湖南省炎德英才杯2019_2020学年高一数学下学期基础学科知识竞赛试题

湖南省炎德英才杯2019-2020学年高一物理下学期基础学科知识竞赛试题时量：90分钟满分：100分一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.牛顿时代的科学家们围绕万有引力的研究，经历了大量曲折顽强而又闪烁智慧的科学实践。

在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的是A.伽利略研究了第谷的行星观测记录，提出了行星运动定律B卡文迪许将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律C.哈雷在实验室中准确地得出了引力常量G的数值，使得万有引力定律有了现实意义D.牛顿通过月地检验，验证了万有引力定律2.甲，乙两物体同时以相同的速度经过某个位置时开始计时，从t＝0时刻开始两物体沿同一直线做减速运动，最终又都停止在另一相同的位置，整个过程甲、乙运动的v－t图象如图所示，则A.整个过程中甲的平均速度大于乙的平均速度B.从t＝0时刻到下一次速度相等的过程中，乙的平均速度要大于甲的平均速度C.在运动过程中甲的加速度一直小于乙的加速度D.在运动过程中甲，乙两物体的加速度不可能相同3.如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动。

若当滑轮右侧的绳与竖直方向成β＝60°角，且重物下滑的速率为v＝2m/s时，滑轮左侧的绳与水平方向成α＝45°角，则小车的速度为A.23m/sB.3m/sC.22m/sD.2m/s4.在一斜面頂端，将质量相等的甲、乙两个小球分别以2v 和v 的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。

则下列说法正确的是A 乙球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角要比甲球的小B.从抛出到落到斜面上重力对甲，乙两球做功之比为1：2C.落到斜面上时甲，乙两球重力的瞬时功率之比为1：2D.两球从抛出到落到斜面上运动的时间相同5.2019年春节期间，中国科幻电影里程碑作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程可设想成如图所示，地球在椭圆轨道I 上运行到远日点B 变轨，进入圆形轨道II 。

2020年“炎德英才杯”高二基础学科知识竞赛数学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知命题p ：∀x>0，ln(x ＋1)>0，则命题p 的否定是A.∀x>0，ln(x ＋1)≤0B.∀x ≤0，ln(x ＋1)>>0C.∃x 0>0，ln(x 0＋1)>0D.∃x 0>0，ln(x 0＋1)≤02.已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{t ∈Z|t ＝2x ＋1，x ∈A}，则A ∩B ＝A.{－1，0，1} B{－1，0} C{0，1} D.{0}3.已知正项等比数列{a n }的公比为q ，若a 2a 6＝4a 52，则公比q ＝ A.12 B.22 C.2 D.24.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，c ＝λa ＋µb ，若a ⊥c ，则下列结论正确的是 Aλ－μ＝0 B.λ＋μ＝0 C.2λ－μ＝0 D.2＋μ＝05.(2x 2＋1x)5的展开式中，x 4的系数是 A160 B.80 C.50 D.106.已知cos(α－4π)sin(34π－α)＝33，α∈(3,24ππ)，则sin2α＝ A.231- B.231- C.31- D.31+ 7.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为A.(0 ) ) 8.巳知实数a ，b 满足ab>0，则2a a a b a b-++的最大值为A.2B.2C.3－D.3＋二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

炎德英才杯2019-2020学年高二数学下学期基础学科知识竞赛试题时量：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知命题p：x>0，ln(x＋1)>0，则命题p的否定是A.x>0，ln(x＋1)≤0B.x≤0，ln(x＋1)>>0C.x0>0，ln(x0＋1)>0D.x0>0，ln(x0＋1)≤02.已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{t∈Z|t＝2x＋1，x∈A}，则A∩B＝A.{－1，0，1} B{－1，0} C{0，1} D.{0}3.已知正项等比数列{an}的公比为q，若a2a6＝4a52，则公比q＝A. B. C. D.24.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，c＝λa＋µb，若a⊥c，则下列结论正确的是Aλ－μ＝0 B.λ＋μ＝0 C.2λ－μ＝0 D.2＋μ＝05.(2x2＋)5的展开式中，x4的系数是A160 B.80 C.50 D.106.已知cos(α－)sin(－α)＝，α∈()，则sin2α＝A. B. C. D.7.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为A.(0，]B.[，＋∞)C.(，]D.[，)8.巳知实数a，b满足ab>0，则的最大值为A.2－B.2＋C.3－2D.3＋2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.在平面直角坐标系xOy中，双曲线A的焦点F位于x轴上，且双曲线A与双曲线B：有相同渐近线，则下列结论正确的是A双曲线A与双曲线B的离心率相等B双曲线A与双曲线B的焦距相等C.若双曲线A的焦点F到渐近线距离为2，则双曲线A的标准方程为D.若双曲线A的焦点F到渐近线距离为2，则双曲线A的标准方程为10.2019年国际数学奥林匹克竞赛(IMO)中国队王者归来，6名队员全部摘金，总成绩荣获世界第一，数学奥林匹克协会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往机场接参赛选手。

2019-2020学年湖南省炎德英才杯高一下学期基础学知识竞赛数学试题一、单选题 1．已知集合{}|22xA x =>，{}2|,RB y y x x ==∈，则()R A B =( )A ．[0,1)B ．(0,2)C ．(,1]-∞D ．[0,1]【答案】D【解析】根据指数函数单调性，求出{|1}A x x =>，得出R{|1}A x x =，求出集合B ，根据交集的计算即可得出答案. 【详解】解：由题可知，{}|22{|1}xA x x x =>=>，R {|1}A x x ∴=，{}2|,{|0}B y y x x y y ==∈=R ，所以()R{|01}B x A x ⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集和补集运算，属于基础题.2．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()31f x f x +=-，若当[]2,0x ∈-时，()2x f x -=，记21log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b f=，()23c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>【答案】A【解析】根据()()31f x f x +=-可得函数()f x 是周期为4的周期函数，根据()f x 是定义域为R 的偶函数，可得()f x 为(0,2]上的增函数，再根据周期性和单调性可比较大小. 【详解】∵()()31f x f x +=-，∴()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数， 当[]2,0x ∈-时，()2xf x -=，则函数()f x 为减函数，即当(]0,2x ∈时，()f x 为增函数， 21log 24=-，则()()21log 224a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， ()()()()239811c f f f f ===+=，∵132<<，且当(]0,2x ∈时，()f x 为增函数，∴()()()132f f f <<，∴a b c >>，故选：A . 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、周期性和单调性比较大小，属于基础题. 3．在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AD AB =，3BD AB =，2BC BD =，则sin C 的值为（ ）A ．12B ．14C ．18D ．112【答案】B【解析】设AB x =，则AD x =，3BD x =，23BC x =，过点A 作AE BD ⊥，利用正弦定理sin sin BC ABBAC C=∠，即可得答案；【详解】在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AD AB =，3BD AB =，2BC BD =，设AB x =，则AD x =，3BD x =，23BC x =，如图所示，过点A 作AE BD ⊥，所以32BE x =，3BAE π∠=，所以23BAC π∠=， 在ABC 中，利用正弦定理sin sin BC ABBAC C=∠，所以23sin 32x xC =，整理得1sin 4C =, 故选：B. 【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的运用，考查运算求解能力.4．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A 2B 3C ．2D ．2【答案】C【解析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x y +的表达式，进而得到最大值. 【详解】以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立坐标系，设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆； 根据三角形面积公式得到011sin 6022l r S AB AC ⨯⨯==⨯⨯⨯周长， 可得到内切圆的半径为1; 可得到点的坐标为：())()()()3,0,3,0,0,3,0,0,cos ,1sin B CA D M θθ-+()cos 3,1sin ,BM θθ=+()()3,3,3,0BD BA == 故得到 ())cos 3,1sin 33,3x BM x θθ=++=故得到cos 333,sin 31x x θθ=+=-1sin 3sin 2333x y θθ+⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩，()sin 4242sin 2.33333x y θθϕ+=++=++≤ 故最大值为：2. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.5．如图所示，正四面体ABCD 中,E 是棱AD 的中点,P 是棱AC 上一动点，BP PE +14 ）A ．12πB ．32πC ．8πD ．24π【答案】A【解析】将侧面ABC 和ACD △沿AC 边展开成平面图形为菱形ABCD ,可得到BE 的长即为BP PE +的最小值,设DE x =,在Rt BCE 中,利用勾股定理可得2x =,则棱长为22,进而可求得正四面体的外接球的表面积 【详解】将侧面ABC 和ACD △沿AC 边展开成平面图形,如图所示,菱形ABCD ,在菱形ABCD 中,连接BE ,交AC 于点P ,则BE 的长即为BP PE +的最小值,即14BE =因为正四面体ABCD ,所以AC AB =,所以120BCD ∠=︒, 因为E 是棱AD 的中点,所以30DCE ∠=︒， 所以90BCE BCD DCE ∠=∠-∠=︒, 设DE x =,则2AB BC CD AD x ====, 所以3CE x =,则22714BE BC CE x =+=所以2x =,则正四面体ABCD 的棱长为22623=所以该正四面体外接球的表面积为24312S ππ==,故选：A 【点睛】本题考查线段和最短问题,考查外接球问题,考查运算能力6．已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n m =-，()f n m n =-，则当m x n <<时，有（ ） A ．()f x x n +< B ．()f x x m +> C ．()0f x x -< D ．()0f x x ->【答案】A【解析】设(,)(,)A m n m B n m n --，，写出直线AB 的方程，可知其斜率为负；又因为()f x 开口向上，所以在m x n <<时，()2f x x m n <-++，进而变形得出答案. 【详解】解：设(,)(,)A m n m B n m n --，，则直线AB 的方程为2y x m n =-++，即A ，B 为直线2y x m n =-++与()f x 的图像的两个交点，由于()f x 图像开口向上，所以当m x n <<时，()2f x x m n <-++，即()f x x x m n n +<-++<；故选：A. 【点睛】本题考查二次函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题型. 7．将函数44()sin cos f x x x =+的图像向左平移8π个单位长度后，得到()g x 的图像，若函数()y g x ω=在[,]124ππ-上单调递减，则正数ω的最大值为 A ．12B ．1C ．32D ．23【答案】A【解析】先化简()f x 的表达式，平移后得到()g x 的解析式，再求出()g x ω的解析式，然后利用()g x ω的单调减区间列不等式组，求得ω的取值范围，进而求得正数ω的最大值. 【详解】依题意，()2221cos 21cos 21cos 23cos 42224x x x x f x -+++⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，向左平移π8个单位长度得到31π31π31cos 4cos 4sin 444844244x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故()()31sin 444g x x ωω=-，下面求函数的减区间：由ππ2π42π22k x k ω-+≤≤+，由于0>ω故上式可化为ππππ8282k k x ωω-++≤≤，由于函数()g x ω在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故πππ8212πππ824k k ωω⎧-+⎪≤-⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解得362122kk ωω⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，所以当0k =时，12ω=为正数ω的最大值.故选A. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数图像变化的知识，考查三角函数的单调区间的求法，综合性较强，需要较强的运算能力.44sin cos x x +是不能够直接合并起来的，需要通过运用降次公式两次，才能化简为()sin A x B ωϕ++的形式.求解三角函数单调区间时，要注意A 是正数还是负数.8．在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,4)P ，向圆C ：222()5x m y m -+=+（16m <<）引两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 过定点（ ） A ．1(,1)2-B ．3(1,)2-C ．13(,)22-D ．1(1,)2-【答案】B【解析】在平面直角坐标系xOy 中，过点()1,4P ，向圆C ：()2225x m y m -+=+（16m <<）引两条切线，则切线的长为==∴以点P 为圆心，切线长为半径的圆的方程为()()2214122x y m -+-=-∴直线AB 的方程为()()()222221427x m y x y m m ⎡⎤-+--+-=+-⎣⎦，即(1)(45)0m x x y +-+-=∴令10{450x x y +=+-=，得1{32x y =-=∴直线AB 恒过定点3(1,)2- 故选B.9．已知函数1(){}f x x x=-，其中{}x 为不小于x 的最小整数，如{}3.54=，{}33=，则关于()f x 性质的表述，正确的是（ ） A ．定义域为()(),00,-∞⋃+∞ B ．在定义域内为增函数 C ．函数为周期函数 D ．函数为奇函数【答案】C【解析】只需要研究分母对应的函数(){}g x x x =-即可．求出定义域排除A 选项；利用周期函数的定义得出(1)()g x g x +=，故函数是周期函数，由此排除B 选项，C 选项正确；利用奇函数定义容易得到D 选项错误． 【详解】解：易知{}0x x -≠，故定义域为{|}x x Z ≠，故A 选项错误，令(){}g x x x =-，易知(1){1}(1){}11{}()g x x x x x x x g x +=+-+=+--=-=， 故{}f x 是以1为周期的函数，故C 选项正确，B 项错误， 因为()()f x f x --≠，故D 选项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查新定义问题，涉及对函数周期性、单调性、奇偶性等知识，同时考查分析问题与解决问题的能力．二、多选题10．已知圆O ：224x y +=和圆C ：22231x y .现给出如下结论，其中正确的是（ ）A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5x y +=或10x y -+= C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为916300x y -+=D ．P ､Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 3+3 【答案】AD【解析】对于A ，先由已知判断两圆的位置关系，从而可判断两圆的公切线的条数； 对于B ，截距相等可以过原点或斜率只能为1-，从而可得直线方程； 对于C ，由于点C 在圆O 外，所以过点C 与圆O 相切的直线有两条；对于D ，PQ 的最大值为圆心距与两圆半径的和，最小值为圆心距与两圆半径的差， 【详解】解：由题意可得，圆O ：224x y +=的圆心为(0,0)O ，半径12r =，圆C ：22231x y 的圆心(2,3)C ，半径21r =,因为两圆圆心距121321OC r r =>+=+， 所以两圆相离，有四条公切线，A 正确；截距相等可以过原点或斜率只能为1-，B 不正确； 过圆外一点与圆相切的直线有两条，C 不正确；PQ 的最大值等于12OC r r ++，最小值为12OC r r --，D 正确.故选：AD 【点睛】此题考查两圆的位置关系的有关性质，属于基础题11．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE △是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若BC DE ⊥，则平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC DE ⊥，则直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为64C ．若直线BM 和EN 异面，则点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心，则BM EN = 【答案】ABC【解析】根据面面垂直的判定，线面夹角的求解办法，以及异面直线的定义，结合面面垂直的性质，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】∵BC CD ⊥，BC DE ⊥，CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDE ，∴BC ⊥平面CDE ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；设CD 的中点为F ，连接EF ､AF ，则EF CD ⊥. ∵平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD平面CDE CD =，EF ⊂平面CDE∴EF ⊥平面ABCD ，设EA 与平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠， 223EF CE CF =-=225AF AD FD =+=，222AE EF AF =+= 则6sin EF AE θ==，B 项正确； 连接BD ，易知BM ⊂平面BDE ，由B ､M ､E 确定的面即为平面BDE ， 当直线BM 和EN 异面时，若点N 为底面ABCD 的中心，则N BD ∈， 又E ∈平面BDE ，则EN 与BM 共面，矛盾，C 项正确；连接FN ，∵FN ⊂平面ABCD ，EF ⊥平面ABCD ，∴EF FN ⊥， ∵F ､N 分别为CD ､BD 的中点，则112FN BC ==， 又3EF=222EN EF FN =+=，227BM BC CM =+则BM EN ≠，D 项错误. 故选：ABC . 【点睛】本题综合考查面面垂直的判定以及性质、异面直线的定义、线面夹角的求解，属综合困难题.12．已知函数()()sin sin f x x x π=+，现给出如下结论，其中正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．()f x 在区间()0,π上有三个零点D ．()f x 的最大值为2【答案】AC【解析】根据奇函数的定义和周期函数的定义，函数的零点等价于方程的根，反证法求函数最值，即可得答案；∵x ∈R ，()()()()sin sin sin sin f x x x x x f x ππ-=-+-=--=-， ∴()f x 是奇函数，A 正确；sin y x =的周期12T k π=，k ∈Z ，()sin y x π=的周期22T n =，n ∈Z ，∵{}{}1122|2,|2,T T k k T T n n π=∈=∈=∅Z Z ，∴()f x 不是周期函数，B 错误；令()()sin sin 0f x x x π=+=，得()()sin sin sin x x x π=-=-， ∴2x x k ππ=-+，k ∈Z ，或2x x k πππ-=+，k ∈Z ， 解得21k x ππ=+，k ∈Z 或()211k x ππ+=-，k ∈Z ，又()0,x π∈，21x ππ=+或41x ππ=+或1x ππ=-，C 正确； 当sin 1x =时，22x k ππ=+，k ∈Z ，当()sin 1x π=时，122x k =+，k ∈Z ， ∵12,2,22x x k k x x k k ππ⎧⎫⎧⎫=+∈⋂=+∈=∅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ， 即sin y x =与()sin y x π=不可能同时取得最大值1，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】本题考查根据三角函数的解析式求函数的性质，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、填空题13．若两个非零向量a ､b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为__________. 【答案】35【解析】设平面向量a 与b 的夹角为θ，在等式2a b a b +=-两边平方，再利用向量的数量积运算，即可得答案；设平面向量a 与b 的夹角为θ，∵()()22220a b a b a b a b+⋅-=-=-=，可得a b =，在等式2a b a b +=-两边平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+， 化简得3cos 5θ=. 【点睛】本题考查向量夹角公式和数量积运算，考查逻辑推理能力、运算求解能力.14．函数y =__________.【答案】【解析】根据两点之间的距离公式改写目标函数解析式，即可根据几何意义求得结果. 【详解】因为y ==其几何意义为点(),0Px 到点()1,1A -､()2,2B 两点的距离之和，()1,1A -关于x 轴的对称点()1,1C --， ||||||||||y PA PB PC PB BC =+=+≥当且仅当B ､P ､C 三点共线时y 的值最小为BC ==故答案为：【点睛】本题考查两点之间距离公式的妙用，涉及函数最值的求解，属基础题.15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，中心为O ，12BF BC =，1114A E A A =，则四面体OEBF 的体积为__________.【答案】196【解析】根据中心的特点，结合点E 的位置，求得E 到平面OBF 的距离和A 到平面OBF 距离的关系，结合三角形OBF 是直角三角形，即可求得棱锥体积.【详解】根据题意，连接11,A B D C ，如下所示：因为O 是正方体的中心，故O 在平面11A D CB 中. 点E 满足1114A E A A =， 故点E 到平面OBF 的距离为点A 到平面OBF 距离的14. 故三棱锥E OBF -的高122428h =⨯=. 又容易知三角形OBF 是角OFB ∠为直角的直角三角形， 且112122OF A B BF ===， 故三角形OBF 的面积112222S =⨯=.故四面体OEBF 的体积111338896V S h =⨯⨯=⨯=. 故答案为：196. 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，注意本题中正方体中心的性质，属基础题.16．已知圆O ：221x y +=直线l ：2y x a =+，过直线l 上的点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得32PA PB PO +=，则实数a 的取值范围是______.【答案】[-【解析】取AB 中点C ，则,,O P C 三点共线，且OP AB ⊥，由已知可得322PC PO =，即3||||4PC PO =，利用Rt PAO Rt ACO △△，求出||PO ，要使得点P 存在，坐标原点O 到直线l 的距离不大于||PO 的值，建立a 的不等量关系，求解即可. 【详解】连,,,AB OA OB OP ，直线PA ，PB 是圆O 的切线，切点分别为A ，B ，||||,PA PB PC AB ∴=∴⊥， ||||,,,,OA OB OC AB O C P =∴⊥∴三点共线，AC OP ∴⊥，24331,,||||24PA PB PC PO PC PO OC OP +===∴=， ||||,||||OA OP Rt PAO Rt ACO OC OA ∴=△△， 221||||1,||24||||O OP OA OP C OP ∴==∴==⋅， 要使在直线l 上存在点P 使得||2OP =，则点O 到直线l 的距离2≤d ，2,||d a =≤≤a ∴-≤≤故答案为：[- 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及切线性质的应用，注意平面几何知识和向量知识的合理利用，考查数形结合思想，属于中档题.四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到两坐标轴的距离之和等于它到定点()1,1A 的距离，记点P 的轨迹为C .（1）求点P 的轨迹C 的方程并作出动点P 的轨迹的图形； （2）设(),Q x y 是轨迹C 上的任意一点，求： ①2x y +的最大值； ②22xy +的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）①2；②6-【解析】(1)动点P 到两坐标轴的距离之和等于它到定点()1,1A 的距离，即可得到方程10xy x y ++-=，讨论xy 与0的大小去绝对值，即得轨迹方程，根据相应的范围画出轨迹图形即可；(2)利用2x y +、22x y +与P 的轨迹C 的几何意义可求最值【详解】（1）由动点(),P x y 到两坐标轴的距离之和等于它到定点()1,1A 的距离∴x y +=10xy x y ++-=当0xy ≥时，可得10xy x y ++-=，即11x y x -=+，故211y x=-++(1x <-或01)x ≤≤当0xy <时，10xy x y -++-=，即()1)0(1x y --=，故1(0)x y =<或1(0)y x =<动点P 的轨迹为：（2）①设2x y t +=，依t 的几何意义：直线20x y t +-=与P 的轨迹有交点的情况下，在x 或y 轴上的截距最大即可∴当20x y t +-=过(0,1)时2x y +有最大值为2②设22x z y +=，依z 的几何意义：圆222x y r +=与P 的轨迹有交点的情况下，半径r 最小的情况∴当222x y r +=与211y x=-++在01x ≤≤分支相切时，22x y +有最小值，切点为221)-，22r =故z 的最小值为642-【点睛】本题考查了动点轨迹的方程及其图形，利用代数式与轨迹图形的几何意义求它们的最值，注意找到图形中出现最值的边界点18．如图，在平面直角坐标系中，角αβ，的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O交于A ，B 两点，若712παπ∈（，），12πβ=，且点A 的坐标为1A m -（，）．（1）若423tan α=-，求实数m 的值； （2）若34tan AOB ∠=-，若sin2α的值．【答案】（1）12m =（27243- 【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tan α的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得12sinπα-（）和12cosπα-（）的值，再利用两角和的正弦公式求得2266sin sin ππαα⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（）的值．【详解】（1）由题意可得224213tan tan tan ααα==--，12tan α∴=-，或2tan α=．712παπ∈（，），12tan α∴=-，即112m =--，12m ∴=． （2）sin 312124cos 12tan AOB tantan παπαβαπα⎛⎫- ⎪⎝⎭∠=-=-==-⎛⎫- ⎪⎝⎭（）（）， 22111,,121212212sin cos πππππααα⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-=-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 34125125sin cos ππαα∴-=-=-（），（）， 24226121225sin sin cos （）（）（）πππααα∴-=--=-，2722161225cos cos ππαα-=--=（）（），7243222266666650sin sin sin cos cos sin ππππππαααα-⎡⎤∴=-+=-+-=⎢⎥⎣⎦（）（）（）．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．19．如图1，图2，在矩形ABCD 中，已知2AB =，3AD =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且1AE CF ==，将四边形ABCE 沿EC 折起，使点B 在平面CDE 上的射影H 在直线DE 上.（1）求证：CD BE ⊥； （2）求证：//HF 平面ABCE ；（3）求直线AC 与平面CDE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3213. 【解析】（1）推导出BH CD ⊥，CD DE ⊥，从而CD ⊥平面DBE ，由此能证明CD BE ⊥．（2）设BH h =，EH k =，过F 作FG 垂直ED 于点G ，由勾股定理得线段2BH =．推导出//HF EC ，由此能证明//HF 平面ABCE ．（3）延长BA 交BE 于点M ，点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的13，点A 到平面EFCD 的距离为23，由此能求出直线AF 与平面EFCD 正弦值．【详解】（1）∵BH ⊥平面CDE ，∴BH CD ⊥， 又CD DE ⊥，BHDE H =，∴CD ⊥平面DBE ，∵BE ⊂平面DBE ，∴CD BE ⊥. （2）设BH x =，EH y =，由（1）知CDB △为直角三角形，在BHE 与CDB △中有()2222225,223,x y x y ⎧+=⎪⎨+-+=⎪⎩ 解方程得2,1,x y =⎧⎨=⎩，∴H 为DE 的中点.又F 为CD 中点，∴//HF CE ，且HF ⊄平面ABCE ，CE ⊂平面ABCE ， ∴//FH 平面ABCE .（3）在梯形ABCE 中，延长BA 交CE 于点M ， ∵::1:3AE BC MA MB ==，.点A 到平面CDE 的距离为点B 到平面CDE 距离的13， ·点A 到平面CDE 的距离为23，而13AC =， 故直线AC 与平面CDE 所成角的正弦值为21339.【点睛】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 20．已知2244log log 02x x ++⋅≤. （1）求x 的取值的集合A ； （2）x A ∈时，求函数()1342x x f x ++=-的值域；（3）设()21,032,2,20,x x g x x x ⎧-≤≤=⎨+-≤<⎩若()y g x a =-有两个零点1x ､2x (12x x <)，求1ax 的取值范围.【答案】（1）{}|25A x x =-≤≤；（2）[]4,3840-；（3）[]1,0-.【解析】（1）利用对数运算，化简不等式，结合对数函数单调性，求解不等式即可； （2）根据（1）中所求，将()f x 配凑为关于2x 的二次函数，求其值域即可；（3）根据题意，用1x 表示出a ，求出1x 的范围，再求目标式的范围即可.【详解】（1）由2244log log 023x x ++⋅≤得， ()()222log 41log 4log 90x x +-+-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，∴()221log 4log 9x ≤+≤，∴25x -≤≤，故{}|25A x x =-≤≤为所求.（2）当x A ∈时，()1342x x f x ++=-()()2242824214x x x =⋅-⋅=--， ∵25x -≤≤，∴12324x ≤≤， ∴()43840f x -≤≤，即为()f x 的值域.（3）作出函数()g x 的图象，∵()y g x a =-有两个零点1x ､2x 且12x x <，∴120x -≤<，02a ≤<，且()112a f x x ==+，∴()()()2111111211ax f x x x x x ==+=+-，∵120x -≤<，∴110ax -≤≤即1ax 的取值范围为[]1,0-.【点睛】本题考查对数运算、对数不等式的求解，对数型复合函数值域的求解，以及对数函数图像的应用，属综合中档题.。

2019～2020学年湖南省炎德英才杯⾼⼀年级下学期基础学科知识竞赛数学试题及答案解析绝密★启⽤前湖南省·炎德英才杯2019～2020学年⾼⼀年级下学期基础学科知识竞赛数学试题时量：120分钟满分：100分⼀、单项选择题(本题共8⼩题，每⼩题3分，共24分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

)1.已知集合A＝{x|2x>2}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则(RA)∩B＝A[0，1) B.(0，2) C.(－∞，1] D.[0,1]2.设f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x＋3)＝f(x－1),若当x∈[－2,0]时,f(x)＝2－x,记a＝f(log214),b＝f(3),c＝f(32),则a,b,c的⼤⼩关系为Aa>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b3.在△ABC中,D是边AC上的点,且AD＝AB,BD＝3AB,BC＝2BD,则sinC的值为A 12B.14C.18D.1124.如图,圆O是边长为23的等边三⾓形ABC的内切圆,其与BC边相切于点D,点M为圆O上任意⼀点,若BM xBA yBD=+(x,y∈R),则2x＋y的最⼤值为2 B.3 C.2 25.如图,正四⾯体ABCD中,E是棱AD的中点,P是棱AC上⼀动点,BP＋PE的最⼩14则该正四⾯体的外接球的表⾯积是A.12πB.32πC.8πD.24π6.已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b,m,n 满⾜mAf(x)＋xm C.f(x)－x<0 D.f(x)－x>07.将函数f(x)＝sin 4x ＋cos 4x 的图象向左平移8π个单位长度后,得到g(x)的图象,若函数y ＝g(ωx)在[,124ππ-]上单调递减,则正数ω的最⼤值为 A.12 B.1 C.32 D.238.在平⾯直⾓坐标系xOy 中,过点P(1,4),向圆C ：(x －m)2＋y 2＝m 2＋5(1A(－12,1) B(－1,32) C(－12,32) D.(－1,12) ⼆、多项选择题(本题共4⼩题,每⼩题4分,共16分。

学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式确定集合，再由并集定义计算．【详解】由已知，，∴．故选：C．【点睛】本题考查集合的并集运算，解题关键是掌握解一元二次不等式，掌握对数函数的性质．2. 若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是( )A. a2>b2B.C. lg(a－b)>0D.【答案】D【详解】试题分析：A中不成立，B中不成立，C中不成立，D中由指数函数单调性可知是成立的3. 已知.若与共线，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出坐标表示,再由与共线,即可求出结果.【详解】因为所以,又,与共线,所以,解得.故选:.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,熟记共线向量定理即可,属于基础题型,难度较易.4. 若,则（）A. B. C. D.【答案】A试题分析：，故选A.考点：两角和与差的正切公式．5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A. 96里B. 48里C. 192里D. 24里【答案】A【解析】【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,设该数列为,其前项和为则有,解得,故,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可求得的值,由于即可解得所求.【详解】,,即,所以.故选:.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式,考查了学生的计算能力,难度较易.7. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( ) A. 10海里 B. 10海里 C. 20海里 D. 20海里【答案】B【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，由正弦定理，有，所以10.故选B.8. 函数的函数值恒小于零，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当即时，恒成立，所以符合题意；当即时，因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和轴没交点，所以，解得．综上所述，．所以选C．【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论．是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与轴的位置关系解决本题．二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用．9. 已知函数，下面结论错误的是（）A. 函数的最小正周期为B. 函数在区间上是增函数C. 函数的图象关于直线对称D. 函数是偶函数【答案】B【解析】【分析】函数分别求出的周期、奇偶性、对称轴，可得A、C、D都正确．【详解】对于函数，它的周期等于，故正确．令，则，则是的对称轴，故正确．由于，故函数是偶函数，故D正确．利用排除法可得B错误；故选：B．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题．10. 若函数最大值是8，则（）A. 3B. 13C. 3或D. 或13【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可.【详解】，,当时，,解得，当时，，解得，故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式，正弦函数的值域，分类讨论，属于中档题.11. 已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出．【详解】解：由，可得，解得，则.∴，故选：【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.【详解】为定义在上的偶函数，图象关于轴对称又在上是增函数在上是减函数，即对于恒成立在上恒成立，即的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量，，则向量在方向上的投影为_______．【答案】-3【解析】根据向量的坐标运算求得向量的模和向量的数量积，由投影计算公式可得答案.【详解】因为，，所以，，，所以向量在方向上的投影为，故答案为：-3.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的几何意义，属于基础题.14. 已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为_______.【答案】6【解析】【分析】由，根据等差数列的前n项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大．【详解】因为等差数列中，，所以，，，∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，属于容易题．15. 已知则的最小值是 .【答案】4【解析】lg 2x＋lg 8y＝xlg2＋3ylg 2＝lg 2，∴x＋3y＝1，∴＝·(x＋3y)＝2＋≥4，当且仅当x＝，y＝时取等号．16. 设，则________.【答案】【解析】【分析】根据为定值，即采用分组求和方式求解.【详解】，.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数求值，分组求和，属于容易题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．其中第17题10分，第18-22题12分．17. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用通项公式，可得，进而得到所求通项公式；（2）由（1）求得，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列和．【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，可得，所以，又由，所以，所以数列的通项公式为．（2）由题意知，则数列的前项和为．【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18. 设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.19. 已知向量，不共线，且满足，，，.（1）若，求实数的值；（2）若.①求向量和夹角的余弦值；②当时，求实数的值．【答案】（1）；（2）①，②【解析】【分析】（1）两向量平行即共线，利用共线向量定理可求.（2）①利用向量夹角公式可得，②利用向量垂直定理可得.【详解】（1），且.令，即，又，不共线，所以，所以.（2）①设与夹角为，又，②，，又，，..【点睛】考查向量的共线，垂直和夹角公式.共线向量定理：对空间任意两个向量，∥，存在实数使．夹角公式：.向量垂直：.20. 在中，，，分别是，，所对的边，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）5．【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，，而，代入后利用两角和的正弦公式展开可求，进而可求（2）由已知结合三角形的面积公式可求，然后由余弦定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：（1）由正弦定理，得，又因为，所以，可得，即，又，所以．（2）因为，所以，所以，由余弦定理可知，所以，即．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理及和差角公式及三角形的面积公式等在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练掌握基本公式，属于基础题.21. 已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.(1)求和的通项公式；(2)求数列{}的前n项和 .【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1）∵，∴当时，.当时，.∵时，满足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列的通项公式主要利用，分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和22. 已知函数，，且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点.【答案】（1）；（2），零点为.【解析】【分析】（1）由函数是偶函数,得出关于直线对称，求出，即可求出的解析式；（2）为偶函数，恰好有三个零点，可得为其零点，代入求出的值，令进而求出该函数的零点.【详解】（1）函数是偶函数，所以关于关于直线对称，，；（2）设偶函数，恰好有三个零点，故必有一个零点为0，，，令整理得，，解得或，得，；，即，所求函数零点为.【点睛】本题考查函数的对称性、函数解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考查计算能力，是一道较为综合的题.学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式确定集合，再由并集定义计算．【详解】由已知，，∴．故选：C．【点睛】本题考查集合的并集运算，解题关键是掌握解一元二次不等式，掌握对数函数的性质．2. 若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是( )A. a2>b2B.C. lg(a－b)>0D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：A中不成立，B中不成立，C中不成立，D中由指数函数单调性可知是成立的3. 已知.若与共线，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由求出坐标表示,再由与共线,即可求出结果.【详解】因为所以,又,与共线,所以,解得.故选:.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,熟记共线向量定理即可,属于基础题型,难度较易.4. 若,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，故选A.考点：两角和与差的正切公式．5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A. 96里B. 48里C. 192里D. 24里【答案】A【解析】【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,再根据求和公式列式求解即可.【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,设该数列为,其前项和为则有,解得,故,故选:A.【点睛】本题考查了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.6. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可求得的值,由于即可解得所求.【详解】,,即,所以.故选:.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式,考查了学生的计算能力,难度较易.7. 一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A. 10海里B. 10海里C. 20海里D. 20海里【答案】B【解析】根据已知条件可知△ABC中，AB＝20，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，所以∠C＝45°，由正弦定理，有，所以10.故选B.8. 函数的函数值恒小于零，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当即时，恒成立，所以符合题意；当即时，因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和轴没交点，所以，解得．综上所述，．所以选C．【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论．是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与轴的位置关系解决本题．二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用．9. 已知函数，下面结论错误的是（）A. 函数的最小正周期为B. 函数在区间上是增函数C. 函数的图象关于直线对称D. 函数是偶函数【答案】B【解析】【分析】函数分别求出的周期、奇偶性、对称轴，可得A、C、D都正确．【详解】对于函数，它的周期等于，故正确．令，则，则是的对称轴，故正确．由于，故函数是偶函数，故D正确．利用排除法可得B错误；故选：B．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题．10. 若函数最大值是8，则（）A. 3B. 13C. 3或D. 或13【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可.【详解】，,当时，,解得，当时，，解得，故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式，正弦函数的值域，分类讨论，属于中档题.11. 已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出．【详解】解：由，可得，解得，则.∴，故选：【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.【详解】为定义在上的偶函数，图象关于轴对称又在上是增函数在上是减函数，即对于恒成立在上恒成立，即的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量，，则向量在方向上的投影为_______．【答案】-3【解析】【分析】根据向量的坐标运算求得向量的模和向量的数量积，由投影计算公式可得答案.【详解】因为，，所以，，，所以向量在方向上的投影为，故答案为：-3.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的几何意义，属于基础题.14. 已知等差数列的前n项和为，且，则使取得最大值的n为_______.【答案】6【解析】【分析】由，根据等差数列的前n项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大．【详解】因为等差数列中，，所以，，，∴Sn达到最大值时对应的项数n的值为6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和，属于容易题．15. 已知则的最小值是 .【答案】4【解析】lg 2x＋lg 8y＝xlg2＋3ylg 2＝lg 2，∴x＋3y＝1，∴＝·(x＋3y)＝2＋≥4，当且仅当x＝，y＝时取等号．16. 设，则________.【答案】【解析】【分析】根据为定值，即采用分组求和方式求解.【详解】，.故答案为：【点睛】本题主要考查了函数求值，分组求和，属于容易题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．其中第17题10分，第18-22题12分．17. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，运用通项公式，可得，进而得到所求通项公式；（2）由（1）求得，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列和．【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，因为，可得，所以，又由，所以，所以数列的通项公式为．（2）由题意知，则数列的前项和为．【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18. 设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.19. 已知向量，不共线，且满足，，，.（1）若，求实数的值；（2）若.①求向量和夹角的余弦值；②当时，求实数的值．【答案】（1）；（2）①，②【解析】【分析】（1）两向量平行即共线，利用共线向量定理可求.（2）①利用向量夹角公式可得，②利用向量垂直定理可得.【详解】（1），且.令，即，又，不共线，所以，所以.（2）①设与夹角为，又，②，，又，，..【点睛】考查向量的共线，垂直和夹角公式.共线向量定理：对空间任意两个向量，∥，存在实数使．夹角公式：.向量垂直：.20. 在中，，，分别是，，所对的边，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）5．【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理可得，，而，代入后利用两角和的正弦公式展开可求，进而可求（2）由已知结合三角形的面积公式可求，然后由余弦定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：（1）由正弦定理，得，又因为，所以，可得，即，又，所以．（2）因为，所以，所以，由余弦定理可知，所以，即．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理及和差角公式及三角形的面积公式等在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练掌握基本公式，属于基础题.21. 已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.(1)求和的通项公式；(2)求数列{}的前n项和 .【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和试题解析：（1）∵，∴当时，.当时，.∵时，满足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列的通项公式主要利用，分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和22. 已知函数，，且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点.【答案】（1）；（2），零点为.【解析】【分析】（1）由函数是偶函数,得出关于直线对称，求出，即可求出的解析式；（2）为偶函数，恰好有三个零点，可得为其零点，代入求出的值，令进而求出该函数的零点.【详解】（1）函数是偶函数，所以关于关于直线对称，，；（2）设偶函数，恰好有三个零点，故必有一个零点为0，，，令整理得，，解得或，得，；，即，所求函数零点为.【点睛】本题考查函数的对称性、函数解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考查计算能力，是一道较为综合的题.。

2019-2020年高一12月学科联赛数学试卷含答案一、选择题（以下题目从4项答案中选出一项，每小题4分，共40分）1. 设集合M=，a=.下列选项正确的是（）A、aMB、{a}∈MC、aMD、{a}M2. 已知集合A=，B=，则＝（）A．( 0 , 1 ) B．(, 1 ) C．( 0 ,) D．3．一个几何体的三视图如图1所示，其中正视图与左视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（）A．B．C．D．4.设x取实数，则f(x)与g(x)表示同一个函数的是（）A、，B、，C、，D、，5．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．6．已知，是平面，，是直线，给出下列命题①若，，则．②若，，∥，∥，则∥．③如果、n是异面直线，那么相交．④若，∥，且，则∥且∥．其中正确命题的个数是（）A．2 B．3 C．1 D．07.二次函数与指数函数的图象可以是8．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有( ) A．B．C．D．9．下列函数在上是增函数并且在定义域上是偶函数的是（）A B C D10．设，函数，则使的的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题4分，共20分）11．函数的值域为12．已知是R 上的奇函数，当时，，则当时，13．为定义在区间的奇函数，它在区间上的 图象为如右图所示的一条线段，则不等式 的解集为 ；14.已知函数，若则实数a=15.在的二面角的一个面内有一条直线与二面角的棱成角，则此直线与二面角的另一个面所成的角的大小为三、解答题（共40分）16． 已知函数的定义域为集合，且{}{}210,1B x Z x C x R x a x a =∈<<=∈>+<或 （1）求和（2）若,求实数的取值范围 17．计算 （1）（2）21lg 5(lg8lg1000)(lg lg lg 0.066++++18. 如图，在直三棱柱中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱上，且⊥，⊥ .求证：(1)直线DE∥平面;(2)平面DE⊥平面.19．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．授课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生注意力开始分散．分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力，（的值越大，接受能力越强），表示提出和讲授概念的时间（单位：分钟），可有以下的关系：，试回答下列问题（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？这个强度可以持续多少分钟？（2）开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？20．已知函数是上的奇函数（1）证明函数是在区间上的减函数（2）解关于的不等式参考答案一、选择题题号12345678910答案D C D B D A D B A D二、填空题11. 12.11,(02)2()0,011,(20)2x xf x xx x⎧-+<<⎪⎪==⎨⎪⎪---<<⎩13.14. 2 15.三、计算题16. (1) (2)17.18.19.20. .。

2019-2020年高一数学复习竞赛试卷学校 班级 姓名 分数一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． (1) 已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ）（A ）1 （B ）0 （C ）1或0 （D ）1或2 (2) 设α是第二象限的角，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限(3) 在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则-+等于（ ）（A ）O （B ）MD 4 （C ）MF 4 （D ）ME 4 (4) 某种商品进货单价为40元，若按每个50元的价格出售，能卖出50个；若销售单价每上涨1元，则销售量就减少1个。

为了获得最大利润，此商品的最佳销售单价应为（ ） （A ）70元（B ） 65元（C ） 60元（D ） 50元(5)在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若2=，CB CA CD λ+=31，则λ=（ ）（A ）23-（B ）13（C ）13-（D ）23(6) 设()833-+=x x f x ，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ） （A ）(1,1.25) （B ）(1.25,1.5) （C ）(1.5,2) （D ）不能确定 (7) 下面有四个命题：①终边在y 轴上的角的集合是{α|Z k k ∈=,2πα}； ②在同一坐标系中，函数y =sin x 和函数y =x 的图象有三个公共点； ③把)32sin(3π+=x y 的图象向右平移6π得到x y 2sin 3=的图象； ④函数)2sin(π-=x y 在]0[π，上是减函数．其中真命题的个数是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 (8) 函数()x f y =是R 上的奇函数，满足()()x f x f -=+33，当x ∈)3,0(时()x x f 2=，则当x ∈（6-，3-）时，()x f =（ ） （A ）62+x （B ） 62+-x （C ）62-x （D ） 62--x(9) 二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ，又()30=f ，()12=f ，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是（ ） （A ） ()+∞,0 （B ）[)+∞,2 （C ）(]2,0 （D ）]4,2[(10) 关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．(11) 设22 (1)() (12)2 (2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =_______．(12) 使方程)2sin 2(2sin 2x m x +=-有解，则m 的取值范围是________． (13) 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．(14) 设函数()()()xa x x x f ++=1为奇函数，则实数a 的值为________.(15) 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k ∈N*)个格点，则称函数f(x)为k 阶格点函数.下列函数：①f(x)＝sinx ；②f(x)=π(x －1)2＋3；③f(x)＝(13)x ；④f(x)＝log 0.6x ，其中是一阶格点函数的有_______________.(16) 如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P 到水面的距离为d 米（P 在水面下则d 为负数），则d （米）与时间t （秒）之间满足关系式： )0,0()sin(>>++=ωϕωA k t A d ，P 10md5m 22πϕπ<<-，且当P 点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：①10=A ，②152πω=，③6πϕ=，④5=k ，则其中所有正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共4个小题，共36分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分8分)1．计算：+629cos π+325cos π)425tan(π-2．已知2tan =θ，分别求下列各式的值：（Ⅰ）θθθθsin cos sin cos -+；（Ⅱ）θθθθ22cos 2cos sin sin +-.(18) (本小题满分7分)一种放射性物质最初的质量是a克，按每年25%衰减.（Ⅰ）求t年后，这种放射性物质的质量y的表达式；（Ⅱ）估计约经过多少年（结果保留1个有效数字），该物质的剩留量是最初质量的13．（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）(19) (本小题满分10分)已知函数1()lg[()]2xxf x a =-,( 01a ,a >≠,a 为常数) ． （Ⅰ）当2a =时，求)(x f 的定义域；（Ⅱ） 当1a >时，判断函数1()()2x x g x a =-在区间(0,)+∞上的单调性，并写出理由；（Ⅲ）当1a >时，若)(x f 在[)1,+∞上恒正，求a 的取值范围．(20) (本小题满分11分)设f(x)是定义在上]1,1[-的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x =1对称，而当]3,2[∈x 时，44)(2-+-=x x x g ． （Ⅰ）求f(x)的解析式； （Ⅱ）对任意,],1,0[,2121x x x x ≠∈且求证：12122)()(x x x f x f -<-；（Ⅲ）对任意,],1,0[,2121x x x x ≠∈且求证：1)()(12≤-x f x f ．高一数学竞赛参考答案与评分标准一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1． C 2．C 3．C 4．A 5．D 6． B 7．A 8．B 9．D 10．A二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）11．3 12．[]3,31 13．2 14．1-15．①②④ 16．①②④三、解答题（共4个小题，满分36分） （17）(本小题满分8分) 1．213-- 2．解：（Ⅰ）由已知得 Z k k ∈+≠,2ππθ2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=-+θθθθθθθθθθ； （Ⅱ） θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=.(18) (本小题满分7分)解：（Ⅰ）t a y %)251(-=；（Ⅱ）设经过x 年，该物质的剩留量是最初质量的13．依题意得 10.753x =，1lglg3lg30.47713 3.8lg 0.75lg3lg 42lg 2lg320.3010.4771x -====≈--⨯-∴ 估计约经过4年，该物质的剩留量是原来的13.（19）(本小题满分10分)略解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,+∞)；（Ⅱ）1()()2x x g x a =-在(0,)+∞上是增函数；（Ⅲ）由（Ⅱ）得 1a >时，1()()2x x g x a =-在[)1,+∞上是增函数，故1()lg[()]2xxf x a =- 在[)1,+∞上是增函数．当1a >时，0])21(lg[>-xx a 对∈x [)1,+∞恒成立等价于113(1)lg()0,1,222f a a a ∴=->->∴>得．(20) (本小题满分11分)解：（Ⅰ）由题意知f(x+1)=g(1-x))2()(x g x f -=⇒当224)2(4)2()(,32201x x x x f x x -=--+--=≤-≤≤≤-时，当2)(0110x x f x x -=-∴<-≤-≤<时，，由于f(x)是奇函数2)(x x f =∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--=∴)10()01()(22x x x x x f（Ⅱ）当,20]1,0[,212121<+<≠∈x x x x x x 时，且 1212122122122))(()()(x x x x x x x x x f x f -<+-=-=-∴（Ⅲ）当1110,10]1,0[,212222212121≤-≤-∴≤≤≤≤≠∈x x x x x x x x 时，且.12122≤-x x 即2212≤-=-∴xxxfxf.1)()(21。

学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若全集均为二次函数，，则不等式组的解集可用、表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的交、补运算即可求解.【详解】由，则，，所以不等式组的解集为.故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交、补运算，理解集合的交、补概念，属于基础题.2. 如图所示，已知灯塔A在观察站C北偏东20°，距离为，灯塔B在观察站C的南偏东40°，距离为，则灯塔A 与灯塔B的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】在中，，，，,所以.故选：D【点睛】本题考查余弦定理在生活中的应用，需熟记定理内容，属于基础题.3. 若变量满足不等式组，则的最大值为（）A. 7B. 5C. 3D. 1【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据的几何意义，利用数形结合即可得到最大值.【详解】不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：由可得，平移直线，则由图像可知：当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，此时.故选：A【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域，考查了数形结合的思想，属于基础题.4. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】∵∴−=3(−)；∴=−.故选A.5. 若三个正实数满足，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意求出的关系以及范围，再利用不等式的性质以及指数函数、对数函数的单调性逐一判断即可.【详解】三个正实数满足，可得或，对于A，当时，不成立；对于B，当时，不成立；对于C，当或时，均成立；对于D，，显然当时，则，，即不成立.故选：C【点睛】本题考查了不等式性质、指数函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题.6. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.考点：三角函数图像与性质7. 已知数列的前项和为，且满足：，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由递推关系式构造为等比数列，再根据与的关系求出的通项公式，利用对数的运算性质即可求解.【详解】由，则，即，所以，且所以是以为首项，为公比的等比数列，所以（1），当时，（2），（1）（2）相减可得：，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了递推关系式研究数列的性质、构造数列求数列的通项公式，与的关系，属于中档题.8. 函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，利用基本不等式求出，换元可得，再根据二次函数的图象与性质即可求解.【详解】，令，由，则，当且仅当时取等号，所以，二次函数的图象开口向上，对称轴，所以函数在上单调递减，所以.故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、基本不等式，属于中档题.9. 已知数列且满足：，且，则为数列的前项和，则（）A. 2019B. 2021C. 2022D. 2023【答案】D【解析】【分析】根据递推关系式可得数列是以为周期的数列，由，从而可得，即可求解.【详解】由，，所以，，，所以数列是以为周期的数列，，所以.故选：D【点睛】本题主要考查了数列的递推关系求数列的性质、数列周期性的应用，属于基础题.10. 将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，再向右平移，所得的函数是，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的伸缩平移变换求出，然后再利用正切函数的单调性即可比较出大小.【详解】函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，则，然后向右平移，所以，函数在上单调递增，由，则，即，又，所以.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的平移伸缩变换、正切函数的单调性比较大小，属于基础题.11. 设函数，则方程的解的个数是（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】根据的解析式作出函数的图像，再将的图像向右平移一个单位得到的图像，由的图像与的图像关于对称，根据数形结合即可求解.【详解】作出函数的图像，将的图像向右平移一个单位得到的图像，因为的图像与的图像关于对称，根据对称性做出的图像：由图可知，方程的解的个数个.故选：A【点睛】本题考查了求方程根的个数，考查了数形结合的思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.12. 已知函数时的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，，则求出的范围，再由函数的值域可得，解不等式即可求解.【详解】由，则，函数的值域为，则，解得.故选：B【点睛】本题考查了正弦函数的性质、根据函数的值域求参数的取值范围，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知集合，且下列三个关系：①；②；③有且只有一个正确，则等于__________．【答案】201【解析】【分析】根据集合相等的条件，列出、、所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出、、的值后代入式子求值．【详解】由，，，1，得，、、的取值有以下情况：当时，、或、，此时不满足题意；当时，、或、，此时不满足题意；当时，、，此时不满足题意；当时，、，此时满足题意；综上得，、、，代入，故答案为：201．【点睛】本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．14. 已知都是非零向量，，，则的夹角为________.【答案】【解析】分析】根据向量垂直，数量积等于零可得，再利用向量数量积的定义即可求解.【详解】由，则，即，所以，又，所以，所以的夹角为.故答案为：【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角、向量垂直时的数量积关系，考查了基本运算能力，属于基础题.15. 若函数恰有2个零点，则的取值范围是______.【答案】，．【解析】【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数和的图象，结合图象分析可得答案．【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数和的图象，如图：若函数恰有2个零点，即函数图象与轴有且仅有2个交点，则或，即的取值范围是：，故答案为：，．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.16. 在中，角的平分线交边于点，且，又，，则__________.【答案】【解析】【分析】利用边角互化可得，根据角平分线定理可得，在与中，由，利用余弦定理即可求解.【详解】由，根据正弦定理可得：，角的平分线交边于点，，，即，解得，在与中，，则，由，，余弦定理可得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，掌握定理是解题的关键，属于基础题.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17. 已知.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及两角和的正弦公式化简即可求解.（2）利用二倍角的正弦、余弦公式化简，然后再切化弦即可求解.【详解】（1）；（2），所以或（舍）.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题.18. 已知函数（1）若，证明：；（2）若，且，求的取值范围；（3）若，且方程有个不同的根，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由，可得，将等式两边分别代入解析式即可证明.（2）根据题意可得函数为增函数，只需在恒成立，分离参数即可求解.（3）利用导数确定函数的单调区间，作出函数的大致图像，数形结合即可求解.【详解】（1）当时，则，所以左边，右边，即证.（2）由，，则函数在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，只需，设，由，所以，所以.（3）当时，则，令，解得或；令，解得，所以函数的单调递增区间为，，函数单调递减区间为，且，，在同一坐标系中作出与的图像如图所示：方程有个不同的根，由图像可知：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、根据单调性求参数的取值范围、由方程根的个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.19. 在中，角所对边分别为，且.（1）求角；（2）若，则当的面积最大时，求的内切圆半径.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角互化可得，再根据两角和的正弦公式以及三角形的内角和性质即可求解.（2）由余弦定理得，再利用基本不等式以及三角形的面积公式求出的面积最大值，由等面积法即可求解.【详解】（1）由得，，由正弦定理得，，所以，又，，所以，又，所以.（2）由余弦定理得，整理得，所以，当且仅当时取等号.所以，，所以当且仅当时，时的面积的最大值为.设的内切圆半径为，则，所以.【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式，基本不等式求最值，属于中档题. 20. 如图，点在圆心为原点.半径分别为和的圆周上运动，其中逆时针，顺时针.角的始边都是轴的正半轴.终边分别为和为坐标原点），且，.（1）若，且，求的值；（2）设，且，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由可得，从而可得，求出，根据的取值范围即可求解.（2）将与利用坐标表示，再根据向量数量积的坐标表示可得，再由，根据三角函数的性质即可的值域.【详解】（1）由有，即，所以，因为，所以，，故（2）由题设，，所以，即，因为，所以，从而和时取等），故的值域是【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、求三角函数的值域，属于基础题.21. 已知等差数列的前项和为，且成等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若，为数列的前项和.若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式以及前项和的公式求出，代入通项公式即可.（2）判断出数列从第六项为负，分类讨论：当时或当时，利用等差数列前项和公式即可求解.（3）利用裂项求和法求出数列的前项和，恒成立，转化为，利用单调性求出的最大值即可.【详解】（1）令等差数列的公差为.由于成等比数列，所以，又，所以，所以.（2）记数列的前项和为，令，得，当时，，当时，所以（3）由于，所以，由于对于任意的，都有恒成立，所以，当时，单调递增，所以当时，，当时，，所以所以，所以的取值范围为.【点睛】本题考查等差数列的前项和的公式、通项公式、裂项求和法、数列不等式，考查了分类讨论的思想，属于中档题.22. 已知函数的定义域为，满足.（1）若，求的值；（2）若时，.①求时的表达式；②若对任意，都有，求的取值范围.【答案】（1）0；（2）①；②【解析】【分析】（1）根据题意，将代入表达式根据等式即可求解.（2）利用，当时，，代入表达式即可求解.（3）根据题意可得在每一段区间上，函数都有最大值点，从而可得当时，恒成立；当时，可解得两个根或，数形结合即可求解.【详解】（1）由，则解得：（2）函数的定义域为，满足，且当时，，又当时，，则有，当时，则有，当时，，则有.（3）如图所示：函数在每一段区间上，图像为以为对称轴的抛物线的一部分，在每一段区间上，函数都有最大值点，当时，即时，恒成立；当时，解得或，将这两个值标注在图中，对任意，都有，必有，即实数的取值范围为.【点睛】本题是压轴题，考查了函数的平移伸缩、恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决，属于难题.学2019-2020学年高一数学下学期开学考试试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若全集均为二次函数，，则不等式组的解集可用、表示为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用集合的交、补运算即可求解.【详解】由，则，，所以不等式组的解集为.故选：C【点睛】本题主要考查了集合的交、补运算，理解集合的交、补概念，属于基础题.2. 如图所示，已知灯塔A在观察站C北偏东20°，距离为，灯塔B在观察站C的南偏东40°，距离为，则灯塔A与灯塔B的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】在中，，，，,所以.故选：D【点睛】本题考查余弦定理在生活中的应用，需熟记定理内容，属于基础题.3. 若变量满足不等式组，则的最大值为（）A. 7B. 5C. 3D. 1【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据的几何意义，利用数形结合即可得到最大值.【详解】不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：由可得，平移直线，则由图像可知：当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，此时.故选：A【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域，考查了数形结合的思想，属于基础题.4. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】∵∴−=3(−)；∴=−.故选A.5. 若三个正实数满足，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意求出的关系以及范围，再利用不等式的性质以及指数函数、对数函数的单调性逐一判断即可.【详解】三个正实数满足，可得或，对于A，当时，不成立；对于B，当时，不成立；对于C，当或时，均成立；对于D，，显然当时，则，，即不成立.故选：C【点睛】本题考查了不等式性质、指数函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题. 6. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.考点：三角函数图像与性质7. 已知数列的前项和为，且满足：，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由递推关系式构造为等比数列，再根据与的关系求出的通项公式，利用对数的运算性质即可求解.【详解】由，则，即，所以，且所以是以为首项，为公比的等比数列，所以（1），当时，（2），（1）（2）相减可得：，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了递推关系式研究数列的性质、构造数列求数列的通项公式，与的关系，属于中档题.8. 函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，利用基本不等式求出，换元可得，再根据二次函数的图象与性质即可求解.【详解】，令，由，则，当且仅当时取等号，所以，二次函数的图象开口向上，对称轴，所以函数在上单调递减，所以.故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、基本不等式，属于中档题.9. 已知数列且满足：，且，则为数列的前项和，则（）A. 2019B. 2021C. 2022D. 2023【答案】D【解析】【分析】根据递推关系式可得数列是以为周期的数列，由，从而可得，即可求解.【详解】由，，所以，，，所以数列是以为周期的数列，，所以.故选：D【点睛】本题主要考查了数列的递推关系求数列的性质、数列周期性的应用，属于基础题. 10. 将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，再向右平移，所得的函数是，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的伸缩平移变换求出，然后再利用正切函数的单调性即可比较出大小.【详解】函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，则，然后向右平移，所以，函数在上单调递增，由，则，即，又，所以.故选：C【点睛】本题考查了三角函数的平移伸缩变换、正切函数的单调性比较大小，属于基础题.11. 设函数，则方程的解的个数是（）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A【解析】【分析】根据的解析式作出函数的图像，再将的图像向右平移一个单位得到的图像，由的图像与的图像关于对称，根据数形结合即可求解.【详解】作出函数的图像，将的图像向右平移一个单位得到的图像，因为的图像与的图像关于对称，根据对称性做出的图像：由图可知，方程的解的个数个.故选：A【点睛】本题考查了求方程根的个数，考查了数形结合的思想，解题的关键是作出函数图像，属于中档题.12. 已知函数时的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，，则求出的范围，再由函数的值域可得，解不等式即可求解.【详解】由，则，函数的值域为，则，解得.故选：B【点睛】本题考查了正弦函数的性质、根据函数的值域求参数的取值范围，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知集合，且下列三个关系：①；②；③有且只有一个正确，则等于__________．【答案】201【解析】【分析】根据集合相等的条件，列出、、所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出、、的值后代入式子求值．【详解】由，，，1，得，、、的取值有以下情况：当时，、或、，此时不满足题意；当时，、或、，此时不满足题意；当时，、，此时不满足题意；当时，、，此时满足题意；综上得，、、，代入，故答案为：201．【点睛】本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．14. 已知都是非零向量，，，则的夹角为________.【答案】【解析】分析】根据向量垂直，数量积等于零可得，再利用向量数量积的定义即可求解.【详解】由，则，即，所以，又，所以，所以的夹角为.故答案为：【点睛】本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角、向量垂直时的数量积关系，考查了基本运算能力，属于基础题.15. 若函数恰有2个零点，则的取值范围是______.【答案】，．【解析】【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数和的图象，结合图象分析可得答案．【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数和的图象，如图：若函数恰有2个零点，即函数图象与轴有且仅有2个交点，则或，即的取值范围是：，故答案为：，．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.16. 在中，角的平分线交边于点，且，又，，则__________.【答案】【解析】【分析】利用边角互化可得，根据角平分线定理可得，在与中，由，利用余弦定理即可求解.【详解】由，根据正弦定理可得：，角的平分线交边于点，，，即，解得，在与中，，则，由，，余弦定理可得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，掌握定理是解题的关键，属于基础题.三.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.17. 已知.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及两角和的正弦公式化简即可求解.（2）利用二倍角的正弦、余弦公式化简，然后再切化弦即可求解.【详解】（1）；（2），所以或（舍）.【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题.18. 已知函数（1）若，证明：；（2）若，且，求的取值范围；（3）若，且方程有个不同的根，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由，可得，将等式两边分别代入解析式即可证明.（2）根据题意可得函数为增函数，只需在恒成立，分离参数即可求解. （3）利用导数确定函数的单调区间，作出函数的大致图像，数形结合即可求解.【详解】（1）当时，则，所以左边，右边，即证.（2）由，，则函数在上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，只需，设，由，所以，所以.（3）当时，则，令，解得或；令，解得，所以函数的单调递增区间为，，函数单调递减区间为，且，，在同一坐标系中作出与的图像如图所示：方程有个不同的根，由图像可知：【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、根据单调性求参数的取值范围、由方程根的个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.19. 在中，角所对边分别为，且.（1）求角；（2）若，则当的面积最大时，求的内切圆半径.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角互化可得，再根据两角和的正弦公式以及三角形的内角和性质即可求解.（2）由余弦定理得，再利用基本不等式以及三角形的面积公式求出的面积最大值，由等面积法即可求解.【详解】（1）由得，，由正弦定理得，，所以，又，，所以，又，所以.（2）由余弦定理得，整理得，所以，当且仅当时取等号.所以，，所以当且仅当时，时的面积的最大值为.设的内切圆半径为，则，所以.【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理解三角形、三角形的面积公式，基本不等式求最值，属于中档题.20. 如图，点在圆心为原点.半径分别为和的圆周上运动，其中逆时针，顺时针.角的始边都是轴的正半轴.终边分别为和为坐标原点），且，.（1）若，且，求的值；（2）设，且，求函数的值域.【答案】（1）；（2）（1）由可得，从而可得，求出，根据的取值范围即可求解.（2）将与利用坐标表示，再根据向量数量积的坐标表示可得，再由，根据三角函数的性质即可的值域.【详解】（1）由有，即，所以，因为，所以，，故（2）由题设，，所以，即，因为，所以，从而和时取等），故的值域是【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、求三角函数的值域，属于基础题.21. 已知等差数列的前项和为，且成等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若，为数列的前项和.若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）（1）设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式以及前项和的公式求出，代入通项公式即可.（2）判断出数列从第六项为负，分类讨论：当时或当时，利用等差数列前项和公式即可求解.（3）利用裂项求和法求出数列的前项和，恒成立，转化为，利用单调性求出的最大值即可.【详解】（1）令等差数列的公差为.由于成等比数列，所以，又，所以，所以.（2）记数列的前项和为，令，得，当时，，当时，所以（3）由于，所以，由于对于任意的，都有恒成立，所以，当时，单调递增，所以当时，，当时，，所以所以，所以的取值范围为.【点睛】本题考查等差数列的前项和的公式、通项公式、裂项求和法、数列不等式，考查了分类讨论的思想，属于中档题.22. 已知函数的定义域为，满足.（1）若，求的值；（2）若时，.①求时的表达式；②若对任意，都有，求的取值范围.【答案】（1）0；（2）①；②【解析】【分析】（1）根据题意，将代入表达式根据等式即可求解.（2）利用，当时，，代入表达式即可求解.（3）根据题意可得在每一段区间上，函数都有最大值点，从而可得当时，恒成立；当时，可解得两个根或，数形结合即可求解.【详解】（1）由，则解得：（2）函数的定义域为，满足，且当时，，又当时，，则有，当时，则有，当时，，则有.（3）如图所示：函数在每一段区间上，图像为以为对称轴的抛物线的一部分，在每一段区间上，函数都有最大值点，当时，即时，恒成立；当时，解得或，将这两个值标注在图中，对任意，都有，必有，即实数的取值范围为.【点睛】本题是压轴题，考查了函数的平移伸缩、恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决，属于难题.。

2019-2020年高一下学期学科竞赛（学分认定考试）数学试题含答案一、选择题（共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个选项，把答案填涂在答题卡上）．设集合，则( )A．B．C．D．．函数f（x）=的零点在区间（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.．设α是空间中的一个平面，，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m⊂α，n⊂α，m，n，则αB．若m⊂α，nα，n，则//mC．若//m，mα，nα，则//n D．若m，n，则n//m．是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点的个数是（）A. B. C．D．．已知定义在上的函数()为偶函数．记，则的大小关系为（）A．B．C．D．．已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．．已知函数是定义在上的偶函数, 且在区间单调递增，若实数满足, 则的取值范围是（）A．B．C．D．．若函数在区间内恒有，则函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．．已知向量满足，与的夹角为，若对一切实数，恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．．已知直线与圆交于不同的两点、，是坐标原点，若,则实数的取值范围是（）A．B．C．D．[第II卷（共90分）二、填空题（共4个小题，每个小题4分，共16分，把答案填写在答题纸相应的位置）．若，则．．已知函数是定义在上的减函数，如果在上恒成立，那么实数的取值范围是_____．．若函数的值域为，则实数的取值范围为 .．如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围为．三、解答题（共6个小题，把答案写在答题纸相应的位置，只有结果没有过程的不得分）．（12分）设平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的取值范围.．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，又，，且.（1）在网格中画出四棱准的正视图；（2）求证：平面平面；（3）在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值. 若不存在，请说明理由．（12分）已知函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，若恒成立，求的取值范围.．（12分）已知圆的方程为．（1）求过点且与圆相切的直线的方程；（2）直线过点，且与圆交于两点，若，求直线的方程；（3）圆上有一动点，若点为的中点，求动点的轨迹方程．．（12分）已知定义在的函数，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）判断奇偶性，并说明理由；（Ⅱ）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．．（14分）一般地，如果函数的图象关于点对称，那么对定义域内的任意，则恒成立，已知函数的定义域为，其图象关于点对称.（1）求常数的值；（2）解方程：；（3）求证：.高一学科竞赛试题答案（数学）第I卷（共60分）一、选择题DBACC BBCAA CB第II卷（共90分）二、填空题（共4个小题，每个小题4分，共16分，把答案填写在答题纸相应的位置）16、13、14、15、三、解答题（共6个小题，把答案写在答题纸相应的位置，只有结果没有过程的不得分）17、（12分）答案．（1）；（2）.【解析】（1）因为，所以，-------2分∴，∴. ------5分（2）----8分，------10分，. -------12分18、（12分）【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）【解析】（1）解：四棱准的正视图如图所示.-----4分（2）证明：因为平面，平面，所以 .因为，，平面，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面. -----8分（3）分别延长交于点，连接，在棱上取一点，使得.下证平面.因为，，所以，即.所以 . 所以.因为平面，平面，所以平面.--------12分19、（12分）答案．（1），；（2）．【解析】（1）----2分∴函数最小正周期是, -----4分解得，函数单调递增区间为---6分（2），∴的最小值1，-----9分由恒成立，得恒成立.所以的取值范围为--------12分20、（12分）【答案】（1）和；（2）或；（3）【解析】（1）显然直线斜率存在，设切线方程为，则由，得，从而所求的切线方程为和------4分（2）当直线垂直于轴时，此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，这两点的距离为，满足题意：当直线不垂直于轴时，设其方程为，即，设圆心到此直线的距离为，则，得，从而，得，此时直线方程为，综上所述，所求直线方程为或．----8分（3）设点的坐标为，点坐标是，∴，所以．∵，∴∴点的轨迹方程是------12分21、（12分）【答案】（Ⅰ）是上的奇函数；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ），，∴是上的奇函数；-----3分（Ⅱ）由题意知是上的增函数（需要证明），------6分则，------ 8分，因为，则当时取最小值,∴------12分22、（14分）【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．【解析】（1）∵的定义域为，∴，由题意有恒成立，又，∴------4分（2）由（1）知：，∴，-----6分令，则原方程变为：，解之得或，当时，，无解；------8分当时，.-------10分（3）由（1）知，，法1：设g(n)=可写成，两式相加得，所以----14分.。