一道数学竞赛试题法探究

普特南数学竞赛试题这是一道普特南数学竞赛试题，附带答案和解析。

题目：设正整数m的最后两位数字是17，求整数m的百位数字。

答案及解析：由题意可知，整数m的最后两位数字是17，即m = 100a + 17，其中a为整数。

首先，我们可以列举出满足条件的m的一些可能值：当a = 0时，m = 17；当a = 1时，m = 117；当a = 2时，m = 217；当a = 3时，m = 317；当a = 9时，m = 917；当a = 10时，m = 1017；可以发现，满足条件的m的百位数字都是1，因此答案为1。

解析：这道题涉及到整数的位数表示和规律分析。

我们可以通过列举一些满足条件的m的值，观察其规律，找到合理的解决方法。

首先，我们可以看到m是一个三位数，其百位数记为a，十位数记为b，个位数记为c，那么可以表示为m = 100a + 10b + c。

根据题意，最后两位数字是17，即b = 1，c = 7，所以m = 100a + 10 + 7 = 100a + 17。

接下来，我们分析一下m可能的取值范围。

百位数a可以从0到9取值，所以整数m的可能取值是：17, 117, 217, 317, , 917, 1017, ,我们可以发现，满足条件的m的百位数字都是1。

为什么满足条件的m的百位数字都是1呢？我们可以细致地观察一下。

当a < 10时，十位数b只能取1，个位数c只能取7，这样才能满足最后两位数字为17。

当a = 10时，十位数b为0，个位数c为7，同样可以满足最后两位数字为17。

所以，不管a的取值如何，最后两位数字都是17，满足题意。

因此，整数m的百位数字是1。

这道题目通过对整数位数表示和规律分析的探索，可以得到答案为1。

同时，这道题目也考察了对数字规律的观察和分析能力，以及对基本数学概念的掌握。

数学竞赛试题解析分析竞赛试题的解题思路在进行数学竞赛中，解析和分析竞赛试题的解题思路是十分关键的。

通过深入理解并掌握竞赛试题的解题思路，可以提高解题速度和准确性，更好地应对竞赛中的各种问题。

下面将对解析分析竞赛试题的解题思路进行讨论和探索。

一、理解问题在解析和分析竞赛试题之前，首先要充分理解问题的意思和要求。

仔细阅读题目，并注意关键词、限制条件等信息。

将问题中的各种条件和要求整理清楚，建立起相应的数学模型，明确问题的求解目标。

二、分析题意与解题思路在理解问题的基础上，开始分析题意与解题思路。

这个过程中需要把问题分解为更小的子问题，以便更好地思考和解决。

可以利用以下方法进行分析：1. 寻找规律：观察题目和数据，尝试发现其中的规律和特点，通过找到规律来推断和解决问题。

2. 利用已知条件：将已知条件用数学符号表示，运用数学知识和公式进行推导和运算。

3. 简化问题：将问题进行简化，转化为更易解决的形式。

可以通过假设和简单化等方式，减少问题的复杂性，更好地抓住问题的关键。

三、选择合适的解题方法在分析题意和解题思路的基础上，选择合适的解题方法是解题的关键一步。

不同的问题可以有不同的解题方法，需要根据题目的特点和要求，选择相应的解题方法。

以下是一些常见的解题方法：1. 代数运算：通过代数运算和等式的推导，解决需要求解的问题。

通常适用于方程、不等式等问题。

2. 几何画图：通过几何图形的画法，以及几何性质的运用，解决与几何相关的问题。

适用于几何问题、图形问题等。

3. 数列与数列求和：通过数列和数列求和的知识，解决与序列和求和有关的问题。

适用于数列、级数等问题。

4. 概率与统计：通过概率和统计的知识，解决与随机事件和统计特征相关的问题。

适用于概率、统计等问题。

5. 排列与组合：通过排列组合的知识，解决与个数、次序和组合有关的问题。

适用于排列组合、计数等问题。

四、思路清晰，步骤详细在选择解题方法之后，需要按照清晰的思路和详细的步骤，进行问题的求解和推导。

从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧题：设湖岸MN 是一条直线，有一小船自岸边的A 点沿与湖岸成α＝15°角的方向匀速向湖中驶去，有一个人自A 点同时出发，，他先沿岸走一段再入水中游泳去追小船.已知人在岸上走的速度为v1 =4m/s ，在水中游泳的速度为v2＝2m/s ，试求小船的速度至多为多大时，这人才能追上小船？方法1：微元法如图，设人在D 点入水并在B 点刚好能追上小船，这表明：此时人追上小船所用时间最少，对应的小船速度最大.D 点两侧各有入水点C 和E ，使得在该处入水追船所用时间相等.现设C 、E 是D 点两侧附近无限靠近D 点的两点，并设分别从C 、E 点入水追小船所用总时间相等.现在BC 段截取BF=BE ，那么∠BFE ＝90°.由于从C 、E 点入水追小船所用总时间相等，所以，人在CE 段走与在CF 段游泳所用时间相等.于是因为C 、E 两点无限靠近D 点，所以∠BDN ＝θ＝60°，作BK ⊥BD 交MN 于K ，于是DK=2BD.又因为v1=2v2,则人游DK 段与走DK 段所用时间相等.所以人自出发经D 点再到B 点与人由A 点一直走到K 点所用时间相同，并都等于小船从A 到B 所用的最少时间.即有 在⊿ABK 中，用正弦定理可得： 那么方法2：类比法设想MN 为甲和乙两种介质的分界面，光在甲中的速度为v1，在乙中的速度为v2，据费马原理可知，B →D →A 是光从B 传到A 费时最少的路径，而β是临界角. 这可类比本题人从A 经D 到B 的追船情况.由此得： 下面解法与方法1相同.最后可得： 21v CF v CE =21cos ==CE CF θ︒=60θ1max v AK v AB =21135sin 30sin =︒︒=AK AB )/(2222211max s m v v v ===︒==30arcsin 12v v β)/(22max s m v =方法3：图解法如图，设人开始运动就一直游泳，那么他能到达的区域是以A 为圆心、以v2t 为半径的半圆中的任何一点，若他一直沿湖岸走，那么他在t 时间内可以到达AK ＝v1t 中的任何一点，若他先沿岸走一段再入水追船，那么他可以在t 时间内到达图中⊿AEF 中的任何一点.所以，他若能追上船，船也必须在t 时间内到达这区域.由于题设小船沿α角的方向运动，所以沿此方向的直线与EK 线的交点B 是船以最大速度运动且又能被人追上的地点.在Rt ⊿AEK 中，因为AK=2AE ，所以∠AKE ＝30°，于是，∠ABK ＝180 °－15 °－ 30°＝135°在⊿ABK 中,据正弦定理得： 而所以：方法4：矢量图解法设人先沿岸走一段，再入水追船，以船为参考系，由于人和船是同时由A 点出发的，则人在沿岸走时，船看到人正在由船所在位置逐渐“离去”，离去的相对速度u 1为：要人能追上船，即人能回到船上，则其返回的相对速度u 2必须沿u 1的反方向，返回的相对速度u 2为： 作图：（1）以MN 线上的A 点为起点作矢量v 1得K 点；（2）以A 点为圆心，以v2的大小为半径作圆;（3）作直线AC ，使它与MN 线的夹角为α＝15°；设K 点与圆上的任一点E 的连线与AC线的交点为B ，则AB 表示船速，BK 表示人相对船的“离开”速度u 1，而BE 表示人相对船的“返回”速度u 2.显然，当KE 与圆相切时，AB 线最长，表示船速最大，由此有作图步骤:（4）作KE 与圆相切于E 点，并与AC 相交于B 点.由于AK=AE ，所以，∠AKF ＝30°，∠ABE ＝45°.因而⊿ABE 为等腰直角三角形，那21135sin 30sin =︒︒=AK AB 1max 1max v v t v t v AK AB ==)/(2222211max s m v v v ===v v u -=11vv u -=22方法5：等效法设人在B 点追上船，则人到达B 点可能有很多途径，如A →C →B ，A →D →B,A →E →B 等,这些途径中耗时最少的途径对应着允许的最大船速，作∠NAP ＝30°，并分别作CK,DH,EF 垂直AP ，其中设BDH 为直线，又设想MN 线下方也变成湖水区域，则因为AC=2CK,所以人由K 点游泳到C 点所用时间与人在岸上走由A 点到C 点所用时间是相等的.故人按题设情况经路径A →C →B 所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径K →C →B 所用时间相等，同理，人按题设情况经路径A →D →B所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径H→D →B 所用时间相等，人按题设情况经路径A→E →B 所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径F →E →B 所用时间相等，显然，在这些途径中，因为HDB 是直线，因此所用时间最少.由以上分析可知，人沿等效途径HDB 游泳就费时最少地刚好追上船，这对应着最大船速，设为vmax ，则有因为⊿AHB 是等腰直角三角形，所以故得方法6：极值法（利用三角函数）如图，设人沿岸走到D 点时，船航行到C 点，此时人入水游泳就刚好能在B 点追上船. 在⊿ACD 中应用正弦定理得又设此时船速为v ，人由A 点走到D 点耗时为t ，则 由以上两式得 又在⊿CDB 中应用正弦定理得设人游过DB 段所用时间为t ’,则 由以上两式得由（1）、（2）式，并注意v 1=2v 2，可得 又由于，要v 尽可能大，即需AC/AD 尽可能大，而θ越大，则AC 越大，由于 )/(2222max s m v v ==2max v BH v AB =BHAB 2=)/(2222max s m v v ==AC AD =--)sin()sin(αθθπvtAC t v AD ==,1BC BD =--)sin(sin βθπθt v CB t v BD '='=,2)2()sin(sin 2v v =+βθθ)1()sin(sin 1v v =-αθθ)3()sin(2)sin(αθβθ-=+1v v AD AC =α为恒量，则θ越大，则θ－α也越大，且（θ－α）为锐角，则sin （θ－α）随（θ－α）增大而增大，故得sin （θ－α）最大时，θ最大，由（3）式可见，当sin （θ＋β）＝1时，sin （θ－α）有最大值为1/2，此时对应的θ值为450，此时得β=450，于是⊿CDB 是等腰直角三角形，则有所以： 方法7：极值法（利用一元二次函数判别式）如图，设船出发后经时间t 被人追上.则船的位移为s=v t ，又设人在岸上走用时为kt （0<k<1)，位移为s1=k v 1t,人在湖中游用时为(1－k)t （0<k<1)，位移为s2=(1-k)v 2t.那么，据余弦定理有：把s 、s1、s2的表达式及v 1、v 2的值代入并整理可得于是有要这方程有实数解，其判别式⊿应满足：由此可解得：或由本题的物理情景可知只能取： 方法8：极值法（利用一元二次函数判别式）如图，设人在岸上D 处入水追船，运动方向与湖岸成θ角,并在B 点处追上船，这人由A →D →B 用时为t .则 上式表明：t 与θ有关，且在d 、L 、v 1、v 2一定时，由θ决定,研究函数 两边平方得： 整理后得：此方程有实数解的条件是：判别式⊿≧0，即有由此解得：所以： 由（3）、（4）式得： 这表明当θ＝60°时，函数y 有最小值，由（1）式知此时t 有最小值,对应的船速有最大值.)/(2222max s m v v ==αcos 2121222ss s s s -+=︒-+=-15cos 816)1(4222kv v k k 2213432230cos 115cos +=+=︒+=︒0)4(]8)26(2[1222=-+-+-v k v k 0)4(48]8)26(2[22≥---+=∆v v 22≤v )13(22+≥v )/(22max s m v =θθsin cot 21v d v d L t +-=)1()sin cos sin 1(121d v v v L θθθ-+=)2(sin cos sin 112θθθv v y -=θθθ2222122221212sin cos cos 2v v v v v v y +-=)3()cos 1(cos cos 2222212222121θθθ-+-=v v v v v v 0)1(cos 2cos )(222212122222212=-+-+v y v v v v v v y θθ0)1()(442222122222122221≥-+-v y v v v v y v v 222122212v v v v y -≥)4(222122212min v v v v y -=21cos 12==v v θ︒=60θ)315(cot )3132(15cot 1121min+︒=-+︒=v d v v v d t )315(cot 15sin sin 1min min max+︒︒===v t d t AB v θ。

独家解析小学数学竞赛试题近年来，数学竞赛在小学教育中得到了越来越广泛的关注和重视。

数学竞赛既能激发学生对数学的兴趣，又能培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。

本文将对一道小学数学竞赛试题进行独家解析，帮助读者更好地理解解题思路和方法。

问题描述：甲、乙、丙三个班级的学生参加校内的数学竞赛。

甲班总共有60名学生，其中20%的学生得到了一等奖，30%的学生得到了二等奖。

乙班总共有50名学生，其中25%的学生得到了一等奖，35%的学生得到了二等奖。

丙班总共有70名学生，其中15%的学生得到了一等奖，40%的学生得到了二等奖。

请问，三个班级一等奖和二等奖的总人数之和是多少？解析：首先，我们需要计算甲、乙、丙三个班级分别获得一等奖和二等奖的人数。

甲班一等奖的人数 = 60 * 20% = 12甲班二等奖的人数 = 60 * 30% = 18乙班一等奖的人数 = 50 * 25% = 12.5（由于人数必须是整数，所以四舍五入为13）乙班二等奖的人数 = 50 * 35% = 17.5（同样四舍五入为18）丙班一等奖的人数 = 70 * 15% = 10.5（同样四舍五入为11）丙班二等奖的人数 = 70 * 40% = 28接下来，计算三个班级一等奖和二等奖的总人数之和。

一等奖总人数 = 12 + 13 + 11 = 36二等奖总人数 = 18 + 18 + 28 = 64一等奖和二等奖的总人数之和 = 36 + 64 = 100因此，三个班级一等奖和二等奖的总人数之和是100人。

通过本题的解析，我们可以看到解决数学竞赛试题最重要的是理清思路和逻辑。

在解题过程中，要准确计算百分比的数值和进行四舍五入的运算。

同时，要注意处理小数时取整的方法，通常采用四舍五入法。

数学竞赛试题不仅仅是考察学生的计算能力，更是考察他们的数学思维、逻辑思维和解决问题的能力。

希望本文的解析对读者有所帮助，也希望广大学生通过参加数学竞赛可以提高自己的数学水平和解决问题的能力。

第十六节数学竞赛中方法与技巧探究(二)姓名：_________日期：_________三、【枚举法之有序思考】枚举法在考察整数、计数等有关数的问题是应用最多，枚举时要做到不重复不遗漏。

最常见的方法是分类有序枚举。

1．小于1000且各位数字和等于6的自然数共有多少个？2．用1分、2分和5分的硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？3．从1到100的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于100，共有多少种取法？4．一个小于400的三位数，它是平方数，它的前两个数字组成的两位数还是平方数，其个位数也是一个平方数。

求这个三位数。

5．有30枚贰分硬币和8枚伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种？6．一个两位数被7除余1，如果交换它的十位数字与个位数字的位置，所得到的两位数被7除也余1，那么这样的两位数有多少个？都是几？7．把1，2，3，4，5，6分别填入左下图所示的表格内，使得每行相邻的两个数左边的小于右边的，每列的两数上面的小于下面的。

问：有几种填法？8．从1到100的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于100，共有多少种取法？9．2003年王刚家有一只大母羊，第二年春天能生2只小公羊和3只小母羊，每只小母羊从第三年起也生2只公羊和3只母羊，到2008年底，王刚家共有多少只羊？10．3个孩子分20个苹果，每人至少1个，分得的苹果个数是整数，则分配方法有多少种？四、【从反面、极端考虑】解数学题，需要正确的思路。

对于很多数学问题，通常采用正面求解的思路，即从条件出发，求得结论。

但是，如果直接从正面不易找到解题思路时，则可改变思维的方向，即从结论入手或从条件及结论的反面进行思考，从而使问题得到解决。

从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值，极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。

1．六（2）班五名选手在校组织的小学数学竞赛中共得404分。

一道数学联赛题的四种解法
近年来，数学联赛在中国大陆学校继续受到重视，随着数学联赛竞赛活动不断推进，学生们不仅需要培养其解决问题的能力，而且也需要掌握一些有效的解决方法来解决一道数学联赛题。

首先，想要解决一道数学联赛题，学生们需要既注重知识的学习又要注重思维的训练，并加强对所学知识点的理解，从而使自己有足够能力解决问题。

其次，学生们应该使用不同的方法和技巧来解决一道数学联赛题。

其中最常用的四种方法是纯数学方法，图形法，模型法，以及数学组合法。

纯数学方法是首先应用的解决方法，包括分数简化、等式比率、解比例问题、算术等式推理，等等。

此外，学生们还可以应用数学计算和联想思维，结合算法进行求解。

图形法指的是利用数学绘图来解决数学联赛题，学生们可以用实际模型或绘图软件来绘制与数学联赛题相关的几何图形，可以利用图形属性与数学关系求解问题。

模型法指的是利用模型来表示、解决数学联赛题的方法，学生们可以运用现有的数学模型和方法定义正确的问题模型，用来解决难题。

最后，数学组合法是利用数学组合知识来解决数学联赛题。

学生们可以利用组合数学里排列组合、容斥原理和概率论来求解问题。

通过以上四种方法，学生们可以根据数学联赛题的实际情况，结合数学知识和经验，从而有效地解决一道数学联赛题。

此外，为了有效地解决一道数学联赛题，学生们还需要积极参加培训，学习有关的知识，如中小学数学、几何学和解析几何等，以及应用数学知识解决问题的技巧。

最后，还要强调的是，学生们在应用上述四种解决方法解决一道数学联赛题时，要结合实际情况，灵活运用自己所学的知识和技巧，不断加强自己的综合能力。

只有这样，才能从数学联赛中获得最大的收获。

数学奥赛题目的解析与思路数学奥赛一直以来都是考验学生数学思维和解题能力的重要评判标准。

而在解析数学奥赛题目的过程中，理解题意、分析解题思路、运用适当的数学知识和技巧是至关重要的。

本文将结合实际题目，对数学奥赛题目的解析与思路进行详细讨论。

一、解析题目背景与条件在解数学奥赛题目之前，首先要仔细阅读题目，理解题目背景和条件。

这一步十分重要，因为只有准确地理解题目要求，才能有针对性地寻找合适的解题思路。

以一道例题为例：【题目】已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求解方程 f(a) = 0 的解 a 的取值范围。

【解析】首先，根据题目给出的函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，我们可以推测这是一个二次函数。

根据二次函数的性质，当 f(a) = 0 时，函数的图像与 x 轴有两个交点。

接下来，我们需要确定二次函数的开口方向，即二次项的系数 a 的符号。

由于题目中给出的系数是正数 2，我们可以推断二次函数的开口是向上的。

进一步，我们需要计算二次函数的顶点坐标。

根据二次函数顶点坐标的计算公式，顶点坐标为 (p, q)，其中 p = -b / (2a)，q = f(p)。

代入题目给出的系数，计算得到的顶点坐标为 (3/4, -1/8)。

最后，我们可以根据顶点坐标和开口方向，得出当 a 的取值在 (-∞, 3/4) 和(3/4, +∞) 时，方程 f(a) = 0 有解。

而当 a = 3/4 时，方程 f(a) = 0 的解只有一个且唯一。

二、分析解题思路与方法在解题的过程中，我们需要分析解题思路和方法，灵活运用数学知识和技巧。

以另一道例题为例：【题目】一组数据为 1，3，5，7，9，11，13，...，其中第 n 个数为 a(n)，求 a(n) 的表达式，并计算当 n = 10 时 a(n) 的值。

【解析】观察题目中给出的数据，可以发现该数列是以等差数列的形式递增。

可以通过观察和分析，总结出等差数列的通项公式 a(n) =a(1) + (n-1)d，其中 a(1) 为首项，d 为公差。

一道竞赛题引发的探究∗叶硕海1,㊀郑日锋2(1.学军中学海创园学校,浙江杭州㊀311121;2.学军中学,浙江杭州㊀310012)摘㊀要:文章从学生给出的一个错解出发,对2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛第10题进行了探究与推广,得到一般性的结论.关键词:猜想;三角形;计数问题中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)07-0044-031㊀问题呈现近日,笔者的一个学生遇到了这样一个问题.例1[1]㊀在复平面上任取方程z100-1=0的3个不同的根为顶点组成三角形,则不同的锐角三角形的数目为.(2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题第10题)该学生是这样思考的:将单位圆100等分,任取其中3个不同的点,则三角形的个数为N0=C3100=161700.其中直角三角形可先确定其直径,共50条,每条直径的同侧可取49个顶点,共两侧,故直角三角形的个数为N1=52ˑ49ˑ2=4900.因此不同的锐角三角形与钝角三角形的个数之和便为N0-N1=156800.㊀㊀此时,该学生猜想:其中锐角三角形与钝角三角形个数相等,于是锐角三角形的个数为N2=156800ː2=78400.然而78400是一个错误的答案,显然错因出现在最后一步,即其中锐角三角形与钝角三角形的个数并不相等.在给该生讲解之后,笔者发现正确答案为39200,正好是78400的一半.这表示钝角三角形个数恰好是锐角三角形个数的3倍!这是巧合还是对任意的n都成立?就此,笔者与该生进行了如下的猜测:猜想1㊀将单位圆n等分(其中nȡ3),任取3个顶点组成三角形,则其中钝角三角形与锐角三角形的个数之比为3ʒ1.2㊀问题探究通过简单计算发现,该结论并不对任意的nȡ3均成立,事实上:当n=3时,此时仅有锐角三角形,故结论不成立;当n=4时,此时仅有直角三角形,故结论也不成立;当n=5时,可用枚举法得钝角三角形与锐角三角形的个数之比为1ʒ1,故结论还不成立.图1下面为方便起见,在各类情况中,记N0为所有三角形总数,N1为直角三角形总数,N2为锐角三角形总数,N3为钝角三角形总数.当n=6时,N0=C36=20,N1=12,N2=2(即图1中的әA1A3A5和әA2A4A6),此时N3=20-12-2=6,故N3ʒN2=3ʒ1.基于以上观察,笔者改变了猜想的方向,得到:猜想2㊀将单位圆2k等分(其中kȡ3),任取3个顶点组成三角形,则其中钝角三角形与锐角三角形的个数之比为3ʒ1.㊃44㊃中学教研(数学)2021年第7期∗收文日期:2020-12-29;修订日期:2021-01-29作者简介:叶硕海(1989 ),男,浙江舟山人,中学一级教师.研究方向:数学教育.证明㊀显然N 0=C 32k=2k(2k -1)(k -1)3,N 1=2k(k -1),则N 0-N 1=43k(k -1)(k -2).为了证明猜想2,下面只需证明N 2=13k(k -1)(k -2).图2如图2,不妨设这2k 个顶点按逆时针次序排列依次为A 1,A 2, ,A 2k .首先考虑所有以A 1为顶点的锐角三角形,显然另外两个点只能出现在直径A 1A k +1的两侧,故三角形第二个点只需考虑A 2,A 3, ,A k 即可.若第二个点取A 2,则下半圆中没有点能与A 1A 2构成锐角三角形;若第二个点取A 3,则下半圆中仅有点A k +2能与A 1A 3构成锐角三角形;㊀㊀依此类推,若第二个点取A m (其中2ɤm ɤk),则有m -2个点能与A 1A m 构成锐角三角形.因此,所有以点A 1为顶点的锐角三角形的个数为0+1+2+3+ +(k -2)=12(k -1)(k -2).由于共有2k 个顶点,每个三角形被计算了3次,从而N 2=13ˑ12(k -1)(k -2)éëêêùûúúˑ2k =13k(k -1)(k -2),于是N 1ʒN 2=3ʒ1.进一步,我们也可考虑当n 为大于5的奇数时,钝角三角形与锐角三角形的个数之比.过程如下:图3设n =2k +1(其中k ȡ3),显然此时无直角三角形.如图3,不妨设这2k +1个顶点按逆时针次序排列依次为A 1,A 2, ,A 2k +1,记A m 关于圆心的对称点为B m (其中1ɤm ɤ2k +1).首先考虑所有以A 1为顶点的锐角三角形,同理另外两个顶点只能出现在直径A 1B 1的两侧,故三角形第二个点只考虑A 2,A 3, ,A k +1即可.与n 为偶数情形类似,若第二个点取A m (其中2ɤm ɤk +1),则有m -1个点能与A 1A m 构成锐角三角形,故所有以A 1为顶点的锐角三角形的个数为12k (k +1).进而,锐角三角形的总数为N 2=13(2k +1)ˑ12k (k +1)éëêêùûúú=16k (k +1)(2k +1).另外,三角形的总数为N 0=(2k +1)2k (2k -1)6,则钝角三角形的个数为N 3=N 0-N 2=(k -1)2k (2k +1)2,因此,钝角三角形与锐角三角形的个数之比为N 3N 2=3(k -1)k +1.经检验,当k =1以及k =2(即当n =3以及n =5)时,上述公式也成立.综上,我们有如下结论:结论1㊀将单位圆n 等分(其中n ȡ3).任取3个顶点组成三角形,1)若n =4,则所有的三角形均为直角三角形;2)若n 为奇数,则钝角三角形与锐角三角形个数之比为3(n -3)n +1;3)若n 为偶数且n ȡ6,则钝角三角形与锐角三角形个数之比为3ʒ1.进而,我们有如下推论:推论1㊀将单位圆n 等分(其中n ȡ5),任取3个顶点组成三角形,记N 2为锐角三角形总数,N 3为钝角三角形总数,则lim n ң+ɕN 3N 2=3.3㊀问题引申进一步,我们还可考虑能否利用几何概型以及多重积分将该问题推广成连续型:猜想3㊀在单位圆上任取3个不同的点,则取到钝角三角形的概率与取到锐角三角形的概率之比为3.4㊀一点感悟(下转第46页)㊃54㊃2021年第7期中学教研(数学)一道浙江预赛题的解法与变式推广∗栾㊀功(南宁市第三中学,广西南宁㊀530021)摘㊀要:文章通过对2020年浙江省预赛试题第12题的解法探究,得到了相关研究对象在运动变化过程中保持的规律性及其变式推广,并由试题的解答与推广得出了关于圆锥曲线的一个统一结论,从而揭示了问题的本质和规律.关键词:圆锥曲线;一题多解;变式推广中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)07-0046-051㊀试题呈现题目㊀已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32,且椭圆C的任意3个顶点构成的三角形面积为12.1)求椭圆C的方程;2)若过点P(λ,0)的直线l与椭圆交于相异的两个点A,B,且APң=2PBң,求实数λ的范围.(2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题第12题)分析㊀第1)小题考查椭圆的基本概念和基本性质,是圆锥曲线中最基本的题型,体现了竞赛试题的基础性及对考生的关怀.第2)小题以过点P 的直线l与椭圆交于相异的两个点A,B为背景,设计了APң=2PBң,求点P横坐标λ的范围;为求出实数λ的范围,必须从运动变化中的不变量APң= 2PBң入手寻找化归途径,即由此思考几何关系APң=2PBң如何转化,从而解决问题.该试题既考查了直线和椭圆的位置关系㊁平面向量的概念及基本运算㊁考生的逻辑推理能力和运算求解能力,还深入考查了解析几何的基本思想和基本方法.该试题蕴含着丰富的数学思想,值得深入探究.(上接第45页)‘普通高中数学课程标准(2017年版)“指出:高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质[2].因此,由真实的问题引发的数学探究作为一种重要的数学活动,不仅能激发学生的学习兴趣以及探索精神,更能提升学生的思维能力以及数学素养.教师应当在教学过程中鼓励学生提出猜想并严谨求证.此外学生解题时的错解也是教师在教学过程中的一个重要的资源,教师应该用积极的眼光看待学生在解题中出现的错误并加以正确引导.通过对错解的分析,不仅能让师生明白其中的原理,还能得到一些有趣的结论,实现师生之间的教学相长.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀中国数学会普及工作委员会及数学奥林匹克委员会.高中数学联赛备考手册㊃2020预赛试题集锦[M].上海:华东师范大学出版社,2020:103-111.[2]㊀中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2018:1-3.㊃64㊃中学教研(数学)2021年第7期∗收文日期:2020-10-27;修订日期:2020-12-08作者简介:栾㊀功(1982 ),男,甘肃陇西人,中学高级教师.研究方向:数学教育.。

初中数学竞赛题目解析与解题思路数学竞赛是培养学生数学思维和解决问题能力的重要途径之一。

在初中数学竞赛中，题目类型和难度各异，需要学生灵活运用所学知识进行解题。

本文将对初中数学竞赛题目进行解析，并提供相应的解题思路。

一、题目类型及解析1.填空题填空题是数学竞赛中常见的题型，要求根据给定的条件填写缺失的数字或符号。

填空题涵盖了各个知识点，需要学生综合运用所学知识进行解答。

解题思路：（1）仔细阅读题干，理解题目要求。

（2）根据已给的条件和问题中的关键词，找到解题的线索。

（3）结合所学知识，根据线索进行计算或推理，填写正确的答案。

（4）对答案进行检查，确保填写的数字或符号符合题目要求。

2.选择题选择题是数学竞赛中常见的题型之一，要求从给定的选项中选择一个或多个正确的答案。

选择题中有时会出现复杂计算或推理，需要学生综合运用所学知识进行解答。

解题思路：（1）仔细阅读题干和选项，理解题目要求。

（2）根据已给的条件和问题中的关键词，找到解题的线索。

（3）结合所学知识，根据线索进行计算或推理，选择正确的答案。

（4）对所选答案进行检查，确保符合题目要求。

3.证明题证明题是数学竞赛中较为复杂的题型，要求学生运用所学的理论和方法，推导出正确的结论。

证明题需要学生具备扎实的数学基础和较强的逻辑推理能力。

解题思路：（1）仔细阅读题干，理解要证明的结论。

（2）回顾所学的数学理论和方法，找到可用的定理或公式。

（3）按照证明的思路，运用合适的推理方法，逐步推导出正确的结论。

（4）对所推导的过程进行自我反思和检查，确保每一步的推理都是正确的。

（5）总结证明的思路和方法，写出完整的证明过程。

二、解题技巧和策略1.理清题目脉络在解答数学竞赛题目时，首先要理清题目的脉络和思路。

仔细阅读题干，分析并理解题目要求，找出解题的关键点和线索。

在解题过程中，要注重逻辑推理和思维的连贯性，合理安排解题的步骤和思路。

2.运用所学知识数学竞赛题目虽然形式各异，但都是基于所学知识的应用和拓展。

一道“大梦杯”赛题的七种解法赛题既是知识综合应用的集散地，也是一题多解的主战场，探究赛题的解法，有利于培养缜密的数学思维，创新的思维意识和创新精神.下面就向大家一例. 原题：如图1，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC =（ ） A ．25 B ．35 C ．37 D ．47（2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题）解法1：如图1，连AG ，并延长交BC 于点F ，因为G 为ABC △的重心，且12BD BC =， 所以F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==. 过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M ，则13CM CF CE CD ==，21AE AG EM GF ==.设CM k =，则3CE k =，2EM k =，4AE k =.所以7AC k =，所以4477AE k AC k ==.所以选D.点评：此法精髓在于添加平行线构造相似基本图形---“A ”字型图，其次，巧设参数也是解题的一种重要方法，值得借鉴.解法2：如图2，连接AG ，并延长交BC 于点F.因为G 为△ABC 重心，且BD=21BC ， 所以F 为BC 的中点，且12=GF AG ,DB=BF=FC. 过点F 作FH ∥AC 交DE 点H,则12=FH AE ,32=CE FH ,设FH=k.则AE=2k,CE=23k,所以AC=27k,所以==k kAC AE 27274，所以选D.点评：此法精髓在于添加平行线构造相似基本图形---“8”字型图. 解法3：如图3，连接AG ，并延长交BC 于点F.因为G 为△ABC 重心，且BD=21BC ， 所以F 为BC 的中点，且12=GF AG ,DB=BF=FC. 过点G 作GH ∥AC 交FC 点H,则13=GH AC ,31=CF FH ,79373===FC FC DHDC GH EC 设GH=7k.则AC=21k,CE=9k,AE=12k,所以==k k AC AE 211274，所以选D.点评：依据比例的特点，整体设参数是此法的优势.解法4：如图4，连接AG ，并延长交BC 于点F.因为G 为△ABC 重心，且BD=21BC ， 所以F 为BC 的中点，且12=GF AG ,DB=BF=FC. 过点A 作AH ∥BC 交DE 的延长线于点H,则EC AE DC AH =,12==GF AG DF AH ,设DF=2k.则AH=4k,DC=3k,所以3434==k k EC AE ，所以434+=+AE EC AE , 所以AC AE =74，所以选D.点评：构造两个相似的“8”字型图是一个亮点，其次，熟练运用比例的合比性质是解题的另一个特色.解法5：如图5，连接AG ，并延长交BC 于点F.因为G 为△ABC 重心，且BD=21BC ， 所以F 为BC 的中点，且12=GF AG ,DB=BF=FC. 过点G 作GH ∥DC 交AC 点H,则32=FC GH ,DC GH EC EH =,12=HC AH ,设GH=2k.则FC=3k,DC=9k,所以 92=EC EH ，设EH=2m ，则EC=9m,HC=7m,所以AH=14m ，AE=12m ，AC=21m ，所以==m m AC AE 211274，所以选D.点评：两次设参数是此法的一个重要特点.解法6：如图6，连接AG ，并延长交BC 于点F.因为G 为△ABC 重心，且BD=21BC ， 所以F 为BC 的中点，且12=GF AG ,DB=BF=FC. 过点D 作DH ∥AC 交AF 的延长线于点H,则21==FD FC DH AC ,21==FD FC FH AF ,GH AG DH AE =,设FG=k.则AG=2k,AF=3k,FH=6k,所以AE=72DH ，AC=21DH ，所以AC AE =72DH ：21DH =74，所以选D.点评：此法也是双“8”字型相似图形的基本应用，熟练掌握灵活构造基本图形，把陌生转化熟悉求解释学习数学的重要技能之一.解法7：如图7，连AG ，并延长交BC 于点F . 因为 G 为ABC △的重心，且12BD BC =， 所以 F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==. 所以 23FD DC =，21AG GF =.在AFC △中，利用梅涅劳斯定理，得1FD CE AGDC EA GF⋅⋅=.所以 22131CE EA ⋅⋅=，34CE EA =.所以 47AE AC =.所以选D.点评：熟记梅涅劳斯定理的条件和结论，并灵活运用定理是解题的关键.。