2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析(数三)
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2017年数三考研真题_附答案解析2017年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学三试题及参考答案⼀、选择题:1~8⼩题,每⼩题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.若函数1,0(),0x f x axb x ?->?=??≤?在0x =处连续,则()(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =2.⼆元函数(3)z xy x y =--的极值点()(A)(0,0)(B)(0,3)(C)(3,0)(D)(1,1)3.设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>则()(A)()()11f f >-(B)()()11f f <-(C)()()11f f >-(D)()()11f f <-4.若级数2111n sin kln n n ∞=??--∑收敛,则k =()(A)1(B)2(C)-1(D)-25.设α为n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则()(A)T E αα-不可逆(B)T E αα+不可逆(C)2T E αα+不可逆(D)2T E αα-不可逆6.已知矩阵200021001A=??210020001B =??100020002C ??=,则()(A)A 与C 相似,B 与C 相似(B)A 与C 相似,B 与C 不相似(C)A 与C 不相似,B 与C 相似(D)A 与C 不相似,B 与C 不相似7.设A B 、、C 为三个随机事件,且A 与C 相互独⽴,与C 相互独⽴,则A B ?与C 相互独⽴的充要条件是()(A)A 与B 相互独⽴(B)A 与B 互不相容(C)AB 与C 相互独⽴(D)AB 与C 互不相容8.设12,......(2)n X X X n ≥来⾃总体(,1)N µ的简单随机样本,记11nii X X n ==∑则下列结论中不正确的是()(A)21()ni i X µ=-∑服从2χ分布(B)212()n X X -服从2χ分布(C)21()n ii XX =-∑服从2χ分布(D)2()n X µ-服从2χ分布⼆、填空题:9~14⼩题,每⼩题4分,共24分。
考研数学三(概率统计)模拟试卷17(题后含答案及解析)题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设P(B)>0,A1,A2互不相容,则下列各式中不一定正确的是( ) A.P(A1A2|B)=0B.P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)C.D.正确答案:C解析:由A1A2=,得P(A1A2)=0,于是P(A1 ∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)一P(A1A2|B) =P(A1|B)+P(A2|B),(B)正确;=1一P(A1|B)一P(A2|B)≠1,(C)错误;=1一P(A1A2|B)=1—0=1,(D)正确。
故选(C).知识模块:概率论与数理统计2.设随机变量X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,则( ) A.(X,Y)是服从均匀分布的二维随机变量B.Z=X+Y是服从均匀分布的随机变量C.Z=X—Y是服从均匀分布的随机变量D.Z=X2是服从均匀分布的随机变量正确答案:A解析:当X与Y相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布时,(X,y)的概率密度为所以,(X,y)是服从均匀分布的二维随机变量.因此本题选(A).知识模块:概率论与数理统计3.设随机向量(X,y)的概率密度f(x,y)满足f(x,y)=f(一x,y),且ρXY 存在,则ρXY=( )A.1B.0C.-1D.-1或1正确答案:B解析:=∫-∞+∞ydy∫-∞+∞(一t)f(t,y)dt=一∫-∞+∞ydy∫-∞+∞xf(x,y)dx=一E(XY),所以E(XY)=0.同理,EX=∫-∞+∞x[∫-∞+∞f(x,y)dy ]dx=0,所以ρXY=0.同理,当f(x,y)=f(x,一y)时,ρXY=0.知识模块:概率论与数理统计4.设X1,X2,…Xn(0>1)是来自总体N(0,1)的简单随机样本,记则( )A.B.C.D.正确答案:C解析:知识模块:概率论与数理统计5.设X1,X2,…X8是来自总体N(2,1)的简单随机样本,则统计量服从( )A.χ2(2)B.χ2(3)C.t(2)D.t(3)正确答案:C解析:因此本题选(C).知识模块:概率论与数理统计填空题6.设两个相互独立的事件A与B至少有一个发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则P(A)=________ .正确答案:解析:知识模块:概率论与数理统计7.设对于事件A,B,C有P(A)=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=,则A,B,C三个事件至少出现一个的概率为________.正确答案:解析:知识模块:概率论与数理统计8.设二维随机变量(X,Y)在上服从均匀分布,则条件概率=________.正确答案:1解析:G如图3—4的△OAB,它的面积,所以(X,Y)的概率密度为由于关于Y的边缘概率密度知识模块:概率论与数理统计9.设随机变量X1,X2,…X100独立同分布,且EXi=0,DXi=10,i=1,2,…,100,令正确答案:990解析:知识模块:概率论与数理统计10.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X~N(0,3),Y~N(0,4),相关系数ρXY=,则(X,Y)的概率密度f(x,y)为________.正确答案:解析:知识模块:概率论与数理统计11.设X1,X2,X3是来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,记U=X1+X2与V=X2+X3,则(U,V)的概率密度为________ .正确答案:解析:由(X1,X2,X3)服从三维正态分布知,X1,X2,X3的线性函数组成的二维随机变量(U,V)也服从二维正态分布,记为N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),其中μ1=EU=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=0,σ12=DU=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=2σ2,μ2=EV=E(X2—X3)=E(X2)一E(X3)=0,σ22=DV=D(X2一X3)=D(X2)+D(X3)=2σ2,知识模块:概率论与数理统计12.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体X~N(μ,σ2)的样本,则统计量服从的分布是________ .正确答案:t(2)解析:因为X~N(μ,σ2),所以X3一X4~N(0,2σ2),知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分)(1)若函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,,0,cos 1)(x b x axxx f 在0=x 处连续,则( ) )(A 21=ab 。
)(B 21-=ab 。
)(C 0=ab 。
D (2=ab 。
【答案】)(A【解】aax x f x 21cos 1lim)00(0=-=++→,b f f =-=)00()0(,因为)(x f 在0=x 处连续,所以)00()0()00(-==+f f f ,从而21=ab ,应选)(A 。
(2)二原函数)3(y x xy z--=的极值点为( ))(A )0,0(。
)(B )3,0(。
)(C )0,3(。
)(D )1,1(。
【答案】)(D【解】由⎪⎩⎪⎨⎧=--='=--='023,02322x xy x z y xy y z yx 得⎩⎨⎧==0,0y x ⎩⎨⎧==1,1y x ⎩⎨⎧==3,0y x ⎩⎨⎧==0,3y x y z xx 2-='',y x z xy 223--='',x z yy 2-='',当)0,0(),(=y x 时,092<-=-B AC ,则)0,0(不是极值点;当)1,1(),(=y x 时,032>=-B AC 且02<-=A ,则)1,1(为极大点,应选)(D 。
(3)设函数)(x f 可导,且0)()(>'⋅x f x f ,则( ))(A )1()1(->f f 。
)(B )1()1(-<f f 。
)(C |)1(||)1(|->f f 。
)(D |)1(||)1(|-<f f 。
【答案】)(C 【解】若0)(>x f ,则0)(>'x f ,从而0)1()1(>->f f ;若0)(<x f ,则0)(<'x f ,从而0)1()1(<-<f f ,故|)1(||)1(|->f f ,应选)(C 。
2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续,则 (A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===,0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =⇒=.所以应该选(A )2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( )(A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂,232z x x xy y ∂=--∂,2222222,2,32z z z zy x x x y x y y x∂∂∂∂=-=-==-∂∂∂∂∂∂ 解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩,得四个驻点.对每个驻点验证2AC B -,发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>,且20A C ==-<,所以11(,)为函数的极大值点,所以应该选(D )3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ''=>,也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-,所以应该选(C )4. 若级数211sin ln(1)n k nn ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A )1 (B )2 (C )1- (D )2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然当且仅当(1)0k +=,也就是1k =-时,级数的一般项是关于1n的二阶无穷小,级数收敛,从而选择(C ).5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则(A )TE αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆 (C )2TE αα+不可逆 (D )2TE αα-不可逆【详解】矩阵Tαα的特征值为1和1n -个0,从而,,2,2T T T TE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1;2,1,1,,1;1,1,1,,1-;3,1,1,,1.显然只有T E αα-存在零特征值,所以不可逆,应该选(A ).6.已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===.是否可对解化,只需要关心2λ=的情况.对于矩阵A ,0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于 1 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .对于矩阵B ,010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于 2 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ). 7.设,A B ,C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立,则A B 与C 相互独立的充分必要条件是( )(A ),A B 相互独立 (B ),A B 互不相容 (C ),AB C 相互独立 (D ),AB C 互不相容 【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然,AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =,所以选择(C ). 8.设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是( )(A )21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 (B )()212n X X -服从2χ分布(C )21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布解:(1)显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立,所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布,也就是(A )结论是正确的;(2)222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑,所以(C )结论也是正确的;(3)注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-,所以(D )结论也是正确的;(4)对于选项(B ):22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-,所以(B )结论是错误的,应该选择(B )二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.3(sin x dx ππ-=⎰ .解:由对称性知33(sin22x dx ππππ-==⎰⎰.10.差分方程122tt t y y +-=的通解为 .【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =; 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =,代入方程,得12a =; 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11.设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+,其中产量为Q ,则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-.平均成本()1QC Q e-=+,则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+,从而边际成本为()1(1).Q C Q Q e -'=+-12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=,所以(,)yf x y xye C =+,由(0,0)0f =,得0C =,所以(,)yf x y xye =.13.设矩阵101112011A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A ααα的秩为 .【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,知矩阵A 的秩为2,由于123,,ααα为线性无关,所以向量组123,,A A A ααα的秩为2.14.设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}1P X a ==,{}3P X b ==,若0EX =,则DX = .【详解】显然由概率分布的性质,知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=,解得11,44a b ==29292EX a b =++=,229()2DX EX E X =-=.三、解答题15.(本题满分10分)求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=,则,t x u dt du =-=-,t x u dt du -=⎰⎰02limlim limlim 3t x u u x x x x dt e du du ++++--→→→→====计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰,其中D是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域. 【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)1111411282Dy y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞+∞=++++++=++⎛⎛⎫=-=- ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰17.(本题满分10分) 求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞→∞==⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=∑∑⎰⎰18.(本题满分10分) 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根,确定常数k 的取值范围.【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+,则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-,则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+,所以()g x '在(0,1)上单调减少,由于(0)0g '=,所以当(0,1)x ∈时,()0)0g x g ''<=,也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少,当(0,1)x ∈时,()(0)0g x g <=,进一步得到当(0,1)x ∈时,()0f x '<,也就是()f x 在(0,1)上单调减少.00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭,1(1)1ln 2f =-,也就是得到111ln 22k -<<.设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+,()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数(1)证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1.(2)证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-,并求出和函数的表达式. 【详解】(1)由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--,也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a aa a a a a a a a a a a a n ++--------=⨯⨯⨯=-----+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑ lim1!n n n n ρ=≤++≤=,所以收敛半径1R ≥ (2)所以对于幂级数nn n a x∞=∑, 由和函数的性质,可得11()n nn S x na x∞-='=∑,所以11111101111111(1)()(1)(1)((1))()n n nn n n n n n nnn n n n nn n n nn n n n n n n n x S x x na xna xna x n a x na x a n a na x a x a xx a x xS x ∞∞∞--===∞∞+==∞+=∞∞∞+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-.解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=,得()1xCe S x x -=-,由于0(0)1S a ==,得1C =所以()1xe S x x-=-.设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+ (1)证明:()2r A =;(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥.假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥,又因为31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220ααα-+=,所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.21.(本题满分11分)设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =114111(3)(6)412E A λλλλλλλ---=+=+---令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭,30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭, 所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他. (1)求概率P Y EY ≤();(2)求Z X Y =+的概率密度. 【详解】(1)1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰(2)Z X Y =+的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=≤+≤-=+-故Z X Y =+的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==+-≤≤⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=,利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ.(1)求i Z 的概率密度;(2)利用一阶矩求σ的矩估计量; (3)求参数σ最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσσ⎧-⎫=≤=-≤=≤⎨⎬⎩⎭当0z <时,显然()0Z F z =;当0z ≥时,{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭; 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩.(2)数学期望2220()z i EZ z f z dz ze dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑,解得σ的矩估计量1ni i Z σ===.(3)设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z .当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏,取对数得:2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑,得参数σ最大似然估计量为σ=。
2017全国研究生入学考试考研数学三试题本试卷满分150,考试时间180分钟一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.(1)若函数0,(),0,x f x b x >=⎪≤⎩在0x =,处连续,则( )(A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =(2)二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( ) (A )(0,0)(B )(0,3)(C )(3,0)(D )(1,1)(3)设函数()f x 可导,且()()0f x f x '>,则( ) (A )(1)(1)f f >- (B )(1)(1)f f <-(C )(1)(1)f f >- (D )(1)(1)f f <-(4)设级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A )1(B )2(C )1-(D )2-(5)设α是n 维单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则 (A )TE αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆(C )2T E αα+不可逆(D )2TE αα-不可逆(6)设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 (A )A 与C 相似,B 与C 相似(B )A 与C 相似,B 与C 不相似 (C )A 与C 不相似,B 与C 相似(D )A 与C 不相似,B 与C 不相似(7)设,,A B C 为三个随机事件,且A 与C 相互独立,B 与C 相互独立,则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是(A )A 与B 相互独立(B )A 与B 互不相容(C )AB 与C 相互独立(D )AB 与C 互不相容(8)设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是 (A )21()nii Xμ=-∑服从2χ分布(B )212()n X X -服从2χ分布(C )21()nii XX =-∑服从2χ分布(D )2()n X μ-服从2χ分布二、填空题:9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸...指定位置上.(9)3(sin x dx ππ-=⎰_______。
2017年考研数学三真题及解析一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.1.若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续,则 (A )12ab =(B )12ab =-(C )0ab =(D )2ab =【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x xf x ax ax a +++→→→-===,0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足1122b ab a =⇒=.所以应该选(A )2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点是( )(A )(0,0) (B )03(,) (C )30(,) (D )11(,)【详解】2(3)32zy x y xy y xy y x∂=---=--∂,232z x x xy y ∂=--∂,解方程组22320320z y xy y x z x x xy y∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=∂⎪⎩,得四个驻点.对每个驻点验证2AC B -,发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>,且20A C ==-<,所以11(,)为函数的极大值点,所以应该选(D )3.设函数()f x 是可导函数,且满足()()0f x f x '>,则(A )(1)(1)f f >- (B )11()()f f <- (C )11()()f f >- (D )11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =,则()2()()0g x f x f x ''=>,也就是()2()f x 是单调增加函数.也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-⇒>-,所以应该选(C )4. 若级数211sin ln(1)n k n n ∞=⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑收敛,则k =( ) (A )1 (B )2 (C )1- (D )2-【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=---+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 显然当且仅当(1)0k +=,也就是1k =-时,级数的一般项是关于1n的二阶无穷小,级数收敛,从而选择(C ).5.设α为n 单位列向量,E 为n 阶单位矩阵,则(A )T E αα-不可逆 (B )TE αα+不可逆 (C )2T E αα+不可逆 (D )2TE αα-不可逆【详解】矩阵T αα的特征值为1和1n -个0,从而,,2,2TTTTE E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1;2,1,1,,1;1,1,1,,1-;3,1,1,,1.显然只有T E αα-存在零特征值,所以不可逆,应该选(A ).6.已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===.是否可对解化,只需要关心2λ=的情况.对于矩阵A ,0002001001E A ⎛⎫⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于1 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .对于矩阵B ,010*******E B -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭,秩等于2 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ).7.设,A B ,C 是三个随机事件,且,A C 相互独立,,B C 相互独立,则A B 与C 相互独立的充分必要条件是( )(A ),A B 相互独立 (B ),A B 互不相容 (C ),AB C 相互独立 (D ),AB C 互不相容 【详解】 显然,AB 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =,所以选择(C ).8.设12,,,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本,若11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是( )(A )21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 (B )()212n X X -服从2χ分布(C )21()nii XX =-∑服从2χ分布 (D )2()n X μ-服从2χ分布解:(1)显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-⇒-=且相互独立,所以21()ni i X μ=-∑服从2()n χ分布,也就是(A )结论是正确的;(2)222221(1)()(1)~(1)nii n S XX n S n χσ=--=-=-∑,所以(C )结论也是正确的;(3)注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N X N n X nμμμχ⇒-⇒-,所以(D )结论也是正确的;(4)对于选项(B ):22111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2n n X X N N X X χ-⇒⇒-,所以(B )结论是错误的,应该选择(B )二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.3(sin x dx ππ-=⎰ .解:由对称性知33(sin22x dx ππππ-+==⎰⎰.10.差分方程122tt t y y +-=的通解为 .【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =; 设122t t t y y +-=的特解为2tt y at =,代入方程,得12a =; 所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2tt y C t =+11.设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+,其中产量为Q ,则边际成本为 .【详解】答案为1(1)QQ e -+-.平均成本()1QC Q e-=+,则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+,从而边际成本为12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)yydf x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=,所以(,)yf x y xye C =+,由(0,0)0f =,得0C =,所以(,)yf x y xye =.13.设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,123,,ααα为线性无关的三维列向量,则向量组123,,A A A ααα的秩为 .【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,知矩阵A 的秩为2,由于123,,ααα为线性无关,所以向量组123,,A A A ααα的秩为2.14.设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}1P X a ==,{}3P X b ==,若0EX =,则DX = .【详解】显然由概率分布的性质,知112a b ++= 12133102EX a b a b =-⨯+⨯+⨯=+-=,解得11,44a b ==29292EX a b =++=,229()2DX EX E X =-=.三、解答题15.(本题满分10分)求极限0lim t x dt +→【详解】令x t u -=,则,t x u dt du =-=-,0t x u dt du -=⎰⎰16.(本题满分10分)计算积分3242(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰,其中D是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域. 【详解】17.(本题满分10分) 求21limln 1nn k kk nn →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 【详解】由定积分的定义 18.(本题满分10分) 已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根,确定常数k 的取值范围.【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x=-∈+,则令22()(1)ln (1)g x x x x =++-,则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-''=<∈+,所以()g x '在(0,1)上单调减少,由于(0)0g '=,所以当(0,1)x ∈时,()0)0g x g ''<=,也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少,当(0,1)x ∈时,()(0)0g x g <=,进一步得到当(0,1)x ∈时,()0f x '<,也就是()f x 在(0,1)上单调减少.00011ln(1)1lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→⎛⎫-+=-== ⎪++⎝⎭,1(1)1ln 2f =-,也就是得到111ln 22k -<<. 19.(本题满分10分)设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+,()S x 为幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数(1)证明nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1.(2)证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-,并求出和函数的表达式. 【详解】(1)由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+⇒+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--,也就得到111,1,2,1n n n n a a n a a n +--=-=-+也就得到111(1),1,2,(1)!n n n a a n n ++-=-=+1lim1!n n n n ρ→∞=≤++≤=,所以收敛半径1R ≥ (2)所以对于幂级数nn n a x∞=∑, 由和函数的性质,可得11()n nn S x na x∞-='=∑,所以也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-.解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=,得()1xCe S x x -=-,由于0(0)1S a ==,得1C =所以()1xe S x x-=-.20.(本题满分11分)设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+ (1)证明:()2r A =;(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解.【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥.假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥,又因为31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220ααα-+=,所以基础解系为121x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭;又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;方程组Ax β=的通解为112111x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,其中k 为任意常数.21.(本题满分11分)设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .【详解】二次型矩阵21411141A a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭因为二次型的标准形为221122y y λλ+.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-的特征向量1111ξ⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭,属于特征值特征值26λ=的特征向量2101ξ-⎛⎫⎪=⎪⎪⎭,30λ=的特征向量3121ξ⎛⎫⎪=⎪⎪⎭,所以()123,,0Q ξξξ⎛ == ⎝为所求正交矩阵. 22.(本题满分11分)设随机变量,X Y 相互独立,且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====,Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<⎧=⎨⎩其他. (1)求概率P Y EY ≤();(2)求Z X Y =+的概率密度. 【详解】(1)1202()2.3Y EY yf y dy y dy +∞-∞===⎰⎰所以{}230242.39P Y EY P Y ydy ⎧⎫≤=≤==⎨⎬⎩⎭⎰(2)Z X Y =+的分布函数为故Z X Y =+的概率密度为 23.(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做了n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=,利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ.(1)求i Z 的概率密度;(2)利用一阶矩求σ的矩估计量; (3)求参数σ最大似然估计量. 【详解】(1)先求i Z 的分布函数为 当0z <时,显然()0Z F z =;当0z ≥时,{}{}()21i Z i i X z zF z P Z z P X z P μμσσσ⎧-⎫⎛⎫=≤=-≤=≤=Φ-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭; 所以i Z的概率密度为222,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-⎧≥'==<⎩.(2)数学期望2220()z i EZ z f z dz dz σ-+∞+∞===⎰⎰令11n i i EZ Z Z n ===∑,解得σ的矩估计量122ni i Z nσ===∑.(3)设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z .当0,1,2,i z i n >=时似然函数为221121()(,)ni i nnz i i L f z σσσ=-=∑==∏,取对数得:2211ln ()ln 2ln(2)ln 22nii n L n n zσπσσ==---∑令231ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑,得参数σ最大似然估计量为σ=。
考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷17(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设随机向量(X,Y)服从二维正态分布,其边缘分布为X~N(1,1),Y~N(2,4),X与Y的相关系数为ρXY=,且概率P{aX+bY≤1}=,则( ) A.B.C.D.正确答案:D解析:因为(X,Y)服从二维正态分布aX+bY服从一维正态分布,又EX=1,EY=2则E(aX+bY)=a+2b,于是P{aX+bY≤1}=显然,只有1-(a+2b)=0时,P{aX+bY≤1}=才成立,只有选项(D)满足此条件.知识模块:概率论与数理统计2.设X是随机变量,EX>0且E(X2)=0.7,DX=0.2,则以下各式成立的是( )A.B.C.D.正确答案:C解析:EX=,于是由切比雪夫不等式知因此本题选(C).知识模块:概率论与数理统计3.已知随机变量Xn(n=1,2,…)相互独立且都在(-1,1)上服从均匀分布,根据独立同分布中心极限定理有=( )(结果用标准正态分布函数φ(x)表示) A.φ(0)B.φ(1)C.φ()D.φ(2)解析:由题设知EXn=0,DXn=.由中心极限定理,对任意x有知识模块:概率论与数理统计4.设X1,X2,…,Xn是总体N(μ,σ2)的样本,是样本均值,记则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是( )A.B.C.D.正确答案:B解析:故选(B).知识模块:概率论与数理统计5.设总体X服从正态分布N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn是取自总体的简单随机样本,样本均值为,样本方差为S2,则服从χ2(n)的随机变量为( )A.B.C.D.正确答案:D解析:由于总体X~N(μ,σ2),所以与S2独立,由χ2分布的可加性,我们仅需确定服从χ2(1)的随机变量.因为~N(0,1),~χ2(1),选择(D).知识模块:概率论与数理统计6.设总体X与Y都服从正态分布N(0,σ2),已知X1,X2,…,Xm与Y1,Y2,…,Yn是分别来自总体X与Y的两个相互独立的简单随机样本,统计量=( )A.B.C.D.解析:应用t分布的典型模式.由于,而~N(0,1),且相互独立,所以V=~χ2(n),U与V相互独立,由t分布的典型模式~t(n).由题意知知识模块:概率论与数理统计7.设总体X服从正态分布N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn(n>1)是取自总体的简单随机样本,样本均值为( )A.与σ及n都有关B.与σ及n都无关C.与σ无关,与n有关D.与σ有关,与n无关正确答案:C解析:由题设有,X~N(μ,σ2),~N(0,1),~N(0,1),于是P{|X-μ|<a)=P{-μ<b},即所以因此比值与σ无关,与n有关.知识模块:概率论与数理统计填空题8.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且X~N(0,3),Y~N(0,4),相关系数ρXY=,则(X,Y)的概率密度f(x,y)为_________.正确答案:解析:知识模块:概率论与数理统计9.设二维随机变量(X,Y)的分布律为则X与Y的协方差Cov(X,Y)为________.正确答案:解析:关于X与关于Y的边缘分布律分别为所以,知识模块:概率论与数理统计10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则随机变量U=X+2Y,V=-X的协方差Cov(U,V)为________.正确答案:解析:Cov(U,V)=Cov(X+2Y,-X)=-DX-2Cov(X,Y)=-DX-2E(XY)+2EXEY,①其中E(XY)=关于X的边缘概率密度为所以EX=EY= ②E(X2)= ③将②③代入①得Cov(U,V)= 知识模块:概率论与数理统计11.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则随机变量Z=X-Y的方差DZ 为_________.正确答案:解析:DZ=DX+DY-2Cov(X,Y)=DX+DY-2E(XY)+2EXEY,①E(XY)= ②其中D={(x,y)|0<x<1,0<y<x}如图3-5阴影部分所示.关于X的边缘概率密度为EX=∫01x.3x2dx=,E(X2)=∫01x2.3x2dx=DX=E(X2)-(EX)2= ③关于Y的边缘概率密度为DY=E(Y2)-(EY)2= ④将②③④代入①得DZ= 知识模块:概率论与数理统计12.设随机变量X的数学期望EX=75,方差DX=5,由切比雪夫不等式估计得P{|X-75|≥k}≤0.05,则k=________.正确答案:10解析:P{|X-75|≥k}=P{|X-EX|≥k}≤,于是由题设得=0.05,即k=10.知识模块:概率论与数理统计13.设X1,X2,…,Xn,…是相互独立的随机变量序列,且都服从参数为λ的泊松分布,则=________.正确答案:Ф(x)解析:由列维-林德伯格中心极限定理即得.知识模块:概率论与数理统计14.设总体X~P(λ),X1,X2,…,Xn是来自X的简单随机样本,它的均值和方差分别为和S2,则E()和E(S2)分别为________.正确答案:+λ2,λ解析:,E(S2)=DX=λ.知识模块:概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。