 是奇函数的只有C 和D ，是减函数的则只有D.4．B ∵cos α＝－13，α∈(－π，0)，∴sin α＝－223，∴tan α＝2 2. 5．C 圆心为A (3，0)，因为点P (1，1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN ，AP 的斜率为k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2. 6．D 还原直观图可得，该几何体是个三棱柱，如图，根据数据得底面面积S ＝2，高h ＝2，所以体积V ＝4.7．A 画出可行域易知在点(3，－3)处有最小值－6.8．D 程序运行过程为p ＝1，S ＝1，p ＝2，S ＝1＋12＝32，p ＝3，S ＝32＋13＝116，p ＝4，S ＝116＋14＝2512＞A ＝2，∴输出S ＝2512. 9．A 连接MF 2，则ON 是△MF 1F 2的中位线，所以|NF 1|＋|NO |＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a ，又因为∠MF 1O ＝π3，|OF 1|＝c ，所以|NF 1|＝12c ，|NO |＝32c ，所以12c ＋32c ＝a 得e ＝c a ＝21＋3＝3－1. 10．B A 显然成立；对于B ，λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，(λa )⊗b ＝|λa |·|b |sin 〈a ，b 〉，当λ＜0时，λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b 不成立；对于C ，由a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉，可知(a ⊗b )2＋(a·b )2＝|a |2·|b |2；对于D ，(a ⊗b )2＝|a |2·|b |2－(a·b )2＝(x 21＋y 21)(x 22＋y 22)－(x 1x 2＋y 1y 2)2＝(x 1y 2－x 2y 1)2，故a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|恒成立．11．6 由2a 9＝a 12＋6，得a 6＋a 12＝a 12＋6，所以a 6＝6.12．3x ＋y －5＝0 ∵y ′＝x 2－2x （x ＋1）x 4＝－x 2－2x x 4，∴该切线的方程k ＝－3，切线方程为y －2＝－3(x －1)，即3x ＋y －5＝0.13．1 ∵当x ≥4时，89＋89＋92＋93＋92＋91＋947＝6407≠91，∴x ＜4，则89＋89＋92＋93＋92＋91＋x ＋907＝91，∴x ＝1. 14．±2 ⊙C 1的方程化为ρ＝4cos θ＋4sin θ，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，由ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2－4x －4y ＝0，其圆心C 1坐标为(2，2)，半径r 1＝22；圆C 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ其普通方程是(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，所以C 2的坐标是(－1，－1)，r 2＝|a |，因为两圆外切，所以|a |＋22＝|C 1C 2|＝（2＋1）2＋（2＋1）2＝32，所以a ＝±2. 15．2 由已知得BD ＝AD ＝BC ，BC 2＝CD ·AC ＝(AC －BC )·AC ，得AC ＝2.16．解：(1)f (5π4)＝2sin(13×5π4－π6)＝2sin π4＝ 2.(5分) (2)由f (3α＋π2)＝2sin α＝1013，得sin α＝513， 又α∈[0，π2]，所以cos α＝1213， 由f (3β＋2π)＝2sin(β＋π2)＝2cos β＝65，得cos β＝35， 又β∈[0，π2]，所以sin β＝45， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.(12分) 17．解：(1)由表可知抽取比例为16，故a ＝4，b ＝24，c ＝2. (3分) (2)设“动漫”4人分别为A 1，A 2，A 3，A 4；“话剧”2人分别为B 1，B 2.则从中任选2人的所有基本事件为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 3，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个．其中2人分别来自这两个社团的基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8个．所以这2人分别来自这两个社团的概率P ＝815.(12分) 18．证明：(1)连结AC 交BE 于O ，并连结EC ，FO . ∵BC ∥AD ，BC ＝12AD ，E 为AD 中点， ∴AE ∥BC ，且AE ＝BC ，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴O 为AC 中点，又∵ F 为PC 中点，∴OF ∥P A ，∵OF ⊂平面BEF ，P A 平面BEF ,∴P A ∥平面BEF .(7分)(2)连结PE .∵P A ＝PD ，E 为AD 中点，∴AD ⊥PE .∵BC ∥AD ，BC ＝12AD ，E 为AD 中点， ∴BCDE 为平行四边形，∴BE ∥CD ，∵AD ⊥CD ，∴AD ⊥BE ，∵PE ∩BE ＝E,∴AD ⊥平面PBE ，∵PB ⊂平面PBE ，∴AD ⊥PB .(14分)19．解：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23.(1分) 当n ≥2时，∵S n ＝1－12a n, S n －1＝1－12a n －1，(2分) ∴S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，∴a n ＝13a n －1(n ≥2)，(3分) ∴{}a n 是以23为首项，13为公比的等比数列．(5分) 故a n ＝23·(13)n －1＝2·(13)n (n ∈N ＋)．(7分) (2)1－S n ＝12a n ＝(13)n ，b n ＝log 3(1－S n ＋1)＝log 3(13)n ＋1＝－n －1，(9分) 1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2.(11分) 1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)＝12－1n ＋2， 解方程12－1n ＋2＝2551，得n ＝100.(14分) 20．解：(1)依题意知－p 2＝－1，解得p ＝2， 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(4分)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D (x 1，－y 1)，且设直线l 的方程为x ＝my －1(m ≠0)． 将x ＝my －1代入y 2＝4x ，并整理得y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4.所以x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2，x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝m 2y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝1.因为F A ＝(x 1－1，y 1)，FB ＝(x 2－1，y 2)，F A ·FB ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，故8－4m 2＝89，解得m ＝±43， 所以直线l 的方程为x ＝±43y －1， 即3x －4y ＋3＝0或3x ＋4y ＋3＝0.(14分)21．解：(1)∵f (x )＝13x 3－12(2a －1)x 2＋[a 2－a －f ′(a )]x ＋b ， ∴f ′(x )＝x 2－(2a －1)x ＋a 2－a －f ′(a )，∴f ′(a )＝a 2－(2a －1)a ＋a 2－a －f ′(a )，(3分)∴f ′(a )＝0.(4分)(2)由(1)得f (x )＝13x 3－12(2a －1)x 2＋(a 2－a )x ＋b . ∵f ′(x )＝x 2－(2a －1)x ＋(a 2－a )＝[x －(a －1)]·(x －a )，令f ′(x )＞0⇒x ＜a －1或x ＞a ，令f ′(x )＜0⇒a －1＜x ＜a ，∴f (x )在(－∞，a －1]上单调递增，在[a －1，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增． (6分)又∵0≤a ≤1，∴f (x )在x ∈[0，1]上的最小值为f (a )＝13a 3－12a 2＋b .(8分) ∴13a 3－12a 2＋b ＞1在a ∈[0，1]上恒成立， 即b ＞－13a 3＋12a 2＋1在a ∈[0，1]上恒成立． 令g (x )＝－13x 3＋12x 2＋1(0≤x ≤1)， 则g ′(x )＝－x 2＋x ＝－x (x －1)≥0，(13分)∴g (x )在x ∈[0，1]上单调递增，∴1≤g (x )≤76，∴b ＞76.(14分)。

汕尾市2014届高中毕业生第二次综合测试 2013.12.18数 学（理科）试题命题：陈利群 陈章舜 审核：汕尾市教育局教研室本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卡交回.参考公式：台体的体积公式121(3V s s h =+⋅,其中1s ，2s 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高。

第Ⅰ部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡上. 1.设集合2{|0,}M x x x x R =+=∈，2{|0,}N x x x x R =-=∈,则M N =（ ）A.{0}B. {0,1}C. {1,0}-D. {1,0,1}-2． “||||||a b a b -=+” 是“0ab <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分又不必要条件3．在长为10，宽为6的矩形内画一个内切椭圆，切点为各边的中点，则此椭圆的离心率为（ ） 4.5A 3.5B 3.4C.D 4．某台体的三视图如图所示，则该台体的体积是（ ）A.(5πB. 28πC. 7πD. 21π俯视图侧视图正视图5.关于两条不同直线l ，m 及两个不同平面α，β，下列命题中正确的是（ ） A ．若,,//m l =⋂βαα则m l // B ．若,//,βαl l ⊥则βα⊥ C ．若,//,//ααm l 则m l // D ．若l m l ⊥,//α，则α⊥m6.已知离散型随机变量ξ的分布列为：且ξ的数学期望()5E ξ=，则10()b a dx x=⎰（ ）A.1ln 2+B.1C. 1ln 2-+D. ln 27.在函数(1)xxy e e -=-，21(2)21x x y -=+，(3)cos )y x x =⋅中，是奇函数的个数为( )A.0B.1C. 2D.38．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =。

2014年茂名市高中数学竞赛决赛试题2014.9.28一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1.已知集合},3cos|{Z n n x x E ∈==π，},6sin |{Z m m x x F ∈==π，则集合E 与F 的关系是 A ．E F ≠⊂ B ．F E ≠⊂C ．F E =D ．Φ=F E2．如图1所示，是关于判断闰年的流程图，则以下年份是闰年的为A ．2100年B ．2010年C ．1998年D ．1996年 3.若有样本容量为8的样本平均数为5，方差为2，现往样本中 加入一个新数据4，新样本容量为9，则新样本的平均数和方 差分别为A ．81296,935 B ．81296,944 C ．81152,944 D ．917,935 4．函数()(1)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ．32π C ．π D ．2π5．设方程 x xlg 2=-的两个根为21,x x ，则A ．021<x xB ．121=x xC ．121>x xD ．1021<<x x6．函数x xx xe e y e e--+=-的图像大致为二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．）D8．已知非零向量=+=⋅|2|,0,,b a 若 ．9．科学家以里氏震级来度量地震的强度：若设I 为地震时的相对能量程度，则里氏震级量度（r ）可定义为I r lg =．2008年四川省汶川地区发生里氏8.0级地震，同1976年的唐山大地震（里氏7.8级）比较，汶川地震的相对能量程度是唐山大地震的 倍．10．从正方体的8个顶点中，任意选择4个顶点，则这四个点可能是①矩形的四个顶点；②有三个面为等腰直角三角形，另一个面为等边三角形的四面体的四个顶点； ③每个面都是等边三角形的四面体的四个顶点； ④每个面都是直角三角形的四面体的四个顶点． 其中正确的结论是____________．（请把所有正确结论的序号都填上）11．过直线01=++y x 和圆014222=+-++y x y x 的交点且面积最小的圆的方程为 ．12．定义域为R 的函数)(x f 同时满足：①1)()(=-+x f x f ，②)()1(x f x f =-，则=)2009(f ．答 题 卡一、选择题二、填空题7． 8． 9． 10． 11． 12． 三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 13．（本小题满分12分）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-．（1）若c a b a ⋅=⋅2，求tan()αβ+的值； （2）求||b c +的最大值；（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b ．14．（本小题满分12分）已知函数1log 2log )(222++=x a x a x f 在区间]4,81[上的最大值为4，求实数a 的值．15．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，122DC DD AD AB===2=， AD DC AB DC ⊥，∥．（1）求四棱柱1111ABCD A BC D -的体积； （2）求证：11DC AC ⊥；（3）设F 是BC 上一点，试确定F 的位置，使//1F D 平面1A BD ，并说明理由． BCDA1A1D 1C1B16． （本小题满分12分）已知三条直线1l ：02=+-a y x )0(>a ，2l ：0124=--y x ，3l ：01=-+y x ，而且1l 与2l 之间的距离是1057． （1）求a 的值；（2）能否在第一象限．．．．找到一点P ，使得P 同时满足下列两个条件：①P 点到1l 的距离与P 点到2l 的距离之比是1∶2；②P 点到1l 的距离与P 点到3l 的距离之比是2∶5；．若能，求出P 点的坐标；若不能，请说明理由．17．（本小题满分14分）如图，过点),0(a A 作直线l ，交圆1)2(:22=+-y x M 于点B 、C ，在BC 上取一点P ，使P 点满足)(,R ∈==λλλ．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若点P 的轨迹交圆M 于点R 、S ，求MRS ∆面积的最大值．18．（本小题满分14分）已知10≠>a a 且，函数])1,1[()(-∈+=-x a a x f x x ，])1,1[(42)(2-∈-+-=x a ax ax x g ． （1）求)(x f 的单调区间和值域；（2）若对于任意]1,1[1-∈x ，总存在]1,1[0-∈x ，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围； （3）若对于任意]1,1[0-∈x ，任意]1,1[1-∈x ，都有)()(10x f x g ≥恒成立，求a 的取值范围．高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）BDCADA二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7．103 8．1 9．0.210 10．①②③④ 11． 2)1()2(22=-++y x 12．21 三、解答题13．（本小题满分12分）解：（1）由c a b a ⋅=⋅2得)sin sin 4cos cos 4(2cos sin 4sin cos 4βαβαβαβα-=+， ………..1分即)cos(2)sin(βαβα+=+， ……….2分2)t a n(=+βα． ………..4分 （2）)sin 4cos 4,cos (sin ββββ-+=+c b． ………..5分 ββββββββ22222s i n 16sin cos 32cos 16cos cos sin 2sin +-+++=+c bββcos sin 3017-=β2sin 1517-=． ………..7分β2sin 1517-的最大值为32，所以c b+的最大值为24. ………..9分（3）由16tan tan =βα得βαβαcos cos 16sin sin =， ………..10分即0sin sin cos 4cos 4=-⋅βαβα，所以βα//． ………..12分 14．（本小题满分12分）解：令[]2,34,81,log 2-∈∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=t x t x ． ………..3分原函数化为1)1(1222+-+=++=a t a at at y ． ……….5分 当0>a 时，,4181)12(22max=+=+-+==a a a y t ……….7分83=∴a ． ……….8分当0<a 时，,411max=+-=-=a y t ………..10分3-=∴a ． ………..11分383-=∴或a ． ………..12分15．（本小题满分14分）解：（1） AD DC AB DC ⊥，∥且AB DC 2==2，∴四棱柱的底面为直角梯形， ………..1分又因为侧棱⊥1AA 底面ABCD ,所以四棱柱为直四棱柱． ……….2分∴622)21(211111=⨯⨯+=-D C B A ABCD V ． ………..4分 (2)连接1DC ,1DD DC = 且侧棱⊥1AA 底面ABCD ，∴四边形11D DCC 为正方形，∴11DC C D ⊥． ……….5分又 直四棱柱且,DC AD ⊥∴11D DCC AD 面⊥． ……….6分∴C D AD 1⊥，即11ADC C D 面⊥，……….7分∴11DC AC ⊥． ……..8分（3）取BC 中点F ，DC 中点E ，连接F D EF E D 11,,． … …..10分 在直角梯形ABCD 中，F E , 为中点∴DB EF //∴⊄BD A EF 1面 BD A EF 1//面． ……..11分又11////D A AD BE ,∴E D B A 11//BD A E D BD A E D 1111//面面∴⊄ ．……..12分BD A EF D E E D EF 111//面面∴=⋂ ． ………..13分 ∴⊂EF D F D 11面 //1F D 平面1A BD ． ………..14分16.解：（本小题满分12分）BCDA1A1D1C1B解：(1)由0212:2=--y x l ， ∴1l 与2l 的距离1057)1(2)21(22=-+--=a d ， ……….1分 化简得：2721=+a ，∴43或－=a ． ……….2分30=∴>a a ． ……….3分 （2）由题意设0,0),,(0000>>y x y x P ，由条件①知P 点在与1l 、2l 平行的直线L ：02=+-c y x 上，即0200=+-c y x ． ……….4分5212153+=-c c ，即213=c 或611=c， ∴0213200=+-y x 或0611200=+-y x ． ……….5分由条件②得：21525320000-+∙=+-y x y x ，即：1320000-+=+-y x y x ，∴04200=+-y x 或0230=+x ， ………6分 由P 在第一象限，∴0230=+x 不可能， ……….7分 由方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-21304202132000000y x y x y x ，舍去， ……….9分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-18379104206112000000y x y x y x 得． …….11分所以满足条件的P 点坐标为)1837,91(． ……….12分17．（本小题满分14分）解：（1）设),(y x P ．因为)(,R ∈==λλλ，∴CB CB C B c B x x x x x x x x x x x +=⇒-=-=2)(,λλ． ……….1分又设a kx y l +=:，由⎩⎨⎧=+-+=1)2(22y x a kx y 得03)42()1(222=++-++a x ak x k ，从而有22213,124k a x x k ak x x C B C B ++=+-=+． ……….3分 ∴akk a a kx y ak a x -+=+=-+=232,232． ……….4分消去k 得032=--ay x （圆内部分）． ……….5分 （2）圆心M （2，0）到线段032=--ay x 的距离为412+=a d ， ……….6分43212||222++=-=a a d RS ， ……….7分 则43||2122++==∆a a RS d S MRS． ………8分 令)3(32≥=+t t a ， 则tt t t a a S MRS11143222+=+=++=∆． ……….9分记tt t f 1)(+=，任取213t t <≤， 有0)11)(()()(212121<--=-t t t t t f t f ， ………10分 则tt t f 1)(+=在),3[+∞上单调递增， ………11分⇒=≥+=43)3(1)(f t t t f 4311≤+=∆tt S MRS ． ………13分 ∴43)(max =∆MRS S （当且仅当3=t 时取等号）． ……….14分解：（1）任取11]1,1[2121≤<≤--∈x x x x ，且、， 则)11)(()()(212121x x x x a a a a x f x f --=-． ……….1分 若1>a ，当时，，且、10]1,0[2121≤<≤∈x x x x0)11)(()()(212121<--=-x x x x aa a a x f x f ， 则)(x f 在[0，1]上递增． ……….2分 ∵)()(x f x f =-∴)(x f 为偶函数，则)(x f 在[-1,0]为减函数． ……….3分 因此)(x f 的值域为]1,2[aa +． ……….4分 同理，若10<<a ，则在[0，1]上为减函数；在]0,1[-上为增函数； ……….5分)(x f 的值域为]1,2[aa +． ………6分 （2）a x a x g 24)1()(2-+-= ，在[－1，1]上递减，∴)(x g 在[-1,1]上的值域为]24,24[a a +-． ……….7分 ∵任意的]1,1[1-∈x ，总存在]1,1[0-∈x ，使得()()01g x f x =成立，∴⊇+-]24,24[a a ]1,2[aa +， ………8分 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥+≤-≠>a a a a a a 12422410且．∵10.≠>a a 且，∴a 的取值范围为1>a ． ……….10分（3）∵任意的]1,1[0-∈x ,任意的]1,1[1-∈x ，使得)()(10x f x g ≥恒成立，∴)()(max min x f x g ≥， ……….12分 即⎪⎩⎪⎨⎧+≥-≠>a a a a a 12410且，解得131<≤a ， ………13分 ∴a 的取值范围为)1,31[． ………14分。

2014年广东省高中数学竞赛试题参考答案一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．1．1,0,2-；【解析】当0a =时，A B φ=⊆，满足题意；当0a ≠时，21a-=-或2，解得2a =或 1.- 2．311513141813.51C C C =； 3．1；4．5； 【解析】的图形如下 设， 得.的图象过点（2，1）时取得最大值=5.5．；6【解析】由已知，cos sin 3αα-=，∴2cos()043πα+=>. 又α是锐角，∴sin()43πα+=. 521sin()sin[()]124632πππαα+=++=+⋅=. 7．设2222()(22)9x xy y x a x y m x y m a --++≡++-+⇒= 8．1.【解析】∵21211202192021212121211)...=+++++C C C C ，21211202192021212121211)...=-+-+-C C C C ，∴211)=-+a从而，2221-=b a ，若0(mod3)≡b ，则21(mod3)≡-a ，这与20,1(mod3)≡a 矛盾.∴(27,) 1.=b二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）矩形ABCD 中，AB =2，AD =4，E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE =1，BF =3，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上．求二面角A- DE -F 的大小.E 【解析】如图，过E 作ER ∥DC ，过E 作ES ⊥平面EFCD ，分别以ER ，ED ，ES 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. ∵B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上，设(0,,),0,0.B y z y z >> ∵(2,2,0)F ， 3.BE BF ==22225,1,2.4(2)9.y z y z y z ⎧+==⎧⎪∴⇒⎨⎨=+-+=⎪⎩⎩∴()0,1,2B .∴()2,1,2FB =--，∴1212(,,)3333EA FB ==--. 设平面ADE 的一个法向量为，又有(0,3,0)ED =.2120,(1,0,1)33330.x y z n y ⎧--+=⎪∴⇒=⎨⎪=⎩ 又∵平面CDEF 的一个法向量为(0,0,1)m =.设二面角A DE F --的大小为θ，显然θ为钝角. ∴22,cos cos -=><-=m n θ,∴135θ=︒.10．（本题满分20分）过椭圆22:12516x y C +=的右焦点F 作直线交椭圆C 于A 、B 两点，已知||8AB =，试求直线AB 的方程．【解析】由已知(3,0)F ，设直线:3AB x my =+.由22221625400,(1625)962560.3.x y m y my x my ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩ 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122296256,.16251625m y y y y m m ⋅--+==++由已知，||88AB =⇒=.即222296256(1)[()4]6416251625m m m m -++⋅=++，解得m =.∴直线AB 的方程为：260x -=.11．（本题满分20分） 已知不等式1(1)n a e n-+≥对任意正整数n 都成立，试求实数a 的取值范围. 【解析】已知式两边取自然对数，得1()ln(1)1n a n-+≥. 两边同除以n ，得1111(1)ln(1)(1)ln(1)0a a n n n n n n-+≥⇒-+-≥.① 令()(1)ln(1)(01)f x ax x x x =-+-<≤.要①式成立，只需()0(01)f x x ≥∀<≤. ②11()ln(1)1ln(1)(1).11ax a f x a x a x a x x-+'=-++-=-++-+++ 22121()(()).1(1)(1)a a ax a f x f x x x x -+---''''==-=+++ (1) 若12a ≤-，当01x <≤时，2(21)()0(01)(1)ax a f x x x --+''=≥<≤+，∴()f x '单调递增，∴()(0)0f x f ''≥=.∴当01x <≤时，()f x 单调递增，∴()(0)0f x f ≥=，即②式成立.(2)若0a ≥，当01x <≤时，()0f x ''<，∴()f x '单调递减，∴()(0)0f x f ''≤=. ∴当01x <≤时，()f x 单调递减，∴()(0)0f x f ≤=，与②式不合.(3) 若102a -<<，令21min{1,}a b a+=-，当0x b <<时，()0f x ''≤，∴()f x '单调递减，∴()(0)0f x f ''≤=.∴当0x b <<时，()f x 单调递减，∴()(0)0f x f ≤=，与②式不合. 综上，12a ≤-为所求.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．学科网在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值学科网和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，学科网为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.14,l l 既不垂直也不平行D.14,l l 的位置关系不确定小学 初中高中 年级 O8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014高考广东卷理科数学真题及答案解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃= 【答案】BA ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=AA ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 【答案】A3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5 【答案】C4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等【答案】D5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1） 【答案】B6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,10 【答案】A7、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A ．14l l ⊥ B ．14//l l C ．14,l l 既不垂直也不平行 D ．14,l l 的位置关系不确定 【答案】D 8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130 【答案】D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）.3.232332sin )4125sin()125(.23)125(),4sin()(=∴=⋅==+=∴=+=A A A A f f x A x f ππππππ且 9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N =A. {0,1}B. {1,0,2}-C. {1,0,1,2}-D. {1,0,1}-2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A. 34i -+B. 34i --C. 34i +D. 34i -3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.5B.6C.7D.84．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

绝密★启用前试卷类型：A2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V sh =，其中s 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一组数据12,,,n x x x L 的方差2222121[()()()],n s x x x x x x n=-+-++-L其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,3,4M =，{}0,2,3,5N =，则M N =I{}A.0,2 {}B.2,3 {}C.3,4 {}D.3,52. 已知复数z 满足(34)25i z -=，则z =A.34i --B.34i -+ .34C i - D.34i +3. 已知向量(1,2)a =r ，(3,1)b =r ，则b a -=r rA.(2,1)-B.(2,1)-C.(2,0)D.(4,3)4. 若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于A.7B.8C.10D.115. 下列函数为奇函数的是1A.22x x -2B.sin x x C.2cos 1x + 2D .2xx + 6. 为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为A.50B.40C.25D.207. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的变分别为,,a b c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的 A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8. 若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k-=-与曲线221165x k y --=的 A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等9. 若空间中四条两两不相同的直线1l ，2l ，3l ，4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 与4l 既不平行也不垂直D.14l l 与位置关系不确定10. 对任意复数1w ，2w ，定义1212w w w w *=，其中2w 是2w 的共轭复数，对任意复数123,,z z z ，有如下四个命题：①()()()1231323z z z z z z z +*=*+*②()()()1231213z z z z z z z *+=*+* ③()()123123z z z z z z **=**④1221z z z z *=*则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11~13题）11. 曲线53x y e =-+在点(0,2)-处的切线方程为 .12. 从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同的字母，则取到字母a 的概率为 . 13. 等比数列{}n a 的各项均为正数且154a a =，则2122232425l o g l o g l o g lo g lo g a a a a a ++++＝ .（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的直角坐标为 . 15. （几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且2EB AE =,AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的周长的周长＝ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12 分） 已知函数5()sin(),,()3122f x A x x R f ππ=+∈= （1）求A 的值；（2）若()()(0,),2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-.17．（本小题满分13 分） 某车间20名工人年龄数据如下表：年龄（岁） 工人数（人）19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1合计 20（1）求这20名工人年龄的众数与极差；（2）以这十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； （3）求这20名工人年龄的方差.EF D CBA18. （本小题满分13 分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，1,2AB BC PC ===,作如图3折叠，折痕EF ∥DC ，其中点,E F 分别在线段,PD PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .（1）证明：CF ⊥平面MDF ; （2）求三棱锥M CDE -的体积.19. (本小题满分14分)设各项为正数的数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 满足.222*(3)3()0,n n S n n S n n n N -+--+=∈（1）求1a 的值;（2）求数列{}n a 的通项公式; （3）证明:对一切正整数n ,有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++<+++20. (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0,0)x yC a b a b+=>>的一个焦点为)（1）求椭圆C 的标准方程;（2）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点,且点P 到椭圆的两条切线相互垂直,求点P 的轨迹方程.21. (本小题满分14分)已知函数321()1()3f x x x ax a R =+++∈. （1）求函数()f x 的单调区间;（2）当0a <时,试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得01()()2f x f =.C E FP B A D P A D C B F E M2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. B2. D3. B4. C5. A6. C7. A8. D9. D 10. B二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. 11. 520x y ++= 12.2513. 5 14. (1,2) 15. 3 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.553:(1)()sin()sin 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336sin cos 33sin sin (0,),32f A A A fx x f fπππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴===+∴--=+--+=+--+-===∴=∈∴解由得cos 3()3sin()3sin()3cos 36632f θππππθθθθ==∴-=-+=-===17.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为(2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为 18.00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2112,,2211.33CDE M CDE CDE CF DE PE S CD DE P CP MD V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅=====∴=⋅==19.1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-20.2222200220022:(1)3,954,1.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(cc e a b a cax yCx yy y k x xx yy k x x yk x k y====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:200002222220000002222000001222200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kxk y kx y kx k y kx kyx k x y k y k kx x y⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±Q依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y∴+=程点的轨迹方程为21.'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,201(,1,()0,(),(11),()0,(),(1)f x x x a x x a aa f x f xa x x ax f x f xx f x f xx=++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±∈-∞-->∴∈---+<∈-++∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),()(11).f x f xa f xa f xf x>≥-∞+∞<-∞--++∞---+此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,0,,01,7x a x f x f x x a a a a x x ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->>∴<<若存在使得必须在上有解方程的两根为依题意即0000025711,492148121,,1212155,,,,24425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<-=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭即得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学理一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3.若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.54.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B. （1,-1,0） C. （0,-1,1） D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A 、200,20B 、100,20C 、200,10D 、100,107、若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定8.设集合(){}12345=,,,,1,0,1,1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A ．60 B90 C.120 D.130二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

2014年东莞市高中数学竞赛决赛试题11.22注意事项：考试时间120分钟．不能使用计算器．一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．已知集合{0,1,2}A =，集合{|||B x x a =<，}x Z ∈，且满足A B ⊆，则实数a 可以取的一个值是A ．3B ．2C ．1D ．0 2．阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 则输出i 的值为A ．3B ．4C ．5D ．6 3．已知33cos =α，则)22sin(πα-的值为A ．13-B ．13C．3-D．34．当方程22220x y k x y k ++++=()k R ∈所表示的圆的 面积最大时，直线(1)2y k x =-+的倾斜角α= A .4πB .3πC .23π D .34π5．设集合(){}(){},|||||1,,()()0A x y x y B x y y x y x =+≤=-+≤，M A B = ．若动点(,)P x y M ∈，则22(1)x y +-的取值范围是A ．15[,]22B．5]22C．1[,22D．226．定义域为[],a b 的函数()y f x =的图象的两个端点为A 、B ，(,)M x y 是()y f x =的图象上任意一点，其中(1)x a b λλ=+-，R λ∈，向量．若不等式M N k ≤恒成立，则称函数()[],fx a b 在上“k 阶线性近似”.若函数[]112y x x=+在，上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为第2题图A.[)0+∞，B.[)1+∞，C.32⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.32⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．） 7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为 ▲ ．8．在A B C ∆中，cos cos sin a B b A c C +=，222b c ac +-=，则B = ▲ ．9．等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且20122011a =，20132013S =，则1a = ▲ ．10．使得不等式240x m x -+≥对任意0x >恒成立的实数m 的取值范围是 ▲ ．11．设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-零点的个数是 ▲ ．12．已知函数()f x 在实数集R 上具有下列性质：①直线1x =是函数()f x 的一条对称；②()()2fx fx +=-；③对于[1,3]内任意的1x ，2x ，均有[]()2121()()0f x f x x x --<成立，则)2011(f 、()2012f、()2013f 的大小关系为 ▲ ．答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ，0>ω，02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，如图，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为)2,(0x和)2,2(0-+πx ．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)6f πθ+的值．第13题图0xπ20+x在A B C ∆中，120A = .（1）若三边长构成公差为4的等差数列，求A B C ∆的面积；（2）已知A D 是A B C ∆的中线，若2A B A C ⋅=- ，求||A D的最小值.如图,几何体E A B C D -是四棱锥，△A B D 为正三角形，C B C D =，E C B D ⊥. （1）求证:B E D E =；（2）若∠120B C D =︒，试探究在线段A E 上是否存在点M ，使D M ∥平面B E C ，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.第15题图如图，两个工厂A、B相距2km，点O为A B的中点,现要在以O为圆心,2km为半径的圆弧M N上的某一点P处建一幢办公楼,其中M A A B⊥，ABNB⊥.据测算,此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离A P的平方成反比,比例系数是1,办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离B P的平方也成反比,比例系数是4,办公楼受A、B两厂的“总噪音影响度”y是受A、B两厂“噪音影响度”的和,设A P为x k m. （1）求“总噪音影响度”y关于x的函数关系,并求出该函数的定义域；（2）当A P为多少时,“总噪音影响度”最小?O M A第16题图等比数列{}n c 满足(){}1*1104,n n n n c c n N a -++=⋅∈数列的前n 项和为n S ，且2l o g .n n a c = （1）求,n n a S ； （2）数列{}{}1,41n n n n n b b T b S =-满足为数列的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得1,,m k T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m k 的值；若不存在，请说明理由.已知函数21()32f x x =+，()h x =．(1)设a R ∈，解关于x 的方程)]4([log)]([log]43)1(23[log 224x h x a h x f ---=--；(2)试证明：2011()(20)(20)6k h k f h =<-∑．2014年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7．3π； 8．60 ； 9．2011-； 10．(]4，∞-；11．2； 12．(2013)(2012)(2011)f f f >> 三、解答题13.（本小题满分12分） 解：（1）由题意可得2=A ，且π22=T ，即π4=T ，故21=ω,3分所以)21cos(2)(ϕ+=x x f ．又因为1)0(=f ，得21cos =ϕ，且02<<-ϕπ，得3πϕ-=，所以函数)321c o s (2)(π-=x x f． 6分（2）由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ，7分所以2217c o s 22c o s 12139θθ=-=⨯-=-，12s i n 22s i nc o s 2339θθθ==⨯⨯=，9分所以(4)2c o s (2)2c o s 2c o s s in 2s in 6444f ππππθθθθ⎛⎫+=-=+ ⎪⎝⎭)c o s 2s i n 2θθ=+799⎫=-+⎪⎪⎝⎭89-=． 12分14.（本小题满分12分）解：（1）因为120A= ，因此可设三边为8-a，4-a，a． 1分由余弦定理：()()()()22248248c o s120a a a a a︒=-+----，3分即218560a a-+=，解得14a=，或4a=（舍），4分所以11sin106sin120122A B CS A B A C A︒∆=⋅⋅=⨯⨯⋅=6分（2）因为c o s2A B A C A B A C A⋅=⋅⋅=-，且120A= ，所以4A B⋅=． 8分又因为()12A D AB A C=+，所以()()222211244A D AB AC A B A C A B A C=+=+-⋅()22144A B A C=+-()()1124=244=144A B A C≥⋅-⨯-，即||A D1≥当且仅当=2A B A C=时取等号． 11分所以||A D的最小值为1． 12分15．（本题满分13分）证明:（1）设B D 中点为O ,连接O C 、O E ，由B C C D =，得C O B D ⊥． 2分又已知C E B D ⊥,C O C E E ⋂=，所以B D ⊥平面O C E . 4分 因为O E ⊂平面O C E ，所以B D O E ⊥,即O E 是B D 的垂直平分线,所以B E D E =. 6分（2）存在，取M 为线段A E 的中点，则满足D M ∥平面B E C .7分证明如下：设A B 的中点为N ，连接,M N D N .∵M 是A E 的中点，∴M N ∥B E .又平面B E C ，B E ⊂平面B E C ，∴M N ∥平面B E C .9分∵△A B D 是等边三角形，∴D N A B ⊥.由120B C D ︒∠=，C B C D =知，30C B D ︒∠=, 所以90A B C ︒∠=，即B C A B ⊥，所以N D ∥B C .又N D ⊄平面B E C ，B C ⊂平面B E C ， ∴N D ∥平面B E C .11分又因为M N ⊂平面M N D ，N D ⊂平面M N D ，M N N D N ⋂=， 所以平面M N D ∥平面B E C . 又D M ⊂平面M N，所以D M∥平面B E C.13分16．（本题满分13分）解：（1）连结O P ，设AOP α∠=,则233ππα≤≤.1分在△A O P 中,由余弦定理得22212212cos 54cos x αα=+-⨯⨯⨯=-. 在△B O P 中,由余弦定理得22212212cos(π)54cos BP αα=+-⨯⨯⨯-=+. ∴2210BP x=-.4分即2222141410y APBPxx=+=+-.5分∵233ππα≤≤,∴11c o s 22α-≤≤, 7cos 453≤-≤α，x ≤≤.6分∴221410y xx=+-,定义域为,7. 7分 （2）由(1)得221410y xx=+-=2222114()[(10)]1010x x x x++--2222110451010x xx x -⎛⎫=++⎪-⎝⎭1510⎛≥+ ⎝910=.11分当且仅当222210410x xxx-=-，即2103x =时取等号，此时x =.13分所以，当A P为km时,“总噪音影响度”最小.14分17．（本题满分14分） 解:（1）由已知得，40,103221=+=+c c c c ，所以公比4=q ． 2分10411=+c c ，得21=c ，即121242--=⋅=n n n c ，4分所以212log 221n n a n -==-，5分21()[1(21)]22n n n a a n n S n++-===．6分 （2）由（1）知211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，于是11123n n T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 9分假设存在正整数(),1m k m k <<，使得1,,m k T T T 成等比数列，则2121321m k m k ⎛⎫=⨯ ⎪++⎝⎭， 10分 可得223241m m km-++=>，所以22410m m -++>，从而有1122m -<<+由,1m N m *∈>，得2m =，13分此时12k =.所以，当且仅当2m =，12k =时，1,,m k T T T 成等比数列.14分18．（本题满分14分）解：（1）原方程可化为422log (1)log log x -=即为42log (1)log x -=，亦即为14a x x x--=-且14x a x <⎧⎨<<⎩，亦即为2640x x a -++=，且14x a x <⎧⎨<<⎩，2分① 当1a ≤时，显然原方程无解．② 当41≤<a 时，则1x a <<，此时，()364+42040a a ∆=-=->，632x ±==±，因a a >≥-+453，a a <--<531，所以原方程仅有一解3x =-．③ 当4>a 时，则14x <<，204a ∆=-，若54<<a ，则0∆>，原方程有两解3x =±若5a =，则0∆=，原方程有一解3x =； 若5a >，则204a ∆=-0<，原方程无解．综上，当14a <≤时，原方程有一解3x =-当54<<a 时，原方程有二解3x =± 当5a =时，原方程有一解3x =；当1a ≤或5a >时，原方程无解． 6分（2）由已知得201()k h k ==++++∑ ，(1()()436f x h x x =+．因为(1(2)(2)(1)(1)6f h f h -=->+-16=+->(1(3)(3)(2)(1126f h fh -=+16=+->……(1(20)(20)(19)(19)776f h f h -=->+-16=+->，12分所以(20)(20)(1)(1)f h f h ->+++，即7(20)(20)3206f h ->+++所以1(20)(20)6f h-=++++，所以不等式2011()(20)(20)6k h k f h =<-∑成立． 14分。

2014年广州市高中数学教师解题比赛决 赛 试 题（2014年4月13日上午9∶00－11∶00）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．1．设集合{},,M a b c =，{}0,1N =，映射f ：M N →满足()()()f a f b f c +=，则映射f ：M N →的个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．直角梯形ABCD 中，AB DC ，2AB CD =，45A ∠=，2AD =.以直线AB 为轴将梯形ABCD 旋转一周所得旋转体的体积为A ．π328 B ．π34C ．π3210D ．π243．已知()f x 是奇函数，定义域为{},0x x x ∈≠R ，又()f x 在区间()0,+∞上是增函数，且()10f -=，则满足()f x 0>的x 的取值范围是 A ．()1,+∞B ．()()1,01,-+∞ C ．()0,1 D ．()(),11,-∞-+∞4．已知虚数z =()2i x y -+，其中x 、y 均为实数，当1z =时，yx的取值范围是 A．33⎡-⎢⎣⎦B．30,33⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦C ．⎡⎣D ．)(0,3⎡⎤⎣⎦5．设()2f x x ax b =++，且()112f ≤-≤，()214f ≤≤，则点(),a b 在aOb （O 为坐标原点）平面上的区域的面积是 A ．12 B ．1 C ．2 D ．926．已知向量OP ()2,1=，OA ()1,7=，OB ()5,1=，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ⋅的最小值是A ．－16B ．－8C ．0D ．4CDBA7．等比数列{}n a 的公比为q ，则“10a >，且1q >”是“∀*n ∈N ，都有1n n a a +>”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件8．若不论k 为何值，直线2y kx b k =+-与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是A ．(B ．⎡⎣C ．()2,2-D ．[]2,2-9．已知集合A 、B 、C ，{}直线=A ，{}平面=B ，B A C =，若A a ∈，B b ∈，C c ∈，给出四个命题: ①c a b c b a //⇒⎩⎨⎧⊥⊥；②c a b c b a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥//；③c a b c b a //////⇒⎩⎨⎧；④c a bc b a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥//，则正确命题的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛（每两队之间赛两场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.积分多的前两名可出线（积分相等则要比净胜球数或进球总数）.赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为 A ．22 B ．23 C ．24 D ．25二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卷的相应位置上．11．已知x 是三角形的一个内角，满足231cos sin -=+x x ，则x = * ． 12．已知正三棱锥S ABC -的高为3，底面边长为4，在正三棱锥内任取一点P ，使得P ABC V -12S ABC V -<的概率是 * ．13．对于正整数n 和m ，其中n m <，定义!()(2)(3)()m n n m n m n m n km =----…，其中k 是满足km n >的最大整数，则=!20!1864 * ． 14．有两个向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为12+e e ；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为1232+e e ．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥时，t = * 秒．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15．（本小题满分12分）若函数21()sin sin cos (0)2f x ax ax ax a =-->的图象与直线y m =相切，若函数()f x 图象的两条相邻对称轴间的距离为4π． （1）求m 的值；（2）若点()0,0A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求点A 的坐标．16．（本小题满分12分）一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n ∈*N ）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（1）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（2）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大？ 17．（本小题满分14分）如图所示，正四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 与底面ABCD 所成角的正切值为26. （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）在侧面PAD 上寻找一点F ，使EF ⊥侧面PBC . 试确定F 点的位置，并加以证明.PDEACB18．（本小题满分14分）这是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值1x =，1y =，0z =，0n =； （2）1n n =+（将当前1n +的值赋予新的n ）； （3）2x x =+（将当前2x +的值赋予新的x ）； （4）2y y =（将当前2y 的值赋予新的y ）； （5）z z xy =+（将当前z xy +的值赋予新的z ）；（6）如果7000z >，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行； （7）打印n ，z ； （8）程序终止.由语句（7）打印出的数值为 ， . 以下写出计算过程： 19．（本小题满分14分）如图，已知过点D (2,0)-的直线l 与椭圆2212x y +=交于不同的两点A 、B ，点M 是 弦AB 的中点．（1）若OP OA OB =+，求点P 的轨迹方程；（2）求||||MD MA 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数()e x f x x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求()f x 的最小值；（2）设不等式()f ax x >的解集为P ，且{}|02P x x ⊆≤≤，求实数a 的取值范围；（3）设n *∈N ，证明：1e e 1nnk k n =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑．2014年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11.56π 12.7813.21514. 2三、解答题，本大题共6小题，满分80分． 15．（本小题满分12分） 解：（1）2()sin sin cos f x ax ax ax =-12-1cos 21sin 222ax ax -=-12-24ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由题意知，m 为()f x 的最大值或最小值，所以m =或m =. （2）由题设知，函数()f x 的周期为2π， 所以2a =． 所以()sin 44f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令sin 404x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得44x k ππ+=()k ∈Z ，即416k x ππ=-()k ∈Z ． 因为04162k πππ≤-≤()k ∈Z ，得1k =或2k =，因此点A 的坐标为3,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭或7,016π⎛⎫⎪⎝⎭.16．（本小题满分12分）解：（1）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，所以一次摸奖中奖的概率1152510(5)(4)n n C C np C n n +==++．（2）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =， 三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （3）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，因为2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，所以在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上P 为增函数，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值． 所以101(5)(4)3n p n n ==++，解得20n =．故当20n =时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大． 17．（本小题满分14分）（1）解：连结AC ，BD 交于O ，连结PO .因为P —ABCD 为正四棱锥，所以PO ⊥底面ABCD .作PM ⊥AD 于M ，连结OM ， 所以OM ⊥AD . （苏元高考吧： ）所以∠PMO 为侧面P AD 与底面ABCD 所成二面角的平 面角.因为PO ⊥底面ABCD ，所以∠P AO 为P A 与底面ABCD 所成的角.所以tan 2PAO ∠=． 设AB a =，所以,.2a AO MO ==所以.PO ==所以tan POPMO MO∠==60PMO ∠=︒．所以侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为60°.（2）解：连结EO ，因为E 为PB 的中点，O 为BD 的中点，所以EO ∥PD .所以∠AEO 为异面直线AE 与PD 所成的角．在Rt ,,PAO AO PO ∆中，所以PA =，12EO PD ==．由AO ⊥截面PDB ，可知AO ⊥EO . 在Rt △AOE中，tan AO AEO EO ∠==即异面直线AE 与PD 所成角的正切值是1052．（3）证明：延长MO 交BC 于N ，连结PN ，取PN 中点G ，连结EG ，MG .因为P —ABCD 为正四棱锥且M 为AD 的中点，所以N 为BC 中点. 所以BC ⊥NM ，BC ⊥PN .因为NM PN N =，所以BC ⊥平面PMN .因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PMN ⊥平面PBC .因为PM =PN ，∠PMN =60°，所以△PMN 为正三角形. 所以MG ⊥PN . 所以MG ⊥平面PBC . （苏元高考吧： ） 取AM 中点为F ，连结FE ，则由EG ∥MF 且GE =MF ，得到MFEG 为平行四边形， 所以FE ∥MG .所以FE ⊥平面PBC .分 18．（本小题满分14分）解：设n i =时，x ，y ，z 的值分别为i x ，i y ，i z .依题意，01x =，12n n x x -=+， 所以{}n x 是等差数列，且21n x n =+. 因为011,2.n n y y y -==所以{}n y 是等比数列，且nn y 2=．因为n n n n y x z z z +==-10,0， 所以1122n n n z x y x y x y =++⋅⋅⋅+即n z 23325272(21)2nn =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅． ①所以23412325272(21)2(21)2n n n z n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅． ②①—②得，1322)12(22222223+⋅++⋅-⋅⋅⋅-⋅-⋅-⋅-=n n n n z()12122n n +=-+．依题意，程序终止时：7000n z >，17000n z -≤，即()()121227000,23227000.n nn n +⎧-+>⎪⎨-+≤⎪⎩ 解得8n =，进而7682z =．19．（本小题满分14分）解法1：（1）①若直线l ∥x 轴，则点P 为(0,0)．②设直线():2l y k x =+，并设点,,,A B M P 的坐标分别是112200(,),(,),(,),(,)A x y B x y M x y P x y ， 由()222,22y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去x ，得 ()2222(21)82410k y k x k +++-=， （*） 由直线l 与椭圆有两个不同的交点，可得()()222288(21)410k k k ∆=-+->，所以212k <． （苏元高考吧： ） 由OP OA OB =+及方程（*），得2122821k x x x k =+=-+，()()1212242221ky y y k x k x k =+=+++=+，即2228,214.21k x k k y k ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩消去k ，并整理得，22240x y x ++=（20)x -<<．综上所述，点P 的轨迹方程为22240x y x ++=（20)x -<≤．（2）①当l ∥x 轴时，,A B 分别是椭圆长轴的两个端点，则点M 在原点O 处，所以，||2,||MD MA ==||||MD MA = ②由方程（*），得212022,221x x k x k +==-+所以，0|||D MD x x =-=，01|||MA x x =-==所以||||MD MA =．因为212k <()0,1，所以)||||MD MA ∈+∞．综上所述，)||||MD MA ∈+∞． 解法2：（1）①若直线l ∥x 轴，则点P 为(0,0)．②设直线:2l x my =-，并设点,,,A B M P 的坐标分别是112200(,),(,),(,),(,)A x y B x y M x y P x y ，由222,22x my x y =-⎧⎨+=⎩消去x ，得 22(2)420m y my +-+=， （*） 由直线l 与椭圆有两个不同的交点，可得22(4)8(2)0m m ∆=--+>，即28(2)0m ->，所以22m >．由OP OA OB =+及方程（*），得12242my y y m =+=+，121228(2)(2)2x x x my my m =+=-+-=-+， 即228,24.2x m m y m ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩由于0m ≠（否则，直线l 与椭圆无公共点），消去m ，并整理得，22240x y x ++=（20)x -<<．综上所述，点P 的轨迹方程为22240x y x ++=（20)x -<≤．（2）①当l ∥x 轴时，,A B 分别是椭圆长轴的两个端点，则点M 在原点O 处，所以，||2,||MD MA ==||||MD MA = ②由方程（*），得12022,22y y my m +==+所以，0|||D MD y y =-=，01|||MA y y =-==，所以||||MDMA==．因为22m>(0,1)，所以)||||MDMA∈+∞．综上所述，)||||MDMA∈+∞．20．（本小题满分14分）（1）解：因为()xf x e x=-，所以()1xf x e'=-．令()0f x'=，得0x=．所以当0x>时，()0f x'>，当0x<时，()0f x'<．所以函数()xf x e x=-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增．所以当0x=时，()f x有最小值1．（2）解：因为不等式()f x ax>的解集为P，且{}|02Px x⊆≤≤，所以对任意[]0,2x∈，不等式()f x ax>恒成立．由()f x ax>，得()1e xa x+<，（苏元高考吧：）当0x=时，上述不等式显然成了，所以只需考虑(]0,2x∈的情况．将()1e xa x+<变形为e1xax<-．令()e1xg xx=-，则()()21e xx-g xx'=．当1x>时，()0g x'>，当1x<时，()0g x'<，所以()g x在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增．所以当1x=时，函数()g x取得最小值e1-．故实数a的取值范围为(),e1-∞-．（3）证明：由（1）知，对任意实数x均有1xe x-≥，即1xx e+≤．广州市高中数学教师解题比赛试题参考答案 第11页（共7页） 令k x n=-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n k e n -<-≤， 所以1(1,2,,1)n n k k n k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即(1,2,,1)n k n k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭． 所以(1)(2)211211n n n n n n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为(1)(2)2111111111n n n e ee e e e e e e ----------+++++=<=---，所以 1211n n n nn n en n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。