高中数学竞赛知识点整理
一、代数知识
1.一元二次方程：
（1）一元二次方程的解法：
a、利用求根公式：解一元二次方程的根：
若ax2 + bx + c = 0，则x1 = (-b + √(b2 - 4ac))/2a，x2 = (-b -
√(b2 - 4ac))/2a
b、利用因式分解法：
将一元二次方程化为两个一元一次方程，求解。
2.一元一次方程：
（1）一元一次方程的解法：
a、利用移项法：把一元一次方程化为一元一次不等式，求解。
b、利用乘除法：将一元一次方程的系数化简，求解。
3.二元一次方程组：
（1）二元一次方程组的解法：
a、利用消元法：把二元一次方程组化为一元一次方程组，求解。
b、利用代入法：将一个方程的解代入另一个方程，求解。
4.不等式：
（1）一元一次不等式的解法：
a、利用移项法：将一元一次不等式化为一元一次方程，求解。
b、利用乘除法：将一元一次不等式的系数化简，求解。
二、几何知识
1.直线与圆：
（1）直线与圆的位置关系：
a、直线与圆有共点：直线与圆相切；
b、直线与圆无共点：直线与圆相交；
c、直线与圆有共线：直线与圆相离；
2.三角形：
（1）三角形的性质：
a、直角三角形：有两条直角边；
b、等腰三角形：有两条等长边；
c、等边三角形：三条边
高中数学竞赛基本知识集锦 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 2cos 12 sin α α -± = 2 cos 12 cos α α +± = α α ααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 tan +=-=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++= sin sin 21 cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21 sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21 cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1 sin sin 和差化积 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- 万能公式 α αα2 tan 1tan 22sin += α α α2 2tan 1tan 12cos +-= α α α2tan 1tan 22tan -= 三倍角公式
()() αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 除了课本中的以外，还有一些 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos π ππ++ 提示：乘以7 2sin 2π ，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 2 2 来个复杂的 设n 为正整数，求证 n n n i n i 21 212sin 1 += +∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，<2x 设12 π ≥ ≥≥z y x ，且2 π = ++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。
【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set） 1.1集.合的阶，集.合之间的关系。1.2集.合的分划 1.3子集，子集族 1.4容斥原理 1.5极端原理 1.6抽屉原理 2. 函数（function） 2.1函数的基本概念 2.1.1映射 2.1.1.1单射 2.1.1.2满射 2.1.1.3一一映射（双射） 2.1.2函数的定义域、值域 2.2函数的性质 2.2.1对称性 2.2.2单调性 2.2.3奇偶性 2.2.4周期性 2.2.5凹凸性 2.2.6连续性 2.2.7可导性 2.2.8有界性 2.2.9收敛性 2.3初等函数 2.3.1一次、二次、三次函数 2.3.2幂函数 2.3.3双勾函数 2.3.4指数、对数函数 2.4函数的迭代 2.5函数方程 3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质 3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值 3.4正弦、余弦定理 3.5反三角函数 3.6三角方程 4. 向量（vector）4.1向量的运算 4.2向量的坐标表示，数量积 5. 数列（sequence） 5.1数列通项公式求解 5.1.1换元法 5.1.2特征根法 5.1.3不动点法 5.1.4迭代法 5.1.5数学归纳法 5.1.6代换法 5.1.7待定系数法 5.1.8阶差法 5.2数列求和 5.2.1裂项相消法 5.2.2错位相减法 5.2.3倒序相加法 5.2.4分组分解法 5.2.5归纳猜想法 6．不等式（inequality） 6.1解不等式 6.2重要不等式 6.2.1均值不等式 6.2.2柯西不等式 6.2.3排序不等式 6.2.4契比雪夫不等式 6.2.5赫尔德不等式 6.2.6权方和不等式 6.2.7幂平均不等式 6.2.8琴生不等式 6.2.9 Schur不等式 6.2.10嵌入不等式 6.2.11卡尔松不等式 6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式 6.3.2调整法(放缩法) 6.3.3归纳法 6.3.4切线法 6.3.5展开法 6.3.6局部法 6.3.7反证法
高二数学竞赛题知识点 在高二数学竞赛中，学生们通常会遇到各种各样的数学问题和题目。为了取得好成绩，竞赛选手需要了解并掌握一些重要的数学知识点。本文将介绍一些高二数学竞赛中常见的知识点和相应的解题技巧。 一、函数与方程 1. 一元二次方程 一元二次方程是高中数学中的重要内容。解一元二次方程可以使用求根公式和配方法。在竞赛中，对于一元二次方程的解法要熟练掌握，并注意考虑方程是否有唯一解或无解的情况。 2. 指数与对数函数 指数与对数函数是高中数学中的另一重要内容。学生们需要了解指数与对数的基本性质，掌握指数与对数函数的图像和性质，以及指数方程与对数方程的解法。 二、平面几何 1. 相似三角形
相似三角形是平面几何中的重要概念。学生们需要知道相似三 角形的基本定义和性质，能够判断两个三角形是否相似，并应用 相似三角形的性质解决相关问题。 2. 圆的性质 圆是平面几何中的基本图形，学生们需要了解圆的圆心、半径、直径等基本概念，以及圆的切线、弦、弧、扇形等性质。在竞赛中，对于圆的性质的掌握十分重要。 三、立体几何 1. 空间几何体的体积、表面积与相关性质 学生们需要掌握立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体等常 见几何体的体积和表面积的计算方法，了解它们的相关性质，并 能够应用这些知识解题。 2. 空间向量 空间向量是高中数学中的重要概念，学生们需要掌握向量的加法、减法和数量积的计算方法，了解向量的共线与垂直关系等基 本性质。在竞赛中，向量的应用常常涉及平面向量和空间向量的 结合。
四、概率与统计 1. 排列与组合 排列与组合是概率与统计中的基本内容，学生们需要熟练掌握排列与组合的计算方法，并能够应用它们解决相关问题。 2. 概率的计算 概率是概率与统计的核心内容，学生们需要掌握概率的基本定义、性质和计算方法，能够利用概率解决实际问题，例如计算事件的概率、条件概率和独立事件等。 总结： 高二数学竞赛题目涉及的知识点广泛且深入，要取得好成绩，学生们需要充分准备。本文介绍了一些高二数学竞赛题常见的知识点和解题技巧，包括函数与方程、平面几何、立体几何以及概率与统计。希望这些知识点和技巧对竞赛选手们有所帮助，能够在竞赛中取得好成绩。
高中数学竞赛知识点 高中数学竞赛一直是让许多学生头疼的问题。它不仅要求我们掌握 基础的数学知识，还需要我们在限定的时间内迅速解决各种复杂的问题。然而，只要我们掌握了一些关键的数学竞赛知识点，我们就能够 在竞争中脱颖而出。 首先，让我们来看一下数列与数列极限的相关知识。数列是数学竞 赛中经常出现的一个概念，它指的是按照一定规律排列的一组数。我 们需要掌握数列的基本性质，包括递推公式、通项公式以及数列的求 和公式等。同时，了解数列的极限概念，包括收敛与发散，也是非常 重要的。在竞赛中，我们会遇到一些关于数列的难题，只有熟悉了数 列的性质，才能够迅速解决问题。 其次，代数方程也是高中数学竞赛的重要内容之一。代数方程是指 含有未知数的等式，我们需要运用代数方程的解题方法来解决各种复 杂的问题。在解代数方程的过程中，我们需要注意方程的整数解、有 理根与无理根等基本概念。同时，熟悉一些有用的代数恒等式，如二 项式定理、配方法和因式分解等，也可以帮助我们在数学竞赛中事半 功倍。 另外，概率与统计也是高中数学竞赛的重要考点。掌握概率与统计 的基本概念，包括事件的概率、条件概率、随机变量、概率分布等， 是解决概率与统计问题的关键。在竞赛中，我们常常需要运用概率与 统计的知识来解决一些实际问题，如抛硬币、掷骰子、抽样等。只有 熟悉了这些知识点，我们才能够快速准确地解答各种概率与统计问题。
最后，解析几何也是高中数学竞赛的重要内容。解析几何是指运用 代数方法研究几何问题的一种数学方法。了解解析几何的基本概念， 如直线方程、平面方程、圆方程以及二次曲线方程等，可以帮助我们 求解各种几何问题。在解析几何中，我们需要掌握坐标系的建立与利用，解决线段相交、面积比例以及直线与圆的位置关系等问题。 总的来说，高中数学竞赛知识点非常广泛，但我们只要掌握了一些 关键的知识点，就能够在竞赛中有所斩获。数列与数列极限、代数方程、概率与统计以及解析几何，这些都是我们需要重点关注的知识点。在备战数学竞赛的过程中，我们还需要注重培养解题技巧与思维能力，多做一些相关的练习题，提高我们的解题速度与准确度。只有坚持不懈，不断提高，我们才能够在高中数学竞赛中取得更好的成绩。
数学 1 均值不等式 2 被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均3 数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调4 几算方”。 5 其中：，被称为调和平均数。 6 ，被称为几何平均数。 7 ，被称为算术平均数。 8 ，被称为平方平均数。 9 一般形式 10 设函数（当r不等于0时）；（当11 r=0时），有时，。 12 可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即 13 。 14 特例 15
⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅 16 17 当a=-b时取“=”号） 18 ⑵对非负实数a,b，有，即 19 ⑶对非负实数a,b，有 20 ⑷对实数a,b，有 21 ⑸对非负实数a,b，有 ⑹对实数a,b，有 22 23 ⑺对实数a,b,c，有 ⑻对非负数a,b，有 24 25 ⑼对非负数a,b,c，有 26 在几个特例中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）： 27 28 当n=2时，上式即： 29 当且仅当时，等号成立。 30 31 根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。 排序不等式 32 33 基本形式： 排序不等式的证明 34 要证 35 36 只需证 37 根据基本不等式 38 只需证 39 ∴原结论正确 棣莫弗定理 40 41 设两个复数（用三角形式表示），则： 42 43 复数乘方公式：. 圆排列 44 定义 45
从n个不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同 46 47 元素的圆排列。如果一个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相48 同。 计算公式 49 50 n个不同元素的m-圆排列个数N为： 特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数N为：。 51 费马小定理 52 费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且 53 54 (a,p)=1，那么a(p-1)≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只55 有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。 组合恒等式 56 57 组合数C(k,n)的定义：从n个不同元素中选取k个进行组合的个数。 58 基本的组合恒等式 59 nC(k,n)=kC(k-1,n-1) 60 C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m) 61 ∑C(i,n)=2^n 62 ∑[(-1)^i]*C(i,n)=0 63 C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（这个性质叫组合的【聚合性】） 64 C(k,n)+C(k,n+1)+……+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k+1,n) 65 C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+……+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n) 66 韦达定理 67 逆定理 68 69 如果两数α和β满足如下关系：α+β=，α·β=，那么这两个数α和β是方程 70 的根。 通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。[5] 71 推广定理 72 韦达定理不仅可以说明一元二次方程根与系数的关系，还可以推广说明一元n次方程 73 74 根与系数的关系。 75 定理： 设（i=1、2、3、……n）是方程： 76 77 的n个根，记k为整数），则有：。[ 实系数方程虚根成对定理： 78 79 实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根，则=a-bi也80 是一个根。 无穷递降法 81
高中数学竞赛知识点整理 高中数学竞赛作为一种新兴的学科竞赛，已经在中国大陆地区屡获殊荣。许多智力学科竞赛有着严格的知识点提炼，高中数学竞赛也不例外。本文尝试对高中数学竞赛中所涉及知识点进行归纳，以便于考生更好地复习、准备与参加竞赛。 首先，数的基本概念是必不可少的。诸如基数、序数，定点数、整数、分数和小数，有理数、无理数和绝对值，都是需要掌握的基础知识点。同时，还有一些需要注意的特殊数的概念，如负数、有理数的绝对值、科学计数法等。 其次，有关指标函数的概念与应用也非常重要。函数指标可以用来描述一系列研究目标，并用数学语言表达出来。函数指标的概念包括一元函数、二元函数、单调函数、变量函数、指数函数、对数函数、椭圆函数、双曲线函数、根号函数、正弦函数和余弦函数等。这些函数指标的性质与应用可以帮助考生熟悉数学竞赛中的函数特征，为解决数学题目提供帮助。 另外，依据阶段不同，高中数学竞赛也有不同的内容组成，因此也有不同的知识概念需要掌握。例如，在高中一年级，考生需要掌握基本的数学知识，比如数的概念、几何图形及其相互关系等；在高中二年级中，学生需要掌握函数的概念、统计学的知识以及数字的转换等；在高中三年级中，学生需要掌握概率论、动态系统与线性规划等。 此外，考生在参加高中数学竞赛中，还需要掌握一系列的计算手段。算术运算是一项基础，考生应熟悉加减乘除，以及对于进制转换
之类的基本运算；其次，还需要掌握数论、代数、几何和函数等高级计算手段。最后，逻辑性和抽象性思维能力是参加数学竞赛的必备条件，需要考生积极主动地加强自己的抽象和逻辑思维能力，方能在数学竞赛中获得胜利。 综上所述，高中数学竞赛知识点主要涵盖了数的基本概念、指标函数概念、高中数学竞赛课程内容组成及计算手段、思维逻辑等，考生在参加数学竞赛时，都要掌握这些知识点，不断加深自己的知识储备，方能在比赛中取得优异的成绩。
高中数学竞赛公式定理大全包括但不限于： 1. 集合运算的分配律与反演律（摩根律）、容斥原理、有限等集的性质。 2. 直线与方程：克莱姆法则、二维对称点坐标公式、二维投影点坐标公式、直线的参数方程、交轨法、定比分点公式。 3. 圆锥曲线：阿波罗尼斯圆、圆的直径式方程、曲线系、圆幂定理、调和点列、椭圆和双曲线的第二定义、各种切割线方程、特殊类型的双曲线、抛物线的各种几何性质、阿基米德三角形、齐次化方法、双根式、仿射变换、隐函数、蒙日圆、等角定理、二次锥面形成圆锥曲线的过程、极点与极线。 4. 立体几何：祖暅原理、用行列式求平面的法向量、三维对称点坐标公式、三维投影点坐标公式、直角四面体勾股定理、四面体余弦定理、三射线定理、三余弦定理、三面角余弦定理、三正弦定理、平行六面体的性质、立体几何中的正余弦定理。 5. 导数与极限：夹逼定理、洛必达法则、极限运算法则、常用极限、对数求导法则、隐函数求导、多个极值判定法、抽象函数的构造、对数平均不等式、指数平均不等式。 6. 数列：等差数列中，S奇=na中，例如S13=13a7；等差数列中，S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差；等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立；等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q；数列的终
极利器，特征根方程等。 7. 其他公式和定理：三角形垂心爆强定理；维维安尼定理；爆强思路；常用结论；爆强公式；函数y=(lnx)/x在(0，e)上单调递增，在(e，+无穷)上单调递减等。 这些公式和定理是高中数学竞赛的重要知识点，需要学生熟练掌握和应用。同时，学生还需要具备灵活运用知识的能力和创造性思维，才能取得优异的成绩。
高一数学竞赛知识点 一、集合与函数 1. 集合的概念：集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。 2. 集合的表示方法：列举法、描述法、区间表示法等。 3. 集合的运算：并集、交集、差集、补集等。 4. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上。 5. 函数的性质：单射、满射、一一对应、复合函数等。 二、数列与数列极限 1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一系列数。 2. 等差数列：数列中的任意两项之差都相等。 3. 等比数列：数列中的任意两项之比都相等。 4. 通项公式：数列中的第n项与n的关系式。 5. 数列极限：数列随着项数无限增加，趋向于一个确定的值。 6. 数列极限的性质：唯一性、保序性、四则运算性质等。 三、函数的性质与图像 1. 函数的奇偶性：奇函数和偶函数的定义与性质。 2. 函数的周期性：周期函数的定义与性质。 3. 函数的单调性：增函数和减函数的定义与判定方法。 4. 函数的极值：局部极大值和局部极小值的概念与求解方法。
5. 函数的图像：函数的图像与坐标轴的交点、拐点、对称轴等。 四、数学归纳法 1. 数学归纳法的原理：从已知条件推导出未知结论的一种方法。 2. 数学归纳法的基本步骤：证明基本情况、假设成立、推导出下一步结论。 3. 数学归纳法的应用：证明数列、不等式、恒等式等的成立性。 五、平面几何 1. 平面几何的基本概念：点、线、面、角等的定义与性质。 2. 直线和平面的关系：相交、平行、垂直等的判定方法。 3. 三角形的性质：内角和、外角和、中位线、高线等的性质。 4. 相似三角形：相似三角形的判定条件、比例关系及其应用。 5. 圆的性质：圆心角、弧长、弦长、切线等的性质。 6. 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义与性质。 六、概率与统计 1. 随机事件：随机事件的概念、必然事件、不可能事件及其运算。 2. 概率的计算：频率概率、几何概率、古典概型等的计算方法。 3. 条件概率：事件A在事件B发生的条件下发生的概率。 4. 独立事件：两个事件相互独立的概念与判定方法。 5. 统计与统计图表：数据的收集、整理、描述和分析方法。 七、三角函数与解三角形
高中数学竞赛知识点提纲 【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set）1.1集.合的阶，集.合之间的关系。1.2集.合的分划1.3子集，子集族 1.4容斥原理 1.5极端原理 1.6抽屉原理 2. 函数（function） 2.1函数的基本概念 2.1.1映射 2.1.1.1单射 2.1.1.2满射 2.1.1.3一一映射（双射） 2.1.2函数的定义域、值域 2.2函数的性质 2.2.1对称性 2.2.2单调性 2.2.3奇偶性 2.2.4周期性 2.2.5凹凸性 2.2.6连续性 2.2.7可导性 2.2.8有界性 2.2.9收敛性 2.3初等函数 2.3.1一次、二次、三次函数 2.3.2幂函数 2.3.3双勾函数 2.3.4指数、对数函数
2.4函数的迭代 2.5函数方程 3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值 3.4正弦、余弦定理 3.5反三角函数 3.6三角方程 4. 向量（vector）4.1向量的运算 4.2向量的坐标表示，数量积 5. 数列（sequence） 5.1数列通项公式求解 5.1.1换元法 5.1.2特征根法 5.1.3不动点法 5.1.4迭代法 5.1.5数学归纳法 5.1.6代换法 5.1.7待定系数法 5.1.8阶差法 5.2数列求和 5.2.1裂项相消法 5.2.2错位相减法 5.2.3倒序相加法 5.2.4分组分解法 5.2.5归纳猜想法 6．不等式（inequality） 6.1解不等式 6.2重要不等式 6.2.1均值不等式
高一上学期数学竞赛知识点 一、整数与有理数 1. 整数的性质与整数的四则运算 整数的性质包括自然数、正整数、负整数、零以及整数的比较大小等。整数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。要注意整数的加法与减法满足交换律和结合律，乘法满足交换律和结合律，除法需要注意被除数与除数的正负关系。 2. 有理数的性质与有理数的四则运算 有理数包括整数和分数，有理数的性质包括有理数的比较大小以及有理数的表示。有理数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。有理数的加法和乘法满足交换律和结合律，减法和除法需要注意符号的变化。 3. 整数和有理数的应用 整数和有理数的应用包括数轴的表示与应用、温度的表示与应用等。 二、代数与方程
1. 代数运算 代数运算包括代数式的加法、减法、乘法和除法，以及代数式的化简和展开。 2. 方程与不等式 方程是含有未知数的等式，要通过变量代换、移项和合并同类项等方法求解方程，包括一元一次方程、一元二次方程等。不等式是含有不等号的关系式，求解不等式要注意改变不等式符号的规则。 3. 平方根与实数 平方根是方程x²=a的解，实数是有理数和无理数的统称。要求解含有平方根的方程时，需要注意引入合适的等式变形和解的范围。 三、数列与函数 1. 算术数列与等差数列
算术数列是指后一项与前一项之差相等的数列，等差数列是一 种特殊的算术数列。要求解数列中的某一项或数列的前n项和， 可以利用通项公式和求和公式。 2. 函数与映射 函数是一种特殊的关系，具有唯一性和对应性。函数的表示可 以用函数表、公式或图象等形式。 3. 一次函数与二次函数 一次函数是变量的一次多项式，二次函数是变量的二次多项式。要求解一次函数和二次函数的零点、最值等问题，需要利用解方 程和求导等方法。 四、立体几何 1. 空间几何基本概念和性质 空间几何包括点、线、面、体等基本概念，以及它们之间的关 系和性质。 2. 空间图形的计算与应用
高中数学竞赛大纲 【高中数学竞赛应该掌握的内容和知识点(共17大点，101小点，244小小点)】 1.**(set)5.1.3不动点法，迭代法1.1**的阶，**之间的关系。5.1.4数学归纳法，递归法1.2**的分划 1.3子集，子集族 1.4容斥原理6(不等式(inequality) 6.1解不等式 2.函数(function)6.2重要不等式2.1函数的定义域、值域6.2.1均值不等 式2.2函数的性质6.2.2柯西不等式2.2.1单调性6.2.3排序不等式2.2.2奇偶性6.2.4契比雪夫不等式2.2.3周期性6.2.5赫尔德不等式2.2.4凹凸性6.2.6权方和不等式2.2.5连续性6.2.7幕平均不等式2.2.6可导性6.2.8琴生不等式2.2.7有界性6.2.9Schur不等式2.2.8收敛性6.2.10嵌入不等式2.3初等函数6.2.11卡尔松不等式2.3.1一次、二次、三次函数6.3证明不等式的常用方法2.3.2幕函数6.3.1利用重要不等式2.3.3双勾函数6.3.2调整法2.3.4指数、对数函数6.3.3归纳法2.4函数的迭代6.3.4切线法2.5函数方程6.3.5展开法 6.3.6局部法 3.三角函数(trigonometricfunction)6.3.7反证法3.1三角函数图像与性质6.3.8其他3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值7.解析几何(analyticgeometry)3.4正弦、余弦定理7.1直线与二次曲线方程3.5反三角函数7.2直线与二次曲线性质3.6 4.向量(vector) 4.1向量的运算8(立体几何(solidgeometry)4.2向量的坐标表示，数量积
高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图所示，若AM平分∠BAC，则 该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这 条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线
是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点， 且满足则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角∠ CAE，则 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射 影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另 一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和 一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应 边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点，则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论： （1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 （2）同弧所对的圆周角相等 （3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径
数学 均值不等式 被称为均值不等式。·即调停平均数不高出几何平均数，几何平均数不高出算术平均数，算术平均数不高出平方平均数，简记为“调几算方”。 其中：，被称为调停平均数。 ，被称为几何平均数。 ，被称为算术平均数。 ，被称为平方平均数。 一般形式 设函数（当 r 不等于 0 时）；（当r=0时），有时，。 可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn 仅是上述不等式的特别状况，即 。 特例 ⑴对实数 a,b ，有（当且仅当a=b 时取“号=”），（当且仅当 a=-b 时取“=号”） ⑵对非负实数a,b，有，即 ⑶对非负实数a,b，有 ⑷对实数 a,b ，有 ⑸对非负实数a,b，有 ⑹对实数 a,b ，有
⑺对实数 a,b,c ，有 ⑻对非负数a,b ，有 ⑼对非负数a,b,c ，有 在几个特例中，最出名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM 不等式）： 当 n=2 时，上式即： 当且仅当时，等号成立。 依照均值不等式的简化，有一个简单结论，即。 排序不等式 基本形式： 排序不等式的证明 要证 只需证 依照基本不等式 只需证 ∴原结论正确 棣莫弗定理 设两个复数（用三角形式表示），则： 复数乘方公式：. 圆排列 定义 从 n 个不同样元素中不重复地取出m （1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n 个不同样元素的圆排列。若是一个m-圆排列旋转可以获取另一个m- 圆排列，则认为这两个圆排列相同。 计算公式 n 个不同样元素的特别地，当m=n m- 圆排列个数N 为： 时， n 个不同样元素作成的圆排列总 数 N 为：。
费马小定理 小定理 (Fermat Theory) (a,p)=1 ，那么 a(p- 1) ≡1（ mod p 有一个公数 1) ，那么 a 的 (p-1)是数中的一个重要定理，其内容：若是 p 是数，且 ）。即：若是 a 是整数， p 是数，且 a,p 互 (即两者只次方除以 p 的余数恒等于 1。 组合恒等式 合数 C(k,n) 的定：从n 个不同样元素中取k 个行合的个数。 基本的合恒等式 nC(k,n)=kC(k-1,n-1) C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m) ∑C(i,n)=2^n ∑[(-1)^i]*C(i,n)=0 C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（个性叫合的【聚合性】） C(k,n)+C(k,n+1)+ ⋯⋯ +C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1) -C(k+1,n) C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+ ⋯⋯ +C(p -1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n) 韦达定理 逆定理 若是两数α和β 足以下关系：α+β= ，α·β=，那么两个数α和β是方程 的根。 通达定理的逆定理，可以利用两数的和关系构造一元二次方程。[5] 实行定理 达定理不可以明一元二次方程根与系数的关系，可以实行明一元n 次方程根与系数的关系。 定理： （ i=1 、 2、 3 、⋯⋯n）是方程： 的 n 个根，k 整数），有：。[实系数方程虚根成对定理： 系数一元n 次方程的虚根成出，即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，=a-bi 也是一个根。 无量递降法 无降法是明方程无解的一种方法。其步： 假方程有解，并X 最小的解。 从 X 推出一个更小的解Y。
不等式块 1．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211（同序和） jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和） 1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和） 其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或 n b b b === 21时等号（对任一排列n j j j ,,,21 ）成立. 2．应用排序不等式可证明“平均不等式”： 设有n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均数和几何平均数分别是 n n n n n a a a G n a a a A 2121=+++=和 此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到 n n a a a n H 11121+++= ， 和平方平均（在统计学及误差分析中用到） n a a a Q n n 22221+++= 这四个平均值有以下关系n n n n Q A G H ≤≤≤. ○ * 3．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式. 柯西（Cavchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则 ).)(()(2 22212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 等号当且仅当k ka b i i (=为常数，),,2,1n i =时成立. 4．利用排序不等式还可证明下述重要不等式. 切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21 ，