【试题】辽宁省实验中学分校2020学年高一12月月考数学试题

2019-2020学年辽宁省实验中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21|A x log x =<，集合{|B y y ==，则A B =U （ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞【答案】D【解析】可求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可． 【详解】解：{}|02A x x =<<，{}|0B y y =≥；∴[)0,A B =+∞U ．故选D ． 【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算． 2．已知a R ∈,则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求得不等式11a<的解集为0a <或1a >，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解． 【详解】由题意，不等式11a<，等价与1110a a a --=<，即10a a ->，解得0a <或1a >， 所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解不等式的解集，合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．下列各式中，表示y 是x 的函数的有（ ）①(3)y x x =--；②y =；③1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩；④0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】根据构成函数的两要素分析定义域是否为空集及对应法则是否对定义域内每一个元素都有唯一实数值与之对应，即可求解. 【详解】①(3)y x x =--,定义域为R ,化简解析式为3y =，定义域内每个值按对应法则都有唯一实数3与之对应，是函数；②y =，定义域为2010x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得x ∈∅，所以不是函数；③1,01,0x x y x x -<⎧=⎨+≥⎩，定义域为R ，对应法则对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数；④0,1,x y x ⎧=⎨⎩为有理数为实数，定义域为R ，当1x =时，y 有两个值0,1与之对应，所以不是函数.故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的概念，构成函数的两个要素，属于中档题.4．已知图像连续不断的函数()f x 在区间()(),0.1a b b a -=上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间(),a b 等分的次数至少是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．10【答案】D【解析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足0.00012nb a-<精确度确定． 【详解】设需计算n 次，则n 满足0.10.000122nn b a -=<，即21000n >． 由于92512,=1021024=，故计算10次就可满足要求，所以将区间(,)a b 等分的次数至少是10次． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查二分法和指数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．已知正实数a ，b ，c 满足236log a log b log c ==，则（ ） A ．a bc = B ．2b ac =C ．c ab =D ．2c ab =【答案】C【解析】设236log log log a b c k ===，则2k a =，3k b =，6k c =，由此能推导出c ab =． 【详解】解：∵ 正实数a ，b ，c 满足236log log log a b c ==， ∴ 设236log log log a b c k ===， 则2k a =，3k b =，6k c =， ∴ c ab =． 故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为（ ）001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据，则得到的第2个样本编号（ ） A ．436 B ．578C ．535D ．522【答案】C【解析】根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可．【详解】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436合适，789不合适，535合适， 则第2个编号为535， 故选：C ． 【点睛】本题考查了简单随机抽样中的随机数表法，主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．本题属于基础题．7．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.080.033≈，lg20.301≈，lg30.477)≈A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【答案】C【解析】设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是第n 年，则n 2018150(18%)200-⨯+≥，进而得出．【详解】设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n ，则n 2018150(18%)200-⨯+≥，则2lg2lg30.6020.477n 201820182021.8lg1.080.033--≥+≈+≈，取n 2022=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了对数的运算性质、对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A ．甲所得分数的极差为22B ．乙所得分数的中位数为18C ．两人所得分数的众数相等D ．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【答案】D【解析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果. 【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A 正确；乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C 正确；甲的平均分为11151720222224323319699x ++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099x ++++++++==乙 ，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D 错误，故选D. 【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型. 9．函数()()212ln 12f x x x =-+的图象大致是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数有意义，则：10,1x x +>∴>-， 由函数的解析式可得：()()21002ln 0102f =⨯-+=，则选项BD 错误； 且211111112ln 1ln ln 402222848f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--⨯-+=-=+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则选项C 错误；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 10．设()1fx -是函数()()12x x f x a a -=-（1a >）的反函数，则使()11f x ->成立的x 的取值范围为（ ）A ．21,2a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．21,2a a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭C ．21,2a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．[),a +∞【答案】A【解析】首先由函数()f x 求其反函数，要用到解指数方程，整体换元的思想，将x a 看作整体解出，然后由1()1f x ->构建不等式解出即可．【详解】由题意设1()2x xy a a -=-整理化简得2210x x a ya --=，解得x a y =0x a >Q ，x a y ∴=log (a x y ∴=1()log (a f x x -∴=+由使1()1fx ->得log (1a x +>1a >Q ，x a ∴>，a x -所以0a x -≤①或0a x ->且221()x a x +>-②所以x a ≥或212a x a a-<< 由此解得：212a x a ->．故选：A ． 【点睛】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、解指数方程、解不等式等知识点，有一定的综合性．11．定义在R 上的函数()f x 满足:对任意12,x x R ∈有()()()12121f x x f x f x +=+-，则A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()1f x -是偶函数D ．()1f x -是奇函数【答案】D【解析】设()()1F x f x =-，由()()()12121f x x f x f x +=+-，()()()1212F x x F x F x +=+，由特值法求得()00F =，令12,x x x x ==-，可得结果.【详解】设()()1F x f x =-，由()()()12121f x x f x f x +=+-， 可得()()()1212111f x x f x f x +-=-+- 则()()()1212F x x F x F x +=+， 令120x x ==，得()00F =， 令12,x x x x ==-，()()()00F F x F x =+-=， ()()1F x f x ∴=-是奇函数，故选D.【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断()f x 与()f x -是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式()()0f x f x +-= (奇函数)或()()0f x f x --= (偶函数)是否成立．12．近代世界三大数学家之一高斯发明了取整函数，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为取整函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()131133x xf x +=-+，则()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,1-C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,1,2-【答案】D【解析】分离常数法化简()f x ，根据新定义即可求得函数[()]y f x =的值域． 【详解】1313(31)3131831()3(1331331333133x x x x x x f x ++-=-=-=--=-∈-++++，8)3．∴当1(3x ∈-，0)时，[()]1y f x ==-；当[0x ∈，1)时，[()]0y f x ==； 当[1x ∈，2)时，[()]1y f x ==； 当[2x ∈，8)3时，[()]2y f x ==.∴函数[()]y f x =的值域是{}1,0,1,2-.故选：D ． 【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二、填空题13．函数y =的定义域为______. 【答案】1(,1]2.【解析】由函数的解析式利用偶次根式被开方数大于等于0，真数大于0，列出不等式，解得x 的范围，可得函数的定义域． 【详解】由函数的解析式可得2x ﹣1＞0，且()0.5log 210x -≥，即0211x <-≤解得112x <≤，故函数的定义域为1(,1]2， 故答案为：1(,1]2．【点睛】本题主要考查求对数函数型的定义域，属于基础题．14．若()()1133132a a --+<-，则实数a 的取值范围是______.【答案】23(,)(,1)32-∞-U【解析】由题得113311()(),132a a<+-即11132a a <+-，解分式不等式得解. 【详解】由题得11331111()(),132132a a a a<∴<+-+-， 所以110132a a-<+-， 所以321320,0(1)(32)(1)(23)a a a a a a a ----<∴<+-+-， 所以(1)(23)(32)0a a a +--<，所以2332a <<或1a <-, 所以a 的取值范围为23(,)(,1)32-∞-U .故答案为：23(,)(,1)32-∞-U【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．已知0x >，0y >，且280x y xy +-=，若不等式a x y ≤+恒成立，则实数a 的范围是______. 【答案】18a „【解析】利用消元法，消去其中一个参数后，利用基本不等式求解最小值． 【详解】 280x y xy +-=Q28xy x ∴=- 又0x Q >，0y >，80x ∴->那么2226(8)10(8)1616(8)1010188888x x x x x x y x x x x x x --+-++=+===-++=----…当且仅当12x =，6y =时取等号． 不等式a x y +„恒成立， 所以18a „． 故答案为：18a „． 【点睛】本题考查了基本不等式的灵活运用能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．16．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =+，且当(,0]x ∈-∞时，()g x 单调递增，则不等式(1)(2)23f x f x x +-+>+的解集为__________. 【答案】3(,)2-+∞【解析】根据题意，分析可得f （x +1）﹣f （x +2）＞2x +3⇒f （x +1）+（x +1）2＞f （x +2）+（x +2）2⇒g （x +1）＞g （x +2），由函数奇偶性的定义分析可得g （x ）为偶函数，结合函数的单调性分析可得g （x +1）＞g （x +2）⇒|x +1|＞|x +2|，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，g （x ）＝f （x ）+x 2，则f （x +1）﹣f （x +2）＞2x +3⇒f （x +1）+（x +1）2＞f （x +2）+（x +2）2⇒g （x +1）＞g （x +2），若f （x ）为偶函数，则g （﹣x ）＝f （﹣x ）+（﹣x ）2＝f （x ）+x 2＝g （x ），即可得函数g （x ）为偶函数，又由当x ∈（﹣∞，0]时，g （x ）单调递增，则g （x ）在[0，+∞）上递减， 则g （x +1）＞g （x +2）⇒|x +1|＜|x +2|⇒（x +1）2＜（x +2）2，解可得x 32-＞， 即不等式的解集为（32-，+∞）； 故答案为：（32-，+∞）． 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g （x ）的奇偶性与单调性，属于中档题．三、解答题17．已知函数()22()log log 28x f x x ⎛⎫=⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，函数()1423x x g x +=--. （1）判断并求函数()f x 的值域；（2）若不等式()()0f x g a -≤对任意实数[]1,2a ∈恒成立，试求实数x 的取值范围.【答案】（1）[4-，)+∞；（2）[1,4].【解析】（1）根据对数的运算性质即可得到22()(log 1)4f x x =--，即可求出函数的值域；（2）先求出g （a ）的最小值，再得到222(log 1)1)x -„，解得即可【详解】（1）22()(log )[log (2)]8x f x x =⋅， 2222(log log 8)(log 2log )x x =-+，22(log 3)(1log )x x =-+，22222log 2log 3(log 1)44x x x =--=---…，即()f x 的值域为[4-，)+∞.（2）Q 不等式()f x g -（a ）0„对任意实数[]1,2a ∈恒成立，()f x g ∴„（a ）min ，122()423(2)223(21)4x x x x g x x +=--=-⋅-=--Q ， Q 实数[1,2]a ∈g ∴（a ）2(21)4a =--，g ∴（a ）在[1，2]上为增函数，g ∴（a ）(1)3min g ==-，22()(log 1)43f x x =---Q „，222(log 1)1x ∴-„，21log 11x ∴--剟，20log 2x ∴剟，解得14x ≤≤，故x 的取值范围为[1,4]【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的图象和性质以及函数恒成立的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．智能手机的出现，改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从500名手机使用者中随机抽取100名，得到每天使用手机时间(单位：分钟)的频率分布直方图(如图所示),其分组是: [](]0,20,20,40，(]]]40,60,(60,80,(80,100.（1）根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数)（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)（3）在抽取的100名手机使用者中在(]20,40和(]40,60中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，然后再从研究小组中选出2名组长.求这2名组长分别选自(]20,40和(]40,60的概率是多少？【答案】(1) 57分钟. (2)58分钟；(3) 35【解析】（1）根据中位数将频率二等分可直接求得结果；（2）每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的总和即为平均数；（3）采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】（1）设中位数为x ，则()0.0023200.01200.015400.5x ⨯+⨯+⨯-= 解得：170573x =≈（分钟） ∴这500名手机使用者中使用时间的中位数是57分钟（2）平均每天使用手机时间为：0.05100.230+0.350+0.270+0.259058⨯+⨯⨯⨯⨯=（分钟）即手机使用者平均每天使用手机时间为58分钟（3）设在(]20,40内抽取的两人分别为,a b ，在(]40,60内抽取的三人分别为,,x y z ， 则从五人中选出两人共有以下10种情况：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a x a y a z b x b y b z x y x z y z两名组长分别选自(]20,40和(]40,60的共有以下6种情况：()()()()()(),,,,,,,,,,,a x a y a z b x b y b z∴所求概率63105p == 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算平均数和中位数、古典概型概率问题的求解；关键是能够明确平均数和中位数的估算原理，从而计算得到结果；解决古典概型的常用方法为列举法，属于常考题型.19．已知函数()21x f x a e =-+（ 2.71828e =⋅⋅⋅）. （1）证明()f x 的单调性；（2）若函数()f x 为奇函数，当()0,x ∈+∞时，()xmf x e ≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)单调递增，证明见解析；（2）3m ≤+【解析】（1）用定义证明函数在定义域内单调递增；（2）先根据函数的奇偶性求出a=1,从而得到2131x x m e e ≤-++-，再利用基本不等式求最值得解. 【详解】（1）()f x 是R 上的单调递增函数．证明：因()f x 的定义域为R ，任取1x ，2x R ∈且12x x <． 则12121221222()()()11(1)(1)x x x x x x e e f x f x e e e e --=-=++++． x y e =Q 为增函数，∴120x x e e >>，∴110x e +>，210x e +>．21()()0f x f x ∴->，21()()f x f x ∴>，故()f x 是R 上的递增函数．（2）()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，2211x x a a e e -∴-=-+++，22a ∴=，1a \=， 21()1=011x x x e f x e e -∴=->++， 因为()xmf x e ≤， 所以22()(1)3(1)2213111x x x x x x x x e e e e m e e e e +-+-+≤==-++---， 因为x>0,所以10x e ->，所以213331x x e e -++≥=+-，当且仅当211x x e e -=-即ln(1x =+时取最小值.所以3m ≤+【点睛】本题主要考查函数单调性的判定和奇偶性的应用，考查不等式的恒成立问题和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．定义域为R 的函数()f x 满足：对于任意的实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x <时，()0f x >恒成立，且()()nf x f nx =（n 是一个给定的正整数）.（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）0a <时，解关于x 的不等式()()()()2211f ax nf x f a x nf a n n->-. 【答案】（1）()f x 为奇函数，证明见解析；（2）①当a n <- 时，原不等式的解集为2{|n x x a>或}x a <；②当a n =- 时，原不等式的解集为{|}x x n ≠-；③当0n a -<< 时，原不等式的解集为{|x x a >或2}n x a<. 【解析】（1）利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数关系，利用赋值法进行证明;（2）先证明函数的单调性，再利用抽象函数关系，结合函数奇偶性和单调性定义转化为一元二次不等式，讨论参数的范围进行求解即可【详解】（1）()f x 为奇函数，证明如下；由已知对于任意 实数x ，y 都有()()()f x y f x f y +=+ 恒成立．令0x y ==，得(00)(0)(0)f f f +=+所以(0)0f =．令y x =-，得()()()0f x x f x f x -=+-=．所以对于任意x ，都有()()f x f x -=-．所以()f x 是奇函数．（2）设任意1x ，2x 且12x x <，则210x x ->，由已知21()0f x x -<，又212121()()()()()0f x x f x f x f x f x -=+-=-<得21()()f x f x <，根据函数单调性的定义知()f x 在(,)-∞+∞ 上是减函数． Q 2211()()()()f ax nf x f a x nf a n n->-．， 222()()[()f ax f a x n f x f ∴->-（a ）]．所以222()()f ax a x n f x a ->-，所以 222()[()]f ax a x f n x a ->-，因为 ()f x 在(,)-∞+∞ 上是减函数，所以222()ax a x n x a -<-．即2()()0x a ax n --<，因为0a <，所以2()()0n x a x a-->． 讨论：①当20n a a <<，即a n <- 时，原不等式的解集为2{|n x x a>或}x a <； ②当2n a a=，即a n =- 时，原不等式的解集为{|}x x n ≠-； ③当20n a a <<，即0n a -<< 时，原不等式的解集为{|x x a >或2}n x a<． 故①当a n <- 时，原不等式的解集为2{|n x x a>或}x a <；②当a n =- 时，原不等式的解集为{|}x x n ≠-；③当0n a -<< 时，原不等式的解集为{|x x a >或2}n x a<. 【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用函数奇偶性和单调性的定义，利用赋值法是解决本题的关键．考查学生的转化能力，综合性较强，有一定的难度．。

数学理科试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合12A xx ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}22B x x x =+<，则A B =I （ ） A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. ()11,0,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭UC. ()12,0,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U D. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A 和B,再求A B I 得解.【详解】由题得12A xx ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭=1{|2x x ≥或0}x <，{}22B x x x =+<={|21}x x -<<，所以A B =I ()12,0,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U . 故选：C【点睛】本题主要考查分式不等式和二次不等式的解法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.“x 是1和4的等比中项”是“2x =”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 即非充分也非毕必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将条件“x 是1和4的等比中项”化简，得2x =±，结合充分必要条件判断即可【详解】由“x 是1和4的等比中项”可得242x x =⇒=±，显然在命题“若x 是1和4的等比中项，则2x =”中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件 故选B【点睛】本题考查等比中性性质，必要不充分条件，属于基础题 3.若复数z 的共轭复数z 满足：()12i z i -=，则复数z 等于（ ） A. 1i + B. 1i -+ C. 1i - D. 1i --【答案】D 【解析】 【分析】由()12i z i -=得出21iz i=-，利用复数除法法则求出z ，利用共轭复数的概念可求出复数z . 【详解】()12i z i -=Q ，()()()()2121211112i i i i z i i i i +-∴====-+--+，因此，1i z =--， 故选D.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了共轭复数计算，考查计算能力，属于基础题.4.每场足球比赛的时间长度为90分钟，若比赛过程中体力消耗过大，运动员腿部会发生抽筋现象，无法继续投入到比赛之中了．某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20％，比赛结束前发生抽筋的概率为50％．若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛，那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为（ ） A.45B.310C.58D.25【答案】C 【解析】 【分析】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，再利用条件概率求解.的【详解】设事件A=某足球运动员在比赛前70分钟不抽筋，事件B=某足球运动员在比赛结束前20分钟不抽筋，则()0.8,()0.5P A P AB ==.所以他能顺利完成90分钟比赛的概率为()0.55(|)()0.88P AB P B A P A ===.故选：C【点睛】本题主要考查条件概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5.在ABC V 中，6AB =，3BC =，则A ∠的最大值是（ ）A.π6B.π4C.π3D. arcsin【答案】A 【解析】 【分析】先求出cos A ,再利用基本不等式求A ∠的最大值.【详解】由题得22369279cos 2612412b b b A b b b +-+===+≥=⨯⨯ 因为0A π<<,所以06A π<≤.故选：A【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是BC ，DC 的中点则异面直线1AD 与EF 所成角的余弦值为（ ）A.B.C.35D.45【答案】A 【解析】 【分析】连结111,B D AB ，由11//B D EF ，可知异面直线1AD 与EF 所成角是11AD B ∠，分别求出1111,,AD AB D B ，然后利用余弦定理可求出答案.【详解】连结111,B D AB ，因为11//B D EF ，所以异面直线1AD 与EF 所成角是11AD B ∠，在11AD B V 中，1AD ==，1AB ==，11D B ==，所以11cos 5AD B ∠==. 故选A.【点睛】本题考查了异面直线的夹角，考查了利用余弦定理求角，考查了计算能力，属于中档题. 7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 、N 分别为线段AD 、CD 的中点，用平面1B MN 截正方体，保留包含点B 在内的几何体，以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】作出平面1B MN 与正方体表面的交线，即得主视图.【详解】如图所示，平面1B MN 截平面11ABB C 的交线为1B F ,平面1B MN 截平面11BCC B 的交线为1B E ,所以以图中箭头所示方向绘制该几何体的主视图，则主视图为A. 故选：A【点睛】本题主要考查几何体的截面问题和三视图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.若0x ∀>，21221x x a +⋅+<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],1-∞- B. (),1-∞- C. (],2-∞- D. (),2-∞-【答案】A 【解析】 【分析】由题得211[()]2()22x xa <-⋅，再通过求函数211y [()]2()22x x=-⋅的值域得解. 【详解】由题得211[()]2()22x xa <-⋅， 设1(),0,012xt x t =>∴<<Q . 所以2()2(01)f t t t t =-<<， 所以()(1)1f t f >=-， 所以1a ≤-. 故选：A【点睛】本题主要考查指数运算和指数函数的性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且213PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）A. y =B. y =C.y x =D. y 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可知12||||2PF PF a -=，进而根据12||3||PF PF =，分别求得2||PF 和1||PF ，进而根据勾股定理建立等式求得a 和c 的关系，然后求解渐近线方程． 【详解】由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=， 又12||3||PF PF =， 得2||PF a =，1||3PF a =；在RT △12PF F 中，2221212||||||F F PF PF =+， 22249c a a ∴=+，即2225c a =，则2223b a =．即b ，双曲线22221x y a b-=一条渐近线方程：y =；故选：D ．【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线的求法．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握． 10.将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有（ ）种．A. 6B. 12C. 18D. 36【答案】A 【解析】 【分析】完成此事分三步完成，利用乘法分步原理得解.【详解】先在第一列里任意选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列选一格（不能选与第一步同行的的空格）不放硬币，有2种选法；最后在第三列选一格（不能选与第一、二步同行的空格）不放硬币，有1种方法.所以共有321=6⨯⨯种方法. 故选：A【点睛】本题主要考查计数原理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，2a 为整数，且数列{}n S 的最大项为8S ，取12231111n n n T a a a a a a +=+++L ，则n T 的最大项为（ ） A.49 B.715C.1631D.4181【答案】B 【解析】 【分析】首先利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和，最后利用函数的单调性求出结果．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，2a 为整数，80a …，90a „． 所以15701580d d +⎧⎨+⎩…„，解得151578d --剟， 由于2a 为整数， 所以2d =-．则15(1)(2)172n a n n =+--=-． 所以：111111()(172)(152)2217215n n n b a a n n n n +===-----g ， 所以：1111111()213131121721515n T n n =-+-++⋯+---， 111(+)215152n=--， 令1152n b n=-，由于函数1()152f x x=-的图象关于(7.5,0)对称．且27130b b b b <<<<<L ，8910110b b b b <<<<⋯<． 71n b b =„．故：117(1)21515n T -=„．故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，及函数的单调性的应用．12.已知对于任意的0x >，总有22x b ax xe e -≤成立，其中e 为自然对数的底数，则2ba -的最小值为（ ） A. 12-B. e 2-C. 1e-D. 2e-【答案】A 【解析】 【分析】由题得(2)21a x b xe --≤，设(2)2()(0),a x bf x xe x --=>对a 分类讨论利用导数求出函数f(x)的单调性，通过单调性求函数的最大值再分析得解. 【详解】由题得(2)21a x b xe --≤， 设(2)2(2)2()(0),()[1(2)]a x ba xb f x xex f x e x a ----'=>∴=+-，由()0f x '>得1(2)0,(2)1x a a x +->∴-<，当2a >时，12x a <-，所以函数f(x)在1(0,)2a -上单调递增，在1(+)2a ∞-，上单调递减， 所以12max 11()()1,22bf x f e a a --==≤-- 所以121ln(2)2,12ln(2),2ba e ab a b -----≤-∴--≤-∴≥，所以1ln(2)22(2)b a a a ---≥--， 设1lnt2(0),()2a t t g t t---=>∴=， 所以22ln ()4tg t t'=，所以函数()g t 在（0,1）单调递减，在（1，﹢∞）单调递增， 所以min 1()(1)2g t g ==-.所以此时2ba -的最小值为12-.当2a <时，函数f(x)单调递增，不符合题意(2)21a x b xe --≤. 故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值和恒成立问题 ，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题．把答案填写在答题纸相应位置上．13.若曲线y =x m =，0y =所围成封闭图形的面积为2m ，则正实数m =______．【答案】49【解析】 【分析】由积分的几何意义可得，20m =⎰，利用积分基本定理求解后可求正实数m 的值．【详解】由积分的几何意义可得，223m x==⎰323202|3m m =解得49m =． 故答案为：49【点睛】本题主要考查了积分的几何意义及积分基本定理的简单应用，属于基础试题． 14.若关于x 的不等式2320ax x a -+≥的解集为(),-∞+∞，则实数a 的取值范围是______．【答案】3⎫+∞⎪⎪⎣⎭【解析】 【分析】分离参数可得2231xa x +…，根据基本不等式即可求出．【详解】不等式2320ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞， 即x R ∀∈，2320ax x a -+≥恒成立， 2231xa x ∴+…， 当0x =，0a …， 当0x ≠时，213||||a x x +…，因为213||||xx+所以)a∈+∞．故答案为：3⎫+∞⎪⎪⎣⎭【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．15.已知a r，br均为非零向量，且23a b=rr，若3|2|a b a kb+≥+r rr r恒成立，则实数k的取值范围为______．【答案】32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】由题意先利用平面向量数量积的运算法则进行转化，再结合函数的恒成立问题列不等式组求解即可．【详解】非零向量ar，br夹角为θ，若2||3||a b=rr，23||||cos||cos2a b a b bθθ=⨯⨯=r r rr rg，不等式|3||2|a b a kb++r rr r…对任意θ恒成立∴22(3)(2)a b a kb++r rr r…，，即22222227||9||cos9||6||cos||4b b b k b k bθθ-+++r r r r r…；整理可得，29()(96)cos04k kθ-+-…恒成立，cos[1θ∈-Q，1]，∴229960499604k kk k⎧-+-⎪⎪⎨⎪--+⎪⎩……，解得32k=，故答案为：32⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算法则，恒成立问题的处理，函数思想的应用问题．16.已知某款冰淇淋的包装盒为圆台，盒盖为直径为8cm 的圆形纸片，每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个，的球体，三个冰淇淋球两两相切，且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切，则冰淇淋盒的体积为______．【解析】 【分析】由题得三个球是平放在一起，三个球的球心123,,O O O 组成一个边长为O '',先求出12O O ''=，再作出圆台的轴截面图形，通过解三角形求出圆台下底的半径，即得圆台的体积,即得冰淇淋盒的体积.【详解】由题得三个球是平放在一起，三个球的球心123,,O O O 组成一个边长为O '',所以1223O O ''=⨯=，由题得圆台的高为由题得OA=4,AF=4-2=2,设BE=x ,则BM=x , 在直角ABG ∆中，222(2)(2)x x +=+-， 所以32x =， 所以下底半径为372+=22， 所以圆台的体积为2217[4+()32ππ⋅+⨯=【点睛】本题主要考查几何体的内切球的问题，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，平面ABC ⊥平面11ABB A ，1BC =，12AB AA ==．的（1）证明：11A B AC ⊥；（2）若12AB AA ⋅=-u u u r u u u r，E 、F 分别为11A B 、AC 的中点，求直线EF 与平面1BEC 的夹角．【答案】（1）证明见解析（2）θ=【解析】 【分析】（1）先证明1A B ⊥平面11AB C ，可得11A B AC ⊥；（2）由12AB AA ⋅=-u u u r u u u r 得1π3ABB ∠=，延长11A B 到G 使得11B G =，连结BG ．证明BG AB ⊥，BG BC ⊥，AB BC ⊥,建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求直线EF 与平面1BEC 的夹角． 【详解】解：（1）连结1AB ．∵ABC ⊥平面11ABB A ，且AB BC ⊥，∴BC ⊥平面11ABB A ． 又∵11B C BC ∥，∴11B C ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴111A B B C ⊥∵11ABB A Y 中，1AB AA =，∴11ABB A Y 为菱形，∴11A B AB ⊥． 因为111,AB B C ⊆平面11AB C ,1111AB B C B ⋂=, 所以1A B ⊥平面11AB C ，因为1AC ⊆平面11AB C 所以11A B AC ⊥.（2）∵12AB AA ⋅=-u u u r u u u r，且12AB AA ==，∴12π3AA B ∠=， ∴1π3ABB ∠=． 延长11A B 到G 使得11B G =，连结BG ． ∵11π3GB B ABB ∠=∠=，且11B G =，12BB =，∴1BG A G ⊥且BG =BG AB ⊥．又∵平面ABC ⊥平面11ABB A ，∴BG ⊥平面ABC ， ∴BG AB ⊥，BG BC ⊥．又∵AB BC ⊥，∴可以建立如图所示的空间直角坐标系，，其中各点坐标为(E ，1,1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，(1C ，∴1,1,2EF ⎛=- ⎝u u u r，(0,BE =u u ur，(1BC =u u u u r ．取平面1BEC 的法向量为(),,n a b c =r，∴0n BE ⋅=u u u r r ，10n BC ⋅=u u u u r r，即200b a b ⎧=⎪⎨++=⎪⎩，不妨取(3,3,n =-r，取直线EF 与平面1BEC 的夹角为θ，则sin cos ,n EF θ===u u ur r ，∴θ= 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18.已知函数()()22cos 1f x p x x =-+，在R 上的最大值为3．（1）求p 的值及函数()f x 的周期与单调递增区间；（2）若锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()0f A =，求b c的取值范围．【答案】（1）2p =，周期为π，单调递增区间为πππ,π62m m ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，π2ππ,π23m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，m ∈Z （2）1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）化简得π()12sin 26f x p x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，根据最大值求出p 的值，再求出函数的周期和单调递增区间；（2）根据()0f A =得到2π3B C +=，ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,化简得sin 1sin 2b Bc C ==，再求范围得解.【详解】（1）依题意()()22cos 1f x p x x =-22cos cos p x x x =--1cos 22p x x =--π12sin 26p x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，∵()f x 的最大值为3，∴123p -+=，∴2p =， ∴()π12sin 26f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，其中ππ2x k ≠+，k ∈Z ，其周期为2ππ2T ==． 因为ππ3π22π,2π622x m m ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，m ∈Z 时，()f x 单调递增， 解得π2ππ,π63x m m ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦． ∴()f x 的单调递增区间为πππ,π62m m ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，π2ππ,π23m m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，m ∈Z ． （2）∵()π12sin 206f A A ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，且A 为锐角，∴π5π266A +=，∴π3A =，∴2π3B C +=．又∵B ，C 为锐角，所以022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩∴ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．∴2π1sin sin sin 1322sin sin sin 2tan 2C C C b B c C C C C ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====+，其中tan ,3C ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，∴1,22b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨7:15之前到校，7:15之后到校记为迟到．小明每天6:15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6:45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量X （分钟）表示步行到校的时间，可以认为()22,4X N ~．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量Y （分钟）描述骑车到校的时间，可以认为()16,16Y N ~．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量Z （分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为()10,64Z N ~．（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6:50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？ （2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量ξ表示这五天小明上学骑车的费用，求ξ的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）已知若随机变量()0,1N η~，则()1168.26P η-<<=％，()2295.44P η-<<=％，()3399.74P η-<<=％．【答案】（1），三种方案都无法满足3σ原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择（2）() 5.79E ξ≈（元），()0.668D ξ≈（元2） 【解析】 【分析】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为()125P X <，求出()12597.72P X <<％．若骑车到校，则不迟到概率记为()225PX <， ()225P X <∈（97.72％，99.87％），若坐公交车到校，则不迟到的概率记为()325P X <，()32597.72P X <<％．比较即可做出选择；（2）取随机变量1ξ表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．先求出()1E ξ和()1D ξ，再求ξ的期望与方差. 【详解】（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为()125P X <，取122μ=，12σ=， 则1124μσ+=，11226μσ+=，()()11195.442526197.722P X P X -<<<=-=％％．若骑车到校，则不迟到的概率记为()225P X <，取216μ=，24σ=， 则2220μσ+=，22224μσ+=，22328μσ+=，则()()2241195.4497.72P X <=--=％％， ()()2281199.7499.87P X <=--=％％， ∴()()()()2222524,28P X P X P X <∈<<=（97.72％，99.87％）若坐公交车到校，则不迟到的概率记为()325P X <，取310μ=，38σ=， 则3318μσ+=，33226μσ+=，()()33252697.72P X P X <<<=％．综上，三种方案都无法满足3σ原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择．（2）取随机变量1ξ表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数．依题意，每天骑车上学时间超过20分钟的概率为()()2168.262015.872P X ->==％％，∴()15,15.87B ξ~％，∴()1515.87E ξ=⨯％0.7935=，()1515.87D ξ=⨯％()115.870.668⨯-≈％．又∵()111255ξξξξ=+-=+，∴()()15 5.79E E ξξ=+≈（元），()()10.668D D ξξ=≈（元2）【点睛】本题主要考查正态分布的计算，考查期望和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.已知()ln f x m x =，从原点O 作()y f x =图像切线，切点为P，已知OP =，其中e 为自然对数的底数． （1）求m 的值； （2）若()()()212g x f x x k =++有两个极值点1x ，2x ， （i ）求参数k 的范围； （ii ）若假定12x x <，求()21g x x 的取值范围． 【答案】（1）1m =（2）（i ）(),2k ∈-∞-（ii ）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先求出切点P 为(),e m ，再根据OP ==求出m 的值；（2）（i ）()()2111g x x k x kx x x'=++=++，()21h x x kx =++，则()h x 在()0,∞+有两零点，得到k 的不等式，解不等式即得解；（ii ）先求出()222121ln 2g x x x x x =+，再利用导数求函数的值域得解. 【详解】（1）∵()mf x x'=，从原点O 作()y f x =图像的切线， 设切点()00,ln x m x ，∴000ln 00m x mx x -=-，∴0x e =，∴切点P 为(),e m ．又∵OP ==，且0m >，∴1m =．（2）（i ）依题意()()21ln 2g x x x k =++，其中0x >， ∴()()2111g x x k x kx x x'=++=++，取()21h x x kx =++， 若函数()g x 有两个极值点，则()h x 在()0,∞+有两零点， ∴02k ->，240k ->，∴(),2k ∈-∞-． （ii ）若1x ，2x 为()g x 的极值点，则1x ，2x 为()210h x x kx =++=的两根，∴121=x x ，12x x k +=-．又∵12x x <，∴1201x x <<<，∴()()()222222221ln 2g x x x g x x x x k x ==++． 又∵22210x kx ++=，∴221k x x =--，∴()222121ln 2g x x x x x =+， 取()()1ln 12p x x x x x =+>，∴()211ln 02p x x x'=+->， ∴()p x 在()1,+∞单调递增，∴()p x 的值域为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，即()21g x x 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调区间、最值和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过点(),0P a ，且与抛物线C 交于A 、B 两点，90AFB ∠=︒． （1）求a 的取值范围；（2）若1a ≥，点E 的坐标为()1,0-，直线EA 与抛物线的另一个交点为M ，直线EB 与抛物线的另一个交点为N ，直线MN 与x 轴交于点(),0Q b ，求+a b 的取值范围．【答案】（1）((),33a ∈-∞-++∞U （2）(6,)+∞【解析】【分析】（1）设直线l 为(0)x my a m =+≠，设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭为交点，由0FA FB ⋅=u u u r u u u r 得226140a a m -+=>，即得解；（2）求出点M 和N 的坐标分别为21144,M y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22244,N y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用(),0Q b 在直线MN 上得到1a b a a +=+，设()1f a a a =+，利用导数求出函数的取值范围.【详解】（1）依题意，设直线l 为(0)x my a m =+≠，代入24y x =得2440y my a --=，其判别式为216160m a ∆=+>，∴2m a >-． 设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭为交点， ∴124y y m +=，124y y a =-．∵焦点F 的坐标为()1,0， ∴2111,4y y FA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，2221,4y FB y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u uu r ． ∵90AFB ∠=︒， ∴()2222212121212121211111441642y y y y FA FB y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r224610a m a =--+=，∴226140a a m -+=>，∴3a >+3a <-∵()2221616424416410m a a a a a ∆=+=-++=->成立．∴((),33a ∈-∞-++∞U ．（2）若1a ≥，则3a >+ 设点233,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，244,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭为直线EA 、直线EB 与抛物线的交点．设直线EA 为11x m y =-，代入24y x =得21440y m y -+=，∴134y y =，∴314y y =， 同理可得424y y =， ∴点M 和N 的坐标分别为21144,M y y ⎛⎫⎪⎝⎭，22244,N y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又∵(),0Q b 在直线MN 上， ∴21144,QM b y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，22244,QN b y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 共线， ∴2212124444b b y y y y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴221212212112441616161614444b y y y y y y ay ay a y y ⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． ∵12y y ≠，∴1b a =， ∴1a b a a +=+，设()1f a a a=+， ∴()2110f a a'=->在322a >+时恒成立， ∴()f a 在322,)++∞（单调递增，(322)6f +=∴+a b 的取值范围为．【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线中的范围问题的解决方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为，射线与曲线C 交于点P ，点Q 满足，设倾斜角为α的直线l 经过点Q ．（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程；（2）直线l与曲线C交于M、N两点，当为何值时，最大？求出此最大值．【答案】（1）曲线C的直角坐标方程为，直线l 的参数方程为，其中t为参数（2）当时，取得最大值【解析】【分析】（1）直接代极坐标化直角坐标的公式求出曲线C的直角坐标方程为，求出点Q的直角坐标为，再写出直线l的参数方程；（2）设交点M，N所对应的参数分别为1t，，求出，再求出最大值得解.【详解】（1）∵，∴曲线C的直角坐标方程为．∵点P的极径为，又∵，∴点Q极径为，∴点Q的直角坐标为，∴直线l的参数方程为，其中t为参数．（2）将l的参数方程代入，的设交点M，N所对应的参数分别为1t，，则，∴，当即时取等．【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标互化，考查直线参数方程中t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23.已知正实数x、y满足．（1）若，求x的范围；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）1 4【解析】【分析】（1）化简得，再解分类讨论解不等式得解；（2）先化简原式为，再利用基本不等式求最小值.【详解】（1）∵，∴，取，若，则，或，或，解得．（2）∵，∴，当且仅当时取等．【点睛】本题主要考查解绝对值不等式，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

辽宁省实验中学北校2016-2017上12月测试 命题人:李慧 校正人:谷志伟'1=()3V h S S +台2=4S R π球 34=3V R π球 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1.．下列结论中，不正确的是( )A ．平面上一定存在直线B ．平面上一定存在曲线C ．曲面上一定不存在直线D ．曲面上一定存在曲线2.有下列三种说法①侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 ②底面是正多边形的棱柱是正棱柱 ③棱柱的侧面都是平行四边形．其中正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33.已知水平放置的正ABC ∆的边长为a ,则△ABC 的平面直观图△'''A B C 的面积为( )A.24a B.28a C.28a D.216a 4.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） A.283π B.163π C.483π+ D.12π(第4题) (第5题)5.如图，在空间四边形(),,C,D ABCD A B 不共面中，一个平面与边,,,AB BC CD DA 分别交于,,,E F G H （不含端点），则下列结论错误的是（ ） A ．若::AE BE CF BF =，则//AC 平面EFGHB ．若,,,E F G H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形C ．若,,,E F G H 分别为各边中点且AC BD =，则四边形EFGH 为矩形 D ．若,,,EFGH 分别为各边中点且AC BD ⊥，则四边形EFGH 为矩形 6.下列命题，正确的是( )A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线B ．若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面 C ．若直线,a b 共面，直线,a c 共面，则直线,b c 共面 D ．依次首尾相接的四条线段必共面7.已知直线,a b 和平面,αβ,给出以下命题，其中真命题为( )A ．若//,//a βαβ,则//a αB ．若//,,a αβα⊂则//a βC ．若//,,a b αβαβ⊂⊂，则//a bD ．若//,//,//a b βααβ，则//a b 8.下面给出四个命题：①若平面α∥平面β，,AB CD 是夹在α，β间的线段，若//,AB CD 则AB CD =；②若,a b 异面直线，,b c 是异面直线，则,a c 一定是异面直线；③过空间任一点，可以做无数条直线和已知平面α平行；④平面α∥平面β，,//,P PQ αβ∈则PQ α⊂ 其中正确的命题是( )A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①④ 9.已知两直线,m n ，两平面,αβ，且,m n αβ⊥⊂，下面有四个命题： ①若//,αβ则m n ⊥；②若m n ⊥，则//αβ；③若//m n ，则有αβ⊥； ④若αβ⊥，则有//m n . 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(第10题) (第11题)10.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E G ，F ，分别为棱1111AA BB A B ，，的中点，则点G 到平面1EFD 的距离为（ ）A.2 B.2 C.12D.511.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ） A.π36 B.π8 C.π29 D.π82712.三棱锥的棱长均为 ）A ．36πB ．72π C. 144π D ．288π二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上). 13. 将斜边长为4的等腰直角三角形绕其一边所在直线旋转一周，形成的几何体体积是 14. 在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点A 到平面1A BD 的距离为 _________ 15. 如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC ，侧面BCC 1B 1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB 1A 1的面积为 ．(第15题) (第16题)16. 如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直线,E F 的平面分别与棱'BB 、'DD 交于,M N ，设[]x,x 0,1BM =∈,给出以下四个命题：（1）''MENF BDD B ⊥平面平面； （2）当且仅当12x =时，四边形MENF 的面积最小； （3）四边形MENF 周长()[],0,1,L f x x =∈则12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数； （4）四棱锥'C MENF -的体积()V h x =为常函数； 以上命题中真命题的序号为_____________三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（本小题满分10分）正四棱台1AC 的高是8cm ，两底面的边长分别为4cm 和16cm ，求这个棱台的侧棱的长、斜高、表面积、体积18．（本小题满分12分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点。

2020届辽宁省实验中学东戴河分校高三12月月考数学试卷(理科)说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。

答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则 ( )A ．M N ⋂=∅B ．M N M ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R =U2． “”是“方程表示双曲线”的 （ )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数()3214433f x x x x =-+-的极值点，则20192log a =( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（ ）A ．35B ．45C 32D ．2255．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是 （ ）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．设()0sin cos a x x dx π=+⎰，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是 （ ） A ．1 B ．1256 C ．64 D ．1647．直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为 （ ） A ．22B ．4C ．52 D ．928．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( )A ．2+43B ．13+2C ．2+83D ．4+839．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是 （ ）A ．3B ．5C ．7D ．910．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（ ）A ．30,2π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．3,22ππ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，x R ∀∈，有3()()f x f x x --=，在(0,)+∞上有22'()30f x x ->，若2(2)()364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U12．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知34a b R a ib i i+=+∈，（，）其中i 为虚数单位，则a bi +=________； 14．已知数列{}n a的首项11a =，且满足11(2)n n n n a a a a n ---=≥，则122320142015a a a a a a +++=L ；15．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2cos 2()3f x x x x R π⎛⎫=--∈⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2B f =-，1b =，3c =，且a b >，试求角B 和角C .18．（本小题满分10分）如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，122AB AP AE ===，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角． （l ）求证：CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．19．（本小题满分10分）2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．20．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率2e=．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m=+：与椭圆G交于A B，两点，直线2212l y kx m m m=+≠：（）与椭圆G交于C D，两点，且AB CD=，如图所示．①证明：120m m+=；②求四边形ABCD的面积S的最大值．21．（本小题满分10分）已知函数()22,02,0xx xf x xax ax xe⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数．()1求实数a的值；()2若函数()()g x f x kx=-有三个零点，求实数k的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos3xyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点()1,0P-，直线l和曲线C交于,A B两点，求||||PA PB+的值．23．已知函数()()210f x x a x a=++->.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.（数学理）1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD13.5 14. 15. ①② 16. 4 317【解析】（1）233()cos2cos2sin2cos23sin23223f x x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，令222,232k x k k Zπππππ--+∈剟，解得5,1212k x k k Zππππ-+∈剟∴故函数()f x的递增区间为5,()1212k k kππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z.（2）313sin,sin2332Bf B Bππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，20,,,333366B B B Bπππππππ<<∴-<-<∴-=-=Q即，由正弦定理得：13sin sinsin6aA Cπ==，3sin2C∴=，0Cπ<<Q，3Cπ∴=或23π.当3cπ=时，2Aπ=：当23Cπ=时，6Aπ=（不合题意，舍）所以,63B Cππ==.18．如图，在PBE△中，AB PE⊥，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且5AC=，122AB AP AE===，将PBAV沿AB折起使得二面角P AB E--是直二面角．（l）求证：CD平面PAB；（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析.（2）13.【解析】分析：（1）推导出4,AE AC =是Rt ABE ∆的斜边上的中线，从而C 是BE 的中点，由此能证明//CD 平面PAB ；（2）三棱锥E PAC -的体积为E PAC P ACE V V --=，由此能求出结果．详解：（1）因为122AE =，所以4AE =，又2AB =，AB PE ⊥， 所以22222425BE AB AE =+=+=，又因为152AC BE ==， 所以AC 是Rt ABE n 的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点．所以CD 是ABE n 的中位线，所以CD AB n ， 又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD n 平面PAB ．（2）据题设分析知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为122AB AP AE ===，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点， 所以4AE =，2AD =，所以()040E n n ，()120C n n ，()002P n n ，()020D n n ，所以()042PE =-u u n v n u ，()122PC =-u u n v n u ，()100CD =-u u n vn u ， 设平面PCD 的一个法向量为()n x y z '''=n n ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，所以0x z y =⎧⎨='''⎩，令1y '=，则()011n =n n ，设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10sin 10PE n PE nθ⋅==⋅u u u v u u u v ． 故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为13．19．2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．【答案】(1) 2532 (2) 最高费用为350万元．对应13p =．（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+， 一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+．∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532． （2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦． 令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--．当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减． 所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率22e =． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m =+： 与椭圆G 交于 A B ， 两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）与椭圆G 交于C D ， 两点，且AB CD = ，如图所示．①证明：120m m += ；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值． （1）设椭圆G 的方程为（a ＞b ＞0）∵左焦点为F 1（﹣1，0），离心率e =．∴c =1，a =，b 2=a 2﹣c 2=1椭圆G 的标准方程为：．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）①证明：由消去y 得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2=0 ，x 1+x 2=，x 1x 2=；|AB |==2；同理|CD |=2，由|AB |=|CD |得2=2，∵m 1≠m 2，∴m 1+m 2=0②四边形ABCD 是平行四边形，设AB ，CD 间的距离d =∵m 1+m 2=0，∴∴s =|AB |×d =2×=.所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为221．已知函数()22,02,0x x x f x x ax ax x e⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数． ()1求实数a 的值；()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）12a e =；（2）ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭解：()1当0x <时，()2f x x =-是增函数，且()()00f x f <=，故当0x ≥时，()f x 为增函数，即()'0f x ≥恒成立，当0x ≥时，函数的导数()()()211'2221120()x x x xx e xe x f x ax a a x x a e e e --⎛⎫=+-=+-=--≥ ⎪⎝⎭恒成立，当1x ≥时，10x -≤，此时相应120x a e -≤恒成立，即12x a e ≥恒成立，即max 112()x a e e≥=恒成立，当01x ≤<时，10x ->，此时相应120x a e -≥恒成立，即12x a e ≤恒成立，即12a e ≤恒成立， 则12a e =，即12a e=． ()2若0k ≤，则()g x 在R 上是增函数，此时()g x 最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件． 故0k >，当0x <时，()2g x x kx =--有一个零点k -，当0x =时，()()0000g f =-=，故0也是故()g x 的一个零点， 故当0x >时， ()g x 有且只有一个零点，即()0g x =有且只有一个解，即202x x x x kx e e e +--=，得22x x x xkx e e e+-=，(0)x >， 则112x x k e e e=+-，在0x >时有且只有一个根， 即y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点，()11'2x h x e e=-+，由()'0h x >得1102x e e -+>，即112x e e <得2x e e >，得ln21ln2x e >=+，此时函数递增，由()'0h x <得1102x e e -+<，即112x e e>得2x e e <，得0ln21ln2x e <<=+，此时函数递减，即当1ln2x =+时，函数取得极小值，此时极小值为()1ln211ln211ln22h e e e+++=+- ln211ln2111ln21ln2222222e e e e e e e e e e=++-=++-=⋅， ()110101h e e=+-=-，作出()h x 的图象如图，要使y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点， 则ln22k e =或11k e≥-， 即实数k 的取值范围是ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（266（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||t t -==. 23．已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->， 即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >， 综上，a 的取值范围为()5,+∞.。

辽宁省实验中学2023—2024学年度上学期12月阶段测试高一数学试卷一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是考试时间：120分钟试题满分：150分符合题目要求的。

1．已知集合(){}2{14,},,,A x x x B x y y x x A =<<∈==∈Z ，则A B = （ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}4,9D ．∅2．已知函数()()2231mm f x m m x −−=+−是幂函数，且()0,x ∈+∞时，()f x 单调递增，则m 的值为（ ）A ．1B ．1−C ．2−D ．2−或13．若,a b 是方程230x x +−=的两个实数根，则22a a b ++=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．一种药在病人血液中的量保持在500mg 以上时才有疗效，而低于100mg 时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（参考数据：lg20.3010≈）（ ） A ．5小时后B ．7小时后C ．9小时后D ．11小时后5．已知31log 2833log 3,log 4,3a b c−===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．c b a >>6．设函数()y f x =存在反函数()1y f x −=，且函数()2y x f x =−的图象过点()2,3，则函数()1yf x −=−的图象一定过点（ ）A ．()1,1−B ．()3,2C ．()1,0D ．()2,17．函数()f x 和()g x 的定义域均为R ，已知()13yf x =+为偶函数，()11yg x =++为奇函数，对于x ∀∈R ，均有()()23f x g x x +=+，则()()44f g =（ ） A ．66B ．70C ．124D ．1448．已知函数()24,0e 1,0xx x x f x x − −+≥= −< ，若关于x 的不等式()()22[]0f x mf x n −−<恰有两个整数解，则实数m 的最小值是（ ）A ．21−B ．14−C ．7−D ．6−二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年辽宁省实验中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．设集合{1,2,3,4,5}U =，{}1,3A =，{}2,3,4B =，则()()U UA B =（ ）A ．{}1B ．{}5C ．{}2,4D ．{}1,2,3,4【答案】B【分析】先求,A B 的补集，然后求两个集合的交集，即可得答案. 【详解】依题意，{}{}2,4,5,1,5UU A B ==，所以()(){}5U U A B ⋂=. 故选：B.2．设集合(){}A x I p x =∈，(){}B x I q x =∈，若A B ，则()p x 是()q x 的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据集合的关系及充分条件，必要条件的概念即得. 【详解】因为A B ，(){}A x I p x =∈，(){}B x I q x =∈， 所以()p x 是()q x 的充分非必要条件. 故选：B.3．设命题p ：x ∀∈R ，4221x x +>．则p ⌝为（ ） A ．x ∃∈R ，4221x x +≤． B ．x ∀∈R ，4221x x +≤． C ．x ∃∈R ，4221x x+<． D ．x ∀∈R ，4221x x+<． 【答案】A【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得p ⌝为x ∃∈R ，4221x x +≤． 故选：A.4．小明同学在课外阅读中看到一个趣味数学问题“在64个方格上放米粒：第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，第64个方格放632粒米．那么64个方格上一共有多少粒米？”小明想：第1个方格有1粒米，前2个方格共有3粒米，前3个方格共有7粒米，前4个方格共有15粒米，前5个方格共有31粒米，……．小明又发现，1121=-，2321=-，3721=-，41521=-，53121=-，……．小明又查到一个数据：710粒米的体积大约是1立方米，全球的耕地面积大约是131.510⨯平方米，lg 20.3010=，lg1.8360.2640=．依据以上信息，请你帮小明估算，64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为（ ） A ．0.0012米 B ．0.012米 C ．0.12米 D ．1.2米【答案】C【分析】由题意知格子上的米粒数是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列求和公式可得64个方格上一共有6421-粒米，设米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为h ，可得71364210 1.51110=⨯⨯-h ，两边取对数计算可得答案.【详解】第1个方格放1粒米，第2个方格放2粒米，第3个方格放4粒米，第4个方格放8粒米，第5个方格放16粒米，……，可知格子上的米粒数是以1为首项，2为公比的等比数列， 那么64个方格上一共有6464112212-=--粒米， 设米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为h ，因为710粒米的体积大约是1立方米，全球的耕地面积大约是131.510⨯平方米， 所以71364210 1.51110=⨯⨯-h ， 可得()64641371372112lg lg lg lg 1.51010 1.51010h ⎛⎫-=⨯≈-⨯ ⎪⨯⎝⎭， 用lg1.8360.2640=近似替代lg1.5，所以()641372lg lg 1.51064lg 27lg1.51364lg 2lg1.52010-⨯=---=--0.30100.264020164⨯--=-≈，即lg 1=-h ，可得0.1h =，又0.10.12≈，故64个方格上所有的米粒覆盖在全球的耕地上厚度约为0.12（米）. 故选：C.5．下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（ ）A ．()2xf x =与()2log g x x =B ．()12f x x =与()32g x x -=C ．()12f x x -=与()13log g x x =D ．()2f x x -=与()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质逐项分析即得.【详解】因为函数()2xf x =的值域为()0,∞+，函数()2log g x x =的值域为R ，故A 不合题意； 因为函数()12f x x =的值域为[)0,∞+，函数()32g x x -=的值域为()0,∞+，故B 不合题意；因为函数()12f x x -=的值域为()0,∞+，函数()13log g x x =的值域为R ，故C 不合题意；因为函数()2f x x -=的值域为()0,∞+，函数()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,∞+，故D 正确.故选：D.6．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x x =-，则当0x <时，（ ）A ．()2f x x x =- B ．()2f x x x =+C ．()2f x x x =-- D ．()2f x x x =-+【答案】C【分析】根据函数的奇偶性求解0x <的解析式. 【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数， 当0x <时，0x ->，所以()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=--⎣⎦， 故选：C7．函数()22221x x f x x -+=的图像简图可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题可得()21111f x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭可排除AB ，然后根据0x <时函数值的范围可排除C.【详解】因为()()2222221221111x x x x f x x x x --+⎛⎫===+- ⎪⎝⎭+， 所以()21111f x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，故排除AB ；当0x <时，()2111112f x x ⎛⎫=+->+= ⎪⎝⎭，故排除C.故选：D.8．已知函数()231x x k f x x +=--有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】将函数零点问题转化为曲线23y x x =+与直线1y kx =+的交点问题，如图分析临界直线，可得k 的取值范围.【详解】2310x x kx +--=,即231x x kx +=+，函数1y kx =+表示恒过点()0,1的直线，如图画出函数23y x x =+，以及1y kx =+的图象，如图，有两个临界值，一个是直线过点()3,0-，此时直线的斜率()101033k -==--，另一个临界值是直线与23y x x =--相切时，联立方程得()2310x k x +++=，()2340k ∆=+-=，解得：1k =-，或5k =-，当1k =-时，切点是1,2如图，满足条件，当5k =-时，切点是()1,4-不成立，所以1k =-，如图，曲线23y x x =+与直线1y kx =+有4个交点时，k 的取值范围是11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B二、多选题9．函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()12log g x x =，()12h x x -=，在区间()0,+∞上（ ）A ．()f x 递减速度越来越慢B ．()g x 递减速度越来越慢C ．()h x 递减速度越来越慢D ．()g x 的递减速度慢于()h x 递减速度【答案】ABC【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质即得.【详解】根据指数函数，对数函数及幂函数的性质结合图象可知在区间()0,+∞上，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭递减速度越来越慢，故A 正确；()12log g x x =递减速度越来越慢，故B 正确；()12h x x -=递减速度越来越慢，故C 正确；()h x 的递减速度慢于()g x 递减速度，故D 错误.故选：ABC.10．已知12a <<且53b -<<，则（ ） A ．a b +的取值范围是()4,5- B ．a b -的取值范围是()2,7- C ．ab 的取值范围是()10,6- D ．b a 的取值范围是35,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】根据不等式的性质逐项分析即得. 【详解】因为12a <<且53b -<<，35b -<-<， 所以45a b -<+<，27a b -<-<，故AB 正确；当50b -<<时，05b <-<，又12a <<，所以010ab <-<，故100ab -<<； 当03b <<时，又12a <<，所以06ab <<；当0b =时，0ab =； 综上，12a <<且53b -<<，可得106ab -<<，故C 正确；当50b -<<时，05b <-<，又1112a <<，所以05ba <-<，故50b a -<<；当03b <<时，又1112a<<，所以03ba <<；当0b =时，0b a =；综上，12a <<且53b -<<，可得53b a-<<，故D 错误. 故选：ABC.11．函数()()2ln e 1xf x x =+-，则（ ）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为RC ．()f x 是偶函数D ．()f x 在区间[)0,+∞上是增函数【答案】ACD【分析】由题可得函数的定义域判断A ，根据基本不等式及对数函数的性质可得函数的值域判断B ，根据奇偶性的定义可判断C ，根据指数函数，对勾函数及对数函数的性质可判断D.【详解】因为函数()()2ln e 1xf x x =+-，所以函数()f x 的定义域为R ，故A 正确；因为()()()()222e 1ln e 1ln e 1ln e ln ln e e ex xxxx x x f x x -+=+-=+-==+，又e e 2-+≥x x ，当且仅当e e x x -=，即0x =取等号，所以()ln 2f x ≥，故B 错误；因为()()()ln e e x xf x f x --=+=，所以()f x 是偶函数，故C 正确；因为函数e x t =在[)0,+∞上单调递增，且e 1x t =≥，根据对勾函数的性质可知1u t t=+在1t ≥上单调递增，又函数ln y u =为增函数，故函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数，故D 正确. 故选：ACD.12．若定义在R 上的函数()f x 满足： （ⅰ）存在R a +∈，使得()0f a =； （ⅱ）存在R b ∈，使得()0f b ≠；（ⅲ）任意12,R x x ∈恒有()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=． 则下列关于函数()f x 的叙述中正确的是（ ） A ．任意x ∈R 恒有()()4f x a f x += B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[]0,a 上是减函数D ．函数()f x 最大值是1，最小值是-1【答案】ABD【分析】A 选项，赋值法得到()()f x a f x a +=--，从而得到()()4f x a f x +=； B 选项，令20x =得到()01f =，再令120,x x x ==-得到()()=f x f x -，B 正确； C 选项，可举出反例； D 选项，令12x x t 得到()()20212f f t t +=≥⎡⎤⎣⎦，令2t x =，则()1f x ≥-，由()()f x a f x a +=--，得到()()2f x a f x +=-，故可得()()21f x a f x +=-≤，求出函数()f x 最大值是1，最小值是-1. 【详解】令12,x x x a ==得()()()()20f x a f x a f x f a ++-==，故()()f x a f x a +=--， 上式中，用2x a -代替x 得：()()22f x a a f x a a -+=---，即()()3f x a f x a -=--， 从而()()3f x a f x a +=-，故()()4f x a f x +=，A 正确；()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=，令20x =得：()()()()11120f x f x f x f +=，即()()()11022f x f x f =，∵1R x ∈，()1f x 不恒为0， ∴()01f =，令120,x x x ==-，得()()()()20x f f x x f f +=--，即()()=f x f x -， 又()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称， 所以()f x 为偶函数，B 正确；不妨令()cos f x x =，满足()()()()12121212cos cos f x x f x x x x x x ++-=++- 1212121212cos sin sin c 2cos s co os in sin co s co s s x x x x x x x x x x =-++=，故()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=，此时存在3π2a =，使得3π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且存在π3b =，使得()0f b ≠；但函数()f x 在区间0,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，C 错误；令12x x t 得：()()()2220f f f t t +=⎡⎤⎣⎦，即()()20212f f t t +=≥⎡⎤⎣⎦，所以()12f t ≥-，令2t x =，则()1f x ≥-，因为()()f x a f x a +=--，所以()()2f x a f x +=-， 因为()1f x ≥-，所以()()21f x a f x +=-≤， 故函数()f x 最大值是1，最小值是-1. 故选：ABD三、填空题13．51log 25+=______． 【答案】10【分析】根据对数运算求解即可. 【详解】解：551log 2log 215055521+==⨯=⨯ 故答案为：1014．设2log 3a =，3log 5b =，则5log 6=______． 【答案】1a ab+【分析】利用换底公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】∵2lg3log 3lg 2a ==，3lg 5log 5lg 3b ==， ∴lg 3lg 2=a，lg5lg3=b ， ∴5lg31lg31lg 6lg 2lg3l 1lg5lg3l o 3g g 6++++=====a a a b b b ab ． 故答案为：1a ab+. 15．设方程1502xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的解为1x ，2x ，方程12log 50x x +-=的解为3x ，4x ，则1234x x x x +++=______．【答案】10【分析】在同一坐标系下做出函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭、()12log g x x =，y x =的图象，设1324x x x x <<<，根据函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()12log g x x =的图象关于y x =对称得点111,2⎛⎫⎪⎝⎭x x 与点1244,log ⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 、点2122,log x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点331,2⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 都关于y x =对称，求出5、==-y x y x 的交点坐标再根据中点坐标公式计算可得答案.【详解】由方程1502x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭得152⎛⎫=- ⎪⎝⎭xx ，由方程12log 50x x +-=得12log 5=-x x ，在同一坐标系下做出函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭、()12log g x x =，y x =的图象，不妨设1324x x x x <<<，如下图，因为函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()12log g x x =的图象关于y x =对称，即点111,2⎛⎫⎪⎝⎭x x 与点1244,log ⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 、点2122,log x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点331,2⎛⎫ ⎪⎝⎭x x 都关于y x =对称， 由5y x y x =⎧⎨=-⎩解得5252x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即两直线的交点为55,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，则231455,2222x x x x ++==，则123410x x x x +++=. 故答案为：10.16．如果函数()()2log 3log 1log a a a f x x a x-=+>在区间[]2,3上是减函数，那么实数a 的取值范围是______． 【答案】[)3,+∞【分析】根据2log 3a -的正负，考虑13a <≤3a >log 32log 3a a -.【详解】()()2log 3log 0,1log a a a f x x a a x-=+>≠，设log a t x =，当13a <≤2log 30a -≤，()2log 3a f t t t-=+单调递增，log a t x =单调递增，故函数()f x 单调递增，不成立；当3a >2log 30a ->，log a t x =单调递增， 故()2log 3a f t t t-=+在[]log 2,log 3a a t ∈上单调递减，故log 32log 3a a - 解得2log 31a -≤≤，故3a ≥.综上所述：3a ≥. 故答案为：[)3,+∞四、解答题17．设a ,b ∈R ，集合{1,,}0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，求b a -．【答案】2b a -=【分析】根据题意，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得0a b +=，进而分析可得a 、b 的值，计算可得答案． 【详解】解：根据题意，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，又0a ≠，0a b ∴+=，即a b =-，∴1ba=-， 1b =；故1a =-，1b =， 则2b a -=， 故答案为：2【点睛】本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．18．（1）设()xf x a =（0a >且1a ≠），证明：()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭；（2）设()212xx g x -+=，证明：()()121222g x g x x x g ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）结合均值不等式及幂运算即可证明；（2）结合（1）中121222x x x x a a a ++≥得()()()()1222211112222x x x x g x g x -++-++≥，结合均值不等式可得()()22221121221111222xx x x x xx x -++-+++⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，即可证.【详解】（1）证明：()()121212122222x x x x f x f x x x a a a f ++++⎛⎫=≥== ⎪⎝⎭；（2）证明：由（1）得：()()()()222221111222111112222222x x x x x x x x g x g x -++-+-+-+++=≥，因为()()222211221212111222xx x x x x x x -++-+++=-+22212121212122114222x x x x x x x x x x +++++⎛⎫≥-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()()2222121212221111222x x x x x x x x ++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-++-+≥， 故()()121222g x g x x x g ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 19．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，已知用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为()f x ．(1)试确定()0f 的值，并解释其实际意义； (2)设()f x cc x=+，其中c 是正的常数．现有A （A >0）个单位量的水，计划把水分成2份后清洗两次，设第一次清洗用水m （0m A <<）个单位量，第二次清洗用水A m -个单位量，试问m 为何值时清洗后蔬菜上残留的农药量最少，说明理由． 【答案】(1)()01f =，答案见解析； (2)当2Am =时清洗后蔬菜上残留的农药量最少，理由见解析.【分析】（1）根据实际意义结合条件即得；（2）由题可得两次清洗后蔬菜上残留的农药量与清洗前残留的农药量之比，然后利用基本不等式即得.【详解】（1）由题意可规定()01f =，表示的是未用清水冲洗蔬菜时，蔬菜上残留的农药量没有变化： （2）两次清洗后蔬菜上残留的农药量与清洗前残留的农药量之比为：()()()()()2c c c y f m f A m c m c A m c m c A m =⋅-=⋅=++-++-⎡⎤⎣⎦，其中0m A <<,因为()()()()222=2c m c A m A c m c A m c +++-⎡⎤⎛⎫++-≤+⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦， 当且仅当()c m c A m +=+-时，即2Am =时等号成立，所以()()222c y f m f A m A c =⋅-≥⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当2A m =时等号成立． 所以，当2Am =时清洗后蔬菜上残留的农药量最少． 20．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t（单位：h ）间的关系为：0e ktP P -=，其中0P ，k 是正的常数．(1)如果过滤5h 消除了废气中20%的污染物，求：过滤15h 后，废气中还剩百分之几的污染物； (2)如果过滤5h 消除了废气中%M 的污染物，那么需要过滤多少时间，废气中的污染物减少50%？（用M 表示）【答案】(1)还剩51.2%的污染物； (2)()5ln 0.5ln 1%t M =-．（或()5ln 2ln 1%t M =--）【分析】（1）由题可得5e 120%k -=-，然后可得15t =时污染物含量，即得； （2）根据条件表示出k ，然后利用函数关系式进而即得. 【详解】（1）因为过滤5h 消除了废气中20%的污染物，所以()500120%ek P P --=，即5e 120%k -=-， 所以当15t =时，()31500e 120%t P P P -==-00.512P =，即过滤15h 后，废气中还剩51.2%的污染物：（2）由题意得()()500001%e 150%e kkt M P P P P --⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，即()()00ln 1%5150%e kt M k P P -⎧-=-⎪⎨⎪-=⎩， 所以，()()ln 1% 500150%eM t P P --=，从而，()ln 1%ln 0.55M t -=， 即，()5ln 0.5ln 1%t M =-．（或()5ln 2ln 1%t M =--） 21．已知函数()f x 是函数x y a =（0a >且0a ≠）的反函数，且()21f =． (1)求函数()f x 的解析式； (2)设()()1g x f x =-．（i ）写出函数()g x 的单调区间，并指明单调性；（无需证明）（ⅱ）求()g x 在区间[],1t t +（其中R t ∈且0t >）上的的最小值()h t 和最大值()H t ． 【答案】(1)()2log f x x =(2)（i ）函数()g x 在区间(]0,2上是减函数，在区间[)2,+∞上是增函数；（ⅱ）()()221log 1,01,0,12log 1,2t t h t t t t ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩，()()221log ,0log 11,t t H t t t ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩【分析】（1）首先设函数()log a f x x =，代入()21f =，即可求解；（2）（ⅰ）首先去绝对值，写成分段函数形式，再根据函数的解析式，直接判断函数的单调区间； （ⅱ）根据函数的单调性，讨论t 的取值，分别求函数的最值.【详解】（1）由题意得()log a f x x =，且log 21a =，所以2a =，从而()2log f x x =．（2）()2221log ,02log 1log 1,2x x g x x x x -<<⎧=-=⎨-≥⎩（i ）函数()g x 在区间(]0,2上是减函数，在区间[)2,+∞上是增函数． （ⅱ）当012t t <<+≤时，即1t ≤时，()()()211log 1h t g t t =+=-+，()()21log H t g t t ==-．当2t >时，()()2log 1h t g t t ==-，()()()21log 11H t g t t =+=+-． 当21t t ≤<+时，即12t <≤时，()()20h x g ==，()()()()()22221log 111log log 1log 2g t g t t t t t +-=+---=++-⎡⎤⎣⎦当1t <≤()()21log H t g t t ==-；2t <≤时，()()()21log 11H t g t t =+=+-； 综上，()()221log 1,01,0,12log 1,2t t h t t t t ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪->⎩，()()221log ,0log 11,t t H t t t ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪+->⎪⎩22．已知函数()232log 1x ax bf x x cx ++=++同时满足下列三个条件：（i ）函数()f x 的定义域是R ：（ⅱ）函数()f x 是奇函数； （ⅲ）函数()f x 的最大值是1． 求()f x 的解析式．【答案】()2321log 1x x f x x x -+=++或()2321log 1x x f x x x ++=-+．【分析】由题可知()30log 0f b ==，然后根据奇函数可得22a c =，结合条件可得22420x cx ++≥恒成立，且等号成立，进而即得.【详解】由题意可知函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()30log 0f b ==，即1b =， 又()()f x f x -=-，所以223322log log 11x ax b x ax b x cx x cx -+++=--+++，所以222211111x ax x ax x cx x cx -+++⋅=-+++， 即()()2222222211x a x x c x +-=+-恒成立；所以22a c =，可得a c =或a c =-， 当a c =时，()0f x =，不合题意， 所以a c =-，()2321log 1x cx f x x cx -+=++， 由题知当x ∈R 时，()232log 11x ax bf x x cx ++=≤++，即22131x cx x cx -+≤++恒成立，且等号成立， 即当x ∈R 时，22420x cx ++≥恒成立，且等号成立； 所以，()244220c ∆=-⨯⨯=， 解得：1c =或1c =-，从而，()2321log 1x x f x x x -+=++或()2321log 1x x f x x x ++=-+，经检验，符合题意；故()2321log 1x x f x x x -+=++或()2321log 1x x f x x x ++=-+．。

2019-2020学年辽宁省实验中学东戴河分校高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知区间()[)1,6,7,4A B ==-，求A B =U （ ） A ．()7,6- B ．[)7,6-C ．()1,4D ．(]1,4 【答案】B【解析】在数轴上画出区间A ，B 即可解. 【详解】 如图：[7,6)A B =-U .故选：B. 【点睛】考查区间的并集.利用数轴解更直观.题目较易.2．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >【答案】B【解析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可. 【详解】选项A ：由于0a b <<，即0ab >，0b a ->，所以110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以成立；选项B ：由于0a b <<，即0a b -<，所以110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a<-，所以不成立；选项C ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以成立；选项D ：由于0a b <<，所以0a b ->->，所以||||a b >，所以22a b >，所以成立. 故选：B. 【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.3．某小学、初中、高中一体化学校，学校学生比例如下图，对全校学生采用分层抽样进行一次调查，样本容量为240人，则其中初中女生有（ ）人A ．18B ．42C ．32D ．48【答案】D【解析】由图可知初中男生占比为40%，可求出女生占比，则初中生人数乘以女生占比，即可解初中女生人数， 【详解】由图可知，男生占比40%，则女生占比60%，初中生人 数为80，∴8060%48⨯=人. 故选：D. 【点睛】考查根据扇形图，条形图求样本中个体的数量.题目较为简单. 4．函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】B【解析】易知函数()ln 23f x x x =+-是()0,∞+上的增函数,(1)(2)0f f ⋅<,结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间. 【详解】函数ln y x =是()0,∞+上的增函数,23y x =-是R 上的增函数, 故函数()ln 23f x x x =+-是()0,∞+上的增函数.(1)ln12310f =+-=-<,(2)ln 2223ln 210f =+⨯-=+>,则()0,1x ∈时,()0f x <;()2,x ∈+∞时,()0f x >,因为(1)(2)0f f ⋅<,所以函数()ln 23f x x x =+-在区间()1,2上存在零点. 故选:B. 【点睛】本题考查了函数零点所在区间,利用函数的单调性与零点存在性定理是解决本题的关键,属于基础题.5．2021年某省新高考将实行“312++”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B （ ） A ．是互斥事件，不是对立事件 B ．是对立事件，不是互斥事件 C ．既是互斥事件，也是对立事件 D ．既不是互斥事件也不是对立事件【答案】A【解析】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案. 【详解】事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件 他还可以选择化学和政治，不是对立事件 故答案选A 【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.6．已知向量(1)a m =，u r ，(32)b m =-，u r ，则3m =是a u r //b ur 的（ ）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件【答案】D【解析】当//a b r r 时，求m ，然后再判断充分必要条件.【详解】 当//a b rr时，()2130m m --⨯= ，即2230m m --=，解得：1m =-或3m =，3m ∴=是//a b rr的充分不必要条件.故选：D 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示求参数和充分必要条件结合的简单综合问题，属于基础题型.7．已知()50.2382,2,ln 3a b c ==-=,则（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】D【解析】将0.22和02比，8ln 3和ln e 比即可解. 【详解】 由题意得：50.23221(2)0a b =>==-<，，80ln ln 13c e <=<=.∴a c b >>. 故选：D. 【点睛】考查指数函数，对数函数的性质，利用特殊值比较即可解，题目较为简单.8．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,4【答案】B【解析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]，故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．9．已知函数()()()2log 12x f x f x ⎧+⎪=⎨+⎪⎩66x x ≥<，则()5f =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】利用分段函数的解析式，可得()25(7)log 8f f ==，即可求解. 【详解】由题意，函数()()()2log 1,62,6x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩， 则()225(52)(7)log (71)log 83f f f =+==+==，故选B. 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.10．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以,,,,A B C D E为顶点的多边形为正五边形，且512PT AT -=.下列关系中正确的是（ ）A ．512BP TS RS -=u u u r u u r u uu rB ．512CQ TP TS +=u u u r u u rC ．51ES AP --=u u u r u u u rD ．51AT BQ -+=u u u r u u u ru ur 【答案】A【解析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题． 【详解】在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PT AT =．在A 中，BP TS TE TS SE RS -=-==u u u v u u v u u v u u v u u vu uu v ，故A 正确；在B 中，12CQ TP PA TP TA ST +=+==u u u v u u v u u u v u u v u u v u uu v ，故B 错误；在C 中，12ES AP RC QC QB --=-=u u u v u u u v u u u v u u u vu u uv ，故C 错误；在D 中，AT BQ SD RD RS RD SD +=+==-u u u v u u u v u u u v u u u vu uv u u u v u u u v u u u v ，若AT BQ +=u u u r u u u ru u ur ，则0SD =u u u v v ，不合题意，故D 错误．故答案为：A 【点睛】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．二、多选题11．(多选题)下列命题正确的有（ ）A ．命题p ：“R x ∃∈，使得210x x ++<”，则p ⌝：“x R ∀∈，210x x ++≥”.B ．已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=,那么集合M N ⋂=(3,1)-.C ．函数()2ln 1y kx kx =-+的定义域为R ，则k <0或k >4. D ．1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数为3，90%分位数为9.5. 【答案】AD【解析】分别对A ，B ，C ，D 四个选项进行判断，找出正确的选项. 【详解】A . 命题p ：“R x ∃∈，使得210x x ++<”， p ⌝，将存在 换成任意，再将结论否定，得：“x R ∀∈，210x x ++≥”，正确B . 已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么 集合(3,1)M N ⋂=-，应写成集合的形式，{(3,1)}M N ⋂=-, B 项错误.C . 函数()2ln 1y kx kx =-+的定义域为R ，则21k kx -+恒大于0， 当0k =，则有10>，恒成立，当k 0<，不等式不恒成立, 当0k >，则240k k -<，∴04k <<，C 项错误.D . 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，一共十个数字，1025% 2.5,1090%9⨯=⨯=， 故25%分位数为3，90%分位数为9.5.正确. 故选：AD. 【点睛】考查命题的否定，集合的形式，对数函数的定义域，以及求分位数的问题.属中档题.分位数补充：一般地，一组数据的第p 百分数是这样一个值，它使得这组数据中至少有(100)%p -的数据大于等于这个值.可以通过以下步骤计算一组n 个数的第p 百分位数：第一步，按从小到大排列原始数据.第二步，计算%i n p =⨯.第三步，若i 不是整数，而大于i 的比邻整数为j ，则第p 百分位数为第j 项数据，若i 不是整数，则第p 百分位数为第i 与第(1)i +项数据的平均值.12．（多选题）设函数()||f x x x bx c =-+，则下列命题中正确的是（ ） A ．当0b >时，函数()f x 在R 上有最小值； B ．当0b <时，函数()f x 在R 是单调增函数； C ．若(2019)(2019)2020f f +-=，则1010c =； D ．方程()0f x =可能有三个实数根. 【答案】BCD【解析】分析A ，B ，C ，D 四个选项，判断正确的选项，考虑用特殊值法. 【详解】A .当0b >时，22,0(),0x bx c x f x x bx c x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩，令2,0b c ==，则222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，可知函数()f x 在R 上无最小值，A 项错误.B .当0b <时，22,0(),0x bx c x f x x bx c x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩，令120x x <<，代入2()f x x bx c =-+，22121221()()()f x f x x x b x x -=-+-， 由2212210,0,0x x x x b -<-><可知12())0(f x f x -<，()f x 在[0,)+∞单调递增，同理可得()f x 在(,0)-∞单调递增，且22min max ()(0)()x bx c f c x bx c -+==>--+，函数()f x 在R 是单调增函数，B 项正确.C . 由(2019)(2019)2020f f +-=，将2019,2019x x ==-代入22,0(),0x bx c x f x x bx c x ⎧-+≥⎪=⎨--+<⎪⎩ ，解得1010c =.C 项正确. D .令2b =-，0c =则()||20f x x x x =-=，解得0,2,2x =-.D 项正确. 故选：BCD. 【点睛】考查分段函数，含绝对值的二次函数以及二次函数的性质.属中档题.三、填空题13．如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为______，______．【答案】5 8【解析】根据茎叶图中的数据，结合中位数与平均数的概念，求出x 、y 的值． 【详解】根据茎叶图中的数据，得：∵甲组数据的中位数为15，∴x ＝5； 又∵乙组数据的平均数为16.8， ∴()9151018245y +++++=16.8，解得：y ＝8；综上，x 、y 的值分别为5、8． 故答案为：(1). 5 (2). 8 【点睛】本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题，是基础题．14．如图，在6×6的网格中，已知向量的,,a b c r r r起点和终点均在格点，且满足向量(,)a xb yc x y R =+∈v vv ，那么x y -=________.【答案】0【解析】先作单位向量,i j r r ，再用单位向量表示a r ，b r ，c r，再根据平面向量的基本定理得出关于x ，y 的方程组，解出x ，y ，即可得出x y -的值. 【详解】如同做单位向量,i j r r，则2,22,24a i j b i j c i j =-=+=-r r r r r r r r r ， (22)(24)xb yc x y i x y j ∴+=++-r r r r ，又∵a xb yc =+r r r ，∴2(22)(24)i j x y i x y j -=++-r r r r ，∴222124x y x y =+⎧⎨-=-⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴0x y -=. 故答案为：0. 【点睛】考查平面向量的基本定理,平面向量基本定理：如果1e u r ，2e u u r是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+r r r．（不共线的向量1e u r ，2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底）15．已知x ＞0，y ＞0，lg 2lg8lg 2x y +=,则的最小11x y+值是_______ 【答案】423+【解析】先根据对数运算得31x y +=，再利用基本不等式中“1”的用法求出11x y+的值. 【详解】由lg 2lg8lg 2xy+=得31x y +=.则113(3)(+)411y x x y x x y y x y+=+=++4≥+当且仅当x =,即x =，y =时取等号.故答案为：4+【点睛】考查对数运算，基本不等式中“1”的用法.注意取等号.题目较易.16．已知定义在{}0x x ≠的偶函数()f x 满足()()()f x f y f xy +=且当1x >时，()0f x >，则()1()0x e f x -<的解集为___________.【答案】(),1(0,1)-∞-⋃【解析】先求(1),(1)f f -的值，再证明函数()f x 的单调性，再分类讨论()1()0xef x -<即可解.【详解】令1,1x y ==，则有(1)(1)(1)f f f +=，(1)0f =，令1,1x y =-=-，则(1)(1)(1)f f f -+-=，(1)0f -=.令1x x =，11y x =，则111()()(1)0f x f f x +==，111()()f f x x =-. 令120x x <<，由1x >时，()0f x >，则211x x >，21()0x f x >， 22211111()()()()()0f x f x f f x f x x x ⋅=+=->， ∴函数()f x 在(0,)+∞为增函数，又∵函数()f x 在{}0x x ≠为偶函数，∴函数()f x 在(,0)-∞为减函数.由()1()0xe f x -<，则10()0x e f x ⎧->⎨<⎩或10()0x e f x ⎧-<⎨>⎩，解得1x <-或01x <<.故答案为：(),1(0,1)-∞-⋃. 【点睛】考查函数的奇偶性，单调性，抽象函数，解函数不等式.其中利用1x >，()0f x >证明函数()f x 的单调性为解题关键.四、解答题17．已知平面向量a r ，b r，()1,2a =r . （1）若()0,1b =r，求2a b +r r 的值； （2）若()2,b m =u r ，a r 与a b -r r共线，求实数m 的值. 【答案】（1；（2）4.【解析】（1）结合已知求得：2(1,4)+=r ra b ，利用平面向量的模的坐标表示公式计算得解.（2）求得：(1,2)m -=--r r a b ，利用a r 与a b -r r 共线可列方程1212m --=，解方程即可. 【详解】解：（1）2(1,2)(0,2)(1,4)+=+=r r a b ，所以2+==r r a b （2）(1,2)m -=--r ra b ，因为a r 与a b -r r 共线，所以1212m--=，解得4m =.【点睛】本题主要考查了平面向量的模的坐标公式及平面向量平行的坐标关系，考查方程思想及计算能力，属于基础题。