最新2014届考研数学三模拟测试题

2014年考研数三真题与答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式00000000a b abc d c d= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c -（D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量1232X X X -服从的分布为（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

2162014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。

（1）设lim ,0n a a a =≠且，则当n 充分大时有（ ） （A ）n a >||2a （B ）||||2n a a <(C) 1n a a n>-(D) 1n a a n<+解lim n x a a →∞=0.N N s t n N ε+∴∀>∃∈∀>时，有||n a a ε-<即 .||||||||n n a a a a a a εεεε-<<+⇒-≤≤+取||3a ε=. 有 2||||32n a a a ≥> (2)下列曲线有渐近线的是 （A ）sin y x x =+(B)2sin y x x =+(C)1sin y x x =+(D)21sin y x x =+解 1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]limsin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==217y x ∴=是1sin y x x=+的斜渐近线(3)设()220P x a bx cx dx x =+++→，当时，若tan P x x -（）是比3x 高阶的无穷小，则下列试题中错误的是（ ） （A ）0a = （B ）1b =（C ）0c =（D ）16d =解：由泰勒公式331tan ()3x x x O x =++得 23333001(1)()()()tan 3lim lim 0x x a b x cx d x o x P x x x x→→+-++-+-==10,1,0,,3a b c d ====故选（D ）.（4）设函数f x （）具有二阶导数，011g x f x f x =-+（）（）（）（），则在区间[0,1]上（ ）（A ）0f x f x g x '≥≥当（）时，（）（）（B ）0f x f x g x '≥≤当（）时，（）（） （C ）0f x f x g x ''≤≥当（）时，（）（）（D ）0f x f x g x ''≤≤当（）时，（）（）解 当()0f x "≥时，()f x 是凹函数而()g x 是连接()()0,0f 与()()1,1f 的直线段，故。

x
y
f (0) 0 ，求 f u 的表达式
.
（18）（本题满分 10 分）
求幂级数 (n 1)(n 3)xn 的收敛域及和函数。 n0
（19）（本题满分 10 分）
设函数 f (x), g(x) 在区间[a,b] 上连续，且 f (x) 单调增加， 0 g(x) 1，证明：
x
（I） 0 g(t)dt x a, x [a,b]; a
线性无关的 （A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件 （7）设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求 P（B-A）=（ ） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4
（8）设
X1,
X2,
X3 为来自正态总体 N (0, 2 ) 的简单随机样本，则统计量
1 1
1 0 0
1Hale Waihona Puke 与001
0
0
1
2
相似。
n
第5页
（22）（本题满分 11 分）
设随机变量
X
的概率分布为
1
P{X=1}=P{X=2}=
，在给定 X
i 的条件下，随机变量
Y
服从均匀分布
2
U (0,i)(i 1, 2)
（1）求 Y 的分布函数 FY ( y)
（2）求 EY
（23）（本题满分 11 分）
2x
（14）设总体
X
的概率密度为
f
(x; )
3
2
0
x 2 ，其中 是未知参数, X1, X 2 ,..., X n , 为来自
其它
n

2014年考研数学三真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．1．设0≠=∞→a a n n lim ，则当n 充分大时，下列正确的有（ ）（A ）2a a n >（B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> (D)na a n 1+< 【详解】因为0≠=∞→a a n n lim ，所以0>∀ε，N ∃，当N n >时，有ε<-a a n ，即εε+<<-a a a n ，εε+≤<-a a a n ，取2a =ε，则知2a a n >，所以选择（A ）2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）xx y 1sin += （D ）xx y 12sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim且01==-∞→∞→xx y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设32dx cx bx a x P +++=)(，则当0→x 时，若x x P tan )(-是比3x 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（ ）（A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d 【详解】只要熟练记忆当0→x 时)(tan 3331x o x x x ++=，显然31010====d c b a ,,,，应该选（D ） 4．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的． 显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≤+-，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）５．行列式dc d c ba b a00000000等于（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c bd a - （D ）2222c bd a +- 【详解】20000000000000000)()()(bc ad bc ad bc bc ad ad dc b a bcd c b a ad dc c ba b d c d b a a dcd c ba b a--=-+--=+-=+-=应该选（B ）．6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）． 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ）（A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4【详解】)(.)(.)()()()()()(.)(A P A P A P B P A P A P AB P A P B A P 505030=-=-=-==-． 所以60.)(=A P ，=-)(A B P 205050.)(..)()(=-=-A P AB P B P ．故选择（B ）． 8．设321X X X ,,为来自正态总体),(20σN 的简单随机样本，则统计量3212X X X S -=服从的分布是（A ）),(11F （B ）),(12F （C ） )(1t （D ）)(2t 【详解】232132122XX X X X X S -=-=，显然),(~10221N X X σ-，)(~12223χσX ，且),(~10221N X X σ-与)(~12223χσX 相互独立，从而)(~1222223212321321t X X X XX X X X X S σσ-=-=-=故应该选择（C ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．设某商品的需求函数为p Q 240-=（p 为商品的价格），则该商品的边际收益为 ． 【详解】2240p p pQ p R -==)(，边际收益p p R 440-=)('．10．设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+y x 及2=y 所围成的有界区域，则D 的面积为 ． 【详解】22112101ln +=+=⎰⎰⎰⎰--yydx dy dx dy S11．设412=⎰ax dx xe ，则=a ． 【详解】411241244120202+-=-==⎰)(|)(a e x e dx xe a ax ax ．所以.21=a12．二次积分=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰dx e xe dy y y x 11022． 【详解】)()(12111010101010100110101102222222222-==+-=--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dy ye dy e e dy y e dy x e x d dx e dy dy x e dx dx e x e dy y y y dxx xy x x y y x y y x 13．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ． 【详解】由配方法可知232232231323122213214242xa x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．14．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,,),(02322θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,, 21是来自总体的简单样本，若∑=ni iXC12是2θ的无偏估计，则常数C = ．【详解】22222532θθθθ==⎰2dx x x X E )(，所以21225θCn X C E n i i =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=，由于∑=ni i X C 12是2θ的无偏估计，故125=Cn，nC 52=． 三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy y x y x x )sin(22π 【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D DD dr r r d dxd y x dxdy y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)c o s (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u x cos =，则)cos ()(y e f u f z x ==，y e u f y e u f xze uf xzx x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*． 故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 18．（本题满分10分） 求幂级数∑∞=++031n nxn n ))((的收敛域、和函数．【详解】 由于11=+∞→nn n a a lim，所以得到收敛半径1=R ．当1±=x 时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()11,-． 令和函数)(x S =∑∞=++031n nxn n ))((，则3211121112131111234)('"'")())(()()(x xx x x x x x x n x n n x n n x S n n n n n nn nn n--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=++=∑∑∑∑∑∞=+∞=+∞=∞=∞=19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+ba dtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xa dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa=-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ， []b a x ,∈也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x 得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数． 21．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似． 【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)( ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~A ；1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00 λ~B 从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100 相似． 22．（本题满分11分）设随机变量X 的分布为2121====)()(X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布210,),,(=i i U ．（1） 求Y 的分布函数； （2） 求期望).(Y E 【详解】（1）分布函数())/()/()()/()()/(),(),()()(2121221121=≤+=≤===≤+==≤==≤+=≤=≤=X y Y P X y Y P X P X y Y P X P X y Y P X y Y P X y Y P y Y P y F当0<y 时，0=)(y F ；当10<≤y 时，y y y y F 4322121=+=)(； 当21<≤y 时，214122121+=+=y y y F )(； 当2≥y 时，1=)(y F ． 所以分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤+<≤<=2121421104300y y y y y y y F ,,,,)( （2）概率密度函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<<==其它,,,)(')(021411043y y y F y f ，434432110=+=⎰⎰dy y ydy Y E )(．23．（本题满分11分）设随机变量X ，Y 的概率分布相同，X 的概率分布为321310====)(,)(X P X P ，且X ，Y 的相关系数21=XY ρ． （1） 求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布； （2） 求概率)(1≤+Y X P ．[详解]由于X ，Y 的概率分布相同，故321310====)(,)(X P X P ，321310====)(,)(Y P Y P ， 显然32==EY EX ，92==DY DX 相关系数()929421-=-===XY E DYDX EXEY XY E DY DX Y X COV XY )(),(ρ，所以95=)(XY E ． 而),()(1111==⨯⨯=Y X P XY E ，所以9511===),(Y X P ，从而得到),(Y X 的联合概率分布：11 9511===),(Y X P ，9110===),(Y X P ，9101===),(Y X P ，9200===),(Y X P （2）.),()()(94111111===-=>+-=≤+Y X P Y X P Y X P。

2014年考研数三真题与答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式00000000a b abc d c d= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c -（D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量1232X X X -服从的分布为（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

2014年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。

下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） (1)设lim n→∞a n =a,且a ≠0，则当n 充分大时有(A )|a n |>|a |2(B ) |a n |<|a |2(C ) a n >a −1n(D ) a n <a +1n【答案】A 。

【解析】【方法1】直接法：由lim n→∞a n =a,且a ≠0，则当n 充分大时有|a n |>|a |2【方法2】排除法：若取a n =2+2n ,显然a =2,且(B )和(D )都不正确；取a n =2−2n,显然a =2，且(C )不正确综上所述，本题正确答案是(A )【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质 (2)下列曲线中有渐近线的是(A )y =x +sin x (B )y =x 2+sin x (C ) y =x +sin 1x(D ) y =x 2+sin 1x【答案】C 。

【解析】 【方法1】由于limx→∞f(x)x=limx→∞x+sin1xx=1=alim x→∞[f(x)−ax]=limx→∞[x+sin1x−x]=limx→∞sin1x=0=b所以曲线y=x+sin1x有斜渐近线y=x，故应选(C)解法2考虑曲线y=x+sin1x与直线y=x纵坐标之差在x→∞时的极限lim x→∞[x+sin1x−x]=limx→∞sin1x=0则直线y=x是曲线y=x+sin1x的一条斜渐近线，故应选(C)综上所述，本题正确答案是(C)【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线(3)设p(x)=a+bx+cx2+dx3.当x→0时，若p(x)−tan x是比x3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是(A)a=0 (B)b=1(C)c=0 (D)d=16【答案】D。

【解析】【方法1】当x→0时，tan x−x ~ 13x3知，tan x的泰勒公式为tan x=x+ 13x3+o(x3)又limx→0p(x)−tan xx3=limx→0a+(b−1)x+cx2+(d−13)x3+o(x3)x3=0则a=0,b=1,c=0,d=13显然，a=0，lim x→0p(x)−tan xx3=limx→0a+bx+cx2+dx3−tan xx3=limx→0b+2cx+3dx2−sec2x3x2由上式可知，b=1,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，与题设矛盾。

2014年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。

下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)设且≠0，则当充分大时有(A) (B)(C) (D)【答案】A。

【解析】【方法1】直接法：由且≠0，则当充分大时有【方法2】排除法：若取显然,且(B)和(D)都不正确；取显然，且(C)不正确综上所述，本题正确答案是(A)【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质(2)下列曲线中有渐近线的是(A) (B)(C) (D)【答案】C。

【解析】【方法1】由于所以曲线有斜渐近线，故应选(C)解法2考虑曲线与直线纵坐标之差在时的极限则直线是曲线的一条斜渐近线，故应选(C)综上所述，本题正确答案是(C)【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线(3)设当时，若是比高阶的无穷小，则下列选项中错误的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】【方法1】当时，知，的泰勒公式为又则【方法2】显然，由上式可知，,否则等式右端极限为∞，则左端极限也为∞，与题设矛盾。

故综上所述，本题正确答案是(D)。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较(4)设函数具有二阶导数，,则在区间[0,1]上(A)当时，(B)当时，(C)当时，(D)当时，【答案】D。

【解析】【方法1】由于则直线过点和(),当时，曲线在区间[0,1]上是凹的，曲线应位于过两个端点和的弦的下方，即【方法2】令,则,,当时，。

则曲线，又，从而，当时，,即【方法3】令,则,=当时,单调增，，从而，当时，,即综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明(5)行列式(A) (B)(C) (D)【答案】B。

【解析】灵活使用拉普拉斯公式==综上所述，本题正确答案是(B)【考点】线性代数—行列式—数字型行列式的计算(6)设均为三维向量，则对任意常数,向量组线性无关是向量组线性无关的(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件【答案】A。

2014年考研数三真题与答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n a a >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1siny x x =+ （D ）21sin y x x=+（3）设23(x)a P bx cx dx =+++ ，当0x → 时，若(x)tanx P - 是比x 3高阶的无穷小，则下列试题中错误的是 （A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式00000000a b abc d c d= （A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c -（D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量1232X X X -服从的分布为（A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

2014年南宁市高中毕业班第三次适应性测试数 学(理)试卷 答案2014.41． 【解析】B 2． 【解析】C 3． 【解析】C4． 【解析】B a PF 41=,a PF 22=,()()()2222244224b a c a a +==+,224a b =,2=ab双曲线C 的渐近线方程是02=±y x5． 【解析】Ｃ. 6． 【解析】B. 7． 【解析】A.8．【解析】C.方法1：42443234222421442)1()1()1()1(111x x C x x C x x C x x C x x -+-+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+中，只有2个常数项1和)1(221334x x C C -方法2：要构成常数项，两种情况，一是4个括号中全取1，2 是4个括号中，1个取1，2个取x ，还有1个取21x -，即)1(221334xx C C -。

9． 【解析】A. 0)sin )(cos sin (cos )sin(-)cos(=+-=-+ββααβαβα10． 【解析】D. 21,P P 只能在对称轴π67=x 左右各3π处，所以a 为π65=x 所对应的函数值21-)365sin(=+=ππy ，11．【解析】C. 共有如图所示11个整点，三角形共有：148735311=--C C12．【解析】A.由题设知04,02≤->>ac b a b ，ab c 42≥令0>=-t a b ，则t a b +=所以31)32(4)3(44)(222=≤+=++++≤+++=++-=at at t a at at a t a a tct a a tc b a a b M 当且仅当ab c t a 4.,32==即a c b 4==时取等号.13．【解析】4 14．【解析】6. 15． 【解析】22.法1：作平面1AA BMC ⊥，221=⋅=BMC S AA V 法2：作ABC D A 面⊥1，求出21=D A ，22=V16．【解析】2.由12--=-=n n n n S S S n n a 知：2111=--n S n S n n（2≥n ）所以1)21(21-=n n n S 所以n n n S 2= 14321132122123222121221232221+=-=+-+⋅⋅⋅+++=+-+⋅⋅⋅+++=∑∑n n n n n n n nn n nn S n n S所以132122121212121+=-+⋅⋅⋅+++=∑n n n n n n S所以12()2lim n n SS S →∞++⋅⋅⋅+=17． 解： A 、B 、C 的大小成等差数列，∴060B =，………………………3分a c +=，∴sin sin A C B += ………………………5分∴2sin()sin 32C C π-+=，化简得sin()62C π+=，……………8分 A C >，∴03C π<<，∴662C πππ<+<，∴64C ππ+=，∴12C π=.………………………………………10分 18．解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则F E D ,,分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5由对立事件的概率公式知P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有：F DE ，F E D ，EF D ，DEF . ········2分 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (F DE )＋P (F E D ＋P (EF D )＋P (DEF )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.45.·······6分 (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知F E D 、F E D 、F E D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此P (ξ＝0)＝P ( F E D )＝0.6×0.5×0.5＝0.15， ·········7分P (ξ＝1)＝P (F E D )＋P (F E D )＋P (F E D )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.4. ·········8分P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.4×0.5×0.5＝0.1. ·········9分由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.35. ··········10分所以ξ的分布列为：因此E (ξ)＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4. ·············12分19． 证明：（I ）由AE ⊥平面BCDE 得AE ⊥BD ，又90=∠=∠=∠CDA BCD ABC ,CD BC =，得四边形BCDE 为正方形，CE BD ⊥∴又E CE AE ACE CE ACE AE =⋂⊂⊂,平面，平面 故ACE BD 平面⊥，…………………………………………6分（II ）方法一:由（I ）的证明过程知OD ⊥平面AEC ，过O 作OF EG ⊥，垂足为F ，则易证得DF EG ⊥，故OFD ∠即为二面角C EG D --的平面角，…………………8分由已知可得6AE =，则2AE AG AC =⋅，故EG AC ⊥，则2CGOF ==，又OD =DF =……………………………………………………………… 10分故cos OFD ∠=，即二面角C EG D --的余弦值为．………………………12分方法二: 由（I ）的证明过程知BCDE 为正方形，如图建立坐 标系，则(0,0,0),(0,6,0),(0,0,6),(6,0,0),(6,6,0)E D A B C ， 可得(2,2,4)G ，…………………………………………8分 则)4,2,2(),0,6,0(==→→EG ED ，易知平面CEG的一个法向量为)0,6,6(-=→BD ，设平面DEG 的一个法向量为)1,,(y x n =→，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00EG n ED n 得)1,0,2(-=→n ，…………10分则510cos =⋅=〉⋅〈→→→→→→nBD n BD n BD ，即二面角C EG D --的余弦值为．……………12分20 ． 解：（1）令n=1,S 1=2a 1－3. ∴a 1 =3由 S n+1=2a n+1－3(n+1), S n =2a n －3n, 两式相减，得 a n+1 =2a n+1－2a n －3，则 a n+1 =2a n +3 ．………………………………4分)3(231+=++n n a a2331=+++n n a a所以{3+n a }为公比为2的等比数列……………6分 ⑵a n +3=（a 1+3）·2n －1=6·2n －1，∴ a n =6·2n －1－3 ………………………8分 .6326321)21(6--⋅=---=n n S n n n …………………10分)2(2+=n n b n ………………11分4625321112322+++=+-+-=n n n n n n T n …………………12分21． 解：（1）直线AB ：1x ya b+=，即0=-+ab ay bx ，∴2225c a b c ⎧==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a =4，235a =（舍去），∴21b =，∴椭圆E ：2214x y +=；………………………………………6分 （2）当OP K 不存在时，显然直线PQ 是与问题（2）中的圆O 2245x y +=相切； 当OP K 存在时，设OP ：y kx =（k >0），代入椭圆方程22244x k y += ∴22414x k =+，取P x>0， 以1k -代k ，得Q x，∴OP =OQ == 因OQ OP ⊥，∴PQ ===设边PQ 上的高为h ，由面积法21122h =∴h =PQ 与圆O ：2245x y +=总相切， 同理，由对称性可知，当k <0时，及P x <0，结论也成立。

3
32
(2)下列曲线有渐近线的是
（A） y = x + sin x (B) y = x2 + sin x
(C) y = x + sin 1
(D)
x
y = x2 + sin 1 x
【解析】 a
=
lim
f
(x)
=
lim
x + sin
1 x
=
lim(1 +
1 sin
1)
=1
x→∞ x
x→∞
x
x→∞ x x
0 k
0
1 l
知，
（D）既非充分也非必
α1,α2 ,α3
线性无关时，因为
1 0
0
≠0
0
所以α1 + kα3,α2 + lα3 线性无关 反之不成立. 如当α3 = 0 ，且α1 与α2 线性无关时，α1,α2 ,α3 线性相关
【答案】A
（7）设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P（B）=0.5，P（A-B）=0.3，则 P（B-A）=（ ）
b = lim[ f (x) − ax] = lim[x + sin 1 − x] = lim sin 1 = 0
x→∞ 是 y = x + sin 1 的斜渐近线 x
(3)设 P ( x) = a + bx + cx2 + dx2，当x → 0 时，若 P（x）− tan x 是比 x3 高阶的
∴P（B-A）=P（B）-P（BA）=0.5-0.3=0.2
【答案】B
（8）设 X1，X2，X3 为来自正态总体 N（0，σ 2 ）的简单随机样本，则统计量 S = X1 − X 2 服 2 X3

（C）当 f (x) 0 时， f (x) g(x)
0ab 0 a00b
0cd 0 5．行列式 c 0 0 d （ ）。
（A） (ad bc)2
（B） (ad bc)2
（D）当 f (x) 0 时， f (x) g(x)
（C） a2d 2 b2c2
（D） b2c2 a2d 2
6．设1,2 ,3 均为三维向量，则对任意常数 k, l ，向量组1 k3,2 l3 线性无关是向
21．（本题满分 11 分）。
1 1 1 0 0 1
1 1 10Fra bibliotek02
证明 n 阶矩阵 1
1
1 与 0
0
n 相似。
22．（本题满分 11 分）。
设随机变量 X 的概率分布为 PX 1 PX 2 1 ，在给定 X i 的条件下，随机变
2 量Y 服从均匀分布U (0.i)(i =1, 2) 。
__________。
13．设二次型 f x1, x2 , x3 x12 x22 2ax1x3 4x2 x3 的负惯性指数是 1，则 a 的取值范围
是__________。
14 ． 设 总 体
X
的概率密度为
f
x;
2x 3 2
,
x 2
，其中
是未知参数，
0, 其他
n
X1,
X 2,,
（1）求Y 的分布函数 FY y 。
（2）求 EY 。
23．（本题满分 11 分）。
设随机变量 X ,Y
的概率分布相同，X
PX
的概率分布为
0
1 PX
3，
1
2 3
,且
X
与

（7）设随机事件A与B相互独立，且P（B）=0.5，P(A-B)=0.3，求P（B-A）=（）
（A）0.1
（B）0.2
（C）0.3
（D）0.4
（8）设 为来自正态总体 的简单随机样本，则统计量 服从的分布为
（A）F（1,1）
（B）F（2,1）
（C）t(1）
（D）t(2)
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（19）（本题满分10分）
设函数 在区间 上连续，且 单调增加， ，证明：
（I）
（II）
（20）（本题满分11分）设 ， 为3阶单位矩阵。
①求方程组 的一个基础解系；②求满足 的所有矩阵
（21）（本题满分11分）证明 阶矩阵 与 相似。
（22）（本题Leabharlann 分11分）设随机变量X的概率分布为P{X=1}=P{X=2}= ，在给定 的条件下，随机变量Y服从均匀分布
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）设函数 具有二阶导数， ，则在区间 上（）
（A）当 时，
（B）当 时，
（C）当 时，
（D）当 时，
（5）行列式
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）设 均为3维向量，则对任意常数 ，向量组 线性无关是向量组 线性无关的
（A）必要非充分条件
（B）充分非必要条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分也非必要条件
2014年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）设 且 则当n充分大时有（）

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)2004 (1)曲线上与直线垂直的切线方程为__________ . (2)已知,且,则=__________ .(5)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=__________ .(6)设随机变量服从参数为的指数分布,则= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分)(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A) (B) (C)(D)(8)设函数连续,且则存在,使得 (A)在(0,内单调增加(B)在内单调减少(C)对任意的有 (D)对任意的有(9)设为正项级数,下列结论中正确的是(A)若=0,则级数收敛(B)若存在非零常数,使得,则级数发散(C)若级数收敛,则(D)若级数发散, 则存在非零常数,使得ln y x =1=+y x (e )e xxf x -'=(1)0f =()f x 210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B **2=+ABA BA E *A A EB X λ}{DX X P >+→0x dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===302sin ,tan ,cos 2γβαγβα,,βγα,,γαβ,,αγβ,,()f x ,0)0(>'f 0>δ()f x )δ()f x )0,(δ-),0(δ∈x ()(0)f x f >)0,(δ-∈x ()(0)f x f >∑∞=1n nan n na ∞→lim ∑∞=1n naλλ=∞→n n na lim ∑∞=1n na∑∞=1n na0lim 2=∞→n n a n ∑∞=1n naλλ=∞→n n na lim(10)设为连续函数,,则等于(A)(B) (C)(D) 0(11)设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为(A)(B)(C)(D)(12)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有 (A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关 (B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关 (C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关 (D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关(13)设随机变量服从正态分布对给定的,数满足,若,则等于(A)(B)(C)(D)(14)设随机变量独立同分布,且其方差为 令,则(A)(B) (C)(D) ()f x ⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()()2(F '2(2)f (2)f (2)f -A A B B C =AQ C Q ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110,A B =AB O A ,B A ,B A ,B A ,B X (0,1),N )10(<<αααu αα=>}{u X P α=<}{x X P x 2αu 21α-u21α-u α-1u )1(,,,21>n X X X n .02>σ∑==ni i X n Y 1121Cov(,)X Y nσ=21Cov(,)X Y σ=212)(σnn Y X D +=+211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分)设,证明. (16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(18)(本题满分11分)设有方程,其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.(19)(本题满分12分)设是由确定的函数,求的极值点和极值.(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.2e e a b <<<2224ln ln ()eb a b a ->-).100.66⨯=k 10nx nx +-=n n x 1α>1n n x α∞=∑(,)z z x y =2226102180x xy y yz z -+--+=(,)z z x y =121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩a(21)(本题满分9分)设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设为随机事件,且,令 求:(1)二维随机变量的概率分布. (2)和的相关系数(23)(本题满分9分)设总体的分布函数为其中未知参数为来自总体的简单随机样本,求:(1)的矩估计量.(2)的最大似然估计量.12314315a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A a A ,AB 111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧=.,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧=(,)X Y X Y .XY ρX ,1,1,0,11),(≤>⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x F ββn X X X ,,,,121 >βX ββ一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) 03(1) = .(4)从的基到基的过渡矩阵为 .(5)设二维随机变量的概率密度为,则 .(6)已知一批零件的长度(单位:cm)服从正态分布,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值 二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分)(1)设函数在内连续,其导函数的图形如图所示,则有(A)一个极小值点和两个极大值点(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设均为非负数列,且,,,则必有(A)对任意成立 (B)对任意成立 (C)极限不存在(D)极限不存在(3)已知函数在点的某个邻域内连续,且,则 (A)点不是的极值点 (B)点是的极大值点 (C)点是的极小值点(D)根据所给条件无法判断点是否为的极值点)1ln(12)(cos lim x x x +→2R1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ(,)X Y (,)f x y =60x 01x y ≤≤≤其它=≤+}1{Y X P X )1,(μN μ.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ()f x ),(+∞-∞()f x }{},{},{n n n c b a 0lim =∞→n n a 1lim =∞→n n b ∞=∞→n n c lim n n b a <n n n c b <n n n n c a ∞→lim n n n c b ∞→lim (,)f x y (0,0)1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x (0,0)(,)f x y (0,0)(,)f x y (0,0)(,)f x y (0,0)(,)f x y(4)设向量组I:可由向量组II:线性表示,则(A)当时,向量组II 必线性相关 (B)当时,向量组II 必线性相关 (C)当时,向量组I 必线性相关(D)当时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组和,其中均为矩阵,现有4个命题: ① 若的解均是的解,则秩秩 ② 若秩秩,则的解均是的解 ③ 若与同解,则秩秩 ④ 若秩秩, 则与同解 以上命题中正确的是 (A)①②(B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量,则 (A) (B)(C)(D)三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形. (1)求的面积.(2)求绕直线旋转一周所得旋转体的体积. 四、(本题满分12分)将函数展开成的幂级数,并求级数的和.六 、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为).汽锤第一次击打将桩打进地下m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)12,,,r ααα12,,,s βββs r <s r >s r <s r >0x =A 0x =B ,A B n m ⨯0x =A 0x =B ()≥A ()B ()≥A ()B 0x =A 0x =B 0x =A 0x =B ()=A ()B ()=A ()B 0x =A 0x =B 21),1)((~XY n n t X =>2~()Y n χ2~(1)Y n χ-~(,1)Y F n ~(1,)Y F n ln y x =ln y x =x D D A D e x =V x xx f 2121arctan )(+-=x ∑∞=+-012)1(n n n .0k k >a (01)r r <<七 、(本题满分12分)设函数在内具有二阶导数,且是的反函数.(1)试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件的解.九 、(本题满分10分)设矩阵,,,求的特征值与特征向量,其中为的伴随矩阵,为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为, , .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为()y y x =),(+∞-∞)(,0y x x y =≠'()y y x =()x x y =0))(sin (322=++dy dx x y dy x d ()y y x =23)0(,0)0(='=y y 322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 1*-=B P A P 2+B E *A A E :1l 032=++c by ax :2l 032=++a cy bx :3l 032=++b ay cx .0=++c b a十一 、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二 、(本题满分8分)设总体的概率密度为其中是未知参数. 从总体中抽取简单随机样本,记(1)求总体的分布函数. (2)求统计量的分布函数.(3)如果用作为的估计量,讨论它是否具有无偏性.X ()f x =2()2e 0x θ--0x x θ>≤0>θX n X X X ,,,21 ).,,,min(ˆ21nX X X =θX ()F x θˆ)(ˆx F θθˆθ一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)= _____________. (2)已知,则=_____________. (3)满足初始条件的特解是_____________. (4)已知实二次型经正交变换可化为标准型,则=_____________.(5)设随机变量,且二次方程无实根的概率为0.5,则=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)考虑二元函数的四条性质:①在点处连续, ②在点处的一阶偏导数连续, ③在点处可微, ④在点处的一阶偏导数存在. 则有:(A)②③① (B)③②① (C)③④①(D)③①④(2)设,且,则级数为(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数在上有界且可导,则(A)当时,必有 (B)当存在时,必有(C) 当时,必有(D)当在时,必有.(5)设和是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为和,分布函数分别为和,则⎰∞+exx dx2ln 2e 610yxy x ++-=(0)y ''02='+''y y y 1(0)1,(0)2y y '==323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=216y f =a ),(~2σμN X 042=++X y y μ),(y x f ),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(00y x ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒0≠n u 1lim =∞→nn u n )11()1(11+++-∑n n n u u )(x f +R 0)(lim =+∞→x f x 0)(lim ='+∞→x f x )(lim x f x '+∞→0)(lim ='+∞→x f x 0)(lim 0=+→x f x 0)(lim 0='+→x f x )(lim 0x f x '+→0)(lim 0='+→x f x X Y )(x f X )(y f Y )(x F X )(y F Y(A)＋必为密度函数 (B) 必为密度函数 (C)＋必为某一随机变量的分布函数 (D) 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数在的某邻域具有一阶连续导数,且,当时,若,试求的值.四、(本题满分7分)已知两曲线与在点处的切线相同.求此切线的方程,并求极限.五、(本题满分7分) 计算二重积分,其中.七、(本题满分7分)(1)验证函数()满足微分方程.(2)求幂级数的和函数.九、(本题满分6分)已知四阶方阵, 均为四维列向量,其中线性无关,.若,求线性方程组的通解.)(x f X )(y f Y )(x f X )(y f Y )(x F X )(y F Y )(x F X )(y F Y )(x f 0x =0)0()0(≠'f f 0→h )()0()2()(h o f h bf h af =-+b a ,)(x f y =2arctan 0e x t y dt -=⎰(0,0))2(lim nnf n ∞→22max{,}e x y Ddxdy ⎰⎰}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ∑∞==03)!3()(n nn x x y +∞<<∞-x e x y y y '''++=∑∞==03)!3()(n nn x x y 1234(,,,)=A αααα1234,,,αααα234,,ααα1232=-ααα1234=+++βααααx =A β十、(本题满分8分)设为同阶方阵,(1)若相似,证明的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量的概率密度为,A B ,A B ,A B ,A B X对独立地重复观察4次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体的概率分布为其中()是未知参数,利用总体的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3.求的矩估计和最大似然估计值.()f x =1cos 0220 xx x≤≤其它X Y 3π2Y θ02θ<<X θ一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(3)交换二次积分的积分次序:＝_____________.(4)设,则= _____________.(5),则根据车贝晓夫不等式有估计 _____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)(1)设函数在定义域内可导,的图形如右图所示,则的图形为(A) (B)(C) (D)(2)设在点的附近有定义,且则 (A)(B)曲面在处的法向量为(C)曲线 在处的切向量为(D)曲线在处的切向量为e (sin cos )(,xy a x b x a b =+⎰⎰--0112),(y dx y x f dy 24+-=A A E O 1(2)--A E ()2D X =≤≥-}2)({X E X P )(x f )(x f y =)(x f y '=),(y x f (0,0)1)0,0(,3)0,0(='='y x f f (0,0)|3dz dx dy =+),(y x f z =(0,0,(0,0))f {3,1,1}(,)z f x y y ==(0,0,(0,0))f {1,0,3}(,)z f x y y ==(0,0,(0,0))f {3,0,1}(3)设则在=0处可导(A)存在(B) 存在(C)存在(D)存在(4)设,则与 (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷次,以和分别表示正面向上和反面向上的次数, 则和相关系数为(A) -1 (B)0(C)(D)1三、(本题满分6分) 求.四、(本题满分6分)设函数在点可微,且,,求.0)0(=f )(x f x ⇔20(1cos )lim h f h h →-0(1e )lim h h f h→-2(sin )limh f h h h →-hh f h f h )()2(lim-→1111400011110000,11110000111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B A B n X Y X Y 122arctan e exxdx ⎰),(y x f z =(1,1)3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f )),(,()(x x f x f x =ϕ13)(=x x dxd ϕ五、(本题满分8分)设 ,将展开成的幂级数,并求的和.七、(本题满分7分)设在内具有二阶连续导数且.证明:(1)对于,存在惟一的,使 =+成立.(2).八、(本题满分8分)设有一高度为为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设为线性方程组的一个基础解系,,其中为实常数,试问满足什么条件时也为的一个基础解系?()f x =21arctan 010x x x xx +≠=)(x f x ∑∞=--1241)1(n nn)(x f (1,1)-0)(≠''x f )1,0()0,1( -∈∀x )1,0()(∈x θ)(x f )0(f ))((x x f x θ'5.0)(lim 0=→x x θt t h )(()()(2)(22t h y x t h z +-=12,,,s ααα=AX O 1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβαα21,t t 21,t t 12,,,s βββ=AX O十、(本题满分8分)已知三阶矩阵和三维向量,使得线性无关,且满足.(1)记求使.(2)计算行列式.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为且中途下车与否相互独立.为中途下车的人数,求:(1)在发车时有个乘客的条件下,中途有人下车的概率. (2)二维随机变量的概率分布.十二、(本题满分7分)设抽取简单随机样本样本均值,,求A x 2,,A A x x x 3232=-A A A x x x 2(,,),=P A A x x x B 1-=A PBP +A E X (0)λλ>(01),p p <<Y n m (,)X Y 2~(,)X N μσ122,,,(2),n X X X n ≥∑==ni i X n X 2121∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(().E Y。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)模拟试卷三考生注意事项1．答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号．2．答案必须书写在答题纸指定位置的边框区域内，写在其他地方无效．3．填(书)写必须使用蓝(黑)色字迹钢笔。

圆珠笔或签字笔．4．考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回．一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上)(1)(A)1． (B)2． (C)3． (D)4．二、填空题(9～14小题。

每小题4分。

共24分，请将答案写在答题纸指定位置上)(9)设一本书各页的印刷错误的个数X服从泊松分布．已知该书中有一个和两个印刷错误的页数相同，现任意随机抽查3页，则此3页中都没有印刷错误的概率为p=——·三、解答题(15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明。

证明过程或演算步骤)(17)(本题满分l0分)(19)(本题满分l0分)(20)(本题满分l0分)(21)(本题满分ll分)(22)(本题满分ll分)(23)(本题满分ll分)2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)模拟试卷三解析一、选择题(1)应选(A)．(2)应选(C)．分析本题考查二元函数在某点处偏导数的存在性问题．由题目特点，要利用偏导数定(4)应选(B)．(6)应选(A)．分析本题考查方阵的相似对角化问题．要先根据题设条件求出参数a ，b 的值，进而求分析本题考查方差的运算性质，利用方差的相应运算性质处理题设等式条件可得．注题中的X和y相互独立的条件不可缺少．二、填空题(9)(10)分析本题实质上考查求二元方程确定的一元隐函数的导数问题，选用“求导法”、“微分法”、“公式法”(详见《考研数学复习教程》)中的某方法求解即可．解方程两边对2求导，得(13)应填2．(14)分析本题考查已知泊松分布求概率问题．要由条件先求出泊松分布的参数．三、解答题(15)分析(16)分析本题考查方程实根问题——见到方程实根或两曲线交点问题，就要先找函数再定区间，然后用零点定理．若还要研究个数，则必用函数的单调性以及极(最)值处理(详见《考研数学复习教程》)．(17)分析本题考查求二元抽象复合函数的偏导数问题，利用复合函数的求导法则解之即可．(18)分析本题考查二重积分的计算问题．要先划分区域D，处理掉被积函数中的最小函数以及绝对值函数，再化为累次积分计算．(19)分析本题主要考查幂级数的运算性质．将幂级数代入题设条件中的微分方程，化简整理后可得．解 (I)因幂级数在(-∞，+∞)内收敛，故其和函数y(x)在(-∞，+∞)内任意阶可导，故有(20)分析本题考杏两个齐次线性方程组解的关系问题．由于方程组(I)容易求解，(21)分析本题考查求抽象矩阵的特征值及其相似对角化问题——见到一组向量的等式，就要想到可将其合并成一个矩阵的等式，有了此矩阵等式，问题便迎刃而解．本题考查一维连续型随机变量的有关问题．对于求概率密度中的参数．由(23)分析本题主要考查二维离散型随机变量的有关问题，其关键是求出u与V的联合分布律——见到求分布律问题，就想“三大纪律”一一定取值，算概率，验证l，其中的求概率是已知二维均匀分布求概率，可利用二维几何概型求解，即只要求得相应的面积比(所求随机事件的面积与样本空问的面积之比)即可．(III)。

（1）求Y的分布函数 FY ( y)
（2）求EY
（23）（本题满分11分）
设随机变量X与Y的概率分布相同，X的概率分布为 P{X

0}
1 , P{X
1}
2 , 且X与Y
3
3
的相关系数 XY

1 2
（1（ 求（X，Y）的概率分布
（2）求P{X+Y 1}
2014年全国硕士研究生入学统一考试
（21）（本题满分11分）证明
n
阶矩阵
1
1

1
与

0
0

2

相似。
1
1

1
0
0

n
（22）（本题满分11分）
设随机变量X的概率分布为P{X=1}=P{X=2}= 1 ，在给定 X i 的条件下，随机变量Y服从均 2
匀分布U (0,i)(i 1, 2)

求幂级数 (n 1)(n 3)xn 的收敛域及和函数。 n0
（19（（本题满分10分）
设函数 f (x), g(x) 在区间[a, b] 上连续，且 f (x) 单调增加， 0 g(x) 1，证明：
x
（I） 0 g(t)dt x a, x [a,b]; a
（II）
2014年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）设 lim an a, 且 a 0, 则当n充分大时有（）
a （A） an 2

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定位置上。

（1）设lim ,0n n a a a →∞=≠且，则当n 充分大时有（ ）（A ）n a >||2a （B ）||||2n a a <(C) 1n a a n>-(D) 1n a a n<+答案：(A)【解析】方法1：lim 0,lim 0,=2n n n n aa a a a ε→∞→∞=≠∴=>取，则当n 充分大时，3,,22n n n a aa a a a a εεε-<-<-<<<即，故（A ）正确。

方法2：lim n n a a →∞=N N n N ε+∴∀>∃∈∀>使，有||n a a ε-<即 ||||||.0,222n n a a a a a a a a a εεε-<<+≠∴=<<+可取，则a-不论a >0或a <0，都有||2n a a >，选A(2)下列曲线有渐近线的是 （A ）sin y x x =+(B)2sin y x x =+(C)1sin y x x =+(D)21sin y x x=+【答案】C【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]lim sin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线注：渐近线有3种：水平、垂直、斜渐近线。

本题中(A)(B)(D)都没有渐近线，(C)只有一条斜渐近线。

(3)设()220P x a bx cx dx x =+++→，当时，若tan Px x -（）是比3x 高阶的无穷小，则下列试题中错误的是（ ）（A ）0a = （B ）1b = （C ）0c = （D ）16d =【答案】D【解析】法1：由泰勒公式331tan 0()3x x x x =++得 23333001(1)()()()tan 3lim lim 0x x a b x cx d x o x P x x x x→→+-++-+-== 10,1,0,,3a b c d ====故选（D ）.法2：由条件及洛必达法则可得222320000()tan 23sec lim tan 0,0,lim lim ,limsec 1,3x x x x P x x b cx dx x x a x x x →→→→-++-====知又 故b =1,同理，再用洛比达法则可得20262sec tan lim 06x c dx x x x→+-⋅=，0c =，13d =，故选（D ）.（4）设函数f x （）具有二阶导数，011g x f x f x =-+（）（）(）（），则在区间[0,1]上（ ）（A ）0f x f x g x '≥≥当（）时，（）（）（B ）0f x f x g x '≥≤当（）时，（）（）(C)当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥. (D)当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】方法1：（利用函数的凹凸性）当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数 而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()()f xg x ≤方法2：（利用函数的单调性）()()()h x g x f x =-令，则(0)(1)0h h ==，由洛尔定理知，(0,1)()0,h ξξ'∃∈=，使若()0f x ''≥，则()0,()h x h x '''≤单调递减， 当(0,)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≥=，()h x 单调递增，()(0)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即； 当(,1)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≤=，()h x 单调递减，()(1)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即；注：当0f x '≥（）时，只能说明()f x 是单调增加的，但增加的方式可能是以凸的形式，也可能是以凹的形式，若是前者，则()()f x g x ≥，此时(A)成立，如()f x x =；若是后者，则()()f x g x ≤，此时(B)成立，如2()f x x =.（5）行列式00000000a b abc d cd=（ ） （A ）2ad bc -（） （B ）2ad bc --（）（C ）2222a dbc -（D ）2222b c a d -【解析】004000a b ab c d cd按第行展开c ·（-1）4+1440000(1)0000a b a bb d acd c d++- =-c ·b （-1）3+2a b c d +d ·a （-1）2+1a b c d=()·ad bc bc ad ad bc ---（） =()()()2ad bc bc ad ad bc --=--【答案】B（6）设1α，2α，3α均为3维向量，则对任意常数,,k l 向量组1323 k l αααα++,线性无关是向量组1α ，2α，3α线性无关的（ ） （A ）必要非充分条件.(B)充分非必要条件.（C ）充分必要条件.(D)既非充分也非必要条件.【答案】A【解析】先看充分性是否成立：取特例：123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0)TTTααα===，则对任意常数,k l ， 1323,k l αααα++线性无关，而123,,ααα线性相关（含零向量的任何向量组线性相关），故充分性不成立。