2018年考研数学模拟测试题完整版及答案解析[数三]

考研数学三模拟题2018年(33)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.已知则f (n) (3)=______．SSS_FILL分值: 2[解析]则所以2.SSS_FILL分值: 23e [解析] 令则于是3.SSS_FILL分值: 22(1-ln2) [解析] 令则因为S(0)=0，所以则4.设级数条件收敛，则p的取值范围是______．SSS_FILL分值: 2[解析]因为条件收敛，所以即p的范围是5.设y=y(x)满足，且有y(1)=1，则．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] 由得函数y=y(x)可微且，积分得，因为y(1)=1，所以C=0，于是，故6.微分方程的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] 由，得，即，令z=e y，则，解得，所以原方程的通解为．7.微分方程yy"-2(y") 2 =0的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2y=C或者[解析] 令y"=p，得，代入原方程得则p=0，或．当p=0时，y=C；当时，，即．由，得，从而，所以原方程的通解为y=C或者．8.微分方程的通解为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2lnx+C [解析] 令，所以9.以y=C1 e x +e x (C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2y""-3y"+4y"-2y=0 [解析] 特征值为λ1 =1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ-1)(λ-1+i)(λ-1-i)=0，即λ 3 -3λ 2+4λ-2=0，所求方程为y""-3y"+4y"-2y=0．10.设y(x)为微分方程y"-4y"+4y=0满足初始条件y(0)=1，y"(0)=2的特解，则SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] y"-4y"+4y=0的通解为y=(C1 +C2x)e 2x，由初始条件y(0)=1，y"(0)=2得C1 =1，C2=0，则y=e 2x，于是11.差分方程yt+1 -2yt=3×2 t的通解为y(t)=______．SSS_TEXT_QUSTI分值: 2[解析] yt+1 -2yt=0的通解为y(t)=C×2 t，f(t)=3×2 t，因为2为特征值，所以设特解为yt*=at×2 t，代入原方程得，故原方程的通解．二、选择题1.设条件收敛，且，则______．SSS_SINGLE_SELA |r|＜1B |r|＞1C r=-1D r=1分值: 2答案:C[解析] 因为条件收敛，所以级数一定不是正项或负项级数，故r≤0．若|r|＜1，则，级数绝对收敛，矛盾；若|r|＞1，则，存在充分大的N，当n＞N时，{|un|}单调增加，，于是发散，矛盾，故|r|=1，再由r≤0得r=-1，选C．2.设，则______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:B[解析] 显然条件收敛，，因为，而收敛，所以收敛，选B．3.设幂级数在x=6处条件收敛，则幂级数的收敛半径为______．A．2B．4C．D．无法确定SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:A[解析] 因为在x=6处条件收敛，所以级数的收敛半径为R=4，又因为级数有相同的收敛半径，所以的收敛半径为R=4，于是的收敛半径为R=2，选A．4.设y(x)是微分方程y"+(x-1)y"+x 2 y=e x满足初始条件y(0)=0，y"(0)=1的解，则______．SSS_SINGLE_SELA 等于1B 等于2C 等于0D 不存在分值: 2答案:A[解析] 微分方程y"+(x-1)y"+x 2 y=e x中，令x=0，则y"(0)=2，于是，选A．5.二阶常系数非齐次线性微分方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特解形式为______．• A.(ax+b)e-x•**•**(ax+b)e-x**(ax+b)e-xSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 2答案:D[解析] 方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特征方程为λ 2 -2λ-3=0，特征值为λ1 =-1，λ2=3，故方程y"-2y"-3y=(2x+1)e -x的特解形式为x(ax+b)e -x，选D．6.设φ1 (x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为______．SSS_SINGLE_SELA C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B C1[φ1(x)-φ2(x)]+C2φ3(x)C C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)-φ3(x)]D C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1分值: 2答案:D[解析] 因为φ1 (x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1 (x)-φ3(x)，φ2(x)-φ3(x)为方程y"+a1(x)y"+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y"+a1 (x)y"+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)-φ3(x)]+C2[φ2(x)-φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1-C1-C2或C1+C2+C3=1，选D．三、解答题1.讨论级数的敛散性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解令则因为而收敛，所以收敛，由正项级数的比较审敛法得收敛．2.设收敛，举例说明级数不一定收敛；若是正项收敛级数，证明一定收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解令，由交错级数的Leibniz审敛法，级数收敛，而发散．设是正项收敛级数，则，取ε0 =1，存在自然数N，当n＞N时，|an-0|＜1，从而0≤an＜1，当n＞N时，有．由收敛得收敛，再由比较审敛法得收敛，所以收敛．3.设，级数中，哪个级数一定收敛?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解不一定收敛，如，显然，而，因为收敛，而发散，所以发散；不一定收敛，如，显然发散；不一定收敛，如，显然发散；一定收敛．由，得，又收敛，所以收敛，即绝对收敛，所以一定收敛．4.若正项级数收敛，证明：收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5证明因为收敛，所以，当x＞0时，ln(1+x)＜x，于是为正项级数，而，所以再由收敛，故收敛．设．SSS_TEXT_QUSTI5.求的值；分值: 2.5解，则，，因为，所以．SSS_TEXT_QUSTI6.证明：对任意常数λ＞0，收敛．分值: 2.5证明因为，所以，而收敛(λ＞0)，所以收敛．7.设，讨论级数的敛散性，若收敛求其和．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5解因为收敛，所以收敛．因为所以于是的和为8.设{nan}收敛，且收敛，证明：级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6证明令Sn =a1+a2+…+an，S"n+1=(a1-a)+2(a2-a1)+…+(n+1)(an+1 -an)，则S"n+1 =(n+1)an+1-Sn-a，因为收敛且数列{nan}收敛，所以都存在，于是存在，根据级数收敛的定义，收敛．9.设an＞0(n=1，2，…)且单调减少，又级数发散，判断的敛散性．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6解因为单调减少且an＞0(n=1，2，…)，所以存在，令，由发散，得A＞0．根据正项级数的根值审敛法，由，得级数收敛．证明：SSS_TEXT_QUSTI10.设an ＞0，且{nan}有界，则级数收敛；分值: 3证明因为{nan }有界，所以存在M＞0，使得0＜nan≤M，即，而级数收敛，所以级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI11.若，则级数收敛．分值: 3证明取，因为，所以存在N＞0，当n＞N时，，即，或者，而收敛，所以收敛．设(n=1，2，…；an ＞0，bn＞0)，证明：SSS_TEXT_QUSTI12.若级数收敛，则级数收敛；分值: 3证明由，则数列单调递减有下界，根据极限存在准则，存在，令．无论A=0还是A＞0，若级数收敛，则级数收敛．SSS_TEXT_QUSTI13.若级数发散，则级数发散．分值: 3证明若A=0，由级数发散，得级数发散；若A＞0，级数敛散性相同，故若级数发散，则级数发散．14.设{un }，{cn}为正项数列，证明：(1)若对一切正整数n满足cn un-cn+1un+1≤0，且发散，则也发散；(2)若对一切正整数n满足，且收敛，则也收敛．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6证明显然为正项级数．(1)因为对所有n满足cn un-cn+1un+1≤0，于是cn un≤cn+1un+1cnun≥…≥c1u1＞0，从而．因为发散，所以也发散．(2)因为对所有n满足，则cn un-cn+1un+1≥aun+1，即cn un≥(cn+1+a)an+1，所以，于是因为收敛，所以也收敛．15.对常数p，讨论幂级数的收敛区间．SSS_TEXT_QUSTI分值: 6解由，得幂级数的收敛半径为R=1．(1)当p＜0时，记q=-p，则有，因而当x=±1时，发散，此时幂级数的收敛区间为(-1，1)，(2)当0＜p＜1时，对，因为，所以x=1时，级数发散，当x=-1时，显然收敛，此时幂级数的收敛区间为[-1，1)；(3)当p＞1时，对，因为，而收敛，所以级数收敛，当x=-1时，显然绝对收敛，此时幂级数的收敛区间为[-1，1]．1。

考研数学三模拟题2018年(41) (总分100, 做题时间90分钟) 解答题1.设f(x)在x0处n阶可导．且f (m) (x)=0(m=1，2，…，n-1)，f (n) (x)≠0(n≥2)．证明：(1)当n为偶数且f (n) (x0 )＜0时，f(x)在x处取得极大值；(2)当n为偶数且f (n) (x0 )＞0时，f(x)在x处取得极小值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】n为偶数，令n=2k，构造极限当f (2k) (x)＜0时，当f (2k) (x)＞0时，2.设f(x)在x0处n阶可导，且f (m) (x)=0(m=1，2，…，n-1)，f (n) (x0)≠0(n＞2)．证明：当n为奇数时，(x，f(x))为拐点．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】n为奇数，令n=2k+1，构造极限当f (2k+1) (x0 )＞0时，但x→x+时，f"(x)＞0；x→x-时，f"(x)＜0，故(x0，f(x))为拐点．3.求函数f(x)=nx(1-x) n在[0，1]上的最大值M(n)及SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】容易求得f"(x)=n[1-(n+1)x](1-x) (n-1)，f"(x)=n 2 [(n+1)x-2](1-x) n-2．令f"(x)=0，得驻点且有则为f(x)的极大值点，且极大值将它与边界点函数值f(0)=0，f(1)=0，比较得f(x)在[0，1]上的最大值且有4.设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b．试证：在[a，b]内存在ξ，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】因为f(x)在[a，b]上连续，所以m≤f(x)≤M，其中m，M分别为f(x)在[a，b]上的最小值和最大值．故由介值定理可得ξ∈[a,b]，使得5.设f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f"(0)=0．证明：在[-1，1]内存在ξ，使得f"""(ξ)=3．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】取x=0，x=1代入，取x=0，x=-1代入，由①-②有因为f""(x)在[-1，1]上连续，则存在m和M，使得有m≤f""(x)≤M，③代入④式，有m≤3≤M，由介值定理，使得f""(ξ)=3．6.设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：必存在ξ∈(0，3)，使f"(ξ)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】函数f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上连续，那么其在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，由介值定理知，至少存在一点η∈[0，2]，使得于是便有f(η)=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在ξ∈(η，3) (0，3)，使f"(ξ)=0．设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，g""(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0．证明：SSS_TEXT_QUSTI7.在(a，b)内，g(x)≠0；该题您未回答:х该问题分值: 2【证】设c∈(a，b)，g(c)=0．由g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在[a，c]，[c，b]上两次运用罗尔定理可得g"(ξ1)=g"(ξ2)=0，其中ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，对g"(x)在[ξ1，ξ2 ]上运用罗尔定理，可得f"(ξ3)=0．因已知g"(x)≠0，故g(c)≠0．SSS_TEXT_QUSTI8.在(a，b)内至少存在一点ξ，使该题您未回答:х该问题分值: 2【证】F(x)=f(x)g"(x)-f"(x)g(x)在[a，b]上运用罗尔定理，F(a)=0，F(b)=0，故9.在区间[0，a]上|f""(x)|≤M，且f(x)在(0，a)内取得极大值．证明：|f(0)|+|f"(a)|≤Ma．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】f(x)在(0，a)内取得极大值，不妨设f"(c)=0．f"(x)在[0，c]与[c，a]之间分别使用拉格朗日中值定理，f"(c)-f"(0)=cf"(ξ1 )，ξ1∈(0，c)，f"(a)-f"(c)=(a-c)f"(ξ2 )，ξ2∈(c，a)，所以|f"(0)|+|f"(a)|=c|f“(ξ1 )|+(a-c)|f"(ξ2)|≤cM+(a-c)M=aM．10.设f(x)在闭区间[1，2]上可导，证明：使f(2)-2f(1)=ξf"(ξ)-f(ξ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】把所证等式ξ改为x，得xf"(x)-f(x)=f(2)-2f(1)，两边同除以x 2，令F(x)在[1，2]上连续，(1，2)内可导，且F(2)=F(1)=f(2)-f(1)．由罗尔定理，使F"(ξ)=0，即f(2)-2f(1)=ξf"(ξ)-f(ξ)．11.f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f"(x)≠0．证明：ξ，η∈(a，b)，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】因为两式相比，得12.设，且f""(x)＞0．证明：f(x)＞x．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】因得f(0)=0，f"(0)=1．因f(x)二阶可导，故f(x)在x=0处的一阶泰勒公式成立，因f"(x)＞0，故f(x)＞x，原命题得证．13.设f(x)，g(x)在[a，b]上二阶可导，且f(a)=f(b)=g(a)=0．证明：ξ∈(a，b)，使f""(ξ)g(ξ)+2f"(ξ)g"(ξ)+f(ξ)g""(ξ)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令F(x)=f(x)g(x)，在x=a点展开泰勒公式．令x=b，代入①式，则因f(a)=f(b)=g(a)=0，则F(a)=F(b)=0，且F"(a)=0，代入②式，得F"(ξ)=0．即f"(ξ)g(ξ)+2f"(ξ)g"(ξ)+f(ξ)g"(ξ)=0．14.设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(a)=f"(b)=0．证明：ξ∈(a，b)，使SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】将f(x)在x=a，x=b处展开泰勒公式．令②-①得得令|f"(ξ)|=max{|f"(ξ1 )|，|f"(ξ2)|}，则故原命题得证．15.设f(x)=arcsinx，ξ为f(x)在[0，t]上拉格朗日中值定理的中值点，0＜t＜1，求极限SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】因f(x)=arcsinx在[0，t]上连续，在(0，t)内可导，对它用拉格朗日中值定理，得由此解得并令μ=arcsint，有16.若x＞-1．证明：当0＜α＜1时，有(1+x) α＜1+αx；当α＜0或α＞1时，有(1+x) α＞1+αx．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令f(x)=(1+x) α，则有f"(x)=α(1+x) α-1，f"(x)=α(α-1)(1+x) α-2．由f(x)的泰勒展开式可知当x＞-1，0＜α＜1时，α(α-1)＜0，1+ξ＞0，故所以f(x)＜f(0)+f"(0)x，即(1+x) α＜1+αx．同理可证当x＞-1，α＜0或α＞1时，有(1+x) α＞1+αx．17.求证：当x＞0时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设则因为所以f(x)单调递减，且当0＜x＜+∞时，f(x)＞f(+∞)=0，即18.利用导数证明：当x＞1时，SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设f(x)=(1+x)ln(1+x)-xlnx，有f(1)=2ln2＞0．由知，f(x)单调递增，且当x＞1时，f(x)＞f(1)=2ln2＞0，lnx＞0，从而得，其中x＞1．设x∈(0，1)，证明下面不等式：SSS_TEXT_QUSTI19.(1+x)ln 2 (1+x)＜x 2；该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令φ(x)=x 2 -(1+x)ln 2 (1+x)，有φ(0)=0，且φ"(x)=2x-ln 2 (1+x)-2ln(1+x)，φ"(0)=0．当x∈(0，1)时，，知φ(x)单调递增，从而φ"(x)＞φ"(0)=0，知φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)＜x 2．SSS_TEXT_QUSTI20.该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令，则有由上小题得，当x∈(0，1)时f"(x)＜0，知f(x)单调递减，从而又因为当x∈(0，1)时，f"(x)＜0，知f(x)单调递减，且，所以21.求证：当x＞0时，(x 2 -1)lnx≥(x-1) 2．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设f(x)=(x 2 -1)lnx-(x-1) 2，所以f(1)=0．又因为f"(1)=0，且所以当x≥1时，f"(x)＞0，知f"(x)单调递增，则f"(x)≥f"(1)=0，从而f(x)单调递增，故f(x)≥f(1)=0，原式成立．当0＜x＜1时，f""(x)＜0，知f"(x)单调递减，则f"(x)≥f"(1)=2＞0，从而f"(x)单调递增，故f"(x)＜f"(1)=0，所以f(x)单调递减，知f(x)＞f(1)=0．原式成立．22.证明：其中SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】由有令只需证明f(x)≤1．由f(0)=1，只需证设g(0)=0，且因此，当时，g(x)＜0，即f(x)＜0，f(x)＜1，得证．23.求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】已知不等式等价于即令则令g(x)=(1+x)ln 2 (1+x)-x 2，x∈[0，1]，则g(0)=0，且g"(x)=ln 2 (1+x)+2ln(1+x)-2x，g"(0)=0，故g"(x)在[0，1]上严格单调递减，所以g"(x)＜g"(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln 2 (1+x)-x 2＜0，从而f"(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也严格单调递减．令则α≤f(x)≤β，有故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α为最小的数β为24.设函数f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，且f(x)和f""(x)在(-∞，+∞)内有界．证明：f"(x)在(-∞，+∞)内有界．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】存在正常数M0，M2，使得对恒有|f(x)|≤M0，|f"(x)|≤M2．由泰勒公式，有其中ξ介于x与x+1之间，整理得所以故函数f"(x)在(-∞，+∞)内有界．25.设n为自然数，试证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】右端不等式等价于证明即设则又故当x＞0时，有从而，当x＞0时，f"(x)单调增，且当x→+∞时，f"(x)趋于零，所以，当x＞0时，f"(x)＜0．进而知当x＞0时，f(x)单调减，且当x→+∞时，f(x)趋于零，于是，当x＞0时，f(x)＞0．所以，对一切自然数n，恒有f(n)＞0，故有从而右端不等式成立．类似地，引入辅助函数类似可证明：当x＞0时，g(x)＜0，从而对一切自然数n，左端不等式成立．已知f(x)二阶可导，且f(x)＞0，f(x)f""(x)-[f"(x)] 2≥0(x∈R)．SSS_TEXT_QUSTI26.证明：该题您未回答:х该问题分值: 3【证】记g(x)=lnf(x)，则故即SSS_TEXT_QUSTI27.若f(0)=1，证明：f(x)≥e f"(0)x(x∈R)．该题您未回答:х该问题分值: 3【证】即f(x)≥e f"(0)x．28.设f(x)在闭区间[0，c]上连续，其导数f"(x)在开区间(0，c)内存在且单调减少，f(0)=0．试应用拉格朗日中值定理证明：f(a+b)≤f(a)+f(b)，其中常数a，b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】方法一用拉格朗日中值定理．当a=0时，等号成立；当a＞0时，由于f(x)在区间[0，a]及[b，a+b]上满足拉格朗日中值定理，所以，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，ξ1＜ξ1，使得[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]=af"(ξ2 )-af"(ξ1)．因为f"(x)在(0，c)内单调减少，所以f"(ξ2)≤f"(ξ1)，于是，[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．方法二用函数的单调性．将[f(a+b)-f(b)]-[f(a)-f(0)]中的b改写为x，构造辅助函数F(x)=f(a+x)-f(x)-f(a)，x∈[0，b]，显然F(0)=0，又因为f"(x)在(0，c)内单调减少，所以F"(x)=f"(a+x)-f"(x)≤0．于是有F(b)≤F(0)=0，即f(a+b)-f(b)-f(a)≤0，即f(a+b)≤f(a)+f(b)．29.证明：当x＞0时，有SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】方法一用拉格朗日中值定理．因为所以且函数f(t)=lnt在[x，1+x]上满足拉格朗日中值定理，故存在ξ∈(x，1+x)，使得因为x＜ξ＜1+x，所以于是有即方法二用函数的单调性．令因为所以F(x)在(0，+∞)上单调减少，又因此，对一切x∈(0，+∞)，恒有F(x)＞0，即30.证明：当0＜a＜b＜π时，bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】令F(x)=xsinx+2cosx+πx，只需证明F(x)在(0，π)上单调递增．F"(x)=sinx+xcosx-2sinx+π=π+xcosx-sinx，由此式很难确定F"(x)在(0，π)上的符号，为此有F"(x)=-xsinx＜0，x∈(0，π)，即函数F"(x)在(0，π)上单调递减，又F"(π)=0，所以F"(x)＞0，x∈(0，π)，于是F(b)＞F(a)，即bsinb+2cosb+πb＞asina+2cosa+πa．31.设b＞a＞e，证明：a b＞b a．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设则其中lnx＞lne=1，所以，f"(x)＜0，即函数f(x)单调递减．因此，当b＞a＞e时，32.证明：当x＞0时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】构造辅助函数则f(0)=0，且由题设条件很难确定的符号，但是所以从而，当x＞0时，即33.证明：当时，不等式成立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】当时，而cosx＜0，所以不等式成立．当时，构造辅助函数则上式中，当时，但是，2xcosx-2sinx+x 3的符号无法直接确定，为此，令g(x)=2xcosx-2sinx+x 3，则g(0)=0，且g"(x)=x 2 +2x(x-sinx)＞0，所以，当x∈ 时，g(x)=2xcosx-2sinx+x 3＞0．从而，当时，又所以，当时，即34.已知某种商品的需求量x对价格p的弹性为η=-2p 2，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)．(1)确定需求函数；(2)若价格服从[1，2]上的均匀分布，计算期望收益值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】(1)由弹性公式：即两边积分有由x(0)=1得c=1，故x(p)=e -p2．(2)R=p·x(p)=p·e -p2，35.一商家销售某种商品的价格满足关系p=7-0.2x(万元/单位)，x为销售量，成本函数为C=3x+1(万元)，其中x服从正态分布N(5p，1)，每销售一单位商品，政府要征税t万元，求该商家获得最大期望利润时的销售量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】收益为R=x·p，利润为L=R-C-T，其中税收T=tx．于是L=x·p-(3x+1)-t·x=x(7-0.2x)-(3x+1)-t·x=-0.2x 2 +(4-t)x-1，EL=-0.2Ex 2 +(4-t)Ex-1=-0.2[Dx+(Ex) 2 ]+(4-t)Ex-1=-0.2[1+(5p) 2 ]+(4-t)·5p-1=-5p 2 +5(4-t)p-1.2，令因此，当即时，期望的利润最大．36.设需求函数为p=a-bQ，总成本函数为其中a，b＞0为待定的常数，已知当边际收益MR=67，且需求价格弹性时，总利润是最大的．求总利润最大时的产量．并确定a，b的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】总收益：R=Qp=aQ-bQ 2，于是有 L"(Q)=-Q 2 +2(7-b)Q+(a-100)．由题设a，b，Q应满足解①②③得：a=111，Q=3或a=111，b=2，Q=11．(1)若a=111，Q=3，此时L"(3)=0，L"(3)＜0，但L(3)＜0不符合题意；(2)若a=111，b=2，Q=11，此时L"(11)=0，L"(11)＜0，且L(11)＞0．因此a=111，b=2为所求常数，此时对应最大利润的产量为Q=11．37.某集邮爱好者有一个珍品邮票，如果现在(t=0)就出售，总收入为R元．如果收藏起来待来日出售，t年末总收入为R(t)=Re ξ(t)，其中ξ(t)为随机变量，服从正态分布，假定银行年利率为r，并且以连续复利计息．试求收藏多少年后，再出售可使得总收入的期望现值最大，并求r=0.06时，t的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】由连续复利公式，t年末售出总收入R的现值为：A(t)=R·e -rt．于是A(t)=R0 e ξ(t) e -rt =Re ξ(t)-rt，令且可见当时，期望的现值(取到极大值)最大．若r=0.06，1。

考研数学三模拟题2018年(13)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.设且存在三阶非零矩阵B，使得AB=O，则a=______，b=______．SSS_FILL分值: 12 1[解析] 因为AB=O，所以r(A)+r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，从而a=2，b=1．2.设η为非零向量，η为方程组AX=0的解，则a=______，方程组的通解为______．SSS_FILL分值: 13 k(-3，1，2) T [解析] AX=0有非零解，所以|A|=0，解得a=3，于是方程组AX=0的通解为k(-3，1，2) T．二、选择题1.设A是m×s矩阵，B为s×n矩阵，则方程组BX=0与ABX=0同解的充分条件是______．SSS_SINGLE_SELA r(A)=sB r(A)=mC r(B)=sD r(B)=n分值: 1答案:A[解析] 设r(A)=s，显然方程组BX=0的解一定为方程组ABX=0的解，反之，若ABX=0。

因为r(A)=s，所以方程组AY=0只有零解，故BX=0，即方程组BX=0与方程组ABX=0同解，选A．2.设n阶矩阵A的伴随矩阵A *≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是______．A．AX=b的通解为k1η1+k2η2B．η1+η2为AX=b的解C．方程组AX=0的通解为k(η1 -η2)D．AX=b的通解为SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因为A *≠O，所以r(A)=n-1，η2 -η1为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选C．3.设有方程组AX=0与BX=0，其中A，B都是m×n矩阵，下列四个命题：(1)若AX=0的解都是BX=0的解，则r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，则AX=0的解都是BX=0的解(3)若AX=0与BX=0同解，则r(A)=r(B)(4)若r(A)=r(B)，则AX=0与BX=0同解以上命题正确的是______．SSS_SINGLE_SELA (1)(2)B (1)(3)C (2)(4)D (3)(4)分值: 1答案:B[解析] 若方程组AX=0的解都是方程组BX=0的解，则n-r(A)≤n-r(B)，从而r(A)≥r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选B．4.设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则______．SSS_SINGLE_SELA 当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0有非零解B 当m＞n时，线性齐次方程组ABX=0只有零解C 当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0有非零解D 当n＞m时，线性齐次方程组ABX=0只有零解分值: 1答案:A[解析] AB为m阶方阵，当m＞n时，因为r(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(AB)＜m，于是方程组ABX=0有非零解，选A．5.设A为m×n阶矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是______．SSS_SINGLE_SELA r(A)=mB r(A)=nC A为可逆矩阵D r(A)=n且b可由A的列向量组线性表示分值: 1答案:D[解析] 方程组AX=b有解的充分必要条件是b可由矩阵A的列向量组线性表示，在方程组AX=b有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是r(A)=n，故选D．三、解答题1.设向量组α1，α2，…，αn-1为n维线性无关的列向量组，且与非零向量β1，β2正交．证明：β1，β2线性相关．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令因为α1，α2，…，αn-1与β1，β2正交，所以Aβ1 =0，Aβ2=0，即β1，β2为方程组AX=0的两个非零解，因为r(A)=n-1，所以方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以β1，β2线性相关．2.设齐次线性方程组其中ab≠0，n≥2．讨论a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)当a≠b，a≠(1-n)b时，方程组只有零解；(2)当a=b时，方程组的同解方程组为x1 +x2+…+xn=0，其通解为X=k1(-1，1，0，…，0) T +k2 (-1，0，1，…，0) T+…+kn-1(-1，0，…，0，1) T(k1，k2，…，kn-1为任意常数)；(3)令当a=(1-n)b时，r(A)=n-1，显然(1，1，…，1) T为方程组的一个解，故方程组的通解为k(1，1，…，1) T (k为任意常数)．3.设A为三阶矩阵，A的第一行元素为a，b，c且不全为零，又且AB=O，求方程组AX=0的通解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 由AB=O得r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1．(1)当k≠9时，因为r(B)=2，所以r(A)=1，方程组AX=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取B的第1、3两列，故通解为(2)当k=9时，r(B)=1，1≤r(A)≤2，当r(A)=2时，方程组AX=0的通解为当r(A)=1时，A的任意两行都成比例，不妨设a≠0，由得通解为4.a，b取何值时，方程组有解?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)a≠1时，唯一解为(2)a=1，b≠-1时，r(A)≠ ，因此方程组无解；(3)a=1，b=-1时，通解为X=k1 (1，-2，1，0) T +k2(1，-2，0，1) T +(-1，1，0，0) T (k1，k2为任意常数)．5.A，B为n阶矩阵且r(A)+r(B)＜n．证明：方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 方程组的解即为方程组AX=0与BX=0的公共解．因为所以方程组有非零解，故方程组AX=0与BX=0有公共的非零解．设(Ⅰ) α1，α2，α3，α4为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中α1=SSS_TEXT_QUSTI 6.求方程组(Ⅰ)的基础解系；分值: 2[解] 方程组(Ⅰ)的基础解系为SSS_TEXT_QUSTI7.求方程组(Ⅱ)BX=0的基础解系；分值: 2[解] 因为r(B)=2，所以方程组(Ⅱ)的基础解系含有两个线性无关的解向量，为方程组(Ⅱ)的基础解系；SSS_TEXT_QUSTI8.(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．分值: 2[解] 方程组(Ⅰ)的通解为方程组(Ⅱ)的通解为=k，则方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)的公共解为k(-1，令，则有取k21，1，1) T (其中k为任意常数)．设(Ⅰ)(Ⅱ)SSS_TEXT_QUSTI9.求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基础解系；分值: 3[解] 的基础解系为的基础解系为SSS_TEXT_QUSTI10.求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．分值: 3[解] 方法一(Ⅰ)，(Ⅱ)公共解即为的解，(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为方法二(Ⅰ)的通解代入(Ⅱ) =2k2，故(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为(-k，k，2k，k) T =k(-1，1，2，1) T (k为任意常数)．方法三(Ⅰ)的通解为(Ⅱ)的通解为令∴(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解为11.问a，b，c取何值时，(Ⅰ)，(Ⅱ)为同解方程组?SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 方法一的通解为把(Ⅱ)的通解代入(Ⅰ)，得方法二因为(Ⅰ)，(Ⅱ)同解，所以它们的增广矩阵有等价的行向量组，(Ⅱ)的增广矩阵为阶梯阵，其行向量组线性无关．α1可由β1，β2，β3唯一线性表出，α1=-2β1+β2+aβ2a=-1，α2可由β1，β2，β3唯一线性表出，α2=β1+β2-β3b=-2，α3可由β1，β2，β3唯一线性表出，α3=3β1+β2+β3c=4．12.证明线性方程组(Ⅰ)有解的充分必要条件是方程组(Ⅲ)是同解方程组．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令方程组(Ⅰ)可写为AX=b，方程组(Ⅱ)、(Ⅲ)可分别写为A TY=0及若方程组(Ⅰ)有解，则r(A)=r( )，从而又因为(Ⅲ)的解一定为(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)与(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)与(Ⅲ)同解，则从而r(A)=r( )，故方程组(Ⅰ)有解．13.设的一个基础解系为写出的通解并说明理由．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 令则(Ⅰ)可写为AX=0，令其中则(Ⅱ)可写为BY=0，因为β1，β2，…，βn为(Ⅰ)的基础解系，因此r(A)=n，β1，β2，…，βn线性无关，．α1T，α2T，…，αn T为BY=0的一组解，而r(B)=n，α1T，α2T，…，αnT线性无关，因此α1T，α2T，…，αnT为BY=0的一个基础解系．14.设A是m×s矩阵，B是s×n矩阵，且r(B)=r(AB)．证明：方程组BX=0与ABX=0是同解方程组．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 首先，方程组BX=0的解一定是方程组ABX=0的解．令r(B)=r且ξ1，ξ2，…，ξn-r是方程组BX=0的基础解系，现设方程组ABX=0有一个解η0不是方程组BX=0的解，即Bη≠0，显然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0线性无关，若ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性相关，则存在不全为零的常数k1，k2，…，kn-r，k，使得k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r +kη=0，若k=0，则k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r+kη=0，因为ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，从而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性无关，所以k≠0，故η可由ξ1，ξ2，…，ξn-r线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有Bη=0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η线性无关，且为方程组ABX=0的解，从而n-r(AB)≥n-r+1，r(AB)≤r-1，这与r(B)=r(AB)矛盾，故方程组BX=0与ABX=0同解．设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA+DB)=n．SSS_TEXT_QUSTI15.证明分值: 3[证明] 因为n=r(CA+DB)=所以SSS_TEXT_QUSTI16.设ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs分别为方程组Ax=0与BX=0的基础解系，证明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．分值: 3[证明] 因为所以方程组只有零解，从而方程组AX=0与BX=0没有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr与η1，η2，…，ηs线性无关．17.设A为n阶矩阵，A11≠0．证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A * b=0．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n，从而|A|=0，于是A * b=A * AX=|A|X=0．反之，设A * b=0，因为b≠0，所以方程组A * X=0有非零解，从而r(A * )＜n，又A11≠0，所以r(A * )=1，且r(A)=n-1．因为r(A * )=1，所以方程组A * X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A * A=0，所以A的列向量组α1，α2，…，αn为方程组A * X=0的一组解向量．由A11≠0，得α2，…，αn线性无关，所以α2，…，αn是方程组A* X=0的基础解系．因为A * b=0，所以b可由α2，…，αn线性表示，也可由α1，α2，…，αn线性表示，故r(A)= =n-1＜n，即方程组AX=b有无穷多个解．18.证明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 令r(B)=r，BX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，因为BX=0的解一定是ABX=0的解，所以ABX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于BX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即n-r(AB)≥n-r(B)，r(AB)≤r(B)；又因为r[(AB) T ]=r(AB)=r(B T A T)≤r(A T )=r(A)，所以r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．19.证明：r(A)=r(A T A)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 只需证明AX=0与A T AX=0为同解方程组即可．若AX0 =0，则A T AX=0．反之，若A T AX0 =0，则XT A T AX=0 (AX) T (AX)=0 AX=0，所以AX=0与A T AX=0为同解方程组，从而r(A)=r(A T A)．20.设A是m×n矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足．证明：方程组AX=b 的线性无关的解向量的个数最多是n-r+1个．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[证明] 因为r(A)=r＜n，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有n-r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn-r．设η为方程组AX=b的一个特解，令β0=η，β1=ξ1+η，β2=ξ2+η…，βn-r=ξn-r+η0，显然β，β1，β2，…，βn-r为方程组AX=b的一组解．令k0β+k1β1+…+kn-rβn-r=0，即(k0 +k1+…+kn-r)η+k1β1+k2β2+…+kn-rβn-r=0，上式两边左乘A得(k0 +k1+…+kn-r)b=0，因为b为非零列向量，所以k0 +k1+…+kn-r=0，于是k1ξ1+k2ξ2+…+kn-rξn-r=0，注意到ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1=k2=…=kn-r=0，故β0，ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，即方程组AX=b存在由n-r+1个线性无关的解向量构成的向量组．设ξ1，ξ2，…，ξn-r+2为方程组AX=b的一组线性无关解，令γ1=β2-β1，γ2=β3-β1，…，γn-r+1=βn-r+2-β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn-r+1线性无关，又γ1，γ2，…，γn-r+1为齐次线性方程组AX=0的一组解，即方程组AX=0含有n-r+1个线性无关的解，矛盾，所以AX=b的任意n-r+2个解向量都是线性相关的，所以AX=b的线性无关的解向量的个数最多为n-r+1个．21.讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解](1)当a≠-1，b≠-2时．因为D≠0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a=-1，b≠-2时，当b≠-1时，方程组无解当b=-1时，方程组的通解为(3)当a≠-1，b=-2时，当a=1时，方程组的通解为当a≠1时，显然r(A)=2≠ =3，方程组元解．22.设问a，b，c为何值时，矩阵方程AX=B有解?有解时求出全部解．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5[解] 令X=(X1，X2，X3)，B=(β1，β2，β3)，方程组AX=B等价于则AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r( )，由r(A)=r( )得a=1，b=2，c=-2，此时AX1=β1的通解为AX2=β2的通解为AX 3 =β 3 的通解为 则 其中k 1 ，k 2 ，k 3 为任意常数． 1。

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析（江南博哥）1[单选题]下列函数中，在x=0处不可导的是( )．A.f(x)=|x|sin |x|B.f(x)=|x|sinC.f(x)=cos|x|D.f(x)=cos正确答案：D参考解析：2[单选题]设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且，则( )．A.当f’(x)<0时，f()<0B.当f’’(x)<0时，f()<0C.当f'(x)>0时，f()<0D.当f”(x)>0时，f()<0正确答案：D参考解析：3[单选题]( )．A.M>N>KB.M>K>NC.K>M>ND.K>N>M正确答案：C参考解析：4[单选题]设某产品的成本函数C(Q)可导，其中Q为产量，若产量为Q0时平均成本最小，则( )．A.C '(Q0)=0B.C’(Q0)=C(Q0)C.C’(Q0)=Q0c(Q0)D.Q0C'(Q0)=C(Q0)正确答案：D参考解析：5[单选题]( )．A.B.C.D.正确答案：A参考解析：本题考查矩阵相似的定义及相似矩阵的性质(相似矩阵的秩相等)．若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则A～B．从而可知E—A～E-B，且r(E—A)=r(E—B)．设题中所给矩阵为A，各项中的矩阵分别为B1，B2，B3，B4．经验证知r(E—B1)=2，r(E-B2)=r(E—B3)=r(E-B4)=1．因此A～B1，即A相似于A项下的矩阵．6[单选题]设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则( )．A.r(A，AB)=r(A)B.r(A，BA)=r(A)C.r(A，B)=max{r(A)，r(B)}D.r(A，B)=r(A T，B T)正确答案：A参考解析：解这道题的关键，要熟悉以下两个不等关系：①r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；②r(A，B)≥max{r(A)，r(B)}．由r(E，B)=n，可知r(A，AB)=r(A(E，B))≤min{r(A)，r(E，B)}=r(A)．又r(A，AB)≥max{r(A)，r(AB)}，r(AB)≤r(A)，可知r(A，AB)≥r(A)．从而可得r(A，AB)=r(A)．7[单选题]设f(x)为某随机变量X的概率密度函数，f(1+x)=f(1-x)，，则P{X<0}=( )．A.0．2B.0．3C.0．4D.0．6正确答案：A参考解析：由于f(1+x)=f(1-x)，可知f(x)图形关于x=1对称．8[单选题]A.B.C.D.正确答案：B参考解析：解这道题，首先知道t—分布的定义．9[填空题]曲线y=x2+2 lnx在其拐点处的切线方程是______．参考解析：y=4x-3首先求得函数f(x)=x2+2lnx的定义域为(0，+∞)．10[填空题]______．参考解析：11[填空题]差分方程△2y x-y x=5的解为______．参考解析：yx=C·2x-512[填空题]设函数f(x)满足f(x+△x)-f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)，f(0)=2，则f(1)=______．参考解析：2e由题意知f’(x)=2xf(x)，解该一阶齐次线性微分方程可得f(x)=Ce x2.又f(0)=2，得C=2．因此f(x)=2e x2，从而f(1)=2e．13[填空题]设A为三阶矩阵，α1，α2，α3为线性无关的向量组，若Aα1=α1+α2，Aα2=α2+α3，Aα3=α1+α3，则|A|=______．参考解析：2由于α1，α2，α3线性无关，则P=(α1，α2，α3)为可逆矩阵．因此14[填空题]随机事件A，B，C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C)=，则P(AC|A∪B)=______．参考解析：15[简答题]参考解析：解：16[简答题]参考解析：17[简答题]将长为2 m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形．三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值．参考解析：18[简答题]参考解析：19[简答题]参考解析：20[简答题](本题满分ll分)设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1-x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数．(I)求f(x1，x2，x3)=0的解；(II)求f(x1，x2，x3)的规范形．参考解析：解：(I)由f(x1，x2，x3)=0，得21[简答题](本题满分ll分)(I)求a；(Ⅱ)求满足AP=B的可逆矩阵P．参考解析：22[简答题]设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X=1)=P(X=-1)=，Y服从参数为A的泊松分布，令Z=XY．(I)求Coy(X，Z)；(Ⅱ)求Z的概率分布．参考解析：23[简答题]设总体X的概率密度为其中σ∈(0，+∞)为未知参数，X1，X2，…，x n为来自总体X的简单随机样本，σ的最大似然估计量为．(I)求；(Ⅱ)求E()，D()．参考解析：。

考研数学三模拟题2018年(1)(总分100, 做题时间90分钟)填空题1.设3阶方阵A，B满足关系式A -1 BA=6A+BA，且则B=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2diag(3，2，1) [解析] 由A -1 BA=6A+BA得B=6A(E-A) -1 =diag(3，2，1)，其中，λ1，λ2，…，λn全不为零．2.设α=[-1，2，3]，A=α Tβ，则An=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 23 n-1 A [解析]A n=(α Tβ) n=(α Tβ)(α Tβ)…(α Tβ)=α T(βα) T(βα) T…(βα T)β=3 n-1 A．3.设n≥2为正整数，则A n -2A n-1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2O[解析]4.设则A -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析] 方法一用初等变换求．方法二5.已知A 2 -2A+E=O，则(A+E) -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析] A 2 -2A+E=O，(A+E)(A-3E)=-4E，6.设A是n阶矩阵，|A|=5，则|(2A) * |=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 22 n2-n·5 n-1 [解析] (2A)(2A) * =|2A|E，(2A) * =|2A|(2A) -1，7.设则(A * ) -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析]8.设B=(E+A) -1 (E-A)，则(E+B) -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析] E+B=E+(E+A) -1 (E-A)=(E+A) -1 (E+A+E-A)=(E+A) -1 2E，故9.，将B 已知A，B均是3阶矩阵，将A中第3行的-2倍加到第2行得矩阵A1中第1列和第2列对换得到B，又则AB=______．1SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2[解析]10.设则B -1 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2 [解析]故11.设A，B为3阶相似矩阵，且|2E+A|=0，λ1 =1，λ2=-1为B的两个特征值，则行列式|A+2AB|=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.518 [解析] 由|2E+A|=|A-(-2E)|=0知λ=-2为A的一个特征值．由A～B知A和B有相同特征值，因此λ1 =1，λ2=-1也是A的特征值．故A，B的特征值均为λ1 =1，λ2=-1．λ3=-2．则有E+2B的特征值为1+2×1=3，1+2×(-1)=-1，1+2×(-2)=-3，从而|E+2B|=3×(1)×(-3)=9，|A|=λ1λ2λ3=2．故|A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|·|E+2B|=2×9=18．12.设A=E+αβ T，其中α，β均为n维列向量，α Tβ=3，则|A+2E|=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.52·3 n [解析] 由于α Tβ=3，可知tr(αβ T )=3．αβ T的秩为1，故0至少为αβ T的n-1重特征值。

考研数学三模拟题2018年(25) (总分100, 做题时间90分钟)一、选择题1.设数列{xn }和{yn}满足，则当n→∞时，{yn}必为无穷小量的充分条件是______A．{xn}是无穷小量B．是无穷小量C．{xn}有界D．{xn}单调递减SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:B[解析] 若是无穷小量，则故(B)正确．若取则满足且{xn}在n→∞时是无穷小量、有界量、单调递减，但{yn}不是无穷小量，排除(A)，(C)，(D)．2.以下3个命题：①若数列{un }收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；②若单调数列{xn }的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；③若数列{x2n }与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．正确的个数为______SSS_SINGLE_SELA 0B 1C 2D 3该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:D[解析] 对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有|un -A|＜ε，则当ni＞N时，恒有|uni -A|＜ε，因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确．对于命题②，不妨设数列{xn }为单调增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一给定子数列{xni}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni ＞N时，恒有|xni-A|＜ε．由于数列{xn }为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有-ε＜xni-A≤xn-A≤xni+1-A＜ε，从而|xn-A|＜ε．可知数列{xn}收敛于A因此命题正确．对于命题③，因由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N1，N2：当2n＞N1时，恒有|x2n-A|＜ε；当2n+1＞N2时，恒有|x2n+1-A|＜ε；取N=max{N1，N2}，则当n＞N时，总有|xn-A|＜ε．因此可知命题正确．故答案选择(D)．3.设f(x)是偶函数，φ(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是______SSS_SINGLE_SELA f[φ(x)]B f[f(x)]C φ[f(x)]D φ[φ(x)]该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:D[解析] 令g(x)=φ[φ(x)]，注意φ(x)是奇函数，有g(-x)=φ[φ(-x)]=φ[-φ(x)]=-φ[φ(x)]=-g(x)．因此φ[φ(x)]为奇函数，同理可得f[φ(x)]，f[f(x)]，φ[f(x)]均为偶函数．答案选(D)．4.设f(x)=sin(cosx)，φ(x)=cos(sinx)，则在区间内______SSS_SINGLE_SELA f(x)是增函数，φ(x)是减函数B f(x)，φ(x)都是减函数C f(x)是减函数，φ(x)是增函数D f(x)，φ(x)都是增函数该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:B[解析] 注意在内，sinx是增函数，cosx是减函数．任取且x1＜x2，有cosx1＞cosx2，所以sin(cosx1)＞sin(cosx2 )，即f(x)是减函数；由于sinx1＜sinx2，所以cos(sinx1)＞cos(sinx2)，即φ(x)是减函数．5.设在区间(-∞，+∞)内f(x)＞0，且当k为大于0的常数时有，则在区间(-∞，+∞)内函数f(x)是______SSS_SINGLE_SELA 奇函数B 偶函数C 周期函数D 单调函数该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:C[解析] 因为故f(x)是周期函数．6.设则______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:D[解析]7.设f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)-v(x)，并设与都不存在，下列论断正确的是______A．若不存在，则必存在B．若不存在，则必不存在C．若存在，则必不存在D．若存在，则必存在SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:C[解析] 令当x→0时可排除(A)；令当x→0时可排除(B)；令当x→0时可排除(D)．8.两个无穷小量比较的结果是______SSS_SINGLE_SELA 同阶B 高阶C 低阶D 不确定该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:D[解析] 如β(x)→x，当x→0时，都是无穷小．但不存在，故α(x)和β(x)无法比较阶的高低．9.函数f(x)=xsinx______SSS_SINGLE_SELA 在(-∞，+∞)内无界B 在(-∞，+∞)内有界C 当x→∞时为无穷大D 当x→∞时极限存在该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:A[解析] 对于任意给定的正数M，总存在着点使|f(xn)|= 故f(x)在(-∞，+∞)内无界．C错，对于任意给定的正数M，无论x取多么大的正数，总有xn=|2nπ|＞x(只要)，使f(xn )=xnsinxn=0＜M，故当x→0时f(x)不是无穷大．千万不要将无穷大与无界混为一谈．10.极限的充要条件是______SSS_SINGLE_SELA α＞1B α≠1C α＞0D 与α无关该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:B[解析] 令则11.设当x→x时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是______SSS_SINGLE_SELA 设当x→x0时，g(x)是无穷小，则f(x)g(x)必是无穷小B 设当x→x0时，g(x)不是无穷小，则f(x)g(x)必不是无穷小C 设在x=x0的某邻域g(x)无界，则当x→x0时，f(x)g(x)必是无穷大D 设在x=x0的某邻域g(x)有界，则当x→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:D[解析] 设当x→0时为无界变量，不是无穷大．令g(x)=x，当x→0时为无穷小，可排除(A)．设x→0时，令f(x)=x 2，可排除(B)，(C)．12.设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在点x处间断，则在点x处必定间断的函数为______•**(x)sinx•**(x)+sinx•**(x)D.|f(x)|SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:B[解析] 方法一若f(x)+sinx在点x处连续，则f(x)=[f(x)+sinx]-sinx在点x处也连续，与已知矛盾．方法二排除法．设则f(x)在点x=0处间断，f(x)sinx=0在x=0处连续．若设f(x)在点x=0处间断，但f 2 (x)=1，|f(x)|=1在x=0处都连续．故可排除(A)，(C)，(D)．13.设当x→x0时，α(x)，β(x)(β(x)≠0)都是无穷小，则当x→x时，下列表达式中不一定为无穷小的是______ A．B．C．ln[1+α(x)·β 2 (x)]D．|α(x)|+|β(x)|SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:A[解析] 有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量．14.设当x→0时，e tanx -e x与x n是同阶无穷小，则n为______SSS_SINGLE_SELA 1B 2C 3D 4该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:C[解析]则n=3时，15.当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x 2 ln(1-bx)是等价无穷小，则______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:A[解析] 由泰勒公式故16.设当x→0时，f(x)=ax 3 +bx与等价，则______A．B．a=3，b=0C．D．a=1，b=0SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:C[解析] 由于当b≠0时，该极限为∞，于是，b=0．从而17.设当x→0时，f(x)=ln(1+x 2 )-ln(1+sin 2 x)是x的n阶无穷小，则正整数n 等于______SSS_SINGLE_SELA 1B 2C 3D 4该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:D[解析] 因此，n=4．18.若在(-∞，+∞)上连续，且，则______SSS_SINGLE_SELA λ＜0，k＜0B λ＜0，k＞0C λ≥0，k＜0D λ≤0，k＞0该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:D[解析] 分母不为零，故λ≤0；又故k＞0．19.设，则______SSS_SINGLE_SELA x=0，x=1都是f(x)的第一类间断点B x=0，x=1都是f(x)的第二类间断点C x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点D x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:D[解析] 由f(x)的表达式可知x=0，x=1为其间断点．故x=1是第一类间断点，x=0是第二类间断点，选(D)．20.设则f(x)有______SSS_SINGLE_SELA 1个可去间断点，1个跳跃间断点B 1个跳跃间断点，1个无穷间断点C 2个可去间断点D 2个无穷间断点该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:A[解析] x=0和x=1为f(x)的间断点，其余点连续．则x=0为可去间断点．因x→1时，lnx=ln(1+x-1)～x-1，则x=1为跳跃间断点．答案选择(A)．21.设，则下列结论中错误的是______SSS_SINGLE_SELA x=-1，x=0，x=1为f(x)的间断点B x=-1为无穷间断点C x=0为可去间断点D x=1为第一类间断点该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:C[解析] 去掉绝对值符号，将f(x)写成分段函数，则故x=0为跳跃间断点．22.若f(x)在(a，b)内单调有界，则f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是______ SSS_SINGLE_SELA 第一类间断点B 第二类间断点C 既有第一类间断点也有第二类间断点D 结论不确定该题您未回答:х该问题分值: 2.5答案:A∈(a，b)，当[解析] 不妨设f(x)单调增加，且|f(x)|≤M，对任一点x时，f(x)随着x增加而增加且有上界，故存在；当时，f(x)随只能是第一类间断点．着x减小而减小且有下界，故存在，故x二、填空题1.设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又f(1)=a，a为常数，n 为整数，则f(n)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.5na [解析] 令x=-1，则f(1)=f(-1)+f(2)，因f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)-f(-1)=2f(1)=2a．再令x=1，则f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明f(n)=na．当n=1，2，3时，已知或者已证．假设n≤k时，有f(k)=ka．当n=k+1时，f(k+1)=f(k-1)+f(2)=(k-1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数n，有f(n)=na．令x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0·a，又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有f(n)=-f(-n)=-(-na)=na．所以对一切整数n，均有f(n)=na．2.x 100，e 10x，x 1010，对充分大的一切x，给出以下5个函数：100 x，log10，则其中最大的是______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.5[解析] 当x充分大时，有重要关系：其中α，β，γ＞0，故本题填3.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.5[解析]4.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.50[解析]5.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.5e 6 [解析]6.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2.5[解析]7.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3[解析]8.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3e 6 [解析]9.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 32 [解析]10.设，则α，β的值分别为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3[解析] 所以α=5，11.若当x→0时，有，则a=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3-3 [解析] 当x→0时，故a=-3．12.当x→0时，若有，则A=______，k=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 32[解析] 则k=2，13.当x→-1时，若有，则A=______，k=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 31 [解析] 当x→-1时，故14.当x→π时，若有，则A=______，k=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 32 [解析] 当x→π时，故15.若是(-∞，+∞)上的连续函数，则a=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 31[解析] f(x)在零点处连续，可得16.已知数列SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3[解析] 因为而所以1。

考研数学三模拟题2018年(45)(总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.设每次试验成功的概率为0.2，失败的概率为0.8，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为X，则E(X)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 15 [解析] X的分布律为P(X=k)=0.2×0.8 k-1，k1，2，…．因为所以2.设总体X～N(0，8)，Y～N(0，2 2 )，且X1及(Y1，Y2)分别为来自上述两个总体的样本，则SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1F(1，2)[解析]3.设总体X～N(μ，σ 2 )，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，则D(S 2 )=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1 [解析] 因为所以4.设X～N(1，σ 2 )，Y～N(2，σ 2 )为两个相互独立的总体，X1，X2，…，Xm 与Y1，Y2，…，Yn分别为来自两个总体的简单样本，则服从______分布．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1[解析]且相互独立，则5.设X～N(μ，σ 2 )，其中σ 2已知，μ为未知参数．从总体X中抽取容量为16的简单随机样本．且μ的置信度为0.95的置信区间中的最小长度为0.588，则σ 2 =______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1** [解析] 在σ 2 已知的情况下，μ的置信区间为 /其中 /于是有 /二、选择题1.对于随机变量X1，X2，…，Xn，下列说法不正确的是______．A．若X1，X2，…，Xn两两不相关，则B．若X1，X2，…，Xn相互独立，则D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)C．若X1，X2，…，Xn相互独立同分布，服从N(0，σ 2 )，则D．若D(X1 +X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)，则X1+X2+…+Xn两两不相关SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D[解析] 若X1 +X2+…+Xn相互独立，则B，C是正确的，若X1+X2+…+Xn两两不相关，则A是正确的，选．2.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X，Y的相关系数为ρXY=-0.5，且P(aX+by≤1)=0.5，则______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D[解析] 因为(X，Y)服从二维正态分布，所以aX+bY服从正态分布，E(aX+bY)=a+2b，D(aX+by)=a 2 +4b 2 +2abCov(X，Y)=a 2 +4b 2 -2ab，即aX+bY～N(a+2b，a 2 +4b 2 -2ab)，由P(aX+by≤1)=0.5得a+2b=1，所以选D．3.设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X～N(μ，σ 2 )的简单随机样本，记则服从t(n-1)分布的随机变量是______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D[解析] 即选D．4.设X～t(n)，则下列结论正确的是______．A．X 2～F(1，n)B．C．X 2～χ 2 (n)D．X 2～χ 2 (n-1)SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:A[解析] 由X～t(n)，得其中U～N(0，1)，V～χ 2 (n)，且U，V相互独立，于是选A．5.从正态总体X～N(0，σ 2 )中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，则可作为参数σ 2的无偏估计量的是______．A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:A[解析] 因为所以为σ 2的无偏估计量，选A．三、解答题1.设总体X～N(0，σ 2 )，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，S 2 = 求所服从的分布．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 6 [解] 又且相互独立，则即设X1，X2，…，Xn(n＞2)是来自总体X～N(0，1)的简单随机样本，记Yi=Xi- (i=1，2，…，n)．求：SSS_TEXT_QUSTI2.D(Yi)；该题您未回答:х该问题分值: 3[解] 由得SSS_TEXT_QUSTI3.Cov(Y1，Yn)．该题您未回答:х该问题分值: 3[解] 因为X 1 ，X 2 ，…，X n (n ＞2)相互独立， 所以 由 得4.设总体X ～N(μ，σ 2 )，X 1 ，X 2 ，…，X n 是来自总体X 的样本，令 求E(X 1 T)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 6[解] 因为X 1 ，X 2 ，…，X n 独立同分布，所以有E(X 1 T)=E(X 2 T)=…=E(X n T)5.设总体X 服从正态分布N(μ，σ 2 )(σ＞0)，X 1 ，X 2 ，…，X n 为来自总体X 的简单随机样本，令求Y 的数学期望与方差．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 6 [解]而于是 6.设总体X 服从正态分布N(μ，σ 2 )(σ＞0)．从该总体中抽取简单随机样本X1，X 2 ，…，X 2n (n ＞2)．令求统计量 的数学期望．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 6[解] 令Y i =X i +X n+i (i=1，2，…，n)，则Y 1 ，Y 2 ，…，Y n 为正态总体N(2μ，2σ 2 )的简单随机样本，=(n-1)S 2 ，其中S 2 为样本Y 1 ，Y2，…，Y n 的方差，而E(S 2 )=2σ 2 ，所以统计量U= 的数学期望为E(U)=E[(n-1)S 2 ]=2(n-1)σ 2 ． 7.设总体且X，Y相互独立，来自总体X，Y的样本均值为，样本方差为记求统计量的数学期望．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 6[解] 由相互独立，可知a，b与相互独立，显然a+b=1．E(U)=μ[E(a)+E(b)]=μE(a+b)=μE(1)=μ．8.设总体X～N(μ，σ 2 )，X1，X2，…，Xn+1为总体X的简单随机样本，记求统计量服从的分布．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 6[解] 因为Xn+1～N(μ，σ 2 )，且它们相互独立，所以又相互独立，所以由t分布的定义，有9.设总体X的概率分布为X 0 1 2 3p θ 2 2θ(1-θ) θ 2 1-2θ是未知参数．用样本值3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估计值和最大似然估计值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 6[解] E(X)=0×θ 2+1×2θ(1-θ)+2×θ 2+3×(1-2θ)=3-4θ，令得参数θ的矩估计值为L(θ)=θ 2×[2θ(1-θ)] 2×θ 2×(1-2θ) 4=4θ 6 (1-θ) 2 (1-2θ) 4，lnL(θ)=ln4+6lnθ+2ln(1-θ)+4ln(1-2θ)，令得参数θ的最大似然估计值为10.设总体样本值为1，1，3，2，1，2，3，3，求θ的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[解] (1)X为离散型随机变量，其分布律为E(X)=3-3θ．今3-3θ=2得θ的矩估计值为(2)L(1，1，3，2，1，2，3，3；θ)=P(X=1)P(X=1)…P(X=3)=θ 3×θ 2×(1-2θ) 3，lnL(θ)=5lnθ+3ln(1-2θ)，令得θ的最大似然估计值为11.设总体X～U[0，θ]，其中θ＞0，求θ的极大似然估计量，判断其是否是θ的无偏估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[解] 总体X的密度函数和分布函数分别为设x1，x2，…，xθ为总体X的样本观察值，似然函数为(i=1，2，…，n)．当0＜xi＜θ(i=1，2，…，n)时，且当θ越小时L(θ)越大，所以θ的最大似然估计值为=max{x1，x2，…，xn}，θ的最大似然估计量为=max{X1，X2，…，Xn}．因为=max{X1，X2，…，Xn}的分布函数为则的概率密度为所以=max{X1，X2，…，Xn}不是θ的无偏估计量．12.设总体X的密度函数为θ＞0为未知参数，a＞0为已知参数，求θ的极大似然估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[解]令得参数θ的极大似然估计量为13.设总体X～U(θ1，θ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，求θ1，θ2的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7 [解] (1)令(2)lnL(θ1，θ2)=-nln(θ2-θ1)，而因为lnL(θ1，θ2)是θ1的单调增函数，是θ2的单调减函数，所以14.设总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，X1，X2，X3是来自总体的简单随机样本．证明：都是参数θ的无偏估计量，试比较其有效性．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[解] 因为总体X在区间(0，θ)内服从均匀分布，所以分布函数为令则则U，V的密度函数分别为因为所以都是参数θ的无偏估计量．因为所以更有效．15.设总体X，Y相互独立且都服从N(μ，σ 2 )分布，(X1，X2，…，Xm)与(Y1，Y2，…，Yn)分别为来自总体X，Y的简单随机样本．证明：为参数σ 2的无偏估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 7[证明] 令因为所以于是即为参数σ 2的无偏估计量．1。

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1. 下列函数中，在0x =错误!未找到引用源。

处不可导的是（ ）。

A. ()sin()f x x x =B. ()f x x =C. ()cos()f x x =D. ()f x =【答案】D 【解析】 A 可导：()()()()-0000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''====== B 可导：()()-0000sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''======C 可导：()()22-000011cos -1cos -1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x x x--+++→→→→--''====== D 不可导：()()()()()-000-11-11220lim lim ,0lim lim -2200x x x x x x f f x x f f --+++→→→→+--''======''≠2 .已知函数()f x 在[]0,1上二阶可导，且()10,=⎰f x dx 则A.当()0'<f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f B. 当()0''<f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f C. 当()0'>f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f D. 当()0''>f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f 【答案】D 【解析】A 错误：()()()11000,10111,2,022f x f x dx dx f x x f x ⎛⎫'===-< ⎪⎛⎫=-+-+= ⎝⎝⎭⎪⎭⎰⎰B 错误：()()()100212111111,033243120,20,f x dx dx f x x f f x x ⎛⎫''==⎛⎫=-+-+=-+=-< ⎪⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎰⎰C 错误：()()()1100111,0220,10,2f x d f x x x f x dx f x ⎛⎫=-⎛⎫'-===> ⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭⎰⎰D 正确：方法1：由()0f x ''>可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭方法2：21112200011111()()()()()(),22222111111()()()()()()()()()02222221()0,()0.2f x f f x f x x f x dx f f x f x dx f f x dx f x f ξξξξ'''=+-+-'''''=+-+-=+-=''><⎰⎰⎰介于和之间,又故 3.设()(2222222211,,1,1ππππππ---++===++⎰⎰⎰x x xM dx N dx K dx x e 则 A.>>M N K B.>>M K NC.>>K M ND.>>K N M 【答案】C 【解析】222222(1)11-,11,22()1,(0)0,()10,()0;,0()0221-,()01N<M,C22x xx xM dx dx x x K Mf x x e f f x e x f x x f x x x f x e ππππππππππ--=+=+⎡⎤∈≥>⎢⎥⎣⎦'=+-==-⎡⎤⎡⎤''∈<∈->⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎡⎤∈≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰时，所以令当时，当时，所以时，有，从可有，由比较定理得故选4. 设某产品的成本函数()C Q 可导，其中Q 为产量，若产量为0Q 时平均成本最小，则( ) A. ()00C Q '= B.()()00C Q C Q '= C.()()000C Q Q C Q '= D. ()()000Q C Q C Q '= 【答案】D【解析】根据平均成本()C Q C Q=，根据若产量为0Q 时平均成本最小，则有 ()()()()()()()0000000220Q Q Q QC Q Q C Q C Q Q C Q C C Q Q C Q Q Q ==''--''===⇒=5.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为 A. 111011001-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.101011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 111010001-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭D.101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】方法一：排除法令110011001Q ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，特征值为1,1,1，()2r E Q -= 选项A ：令111011001A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A 的特征值为1,1,1，()0110012000r E A r -⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 选项B ：令101011001B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B 的特征值为1,1,1，()0010011000r E B r ⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 选项C ：令111010001C -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，C 的特征值为1,1,1，()0110001000r E C r -⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦选项B ：令101010001D -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，D 的特征值为1,1,1，()0010001000r E D r ⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦若矩阵Q 与J 相似，则矩阵E Q -与E J -相似，从而()()r E Q r E J -=-，故选（A ）方法二：构造法（利用初等矩阵的性质）令110010001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1110010001P --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1110111011011001001P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，所以110111011011001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦与相似故选（A ）6.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则 A.()().r A AB r A = B.()().r A BA r A = C.()max{()()}.r A B r A r B =， D.()().T T r A B r A B = 【答案】（A ）【解析】(,)(,)[(,)]()r E B n r A AB r A E B r A =⇒== 故选（A ）7.设()f x 为某分布的概率密度函数，(1)(1)f x f x +=-，()200.6f x dx =⎰，则{0}P X <=A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6 【答案】A【解析】特殊值法：由已知可将()f x 看成随机变量()21,X N σ的概率密度，根据正态分布的对称性，()00.2P X <= 8.已知12,,,n X X X 为来自总体2~(,)X N μσ的简单随即样本，11ni i X X n ==∑，*S S ==A.()~()X t n S μ- B.()~(1)X t n S μ--C.*)~()X t n Sμ-D. *)~(1)X t n Sμ-- 【答案】B 【解析】2,XN n σμ⎛⎫⎪⎝⎭()()()22211,0,1n SX N n χσ--， 又2X S 与相互独立，所以)()1X t n Sμ--，故选项B 正确，而A 错.()()()*22210,1,n S X Nn μχσσ--，2X S *与相互独立 ()n X t n μ-，故选项C ，D 错。

考研数学三模拟题2018年(4) (总分100, 做题时间90分钟) 解答题 1.若随机变量序列X 1 ，X 2 ，…，X n ，…满足条件 证明：{X n }服从大数定律．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 1.5 【证】由切比雪夫不等式，对任意的ε＞0有所以对任意的ε＞0，故{X n }服从大数定律． 2.某计算机系统有100个终端，每个终端有20%的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 1.5【解】设则同时使用的终端数所求概率为3.设X 1 ，X 2 ，…，X n 为总体X 的一个样本，EX=μ，DX=σ 2 ＜∞，求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 1.5【解】 进而有从装有1个白球，2个黑球的罐子里有放回地取球，记 这样连续取5次得样本X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 ．记Y=X 1 +X 2 +…+X 5 ，求：SSS_TEXT_QUSTI4.Y的分布律，EY，E(Y 2 )；该题您未回答:х该问题分值: 1.75【解】Y是连续5次取球中取得黑球的个数，所以从而SSS_TEXT_QUSTI5.，E(S 2 )(其中，S 2分别为样本X1，X2，…，X5的均值与方差)．该题您未回答:х该问题分值: 1.75【解】由于X的分布律为所以6.若X～χ 2 (n)，证明：EX=n，DX=2n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】因X～χ 2 (n)，所以X可表示为其中X1，X2，…，Xn相互独立，且均服从N(0，1)，于是7.已知X～t(n)，求证：X 2～F(1，n)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】X～t(n)，则X可表示为其中Z～N(0，1)，Y～χ 2 (n)且Z，Y相互独立，又Z 2～χ 2 (1)，于是8.设X1，X2，…，Xm，Y1，Y2，…，Yn独立．Xi～N(a，σ 2 )，i=1，2，…，m，Yi～N(b，σ 2 )，i=1，2，…，n，而α，β为常数．试求的分布．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由于Xi ～N(a，σ 2 )，i=1，2，…，m，Yi～N(b，σ 2 )，i=1，2，…，n，且X1，X2，…，Xm，Y1，Y2，…，Yn相互独立，则也服从正态分布．所以9.一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为a:1．现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记X为所抽到的白球个数．这样做了n次以后，获得一组样本：X1，X2，…，Xn基于此，求未知参数a的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由题意知，随机变量X的分布律为令解得对于给定的样本X1，X2，…，Xn，似然函数为取对数，得令得解得10.罐中有N个硬币，其中有θ个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为0.5)，其余N-θ个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复n次，若掷出0次、1次、2次正面的次数分别为n0，n1，n2，利用(1)矩法；(2)最大似然法，求参数θ的估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设X为“连掷两次正面出现的次数”，A={取出的硬币为普通硬币}，则即X的分布为(1) 解得θ=N(2-μ1)，θ的矩估计为(2)解得θ的最大似然估计11.设总体X的概率密度为又设X1，X2，…，Xn是来自X的一个简单随机样本，求未知参数θ的矩估计量SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】X的数学期望为用样本均值代替①中的EX得此方程的解即为θ的矩估计量12.设总体X的概率密度为试用样本X1，X2，…，Xn求参数α的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】先求矩估计：解得所以α的矩估计为再求极大似然估计：解得α的极大似然估计：13.设X1，X2，…，Xn是来自对数级数分布的一个样本，求p的矩估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】因为p很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩①÷②得所以所以得p的矩估计14.设总体X服从参数为N和p的二项分布，X1，X2，Xn为取自X的样本，试求参数N和p的矩估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】解之得N=μ1/p，即所以N和p的矩估计为15.设总体X的分布列为截尾几何分布P{X=k}=θk-1(1-θ)， k=1，2，…，r，P{X=r+1}=θr，从中抽得样本X1，X2，…，Xn，其中有m个取值为r+1，求θ的极大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】解似然方程得θ的极大似然估计设总体X服从正态分布N(μ，σ 2 )，X1，X2，…，Xn是其样本．SSS_TEXT_QUSTI16.求C使得是σ 2的无偏估计量；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】可见当是σ 2的无偏估计量．SSS_TEXT_QUSTI17.求k使得为σ的无偏估计量．该题您未回答:х该问题分值: 2【解】18.设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，是θ的一个估计量，若θ+kn，试证：是θ的相合(一致)估计量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由切比雪夫不等式，对任意的ε＞0有于是即依概率收敛于θ，故是θ的相合(一致)估计量．19.设X1，X2，…，Xn是取自均匀分布在[0，θ]上的一个样本，试证：Tn=max{X1，X2，…，Xn}是θ的相合估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】Tn =X(n)的分布函数为Tn的密度为所以由切比雪夫不等式有当n→∞时，故Tn是θ的相合估计．20.已知X具有概率密度X1，X2，…，Xn为X的简单随机样本．求未知参数α的矩估计和最大似然估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】先求矩估计．故再求最大似然估计得α的最大似然估计21.设总体X～N(μ，σ 2 )，X1，X2，X3是来自X的样本，证明：估计量都是μ的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】故都是μ的无偏估计．所以最有效．22.设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，设EX=μ，DX=σ 2，试确定常数C，使为μ 2的无偏估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由题意知：23.设总体服从U[0，θ]，X1，X2，…，Xn为总体的样本，证明：为θ的一致估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由切比雪夫不等式有：因此得为θ的一致估计．24.设从均值为μ，方差为σ 2＞0的总体中分别抽取容量为n1，n2的两个独立样本，样本均值分别为证明：对于任何满足条件a+b=1的常数a，b，是μ的无偏估计量，并确定常数a，b，使得方差DT达到最小．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由题意得：所以故T是μ的无偏估计量．又令对a求导并解方程如下：得到所以处取得极小值，此时方差DT达到最小．25.设X1，X2，…，Xn独立同分布，X2的取值有四种可能，其概率分布分别为：p1 =1-θ，p2=θ-θ 2，p3=θ 2 -θ 3，p4=θ 3，记N，为X1，X2，…，Xn中出现各种可能的结果的次数，N1+N2+N3+N4=n．确定a1，a2，a3，a4使为θ的无偏估计．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】由于Ni ～B(n，pi)，i=1，2，3，4，所以E(Ni)=npi，从而有：若使T是θ的无偏估计，即要求解之得：即是θ的无偏估计．设总体X～N(μ1，σ 2 )，Y～N(μ2，σ 2 )．从总体X，Y中独立地抽取两个容量为m，n的样本X1，…，Xm和Y1，…，Yn．记样本均值分别为若是σ 2的无偏估计．求：SSS_TEXT_QUSTI26.C；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】 同理故则SSS_TEXT_QUSTI27.Z 的方差DZ ．该题您未回答:х 该问题分值: 2 【解】因故 则有28.设有k 台仪器，已知用第i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为σ i ，i=1，2，…，k ，用这些仪器独立地对某一物理量θ各观察一次，分别得到X 1 ，X 2 ，…，X k ，设仪器都没有系统误差，即E(X i )=θ，i=1，2，…，k ，试求：a 1 ，a 2 ，…，a k 应取何值，使用 估计θ时， 是无偏的，并且最小?SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 2 【解】(1)即当 是无偏的．(2)令函数 问题归结为求多元函数g(a 1 ，a 2 ，…，a k )在条件 之下的最小值．作拉格朗日函数：G(a 1 ,a 2 ,…,a k ，λ)=g(a 1 ,a 2 ,…,a k )+λ(a 1 +a 2 +…+a k -1)．29.设{X n }是一随机变量序列，X n 的密度函数为：试证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】对任意给定的ε＞0，由于30.设X1，X2， (X)n，…是独立同分布的随机变量序列，EXi=μ，DXi=σ2，i=1，2，…，令证明：随机变量序列{Yn}依概率收敛于μ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由切比雪夫不等式得：所以31.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量50千克，标准差为5千克，若用最大载重为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977(Φ(2)=0.977)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设Xi是“装运的第i箱的重量”，n表示装运箱数．则EXi =50，DXi=5 2 =25，且装运的总重量Y=X1 +X2+…+Xn，{Xn}独立同分布，EY=50n，DY=25n．由列维—林德伯格中心极限定理知Y～N(50n，25n)．于是故也就是最多可以装98箱．32.用概率论方法证明：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】设{Xn }为一独立同分布随机变量序列，每个Xk服从参数为1的泊松分布，则EXk =1，DXk=1，服从参数为n的泊松分布．故有由列维—林德伯格中心极限定理知：33.截至2010年10月25日，上海世博会参观人数超过了7000万人．游园最大的痛苦就是人太多．假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走3个小时可到达；沿第二条路径走5个小时又回到原处；沿第三条路径走7个小时也回到原处．假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设游客需要X小时到达中国馆，则X的可能取值为3，5+3，7+3，5+5+3，5+7+3，7+7+3，…要写出X的分布律很困难，所以无法直接求EX．为此令Y={第一次所选的路径}，即{Y=i}表示“选择第i条路径”．则因为E(X|Y=1)=3，E(X|Y=2)=5+EX，E(X|Y=3)=7+EX，所以故EX=15，即该游客平均要15个小时才能到达中国馆．34.设X1，X2， (X)n为一列独立同分布的随机变量，随机变量N只取正整数且N与{Xn}独立，求证：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】35.假设你是参加某卫视“相亲节目”的男嘉宾，现有n位女嘉宾在你面前自左到右排在一条直线上，每两位相邻的女嘉宾的距离为a(米)．假设每位女嘉宾举手时你必须和她去握手，每位女嘉宾举手的概率均为，且相互独立，若Z 表示你和一位女嘉宾握手后到另一位举手的女嘉宾处所走的路程，求EZ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设按从左到右的顺序将女嘉宾编号为1，2，…，n．X为“已经握手的女嘉宾的编号”，Y表示“将要去握手的女嘉宾的编号”，则于是36.对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】记pi =P(Ai)(i=1，2)，p12=P(A1A2)，而ρ是X1和X2的相关系数．易见，随机变量X1和X2都服从0—1分布，并且(1)必要性．设随机变量X1和X2独立，则P(A1 A2)=P{X1=1，X2=1}=P{X1=1}P{X2=1}=P(A1)P(A2)．从而，事件A1和A2相互独立．(2)充分性．设事件A1和A2相互独立，则也都独立，故从而，随机变量X1和X2相互独立．37.假设有四张同样卡片，其中三张上分别只印有a1，a2，a3，而另一张上同时印有a1，a2，a3．现在随意抽取一张卡片，令Ak={卡片上印有ak }．证明：事件A1，A2，A3两两独立但不相互独立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】由于对任意k，j=1，2，3且k≠j，有可见事件A1，A2，A3两两独立．但是，由于可见事件A1，A2，A3不相互独立．38.某商品一周的需求量X是随机变量，已知其概率密度为假设各周的需求量相互独立，以Uk表示k周的总需求量，试求：(1)U2和U3的概率密度fk(x)(k=2，3)；(2)接连三周中的周最大需求量的概率密度f(3)(x)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】以Xi (i=1，2，3)表示“第i周的需求量”，则Xi的概率密度均为而U2 =X1+X2，U3=U2+X3．三周中周最大需求量为X(3)=max{X1，X2，X3}．(1)当x≤0时，显然f2 (x)=f3(x)=0；对于x＞0，有于是，两周和三周的总需求量U2和U3的概率密度(2)设F(x)是随机变量X的分布函数．由题意知连续三周中的周最大需求量X(3)的分布函数为G(x)=[F(x)] 3．于是，有39.设X和Y相互独立都服从0-1分布：P{X=1}=P{Y=1}=0.6，试证明：U=X+Y，V=X-Y不相关，但是不独立．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2由协方差的定义和性质，以及X和Y相互独立，可见Cov(U，V)=E(UV)-EUEV=E(X 2 -Y 2 )-E(X+Y)E(X-Y)=E(X 2 )-E(Y 2 )=0．于是，U=X+Y，V=X-Y不相关．(2)现在证明U=X+Y，V=X-Y不独立．事实上，由P{U=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0.16，P{V=0}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=1}=P{X=0}P{Y=0}+P{X=1}P{Y=1}=0.52，P{U=0，V=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=0.16≠0.16×0.52=P{U=0}P{V=0}，可见U和V不独立．40.假设G={(x，y)|x 2 +y 2≤r 2 }是以原点为圆心，半径为r的圆形区域，而随机变量X和Y的联合分布是在网G上的均匀分布．试确定随机变量X和Y的独立性和相关性．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】(1)X和Y的联合密度为那么，X的密度函数f1 (x)和Y的密度函数f2(y)相应为由于f(x，y)≠f1 (x)f2(y)，可见随机变量X和Y不独立．(2)证明X和Y不相关，即X和Y的相关系数ρ=0．因此，有于是，X和Y的相关系数ρ=0．这样，X和Y虽然不相关，但是不独立．41.假设某季节性商品，适时地售出1千克可以获利s元，季后销售每千克净亏损t元．假设一家商店在季节内该商品的销售量X(千克)是一随机变量，并且在区间(a，b)内均匀分布．问季初应安排多少这种商品，可以使期望销售利润最大?SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】根据条件随机变量X的概率密度为以Y=P(h)表示“销售利润”，它与季初应安排商品的数量h有关．由条件知为求使期望利润最大的h，我们计算销售利润Y=P(h)的数学期望．为此，首先注意到：a＜h＜b，销售利润Y=P(h)的数学期望为对h求导并令其等于0，得于是，季初安排h千克商品，可以使期望销售利润最大．42.独立地重复进行某项试验，直到成功为止，每次试验成功的概率为p．假设前5次试验每次的试验费用为10元，从第6次起每次的试验费用为5元．试求这项试验的总费用的期望值a．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】以X表示“试验的总次数”，首先求X的概率分布．设Ak={第k次试验成功}(k=1，2，…)，则P(Ak)=p，X的概率分布为其中q=1-p．于是试验的总次数X服从参数为p的几何分布．现在求试验的总费用的期望值a．由条件知，试验的总费用为该项试验的总费用Y是一随机变量，其期望值为例如，设p=0.8，q=0.2，得a=12.498元；设p=q=0.5，得a=19.6875元；设p=0.2，q=0.8，得a=41.808元；设p=0.1，q=0.9，得a=70.4755元．43.利用列维—林德伯格定理，证明：棣莫弗—拉普拉斯定理．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，同服从0—1分布；EXi =p，DXi=pq (i=1，2，…，n)，Sn =X1+X2+…+Xn，ESn=np，DSn=npq，其中q=1-p．X1，X2，…，Xn满足列维—林德伯格定理的条件：X1，X2，…，Xn独立同分布且数学期望和方差存在，当n充分大时近似地Sn～N(np，npq)．44.某保险公司接受了10000辆电动自行车的保险，每辆车每年的保费为12元．若车丢失，则赔偿车主1000元．假设车的丢失率为0.006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：(1)亏损的概率α；(2)一年获利润不少于40000元的概率β；(3)一年获利润不少于60000元的概率γ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设X为“需要赔偿的车主人数”，则需要赔偿的金额为Y=0.1X(万元)；保费总收入C=12万元．易见，随机变量X服从参数为n，p的二项分布，其中n=10000，p=0.006；EX=np=60，DX=np(1-p)=59.64．由棣莫弗—拉普拉斯定理知，随机变量X近似服从正态分布N(60，59，64)，随机变量Y近似服从正态分布N(6，0.5964)．(1)保险公司亏损的概率(2)保险公司一年获利润不少于4万元的概率(3)保险公司一年获利润不少于6万元的概率45.将n个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计：(1)试当n=1500时求舍位误差之和的绝对值大于15的概率；(2)估计数据个数n满足何条件时，以不小于90%的概率，使舍位误差之和的绝对值小于10的数据个数n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设Xi 是“第i个数据的舍位误差”，由条件可以认为Xi独立且都在区间[-0.5，0.5]上服从均匀分布，从而EXi =0，DXi=1/12．记Sn =X1+X2+…+Xn，为n个数据的舍位误差之和，则ESn =0，DSn=n/12．根据列维—林德伯格中心极限定理，当n充分大时Sn近似服从N(0，n/12)．记Φ(x)为N(0，1)的分布函数．(1)由于近似服从标准正态分布，且n=1500，可见(2)数据个数n应满足条件：由于近似服从N(0，1)，可见于是，当n＞721时，才能使误差之和的绝对值小于10的概率不小于90%．46.设X是任一非负(离散型或连续型)随机变量，已知的数学期望存在，而ε＞0是任意实数．证明：不等式SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【证】(1)设X是离散型随机变量，其一切可能值为{xi}，则(2)设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，则47.设事件A出现的概率为p=0.5，试利用切比雪夫不等式，估计在1000次独立重复试验中事件A出现的次数在450到550次之间的概率α．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设vn是“1000次独立重复试验中事件A出现的次数”，则vn～B(1000，0.5)，EX=1000×0.5=500，DX=1000×0.5 2 =250．利用切比雪夫不等式，知设来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，总体X的概率分布为其中0＜θ＜1．分别以v1，v2表示X1，X2，…，Xn中1，2出现的次数，试求SSS_TEXT_QUSTI48.未知参数θ的最大似然估计量；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】求参数θ的最大似然估计量．样本X1，X2，…，Xn中1，2和3出现的次数分别为v1，v2和n-v1-v2，则似然函数和似然方程为似然方程的唯一解就是参数θ的最大似然估计量SSS_TEXT_QUSTI49.未知参数θ的矩估计量；该题您未回答:х该问题分值: 2【解】求参数θ的矩估计量．总体X的数学期望为EX=θ 2+4θ(1-θ)+3(1-θ) 2．在上式中用样本均值估计数学期望EX，可得θ的矩估计量SSS_TEXT_QUSTI50.当样本值为1，1，2，1，3，2时的最大似然估计值和矩估计值．该题您未回答:х该问题分值: 2【解】对于样本值1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值矩估计值51.假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为R(未知常数)．现在按还原抽样方式随意抽取的n件中发现k件不合格品．试求R的最大似然估计值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2【解】设a是这批产品中不合格品的件数，b是合格品的件数．从而，a=Rb，合格品率为设X是“随意抽取的一件产品中不合格品的件数”，则X服从参数为p的0-1分布．对于来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，记vn=X1+X2+…+Xn，则似然函数和似然方程为由条件知vn =X1+X2+…+Xn=k，于是似然方程的唯一解即是R的最大似然估计值．1。

考研数学三模拟题2018年(34)(总分100, 做题时间90分钟)一、选择题1.设则f(x)=______A．B．C．lnx-2exD．lnx+2exSSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A[解析] 由题中所给式子变形得①记(常数)，则在式①两端作[1，e]上的积分，得解得故应选(A)．2.设则有______SSS_SINGLE_SELA I1＜I2＜I3B I3＜I2＜I1C I2＜I3＜I1D I2＜I1＜I3该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D[解析] 首先，由可得，I2＜I1．其次，其中故I3＞I1，从而I2＜I1＜I3，故选(D)．3.______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C[解析]4.______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C[解析] 设x=t 6，则dx=6t 5 dt．所以5._____A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D[解析]6.______A．B．C．arctan(-cos2x)+CD．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B[解析]7.______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B[解析]8.设f(x)在[a，b]上非负，在(a，b)内f""(x)＞0，f"(x)＜0．I2=，I3 =(b-a)f(b)，则I1、I2、I3的大小关系为______ SSS_SINGLE_SELA I1≤I2≤I3B I2≤I3≤I1C I1≤I3≤I2D I3≤I2≤I1答案:D[解析] 如下图所示，I1是梯形AabB的面积，I2是曲边梯形AabB的面积，I3是长方形A1abB的面积．由于f"(x)＜0，f"(x)＞0，y=f(x)单调减少且图形为凹．由图可知I3≤I2≤I1．9.设则当x→0时，f(x)与g(x)相比是______SSS_SINGLE_SELA 等价无穷小B 同阶但非等价无穷小C 高阶无穷小D 低阶无穷小该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B[解析] 需要计算f(x)与g(x)比值的极限．故当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价无穷小．10.设则______SSS_SINGLE_SELA N≤P≤QB N≤Q≤PC Q≤P≤ND P≤N≤Q该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D[解析] x 2 sin 3 x是奇函数，故N=0，x 3 e x2是奇函数，故所以P≤N≤Q．11.若[x]表示不超过x的最大整数，则积分的值为______SSS_SINGLE_SELA 0B 2C 4D 6答案:D[解析]12.函数的最小值为______A．B．-1C．0D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A[解析] 得唯一驻点又知f(x)在处取最小值13.设f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A[解析] 奇函数的原函数是偶函数(请读者自己证之，但要注意，偶函数f(x)的原函数只有为奇函数，因为其它原函数与此原函数只差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项(A)中被积函数为奇函数，选项(B)，(C)中被积函数都是偶函数，选项(D)中虽不能确定为偶函数，但为非负函数，故变上限积分必不是偶函数．应选(A)．14.设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0．则方程在(a，b)内的根有______SSS_SINGLE_SELA 0个B 1个C 2个D 无穷多个该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B[解析] 令则F(x)在[a，b]上连续，而且故F(x)在(a，b)内有根．又所以F(x)单凋增加，它在(a，b)内最多只有一个根．应选(B)．15.设f(x)连续，f(0)=1，f"(0)=2．下列曲线与曲线y=f(x)必有公共切线的是______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D[解析] 曲线y=f(x)在横坐标x=0对应的点(0，1)处切线为y=1+2x．选项(D)中函数记为y=F(x)．由F(0)=1，F"(0)=2f(0)=2，知曲线y=F(x)在横坐标x=0对应点处切线方程也为y=1+2x．故应选(D)．16.设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数的图形在(a，b)内______ SSS_SINGLE_SELA 为凸B 为凹C 有拐点D 有间断点该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B[解析] 先将Φ(x)利用|x-t|的分段性分解变形，有因为φ(t)在[a，b]上连续，所以Φ(x)可导，因而答案不可能是(D)．其余三个选项，只需求出Φ"(x)，讨论Φ"(x)在(a，b)内的符号即可．因故y=Φ(x)在(a，b)内的图形为凹．应选(B)．17.则______SSS_SINGLE_SELA F(x)为f(x)的一个原函数B F(x)在(-∞，+∞)上可微，但不是f(x)的原函数C F(x)在(-∞，+∞)上不连续D F(x)在(-∞，+∞)上连续，但不是f(x)的原函数该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D[解析] 请看通常的解法：求积分并用连续性确定积分常数，可得但是所以根据原函数定义，F(x)不是f(x)在(-∞，+∞)上的原函数．请考生思考，我们还有更好的方法解决这个问题吗?事实上，由于f(x)有第一类间断点，所以F(x)必然不是其原函数，而变限积分存在就必连续，所以答案自然选择(D)．18.设则在(-∞，+∞)内，下列正确的是______SSS_SINGLE_SELA f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为f(x)的原函数B f(x)不连续，不存在原函数，因而F(x)不是f(x)的原函数C f(x)和F(x)均为可微函数，且F(x)为f(x)的一个原函数D f(x)连续，且F"(x)=f(x)该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A[解析] 可以验证x=0为f(x)的第二类间断点，因为不存在，故x=0为f(x)的振荡间断点，可能存在原函数．通过计算故F(x)可微．即F"(x)=f(x)，故(A)正确．19.设则F(x)______SSS_SINGLE_SELA 为正常数B 为负常数C 恒为零D 不为常数该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A[解析] 因e sinx sinx是以2π为周期的周期函数，所以又e sinx cos 2x≥0，故选(A)．20.设f(x)是以l为周期的周期函数，则之值______SSS_SINGLE_SELA 仅与a有关B 仅与a无关C 与a及k都无关D 与a及k都有关该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C[解析] 因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以故此积分与a及k都无关．21.设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D[解析] 当g(x+T)=g(x)时，因为因为，f(x)是以T为周期的函数，所以4个选项中的被积函数都是以T为周期的周期函数，但是仅因此，只有是以T为周期的函数．22.下列反常积分收敛的是______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C[解析] 选项(A)中，在选项(B)中，在选项(C)中，在选项(D)中，23.以下4个命题，正确的个数为______①设f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，则必收敛，且②设f(x在(-∞，+∞)上连续，且存在，则必收敛，且③若与都发散，则未必发散；④若与都发散，则未必发散．SSS_SINGLE_SELA 1个B 2个C 3个D 4个该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A[解析] 都收敛，此时设f(x)=x，则，f(x)是(-∞，+∞)上连续的奇函数，且但是故发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．设f(x)=x，g(x)=-x，由上面讨论可知都发散，但收敛，这表明命题③是真命题．故应选(A)．24.由曲线与x轴围成的图形绕x轴旋转所成旋转体的体积为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C[解析]25.抛物线y 2 =2x与直线y=x-4所围成的图形的面积为______A．B．18C．D．8SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B[解析] 选积分变量为y(如下图)，两条曲线的交点所求面积二、填空题1.该题您未回答:х该问题分值: 3[解析]2.已知是f(x)的原函数，则SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3[解析] 因为是f(x)的原函数，所以3.x x (1+lnx)的全体原函数为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3x x +C，其中C为任意常数 [解析] 因为(x x )"=(e xlnx )"=x x (1+lnx)，所以4.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3[解析]5.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3[解析]6.若且x=at+b(a≠0)，则该题您未回答:х该问题分值: 3.5F(t)+C，其中C为任意常数[解析] 因F"(x)=f(x)，故F"(t)=f(t)，于是7.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.5[解析]8.设f"(e x )=1+x，则f(x)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.5xlnx+C，其中C为任意常数 [解析] 设u=e x，则x=lnu，由f"(e x )=1+x，得因此f(x)=xlnx+C．9.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.5[解析]10.将分解为部分分式的形式为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.511.设f(x)的一个原函数为lnx，则f"(x)=______．该题您未回答:х该问题分值: 3.5[解析] 由题设，12.已知函数F(x)的导数为且则F(x)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.5[解析] 由题意故又得故13.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.5[解析]14.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.5[解析] 设15.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 3.5[解析] 1。

2018年考研数学三真题及答案解析一、选择题（4分）1 •下列函数中在e = oil：不可导的是（）扎f⑵-\x\sin. |x|B. = |a|siii y/\^\G f @）= CM |zD、J⑵=roe \/|r|【麻】D2谡團數在［0 J「上二阶可导.且力血=0 ■则（〉化当< 0时0B.当严go时」点心D、Sf ff（T）>0【答臺】DJT 空离1C王设Af =丄玉£［斗必,N= /_¥吕^忑-K = /_刍1 + idr，则（）久N> K艮M>K >NJ K > M>N匕K>N> M【答室】C4：殳某士品的5&本囲故G（Q）可导.具中Q九产量・若产量为班时平均成本最小.则（）&"Q D）- 0氐C\Q Q）= QQa）G 仪（QJ - Qo^（<?o）P Q0缶-叽）【蒔塞］D^1 1 0'5.下列拒氏中,空阵0 1 1梧似的为（）-0 0 1 _■1 1 -1'人 0 1 L0 0 1 ■1 0 -110 1 10 0 1ri 1 -rC.0 1 0_0 0 14 o -i iD、0 1 0 I0 0 1d al【答室】A匕设4 D知阶袒阵，记伪矩肚X的枝「(&幻表示甘埃矩隹，则()人r^A, AB) = T(J4)BS 3A) = r(A)J r(A?B) = max{r(4)?r(B)}D, r(A,3) = r(A T,B T)［答案】A了蛙随机豈量工的惑養厦f 0)淒定几1 +刃=/(1 - X).且k f (工问=0』，则P{X< 0}=()入0.2B、03C x 0.4D、05【希A&设Xl.Xd，…，X n(n> 2)为来自总脚仏/脸A0)的筲单随机样本<,令天■扌f J 土丈的一那.b■侶f 因-G 侧();-1 »1-1 » t-i【答套］8二、填空题(4分)虫曲㈱=/ +型”在具拐点处的切巻方程为_________【答却V=4®-310.J*E T arcsjin. 二店血=________【答案】e1 arrsiji v 1 - e Ha一讥一严 + C口■羞分方程-轴-5凶通解是倍臺】u, = e ■ 2T+1 - 5.12＞画数汛z)萬卫甲(h 4- Az)—归⑹—2Z^(B)A S十o(A*)g? T O)fi^(O) = 2 ,则就1) = _____【答棄】网=加1 窑盂^为” Ol.0!* 巧方誌向fi® * 若Afl] = dR + flg .A HJ =+ fls Aij =01+03 二#1 = __________【軽】214随匚事件儿乩牒互独立’且-P(3)-P[C)- i .则P(AC\A LIB}-【答垂】扌三解答题(10分)1王已知宾数仏b」満足1血匸一0险足+ b)E：—彳=2 »求仏b【答秦】叙-号可得皿s*包牡1. 2其中lim t^)+ 仏岬-J 吟十 lim t^)+ 时=l™t^)+ 远”十b可那吋亠4 吟=2 —齐而臺使得压叫卫* 吟存在,必须有■血=1.1W ,有Km匕T* o^1- L - 2- b. St&-1_踪上(a = 1^ & = 1【咎秦】稅分区域口凰17将长为2m 的铁丝分成三段,依次围成HR 正方形与正三角形,三个圏形的面积之 和是否存在最小值？若存在.求出最小值.r 则有总+ J ； +之=2及乂,彭2 >^y 2 r 正三甬形的面积为気= 器H 「则问题擴化为在祭件a +y + z=2.x 隼/的最小值&令 資”+ A(i +y + z- 2) f a? +A = 0 2+入r =咗 血心n工曲=妒 r (vs (i-i 1)--占2 /少1二内滋-声丘2 x 3dx rV 』具于对于/ V3(l-z a)dz . * =血片可化为 屮僻r?g 丿应=芈圧血也⑺)=半•彳=徐「 而v 综上"昌一黒』喙一习0 J 圆前面积为 糾，总面积 ，爲之> OF .求 x-v ■鬲f'M 西+9_再9v^ir+4v ■存+9 r忑=—更—【答秦】设分成的三段分别为头闵 Si = ^x 2 t 正方形的面积为隔二 $=討+討 函数吉丞+壽/ “討+討 / QL 呢dL则有 M j 布—店龙十忍 鮫“+护+ ” 该点的囲数彳直即为最A 值,*解得唯n 牛极值点为〈 二 0 2 = 0最小值为^/X切卄 i = （一 1产日（刼 +2）=2n+2,n=O,l,2r -;口陥=需卢+ （一 1严刊（加十1）=气黑一（加+ l ）.n = 0J …Ui 益数列｛%”蒿足：4 >0^X B+1三『程-l （n = 1,2^-）.证明｛%｝收鈣I 「并 求】叽十入【答臺】由题意可和斗屮.=血吩严「 首先证阴&讣的有界性：证明跖j >■ 0 ;当n = 1时山1 > 0』斷=恵时「盹> 0 ,则孔+1 =加气詈,其中 e Jfc-1 > i fc ,可知用1 > B L 1 = 0 r 因此对于任息的U ,有弓> 0.再证明｛工讣的星疆性：JJ 因为才时]—£Xn=芒比」一已珈=e In-l-J n e Tng %令f （z ） = e* — 1 — xe^ t 则f （H ）=—詔 f f （H ）= —ze E< 0（x > 0） r 故当n > 0 时，fb ） < /（□） = 0 ,从而严羅一丹< 0 ”記却.一险C 0 ”可知｛唧单调递痰 综上「｛%｝为单希谨减有下界的憩列f 可知｛%｝收巍。

考研数学三模拟题2018年(64)(总分100, 做题时间90分钟)解答题1.设A是n阶方阵，2，4，…，2n是A的n个特征值，E是n阶单位阵．计算行列式|A-3E|的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】若λ为A的特征值，则λ-3为A-3E的特征值．所以A-3E的特征值为-1，2，3，…，2n-3，故|A-3E|=(-1)×1×3×…×(2n-3)=-(2n-3)!!．设矩阵SSS_TEXT_QUSTI2.已知A的一个特征值为3，试求y；该题您未回答:х该问题分值: 3【解】SSS_TEXT_QUSTI3.求矩阵P，使(AP) T (AP)为对角矩阵．该题您未回答:х该问题分值: 3【解】A为对称矩阵，要使(AP) T (AP)=P T A 2 P为对角矩阵，即将实对称矩阵A 2对角化．由上小题得A的特征值λ1 =-1，λ2,3=1，λ4=3，故A 2的特征值λ1,2,3=1，λ4=9．且A 2的属于特征值λ1,2,3=1的正交单位化的特征向量为A 2的属于特征值λ4=9的正交单位化的特征向量为设A为3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．SSS_TEXT_QUSTI4.证明：β，Aβ，A 2β线性无关；该题您未回答:х该问题分值: 3【证】设k1β+k2Aβ+k3A 2β=0，①由题设Aαi =λiαi(i=1，2，3)，于是代入①式整理得因为α1，α2，α3是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有其系数行列式必有k1 =k2=k3=0．故β，Aβ，A 2β线性无关．SSS_TEXT_QUSTI5.若A 3β=Aβ，求秩r(A-E)及行列式|A+2E|．该题您未回答:х该问题分值: 3【解】由A 2β=Aβ有令P=[β，Aβ，A 2β]，则P可逆，且从而有6.设求实对称矩阵B，使A=B 2．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】单位化为正交矩阵．由有因此7.证明：A～B，其中并求可逆阵P，使得P -1 AP=B．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】由A知，A的全部特征值是1，2．…，n，互不相同，故A相似于由其特征值组成的对角阵B．由于λ1 =1时，(λ1E-A)X=0，有特征向量ξ1=[1，0，…，0] T；λ2 =2时，(λ2E-A)X=0，有特征向量ξ2=[0，1，…，0] T；……λn =n时，(λnE-A)X=0，有特征向量ξn=[0，0，…，1] T．故有Aξn =nξn，Aξn-1=(n-1)ξn-1，…，Aξ1=ξ1．即故得可逆阵有 P -1 AP=B．8.设A是n阶矩阵，满足A 2 =A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明：其中Er是r阶单位阵．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】方法一 A 2 =A，A的特征值取值为1，0，由A-A 2 =A(E-A)=O知r(A)+r(E-A)≤n，r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n，故r(A)+r(E-A)=n，r(A)=r，从而r(E-A)=n-r．对λ=1，(E-A)X=0，因r(E-A)=n-r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ1，ξ2，…，ξr；对λ=0，(0E-A)X=0，即AX=0，因r(A)=r，有n-r个线性无关特征向量，设为ξr+1，ξr+2，…，ξn．故存在可逆阵P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，使得方法二 r(A)=r，A有r个列向量线性无关，设为前r列，将A按列分块，有A 2=A[ξ1，ξ2，…，ξn]=[ξ1，ξ2，…，ξn]=A，即Aξi =ξi，i=1，2，…r，故λ=1至少是r重根，又r(A)=r，AX=0有n-r个线性无关解，设为ηr+1，ηr+2，…，ηn，即Aηj=0，j=r+1，…，n．故λ=0是A的特征值，ηj，j=r+1，…，n是对应的特征向量．令P=[ξ1，ξ2，…，ξr，ηr+1，…，ηn]，有9.设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角阵．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】A有n个互不相同的特征值，故存在可逆阵P，使得P -1AP=diag(λ1，λ2，…，λn)=Λ1．其中λi，i=1，2．…，n是A的特征值，且λi ≠λj(i≠j)．又AB=BA，故P -1 APP -1 BP=P -1 BPP -1 AP，即Λ1 P -1 BP=P -1BPΛ1．设P -1 BP=(cij )n×n，则比较对应元素λi cij=λjcij，即(λi-λj)cij=0，λi≠λj(i≠j)，得cij=0．于是10.设α=[a1，a2，…，an] T≠0，A=αα T，求可逆阵P，使P -1AP=Λ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3先求A的特征值．方法一利用特征值的定义．设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则Aξ=αα Tξ=λξ．①若α Tξ=0，则λξ=0，ξ≠0，故λ=0；若α Tξ≠0，①式两端左乘α T，α Tαα Tξ=(α Tα)α Tξ=λ(α Tξ)．因α Tξ≠0，故方法二利用及特征值定义．①式两端左乘A，得方法三利用A及特征方程|λE-A|=0．因两边取行列式得A的特征值λ=0或方法四直接用A的特征方程得A的特征值为(2)再求A的对应于λ的特征向量．方法一当λ=0时，即解方程 a1 x1+a2x2+…+anxn=0，得特征向量为(设a1≠0)ξ1 =[a2，-a1，0，…，0] T，ξ2 =[a3，0，-a1，…，0] T，……ξn-1 =[an，0，0，…，-a1] T．当时，由观察知ξn =[a1，a2，…，an] T．方法二因为A=αα T，λ=0时，(λE-A)X=-αα T X=0，因为满足α T X=0的X必满足αα T X=0，故λ=0时，对应的特征方程是a1 x1+a2x2+…+an xn=0．对应λ=0的n-1个特征向量为ξ1 =[a2，-a1，0，…，0] T，ξ2 =[a3，0，-a1，…，0] T，……ξn-1 =[an，0，0，…，-a1] T．对特征矩阵λE-A=α TαE-αα T右乘α，得(λE-A)α=(α TαE-αα T)α=(α Tα)α-α(α Tα)=0，故知α=[a1，a2，…，an] T即是所求ξn．(3)由ξ1，ξ2，…，ξn，得可逆阵P．且设A=E+αβ T，其中α=[a1，a2，…，an] T≠0，β=[b1，b2，…，bn] T≠0，且α Tβ=2．SSS_TEXT_QUSTI11.求A的特征值和特征向量；该题您未回答:х该问题分值: 3【解】设(E+αβ T)ξ=λξ．①左乘β T，β T(E+αβT)ξ=(β T+β Tαβ T)ξ=(1+β Tα)β T ξ=λβ Tξ．若β Tξ≠0，则λ=1+β Tα=3；若β Tξ=0，则由①式，λ=1．λ=1时，即[b1，b2，…，bn]X=0，因α Tβ=2，故α≠0，β≠0，设b1≠0，则ξ1 =[b2，-b1，0，…，0] T，ξ2=[b3，0，-b，…，0] T，…，ξn-1 =[bn，0，…，0，-b1] T；λ=3时，(3E-A)X=(2E-αβ T )X=0，ξn =α=[a1，a2，…，an] T．SSS_TEXT_QUSTI12.求可逆P，使得P -1AP=Λ．该题您未回答:х该问题分值: 3【解】取设向量α=[a1，a2，…，an] T，β=[b1，b2，…，bn] T都是非零向量，且满足条件α Tβ=0，记n阶矩阵A=αβ T，求：SSS_TEXT_QUSTI13.A 2；该题您未回答:х该问题分值: 3【解】由A=αβ T和α Tβ=0，有A 2=AA=(αβ T)(αβ T)=α(β Tα)β T=(β Tα)αβ T=(α Tβ)αβ T =O，即A是幂零阵(A 2 =O)．SSS_TEXT_QUSTI14.A的特征值和特征向量；该题您未回答:х该问题分值: 3【解】方法一利用(1)A 2 =O的结果．设A的任一特征值为λ，对应于λ的特征向量为ξ，则Aξ=λξ．两边左乘A，得 A 2ξ=λAξ=A 2ξ．因A 2 =O，所以λ 2ξ=0，ξ≠0，故λ=0，即矩阵A的全部特征值为0．方法二直接用特征值的定义．Aξ=αβ T ξ=λξ， ①由①式若β T ξ=0，则λξ=0，ξ≠0，得λ=0． 若β T ξ≠0，①式两端左乘β T ，得β T αβ T ξ=(β T α)β T ξ=0·(β T ξ)=λβ T ξ，得λ=0， 故A 的全部特征值为0．方法三 利用特征方程|λE -A|=0．因右端行列式中每一列的第2子列均成比例，故将行列式拆成2 n 个行列式时，凡取两列或两列以上第2子列的行列式均为零，不为零的行列式只有n+1个，它们是因 故|λE -A|=λ n =0，故λ=0是A 的全部特征值．方程组Ax=0的非零解即为A 的特征向量．不妨设a 1 ≠0，b 1 ≠0，有则A 的对应于特征值0的特征向量：为不全为零的常数．SSS_TEXT_QUSTI15.A 能否相似于对角阵，说明理由．该题您未回答:х 该问题分值: 3【解】A 不能相似于对角阵，因α≠0，β≠0，故A=αβ T ≠O，r(A)=r≠0(其实r(A)=1，为什么?)．从而对夜于特征值λ=0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是n-r≠n 个，故A 不能对角化．设a 0 ，a 1 ，…，a n-1 是n 个实数，方阵SSS_TEXT_QUSTI16.若λ是A 的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ 2 ，…，λ n-1 ] T 是A 的对应于特征值λ的特征向量；该题您未回答:х 该问题分值: 3【解】λ是A 的特征值，则λ应满足|λE -A|=0，即将第2列乘λ，第3列乘λ 2 ，…，第n 列乘λ n-1 加到第1列，再按第1列展开，得即 即λ应满足关系得证ξ=[1，λ，λ 2 ，…，λ n-1 ] T 是A 的对应于λ的特征向量．SSS_TEXT_QUSTI17.若A 有n 个互异的特征值λ 1 ，λ 2 ，…，λ n ，求可逆阵P ，使P -1 AP=Λ．该题您未回答:х 该问题分值: 3【解】因λ 1 ，λ 2 ，…，λ n 互异，故特征向量ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ n 线性无关，取可逆阵P=[ξ 1 ，ξ 2 ，…，ξ n ]，得其中18. 设问A ，B 是否相似，为什么?SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 3【解】A ，B 均是实对称阵，均可相似于对角阵，由于对换|λE -A|的1，2列和1，2行，得故A 和B 有相同的特征方程，相同的特征值，它们均相似于同一个对角阵，故A ～B ． 19.设A 是三阶矩阵，λ 1 =1，λ 2 =2，λ 3 =3是A 的特征值，对应的特征向量分别是ξ 1 =[2，2，-1] T ，ξ 2 =[-1，2，2] T ，ξ 3 =[2，-1，2] T ．又β=[1，2，3] T ．计算：(1)A n ξ 1 ；(2)A nβ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 3【解】(1)因Aξ 1 =λ 1 ξ 1 ，故故(2)利用Aξ i =λ i ξ i 有 将β表成ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 的线性组合．设β=x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 ，即解得已知二次型SSS_TEXT_QUSTI20.写出二次型f的矩阵表达式；该题您未回答:х该问题分值: 3【解】二次型的矩阵则二次型f的矩阵表达式f=x T Ax．SSS_TEXT_QUSTI21.用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．该题您未回答:х该问题分值: 3【解】A的特征多项式|A-λE|=-(6+λ)(1-λ)(6-λ)，则A的特征值λ1=-6，λ2 =1，λ3=6．λ1=-6对应的正交单位化特征向量λ2=1对应的正交单位化特征向量λ3=6对应的正交单位化特征向量令正交矩阵所求正交变换二次型f的标准型22.已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AA T是对称阵，并且AA T正定的充要条件是r(A)=m．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】由(AA T ) T =(A T ) T A T =AA T，所以AA T是对称阵．必要性若AA T正定，r(AA T)=m≤r(A)，又r(Am×n)≤m，故r(A)=m．充分性若r(A)=m，则齐次方程组A T X=0只有零解，故对任意X≠0，均有A T X≠0，故X T AA T X=(A T X) T (A T X)＞0，即AA T正定．23.设矩阵矩阵B=(kE+A) 2，求对角阵Λ，与B和Λ相似，并问k为何值时，B为正定阵．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】A是实对称阵，故存在正交阵Q，使得故当k≠0，k≠-2时，B的特征值全部大于0，这时B为正定阵．24.设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B T为B的转置矩阵．证明：B T AB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】显然B T AB为对称矩阵．25.设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵．已知矩阵B=λE+A T A．证明：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】用定义证明．显然B为对称矩阵．对当λ＞0时有故B为正定矩阵．26.证明：实对称矩阵A可逆的充分必要条件为存在实矩阵B，使得AB+B T A正定．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】必要性取B=A -1，则AB+B T A=E+(A -1 ) T A=2E，所以AB+B T A是正定矩阵．充分性用反证法．若A不是可逆矩阵，则r(A)＜n，于是存在实向量x≠0使得Ax=0．因为A是实对称矩阵，B是实矩阵，于是有这与AB+B T A是正定矩阵矛盾．27.设A与B均为正交矩阵，并且|A|+|B|=0．证明：A+B不可逆．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【证】由AA T =E有|A| 2 =1，因此，正交矩阵的行列式为1或-1．由|A|+|B|=0有|A|·|B|=-1，也有|A T|·|B T |=-1．再考虑到|A T (A+B)B T |=|A T +B T |=|A+B|，所以-|A+B|=|A+B|，|A+B|=0．故A+B不可逆．28.已知f(x，y)=x 2 +4xy+y 2，求正交变换P，使得SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】|λE-A|=(λ-3)(λ+1)，|λE-B|=(λ-3)(λ+1)．实对称矩阵A与B有相同的特征值，因此A与B合同．A的特征向量是B的特征向量是令有故29.已知三元二次型X T AX经正交变换化为，又知矩阵B满足矩阵方程其中α=[1，1，-1] T，A *为A的伴随矩阵，求此二次型X T BX的表达式．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 3【解】由条件知A的特征值为2，-1，-1，则|A|=2，因为A *的特征值为，所以A *的特征值为1，-2，-2，由已知，α是A *关于λ=1的特征向量，也就是α是A关于λ=2的特征向量．由得则B的特征值为-2，1，1，且Bα=-2α．设B关于λ=1的特征向量为β=[x1，x2，x3] T，又B是实对称阵，α与β正交，故x1+x2 -x3=0，解出β1=[1，-1，0] T，β2=[1，0，1] T，令则故X T BX=-2x1 x2+2x1x3+2x2x3．30.设A为n阶正定矩阵．证明：存在唯一正定矩阵H，使得A=H 2．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 8【证】由于A为n阶正定矩阵，故存在正交矩阵U，使得这里，01≤λ2≤…≤λn为A的全部特征值．取则并且H仍为正定矩阵．如果存在另一个正定矩阵H1，使得对于H1，存在正交矩阵U1，使得从而这里为A的全部特征值．故于是从而由于即令则λi pij=λjpij(i，j=1，2，…，n)，当λi≠λj时，pij=0，这时当λi =λj，时，当然有故从而即H=H1．31.设方阵A1与B1合同，A2与B2合同．证明：合同．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х 该问题分值: 5【证】因为A 1 与B 1 合同，所以存在可逆矩阵C 1 ，使因为A 2 与B 2 合同，所以存在可逆矩阵C 2 ，使令则C 可逆，于是有即 合同．1。

考研数学三模拟题2018年(27) (总分100, 做题时间90分钟)一、填空题1.设A为三阶实对称矩阵，α1 =(a，-a，1) T是方程组AX=0的解，α2=(a，1，1-a) T是方程组(A+E)X=0的解，则a=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 11 [解析] 因为A为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0及(A+E)X=0有非零解，所以λ1 =0，λ2=-1为矩阵A的特征值，α1=(a，-a，1) T，α2=(a，1，1-a) T是它们对应的特征向量，所以有=a 2 -a+1-a=0，解得a=1．2.设有三个线性无关的特征向量，则a=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 14 [解析] 由得λ1 =-1，λ2=λ3=1．因为A有三个线性无关的特征向量，所以r(E-A)=1，解得a=4．3.设有三个线性无关的特征向量，则a=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 10 [解析] 由|λE-A|=0得A的特征值为λ1 =-2，λ2=λ3=6．因为A有三个线性无关的特征向量，所以A可以对角化，从而r(6E-A)=1，解得a=0．4.f(x1，x2，x3，x4)=X T AX的正惯性指数是2，且A 2 -2A=O，该二次型的规范形为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 1[解析] A 2 -2A=0 r(A)+r(2E-A)=4 A可以对角化，λ1 =2，λ2=0，又二次型的正惯性指数为2，所以λ1 =2，λ2=0分别都是二重，所以该二次型的规范形为．二、选择题1.设A为n阶矩阵，下列结论正确的是______．A．矩阵A的秩与矩阵A的非零特征值的个数相等B．若A～B，则矩阵A与矩阵B相似于同一对角阵C．若r(A)=r＜n，则A经过有限次初等行变换可化为D．若矩阵A可对角化，则A的秩与其非零特征值的个数相等SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D[解析] A不对，如A的两个特征值都是0，但r(A)=1；B不对，因为A～B不一定保证A，B可以对角化；C不对，如A经过有限次行变换化为经过行变换不能化为因为A可以对角化，所以存在可逆矩阵P，使得于是r(A)= 故选D．2.设A，B为n阶可逆矩阵，则______．• A.存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B• B.存在正交矩阵Q，使得Q T AQ=B•**，B与同一个对角矩阵相似D.存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=BSSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D[解析] 因为A，B都是可逆矩阵．所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B，选D．3.设则A与B______．SSS_SINGLE_SELA 合同且相似B 相似但不合同C 合同但不相似D 既不相似又不合同该题您未回答:х该问题分值: 1答案:C[解析] 显然A，B都是实对称矩阵，由|λE-A|=0，得A的特征值为λ1=1，λ2 =2，λ3=9，由|λE-B|=0，得B的特征值为λ1=1，λ2=λ3=3，因为A，B惯性指数相等，但特征值不相同，所以A，B合同但不相似，选C．4.设A是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量X，有X T AX=0，则______．SSS_SINGLE_SELA |A|=0B |A|＞0C |A|＜0D 以上都不对该题您未回答:х该问题分值: 1答案:A[解析] 设二次型其中Q为正交矩阵．取则f=X T AX=λ1=0，同理可得λ2=λ3=0，由于A是实对称矩阵，所以r(A)=0，从而A=O，选A．三、解答题1.设有三个线性无关的特征向量，求a及A n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 由得λ1=λ2，λ3=2．因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以A一定可对角化，从而r(E-A)=1，即a=1，故由λ=1时，由(E-A)X=0，得由λ=2时，由(2E-A)X=0，得令则两边n次幂得从而设方程组有无穷多个解，为矩阵A的分别属于特征值λ1=1，λ2 =-2，λ3=-1的特征向量．SSS_TEXT_QUSTI2.求A；该题您未回答:х该问题分值: 3[解] 因为方程组有无穷多个解，所以解得a=1．令则从SSS_TEXT_QUSTI3.求|A * +3E|．该题您未回答:х该问题分值: 3[解] |A|=2，A *对应的特征值为即2，-1，-2，A * +3E对应的特征值为5，2，1，所以|A * +3E|=10．=2是A 设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1的特征值，对应特征向量为(-1，0，1) T．SSS_TEXT_QUSTI4.求A的其他特征值与特征向量；该题您未回答:х该问题分值: 3[解] 因为A的每行元素之和为5，所以有=5，对应的特征向量为即A有特征值λ2又因为AX=0有非零解，所以r(A)＜3，从而A有特征值0，设特征值0对应的特征向量为，根据不同特征值对应的特征向量正交得解得特征值0对应的特征向量为SSS_TEXT_QUSTI5.求A．该题您未回答:х该问题分值: 3[解] 令由得6.设求a，b及正交矩阵P，使得P T AP=B．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 因为A～B，所以tr(A)=tr(B)，|A|=|B|，即解得a=1，b=0，则因为A～B，所以矩阵A，B的特征值都为λ1 =1，λ2=0，λ3=6．当λ=1时，由(E-A)X=0，得当λ=0时，由(0E-A)X=0，得当λ=6时，由(6E-A)X=0，得令再令则有P T AP=B．7.设A，B为n阶矩阵，且r(A)+r(B)＜n．证明：A，B有公共的特征向量．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 因为r(A)+r(B)＜n，所以r(A)＜n，r(B)＜n，于是λ=0为A，B公共的特征值，A的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组AX=0的非零解；B的属于特征值λ=0的特征向量即为方程组BX=0的非零解，因为所以方程组有非零解，即A，B有公共的特征向量．设A是b阶矩阵，α1，α2，…，αn是n维列向量，且αn≠0，若Aα1=α2，Aα2=α3，…，Aαn-1=αn，Aαn=0．SSS_TEXT_QUSTI8.证明：α1，α2，…，αn线性无关；该题您未回答:х该问题分值: 2.5[证明] 令x1α1+x2α2+…+rnαn=0，则x1Aα1+x2Aα2+…+xnAαn=0 x1α2+x2α3+…+xn-1αn=0x1Aα2+x2Aα3+…+xn-1Aαn=0 x1α3+x2α4+…+xn-22αn-2=0 …x1αn=0因为αn ≠0，所以x1=0，反推可得x2=…=xn=0，所以α1，α2，…，αn线性无关．SSS_TEXT_QUSTI9.求A的特征值与特征向量．该题您未回答:х该问题分值: 2.5[解] 令P=(α1，α2，…，αn)，则则A与B相似，由|λE=B|=0 λ1=…=λn=0，即A的特征值全为零，又r(A)=n-1，所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而Aαn =0αn(αn≠0)，所以A的全部特征向量为kαn(k≠0)．10.设A为三阶方阵，A的每行元素之和为5，AX=0的通解为设β= 求Aβ．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 因为A的每行元素之和为5，所以有即A有一个特征值为λ1=5，其对应的特征向量为又AX=0的通解为则r(A)=1 λ2=λ3=0，其对应的特征向量为Aξ2 =0，Aξ3=0．令x1ξ1，x2ξ2，x3ξ3=β，解得x1=8，x2=-1，x3=-2，则Aβ=8Aξ1 -Aξ2-2Aξ3=8Aξ1=11.求a，b及可逆矩阵P，使得P -1 AP=B．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 由|λE-B|=0，得λ1 =-1，λ2=1，λ3=2，因为A～B，所以A的特征值为λ1 =-1，λ2=1，λ3=2．由tr(A)=λ1+λ2+λ3，得a=1，再由|A|=b=λ1λ2λ3=-2，得b=-2，即A=由(-E-A)X=0，得ξ1=(1，1，0) T；由(E-A)X=0，得ξ2=(-2，1，1) T；由(2E-A)X=0，得ξ3=(-2，1，0) T，令则由(-E-B)X=0，得η1=(-1，0，1) T；由(E-B)X=0，得η2=(1，0，0) T；由(2E-B)X=0，得η3=(8，3，4) T，令则由得令则P -1 AP=B．12.设求A的特征值与特征向量，判断矩阵A是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵P及对角阵．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] |λE-A|= =(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1)=0，得矩阵A的特征值为λ1=1-a，λ2 =a，λ3=1+a．(1)当1-a≠a，1-a≠1+a，a≠1+a，即a≠0且时，因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A一定可以对角化．λ1 =1-a时，由[(1-a)E-A]X=0得λ2=a时，由(aE-A)X=0得ξ2=λ3=1+a时，由[(1+a)E-A]X=0得(2)当a=0时，λ1=λ3=1，因为r(E-A)=2，所以方程组(E-A)X=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵A不可以对角化．(3)当时，，因为，所以方程组的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故A不可以对角化．13.设A为m×n实矩阵，且r(A)=n．证明：A T A的特征值全大于零．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 首先A T A为实对称矩阵，r(A T A)=n，对任意的X＞0，X T (A TA)X=(AX) T (AX)，令AX=α，因为r(A)=n，所以α≠0，所以(AX) T(AX)=α T α=|α| 2＞0，即二次型X T (A T A)X是正定二次型，A T A为正定矩阵，所以A T A的特征值全大于零．14.设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，P T AP为正定矩阵．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 首先A T =A，因为(p T AP) T =P T A T (P T ) T =P T AP，所以P T AP为对称矩阵，对任意的X≠0，X T (P T AP)X=(PX) T A(PX)，令PX=α，因为P 可逆且X≠0，所以α≠0，又因为A为正定矩阵，所以α T Aα＞0，即X T (P T AP)X＞0，故X T (P T AP)X为正定二次型，于是P T AP为正定矩阵．15.设P为可逆矩阵，A=P T P．证明：A是正定矩阵．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 显然A T =A，对任意的X≠0，X T AX=(PX) T (PX)，因为X≠0且P可逆，所以PX≠0，于是X T AX=(PX) T (PX)=|PX| 2＞0，即X T AX为正定二次型，故A为正定矩阵．16.设A，B为n阶正定矩阵．证明：A+B为正定矩阵．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 因为A，B正定，所以A T =A，B T =B，从而(A+B) T =A+B，即A+B为对称矩阵．对任意的X≠0，X T (A+B)X=X T AX+X T BX，因为A，B为正定矩阵，所以X T AX＞0，X T BX＞0，因此X T (A+B)X＞0，于是A+B为正定矩阵．17.三元二次型f=X T AX经过正交变换化为标准形，且A * +2E的非零特征值对应的特征向量为求此二次型．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 因为f=X T AX经过正交变换后的标准形为，所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=-2．由|A|=λ1λ2λ3=-2得A *的特征值为μ1=μ2 =-2，μ3=1，从而A * +2E的特征值为0，0，3，即α1为A * +2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ3=-2的特征向量．令A的属于特征值λ1=λ2=1的特征向量为因为A为实对称矩阵，所以有=0，即x1 +x3=0故矩阵A的属于λ1=λ2=1的特征向量为令由得所求的二次型为18.设二次型经过正交变换X=QY化为标准形，求参数a，b及正交矩阵Q．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 二次型的矩阵形式为f=X T AX其中因为所以A～B(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是A的特征值为1，1，4．而|λE-A|=λ 3 -(a+4)λ 2 +(4a-b 2+2)λ+(-3a-2b+2b 2 +2)，所以有λ 3 -(a+4)λ 2 +(4a-b 2+2)λ+(-3a-2b+2b 2+2)=(λ-1) 2(λ-4)，解得a=2，b=1．当λ1=λ2=1时，由(E-A)X=0得由λ3=4时，由(4E-A)X=0得显然ξ1，ξ2，ξ3两两正交，单位化为则19.设齐次线性方程组有非零解，且为正定矩阵，求a，并求当|A|= 时X T AX的最大值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[解] 因为方程组有非零解，所以=a(a+1)(a-3)=0，即a=-1或a=0或a=3．因为A是正定矩阵，所以aii＞0(i=1，2，3)，所以a=3．当a=3时，由得A的特征值为1，4，10．因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得而当时，=Y T Y=Y T Q T QY=(QY) T (QY)=X T X=|X| 2 =2所以当时，X T AX的最大值为20(最大值20可以取到，如y1 =y2=0，y3= )．20.设A为实对称矩阵，且A的特征值都大于零．证明：A为正定矩阵．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] A所对应的二次型为f=X T AX，因为A是实对称矩阵，所以存在正交变换X=QY，使得对任意的X≠0，因为X=QY，所以Y=Q T X≠0，于是，即对任意的X≠0有X T AX＞0，所以X T AX为正定二次型，故A 为正定矩阵．21.设A为m阶正定矩阵，B为m×n实矩阵．证明：B T AB正定的充分必要条件是r(B)=n．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 5[证明] 因为(B T AB) T =B T A T (B T ) T =B T AB，所以B T AB为对称矩阵，设B T AB是正定矩阵，则对任意的X≠0，X T B T ABX=(BX) T A(BX)＞0，所以BX≠0，即对任意的X≠0有BX≠0，或方程组BX=0只有零解，所以r(B)=n．反之，设r(B)=n，则对任意的X≠0，有BX≠0，因为A为正定矩阵，所以X T (B T AB)X=(BX) T A(BX)＞0，所以B T AB为正定矩阵．1。