高一数学基础知识竞赛试卷

数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。

答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。

答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。

答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。

证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。

因此，该三角形为直角三角形。

2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。

解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。

【必刷题】2024高一数学上册数学竞赛基础专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 已知函数f(x) = x² 2x + 1，那么f(x)在区间（∞，1）上的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先单调递增后单调递减D. 先单调递减后单调递增2. 下列等比数列中，公比为2的是（）A. 1, 2, 4, 8, 16B. 2, 4, 6, 8, 10C. 1, 3, 9, 27, 81D. 3, 6, 12, 24, 483. 设集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|x²2x3=0}，则A∩B的结果是（）A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}4. 若向量a=(2, 3)，向量b=(1, 2)，则向量a与向量b的夹角是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°5. 已知函数g(x) = |x1|，那么g(x)在x=1处的导数是（）A. 0B. 1C. 1D. 不存在6. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = 2x7. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于原点对称的点是（）A. (2, 3)B. (2, 3)C. (2, 3)D. (2, 3)8. 若复数z满足|z1|=1，则z在复平面上的对应点位于（）A. 圆心在(1,0)，半径为1的圆上B. 圆心在(0,1)，半径为1的圆上C. 圆心在(1,0)，半径为1的圆上D. 圆心在(0,1)，半径为1的圆上9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，d=2，则S4的值为（）A. 16B. 20C. 24D. 2810. 若函数h(x) = (x+1)/(x1)的值域为（∞，1）∪(1，+∞），则x的取值范围是（）A. (∞，1)∪(1，+∞）B. (∞，1)∪(1，+∞）C. (∞，1)∪(1，1)D. (1，+∞）二、判断题：1. 任何两个实数的和仍然是一个实数。

高一数学知识竞赛试卷第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案标号填在第Ⅱ卷答案表中。

1．下列命题中，正确的是 A. b a b a =⇒=||||B. b a b a >>⇒||||C. ⇒=∥D. 00||=⇒=a a 2．设11)(+-=x x x f ，则)1()(x f x f +等于 A. 0 B. 1 C. x 1 D. xx +-11 3．［创新题］由方程1|1||1|=-+-y x 确定的曲线，所围成的图形的面积是A. 1B. 2C. πD. 44．设a 为常数，且0<a ，π20≤≤a ，则函数1sin 2cos 2--=x a x y 的最小值为A. 12+aB. 12-aC. 12--aD. 2a5．［创新题］已知3个汽水瓶可以换一瓶汽水，现有10个汽水瓶，若不交钱，最多还可喝汽水A. 3瓶B.4瓶C. 5瓶D. 6瓶6那么从2000－2002的顺序是A. B. C. D.7．已知一列数1a 、2a 、3a …i a ，0>n a 且q a a n n =-1（q 为定值，=n 1、1、3、…i ） 且1a 、9a 为方程016102=+-x x 的两根，则852a a a ⋅⋅的值为A. 60B. 64C. 40D. 168．设函数)(x f 的定义域为R ，)2()2(x f x f -=+，且21≤≤-x 时x x f 2)(=则有 A. )4()1()21(f f f <<- B. )1()4()21(f f f <<- C. )21()4()1(-f f f << D. )4()21()1(f f f <<- 9．根据科学测算，运载神舟五号飞船的长征系列火箭，在点火后1分钟通过的路程为1Km ，以后每分钟通过的路程增加2Km ，在达到离地面240Km 高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要分钟数是A. 20B. 16C. 14D. 1010．《孙子算经》中有则名题称为“物不知其数”，题曰：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物有几何？”题中“物”有A. 38B. 20C. 23D. 2911．在平面内，已知A （31，)32、B(2，－1)，点（x ，)y 在△ABC 的区域上取值，则y x z -=3的最大值为A. 6B. 7C. 8D. 912．一个不透明的袋中装有6个小球，现从袋中倒出小球若干，出现是奇数个的概率为1P ，出现偶数个的概率为2P ，则有A. 21P P >B. 21P P =C. 21P P <D. 不能确定第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上。

高一数学基础知识竞赛试题一、填空题（每空2分，共50分 ）1.集合Ａ中有n 个元素，则Ａ的真子集个数为2.在集合中，Ｚ表示 ，Ｑ表示 ，Ｒ表示3.元素与集合的关系为 关系，集合与集合之间为 关系。

4.用⊂⊆∉∈、、、、＝填空：③ 13≤} 5.表示集合的常用方法有 和 ；空集记为6.不等式2x —3>21的解集为7.已知全集S={1,3,4,6,7,9,10},A={3,7,9},则A C S = 8.设A={}2->x x ,B={3<x x },则A ⋂B= , A ⋃B=9.命题“a=b ”是“ac=bc ”的 条件。

10、① 函数y=x-4的定义域是 ；② 函数y=x 2-的定义域是11、① 不等式b x a ≤<用区间表示为 ；②不等式x<-3用区间表示为12、已知f(x)=32x -5x+2,则f(3)= ，f(a)= 。

13、已知y=f(x)在区间D 上单调递减且D x x ∈21,,若()()21x f x f <则1x 与2x 的大小为14、函数f(x)=-5x+2在R 上是 （填增函数或减函数）15、点P(2,3)关于X 轴的对称点的坐标为 ,二、选择题（每题3分，共30分）1、在函数ｙ＝２ｘ－３图象上的点是 （ ）A （１，１）B （１，－３）C （０，３）D （２，１）2、函数ｓ＝１００ｔ （０≤ｔ≤２）的图象是 （ ） Ａ 点 Ｂ 直线 Ｃ 线段 Ｄ 曲线3、函数ｙ＝－ｘ2的单调递减区间是 （ ）A （-∞，0）B [0，+∞）C （-∞，+∞）D [-1，+∞）4、下列函数是奇函数的是 ( )A ｙ＝ｘ2B ｙ＝ｘ3＋１C ｙ＝XD Ｙ＝－８ｘ5、偶函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是 （ ） Ａ ｘ轴 Ｂ ｙ轴 Ｃ 直线ｙ＝ｘ Ｄ 原点6、下列各图象中，哪一个不可能是函数 y=f(x)的图象（）7、长方形的周长为x，宽为2，则这个长方形的面积为（）A、2xB、2(x-2)C、x-4D、2·(x-2)/28、“比x的相反数大3的数”可表示为（）A、-x-3B、-(x+3)C、3-xD、x+39、如果0<a<1，那么下列说法正确的是（）A、a2比a大B、a2比a小C、a2与a相等D、a2与a的大小不能确定10、数轴上，A点表示-1，现在A开始移动，先向左移动3个单位，再向右移动9个单位，又向左移动5个单位，这时，A点表示的数是（）A、-1B、0C、1D、8三、解答题（每题5分，共20分）1．学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。

数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。

4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。

三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。

6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。

四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。

五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。

如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。

10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。

答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。

A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。

A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。

答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。

答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。

答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。

答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。

当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。

当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。

当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。

解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。

因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。

由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。

解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。

将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。

试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。

8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。

9. 一个正六边形的内角和为 _______。

10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。

11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。

三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。

13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。

全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。

2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。

3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。

试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。

2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。

3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。

试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。

2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。

3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。

试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。

2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。

3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。

2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

高一数学竞赛试题一、单选题1．若集合A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{x |x 2＋2x <0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1}B ．{－1，0}C ．{－2，－1，0}D ．{－1，0，1} 2．对于任意0a >且1a ≠，函数()log (1)3a f x x =-+的图象必经过点（ ） A ．（4，2） B ．（2，4） C ．（2，3） D ．（3，2） 3．在ABC 中､角A ，B 均为锐角，cos sin A B >，则C ∠是（ ）A ．直角B ．锐角C ．钝角D ．不确定4．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 5．下列说法正确的是（ ）A ．若0a b >>，则b b m a a m+<+ B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b >>，则11a b b a +>+ D ．若,R a b ∈，则2a b +6．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知0.22a -=，ln3b =，0.2log 3c =，则（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 8．若关于x 的方程(||)1x x a +=有三个不同的实数解，则实数a 的可能取值（ ） A ．－5B ．－2C ．2D ．3二、多选题9．下列命题正确的是( )A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan α≥0，则k π≤α<π2 ＋k π(k ∈Z )C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α 10．已知函数)123f x =，则（ ） A ．()17f = B ．()225f x x x =+C ．()f x 的最小值为258- D ．()f x 的图象与x 轴只有1个交点 11．命题“x R ∀∈，则2x <”的一个必要不充分条件是（ ）A ．1x <B ．3x <C ．3x >D ．5x ≤12．设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则下列说法正确的是（ ）A ．41a b +的最小值为9B ．222a b +的最小值为23CD三、填空题 13.函数()f x =______.14． 3log 5lg5lg321-+=____________ 15．223(8)--⨯ __． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．四、解答题17．已知集合{}1A x x =≥，集合{}33,B x a x a a R =-≤≤+∈.（1）当4a =时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.18．已知α为第三象限角，且3sin cos tan()22()sin tan(2)2f ππαααπαπαπα⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）化简()f α；（2）若()f α=，求cos()πα+的值.19．已知函数2()21f x x ax =+-，[1,1]x ∈-.（1）若12a =，求函数()f x 的最值； （2）若a ∈R ，记函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 关于a 的函数解析式.20．已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件（025x <≤）并全部销售完，每千件的销售收入为()R x （单位：万元），且21108(010),3()17557(1025).x x R x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-++<≤⎪⎩（1）写出年利润()f x （单位：万元）关于年产量x （单位：千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）21．已知函数()y f x =的图像与()log (0a g x x a =>，且1)a ≠的图像关于x 轴对称，且()g x 的图像过点(9,2).(1)求函数()f x 的解析式；(2)若(31)(5)f x f x ->-+成立，求实数x 的取值范围.22．已知函数f(x)＝log a(2＋3x)－log a(2－3x)(a>0，a≠1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)当0<a<1时，求关于x的不等式f(x)≥0的解集．。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。

答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。

答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。

如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。

答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。

首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。

设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。

可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。

对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。

同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

数学竞赛高中试题入门及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是整数？A. -3B. 0C. 5D. 2.52. 如果函数\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \)，那么\( f(-1) \)的值是多少？A. 10B. 8C. 6D. 43. 圆的半径为3，圆心在原点，那么圆上任意一点到圆心的距离是多少？A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C，且A + B + C = 180°，如果角A = 60°，角B = 50°，那么角C是多少度？A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为三角形的三边，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则该三角形是________。

6. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。

7. 一个圆的面积为28.26平方厘米，那么它的半径是________厘米。

8. 已知等差数列\( 3, 7, 11, ... \)，第5项的值是________。

三、解答题（每题15分，共30分）9. 证明：如果\( a \)，\( b \)，\( c \)是正实数，且\( a + b +c = 1 \)，那么\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq9 \)。

10. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6厘米和8厘米，求斜边的长度。

（使用勾股定理）四、证明题（每题15分，共15分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

五、结束语本试题旨在为高中数学竞赛入门者提供一个基础的练习平台，通过这些题目，学生可以检验自己的数学基础知识和解题技巧。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. √3B. 0.33333（无限循环）C. πD. 1/32. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 f(-1) 的值。

A. 4B. 6C. 8D. 103. 一个圆的半径为 5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 若 a + b + c = 6，且 a^2 + b^2 + c^2 = 14，求 ab + bc + ca 的值。

A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列的首项为 2，公差为 3，求第 10 项的值是__________。

6. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，求前 5 项的和是__________。

7. 若函数 g(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 的导数是 g'(x)，则 g'(1) 的值是 __________。

8. 一个长方体的长、宽、高分别是 3、4、5，求其对角线的长度（保留根号）是 __________。

三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数 n，都有 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。

10. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。

11. 已知函数 h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。

12. 已知一个三角形的三个顶点分别为 A(1, 2)，B(-1, -1)，C(3, 4)，求其面积。

答案一、选择题1. 正确答案：C（π 是无理数）2. 正确答案：A（f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 4）3. 正确答案：B（面积= πr^2 = 25π）4. 正确答案：B（根据柯西-施瓦茨不等式）二、填空题5. 第 10 项的值是 2 + 9*(10-1) = 296. 前 5 项的和是 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 1267. g'(x) = 3x^2 - 4x + 3，g'(1) = 3 - 4 + 3 = 28. 对角线的长度是√(3^2 + 4^2 + 5^2) = √50三、解答题9. 证明：根据调和级数的性质，我们知道 1/n^2 随着 n 的增大而减小，且 1/n^2 < 1/(n-1)^2，因此可以构造不等式 1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) = 1 + 1 - 1/n < 2。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若一个等差数列的首项为3，公差为5，那么它的第n项可以表示为：A. 3 + 5(n-1)B. 3 + 5nC. 5 + 3(n-1)D. 5 + 3n2. 下列哪个分数可以化简为1/2？A. 3/6B. 5/10C. 7/14D. 9/183. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求f(x)的最小值。

A. -36B. -9C. 0D. 94. 若a, b, c是等比数列，且a + b + c = 0，那么b^2的值是：A. a^2 + c^2B. -a^2 - c^2C. acD. -ac5. 一个圆的半径是5cm，求这个圆的面积（圆周率取3.14）。

A. 78.5平方厘米B. 157平方厘米C. 200平方厘米D. 314平方厘米二、填空题（每题5分，共20分）6. 一个等比数列的前三项分别是2, 6, 18，那么它的第四项是_______。

7. 函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|的最小值是_______。

8. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，那么它的斜边长（根据勾股定理）是_______。

9. 一个圆的周长是12π，那么这个圆的直径是_______。

三、解答题（每题10分，共60分）10. 已知等差数列的前n项和为S_n = n^2 + 2n，求这个等差数列的前三项。

11. 求解方程：\(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = 3\)。

12. 一个圆与直线y = 2x + 3相交于点P，圆心坐标为(1, 0)，且半径为2。

求点P的坐标。

13. 证明：若a, b, c, d是正整数，且满足a^2 + b^2 = c^2 + d^2，则a + b = c + d。

14. 一个等差数列的前10项和为110，且第10项是第2项的3倍，求这个等差数列的公差和首项。

高一数学竞赛答案一、选择题答案1. A2. D3. D4. B5. B二、填空题答案6. 547. 28. 59. 6三、解答题答案10. 首项为2，公差为4，前三项为2，6，10。

高中数学竞赛试题高一一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 0.33333...（无限循环）D. -3/42. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 若a, b, c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形4. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B的结果：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}5. 将一个圆分成四个扇形，每个扇形的圆心角为90°，那么这四个扇形的面积之和等于：A. 圆的面积B. 圆的面积的一半C. 圆的面积的四分之一D. 圆的面积的两倍6. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值：A. 29B. 32C. 35D. 38二、填空题（每题5分，共20分）7. 计算(3x^2 - 5x + 2) / (x - 1)的余数是______。

8. 若sinα + cosα = √2/2，那么sin2α的值为______。

9. 已知点A(2,3)，B(-1,-2)，求线段AB的中点坐标为______。

10. 一个圆的半径为5，圆心到直线x + y - 6 = 0的距离为d，求d 的值为______。

三、解答题（每题15分，共50分）11. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。

12. 解不等式：|x - 1| + |x + 2| ≥ 4。

13. 已知函数f(x) = ln(x + 1) - x^2，求其在区间[0, 1]上的最大值和最小值。

四、附加题（10分）14. 一个不透明的袋子中有5个红球和3个白球，每次随机取出一个球，取出后不放回。

求第三次取出红球的概率。

玉潭中学高一数学基础知识竞赛试题2012年11月 班别 姓名 １、①写出满足集合条件的一个例子为②集合Ａ中有n 个元素，则Ａ的真子集个数为２、自然数集是 ，表示为３、在集合中，Ｚ表示 ，Ｑ表示 ，Ｒ表示４、元素与集合的关系为 关系，集合与集合之间为 关系。

５、用⊂⊆∉∈、、、、＝填空：① ②12 Ｑ， ③ 13≤}④ {1,2} {2,1}, ⑤ {a} {a,b} ， ⑥ {c} {a,b}6、表示集合的常用方法有 和 ；空集记为7、空集是 的子集；空集是 的真子集。

8、如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么A C9、不等式2x —3>21的解集为 10、已知全集S={1,3,4,6,7,9,10},A={3,7,9},则A C S =11、① N C Z = ,②()Q C C R R =12、设S={X|X 是至少有一组对边平行的四边形},A={X|X 是平行四边形},则A C S =13、A ⋂B= ,A ⋃B= ,(用描述法表示)14、设A={}2->x x ,B={3<x x },则A ⋂B= , A ⋃B=15、设A={X x 是平行四边形},B={x x 是矩形},则A ⋂B= , A ⋃B=16、设A={()64,+-=x y y x },B={()35,-=x y y x },则A ⋂B= 17、不等式()0><a a x 的解集为 , 不等式()0>>a a x 的解集为18、不等式)0(><+a a b ax 的等价不等式为 ,不等式)()(x g x f >的等价不等式为19、不等式109101<-x 的解集为 ,不等式752>+x 的解集为 20、不等式02322>--x x 的解集为 ,不等式01442<+-x x 的解集为21、不等式0322>-+-x x 的解集为 ,122-+x x 有意义,则X 的取值范围是 22、不等式085≤--x x 的解集为 , 不等式0)2(<-x x 的解集为 23、逻辑联结词有24、命题“24既是8的倍数，又是6的倍数”的复合形式为25、命题“平行线不相交”的复合形式为26、“p 真q 假”,则p 或q 是 , p 且q 是 ,非q 是 （用真或假命题填空）27、“45≤”是 ，“π既是有理数又是无理数”是 （用真或假命题填空）28、“两直线平行，同位角相等”的否命题是29、否命题正确，则 一定正确。

孝感生物工程学校2018-2019学年度上学期高一（数学）基础知识竞赛试卷本试卷共4页，16个小题。

满分100分，考试用时60分钟。

★ 祝 考 试 顺 利★一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

） 1．下列各组数中,大小关系判断正确的一组是( )． A ．B ．C ．D ．2．22+m a 可以写成（ ）．A ．12+m aB ．22a a m +C ．22a a m ⋅D ．12+⋅m a a3．()23220032232312⎪⎭⎫ ⎝⎛-•-•⎪⎭⎫ ⎝⎛--y x y x 的结果等于（ ）A ．y x 10103B ．y x 10103-C ．y x 10109D ．y x 10109-4. 已知a+1a =3，则a 2+21a，则a+的值是（ ） A ．1 B ．7 C ．9 D ．115.如果x ab a 42+-是一个完全平方式，那么x 的值是( ).A.241bB.281b -C. 2161bD.2161b - 6. 已知2<t ，化简4422+---t t t 得：（ ）A ．t 44-B ．2tC ．2D ．07.已知11m n =+=( ) A.9 B. 3± C.3 D.58．设13(1,1),(1,1),,22a b c a b c -=-则的坐标为（ ） A.（1，-2） B.（-1，2） C.（1，2） D.（-1，-2）学校_____________班级_________________姓名__________________ 考号 ----------------------------------------装------------------------------------------------订----------------------------------------------------线-----------------------------------------------------------------二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分。

高一数学下学期基础知识竞赛试卷（时间：90分钟，总分：100分）班级 座号 姓名一．选择题（每小题3分共60分） 1、下列各组对象中不能成集合的是（ ）A 高一（1）班的全体男生B 该校学生家长全体C 李明的所有家人，D 王明的好朋友 2、已知X={x|x>-4},则( )A 0⊆XB {0}∈XC ∈ΦXD {0}⊆X3、已知A ⊆{1,2, ,4},且A 中最多有一个偶数，这样的A 集合有（ ） A 2个 B 4个 C 5 个 D 6个4、如果二次函数y=5x 2－nx －10在区间（－∞，1）上是减函数，在（１，＋∞）是增函数，则n 的值是( )A 1B -1C 10D -10 5、函数Y=-3X 4是 （ ）A 偶函数B 奇函数，C 既是奇函数又是偶函数D 非奇非偶函数 6、函数f(x)=(a 2－3a ＋3)a x是指数函数 ，则a 的值是( ) A a=1或a=2 B a=1 C a=2 D a>0或a ≠1 7、f(x)=㏑x ＋2x －5的零点一定位于以下的区间（ ） A (1,2) B (2,3) C (3,4) D (4,5) 8、下列命题正确的是 （ ）A.第一象限角是锐角B.钝角是第二象限C.终边相同的角一定相D.不相等的角它们终边必不相同9、函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是（ ） A.4π，2，4π B. 4π，2-，4π- C. 4π，2，4π D. 2π，2，4π10、如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+=（ ）A.－12B.23C.12D.22- 11、给出命题 （1）零向量的长度为零，方向是任意的. （2）若→a ，→b 都是单位向量，则→a ＝→b . （3）向量→AB 与向量→BA 相等. （4）若非零向量→AB 与→CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是（ ） A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4）12、在四边形ABCD 中，如果→→→→==∙DC AB ，CB AB 0，那么四边形ABCD 的形状是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形13、过直线与直线的交点且与直线平行的直线的方程( )A. B. C. D.14、如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是（ ）A. →→=BE BG 32 B. →→=+FC DA 213231 C. →→=AGDG 21 D. →→=GF CG 215、在下列立体图形中，不是柱体的是（ A 正方体 B 三棱柱 C 长方体16、若球的大圆周长为C ，则这个球的表面积是（ ） A ．π42C B ．π22C C ．π2C D ．22C π17、直线a ∥ 平面α，直线b ⊥a, 则b 与α的关系是 （ ）A ．b ∥αB 、b 与α相交C 、b ⊂αD 、不能确定18、已知直线a ∥平面α，直线b ⊂α，则a 与b 的关系为（ ） A ．平行或异面 B ．平行 C ．异面 D ． 相交19、若直线过点（1，2），（4，2+3）则此直线的倾斜角是 （ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、 90°20、两平行直线1l ∶3x +4y +10=0，2l ∶3x +4y +5=0的距离为（ ） A 、3 B 、１ Ｃ、５ D 、7 二．填空题：（每小题2分共40分）1、设全集U 为R,已知A={x|1<x<7}，B={x|x<3或x>5}。

卜人入州八九几市潮王学校古浪县第二二零二零—二零二壹高一数学12月根底知识竞赛试题一、选择题：(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分1.设集合{1,2,3,4},{1,2,5}A B ==,那么A B ⋂=() A ．}4,3,2,1{ B ．{1,2} C ．{3} D ．{1,2,5}2．以下幂函数中过点(0，0)，(1，1)的偶函数是()A ．y ＝12x B ．y ＝x 4 C ．y ＝x －1D ．y ＝x 33.直线经过点A(2，3),B(4，5)，那么该直线的倾斜角为〔〕A ．150 B.135 C.75D.45 “点A 在直线l 上，l 在平面α外〞，正确的选项是〔〕A.A ∈l ,l ∉αB.A ∈l ,l ⊄αC.A ⊂l ,l ⊄αD.A ⊂l ,l ∈α5．垂直于同一条直线的两条直线〔〕A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能6．以下直线中，斜率为4-3，且不经过第一象限的是〔〕 A ．3x ＋4y ＋7=0B ．4x ＋3y ＋7=0C ．4x ＋3y-42=0D ．3x ＋4y-42=0α为平面〕〔〕①假设b ∥a ，c ∥a ，那么b ∥c ②假设b ⊥a ，c ⊥a ，那么b ∥c③假设a ∥α，b ∥α，那么a ∥b ④假设a ⊥α，b ⊥α，那么a ∥bA ．①②③④B ．①④C ．①D ．④ 8．假设直线l 的倾斜角为45o ,且经过点(2,0)，那么直线l 的方程是〔〕3122a 342a 63a A ．2+=x yB ．2-=x yC ．33233-=x yD ．323-=x y9.过点(1,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条10.函数()f x = A.3(,)4∞ B.3,4⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭C.3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦D.3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.设)(x f 是R 上的偶函数，且在[)+∞,0上单调递增，那么以下正确的选项是〔〕A ．)0()3(f f ＜B ．)3()2(f f ＞-C ．)1()2(f f ＞-D ．)2-()3(f f ＜- 12．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，那么三棱锥D －ABC 的体积为() A.B.C.D. 二、填空题：(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分)13．球的半径扩大到原来的2倍，那么它的体积扩大到原来的倍。