高一上学期数学12月月考试卷

2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。

成都2023-2024学年度上期12月月考高一数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.2.本堂考试120分钟，满分150分；3.答题前，考生务必先将自己的姓名､学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂.4.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷选择题部分，共60分一､单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}012M =,,，{}1,2,3N =，则M N ⋃=（）.A.{}1,2 B.{}0 C.{}0,1,2,3 D.{}0,1【答案】C 【解析】【分析】结合集合的并集运算即可.【详解】结合题意：{}{}{}0,1,21,2,30,1,2,3M N == ，故选：C.2.“=1x ”是“()()120x x --=”的（）条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先解一元二次方程，再根据充分必要条件的推理得出结果.【详解】根据题意，显然当=1x ，可得()()120x x --=成立，所以充分性满足；当()()120x x --=时，可得1x =或2x =，所以必要性不满足；即“=1x ”是“()()120x x --=”的充分不必要条件.故选：A.3.函数()2xf x x =+的零点所在区间是（）A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2【答案】B 【解析】【分析】分析函数()f x 的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数y x =、2x y =均为R 上的增函数，故函数()2xf x x =+为R 上的增函数，因为()1021112f --+=--=<，()010f =>，由零点存在定理可知，函数()2xf x x =+的零点所在区间是()1,0-.故选：B.4.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式()0f x <的解集是（）A.(]2,5 B.[)(]5,22,5-⋃ C.()(]2,02,5- D.[)(]5,02,5- 【答案】C 【解析】【分析】结合函数的图像及奇偶性即可解不等式.【详解】根据图像，当0x >时，()0f x <的解为25x <≤，因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，若()0f x <，即()0f x --<，则()0f x ->所以02x <-<，解得20x -<<，综合得不等式()0f x <的解集是()(]2,02,5- .故选：C.5.设函数()31,11,1xx x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），若()()18f f =，则=a （）A.3B.3± C. D.±【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为()31,11,1x x x f x a x -≤⎧=⎨->⎩（0a >且1a ≠），所以()1312f =-=，所以()()()21218ff f a==-=，解得3a =或3a =-（舍去）.故选：A6.已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.c<a<bB.c b a <<C.a b c <<D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.7.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d （1d =，2，L ，9）的概率为1lg 1d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（）（参考数据：lg20.301≈，lg30.477≈）A.2.9 B.3.2C.3.8D.3.9【答案】C 【解析】【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.【详解】依题意一个数的首位数字是1的概率为lg 2，一个数的首位数字是5的概率为16lg 1lg 55⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所求的比为()lg 2lg 2lg 26lg 6lg 5lg 2lg 3lg10lg 2lg5==-+--lg 20.3013.82lg 2lg 3120.3010.4771=≈≈+-⨯+-．故选：C8.已知函数()f x 定义域为[]1,2a a -，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（）A.25,36⎛⎤⎥⎝⎦B.15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】分析可知函数()f x 为偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称可求出实数a 的值，根据函数()f x 的单调性、偶函数的性质，结合()()123f x f x a ->-可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得x的取值范围.【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，令()()1g x f x =-，则()()2g x g x -=，即()()211f x f x --=-，即()()11f x f x -=-，所以，()()f x f x -=，故函数()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数，则120a a -+=，解得13a =，所以，函数()f x 是定义在22,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的偶函数，由题意可知，函数()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，由()()121f x f x ->-可得()()121fx f x ->-，所以，12122133222133x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩，解得2536x <≤.因此，不等式()()123f x f x a ->-的解集为25,36⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.二､多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知实数a b c d ,,,，则下列说法正确的有（）A.若0a b <<，则11a b> B.若0a b >>，0c d >>，则ac bd >C.若,a b c d >>，则a d b c ->- D.若a b >，则22a b >【答案】ABC 【解析】【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.【详解】选项A ：因为0b a >>，所以110a b>>，故A 正确；选项B ：因为0a b >>，0c d >>，所以0ac bd >>，故B 正确；选项C ：因为,a b c d >>，所以d c ->-，所以a d b c ->-，故C 正确；选项D ：a b >，取222,2a b a b ==-⇒=，故D 错误；故选：ABC.10.下列说法正确的有（）A.命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”B.若a b >，c d >，则ac bd>C.若幂函数()22231mm y m m x--=--在区间()0,∞+上是减函数，则2m =或1-D.方程()230x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则a<0．【答案】AD 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系可判定A ；举反例可判定B ；根据幂函数定义和性质可判定C ；根据一元二次方程的性质可判定D.【详解】对于A 选项，根据全称量词命题的否定的知识可知，命题“R x ∀∈，210x x ++>”的否定为“R x ∃∈，210x x ++≤”，A 选项正确；对于B 选项，若a b >，c d >，如1a =，0b =，1c =-，2d =-，则ac bd <，B 选项错误；对于C 选项，函数()22231m m y m m x --=--是幂函数，所以2211230m m m m ⎧--=⎨--<⎩，解得2m =，所以C 选项错误；对于D 选项，设()()23f x x a x a =+-+，则()f x 有两个零点，且两个零点一正一负，则()00f a =<，所以D 选项正确.故选：AD.11.已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①R x ∀∈，()()f x f x -=；②1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=．则下列选项成立的是（）A.()()34f f >B.若()()12f m f -<，则()1,3m ∈-C.若()0f x x>，则()()1,00,x ∈-⋃+∞ D.R x ∀∈，R m ∃∈，使得()f x m≥【答案】BD 【解析】【分析】根据给定条件探求出函数()f x 的奇偶性和在()0,∞+的单调性，再逐一分析各选项的条件，计算判断作答.【详解】由R x ∀∈，()()f x f x -=得：函数()f x 是R 上的偶函数，由12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，()()21210f x f x x x ->-得：()f x 在()0,∞+上单调递增，对于A ，根据函数()f x 在()0,∞+上单调递增，可得()()34f f <，故A 错误；对于B ，根据函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，则()()()()12|1|2f m f f m f -<⇔-<，又函数()f x 的图象是连续不断的，则有|1|2m -<，解得13m -<<，故B 正确；对于C ，由()0f x x>，则()00f x x >⎧⎨>⎩或()00f x x <⎧⎨<⎩，又()()110f f -==，解得1x >或10x -<<，即()()1,01,x ∈-⋃+∞，故C 错误；对于D ，因R 上的偶函数()f x 的图象连续不断，且()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，R x ∀∈，()(0)f x f ≥，取实数m ，使得(0)m f ≤，则R x ∀∈，()f x m ≥，故D 正确.故选：BD.12.直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩的图象相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记为a ，b ，c ，d ，则下列结论正确的是（）A.[]3,4m ∈B.)40,eabcd ⎡∈⎣C.211,e e c ⎛⎤∈⎥⎝⎦D.56211e 2,e 2e e a b c d ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭【答案】BCD 【解析】【分析】画出函数的图象，利用数形结合思想，结合二次函数和对数函数的性质进行求解即可.【详解】函数的图象如下图所示：当0x ≤时，()2223(1)4f x x x x =--+=-++4≤，此时()30f x x =⇒=或2x =-；当20e x <≤时()2ln f x x =-，此时函数单调递减，当2e x >时()ln 2f x x =-，此时函数单调递增，此时()53e f x x =⇒=或1ex =，()64e f x x =⇒=或21e x =，直线y m =与函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩有四个不同的点，必有34m ≤<，此时256211210e e e e ea b c d -≤<-<≤<<≤<<≤<，其中2(1)2a b +=⨯-=-，且2223232ln ln 2a a b b c d m --+=--+=-=-=，因此有3ab m =-，42ln ln 2ln 4e c d cd cd -=-⇒=⇒=，显然[0,1)ab ∈，因此)40,eabcd ⎡∈⎣，所以选项A 不正确，选项B 、C 正确；因为2a b +=-，211e e c <≤56e e d <≤<，结合图象知：56211e 2e 2e ea b c d +-≤+++<+-，因此选项D 正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，得到a ，b ，c ，d 的取值范围是解题的关键.第II 卷非选择题部分，共90分三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数()()log 21a f x x =++（0a >且1a ≠），则函数()f x 恒过定点_____．【答案】()1,1-【解析】【分析】根据对数函数的知识求得定点坐标.【详解】由于()1log 111a f -=+=，所以函数()f x 恒过定点()1,1-.故选：()1,1-14.函数()212log 45y x x =--的递减区间为____________.【答案】()5,+∞【解析】【分析】由复合函数的单调性只需求出245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，从而求出答案.【详解】因为12log y u =在()0,∞+上单调递减，由复合函数的单调性可知，()212log 45y x x =--的递减区间为245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，解得5x >或1x <-，其中()224529u x x x =--=--在()5,+∞上单调递增，故()212log 45y x x =--的递减区间为()5,+∞.故答案为：()5,+∞15.如果关于x 的不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，则12123ax x x x ++的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系和基本不等式即可求解.【详解】不等式22630x ax a -+-≥的解集为[]12,x x ，其中常数0a >，所以12,x x 是方程22630x ax a -+=的实数根，0a >时，()222064324a a a ∆==-⨯>-，所以1221263x x a x x a +=⎧⎨=⎩，所以1212316a x x a x x a ++=+≥，当且仅当16a a =，即66a =时取等号，故12123ax x x x ++的最小值是故答案为：16.定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[][]124,2,2,1x x ∀∈--∃∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】求出()f x 在[]2,4上的值域，利用()()22f x f x +=得到()f x 在[]2,0-上的值域，再求出()g x 在[]2,1-上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a 的取值范围.【详解】当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，由于224(2)4y x x x =-+=--+为对称轴为2x =开口向下的二次函数，222x y x x x+==+，由对勾函数的性质可知，函数在(]3,4上单调递增，可得()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，()()()924,33,42f f f ===，()f x \在[]2,3上的值域为[]3,4，在(]3,4上的值域为119,32⎛⎤⎥⎝⎦，()f x \在[]2,4上的值域为93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()()()()()()11122,246248f x f x f x f x f x f x +=∴=+=+=+ ，故当[][]4,2,62,4x x ∈--+∈，()f x \在[]4,2--上的值域为39,816⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，31289116a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得516a ≥，故a 的范围是516a ≥；当0<a 时，()g x 为单调递减函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，31891216a a ⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得5;8a ≤-故a 的范围是58a -≤，综上可知故a 的范围是55,,816⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知集合{}2230A x x x =-->，{}40B x x a =-≤.（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）若A B = R ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()(]134∞--⋃，，（2）34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】（1）代入1a =，求解集合A ，B ，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合B ，由并集为全集得出集合B 的范围，从而求出a 的范围.【小问1详解】解：由2230x x -->得1x <-或3x >.所以()()13A ∞∞=--⋃+，，.当1a =时，(]4B ∞=-，.所以()(]134A B ∞⋂=--⋃，，.【小问2详解】由题意知(4B a ∞=-，].又()()13A ∞∞=--⋃+，，，因为A B = R ，所以43a ≥.所以34a ≥.所以实数a 的取值范围是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.计算（1）2ln3325(0.125)e -+++（24,=求11122a a a a --+-【答案】（1）（2）3±【解析】【分析】（1）直接利用指数幂的运算和对数的运算化简求值；（2）先求出114a a-+=，再求出1122a a --=±即得解.【小问1详解】解：原式=2333421--++（）=741++-.【小问2详解】解：4,=∴224,=1216a a -∴++=.114a a -∴+=.又112122()214212a a a a ---=+-=-=11-22a a ∴-=±.111223a a a a --+∴==±-.19.已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =+--.（1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明；（3）求不等式()1f x >的解集.【答案】（1）()2,2-（2）奇函数，证明见解析（3）18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；（3）根据对数函数的单调性进行求解．【小问1详解】要使函数()f x 有意义,则2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<，故所求函数()f x 的定义域为()2,2-；【小问2详解】证明：由（1）知()f x 的定义域为()2,2-，设()2,2x ∀∈-，则()2,2x -∈-,且()()()()lg 2lg 2-=-+-+=-f x x x f x ，故()f x 为奇函数；【小问3详解】因为()1f x >，所以()2lg12+=>-x f x x ，即2lg >lg102x x +-可得2102x x +>-，解得1811x >,又22x -<<，所以18211x <<，所以不等式()1f x >的解集是18,211⎛⎫ ⎪⎝⎭．20.科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1秒后染料扩散的体积是31cm ，2秒后染料扩散的体积是33cm ，染料扩散的体积y 与时间x （单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：①3x y m =，②3log y m x b =+，其中m ，b 均为常数．（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（2）若染料扩散的体积达到35cm ，至少需要多少秒．【答案】（1）选3log y m x b =+，22log 1y x =+（2）至少需4秒【解析】【分析】(1)根据两种函数模型的特点和题中染料实际扩散的速度选择模型，代入数据即可求出模型的解析式；(2)根据题干条件，列出不等式，解之即可求解.【小问1详解】因为函数3x y m =中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越快，二函数3log y m x b =+中，y 随x 的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即3log y m x b =+，由题意可得：33log 11log 23m b m b +=⎧⎨+=⎩，解得：212log 3b m =⎧⎨=⎩，所以该模型的解析式为：2322log 3log 12log 1y x x =+=+，【小问2详解】由（1）知：22log 1y x =+，由题意知：5y ≥，也即22log 15x +≥，则有22log 4x ≥，∴2log 2x ≥，∴4x ≥，∴至少需要4秒．21.已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且对一切0,0x y >>都有()()()x f f x f y y=-，当1x >时，有()0f x >；（1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明；（3）若(6)1f =，解不等式1(5)(2f x f x+-<；【答案】（1）f （1）＝0；（2）()f x 在（0，＋∞）上是增函数，证明见详解；（3）()0,4【解析】【分析】（1）利用赋值法即可求(1)f 的值；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，利用条件可得()()210f x f x ->，进而可得单调性；（3）结合函数单调性将不等式进行转化即可得到结论．【详解】解：令x ＝y ＞0，则f （1）＝f （x ）−f （x ）＝0，所以f （1）＝0；（2）任取12,x x ∈（0，＋∞），且12x x <，则()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为210x x >>，所以211x x >，则210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()210f x f x ->即()()21f x f x >，所以()f x 在（0，＋∞）上是增函数；（3）因为(6)1f =，所以36()(36)(6)6f f f =-，所以(36)2(6)2f f ==，由1(5)()2f x f x+-<，得[](5)(36)f x x f +<，所以5010(5)36x x x x +>⎧⎪⎪>⎨⎪+<⎪⎩，解得04x <<所以原不等式的解为()0,4．【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的关键，是中档题．22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.【解析】【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m>，所以1m >且101m <<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，1,2.所以m的取值范围是()【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：f x中分1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；。

襄阳2023-2026届高一上学期12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.已知角α的终边经过点()3,4-，则cos α的值为（）A.35 B.45-C.35±D.45±【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为角α的终边经过点()3,4-，所以3cos 5α==.故选：A.2.在平面直角坐标系中，点()tan 2023,sin 2023P ︒︒位于第（）象限.A.一B.二C.三D.四【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式判断得P 点坐标的符号，从而得以判断.【详解】因为()tan 2023tan 5360223tan 2230︒=⨯︒+︒=︒>，()sin 2022sin 5360222sin 2220︒=⨯︒︒+︒=<，所以()tan 2023,sin 2023P ︒︒在第四象限；故选：D.3.函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,e D.()e,3【答案】D 【解析】【分析】由题意可知()f x 在()0,∞+递增，且()()e 0,30f f ，由零点存在性定理即可得出答案.【详解】易判断()f x 在()0,∞+递增，()()3e lne 0,3ln310ef f =-=-.由零点存在性定理知，函数()3ln f x x x=-的零点所在的大致区间为()e,3.故选:D.4.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg 20.3010≈，lg30.4771≈，设4054N =⨯，则N 所在的区间为（）A.()101110,10 B.()111210,10C.()121310,10 D.()131410,10【答案】C 【解析】【分析】先求出lg N 的值，结合选项即可判断．【详解】4051020423N =⨯=⨯，()10200lg lg 10lg 1002.30103220lg 3200.477112.552N ⨯≈⨯==+⨯=+，所以N 所在的区间为()121310,10.故选：C5.已知奇函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，且对任意两个不相等的正实数12,x x ，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，在下列不等式中，一定成立的是（）A.()()12f f ->-B.()()12f f -<-C.()()21f f -> D.()()21f f -<【答案】A 【解析】【分析】由题意得到()f x 在()0,∞+单调递增，可得到()()12f f <，结合奇函数的性质即可得解.【详解】因为对任意两个不相等的正实数12,x x ，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在()0,∞+单调递增，则()()12f f <，因为()f x 是定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 的奇函数，则()()()()11,22f f f f =--=--，所以()()12f f --<--，即()()12f f ->-，故A 正确，B 错误；而CD ，由于()f x 不连续，故无法判断()()2,1f f -的大小关系，故CD 错误.故选：A.6.已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<bD.b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.【详解】∵2333332log 3log log log 23c a ====，∴c a >，又2344442ln 3log 4log log log 33ln 4c b =====，∴c b <，∴a c b <<．故选：B ．7.设a 为实数，若关于x 的不等式270x ax -+≥在区间()2,7上有实数解，则a 的取值范围是（）A.(),8∞- B.(],8∞-C.(,-∞ D.11,2⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.【详解】由题意，因为()2,7x ∈，故7a x x ≤+在区间()2,7上有实数解，则max 7a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，又()7g x x x =+在(上单调递减，在)上单调递增，且()7112222g =+=，()()777827g g =+=>，故78x x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭.故7a x x ≤+在区间()2,7上有实数解则8a <.故选：A8.已知1,0,0x y x y +=>>，则121xx y ++的最小值为（）A.43B.54C.1D.3【答案】B 【解析】【分析】结合“1”的代换和基本不等式求解即可.【详解】因为1,0,0x y x y +=>>，所以()21212152122224244244x y x x y x x x x y x x y x x y x y x y x x y x x y x x y ++++++=+=+=+=++³+=+++´+++，当且仅当242x y x x x y +=+时，即21,33x y ==时，取等号.故选：B二、多选题9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则（）A.()f x 的最小值为1- B.()f x 在()1,1-上单调递减C.()0f x ≤的解集为(][],20,2-∞-⋃ D.存在实数x 满足()()2f x f x +=-【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可以写出函数()f x 的解析式，进而判断函数单调性即可判断AB ；画出函数的图形即可判断C ，特殊值代入即可得D.【详解】由题意可知当0x <时，()()()2222f x f x x x x x=--=-+=--即()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩所以，函数()f x 的图像如下：显然，函数()f x 没有最小值，故A 错误；根据函数图像可得()f x 在()1,1-上单调递减，故B 正确；令()0f x ≤得(][],20,2-∞-⋃，故C 正确；由图可知，令0x =得()()200f f ==，故D 正确.故选：BCD.10.下列说法正确的是（）A.若,a b n >为正整数，则n n a b >B.若0,0b a m >>>，则a m ab m b+>+C.22222a ba b ++≥D.若0απ<<，则0sin 1α<<【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式性质、基本不等式及正弦函数的图象性质逐个选项判断即可得到答案．【详解】对于A ，若1,1,2a b n ==-=，则n n a b =，故A 错误；对于B ，0,0b a m >>>时，a m aab bm ab am b a b m b+>⇔+>+⇔>+，故B 正确；对于C ，由20,20a b >>，则2222222a b ab a b ++≥⨯=⨯，当且仅当a b =时取等号，故C 正确；对于D ，当π2α=时，πsin 12=，故D 错误；故选：BC ．11.某同学在研究函数()()1||xf x x x =∈+R 性质时，给出下面几个结论，其中正确的结论有（）A.函数()f x 的图象关于点(0,0)对称B.若12x x <，则()()12f x f x >C.函数()f x 的值域为(1,1)-D.函数()()2xg x f x =-有三个零点【答案】ACD 【解析】【分析】利用奇函数的定义判断选项A ；按0x ≥和0x <时分别化简()f x ，结合反比例函数的性质可得函数的单调性和值域，判断选项B 和C ；将函数零点问题转化为方程根，直接求解判断选项D ．【详解】因为函数()f x 的定义域为全体实数，()()1||1||x xf x f x x x --==-=-+-+，所以()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确；当0x ≥时，1()111x f x x x ==-++，显然函数单调递增，此时0()1f x ≤<.当0x <时，1()111x f x x x==-+--，显然函数单调递增，此时()10f x -<<.因此函数()f x 在R 上是单调递增的，值域为()1,1-，因此B 错误，C 正确；由()()0()0221||2x x x x g x f x f x x x =-=⇒=⇒=⇒=+或1x =或=1x -，所以D 正确，故选：ACD .【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的零点，考查学生运算求解能力，函数零点的求法主要有两种：1.代数法：求方程()0f x =的实数根；2.几何法：对于不能用求根公式的方程，可以画出()y f x =的图象，或者转化为两个图象的交点问题．12.已知函数()()()1101xf x x x x =--⋅>，()()()1lg 1g x x x x x =--⋅>的零点分别为12,x x，则（）A.1210x x ⋅<B.12lg x x =C.12111x x += D.124x x +>【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数10x y =，lg y x =与1xy x =-的图象关于直线y x =对称建立12,x x 的关系，从而逐项分析判断即可得解.【详解】因为()()()1101xf x x x x =--⋅>，()()()1lg 1g x x x x x =--⋅>，令()0f x =，()0g x =，得101x x x =-，lg 1x x x =-，因为10x y =与lg y x =互为反函数，所以它们的图象关于直线y x =对称，因为1111x y x x ==+--，所以由1y x=的图象向右向上各平移一个单位得到1xy x =-图象，故函数1xy x =-的图象关于直线y x =对称，即可知点,A B 关于直线y x =对称，作出1xy x =-，10x y =与lg y x =的大致图象，如图，由图象可知A 的横坐标为1x ，B 的横坐标为2x ，对于A ，由上述分析得121110,xx x =>，则11010x >，所以11211010xx x x ⋅=⋅>，故A 错误；对于B ，由上述分析得212212lg ,11x x x x x x ==>>-，故B 正确；对于C ，由2112122121111x x x x x x x x x =⇒=+⇒+=-，故C 正确；对于D ，()211212122124121x x x x x x x x x x ⎛⎫+=+=≥++⎪++⎝⎭，当且仅当2211x x x x =，即122x x ==时，等号成立，显然(2)2lg 20g =-≠，则22x ≠，故等号不成立，所以124x x +>，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是理解指数函数10x y =与对数函数lg y x =互为反函数，其图象关于y x =对称，而1x y x =-的图象也关于y x =对称，从而得解.三、填空题13.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为______________；【答案】6【解析】【分析】根据扇形面积公式21122S lr r α==求解即可.【详解】扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则扇形的半径623r ==，所以该扇形的面积162S lr ==.故答案为：6【点睛】此题考查求扇形的面积，根据圆心角、半径、弧长的关系求解.14.已知函数()()log 21a f x x =++（0a >，且1a ≠）的图像恒过点P ，若点P 是角θ终边上的一点，则sin θ=______________.【答案】2【解析】【分析】利用对数函数的性质求得定点P ，再利用三角函数的定义即可得解.【详解】因为()()log 21a f x x =++（0a >，且1a ≠）的图像恒过点P ，令21x +=，则=1x -，1y =，所以()1,1P -，所以sin 2θ==.故答案为：2.15.已知函数()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则满足不等式()31log 9f x <的x 的取值范围是___________.【答案】10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，然后利用奇偶性的性质和单调性解不等式即可.【详解】因为()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以其定义域为{}0x x ≠，又()()22()1111ln ln 33x x f x x x f x -++⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，当0x >时，()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2113x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭和ln y x =-在()0,∞+上均单调递减，所以()211ln 3x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，又()119f =，所以()31log 9f x <可化为()3log (1)f x f <，所以()()3log 1fx f <，则3log 1x >，则3log 1x <-或3log 1x >，解得103x <<或3x >，所以不等式的解集为10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：10,(3,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.16.已知函数()f x 的定义域为[)0,∞+，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,0,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点的和为16，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】[)7,9【解析】【分析】函数()()122x g x f x -=-的零点转化为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标，作出它们的图象，观察图象可得结果.【详解】函数()()122x g x f x -=-的零点即为函数()y f x =的图象与函数122x y -=的图象的交点的横坐标，因为()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,0,x x f x x x f x x ∞⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+⎩，先利用指数函数与对数函数的性质作出函数()y f x =在区间[0,2)上的图象，又当2x ≥时，()2(2)f x f x =-，即每过两个单位，将()f x 的图象向右平移2个单位，同时将对应的y 坐标变为原来的两倍，再作出函数122(0)x y x -=≥的图象，如图所示：由图象可得：11x =，23x =，35x =，L ，21n x n =-，则()2113521nii xn n ==++++-=∑ ，因为()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点的和为16，所以216n =，得4n =，结合图象，可得实数a 的取值范围是[)7,9.故答案为：[)7,9.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是作出()f x 的大致图象，从而利用数形结合即可得解.四、解答题17.已知函数()f x =的定义域为集合A ，集合{}|211B x m x m =-<≤+.（1）当0m =时，求A B ⋃；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}14x x -<≤（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）先利用具体函数定义域与指数函数解不等式求得集合A ，从而利用集合的并集运算即可得解；（2）由题意得到B 是A 的真子集，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，根据集合的包含关系即得解.【小问1详解】因为()f x =，所以1620210x x ⎧-≥⎨->⎩，解得142x <≤，所以142A x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，当0m =时，集合{11}B x x =-<≤，所以14}A B x x ⋃=-<≤.【小问2详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，因为{}|211B x m x m =-<≤+，当B =∅时，211m m -≥+，解得2m ≥，符合题意；当B ≠∅时，则211121214m m m m -<+⎧⎪⎪-≥⎨⎪+≤⎪⎩（等号不同时成立），解得324m ≤<，综上，34m ≥，故m 的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知集合(){}22log 2log 0A x x x =⋅≤.（1）求集合A ；（2）求函数()2144x x y x A +=+∈的值域.【答案】（1）112A xx ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）[]18,68.【解析】【分析】（1）根据对数函数的单调性得到22log 0log 2x x ≤≤且0x >，由此求解出x 的取值范围，则集合A可知；（2）采用换元法令[]42,4xt =∈，将函数变形为关于t 的二次函数，根据二次函数的对称轴以及开口方向确定出单调性并求解出最值，由此可求函数的值域.【详解】（1）因为()22log 2log 0x x ⋅≤，且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 0log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以222log log 1log 20x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以120x x x ≤≤⎧⎨>⎩，所以112A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）因为21144,12x x y x +⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()2444x x y =⋅+，令[]42,4x t =∈，所以24y t t =+，对称轴为18t =-且开口向上，所以22max min 44468,42218y y =⨯+==⨯+=，所以函数的值域为[]18,68.19.设a 为实数，给定区间I ，对于函数()f x 满足性质P ：存在x I ∈，使得()()21f x f x ≥+成立.记集合()(){|M f x f x =具有性质}P ..（1）设[)()0,,I f x =+∞=，判断()f x M ∈是否成立并说明理由；（2）设(]()20,1,log I g x a x ==+，若()g x M ∈，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x M ∈，理由见解析（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）利用函数满足性质P 的定义取值判断并说理即可；（2）根据函数满足性质P 的定义，将问题转化为能成立问题，从而得解.【小问1详解】()f x M ∈，理由如下：因为[)()0,,I f x =+∞=，取1x =，此时()()2122f f =>=，所以()f x M ∈.【小问2详解】因为(]()20,1,log I g x a x ==+，()g x M ∈，所以存在(]0,1x ∈，使得()()()222122log log 1g x g x a x a x ≥+⇒+≥++，所以221log x a x +≥，令()()221log 01x h x x x +=<≤，令22211111124x t x x x x +⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭，因为01x <≤，所以11x ≥，所以2211111122424t x ⎛⎫⎛⎫=+-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()[)1,h x ∈+∞，则1a ≥，所以a 的取值范围[)1,+∞.20.已知定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()f x 满足()()()1f xy f x f y +=+，且()f x 在()0,∞+上单调递减．（1）证明：函数()f x 是偶函数；（2）解关于x 的不等式()()122f x f -+≥．【答案】（1）证明见解析；（2）13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ .【解析】【分析】（1）利用赋值法及偶函数的定义计算即可；（2）根据（1）的结论及函数的性质计算即可.【小问1详解】令1x y ==得()()()1111f f f +=+，即()11f =；令1x y ==-得()()()1111f f f +=-+-，即()11f -=．令1y =-得()()()11f x f x f -+=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数得证；【小问2详解】由已知定义()()()12221f x f f x -+=-+，所以()()122f x f -+≥即()221f x -≥，所以()()221f x f -≥，因为()f x 是偶函数，且在()0,∞+单调递减，所以()22131122220x x x x ⎧-≤⇒≥≥≠⎨-≠⎩，即()()122f x f -+≥的解集为13,11,22⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦．21.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩（2）生产量为5千件时，最大利润为6万元【解析】【分析】（1）设利润是y （万元），由y S C =-即可得利润关于生产量x 的函数；（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.【小问1详解】设利润是y （万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，则1835(3),06814(3),6x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩，所以1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩.【小问2详解】当06x <<时，189222(8)1888y x x x x ⎡⎤=++=--++⎢⎥--⎣⎦186≤-=，当988x x-=-，即5x =时，max 6y =，当6x ≥时，11y x =-是减函数，6x =时，max 5y =，所以当5x =时，max 6y =，所以生产量为5千件时，最大利润为6万元.22.已知函数()1ln1x f x x -=+.（1）求不等式()()()ln 20f f x f +>的解集；（2）函数()()20,1x g x aa a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()()ln 1h x x x =--在区间()1,+∞单调递减.试判断()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是否恒成立，并说明理由.【答案】（1）1e 1,3e 1-⎛⎫ ⎪+⎝⎭（2）()2,+∞（3）恒成立，理由见解析【解析】【分析】（1）先求出()f x 的定义域，判断其奇偶性及单调性，从而将所求不等式化为111lnln 12x x --<<+，由此得解；（2）将问题转化为()f x 和()g x 在[)0,1x ∈上的值域的交集不为空集；分类讨论1a >和01a <<两种情况，分别求出两函数的值域，从而得解；（3）将问题转化为判断ln(21)20n n -++>，再利用()()ln 1h x x x =--的单调性即可得解.【小问1详解】因为()1ln 1x f x x -=+，由101x x ->+，可得11x -<<，即()f x 的定义域为()1,1-；又()()l 111ln n 1x f x f x x x x +-==-+-=--，所以()f x 为奇函数，当01x <<时，易得()1ln12ln 11f x x x x ⎛⎫==-+ ⎪+⎝-⎭+单调递减，所以()f x 在()1,1-上单调递减，且()f x 的值域为R ，不等式()()()ln 20f f x f +>，可化为()()()()ln 2ln 2f f x f f >-=-，所以()()11ln 2f x f x ⎧-<<⎪⎨<-⎪⎩，即()1ln 2f x -<<-，即111ln ln 12x x --<<+，即111e 12x x -<<+，解得1e 13e 1x -<<+，则原不等式的解为1e 1,3e 1-⎛⎫ ⎪+⎝⎭；【小问2详解】函数()()20,1x g x a a a =->≠，若存在[)12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则()f x 和()g x 在[)0,1x ∈上的值域的交集不为空集；由（1）可知：01x ≤<时，()1ln12ln 11f x x x x ⎛⎫==-+ ⎪+⎝-⎭+单调递减，所以()f x 的值域为(],0-∞；若1a >，则()2x g x a =-在[)0,1上单调递减，所以()g x 的值域为(]2,1a -，此时只需20a -<，即2a >，所以2a >；若01a <<，则()2xg x a =-在[)0,1上单调递增，可得()g x 的值域为[)1,2a -，此时[)1,2a -与(],0-∞的交集显然为空集，不满足题意；综上，实数a 的范围是()2,+∞；【小问3详解】()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 恒成立，理由如下：因为2121ln l 2n 1212111n n f n nn ⎛⎫ -⎪⎝-==++⎭，所以1111135ln ln l 1n 2462l 223n 157f n f f f n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎝⎭+ ()211ln ln 2111351ln 35722n n n n -⎛=⨯⨯⨯⨯⎫==-+ ⎪++⎝⎭，因为()()ln 1h x x x =--在区间()1,+∞单调递减，所以当1x >时，()(1)0h x h <=，所以(21)0h n +<，即[]1n(21)(21)10n n +-+-<，即ln(21)20n n +-<，所以ln(21)20n n -++>，即()*111120N 2462f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++>∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点睛：解函数不等式，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.。

武汉2023级高一12月月考数学试卷（答案在最后）一、单选题1.函数()ln 8f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()4,5 B.()5,6 C.()6,7 D.()7,8【答案】C 【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数ln ,8y x y x ==-在()0,∞+上都是增函数，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，因为()()6ln620,7ln710f f =-<=->，所以()f x 的零点所在的区间为()6,7.故选：C .2.已知函数()()2,21,23x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则3(1log 5)f -+的值为（）A.115B.53C.15D.23【答案】A 【解析】【分析】根据解析式求解即可.【详解】()()()3log 15333311(1log 5)1log 521log 5log 15315f f f f ⎛⎫-+=-++=+===⎪⎝⎭.故选：A ．3.已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系e kx b y +=（y 为保鲜时间，x 为储存温度），若该食品在冰箱中0C ︒的保鲜时间是144小时，在常温20C ︒的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40C ︒的保鲜时间是（）A.16小时B.18小时C.20小时D.24小时【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得20144e 1e 3b k⎧=⎪⎨=⎪⎩，然后整体代入计算即可.【详解】由题意，得20144e 48e bk b +⎧=⎨=⎩，即20144e 1e3bk⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当40(C)x =︒时，()2240201e e e 144163k b k b y +⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭（小时）.故选：A4.函数()()e e 101x xf x x -+=-的大致图象是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的奇偶性证明函数()f x 为偶函数；分别求出1()0,(2)02f f <>，利用排除法，结合选项即可求解.【详解】函数()f x 的定义域为{}1x x ≠±，关于原点对称，e e ()()10(1)x xf x f x x -+-==-，则函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C ；又1122221e e e e (0,(2)0121010(1)2f f --++=<=>-，故排除AB ，D 符合题意.故选：D.5.幂函数()f x 图象过点22⎛⎫⎪⎝⎭，则()()2y f x f x =+-的定义域为（）A.(0,2) B.(0,2]C.[0,2]D.(2,2)-【答案】A 【解析】【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到020x x >⎧⎨->⎩，解得答案.【详解】设幂函数为()af x x =，则()222af ==，故12a =-，()12f x x -=，则()f x 的定义域为()0,∞+，故()()2y f x f x =+-满足020x x >⎧⎨->⎩，解得02x <<.故选：A6.若01a b <<<，b x a =，a y b =，b z b =，则x ，y ，z 的大小关系为（）A.x z y <<B.y x z<< C.y z x<< D.z y x<<【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数x y b =以及幂函数b y x =的单调性比较出,,x y z 之间的大小关系.【详解】因为x y b =在()0,+¥上单调递减，所以ab bb >，即y z >，又因为b y x =在()0,+¥上单调递增，所以b b a b <，即x z <，所以x z y <<，故选：A.【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数y x α=当0α>时在()0+∞，上单调递增.7.“2a >”是“函数()()2log 3a f x ax x a =-+在区间(1,)+∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数的单调性之间的关系由对数函数初步确定a 的范围，再结合基本不等式和充分必要条件判断.【详解】由题设易知0a >，且1a ≠，设23t ax x a =-+，则函数23t ax x a =-+开口向上且对称轴为32x a=，所以23t ax x a =-+在3,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，log a y t =为增函数，所以1a >．要使()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(31,,)2a ⎛⎫+∞⊆+∞ ⎪⎝⎭，即312a ≤，所以32a ≤，要使230ax x a -+>对(1,)x ∈+∞恒成立，分离参数a 可得，23311x a x x x>=++，因为12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但(1,)x ∈+∞，所以3312x x<+所以32a ≥．综上，32a ≥．所以“2a >”是“函数()f x 在(1,)+∞上单调递增”的充分不必要条件，故选：A ．8.设函数()()2321log 1f x x x =-+-，不等式()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(],2-∞ C.35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，从而可得()322log g x x x =+，进而判断函数()g x 的奇偶性与单调性，从而把问题转化为()()12-≤+g ax g x 在(]1,2x ∈上恒成立，结合函数()g x 的奇偶性与单调性可得12ax x -≤+，即212--≤-≤+x ax x ，参变分离后结合最值即可求解.【详解】设()()1g x f x =+，即()()1g x f x -=，因为()()2321log 1f x x x =-+-，所以()3212log 1f x x x =-+-，所以()322log g x x x =+，定义域为R ，由()()322log g x x x g x -=-+-=，所以函数()y g x =为偶函数，因为当0x >时，()322log g x x x =+为单调递增函数，所以当0x <时，()y g x =为单调递减函数，因为()()3f ax f x ≤+在(]1,2x ∈上恒成立，所以()()12-≤+g ax g x ，根据函数()g x 的奇偶性与单调性得，12ax x -≤+.又因为(]1,2x ∈，所以212--≤-≤+x ax x ，即1311--≤≤+a x x ，即max min1311a x x ⎛⎫⎛⎫--≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为函数11y x =--在(]1,2x ∈上单调递增，所以当2x =时，max 1312x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，又因为函数31=+y x 在(]1,2x ∈上单调递减，所以当2x =时，max 3512⎛⎫+= ⎪⎝⎭x ，所以3522a -≤≤.故选：C.二、多选题9.下列命题中正确的是（）A.方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根B.若函数2()f x x ax b =++，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭C.如果函数1y x x=+在[,]a b 上单调递增，那么它在[,]b a --上单调递减D.若函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称，则函数()y f x a b =+-为奇函数【答案】ABD 【解析】【分析】分析函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上的单调性，结合零点存在定理可判断A 选项的正误；利用作差法可判断B 选项的正误；利用奇函数与单调性之间的关系可判断出C 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，函数112xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,1上为减函数，函数22y x =在区间()0,1上为增函数，所以，函数212xy x ⎛⎫ ⎪⎭-⎝=在区间()0,1上为减函数，021002⎛⎫-> ⎪⎝⎭ ，121102⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以，函数212xy x ⎛⎫⎪⎭-⎝=在区间()0,1上有且只有1个零点，即方程在2102xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,1)上有且只有1个实根，A 选项正确；()()()22212121212112222222f x f x a x x x x x x x ax b x ax b f b +++++++++⎛⎫⎛⎫-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2222221212121212220444x x x x x x x x x x +-+---===-≤，B 选项正确；对于C 选项，令()1f x x x=+，定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()1f x x x =+为奇函数，由于该函数在区间[],a b 为增函数，则该函数在区间[],b a --上也为增函数，C 错误；对于D 选项，由函数()y f x =的图象关于点(),a b 对称，则()()2f a x f a x b ++-=，令()()g x f x a b =+-，定义域为R ，且()()()()220g x g x f x a b f x a b b b -+=-+-++-=-=，即()()g x g x -=-，所以，函数()y f x a b =+-为奇函数，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛:本题第一问的关键是结合函数的单调性和零点存在定理，判断函数的零点个数，从而判断方程根的个数；第二问的关键是计算整理的准确性；第三问的关键是求出函数的奇偶性，由奇函数单调性的特点进行判断；第四问的关键是由对称性写出()()2f a x f a x b ++-=.10.已知x ，y 是正数，且21x y +=，下列叙述正确的是（）A.xy 最大值为18B.224x y +的最小值为12C.()x x y +最大值为14D.22x yxy+最小值为4【答案】AB 【解析】【分析】选项ABC 直接利用基本不等式求解即可；选项D 将原式乘以2x y +后展开，利用基本不等式求解.【详解】对于A ，2112122228x y xy xy +⎛⎫=⋅≤⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故A 正确；对于B ，()22242414x y x y xy xy +=+-=-，由选项A 得18xy ≤，则22114141482x y xy +=-≥-⨯=，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时等号成立，故B 正确；对于C ，()2221224x x y x y x x y +++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当x x y =+，即1,02x y ==时等号成立，又x ，y 是正数，故等号不成立，故C 错误；对于D ，()211119222255222x y y x xy x y x y x y x y ⎛⎫+=+=++≥+ ⎪+=+⎝⎭，当且仅当y x x y =，即13x y ==时等号成立，故D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11.已知53a =，85b =，则（）A.a b <B.112a b+> C.11a b a b+<+ D.b aa ab b +<+【答案】ABD 【解析】【分析】根据条件求得,a b 表达式，根据对数性质结合放缩法得A 正确，根据不等式性质得B 正确，通过作差法判断C 错，结合指数函数单调性与放缩法可得D 正确．【详解】解：∵53a =，85b =，∴35log a =，58log b =，因为3344435533535log 3log 54<⇒<⇒<=，又由3344438835858log 5log 84>⇒>⇒>=，所以a b <，选项A 正确；35lo 01g a <=<，580log 1b <=<，则11a >，11b >，所以112a b +>，选项B 正确；因为a b <，01a b <<<，则0b a ->，11ab>，此时111()()10b a a b a b b a a b ab ab -⎛⎫⎛⎫+-+=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11a b a b +>+，故选项C 不正确；由1324a <<和314b <<知()x f x a =与()xg x b =均递减，再由a ，b 的大小关系知b b a b a b a a b b a b a a b b <<⇒<⇒+<+，故选项D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．12.已知函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩，若方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，则（）A.104k <<B.23e ex << C.121x x +=- D.21234e 04x x x x <<【答案】ACD 【解析】【分析】作出函数()f x 的图象，将零点问题转化为函数图像的交点问题，结合图像即可判断A ；结合对数函数性质可判断B ；结合二次函数图象的性质可判断C ；结合对数函数性质以及基本不等式可判断D.【详解】画出函数()21,04|ln 1,0x x x f x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-⎩的图像如下：要使方程()(R)f x k k =∈有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为1234,,,x x x x ，转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点，由图象，得104k <<，故A 正确；当0x <时，21()4f x x x =++，则1212()12x x +=⨯-=-，故C 正确；当0e x <<时，令1()4f x =，即11ln 4x -=，解得34e x =，343e e x ∴<<，故B 错误；∵34ln 1ln 1x x -=-，34e x x <<，∴341ln ln 1x x -=-，即4334ln ln 2ln x x x x ==+，则234e x x =，又120x x <<，22121212121()()()()224x x x x x x x x --+=-⋅-<=-=，∵120x x >，∴21234e 04x x x x <<，故D 正确，故选：ACD ．【点睛】方法点睛：将方程()(R)f x k k =∈有四个不同的零点问题转化为函数()f x 的图象与y k =有四个不同的交点问题，数形结合，结合合基本不等式，即可解决问题.三、填空题13.已知1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，7log 4b =，则a ，b 表示49log 48=______．【答案】12a b +【解析】【分析】先根据指数式与对数式的互化求出a ，再根据对数的运算性质计算即可.【详解】由1173a⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1771log log 33a ==，则()()49777771111log 48log 48log 3log 16log 32log 42222a b ==+=+=+.故答案为：12a b +.14.函数()()22log 2log 1f x x x =-+值域为__________.【答案】(],2-∞-【解析】【分析】确定函数定义域为()0,∞+，变换()21log 12f x x x=++，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】函数()()22log 2log 1f x x x =-+的定义域为()0,∞+，()()()2222221log 2log 1log log log 112xf x x x x x x =-+==≤+++21log 24==-，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，故值域为(],2-∞-.故答案为：(],2-∞-.15.已知函数())()()()2ln 4R ,ln log e 5f x x ax a f =++∈=，则()()ln ln2f 的值为__________.【答案】3【解析】【分析】根据条件，构造奇函数())()4lnG x f x x ax =-=+，根据条件，利用换底公式得(ln(ln 2))5f -=，再利用()G x 的奇偶性即可求出结果.2,00,0x x x x x x x ≥⎧+>=+=⎨<⎩0x >恒成立，又())ln 4f x x ax =++，所以())4ln f x x ax -=+，令())()4lnG x f x x ax =-=+，易知()G x 的定义域为R ，又))()22()()ln ln ln 10G x G x x ax x ax x x -+=-++=+-=，所以()G x 为奇函数，又()()21ln log e (ln())(ln(ln 2))5ln 2f f f ==-=，所以(ln(ln 2))(ln(ln 2))4541G f -=--=-=，得到(ln(ln 2))1G =-，又(ln(ln 2))(ln(ln 2))41G f =-=-，所以()()ln ln23f =，故答案为：3.16.对于函数()f x 和()g x ，设(){}0x f x α∈=，(){}0x g x β∈=，若存在α，β，使得7αβ-≤，则称函数()f x 和()g x 互为“零点相伴函数”，若函数()()ln 89f x x x =-+-与()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+互为“零点相伴函数”，则实数a 的取值范围为______.【答案】151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 的单调性结合()90f =，得9α=，则可得216β≤≤，则由已知可得方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t +=+，2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，然后结合对勾函数的性质可求出结果.【详解】因为()()ln 89f x x x =-+-在(8,)+∞上单调递增，且()90f =，所以9α=，由7αβ-≤，得97β-≤，得216β≤≤，所以由题意可知()()()222log 1log 3g x x a x =-+⋅+在区间[2,16]上存在零点，即方程()()222log 1log 30x a x -+⋅+=在区间[2,16]存在实数根，由()()222log 1log 30x a x -+⋅+=，得()22222log 331log log log x a x x x ++==+，令2log (14)t x t =≤≤，则31a t t+=+，根据对勾函数的性质可知函数3()h t t t =+在上递减，在4]上递增，因为19(1)4,(4)4h h h ===，所以19()4h t ≤≤，所以1914a ≤+≤，解得1514a ≤≤，即实数a的取值范围为151,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：151,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是准确理解“零点相伴函数”的定义，结合零点的定义和对勾函数的性质可求得答案，考查数学转化思想，属于较难题.四、解答题17.（1）若11223x x -+=，求3317x x x x --+++的值.（2）求值：432lg 4lg 9log 9log 2111lg 0.36lg823++⨯++.【答案】（1）23；（2）3.【解析】【分析】（1）由指数幂的运算性质求得17x x -+=，依次求得2247x x -+=、33322x x -+=，即可得结果；（2）根据对数的运算性质化简求值.【详解】（1）因为11223x x -+=，所以21112229x x x x --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，得17x x -+=.所以()2122249x xx x --+=++=，得2247x x -+=.所以()()()3312217471322x x x x x x ---+=+-+=⨯-=，所以33132223777x x x x --+==+++.（2）原式()()223232lg 169lg16lg 9log 3log 2log 3log 2lg10lg 0.6lg 2lg 100.62⨯+=+⨯=+⨯++⨯⨯223lg12log 3log 2213lg12=+⨯=+=.18.已知函数()xf x a b =+（0a >，且1a ≠）的部分图象如图示．（1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的不等式()120xx b m a ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭在[)1,+∞上有解，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()122x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）[)6,+∞．【解析】【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解；（2）将问题转化为24x x m +≤在[)1,+∞有解，结合函数的单调性即可得解.【小问1详解】由图象可知函数()x f x a b =+经过点()1,0-和()0,1-，所以1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以函数()f x 的解析式是()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由（1）知12a=，24b -=，根据题意知240x x m +-≤，即24x x m +≤在[)1,+∞有解，设()24x x g x =+，则()min g x m ≤，因为2x y =和4x y =在[)1,+∞上都是单调递增函数，所以()g x 在[)1,+∞上是单调递增函数，故()()min 16g x g ==，所以6m ≥，实数m 的取值范围是[)6,+∞．19.已知函数()1421x x f x a a +=-⋅++.（1）若2a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若(),0x ∈-∞时，不等式()2f x a <-恒成立，求a 的取值范围.【答案】19.()20,log 3；20.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）由题设()()21230x x --<，利用指数函数性质及指对数关系求解集；（2）由题设得()()212210x x a --+<，进而可得221x a <+在(),0x ∈-∞恒成立求参数范围.【小问1详解】当2a =时，可得()()()44232123x x x x f x =-⋅+=--，由()0f x <，得()()21230x x --<，可得123x <<，解得20log 3x <<，因此，当2a =时，不等式()0f x <的解集为()20,log 3；【小问2详解】因为14212x x a a a +-⋅++<-，即422210x x a a -⋅+-<，()()212210x x a --+<，当0x <，则210x -<，可得2210x a -+>，可得221x a <+，而()211,2x +∈，则21a ≤，解得12a ≤，因此，实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；20.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量M 之间的关系为225log 10M v a b -=+（其中a ，b 是常数），据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为65个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1m/s .（1）求120202020log a b ++的值；（2）若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于3m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位?【答案】（1）12020（2）345【解析】【分析】（1）根据题意列方程求出,a b 的值，代入120202020log a b ++中可求得结果，（2）由题意得2252log 310M v -=-+≥，解不等式可得答案.【小问1详解】由题意可得,265250log 10a b -=+,化简得20a b +=①,2105251log 10a b -=+,化简得31a b +=②,联立①②,解得2,1a b =-=，所以112020202012020log 2020log 12020a b +-+=+=【小问2详解】由（1）得,2252log 10M v -=-+,根据题意可得,2252log 310M v -=-+≥,即225log 510M -≥，得253210M -≥，解得345M ≥.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于3m/s,则其耗氧量至少要345个单位.21.已知函数()()2log 416(0a f x mx x a =-+>且1)a ≠.（1）若()f x 的值域为R ，求m 的取值范围.（2）试判断是否存在R m ∈，使得()f x 在[]2,4上单调递增，且()f x 在[]2,4上的最大值为1.若存在，求m 的值（用a 表示）；若不存在，请说明理由.【答案】（1）10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）首先设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，根据对数函数定义域和值域的关系，可得()0,D +∞⊆，讨论m 的取值，结合二次函数的性质，即可求解；（2）分0m <，0m =和0m >三个大类讨论函数的单调性和最值，判断是否存在实数m 的值.【小问1详解】设函数()2416g x mx x =-+的值域为D ，因为()f x 的值域为R ，所以()0,D +∞⊆.当0m =时，()416g x x =-+的值域为R ，符合题意.当0m ≠时，由0Δ16640m m >⎧⎨=-≥⎩，解得104m <≤.综上，m 的取值范围为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当0m =时，()416g x x =-+，因为()40g =，所以0m =不符合题意，舍去.当0m <时，()4160g m =<，不符合题意.下面只讨论0m >的情况.若1a >，则()g x 在[]2,4上单调递增，由22m≤，解得m 1≥，此时()()()248160,4log 161a g m f m =-+>==，得116a m =≥，即当16a ≥时，存在16a m =，符合题意，当116a <<时，不存在符合题意的m .若01a <<，则()g x 在[]2,4上单调递减，由24m ≥，解得102m <≤，此时()()()41616160,4log 161a g m f m =-+>==，得16a m =，则当1016201a a ⎧<≤⎪⎨⎪<<⎩，即01a <<时，存在16a m =，符合题意.综上，当16a ≥或01a <<时，存在16a m =，符合题意；当116a <<时，不存在符合题意的m .【点睛】关键点点睛：本题考查对数函数的值域，单调性，最值的综合应用问题，结合对数型复合函数单调性的判断方法，以及二次函数单调性的讨论，可由函数的单调性求函数的最值.22.已知a R ∈，函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）若关于x 的方程()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（2）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）(]{}1,23,4 （2）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）化简得()1425a a x a x+=-+-，再讨论解集中恰好有一个元素，得到a 的取值范围；（2）由题得()()11f t f t -+≤，即即()2110at a t ++-≥，由二次函数的单调性可得出答案.【小问1详解】由()()2log 4250f x a x a --+-=⎡⎤⎣⎦即()221log log 425a a x a x ⎛⎫+=-+-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭等价于()()4250101425a x a a x a a x a x⎧⎪-+->⎪⎪+>⎨⎪⎪+=-+-⎪⎩,即()()2451010a x a x a x ⎧-+--=⎪⎨+>⎪⎩当4a =时，=1x -，经检验，满足题意.当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意.当3a ≠且4a ≠时，121211,1,.4x x x x x a ==-≠-是原方程的解当且仅当110a x +>，即22;a x >是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >.于是满足题意的(]1,2a ∈.综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4 .【小问2详解】当120x x <<时，2212121111,log log a a a a x x x x ⎛⎫⎛⎫+>++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()(),1f t f t +.()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立.因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥.。

重庆高2026级高一上期数学12月月考2023.12（答案在最后）命题人：一、单选题（每题5分，共计40分）1.已知集合{}()2,1,0,1,2,{ln 10}A B x x =--=+>∣，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,2 C.{}2,2- D.{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】解出集合B ，按照集合的交运算进行运算即可.【详解】因为(){ln 10}{0}B x x x x =+>=>∣∣，{}2,1,0,1,2A =--，所以{}1,2⋂=A B ，故选：B .2.已知函数()f x =，则()f x 的定义域为（）A.()(),11,-∞+∞ B.()[),12,-∞+∞ C.31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.()3,1,2⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据函数的定义域的求法列不等式，由此求得()f x 的定义域.【详解】依题意232321,10,01111x x x x x x x ---≥-≥≥⇒<---或2x ≥，所以()f x 的定义域为()[),12,-∞+∞ .故选：B3.已知函数()())200x x f x x ⎧≤⎪=>，则()()3f f -=（）A.0B.3-C.9D.3【答案】D 【解析】【分析】利用函数()f x 的解析式由内到外逐层计算可得()()3f f -的值.【详解】由已知可得()()2339f -=-=，则()()()393f f f -===.故选：D.4.函数3()ln 9f x x x =+-的零点所在的区间为A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】C 【解析】【详解】试题分析：可以求得，所以函数的零点在区间(2,3)内．故选C ．考点：零点存在性定理．5.为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：lg1.20.079≈，lg 2.560.408≈）（）A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年【答案】C 【解析】【分析】根据指数增长模型列式求解.【详解】设2020后第x 年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元，则()5000120%12800x+>，即1.2 2.56x >，解得 1.2lg 2.56log 2.56 5.16lg1.2x >=≈，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是2026．故选：C ．6.函数xx e y x⋅=的图象的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据解析式的特征,选择特殊值代入即可判断选项.【详解】函数xx e y x⋅=当1x =时,1y e =>,所以排除C 、D 选项;当=1x -时,110y e-<=-<,所以排除A 选项;所以B 图像正确故选:B【点睛】本题考查了函数图像的应用,根据解析式判断函数图像可结合奇偶性、单调性、特殊值等方法,属于基础题.7.已知函数()()4,2x f x x g x a x=+=+.若[][]121,3,2,3x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，则实数a 的范围是（）A.4a ≤B.3a ≤ C.0a ≤ D.1a ≤【答案】C 【解析】【分析】先根据基本不等式及函数的单调性求得()()min min ,f x g x ，结合题意知()()min min f x g x ≥，解出即可.【详解】因为()44f x x x =+≥，当且仅当4x x=，且0,x >即2x =时等号成立，所以()min 4f x =，又函数()2xg x a =+在[]2,3上单调递增，所以()2min 24g x a a =+=+，由题意可知()()min min f x g x ≥，即44a ≥+，所以0a ≤，故选：C .8.设函数()y f x =的定义域为12,,D x x D ∀∈，当122x x a +=时，恒有()()122f x f x b +=，则称点(),a b 为函数()y f x =图象的对称中心.利用对称中心的上述定义，研究函数()e e 21x x f x x -=-++，可得到()()()()2023202220222023f f f f -+-+++= （）A.0B.2023C.4046D.4047【答案】D 【解析】【分析】根据题中定义可知()f x 的图象关于点()0,1对称，然后根据对称性即可求值.【详解】因为()e e21xxf x x -=-++，则()()()e e21e e 212xxx x f x f x x x --+-=-+++--+=，故()f x 的图象关于点()0,1对称，所以()()()()2023202220222023f f f f -+-+++ ()2202304047f =⨯+=，故选：D .二、多选题（每题5分，共计20分）9.若2()ln 1(())f x x x R =+∈，则下列命题正确的是（）A.()f x 的图象关于直线0x =对称B.()f x 的图象关于点（0，0）中心对称C.()f x 没有最小值D.()f x 没有最大值【答案】AD 【解析】【分析】由题意得出的奇偶性，从而可判断选项A,B;由211t x =+≥，结合对数函数的单调性可判断选项C,D.【详解】()2(()1)ln f x x f x -=+=，所以为()f x 偶函数.则选项A 正确，选项B 不正确.设211t x =+≥，所以2()ln1ln 0()1f x x =+≥=（当0x =时取得等号）当x →+∞或x →-∞时，t →+∞，则()f x →+∞，所以()f x 没有最大值.所以选项C 不正确，选项D 正确.故选：AD10.下列四个函数中过相同定点的函数有（）A.2y ax a =+-B.1a y x =+C.11(0,1)x y a a a -=+>≠ D.log (2)1(0,1)a y x a a =-+>≠【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数解析式，结合幂指对函数的性质确定各函数所过的定点坐标，即可判断过相同定点的函数.【详解】A ：(1)2y a x =-+必过(1,2)；B ：1a y x =+，由11a =知函数必过(1,2)；C ：11(0,1)x y a a a -=+>≠，由01a =知函数必过(1,2)；D ：log (2)1(0,1)a y x a a =-+>≠，由log 10a =知函数必过(1,1)；∴A 、B 、C 过相同的定点.故选：ABC.11.已知函数()2e 1,()R 68,x x f x x x x λλλ⎧-≤=∈⎨-+->⎩，()()g x f x m =-，则下列说法正确的是（）A.当0λ=时，函数()f x 有3个零点B.当2λ=时，若函数()g x 有三个零点123,,x x x ，则()1236,6ln 2x x x ++∈+C.若函数()f x 恰有2个零点，则[)2,4λ∈D.若存在实数m 使得函数()g x 有3个零点，则(),3λ∈-∞【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，令e 10x -=与2680x x -+-=，解出方程的根，得到零点个数；B 选项，画出()y f x =与y m =的图象，得到要想()g x 有三个零点123,,x x x ，则()0,1m ∈，进而得到236x x +=，()1e 10,1x m -=∈，求出1x 的范围即可；C 选项，求出当0λ<时，函数()f x 零点的个数，即可判断；D 选项，要想存在实数m 使得函数()g x 有3个零点，则要保证268y x x =-+-对称轴左侧部分存在，从而求出λ的范围.【详解】对于A ，当0λ=时，2e 1,0()68,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+->⎩，当0x ≤时，令e 10x -=，解得0x =，当0x >时，令2680x x -+-=，解得2x =或4x =，综上，当0λ=时，函数()f x 有3个零点，故A 正确；对于B ，当2λ=时，()2e 1,268,2x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+->⎩，令()()0g x f x m =-=，则()f x m =，如图，画出()y f x =与y m =的图象如下：要想()g x 有三个零点123,,x x x ，则()0,1m ∈，不妨设123x x x <<，则236x x +=，()1e 10,1xm -=∈，故()1e 1,2x∈，则()10,ln 2x ∈，则123(6,6ln 2)x x x ++∈+，故B 正确；对于C ，因为0x =时，e 10x -=，2x =或4时，2680x x -+-=，当0λ<时，e 1x y =-不存在零点，而268y x x =-+-有两个零点，此时函数()f x 恰有2个零点，则当0λ<时，函数()f x 也恰有2个零点，故C 错误；对于D ，画出()y f x =与y m =的图象如下：要想存在实数m 使得函数()g x 有3个零点，则要保证268y x x =-+-对称轴左侧部分存在，故(),3λ∈-∞，故D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12.定义{}11(22x m m x m =-<≤+且)Z m ∈.则下列关于函数(){}3x xf x -=的四个命题正确的是（）A.函数()y f x =的定义域为R ，值域为[)1,+∞B.函数()y f x =是偶函数且在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数：C.函数()y f x =满足：对任意的x ∈R ，都有()()(f x k f x k +=-为常数且Z)k ∈成立；D.函数()32log y f x x =-有2个不同零点.【答案】BCD 【解析】【分析】画出函数{}x x -的草图，根据函数的图象结合函数的性质逐项判断即可.【详解】函数{}x x -的草图如下：由图象可知：{}10,2x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且为偶函数，则(){}3x x f x -=为偶函数，且()3f x ⎡∈⎣，故A 错误，B 正确；由图象可知，函数的周期为1,又()y f x =为偶函数，Z k ∈，所以()()()f x k f x f x +==-，故C 正确；对于D ，32log y x =为偶函数，当31,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()32log y f x x =-有一个零点1，且32321log 12=>，故()32log y f x x =-在()0,∞+上有唯一零点，结合函数为偶函数，故()32log y f x x =-共有两个零点，故D 正确，故选：BCD .三、填空题（每题5分，共计20分）13.若幂函数()()215mf x m m x-=--是偶函数，则m =___________.【答案】3【解析】【分析】根据幂函数的定义得251m m --=，解得2m =-或3m =，再结合偶函数性质得3m =.【详解】解：因为函数()()215mf x m m x-=--是幂函数，所以251m m --=，解得2m =-或3m =，当2m =-时，()3f x x =，为奇函数，不满足，舍；当3m =时，()2f x x -=，为偶函数，满足条件.所以3m =.故答案为：314.函数212()log (6)f x x x =--的单调递增区间是________【答案】1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定单调增区间.【详解】26032x x x -->∴-<<Q 当122x -<<时，26u x x =--单调递减，而12()log f x u =也单调递减，所以212()log (6)f x x x =--单调递增，故答案为：1,22⎛⎫-⎪⎝⎭【点睛】本题考查复合函数单调性、对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.15.已知函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[]1,1-上的最大值是7，则=a __________.【答案】2或12【解析】【分析】设x t a =，把函数化为关于t 的一元二次函数，分离讨论a 的范围，根据函数最大值建立方程，解出即可.【详解】设x t a =，又[]1,1x ∈-，若1a >，则1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数222121x x y a a t t =+-=+-()212t =+-，对称轴为1t =-，则t a =，即1x =时，()2max 127y a =+-=，解得2a =或4a =-（舍）；若01a <<时，1,t a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数222121x x y a a t t =+-=+-()212t =+-，对称轴为1t =-，则1t a =，即=1x -时，2max 1127y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得12a =或14a =-（舍）；故答案为：2或12.16.已知函数()22,36,3x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若a 、b 、c 、d 、e ()a b c d e <<<<满足()()()()()f a f b f c f d f e ====，则()()()()()M af a bf b cf c df d ef e =++++的取值范围为______.【答案】()0,9【解析】【分析】设()()()()()f a f b f c f d f e t =====，作出函数()f x 的图象，可得01t <<，利用对称性可得2a d b c +=+=，由()()0,1f e ∈可求得56e <<，进而可得出2224M e e =-++，利用二次函数的基本性质可求得M 的取值范围.【详解】作出函数()f x的图象如下图所示：设()()()()()f a f b f c f d f e t =====，当02x <<时，()()222111f x x x x =-=--+≤，由图象可知，当01t <<时，直线y t =与函数()y f x =的图象有五个交点，且点(),a t 、(),d t 关于直线1x =对称，可得2a d +=，同理可得2b c +=，由()()60,1f e e t =-=∈，可求得56e <<，所以，()()()()()()()()()46M af a bf b cf c df d ef e a b c d e f e e e =++++=++++=+-()()222241250,9e e e =-++=--+∈.因此，M 的取值范围是()0,9.故答案为：()0,9.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题（共70分）17.设集合{}5122,1214x A x B x m x m ⎧⎫=≤≤=-≤≤+⎨⎬⎩⎭∣.（1）若3m =时，求()R ,A B A B ⋂⋃ð.（2）若A B A ⋃=，求m 的取值范围.【答案】（1）{}|25A B x x ⋂=≤≤；(){R |2A B x x ⋃=<-ð或}2x ≥.（2）()[],21,2∞--⋃-【解析】【分析】（1）解出集合,A B ,按照集合的运算法则进行运算即可；（2）由题意得B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，列出不等式组，解出即可.【小问1详解】因为{}5122254x A xx x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，当3m =时，{}{}12127B xm x m x x =-≤≤+=≤≤∣∣,所以{}|25A B x x ⋂=≤≤，{R |2A x x =<-ð或}5x >，故(){R |2A B x x ⋃=<-ð或}2x ≥.【小问2详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆,当B =∅时，121m m ->+，解得2m <-；当B ≠∅时，12112215m m m m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得12m -≤≤，综上知，m 的取值范围为()[],21,2∞--⋃-.18.已知log 3,log 2(0a a m n a ==>且1)a ≠.（1）求2m n a +的值；（2）若3log 21m n +=+，解关于x 的不等式：()2160tx at x a -++-<（其中0t ≥）.【答案】（1）12（2）当t =0时，不等式的解集为{}3|x x ＞，当103t ＜＜时，不等式的解集为1{|3}x x t＜＜，当13t =时，不等式的解集为∅，当13t >，不等式的解集为3{|1}x x t ＜＜.【解析】【分析】（1）先把对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．（2）根据对数的运算性质可求出a 的值，再对t 分情况讨论，分别求出不等式的解集．【小问1详解】log 3log 20a a m n a == ，（＞且1a ≠），32m n a a ∴==，，2222··3212m n m n m n a a a a a +===⨯=（）【小问2详解】33log 3log 2log 6log 21log 6a a a m n +=+=+= ，3a ∴=∴不等式可化为()()23130130tx t x tx x -++⇔--<（）＜当t =0时，不等式为30x -+＜，解得{}3|x x ＞，当103t ＜＜，13t ＞不等式的解集为1{|3}x x t＜＜，当13t =，13t =不等式的解集为∅，当13t >，13t<不等式的解集为3{|1}x x t＜＜综上所述，当t =0时，不等式的解集为{}3|x x ＞，当103t ＜＜时，不等式的解集为1{|3}x x t ＜＜，当13t =时，不等式的解集为∅，当13t >，不等式的解集为3{|1}x x t＜＜.19.已知定义在()1,1-上的奇函数()f x ．在()1,0x ∈-时，()22xxf x -=+．（1）试求()f x 的表达式；（2）若对于()0,1x ∈上的每一个值，不等式()241xxt f x <⋅⋅-恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）()()()221,000220,1x x x x x f x x x --⎧+∈-⎪==⎨⎪--∈⎩（2）0t ≥【解析】【分析】（1）依题意可得()00f =，再设()0,1x ∈，根据奇偶性及()1,0x ∈-上的函数解析式，计算可得；（2）依题意参变分离可得4141x x t -+>+，令()4141x x g x -+=+，()0,1x ∈，根据指数函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解；【小问1详解】解：()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，()00f ∴=，因为在()1,0x ∈-时，()22xxf x -=+，设()0,1x ∈，则()1,0x -∈-，则()()()22xxf x f x -=--=-+，故()()()221,000220,1x x x x x f x x x --⎧+∈-⎪==⎨⎪--∈⎩.【小问2详解】解：由题意，()241xxt f x <⋅⋅-可化为()22241xxxxt --<⋅⋅--化简可得4141x x t -+>+，令()41214141x x xg x -+==-+++，()0,1x ∈，因为41x y =+在定义域()0,1上单调递增，2y x=在()2,5上单调递减，所以()g x 在()0,1上单调递减，()()0201041g x g ∴<=-+=+，故0t ≥．20.中国茶文化博大精深，小南在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感时的水温不同．为了方便控制水温，小南联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度为1θC ︒，环境温度是0θC ︒，则经过时间t （单位：分钟）后物体温度θ（单位：C ︒）满足公式：010()kteθθθθ-=+-⋅，其中k 是一个随着物体与空气接触状况而定的正的常数．小南与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200毫升初始温度为98C ︒的水，在10C ︒室温中温度下降到90C ︒温度所需时间约为2分钟．（1）请根据小南的实验结果求出k 的值（精确到0.01），并依照牛顿冷却模型写出冷却时间t （单位：分）与冷却后水温θ（单位：C ︒）的函数关系()t f θ=．（2）小南了解到“永川秀芽”用80C ︒左右的水冲泡口感最佳．在（1）的条件下，200毫升水煮沸后（水温100C ︒）在10C ︒室温下为获得最佳口感大约需要冷却多少分钟再冲泡？（结果保留整数）参考数据：ln 3 1.097≈，ln 7 1.946≈，ln10 2.303≈，ln11 2.398≈【答案】（1）0.05k ≈，1020ln (θθθθ-=-t ；（2）5分钟.【解析】【分析】（1）运用代入法，结合对数的定义、题中所给的数据进行求解即可；（2）运用代入法，结合题中所给的数据进行求解即可.【小问1详解】由题意可知，()290109810ke-=+-，解得：21011ke-=，即102ln 11k -=；11(ln10ln11)(2.303 2.398)0.04950.0522k ∴=-⨯-≈-⨯-=≈.由题意：0.05010()teθθθθ-+-⋅=，即0.05010=teθθθθ---，解得：01010020ln 20ln )t θθθθθθθθ--=-=--((；【小问2详解】当0110=10080θθθ==，，时，1001020ln 20(2ln 3ln 7) 4.968010t -==⨯-≈-(.∴大概需要5分钟冷却再冲泡.21.设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得()()()0011f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“旺点”.（1）求函数()23xf x x =+在R 上的“旺点”；（2）若函数()22log 1g ax x=+在()0,∞+上存在“旺点”，求正实数a 的取值范围.【答案】（1）031log 2x =-（2）)32⎡⎣【解析】【分析】（1）利用题中定义，列方程求解即可.（2）根据题意将问题转化为方程()22222log log log 1211a a ax x =++++在()0,∞+上有解，化简可得()222220a x ax a -++-=，讨论二次项系数使方程在()0,x ∈+∞上有解即可.【详解】（1）由题意，有()00100213235x x x x +++=++，化简得0332x =，∴031log 2x =-为所求“旺点”.（2）方程()22222log log log 1211a a ax x =++++在()0,∞+上有解，化简得()222220a x ax a -++-=，记()()22222h x a x ax a =-++-，()0,x ∈+∞，①当20a -=，即2a =时，()42h x x =+在()0,∞+上无根，故舍去；②当20a ->，即2a >时，()h x 的对称轴为02ax a=<-，()0220h a =->，∴()0h x >对一切()0,x ∈+∞恒成立，故舍去；③当20a -<，即02a <<时，()h x 的对称轴为02ax a=>-，故只需()()2442220a a a ∆=---≥，即2640a a --≤，解得32a ≤<；综上所述，正实数a的取值范围为)32⎡⎣.【点睛】本题是一道函数的新定义题目，考查了方程的根以及含参数的一元二次方程的根，考查了学生对新定义题目的理解能力，属于中档题.22.设函数()2,,R f x x ax b a b =-+∈.（1）已知()()f x g x x=在区间[)1,+∞上单调递增，求b 的取值范围；（2）是否存在正整数,a b ，使得()12f x ≤≤在[]0,b 上恒成立？若存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）(],1-∞（2）存在2,2a b ==满足条件，理由见解析【解析】【分析】（1）()bg x x a x=+-，分0b ≤，0b >结合函数单调性讨论即可求解；（2）根据题意可知()()min max 12f x f x ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，理由对称轴和[]0,b 的关系进行讨论，分别研究即可求解.【小问1详解】由题可知()()f x bg x x a xx==+-，当0b ≤时，()g x 在()0,∞+上单调递增，从而在[)1,+∞，符合题意；当0b >时，由对勾函数的性质可知：在(上单调递减，在)∞+上单调递增，1≤，即01b <≤，综上可知，b 的取值范围为(],1-∞.【小问2详解】因为()22224a a f x x ax b x b ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，其对称轴为2a x =，由题知0,0a b >>，当[]0,x b ∈时，()12f x ≤≤在[]0,b 上恒成立，等价于()()min max 12f x f x ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩，当2ab >，即20a b >>时，()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()()()2min max102f x f b b ab b f x f b ⎧==-+≥⎪⎨==≤⎪⎩，因为20a b >>，所以22ab b -<-，所以()22221112244f b b ab b b b b b ⎛⎫=-+<-+=--+≤ ⎪⎝⎭，与()1f b ≥矛盾；当02a b <≤，即02a b <≤时，则有()()()()()()2min 2211242224023a a f x f b a a f b b b f b ⎧⎛⎫==-≥⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫=-+-≤⋅⋅⋅⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=≤⋅⋅⋅⎪⎪⎩，由()1可得2114a b ≥+>，结合()()23可得12b <≤，由b 为正整数得2b =，又02a b <≤，由()2可得，2122a b ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，即212a b ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，则012a b <-≤，所以012a b <-≤，结合()1得()22114a b b -≤≤-，此时2114a ≤≤，2a =符合条件，故存在2,2a b ==满足条件.。

福建省厦门第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M（开始时与圆()A重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为1,0ϕ=时，点O之间的距离为（）细绳的粗细忽略不计，当2radA ．1cos1B ．2sin1C ．26．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在7．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，(f A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =8．设711,cos ,2sin 822a b c ===，则（）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c a b>>D ．c b a>>二、多选题9．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（）A ．33y x =B ．2y x =C ．lg10y =10．已知函数f (x )=sin 3cos x x ωω+(ω>0)满足:f (π6)=2,f (A ．曲线y =f (x )关于直线7π6x ＝对称B ．函数y =f C ．函数y =f (x )在(π6,7π6)单调递减D ．函数y =f 11．筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）米的简车按逆时针方向每分钟旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为到水面的距离为d （单位：米）A ．23cos 30d ⎛=- ⎝B ．π3sin 30d t ⎛= ⎝C ．大约经过38秒，盛水筒D ．大约经过22秒，盛水筒12．已知0,0x y >>，且A ．x y +的最小值为C ．(22log log 2x +三、单空题13．某地中学生积极参加体育锻炼，其中有喜欢足球，60%的学生喜欢游泳，例是．14．已知函数()tan f x =图象向左平移π12个单位后为奇函数15．若方程πsin 23x ⎛- ⎝四、双空题五、问答题(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[]0,π的单调递减区间．六、证明题18．已知定义域为R 的函数()f x ，满足对,x y ∀∈R ，均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >．(1)求证：()f x 在(),-∞+∞单调递增；(2)求关于x 的不等式()()()()222f x f x f ax f a -<-的解集．七、问答题19．如图，在平面直角坐标系中，锐角(1)如果3tan 4α=，B 点的横坐标为(2)设αβ+的终边与单位圆交于以线段,,AP BQ CR 的长为三条边长能构成三角形．八、应用题九、问答题十、证明题。

2022-2023学年山东省威海乳山市第一中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}15A x N x =∈<<，那么下列关系正确的是（ ）A AB ．3A ∈C ．A ⊆D ．{}3A ∈【答案】B【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断即可. 【详解】集合{}{}152,3,4A x x =∈<<=N ，对选项A A ，故A 错误； 对选项B ，3A ∈，故B 正确；对选项C A ，故C 错误；对选项D ，{}3表示集合，{}3A ∈表示错误，故D 错误. 故选：B.2．设20.6a =，0.62b =，2log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解. 【详解】解：∵200.61<<，∴01a <<， ∵0.60221>=，∴1b >， ∵22log 0.6log 10<=，∴0c <， ∴b a c >>， 故选：C.3．若正数a 、b 满足4a b +≤，则下列各式中恒正确的是（ ）A ．112ab ≥； B ．111a b+≥；C 2≥；D ．221162ab a b ≥-+．【答案】B【分析】由条件可得4ab ≤，可判断AC ，由11111()()14a b a b a b+≥++≥，可判断C ，由22162a a b b+≤-可判断D.【详解】∵0,0,4a b a b >>+≤，∴202a b ab +⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立，∴2042a b ab +⎛⎫<≤≤ ⎪⎝⎭，∴114ab ≥，可取到14，故A 错误； ∵4a b +≤，∴1111111()()(2)(21444b a a b a b a b a b +≥++=++≥+=， 当且仅当2a b ==时取等号，故B 正确；2，故C 错误； 由222()2162a b ab ab a b =+-≤-+，∴2211612a b ab+≥-，取1a b ==，2211121426a b ab <-==+，221162ab a b ≥-+不成立，故D 错误.故选：B ．4．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（ ）A ．2p q+； B ．()()1112p q ++-； C D 1．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++，解得11x =，21x =，因为20x <不合题意，舍去故选D ．5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，10【答案】B【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.6．下列函数中，函数图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．2x y = B ．21y x =- C ．12y x = D ．12log y x =【答案】B【分析】根据题意函数为偶函数且在()0,∞+上单调递增，对选项进行逐一验证. 【详解】函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数， 选项A. 2x y =不是偶函数，故排除.选项B. 21y x =-是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，满足条件. 选项C. 12y x =不是偶函数，故排除.选项D. 12log y x =是偶函数，当0x >时，12log y x=是减函数，不满足.故选：B7．已知函数()242,1,,1,x x ax x f x a x ⎧-+<=⎨⎩对于任意两个不相等实数12,x x ，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】由题可得函数为减函数，根据单调性可求解参数的范围. 【详解】由题可得，函数()f x 为单调递减函数， 当1x <时，若()f x 单减，则对称轴21x a =≥，得：12a ≥, 当1x ≥时，若()f x 单减，则01a <<， 在分界点处，应满足142a a -+≥，即35a ≤，综上：1325a ≤≤ 故选：B8．Logistic 模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域.有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：()1241etK I t -=+，其中K 为最大确诊病例数.当()00.05I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则0t 约为()ln193≈（ ） A ．35 B ．36 C ．60 D ．40【答案】B【分析】根据题意列出等式，整理化简可得0ln19124t =-，解出0t 即可. 【详解】由题意知，0()0.05I t K =，得01240.051t K K e-=+，整理，得012419t e -=，即0ln19124t =-， 解得036t ≈. 故选：B二、多选题9．已知p ：[]2,3x ∃∈，220x a -+≤成立，则下列选项是p 的充分不必要条件的是（ ） A ．6a > B ．6a < C ．10a ≥ D ．10a ≤【答案】AC【分析】依题意由存在量词命题为真求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由p ：[]2,3x ∃∈，220x a -+≤成立，得当[]2,3x ∈时，()2min26a x ≥+=，即6a ≥.对于A ，“6a >”是“6a ≥”的充分不必要条件； 对于B ，“6a <”是“6a ≥”的既不充分也不必要条件； 对于C ，“10a ≥”是“6a ≥”的充分不必要条件； 对于D ，“10a ≤”是“6a ≥”的既不充分也不必要条件. 故选：AC.10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A ．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是29【答案】AC【分析】根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可【详解】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为211413327⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭,故A正确；对于B,用A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则1()5P A =,1()3P B =,1()4P C =,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为42325345⨯⨯=,所以此密码被破译的概率为23155-=,故B 不正确；对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则82()123P A ==,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则61()122P B ==,故取到同色球的概率为2111132322⨯+⨯=,故C 正确；对于D,易得()()P A B P BA =,即()()()()P A PB P B P A ⋅=,即()[1()]()[1()]P A P B P B P A -=-,∴()()P A P B =,又1()9P AB =,∴1()()3P A P B ==,∴2()3P A =,故D 错误故选AC【点睛】本题考查古典概型,考查事件的积,考查独立事件,熟练掌握概率的求解公式是解题关键 11．设()ln 26f x x x =+-，则下列区间中不存在零点的是（ ） A ．[1,2] B ．[2,3] C ．[3,4] D ．[4,5]【答案】ACD【分析】判断(2)f 、(3)f 的符号，根据零点存在定理即可判断函数零点所在区间. 【详解】(2)ln 220f =-<，(3)ln30f =>，(2)(3)0f f ∴<，函数()ln 26f x x x =+-的零点位于[2,3].故选：ACD12．已知函数()21xf x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（ ）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<【答案】CD【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A 、C 的正误，根据基本不等式，可得选项B 、D 的正误.【详解】画出函数()21xf x =-的图象，如图所示．由图知1221a b -=-，则222a b +=，故A 错，C 对．由基本不等式可得22222222a b a b a b +=+>⋅=，所以21a b +<，则0a b +<，故B 错，D 对．故选：CD ．三、填空题13．已知函数()2f x ax bx c =++，满足不等式()0f x <的解集为()(),2,t -∞-⋃+∞，且()1f x -为偶函数，则实数t =________. 【答案】0【分析】根据偶函数定义，可得20b a -=，然后根据二次不等式的解集得到二次函数的两个零点为2,t -，然后结合韦达定理，即可解出0=t【详解】根据解集易知：a<0 ，()1f x -为偶函数，可得：()()()()221112f x a x b x c ax b a x a b -=-+-+=+-+-则有：20b a -=易知20ax bx c ++=的两根为,2t -，则根据韦达定理可得：2bt a-=-解得：0=t 故答案为：0 14．若函数()221x x f x a -+=在()1,3上递减，则函数2log (2)a y x x =-增区间________.【答案】(),0∞- 【分析】函数()221xx f x a -+=在()1,3上递减，利用复合函数的单调性可得a 的取值范围，进而可判断函数2log (2)a y x x =-增区间．【详解】设t y a =，则221t x x =-+，在()1,3上递增， 函数()221xx f x a -+=在()1,3上递减，t y a ∴=在()1,3上递减，可得01a <<∴函数2log (2)a y x x =-增区间，即22u x x =-的单调递减区间令220x x ->，解得2x >或0x < ∴函数2log (2)a y x x =-增区间为,0故答案为：,0【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查指对函数的性质，属于中档题．15．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数221y ax bx =-+在(],2∞-上为减函数的概率是_______.【答案】14【解析】由函数221y ax bx =-+在(],2∞-上为减函数，得到2a b ≤，再结合古典概型及其概率的计算方法，即可求解.【详解】由题意，将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，可得{}1,2,3,4,5,6a ∈，{}1,2,3,4,5,6b ∈ 又由函数221y ax bx =-+在(],2∞-上为减函数，则2ba≥，即2a b ≤， 当a 取1时，b 可取2，3，4，5，6； 当a 取2时，b 可取4，5，6； 当a 取3时，b 可取6，共9种， 又因为(),a b 的取值共36种情况， 所以所求概率为91364=. 故答案为：14.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中认真审题，合理利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16．已知函数131()31x x f x ++=+在20211[]202-,上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m +=________.【答案】4【分析】构造()()2g x f x =-是奇函数，由奇函数的对称性求解． 【详解】设()()2g x f x =-，[2021,2021]x ∈-， 13131()()223131x x x x g x f x ++-=-=-=++，()()2g x f x -=--=131331322()311313x x xx x xg x -+-++--=-==-+++， 所以()g x 是奇函数，又max max ()()2g x f x M ==-，min min ()()22g x f x m =-=-， 所以max min ()()40g x g x M m +=+-=，4M m +=． 故答案为：4．四、解答题17．一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立的k 的取值集合为A ，函数()()2lg 56f x x x =-++的定义域为B ．(1)求集合A ，B ；(2)记C A B =，{}5D x m x m =<<+，x C ∈是x D ∈的充分不必要条件，求m 的取值范围． 【答案】(1)(3,0]A =-，()1,6B =-； (2)(5,1]--.【分析】（1）讨论0k =和0k ≠两种情况，结合判别式法求出A ，由真数大于0求出B ； （2）根据题意C 是D 的真子集，进而求得答案.【详解】（1）对A ，若0k =，则308-<，满足题意；若0k ≠，则230Δ30k k k k <⎧⇒-<<⎨=+<⎩. 综上：30k -<≤，即(3,0]A =-.对B ，()225605601,6x x x x x -++>⇒--<⇒∈-，即()1,6B =-.（2）由（1），(1,0]C A B =-⋂=，因为x C ∈是x D ∈的充分不必要条件，所以C 是D 的真子集，于是15150m m m ≤-⎧⇒-<≤-⎨+>⎩，即(5,1]m ∈--. 18．函数()()22log 25f x x ax a =--在(],2-∞-上单调递减，()1425x x g x a a +=--．(1)求a 的取值范围； (2)当2,2x时，求()g x 的最小值．【答案】(1)[)24-，(2)答案见解析 .【分析】(1)二次函数与对数函数复合的单调性讨论；(2)二次函数与指数函数复合的最小值，由x 的取值范围得到指数函数的取值范围，再求二次函数的最小值.【详解】（1）设()225t x x ax a =-- ，则()()()222log 25log f x x ax a t x =--=⎡⎤⎣⎦由题意可得，()202t a ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩，所以24a -≤<， 所以，a 的取值范围为[)24-，. （2）因为[]22x ∈-， ，所以22122244x -⎡⎤⎡⎤∈=⎣⎦⎢⎥⎣⎦，， . 又因为()()21242525x x x g x a a a a a +=--=--- ，若 1424xa a ⎡⎫∈=⎪⎢⎣⎭，，时，()g x 有最小值25a a --； 若112244x a ⎡⎫∈-=⎪⎢⎣⎭，，时，()g x 有最小值18816a -， 19．某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．【答案】（Ⅰ）150（Ⅱ）710（Ⅲ）14.68 【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30，由此能估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.10．从而课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A ，B ，男生为C ，D ，E ，从中抽取2人，利用列举法能求出至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图能估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．【详解】（Ⅰ）0.10×2+0.05×2=0.30，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30．因为500×0.30=150，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150. （Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.05×2=0.10．因为50×0.10=5，即课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A ，B ，男生为C ，D ，E ，从中抽取2人的所有可能结果是：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）．其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p =710（Ⅲ）根据题意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19=14.68（小时）． 由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时．【点睛】本题考查频数、概率、平均数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．已知函数()2log 1a x f x x -=+为奇函数． (1)求实数a 的值；(2)若()()22log 430m x f x x -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)1a =(2)[)2,+∞【分析】（1）利用奇函数定义求出实数a 的值；（2）先求解定义域，然后参变分离后求出()()22log 23g x x x =--+的取值范围，进而求出实数m 的取值范围.【详解】（1）由题意得：()()f x f x -=-，即22log log 11a x a x x x+-=--+，解得：1a =±， 当1a =-时，101a x x -=-<+，不合题意，舍去， 所以1a =,经检验符合题意；（2）由101x x->+，解得：11x -<<，由2430x x ++>得：1x >-或3x <-， 综上：不等式中()1,1x ∈-，()()22log 430m x f x x -+++≤变形为()()2log 13m x x ⎡⎤≥-+⎣⎦，即()()2log 13m x x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立，令()()()2222log 23log 14g x x x x ⎡⎤=--+=-++⎣⎦，当()1,1x ∈-时，()(),2g x ∈-∞， 所以2m ≥，实数m 的取值范围为[)2,+∞.21．习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动”．为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放．已知在过滤过程中，废气中的污染物含量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系式为：0()ktP t P e -=（e 为自然对数的底数，0P 为污染物的初始含量）．过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的45． （1）求函数()P t 的关系式；（2）要使污染物的含量不超过初始值的11000，至少还需过滤几小时？（参考数据：lg 20.3≈） 【答案】（1）04()()5t P t P =（2）30【分析】（1）由题意代入点（1，45P 0），求得函数P （t ）的解析式； （2）根据函数P （t ）的解析式，列不等式求出t 的取值范围即可．【详解】解：（1）根据题设，得0045k P P e -=，45k e -∴= 所以，()045t P t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由()004151000t P t P P ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，得4151000t ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 两边取以10为底的对数，并整理，得t （1﹣3lg2）≥3，∴t≥30因此，至少还需过滤30小时【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，求指数型函数的解析式，指数型不等式的解法，是中档题．22．对于函数()f x ，若其定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“伪奇函数”． （1）已知函数()21x f x x -=+，试问()f x 是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数()()()31n g x n xn -=-∈R 使得()()2g x f x m =+为定义在[]1,1-上的“伪奇函数”，试求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使得()12423x x f x m m +=-⋅+-是定义在R 上的“伪奇函数”，若存在，试求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）不是；（2）5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；（3）1⎡⎣． 【分析】（1）先假设()f x 为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；（2）先根据幂函数确定出()g x 的解析式，然后将问题转化为“()222x x m -=-+在[]1,1-上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出m 的取值范围；（3）将问题转化为“()()22644222x x x x m m ---=-+++在R 上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出m 的取值范围.【详解】（1）假设()f x 为“伪奇函数”，∴存在x 满足()()f x f x -=-，2211x x x x ---∴=--++有解，化为220x +=，无解， f x 不是“伪奇函数”；（2）()()()31n g x n x n -=-∈R 为幂函数，2n ∴=，()g x x ∴=，()2x f x m ∴=+，()2x f x m =+为定义在[]1,1-的“伪奇函数”，∴22x x m m -+=--在[]1,1-上有解，∴()222x x m -=-+在[]1,1-上有解， 令12,22x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴12m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 又对勾函数1y t t =+在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,2上单调递增， 且12t =时，52y =，2t =时，52y =， min max 5112,2y y ∴=+==，1y t t ∴=+的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 52,22m ⎡⎤∴∈--⎢⎥⎣⎦，5,14m ⎡⎤∴∈--⎢⎥⎣⎦； （3）设存在m 满足，即()()f x f x -=-在R 上有解，()1212423423x x x x m m m m --++∴-⋅+-=--⋅+-在R 上有解，()()22644222x x x x m m --∴-=-+++在R 上有解，令[)222,x x t -+=∈+∞，取等号时0x =，()222622m t mt ∴-=--+在[)2,∞+上有解，222280t mt m ∴-+-=在[)2,∞+上有解（*）， ()2244280m m ∆=--≥，解得m ⎡∈-⎣，记()22228h t t mt m =-+-，且对称轴t m =，当m ⎡⎤∈-⎣⎦时，()h t 在[)2,∞+上递增，若（*）有解，则()22222280h mt m =-+-≤，12m ⎡⎤∴∈⎣⎦，当(m ∈时，()h t 在[)2,m 上递减，在(),m +∞上递增，若（*）有解，则()222222880h m m m m m =-+-=-≤，即280m -≤，此式恒成立，(2,m ∴∈，综上可知，1m ⎡∈⎣.【点睛】关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.。

高一（上）12月月考数学试卷一．选择题：1.已知，集合，，则A. B. C. D.2.有个命题：三点确定一个平面．梯形一定是平面图形．平行于同一条直线的两直线平行．垂直于同一直线的两直线互相平行．其中正确命题的个数为（）A. B. C. D.3.函数的图象是（）A. B.C. D.4.已知直线与直线垂直，面，则与面的位置关系是（）A. B.C.与相交D.以上都有可能5.如图的正方体中，异面直线与所成的角是（）A. B. C. D.6.已知、为两条不同的直线、为两个不同的平面，给出下列四个命题①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中真命题的序号是（）A.①②B.③④C.①④D.②③7.若函数，则函数的定义域为（）A. B. C. D.8.设是定义在上的奇函数，且当时，，则的值等于（）A. B. C. D.9.定义在上的函数满足：对任意的，，有，则（）A. B.C. D.10.一长方体的长，宽，高分别为，，，则该长方体的外接球的体积是（）A. B.C. D.11.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A. B. C. D.12.已知两条直线和，与函数的图象从左至右相交于点，，与函数的图象从左至右相交于，．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为（）A. B. C. D.二．填空题：13.函数的值域是________．14.一个圆锥的底面半径是，侧面展开图为四分之一圆面，一小虫从圆锥底面圆周上一点出发绕圆锥表面一周回到原处，其最小距离为________．15.函数的零点个数是________．16.所在的平面，是的直径，是上的一点，，分别是点在，上的射影，给出下列结论：① ；② ；③ ；④ 平面．其中正确命题的序号是________．三．解答题17.17.. . ．18.如图为一个几何体的三视图画出该几何体的直观．求该几何体的体积．求该几何体的表面积．19.如图，在正方体中．如图求与平面所成的角如图求证：平面．20.是定义在上的偶函数，当时，；当时，．当时，求满足方程的的值．求在上的值域．21.已知定义域为的函数是奇函数求，的值．判断的单调性，并用定义证明若存在，使成立，求的取值范围．22.已知函数，．求的最小值；关于的方程有解，求实数的取值范围．答案1. 【答案】A【解析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵或，∴ ，则，故选：2. 【答案】C【解析】由公理三及其推论能判断、的正误，由平行公理能判断的正误，垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，由此能判断的正误．【解答】解：不共线的三点确定一个平面，故错误；∵梯形中有一组对边互相平行，∴梯形一定是平面图形，故正确；由平行公理得平行于同一条直线的两直线平行，故正确；垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，故错误．故选：．3. 【答案】A【解析】由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的．【解答】解：，即由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线的一部分，考察四个选项，只有选项符合题意，故选．4. 【答案】D【解析】以正方体为载体，利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：在正方体中，，平面，平面；，平面，平面；，平面，与平面相交．∴直线与直线垂直，面，则与面的位置关系是或或与相交．故选：．5. 【答案】C【解析】连接，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得即为异面直线与所成的角，连接后，解三角形即可得到异面直线与所成的角．【解答】解：连接，由正方体的几何特征可得：，则即为异面直线与所成的角，连接，易得：故故选6. 【答案】D【解析】，，则或与是异面直线；若，则垂直于中所有的直线，，则平行于中的一条直线，故，；若，，则；，，则，或，相交，或，异面．【解答】解：，，则或与是异面直线，故①不正确；若，则垂直于中所有的直线，，则平行于中的一条直线，∴ ，故．故②正确；若，，则．这是直线和平面垂直的一个性质定理，故③成立；，，则，或，相交，或，异面．故④不正确，综上可知②③正确，故答案为：②③．7. 【答案】B【解析】要使函数有意义，则有，解不等式组即可得.到答案．【解答】解：要使函数有意义，则，.解得：．∴函数的定义域为：．故选：．8. 【答案】B【解析】先根据是定义在上的奇函数，把自变量转化到所给的区间内，即可求出函数值．【解答】解：∵ 是定义在上的奇函数，∴ ，又∵当时，，∴ ，∴ ．故答案是．9. 【答案】D【解析】根据函数单调性的等价条件，即可到底结论．【解答】解：若对任意的，，有，则函数满足在上单调递减，则，故选：．10. 【答案】C【解析】长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径，外接球的体积可求．【解答】解：由题意长方体的对角线就是球的直径．长方体的对角线长为：，外接球的半径为：外接球的体积．故选：．11. 【答案】C【解析】可得，，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵，∴ ，，满足，∴ 在区间内必有零点，故选：12. 【答案】C【解析】由题意设，，，各点的横坐标分别为，，，，依题意可求得为，，，的值，，，下面利用基本不等式可求最小值【解答】解：设，，，各点的横坐标分别为，，，，则，；，；∴ ，，，．∴ ，，∴又，∴，当且仅当时取“ ”号，∴，∴的最小值为．故选：．13. 【答案】【解析】根据复合函数单调性之间的性质进行求解即可．【解答】解：，∴，∵，∴，即函数的值域为．故答案为：．14. 【答案】【解析】根据已知，求出圆锥的母线长，进而根据小虫爬行的最小距离是侧面展开图中的弦长，可得答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，∵圆锥的侧面展开图是一个四分之一圆面，∴，∴ ，又∵小虫爬行的最小距离是侧面展开图中的弦长，如下图所示：故最小距离为：，故答案为：．15. 【答案】【解析】分段讨论，当时，解得，即在上有个零点，当时，在同一坐标系中，作出与，根据图象，易知有个交点，即可求出零点的个数．【解答】解：当时，，解得，即在上有个零点，当时，，即，分别画出与的图象，如图所示：由图象可知道函数，与函有个交点，函数的零点有个，综上所述，的零点有个，故答案为：．16. 【答案】①②③【解析】对于①②③可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明，对于④利用反证法进行证明，假设面，而面，则，显然不成立，从而得到结论．【解答】解：∵ 所在的平面，所在的平面∴ ，而，∴ 面，又∵ 面，∴ ，而，∴ 面，而面，∴ ，故③正确；而面，∴ ，而，∴ 面，而面，面∴ ，，故①②正确，∵ 面，假设面∴ ，显然不成立，故④不正确．故答案为：①②③．17. 【答案】（本题满分分）解：原式．; 原式．【解析】直接利用对数运算法则化简求解即可．; 利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】（本题满分分）解：原式．; 原式．18. 【答案】（本题满分分）解：由几何体的三视图得到几何体的直观图为一个三棱椎，如右图，其中平面，，，．; 由知，∴该几何体的体积．; 该几何体的表面积：．【解析】由几何体的三视图能作出几何体的直观图为一个三棱椎．; 先求出，由此能求出该几何体的体积．; 该几何体的表面积，由此能求出结果．【解答】（本题满分分）解：由几何体的三视图得到几何体的直观图为一个三棱椎，如右图，其中平面，，，．; 由知，∴该几何体的体积．; 该几何体的表面积：．19. 【答案】（本题满分分）．解：在正方体，连接交于点，连接，如图①，则又∵ 平面，平面，∴又∵ ，∴ 平面，∴ 是与平面所成的角，在中，，∴ ，∴ 与平面所成的角为．证明：; 连接交于点，连结，如图②则，又，∴∵ 平面，平面，∴ 平面．【解析】连接交于点，连接，则，，从而平面，是与平面所成的角，由此能求出与平面所成的角．; 连接交于点，连结，则，由此能证明平面．【解答】（本题满分分）．解：在正方体，连接交于点，连接，如图①，则又∵ 平面，平面，∴又∵ ，∴ 平面，∴ 是与平面所成的角，在中，，∴ ，∴ 与平面所成的角为．证明：; 连接交于点，连结，如图②则，又，∴∵ 平面，平面，∴ 平面．20. 【答案】解：当时，则，此时，∵ 是定义在上的偶函数，∴ ，即，当时，由得，即，即，则，即，解得．即方程的根．; ∵ 时，，∴当时，由得，若，则函数在上单调递减，则函数的值域为．若，此时函数在上的最大值为，最小值为，则函数的值域为．若，则此时，此时函数在在上的最大值为，最小值为，函数的值域为．【解析】当时，利用函数奇偶性的对称性求出函数的表达式，解对数方程即可求满足方程的的值．; 讨论的取值范围，结合对数函数和一元二次函数的性质即可求在上的值域．【解答】解：当时，则，此时，∵ 是定义在上的偶函数，∴ ，即，当时，由得，即，即，则，即，解得．即方程的根．; ∵ 时，，∴当时，由得，若，则函数在上单调递减，则函数的值域为．若，此时函数在上的最大值为，最小值为，则函数的值域为．若，则此时，此时函数在在上的最大值为，最小值为，函数的值域为．21. 【答案】解： ∵ 是上的奇函数，∴即∴∴即∴∴经验证符合题意．∴ ，;在上是减函数，证明如下：任取，，且，∵ ∴∴ 即∴ 在上是减函数．; ∵ ，是奇函数．∴又∵ 是减函数，∴ ∴设，∴问题转化为，∴【解析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解．; 利用函数单调性的定义进行证明即可．; 根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解： ∵ 是上的奇函数，∴即∴∴即∴∴经验证符合题意．∴ ，;在上是减函数，证明如下：任取，，且，∵ ∴∴ 即∴ 在上是减函数．; ∵ ，是奇函数．∴又∵ 是减函数，∴ ∴设，∴问题转化为，∴22. 【答案】解：令，则当时，关于的函数是单调递增∴，此时当时，当时，当时，．; 方程有解，即方程在上有解，而∴，可证明在上单调递减，上单调递增为奇函数，∴当时∴ 的取值范围是．【解析】先把函数化简为的形式，令，则可看作关于的二次函数，并根据的范围求出的范围，再利用二次函数求最值的方法求出的最小值．; 关于的方程有解，即方程在上有解，而把与分离，得到，则只需求出的范围，即可求出的范围，再借助型的函数的单调性求范围即可．【解答】解：令，则当时，关于的函数是单调递增∴，此时当时，当时，当时，．; 方程有解，即方程在上有解，而∴，可证明在上单调递减，上单调递增为奇函数，∴当时∴ 的取值范围是．。

高一数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关系或运算中①0{0}∈，②0∈∅，③{}210x x ∅⊆+=，④{}(){}{}2,0,1x y x x y y x =⋂==正确的个数为（）A.1B.2C.3D.42.已知幂函数2()(3)m f x m x =-在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为（）A.2- B.2C.D.2-或23.下列每组中的两个函数是相同函数的是（）A.(),()f x x g x ==B.22(),()(1)f x x g x x ==-C.2()2lg ,()lg f x x g x x == D.()lg(1)(1),()lg(1)lg(1)f x x xg x x x =+-=++-4.若角α的终边过点()5,12，则cos sin αα-=()A.513B.713C.713-D.513-5.函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是A.（-2,-1）B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）6.已知弧长为4π的扇形圆心角为6π，则此扇形的面积为（）A.24πB.36πC.48πD.96π7.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20⁓79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其中取lg 20.30,lg 30.48==)（）A.7小时B.6小时C.5小时D.4小时8.已知1122log log a b <且a 、b 都不等于1，则下列不等式不一定成立的是（）A.11a b< B.若0m >，则b b ma a m+<+C.11()()43a b< D.11log log 22a b<二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确的是（）A.命题“m ∃∈N N ”的否定为“m ∃∈N N ”B.命题“a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根”的否定为假命题C.“x 、y 为无理数”是“x y +为无理数”的充分不必要条件D.“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件10.设函数()(0)af x x a x=+≠，则（）A.当0x >时，函数()f x 有最小值为B.当a<0时，函数()f x 是增函数C.当0,4x a >=时，函数()f x 有最小值为4D.存在正实数m ，使得函数()f x 在[,)m +∞上单调递增11.下列四组图象中，每组分别都是两个函数的图象，其中两个函数图象与解析式对应可能正确的是（）A. B.C. D.12.设函数()f x 满足：对任意实数x 、y 都有,()()()4f x y f x f y +=+-且当0x >时，()4f x >.设()()4g x f x =-.则下列命题正确的是（）A.(2023)(2023)8f f -+=B.函数()f x 有对称中心(0,4)C.函数()g x 为奇函数D.函数()g x 为减函数三、填空题：本题共4小题．13.函数24()23x f x a -=+（0a >，且1a ≠）必过定点__________.14.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-．若实数t 满()()213f t f t +≤-，则t 的取值范围是______．15.已知函数()2112x ax f x +-⎛⎫=⎪⎝⎭在[]1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.16.设函数()2log f x 的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且满足()21log 1x f x x -=+，则不等式1142042x xf f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的解集是_______.四、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）0(π4)-+；（2）52log 323log 9log 8lg 2lg 55⨯++-.18.已知角α终边上有一点()P m，且sin (0)4m m α=>.（1）求m 的值，并求cos α与tan α的值；（2）化简并求()()()π11πcos πcos cos 229πcos πsin πsin 2αααααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+ ⎪⎝⎭的值.19.设点(),x y 是奇函数()f x 图象上的动点，且1x >时满足3xy x y =++.（1）求1x <-时，函数()f x 的解析式；（2）用定义法证明：函数()f x 在(),1-∞-上单调递减；（3）当1x >时，求x y +的最小值.20.学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价()P x （单位：千元/千克）与第x 天（124x ≤≤，*x ∈N ）的函数关系满足()151kP x x =++（k 为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量()Q x （单位：千克）与x 的如下数据：()416Q =，()617Q =，()()1213Q Q >，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入=日销售单价⨯日销售量）．（1）给出以下三种函数模型：①()2xQ x a b =⋅+；②()3log Q x a x b =⋅+；③()12Q x a x b =-+，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量()Q x 与x 的关系，并求出该函数的解析式；（2）在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入()f x （单位，千元）的最小值．21.已知函数222,1,()log (1), 1.x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩（1）作出函数()f x 的图象（不写作法），并根据图象写出函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()=-g x f x k 有四个零点,,,m n a b ，且m n a b <<<，求m n ab ++的取值范围.22.已知函数3()log (91)xf x mx =++是偶函数，()33x xg x n -=-⋅是奇函数．（1）求实数,m n 的值；（2）若关于x 的不等式2()(())(3)f x g ag x g a <+在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．高一数学一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列关系或运算中①0{0}∈，②0∈∅，③{}210x x ∅⊆+=，④{}(){}{}2,0,1x y x x y y x =⋂==正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据元素与集合的关系判断①②，根据子集概念判断③，根据集合的交集判断④.【详解】①0{0}∈正确；②空集不含任何元素，故0∈∅错误；③因为空集是任何集合的子集，故{}210x x ∅⊆+=正确；④因为{}R x y x ==，(){}2,x y y x =为点的集合，故{}(){}2,x y x x y y x =⋂==∅，故{}(){}{}2,0,1x y x x y y x =⋂==错误.所以正确的个数为2.故选：B2.已知幂函数2()(3)m f x m x =-在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为（）A.2-B.2C.D.2-或2【答案】A 【解析】【分析】根据幂函数的定义及单调性求解即可.【详解】因为幂函数2()(3)m f x m x =-在(0,)+∞上单调递减，所以231m -=且0m <，解得2m =-，故选：A3.下列每组中的两个函数是相同函数的是（）A.(),()f x x g x ==B.22(),()(1)f x x g x x ==-C.2()2lg ,()lg f x x g x x == D.()lg(1)(1),()lg(1)lg(1)f x x xg x x x =+-=++-【答案】D【解析】【分析】根据函数定义域与解析式进行判断即可.【详解】选项A 中，函数()g x x ==，即(),()f x g x 的对应关系不同，故不是同一函数；选项B 中，显然(),()f x g x 的对应关系不同，故不是同一函数；选项C 中，函数()2lg f x x =的定义域为()0,∞+，2()lg g x x =的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，不是同一函数；选项D 中，函数()(),f x g x 的定义域为()1,1-，且()lg(1)lg(1)lg(1)(1)()=++-=+-=g x x x x x f x ，所以是同一个函数；故选：D ．4.若角α的终边过点()5,12，则cos sin αα-=()A.513B.713C.713-D.513-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义求得正确答案.13=，所以5127cos sin 131313αα-=-=-.故选：C5.函数f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是A.（-2,-1） B.（-1,0）C.（0,1）D.（1,2）【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()()()()2102220,1120,0020,1120f e f e f e f e ---=--<-=--<=+-=+- ()()100f f ∴<，所以零点在区间（0，1）上考点：零点存在性定理6.已知弧长为4π的扇形圆心角为6π，则此扇形的面积为（）A.24πB.36πC.48πD.96π【答案】C 【解析】【分析】根据题意求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式即可得解.【详解】解：设扇形的半径为R ，因为弧长为4π的扇形圆心角为6π，所以46R ππ=，所以24R =，所以此扇形的面积为214826R ππ⨯=.故选：C .7.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20⁓79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时25%的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(其中取lg 20.30,lg 30.48==)（）A.7小时B.6小时C.5小时D.4小时【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件列不等式，由此求得正确答案.【详解】设需要休息x 小时，依题意，()3100125%100204xx⎛⎫⨯-=⨯< ⎪⎝⎭，32410x⎛⎫< ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数得32lg lg 410x <，所以lg 2lg10lg 210.310.75.8lg 3lg 4lg 32lg 20.4820.30.12x --->===≈---⨯，所以至少需要6小时.故选：B8.已知1122log log a b <且a 、b 都不等于1，则下列不等式不一定成立的是（）A.11a b< B.若0m >，则b b m a a m+<+C.11()()43a b< D.11log log 22ab <【答案】D 【解析】【分析】由1122log log a b <且,a b 都不等于1，则得0a b >>，然后根据不等式性质可对A 判断，利用作差法可对B 判断，利用指数函数性质可对C 判断，利用对数函数性质及特殊值可对D 判断.【详解】由题意知1122log log a b <且,a b 都不等于1，所以0a b >>，对A ：由0a b >>，所以11a b<，故A 一定成立；对B ：()()()()()0b a m a b m m b a b b m a a m a a m a a m +-+-+-==<+++，故B 一定成立；对C ：111443abb⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 一定成立；对D ：由0a b >>，不妨设3,2a b ==，则3311log log 123>=-，21log 12=-，故D 不一定成立.故选：D.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确的是（）A.命题“m ∃∈N N ”的否定为“m ∃∈N N ”B.命题“a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根”的否定为假命题C.“x 、y 为无理数”是“x y +为无理数”的充分不必要条件D.“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件【答案】BD 【解析】【分析】A.利用含有一个量词的命题的否定的定义判断；B.利用判别式判断； C.举例判断；D.利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】A.因为命题“m ∃∈N N ”是存在量词命题，所以其否定全称量词命题，即为“m ∀∈N N ”，故错误；B.因为240=∆+>a ，所以命题“a ∀∈R ，一元二次方程210x ax --=有实根”是真命题，所以其否定为假命题，故正确；C.若x y ==，则0x y +=，故不充分，故错误；D.当0c =时，22ac bc =，故充分性不成立，当22ac bc >时，则()20c a b ->，即20c >，且0a b ->，则a b >，故必要性成立，故正确；故选：BD10.设函数()(0)af x x a x=+≠，则（）A.当0x >时，函数()f x 有最小值为B.当a<0时，函数()f x 是增函数C.当0,4x a >=时，函数()f x 有最小值为4D.存在正实数m ，使得函数()f x 在[,)m +∞上单调递增【答案】CD 【解析】【分析】选项A ，举特殊情况a<0时，()(0)af x x a x=+≠在区间(0,)+∞上单调递增，此时函数()f x 没有最小值；选项B ，函数()f x 在0x =处不连续，函数()f x 不是增函数；选项C ，利用基本不等式求出最小值即可；选项D ，对a 的取值分类讨论，其中0a >时，利用复合函数和对勾函数寻找正实数m 判断单调性即可.【详解】函数()(0)af x x a x=+≠的定义域是{|0}x x ≠，对于选项A ，当a<0时，在区间(0,)+∞上函数y x =和ay x=都单调递增，故()(0)af x x a x=+≠在区间(0,)+∞上单调递增，此时函数()f x 没有最小值，选项A 错误；对于选项B ，定义域是{|0}x x ≠，函数()f x 在0x =处不连续，函数()f x 不是增函数，选项B 错误；对于选项C ，0,4x a >=，则44x x +≥=（2x =时等号成立），函数()f x 有最小值为4，选项C 成立；对于选项D ，当a<0时，()(0)af x x a x=+≠在区间(0,)+∞上单调递增，此时存在正实数m ，使得函数()f x 在[,)m +∞上单调递增；当0a >12x x ≤<，121212121212()()()()()()x x x x a a af x f x x x x x x x ---=+-+=，12x x ≤<得：120x x -<，120x x a >>，10x x a ->，所以12())0(f x f x -<，12()()f x f x <成立，()(0)af x x a x=+≠在区间+∞)，使得函数()f x在+∞)上单调递增；选项D 正确；故选：CD.11.下列四组图象中，每组分别都是两个函数的图象，其中两个函数图象与解析式对应可能正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD 【解析】【分析】根据每个选项中两个函数的图象，求出实数a 的取值范围，然后观察每个选项中实数a 的范围是否一致，即可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，指数函数1xxa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则101a <<，可得1a >，对数函数log a y x =在()0,∞+上为增函数，则1a >，A 满足条件；对于B 选项，对数函数log a y x =在()0,∞+上为减函数，则01a <<，由幂函数a y x =在第一象限内的图象可知，01a <<，取13a =，令()13a f x x x ===，该函数的定义域为R ，()()f x f x -===-，此时函数a y x =为奇函数，B 满足条件；对于C 选项，函数y ax a =-为减函数，且该函数的图象交y 轴于点()0,a -，由图可得02a a >⎧⎨-<-⎩，解得2a >，函数a y x=的图象在第二、四象限，则a<0，C 不满足条件；对于D 选项，函数y ax a =-为减函数，且该函数的图象交y 轴于点()0,a -，由图可得001a a <⎧⎨<-<⎩，解得10a -<<，由幂函数a y x =在第一象限的图象可知，a<0，取67a =-，令()67a g x x x -==={}0x x ≠，()()g x g x -==，此时，函数a y x =为偶函数，合乎题意，D 满足条件.故选：ABD.12.设函数()f x 满足：对任意实数x 、y 都有,()()()4f x y f x f y +=+-且当0x >时，()4f x >.设()()4g x f x =-.则下列命题正确的是（）A.(2023)(2023)8f f -+= B.函数()f x 有对称中心(0,4)C.函数()g x 为奇函数D.函数()g x 为减函数【答案】ABC【解析】【分析】令0x y ==，可得()04f =，再令2023,2023x y ==-，判断选项A ；令y x =-，即可判断选项B ；由()()4g x f x =-，判断选项C ；令,0y x ∈>R ,利用函数的单调性定义进行判断选项D.【详解】由对于任意实数,x y ，()()()4f x y f x f y +=+-，令0x y ==，则()()()0004f f f =+-，即()04f =,再令2023,2023x y ==-,则()()()020*******f f f =+--，即()()202320238f f +-=，故A 正确;令y x =-，则()()()04f f x f x =+--，即()()8f x f x +-=，故B 正确；由()()4g x f x =-，则()()()()440g x g x f x f x +-=-+--=，即()g x 是奇函数，故C 正确；对于任意,0y x ∈>R ,则x y y +>，当0x >时，()4f x >，则()()()40f x y f y f x +-=->，所以()f x 单调递增，即()g x 单调递增，故D 错误.故选：ABC三、填空题：本题共4小题．13.函数24()23x f x a -=+（0a >，且1a ≠）必过定点__________.【答案】()25，【解析】【分析】根据指数函数的性质，即可求解.【详解】因为01(0a a =>，且1)a ≠，所以令240x -=，得2x =，此时5y =，所以函数()f x 必过定点()2,5.故答案为：()2,514.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-．若实数t 满()()213f t f t +≤-，则t 的取值范围是______．【答案】24,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系建立不等式，解之可得答案.【详解】因为对区间(],0-∞上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减，又函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，实数t 满()()213f t f t +≤-，所以213t t +≤-，两边平方得23+1080t t -≤，解得243t -≤≤，故答案为：24,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.15.已知函数()2112x ax f x +-⎛⎫=⎪⎝⎭在[]1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是___________.【答案】[)2,-+∞【解析】【分析】根据复合函数单调性求出()f x 在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，再由()f x 在[]1,2上单调递减，得到12a -≤，进而求得a 的取值范围.【详解】令21t x ax =+-，则12t y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21t x ax =+-在,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，12t y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，所以()f x 在,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减.因为()f x 在[]1,2上单调递减，所以有12a -≤，解得2a ≥-.故答案为：[)2,-+∞16.设函数()2log f x 的定义域为1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且满足()21log 1x f x x -=+，则不等式1142042x x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的解集是_______.【答案】11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题意利用换元法得到关于t 的函数，判断出()f t 的奇偶性和单调性，然后将不等式变形，由单调性和定义域得到关于x 的不等式，求解即可.【详解】令2log t x =，则2t x =，由1,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得[]2,2t ∈-，所以21()21t t f t -=+，[]2,2t ∈-，因为()211221()212121t t t t t t f t f t ------===-=-+++，所以函数()f t 为奇函数，因为212()12121t t t f t -==-++，而21t y =+在其定义域内单调递增，则221t y =+在其定义域内单调递减，所以函数()f t 单调递增，而不等式1142042x x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可变形为111422422x x x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11242242x x ⎛⎫⎛⎫-≤-<-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1244x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，解得12x ≤-，由1222x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得2x ≥-，由114242x x ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得220m m --<，即12m -<<，所以1122x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，则1x >-，综上，112x -<≤-.故答案为：11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性和单调性解不等式，脱掉“f ”是解有关函数不等式的常用方法.四、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）0(π4)-+；（2）52log 323log 9log 8lg 2lg 55⨯++-.【答案】（1）4（2）2-【解析】【分析】（1）根据指数幂以及根式的运算求解；（2）根据对数的运算求解.【小问1详解】原式=1134-=-+；【小问2详解】原式=()22323321036192log log lg ⨯+-=+-=-.18.已知角α终边上有一点()P m，且sin (0)4m m α=>.（1）求m 的值，并求cos α与tan α的值；（2）化简并求()()()π11πcos πcos cos 229πcos πsin πsin 2αααααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）m =cos 4α=-，tan 3α=-（2）3-【解析】【分析】（1）直接利用三角函数的定义依次计算得到答案.（2）根据诱导公式化简得到原式等于tanα，计算得到答案.【小问1详解】sin4mα==，0m>，解得m=.故cos4α==-，tan3α==-.【小问2详解】()()()11πcosπcos coscos sin sin22tan9πcos sin cos3cosπsinπsinπ2ααααααααααααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫---+⎪⎝⎭.19.设点(),x y是奇函数()f x图象上的动点，且1x>时满足3xy x y=++.（1）求1x<-时，函数()f x的解析式；（2）用定义法证明：函数()f x在(),1-∞-上单调递减；（3）当1x>时，求x y+的最小值.【答案】（1）()()311xf x xx-=-<-+（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）根据题意，求出当1x>时，函数()f x的解析式，然后利用奇函数的性质可求出当1x<-时，函数()f x的解析式；（2）任取1x、()2,1x∞∈--且12x x<，作差()()12f x f x-，变形后判断()()12f x f x-的符号，结合函数单调性的定义可得出结论；（3）当1x>时，可得出4121x y xx+=-++-，利用基本不等式可求得x y+的最小值.【小问1详解】当1x>时，由3xy x y=++得()13y x x-=+，则()31xf x yx+==-，当1x<-时，1x->，则()3311x xf xx x-+--==--+，因为函数()f x 为奇函数，则()()31x f x f x x -=--=-+.所以，()()311x f x x x -=-<-+.【小问2详解】由（1）知()()341111x f x x x x -=-=-+<-++，对任意的1x 、()2,1x ∞∈--且12x x <，有()()()()()21121212124444411111111x x f x f x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，因为121x x <<-，210x x ->，110x +<，210x +<，所以，()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以，()f x 在(),1∞--上单调递减.【小问3详解】由（1）知，当1x >时，344112111x x y x x x x x x ++=+=++=-++---2426≥+=+=，当且仅当()4111x x x -=>-时，即当3x y ==时，等号成立，故x y +的最小值为6.20.学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在2022年8月份（价格浮动较大的一个月，以31天计）的最后7天无法进行销售，日销售单价()P x （单位：千元/千克）与第x 天（124x ≤≤，*x ∈N ）的函数关系满足()151k P x x =++（k 为正实数）．因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量()Q x （单位：千克）与x 的如下数据：()416Q =，()617Q =，()()1213Q Q >，已知第4天该产品的日销售收入为256千元（日销售收入=日销售单价⨯日销售量）．（1）给出以下三种函数模型：①()2xQ x a b =⋅+；②()3log Q x a x b =⋅+；③()12Q x a x b =-+，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在2022年8月份的日销售量()Q x 与x 的关系，并求出该函数的解析式；（2）在（1）的基础上，求出该公司在2022年8月份第1天到第12天中，该产品日销售收入()f x （单位，千元）的最小值．【答案】（1）()11220,124,N 2Q x x x x *=--+≤≤∈；（2）最小值为250千元.【解析】【分析】（1）由第4天该产品的日销售收入及()416Q =求出k ，再由销量的变化关系及函数模型选择函数()Q x 的关系式，再代入计算作答.（2）利用（1）的函数模型求出()f x 的表达式，再求出当12x ≤时，()f x 的最小值作答.【小问1详解】当4x =时，由(15)162561k x +⋅=+，得5k =，即5()151P x x =++，（124x ≤≤，*x ∈N ），因为()416Q =，()617Q =，则()()46Q Q <，而()()1213Q Q >，即日销售量数据有增有减，显然0a ≠，模型①②都是单调函数，不符合题意，选择模型③，将()416Q =，()617Q =代入模型③得：4121661217a b a b ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1220a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以模型③的函数解析式为()11220,124,N 2Q x x x x *=--+≤≤∈.【小问2详解】由（1）知，当112,N x x *≤≤∈时，5()151P x x =++，()11(12)201422Q x x x =--+=+，因此51512752715)(14)15)[(1)]205[3(1)]121222()(1(f x x x x x ++=+++=+++++=+205250≥+，当且仅当273(1)1x x +=+，即2x =时取等号，所以当2x =时，该产品日销售收入()f x 最小，最小值为250千元.【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，恰当引入变量，将实际问题转化、抽象为数学问题作答.21.已知函数222,1,()log (1), 1.x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩（1）作出函数()f x 的图象（不写作法），并根据图象写出函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()=-g x f x k 有四个零点,,,m n a b ，且m n a b <<<，求m n ab ++的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）652,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据二次函数及对数函数的图象作出函数图象，再根据函数图象写出单调区间即可；（2）依题意()f x 的图象与直线y k =有四个不同的公共点，根据二次函数的对称性可求出m n +，根据对数函数的性质可求出,a b 的关系，进而可得出答案.【小问1详解】()f x 图象如图所示：()f x 的单调递增区间：()()1,1,2,∞-+，()f x 的单调递减区间：()(),1,1,2∞--；【小问2详解】依题意()f x 的图象与直线y k =有四个不同的公共点，其横坐标分别为,,,m n a b ，且m n a b <<<，由二次函数图象对称性可知：2m n +=-，由()()2log 1log 1a b --=-知()()111a b --=，则111b a =+-，11121111a ab a a a a a a =+=++=++----，111m n ab a a ∴++=+--，由(]0,3k ∈，得9,28a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，令1t a =-，则1,18t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故1m n ab t t++=+，由对勾函数的性质可得函数1y t t =+在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以652,8m n ab ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦，即m n ab ++的取值范围为652,8⎛⎤ ⎥⎝⎦.22.已知函数3()log (91)x f x mx =++是偶函数，()33x x g x n -=-⋅是奇函数．（1）求实数,m n 的值；（2）若关于x 的不等式2()(())(3)f x g ag x g a <+在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】22.1m =-，1n =23.4,2⎡-+⎣【解析】【分析】（1）根据奇函数偶函数的性质运算即可求出参数，注意检验.（2）首先根据()33x x g x -=-的单调性化简不等式，进一步通过换元法，将不等式转换为()()240,0h t t at a t =-++>>恒成立即可，分类讨论即可求解.【小问1详解】由题知函数()(),f x g x 定义域均为R ，∵()f x 是偶函数，∴()()11.f f =-即3310log 10log 3m m +=-，即 1.m =-此时()3()log 91x f x x =+-，而此时()()()3333()log 91log 91log 3log 33x x x x x f x x -=+-=+-=+，所以()()()3log 33x x f x f x --=+=，且定义域关于原点对称，满足题意，∵()g x 是奇函数，∴()000330, 1.g n n =-⋅==此时()33x xg x -=-，所以()()()3333x x x x g x g x ---=-=--=-，且定义域关于原点对称，满足题意.【小问2详解】()33x x g x -=-在R 上单调递增，故有()()23f x ag x a <+对()0,x ∞∈+恒成立，又()()()3333()log 91log 91log 3log 33x x x x x f x x -=+-=+-=+，∴()()()322log 3333333x x x x x x a a a -+---<+=++对()0,x ∞∈+恒成立.令33x x t ,-=-由()0,x ∞∈+知()0,t ∞∈+.则有24at a t <++对()0,t ∞∈+恒成立.即240t at a -++>对()0,t ∞∈+恒成立.令()()240.h t t at a t =-++>只需()min 0h t >即可.又()h t 对称轴为2a t =，当02a ≤即0a ≤时，()h t 在()0,∞+上单调递增，只需()040h a =+≥即可.∴40a .-≤≤当02a >即0a >时，()h t 在02a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减，在2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，上单调递增.∴()2min40.24a a h t h a ⎛⎫==-++> ⎪⎝⎭解得22a -<<+∴02a <<+综上所述，a 的取值范围为4,2.⎡-+⎣【点睛】关键点睛：第一问的关键是利用奇偶函数的性质记得一定要检验，第二问的关键是利用函数单调性以及换元法来求解.。

东华高级中学东华松山湖高级中学 2023-2024学年第一学期高一年级12月考数学试题考生注意：本卷共五大题，24小题，满分180分，正常试题150分，附加题30分.时间：140分钟.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1 已知集合{}{}222,30A xx B x x x −≤≤−>∣∣，则A B = （ ）A. {20}x x −≤<∣B. {40}x x −≤<∣ C {02}x x <≤∣D. {03}x x <≤∣2. 下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（ ） A. tan2y x =B. πtan 4yx+C. 3cos 2π2yx+D. πsin 22yx+3. 已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2 rad ，扇形的周长为（ ）A.B.C. 8D. 24. 函数()sin f x x =，()cos g x x =的图象在区间[]2π,π−的交点个数为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 65. 将函数()f x 的图象向左平移3π个单位，再将所的图象上各点的纵坐标不变､横坐标变为原来的12倍，得到函数()g x 的图象.已知()sin 23g x x π=+，则()f x =（ ） A. ()sin 4f x x =−B. ()sin f x x =C. ()sin 3f x x π=+D. ()sin 43f x x π=−6. 设0a >且1a ≠，则“log log a a x y >”是“x y a a >”的（ ）..A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数()f x 为R 上偶函数，且对任意()12,0,x x ∈+∞，均有()()()12120x x f x f x −−< 成立，若a f =，21log 3b f = ，13e cf =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B. a b c <<C. c b a <<D. b<c<a8. 已知函数()()1221,2log 2,2x x f x x x − +≤ = −> 若关于x 的方程()()()280f x a f x a −+−=有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A. 154,4−− B. 15,04−C. ()4,0−D. 74,2 −−二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题各有四个选项，有多个选项正确，请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）9. 已知函数()f x x α=图像经过点()9,3，则下列结论正确的有（ ）A. ()f x 为偶函数B. ()f x 为增函数C. 若1x >，则()1f x >D. 若120x x >>，则()()121222f x f x x x f ++ >10. 已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 228a b +≥ B. 22log log 2a b +≥ C. 228a b +≥D.4≤11. 定义在R 上的函数()f x ，对任意的12,x x ∈R ，都有()()()12121f x x f x f x +=++，且当0x >时，()()0f x f >恒成立，下列说法正确的是（ ） A. ()01f =−B. 函数()f x 的单调增区间为()0,∞+C. 函数()()1g x f x =+为奇函数D. 函数()f x 为R 上的增函数12. 已知()cos(sin),()sin(cos )f x x g x x ==，则下列说法正确的是（ ） 的A. ()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]−B. ()f x 为偶函数且()g x 也为偶函数C. ()f x 的值域为[cos1,1],()g x 的值域为[sin1,sin1]−D. ()f x 与()g x 最小正周期为2π三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应的位置上）13.函数()1lg 23y x =+−的定义域为__________.14. 函数2214sin cos yx x+的最小值是______. 15. 已知定义在R 上的函数()f x 满足，(1)(),(2)()f x f x f x f x −=−−=， 且当10,2 ∈x 时，()2x f x =，则2(log 24)f =_______.16. 设函数()()2sin ,f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若5112,088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）已知π6α=，求()()27πcos tan πcos 2π25π3πcos sin 22ααααα−+−++值. （2）已知11222a a−−=，求1222a a a a −−−++的值.18. 函数()()2sin 06f x x πωω=+>图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为4π. （1）求函数()f x 在[]0,π上的单调增区间； （2）当,64x ππ∈−时，求()f x 的值域. 19. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，12A为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的横坐标为()fθ.的（1）求()fθ的表达式，并求π2π63f f +； （2）若π163f θ −=，ππ,22θ ∈−，求tan θ的值. 20. 已知函数2()21xf x a =−+奇函数，R a ∈. （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性；（3）若22(4)()0f x x f x k −++−−<恒成立，求实数k 的取值范围．21. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶.（1）据市场调查，若售价每提高2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入−月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价()16x x ≥元，并投()33164x −万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少()20.815x −万瓶，则当每瓶售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润. 22. 已知函数2()2f x x x k =−+与2()ln h x x x k x =−+有相同的定义域. （1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若方程()0f x =有两个相异实数根()1212,0x x x x <<，且()h x 在区间[]12,x x 上单调递减，证明：()()12124h x h x k −<−.(参考结论：ln 1,(0,1)x x x <−∈) 五、附加题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23. 已知0a >，函数()2f x ax bxc ++.为（1）若()f x 有两个零点(),αβαβ<，且()f x 的最小值为4a −，当102a <≤时，判断函数()()22g x ax b x c +−+在(),αβ上的单调性，并说明理由；（2）设2b a =，记()h t 为集合(){}()11f x t x t t −≤≤+∈R 中元素的最大者与最小者之差.若对t ∀∈R ，()2h t a a >−恒成立，求实数a 的取值范围.24. 若定义域为一切实数的函数()y h x =满足：对于任意x ∈R ，都有()()()2π2πh x h x h =++，则称函数()y h x =为“启迪”函数．（1）设函数()y f x =，()y g x =的表达式分别为()sin f x x x =+，()cos g x x =，判断函数()f x 与()g x 是否是“启迪”函数，并说明理由；（2）设函数()f x 的表达式是()()sin f x x ωϕ=+，判断是否存在01ω<<以及ππϕ−<<，使得函数()()sin f x x ωϕ=+成为“启迪”函数，若存在，请求出ω、φ，若不存在，请说明理由； （3）设函数()y f x =是“启迪”函数，且在[]0,2π上的值域恰好为()()π0,2f f ，以2π为周期的函数()y g x =的表达式为()()()sin g x f x =，且()g x 在开区间()0,2π上有且只有一个零点，求()2πf ．东华高级中学东华松山湖高级中学 2023-2024学年第一学期高一年级12月考数学试题考生注意：本卷共五大题，24小题，满分180分，正常试题150分，附加题30分.时间：140分钟.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题各有四个选项，仅有一个选项正确.请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）1. 已知集合{}{}222,30A xx B x x x −≤≤−>∣∣，则A B = （ ）A. {20}x x −≤<∣B. {40}x x −≤<∣C. {02}x x <≤∣D. {03}x x <≤∣【答案】C 【解析】【分析】先分别计算两个集合，再进行交集运算. 【详解】因为{}22,{03}A xx B x x =−≤≤=<<∣∣，所以{02}A B x x ∩=<≤∣，故选：C ．2. 下列函数中最小正周期为π ） A. tan2y x =B. πtan 4yx+C. 3cos 2π2yx+D. πsin 22yx+【答案】C 【解析】【分析】根据正切函数的周期与奇偶性可判断AB ，根据诱导公式化简CD 的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性可判断.【详解】tan2y x =的最小正周期为π2,故A 错误； πtan 4yx+为非奇非偶函数，故B 错误；3cos 2πsin 22y x x=+= ，易知为奇函数，且最小正周期为2ππ2=，故C 正确；πsin 2cos 22y x x=+=为偶函数，故D 错误.故选:C.3. 已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2 rad ，扇形的周长为（ ）A.B.C. 8D. 2【答案】A 【解析】【分析】设扇形的半径为r ，弧长为l，利用扇形的弧长和面积公式，求得r =. 【详解】解：设扇形半径为r ，弧长为l ， 已知扇形的圆心角为2 rad ，则2l r =，扇形面积112822S lr r r r ==×⋅=⇒=，所以扇形的周长244C l r r =+==×， 故选：A.4. 函数()sin f x x =，()cos g x x =的图象在区间[]2π,π−的交点个数为（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】A 【解析】【分析】作出正、余弦函数图象，利用图象直接判断两者交点个数.【详解】分别作出()sin f x x =，()cos g x x =在区间[]2π,π−上的图象，如图所示，由图象可知：()sin f x x =，()cos g x x =的图象在区间[]2π,π−的交点个数为3. 故选：A.5. 将函数()f x 的图象向左平移3π个单位，再将所的图象上各点的纵坐标不变､横坐标变为原来的12倍，的得到函数()g x 的图象.已知()sin 23g x x π=+，则()f x =（ ） A. ()sin 4f x x =−B. ()sin f x x =C. ()sin 3f x x π=+D. ()sin 43f x x π=−【答案】B 【解析】【分析】根据周期变换和平移变换可得答案.【详解】由题意()g x 图象上各点横坐标变为2倍，再向右平移3π个单位可得到()f x ，横坐标变为2倍可得sin 3yx π+，向右平移3π可得()sin sin 33f x x x ππ=+−=，故选：B .6. 设0a >且1a ≠，则“log log a a x y >”是“x y a a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数以及指数函数的性质，判断“log log a a x y >”和“x y a a >”之间的逻辑推理关系，即可判断答案.【详解】当1a >时，由log log a a x y >可得0x y >>，由于x y a =为R 上增函数， 则x y a a >，当01a <<时，由log log a a x y >可得0x y <<，由于x y a =为R 上减函数， 则x y a a >，即“log log a a x y >”是“x y a a >”充分条件； 当x y a a >时，比如取12a =，2,1x y =−=−满足条件，但log ,log a a x y 无意义， 的故“log log a a x y >”不是“x y a a >”的必要条件， 故“log log a a x y >”是“x y a a >”充分不必要条件， 故选：A7. 已知函数()f x 为R 上的偶函数，且对任意()12,0,x x ∈+∞，均有()()()12120x x f x f x −−< 成立，若a f =，21log 3b f= ，13e c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b a c <<B. a b c <<C. c b a <<D. b<c<a【答案】A 【解析】【分析】先根据条件判断出函数()f x 是()0,∞+上的单调减函数，结合偶函数性质，可知221log (log 3)3bf f=，然后只需比较132log 2,e 的大小关系即可. 【详解】对任意()12,0,x x ∈+∞，均有()()()12120x x f x f x −−< 成立， 故()f x 在()0,∞+上是单调减函数，又函数()f x 为R 上的偶函数，故2221log (log 3)(log 3)3b f f f==−=，而1662238,(e )e ,8e =>13e > ，又2223331log 1log 2log 2=+>+=>，所以132log 3e 0>>> ，则132(log 3)(e )f f f <<，即b a c <<，故选：A.8. 已知函数()()1221,2log 2,2x x f x x x − +≤ = −> 若关于x 的方程()()()280f x a f x a −+−=有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A.154,4−−B.15,04−C. ()4,0−D. 74,2 −−【答案】A【解析】【分析】令()t f x =，作出函数()t f x =的图象，分析可知关于t 的方程()280t a t a −+−=在(]1,3内有两个不等的实根，令()()28g t t a t a =−+−，利用二次函数的零点分布可得出关于a 的不等式组，解之即可.【详解】令()t f x =，作出函数()t f x =的图象如下图所示：因为关于x 的方程()()()280fx a f x a −+−=有6个不同的实数根， 则关于t 的方程()280t a t a −+−=在(]1,3内有两个不等的实根， 设()()28g t t a t a =−+−，则函数()()28g t t a t a =−+−在(]1,3内有两个不等的零点，所以，()()()2Δ8408132127034150a a a g a g a =++>+ << =−−>=−−≥ ，解得1544a −<≤−. 故选：A.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题各有四个选项，有多个选项正确，请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑）9. 已知函数()f x x α=图像经过点()9,3，则下列结论正确的有（ ）A. ()f x 为偶函数B. ()f x 为增函数C. 若1x >，则()1f x >D. 若120x x >>，则()()121222f x f x x x f ++ >【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数()f x x α=图像经过点()9,3，得到()12f x x =，定义域为[0,)+∞，然后逐项判断. 【详解】解：因为函数()f x x α=图像经过点()9,3，所以93α=，解得12α=，则()12f x x =，定义域为[0,)+∞，定义域不关于原点对称，所以()f x 不是偶函数，易知()f x 为增函数，所以当1x >时，()1f x >， 作出函数()f x 的图象，如图所示：由图象知：()()()()12122211,,,,,22x x x x A x f x B x f x C f ++， 所以当120x x >>时，()()121222f x f x x x f ++ >， 故选：BCD10. 已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 228a b +≥ B. 22log log 2a b +≥C. 228a b +≥D.4≤【答案】ACD 【解析】【分析】借助题目条件，结合基本不等式进行计算即可得，需注意不等号方向. 【详解】对A 选项：由0a >，0b >，且4a b +=，故()2222224216282a b a b a b ab ab + +=+−=−≥−=， 当且仅当2a b ==时等号成立， 即228a b +≥，故A 正确；对B 选项：由0a >，0b >，且4a b +=，故222222log log log log log 422a b a b ab + +=≤==，当且仅当2a b ==时等号成立， 即22log log 2a b +≤，故B 错误；对C 选项：由0a >，0b >，且4a b +=，故228a b +≥，当且仅当2a b ==时等号成立， 即228a b +≥，故C 正确；对D 选项：由0a >，0b >，且4a b +=，故213a b =++++1344424421622a b a b ++++≤+++×=++×=，当且仅当13a b +=+，即3a =、1b =时等号成立；4+≤，故D 正确. 故选：ACD.11. 定义在R 上的函数()f x ，对任意的12,x x ∈R ，都有()()()12121f x x f x f x +=++，且当0x >时，()()0f x f >恒成立，下列说法正确的是（ ） A. ()01f =−B. 函数()f x 的单调增区间为()0,∞+C. 函数()()1g x f x =+为奇函数 D. 函数()f x 为R 上的增函数【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值法求()0f ，判断A ，通过赋值，结合奇函数的定义判断C ，根据单调性的定义判断BD.【详解】因为对任意的12,x x ∈R ，都有()()()12121f x x f x f x +=++，取10x =，20x =可得()()()0001f f f =++，所以()01f =−，A 正确；取1x x =，2x x =−可得()()()01f f x f x =+−+，()()11f x f x +=−−+ ，所以函数()()1g x f x =+为奇函数，C 正确；任取实数34,x x ∈R ，且34x x <，则()()()()()()()()43343334334311f x f x f x x x f x f x f x x f x f x x −=+−−=+−+−=−+，因为34x x <，所以430x x −>，又当0x >时，()()0f x f >恒成立，所以()431f x x −>−，所以()4310f x x −+>，所以()()43f x f x >，所以函数()f x 为R 上的增函数，D 正确，B 错误，故选：ACD.12. 已知()cos(sin),()sin(cos )f x x g x x ==，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]− B. ()f x 为偶函数且()g x 也为偶函数C. ()f x 的值域为[cos1,1],()g x 的值域为[sin1,sin1]−D. ()f x 与()g x 最小正周期为2π 【答案】BC 【解析】 【分析】 利用sin ,cos yx y x =的性质逐项研究题设中两个函数相应的性质后可得正确的选项.【详解】对于A ，()f x 与()g x R ，故A 错误.对于B ，()()()()()cos sin cos sin ,()sin cos sin cos f x x x g x x x −=−=−=−= ，故()f x 为偶函数且()g x 也为偶函数，故B 正确. 对于C ，因为1sin 122x ππ−<−≤≤<，故()cos1cos sin 1x ≤≤，同理()sin1sin cos sin1x −≤≤，故()f x 的值域为[cos1,1],()g x 的值域为[sin1,sin1]−，故C 正确.对于D ，()()()()()cos sin cos sin cos sin f x x x x f x ππ +=+=−== ，故()f x 的最小正周期不是2π，故D 错误. 故选：BC.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡中相应的位置上）13. 函数()1lg 23y x =+−的定义域为__________.【答案】3,22【解析】【分析】由解析式可得()240230lg 230x x x −≥−> −≠，求解即可. 【详解】由题意可得()240230lg 230x x x −≥ −> −≠ ,故22322x x x −≤≤>≠，即322x <<.故函数()1lg 23y x =+−的定义域为3,22.故答案为:3,22. 14. 函数2214sin cos y x x+的最小值是______. 【答案】9 【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系，结合基本不等式求函数最小值. 【详解】由22sin cos 1x x +=，()222222222214144sin cos sin cos 14sin cos sin cos cos sin x x y x x x x x x x x =+=++=+++5549≥+=+=， 当22224sin cos cos sin x x x x=，即2212sin ,cos 33x x ==时等号成立. 所以函数2214sin cos y x x+的最小值是9. 故答案为：9.15. 已知定义在R 上的函数()f x 满足，(1)(),(2)()f x f x f x f x −=−−=， 且当10,2∈x 时，()2x f x =，则2(log 24)f =_______.【答案】43− 【解析】【分析】根据抽象函数的已知关系可得()(2)f x f x =+，即有223(log 24)(log )2f f =，结合10,2∈x 时，()2x f x =有112x <<时，1()2x f x −=−且213log 122<<，即可求2(log 24)f 的值. 【详解】由(2)()f x f x −=，即有[2(1)](1)(1)f x f x f x −+−+，由(1)()f x f x −=−，即有(1)()f x f x +=−， ∴()(2)f x f x =+，即()f x 的周期为2，则22233(log 24)(4log )(log )22f f f =+=，322<<，即213log 122<<，若令112x <<，则0112x <−<，当10,2 ∈x 时，()2xf x =知：1(1)2x f x −−=，结合(1)()f x f x −=−， ∴112x <<时，1()2x f x −=−， ∴2231log 223log 2324(log )2232f −=−=−=−， 故答案为：43−.【点睛】本题考查了利用函数的周期性及已知区间的解析式求函数值，根据函数关系推导出函数的周期，并由已知区间解析式求目标区间解析式，进而求函数值.16. 设函数()()2sin ,f x x x R ωϕ=+∈，其中0,ωϕπ><，若5112,088f f ππ==，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=__________． 【答案】12π【解析】【详解】 由()f x 的最小正周期大于2π，得42T π>， 又5112,088f f ππ== ，得11534884T πππ=−=，所以3T π=，则2233w w ππ=⇒=，所以()()22sin 2sin()3f x x x ωϕφ=+=+， 由52552sin()2sin()183812f πππφφ=×+=⇒+=，所以52,122k k Z ππφπ+=+∈， 取0k =，得12πφπ=<，所以2,312w πφ==. 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）已知π6α=，求()()27πcos tan πcos 2π25π3πcos sin 22ααααα−+−++的值.（2）已知11222a a −−=，求1222a a a a −−−++值.【答案】（1（2. 【解析】【分析】（1）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系可得原式1cos α=，代值求解即可； （2）将11222a a−−=两边平方可求1a a −+，从而可求1122a a−+，利用平方差公式可得1a a −−，故可求解.【详解】（1）原式tan 1sin cos ααα== （2）11222,a a −−=两边平方得1124,6,a a a a −−−+=∴+=21112228a a a a −− ∴+=++=. 1111111222222()()a a a a a a a a −−−−∴+=∴−=+−=∴1122122()a a a a a a a a −−−−−−==+++ 18. 函数()()2sin 06f x x πωω=+>图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为4π. （1）求函数()f x 在[]0,π上的单调增区间；的（2）当,64x ππ∈−时，求()f x 的值域. 【答案】（1）20,,,63πππ（2）[1,2]− 【解析】【分析】（1）先根据周期可求出ω，从而可求出函数()f x 的单调增区间，然后与[]0,π取交集即得解； （2）根据整体代换法即可求出值域． 【小问1详解】因为()f x 图象的相邻对称轴与对称中心之间的距离为4π，所以()f x 的最小正周期T π=，所以22T πω==，故()2sin 26f x x π =+. 令222()262k x k k πππππ−+≤+≤+∈Z ，则()36k x k k ππππ−+≤≤+∈Z ，即()f x 的单调递增区间为,()36k k k ππππ−++∈Z .而[]0,x π∈，所以函数()f x 在[]0,π上的单调增区间是20,,,63πππ． 【小问2详解】 当,64x ππ ∈−时，22,663t x πππ =+∈− ，则1sin ,12t∈− ，所以()[1,2]f x ∈−，即()f x 的值域为[1,2]−．19. 如图，在平面直角坐标系xoy 中，12A为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的横坐标为()fθ.（1）求()fθ的表达式，并求π2π63f f +； （2）若π163f θ −=，ππ,22θ ∈−，求tan θ值. 【答案】（1）()πcos()6f θθ=+（2）± 【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义，得到()πcos()6f θθ=+，进而求得π2π63f f+的值； （2）根据题意，求得1cos 3θ=，进而三角函数的基本关系式，即可求解. 【小问1详解】解：因为点12A，可得tan AOx =∠π6AOx ∠=， 根据三角函数的定义，可得()πcos()6f θθ=+，所以π2ππ5π1cos cos63362f f+=+=. 【小问2详解】 解：由π163f θ−=，可得1cos 3θ=， 因为ππ,22θ ∈−，所以sin θ，当sin θ=π0,2θ ∈，可得sin tancos θθθ==；的当sin θ=时，即π,02θ ∈−，可得sin tan cos θθθ==− 综上可得，tan θ的值为±. 20. 已知函数2()21x f x a =−+为奇函数，R a ∈. （1）求a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性；（3）若22(4)()0f x x f x k −++−−<恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）1a = （2）()f x 在R 上是增函数 （3）2k > 【解析】【分析】（1）根据奇函数性质可得，()()0f x f x −+=，代入即可得到a 的值； （2）利用单调性的定义证明，任取12,R x x ∈，设12x x <，然后()()12f x f x −()()()12122222121x x x x −=+⋅+，再分析判断其符号即可；（3）利用奇函数性质可推得()222(4)()f x x f x kf x k −+<−−−=+，进而根据函数的单调性可列出不等式，原题转化一元二次不等式在R 上恒成立的问题，求解即可. 【小问1详解】函数定义域为R .因为函数2()21xf x a =−+为奇函数， 所以有()()f x f x −=−，即()()0f x f x −+=. 又222()2121xx xf x a a −⋅−=−=−++， 则()()2222121x x x f x f x a a ⋅−+=−+−++222222021x x a a ⋅+−−+，所以，1a =. 【小问2详解】 由（1）知，2()121xf x =−+.任取12,R x x ∈，不妨设12x x < ，()()121222112121−=−−− ++ x x f x f x ()()()12122222121x x x x−=+⋅+， ∵12x x <，∴1222x x <，∴12220x x −<. 又1210x +>，2210x +>， ∴()()120f x f x −<， 即()()12f x f x <，∴函数()f x 是R 上的增函数. 【小问3详解】 因为，函数2()121xf x =−+为奇函数， 所以22(4)()0f x x f x k −++−−<等价于()222(4)()f x x f x kf x k −+<−−−=+，∵()f x 是R 上的单调增函数，∴224x x x k −+<+，即2240x x k −+>恒成立， ∴()()2442820k k ∆=−−×=−−<， 解得2k >.21. 我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工，某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶.（1）据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入−月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2）为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价()16x x ≥元，并投()33164x −万元作为营销策略改革费用.据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少()20.815x −万瓶，则当每瓶售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润. 【答案】（1）50（2）当每瓶售价19x =元时，下月的月总利润最大为45.45万元 【解析】【分析】（1）设提价a 元，则每瓶饮料利润为()5a +元，由此算出月销量，得到总利润的表达式，根据月总利润不低于原来的月总利润得到关于a 的不等式，即可求出a 的范围，进而求解；（2）由题意可得每瓶利润为()10x −元，得出月销量，从而得到月总利润的函数解析式，最后利用基本不等式求解. 【小问1详解】设提价a 元，由题意知每瓶饮料利润为()5a +元， 则月销量为80.2a −万瓶，所以提价后月总销售利润为()()580.2a a +−万元，因为原来月销售总利润为5840×=万元，且要求月总利润不低于原来的月总利润， 所以()()580.240a a +−≥，即2350a a −≤，解得035a ≤≤，所以售价最多为15351550a +=+=元， 故该饮料每瓶售价最多为50元； 【小问2详解】由题意，每瓶利润为()10x −元， 月销售量为()()20.80.881581515x x x −−=−−−万瓶，设下月总利润为()()33108164y x x=−−−−，16x ≥， 整理得：()141451.21547.45415415y x x x x =−−+=−−++ −− ，16x ≥，∴()14152415x x −+≥=− ， 当且仅当()1415415x x −=−，即19x =时等号成立， ∴()141547.45247.4545.45415y x x =−−++≤−+=−，当且仅当19x =时取等号， 故当售价19x =元时，下月的月总利润最大为45.45万元.22. 已知函数2()2f x x x k =−+与2()ln h x x x k x =−+有相同的定义域.（1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若方程()0f x =有两个相异实数根()1212,0x x x x <<，且()h x 在区间[]12,x x 上单调递减，证明：()()12124h x h x k −<−.(参考结论：ln 1,(0,1)x x x <−∈) 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）先根据()g x 的定义域求解出()f x 的定义域，然后根据∆与0的大小关系分类讨论不等式()0f x >的解集；（2）根据已知条件先判断出k 的取值范围，然后根据()h x 的单调性将()()12h x h x −转化为()()12h x h x −，根据12,x x 的值化简()()12h x h x −并结合参考结论进行证明即可.【详解】解：（1）已知函数()f x 与()h x 有相同的定义域， 所以()f x 与()h x 的定义域都是()0,∞+. 方程220x x k −+=的判别式18k ∆=−. ①当180k ∆=−<即18k >时，()0f x >在(0,)+∞上恒成立. ②当180k ∆=−=即18k =时，()0f x =的根为14x =，所以()0f x >的解集为{0x x >且14x≠.③当180k ∆=−>即18k <时，()0f x =两根为1x =2x =， 若108k <<，则120x x <<， 所以()0f x >的解集为{10x x x <<或}2x x >；若0k ≤，则120x x ≤<，所以()0f x >的解集为{}2x x x >. 综上所述：当0k ≤时，()0f x >的解集为x x > ；的当108k <<时，()0f x >的解集为0x x<<或x >；当18k =时，()0f x >的解集为{0x x >且14x ≠； 当18k >时，()0f x >的解集为{}0x x >. （2）由（1）知，若方程()0f x =有两个相异实数根()1212,0x x x x <<， 则108k <<，且1212x x +=，1212x x k =，因为()h x 在[]12,x x 上是减函数，所以()()12h x h x >， 所以()()()()()()221212111222ln ln h x h x h x h x xx k x x x k x −=−=−+−−+()()()1212121ln ln x x x x k x x −+−+−()11221ln 2x x x k x =−−+121ln 2x k x =−+12ln x k x +. 因为(0,1)x ∈时，ln 1x x <−， 又因为120x x <<，所以1201x x <<.因为12111x x −=−−12−−， 且108k <<，所以1122ln12x x k k k x x <−=−.所以()()121224h x h x k k −<+−=− 所以()()12124h x h x k −<−. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的证明问题的关键在于化简()()12h x h x −，一方面需要利用单调性去掉绝对值符号，另一方面需要利用韦达定理以及对数参考结论进行化简，不仅对计算有着较高要求，同时在变形转化方面也需要重点注意.五、附加题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23. 已知0a >，函数()2f x ax bx c ++.（1）若()f x 有两个零点(),αβαβ<，且()f x 的最小值为4a −，当102a <≤时，判断函数()()22g x ax b x c +−+在(),αβ上的单调性，并说明理由；（2）设2b a =，记()h t 为集合(){}()11f x t x t t −≤≤+∈R 中元素的最大者与最小者之差.若对t ∀∈R ，()2h t a a >−恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数()g x 在区间(),αβ上是单调递减，理由见解析 （2）()0,2 【解析】【分析】（1）运用单调性的定义去判断或者根据函数本身的性质去判断即可；（2）区间与二次函数的对称轴比较，从而的情况中分类讨论，而后得到()h t 的解析式，通过函数解析式求出最小值，再解不等式即可. 【小问1详解】方法1：因为()222424b ac b f x ax bx c a x a a − =++=++， 由题意得2444ac b a a−=−，即22416b ac a −=，所以()2=0f x ax bx c ++时，即22222224416=0=424244b ac b b b ac a a x x a a a a a −− ++⇒+==，所以22b a α=−−，22baβ=−+， 对于任意()12,,x x αβ∈设12x x <，所以()()()1212122b g x g x a x x x x a −−=−++， 因为1222242b b x x a a β+<=−+=−+，又102a <≤，所以12224402b b b ax x a a a −−−++<−++=+≤ 而120x x −<，所以()()()12121220b g x g x a x x x x a −−=−++>，所以()()12g x g x >， 所以函数()g x 在区间(),αβ上是单调递减的.方法2：因为()222424b ac b f x ax bx c a x a a − =++=++， 由题意得2444ac b a a−=−，即22416b ac a −=，所以()2=0f x ax bx c ++时，即22222224416=0=424244b ac b b b ac a a x x a a a a a −− ++⇒+==， 所以22b aα=−−，22ba β=−+，因为()()22g x ax b x c +−+，所以函数()g x 图像的对称轴方程为2122b bx a a a−=−=−， 因为102a <≤，所以11202b a a aβ−−=−≥，即12b a a β−≥， 所以函数()g x 在(),αβ上是单调递减的. 【小问2详解】设()(){}(){}max min h t f x f x =−，[]1,1x t t ∈−+，因为函数()f x 对称轴为12bx a=−=−， ①当11t +≤−即2t ≤−时，()f x 在[]1,1t t −+上单调递减，()()()1144h t f t f t at a =−−+=−−，②当()()1111111t t t t −≤−<+ −−−≥+−−即21t −<≤−时，()()()211h t f t f at =−−−=，③当()()1111111t t t t −≤−<+ +−−>−−−即10t −<≤时，()()()()2112h t f t f a t =+−−=+，④当11t −<−即0t >时，()f x 在[]1,1t t −+上单调递增，()()()1144h t f t f t at a =+−−=+，综上可得：()()2244,2,212,1044,0at a t at t h t a t t at a t −−≤− −<≤−= +−<≤ +>可知()h t 在(],1−∞−上单调递减，在()1,−+∞上单调递增，所以()h t 最小值为()1h a −=， 对t ∀∈R ，()2h t a a >−恒成立，只需2a a a >−即可，解得02a <<，所以a 的取值范围是()0,2.24. 若定义域为一切实数的函数()y h x =满足：对于任意x ∈R ，都有()()()2π2πh x h x h =++，则称函数()y h x =为“启迪”函数．（1）设函数()y f x =，()y g x =的表达式分别为()sin f x x x =+，()cos g x x =，判断函数()f x 与()g x 是否是“启迪”函数，并说明理由；（2）设函数()f x 的表达式是()()sin f x x ωϕ=+，判断是否存在01ω<<以及ππϕ−<<，使得函数()()sin f x x ωϕ=+成为“启迪”函数，若存在，请求出ω、φ，若不存在，请说明理由；（3）设函数()y f x =是“启迪”函数，且在[]0,2π上的值域恰好为()()π0,2f f ，以2π为周期的函数()y g x =的表达式为()()()sin g x f x =，且()g x 在开区间()0,2π上有且只有一个零点，求()2πf ．【答案】（1）()y f x =是“启迪”函数，()y g x =不是“启迪”函数；理由见解析 （2）不存在，理由见解析（3）()2π2πf = 【解析】【分析】（1）根据具有性质P 的定义依次讨论即可得答案； （2）假设函数()y f x =具有性质P ，则有()()()02π02πf f f +=+，即()00f =，进而得()()sin f x x ω=，再根据()()()()2π02π2πf k f kf kf =+=并结合函数的值域为[]1,1−得()2π0f =，故12ω=，此时()sin 2x f x =，再验证()y f x =不具有性质P ，进而得到答案； （3）结合（2），并根据题意得()()2ππZ f k k =∈，进而得()y f x =在[]0,2π的值域为[]0,πk (),0k k ∈>Z ，当2k >时，与()y g x =零点唯一性矛盾得1k =或2k =，再讨论当1k =时不成立得2k =，即()2π2πf =．【小问1详解】函数()y f x =是“启迪”函数，()y g x =不是“启迪”函数，说明如下：()()2πsin 2π2πsin 2πf x x x x x +=+++=++， ()()2πsin 2πf x f x x +=++，对任意x ∈R ，都有()()()2π2πf x f x f +=+，所以()y f x =是“启迪”函数，()2πcos 2g x x +=，()()2πcos 21g x g x +=+，所以()()()2π2πg x g x g +≠+， 所以()y g x =不是“启迪”函数； 【小问2详解】若函数()y f x =是“启迪”函数，则有()()()02π02πf f f +=+，即()00f =，于是sin 0ϕ=，结合ππϕ−<<知0ϕ=， 因此()()sin f x x ω=；若()2π0f ≠，不妨设()2π0f >，由()()()2π2πf x f x f +=+可知：()()2π0(2π)(0)[2(1)π](2π)=(0)[2(2)π]2(2π)f k f f k f f k f f f k f =+=+−++−+()()=(0)[2(3)π]3(2)(0)2π2πf f k f f kf kf π+−+==+= （记作*），其中Z k ∈，只要k 充分大时，()2πkf 将大于1，考虑到()y f x =的值域为为[]1,1−，等式（*）将无法成立， 综上所述必有()2π0f =，即()sin 2π0ω=.再由01ω<<，02π2πω<<，从而2ππω=，而12ω=， 当12ω=时，()sin 2x f x =，()2πsin πsin 22x x f x+=+=−， 而()()2πsin 2xf x f +=，显然两者不恒相等（比如π2x =时） 综上所述，不存在01ω<<以及ππϕ−<<使得()y f x =是“启迪”函数； 【小问3详解】由函数()y f x =是“启迪”函数，以及（2）可知()00f =， 由函数()y g x =是以2π为周期的周期函数，有()()2π0g g =，即()()()()sin2πsin 00f f ==，也即()()2ππZ f k k =∈， 由()00f =，()2ππf k =及题设可知，()y f x =在[]0,2π的值域为[]()0,πZ,0k k k ∈>当2k >时，当()πf x =及()2πf x =时，均有()()()sin 0g x f x ==， 这与零点唯一性矛盾，因此1k =或2k =，当1k =时，()2ππf =，()y f x =在[]0,2π的值域为[]0,π， 此时()()2ππf x f x +=+，于是()y f x =在[]2π,4π上的值域为[]π,2π，由正弦函数的性质，此时()()sin f x 当[]0,2πx ∈时和[]2π,4πx ∈的取值范围不同，因而2k =，即()2π2πf =.。