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机械振动5多自由度系统10-11有阻尼解析

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理论力学 第十章振动

理论力学 第十章振动


k2
k1
δ st
r F1
k eq = k1 + k 2
δ st r
r mg
keq k1 + k 2 = m m
m
r F2
mg = k eqδ st
keq称为等效弹簧刚性系数 并联系统的固有频率为
mg k2
ωn =
当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。 这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
O
δ st
x
r F r P
则解为：
x = A sin(ω nt + θ )
表明：无阻尼自由振动是简谐振动。 其运动图线为：
x
A
x
x0
θ ωn
O
t
t+T
x
2.无阻尼自由振动的特点 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率 ）
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t， 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时 ，其 运动规律x（t）总可以写为: 运动规律 （ ）总可以写为: x（t）= x（t+T） （） （ ） T为常数，称为周期，单位符号为s。 为常数， 周期， 符号为 为常数 称为周期 单位符号 。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动 后又重复原来的运动。 这种振动经过时间 后又重复原来的运动。 考虑无阻尼自由振动微分方程 考虑无阻尼自由振动微分方程
r F r P
x
两个根为： r1 = +iω n 方程解表示为：
r2 = −iω n
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
多自由度系统振动

多自由度系统振动

系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组
机械振动5多自由度系统10-11有阻尼

机械振动5多自由度系统10-11有阻尼

2018年9月20日 《振动力学》 12
原坐标的系统稳态响应：
q(t ) u(i ) ηi (t )
i 1
n
u(i ) ai 0 2 H ij ( j ) [aij cos( jt ij ) bij sin( jt ij )] i 1 i 2 j 1
并令：cPi 2 ii
则n 自由度系统运动方程变为：
i 2 ii η i i2ηi Ni (t ), i 1 ~ n η
这一方法有很大的实用价值 ，一般适用于振型比例阻尼 ζ i 不 大于0.2的弱阻尼系统。
若系统阻尼较大，不能用振型矩阵超出本课程范围。
其中， i u
(i )T
Cu (i )
2i (i )T N i (t ) u F (t ) (i 1,2, , n)
9
(i 1,2,, n)
下面对几种激励分别讨论 2018年9月20日
《振动力学》
1. 有阻尼系统对简谐激励的响应
假设激励为 F (t ) F sin t 0 将运动方程写成复数形式：
《振动力学》
i2
H i ( ) ei (t i ) , (i 1 ~ n)
1
10
正弦激励下正则坐标的稳态响应：
N 0i i (t i ) ηi (t ) Im 2 H i ( ) e i N 0i sin(t i ) i2 (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2
有： uT Muη uT Cuη uT Kuη uT F (t )
即：
C pη Λη N (t ) η
其中：
C p uT Cu
模态阻尼矩阵
机械振动5多自由度系统10-11有阻尼

机械振动5多自由度系统10-11有阻尼


c c c C P u T Cu c c c c c c
非对角矩阵
5
若 C P非对角，则前面在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或 正则坐标方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂。
为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列 近似处理方法 。
有： uT Muη uT Cuη uT Kuη uT F (t )
即：
C pη Λη N (t ) η
其中：
C p uT Cu
模态阻尼矩阵
虽然模态质量矩阵与模态刚度矩阵是对角阵，但模态阻尼矩 阵一般非对角阵，因而正则坐标η 下的强迫振动方程仍然存 在耦合。 2016年1月11日
《振动力学》
i2
H i ( ) ei (t i ) , (i 1 ~ n)
1
10
正弦激励下正则坐标的稳态响应：
N 0i i (t i ) ηi (t ) Im 2 H i ( ) e i N 0i sin(t i ) i2 (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2
c
c
c
1 2 1 q 1 2 1 q1 F1 1 0 q m c k sin t 2 1 2 q 2 1 2 q2 F2 0 1 q
i 2 ii η i i2ηi N0i eit , (i 1 ~ n) η
式中， N 0i u ( i ) F0
T
(i 1,2,, n)
则正则坐标的稳态响应：
ηi (t )
式中， H i ( )
N 0i
, arctan2 i i , , i i (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2 1 i2 i 频率比 相位角 正则坐标的放大因子 2016 年1月11日
多自由度系统振动(第11讲,11月05日)

多自由度系统振动(第11讲,11月05日)

2 φ 或直接用 ( K M ) 0
令主振动：
x1 1 x sin(t ) 2 2 x3 3
得：
3k m 2 k 0
k 2k m 2 1
1 0 k 2 0 2 3k m 3 0 0
1 ci m pi
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
正则模态的正交性条件：
(i )T Mφ( j ) φ N ij N (i )T ( φ N KφN j ) iji2
主模态的正交性条件：
( i ) T Mφ( j ) ij m pi φ (i )T φ Kφ( j ) ij k pi
3 (3 )(2 ) 1 1
1 1, 2 3, 3 4
选上式右端矩阵的第一列，分别代入 1、 2、3 的值
得： (1)
1 1 1 2, ( 2 ) 0 , ( 3) 1 1 1 1
X Rn
记为 B
M、K R nn
特征矩阵 应的主振型 (i )
或 B ( )
i2不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 adjB求得相 当
根据逆矩阵定义 ： 两边左乘 B B ：
B 1 1 adjB B
B I BadjB
当 i 时 ： B(i )adjB(i ) 0
模态关于刚度的正交性
(i )T
φ
Mφ(i ) m pi 第 i 阶模态主质量
φ
(i )T
Kφ(i ) k pi
第 i 阶模态主刚度
φ(i ) 第 i 阶主模态
(完整word版)有阻尼自由系统的振动分析

(完整word版)有阻尼自由系统的振动分析

有阻尼自由系统的振动分析实际系统振动时不可避免地存在阻力，因而在一定时间内振动逐渐衰减直至停止。

阻力有多种来源，例如两个物体之间的干摩擦阻力、气体或液体介质的阻力、有润滑剂的两个面之间的摩擦力、由于材料的粘弹性而产生的内部阻力等等。

在振动中这些阻力统称为阻尼。

其弹簧—质量系统模型图示如右图，因为有考虑到阻尼的影响故其运动方程应为：0ku(t)(t)u c (t)u m ...=++ （1） 或 0u(t)ω(t)u ξω2(t)u2=++ （2） 其中mc =ξω2 式（2）是一个常系数齐次线性微分方程 0222=++ωξωx x （3）其通解为 12-±-=ξωξωx由上可知，式（2）的解与ξ的大小有关。

对于ξ可分为以下四种情况简要讨论：1、临界阻尼情况（ξ=1或C=2m ω）在这种情况下特征方程的根是一对重根：X 1、2=-ω，式（2）的通解是 ])1([)(00t ut u e t u t ++=-ωω （4） 在这种情况下系统不发生振动。

临界阻尼就是不产生振动的最小阻尼。

2、超阻尼情况（ξ＞1或C ＞2m ω） 此特征根是两个负实数。

通解为t sh u u t ch u e t u d dd t ωωξωωξω000[)(++=- （5） 式中12-=ξωωd ，这种阻尼过大系统的运动是按指数规律衰减的非周期运动。

3、负阻尼情况（ξ＜0或C ＜0）阻尼本来是消耗能量的，负阻尼则表示系统在不断增加能量，这种情况下的运动是不稳定的，其振幅会越来越大，直到系统振动失效破坏。

4、低阻尼或小阻尼情况（ξ＜1或C ＜2m ω）此时特征根是两个复数，式（2）的通解为)cos sin ()(000t u t u u e t u d d dt ωωωξωξω++=- （6） 式中21ξωω-=d ，由此可知，阻尼使系统自振频率减小，亦即使系统自振周期增大。

由上式可看出，阻尼式振幅按指数规律衰减。

机械振动-第五章多自由度系统的振动

机械振动-第五章多自由度系统的振动


5-2 多自由度系统振动方程式
1）质量弹簧系统
根据牛顿运动定律，列出各质点的运动方程式
1 P m1 x 1 K1 x1 K 2 x2 x1 2 P2 K 2 x2 x1 K 3 x3 x2 m2 x 3 P3 K 3 x3 x2 m3 x
列向量
系数矩阵
x1 x x 2 , x 3
1 x 2 , x x x 3
P 1 P P 2 P 3
m1 0 M 0 m2 0 0




矩阵形式表达式
K A p 2 M A 0
其中
A1 A2 A An
有非零解的条件是系数行列式等于零
k11 m11 p 2 k 21 m21 p 2 k n1 mn1 p 2
k12 m12 p 2 k1n m1n p 2 k 22 m22 p 2 k 2 n m2 n p 2 k n 2 mn 2 p 2 k nn mnn p 2
或
K x 0 M x
列向量
0 0 0 0
2）梁上具有集中质量的横向振动系统
梁上具有任意n个集中质量，系统运动时各质量的横向位移 为y1、y2、…yn，作用在各质量上的外力为P1、P2…Pn，惯性 1 , m2 2 , mn n ，由柔度影响系数的定义及力 y y y 力为 m1 的叠加原理，可列出下述关系式
当外力不存在时，得到系统自由振动方程式
y M y
或
0 y M y K y 0 M y
当系统存在阻尼时，如果是粘性阻尼，引入一个n阶正定 的阻尼方阵，使具有阻尼的多自由度系统的振动方程式具有 下述一般形式。
《机械振动》张义民—第5章第9、10、11节ppt

《机械振动》张义民—第5章第9、10、11节ppt


例5.9-1 考虑图5.9-1所示系统，在系统上作用 有激励向量F(t)=[0 F0u(t)]T，u(t)为单位阶跃函数。 求在零初始条件下系统的响应。
解：系统的运动微分方程
1 m 0
0 2
q1 q2
k
2 1
1 q1
2
q2
0
F0u
t
为了用振型分析方法求解，
首先要解特征值问题，得
N t uTF t
F0 m
0.627963 0.325057
u
t
将上式代入方程(5.9-14)，得
1t
0.627963
F0 1
m 1
t 0
u
sin
1
t
d
0.62796312F0 m 1 cos1t
2t 0.325057
F0 1
m 2
t 0
u
sin
2
t
d
0.325057
F0
22
m
F0 1
m 2
t 0
sin
sin
1
t
d
0.325057
F0
22
m
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
最后，得
q1t
F0 m
0.455295112
sin
t
1
sin
1t
1
1
2
12
0.122009
1
22
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
q2t
F0 m
0.621945
机械振动5多自由度系统10-11有阻尼.

机械振动5多自由度系统10-11有阻尼.


i 2 i n) η
式中， N 0i u ( i ) F0
T
(i 1,2,, n)
则正则坐标的稳态响应：
ηi (t )
式中， H i ( )
N 0i
, arctan2 i i , , i i (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2 1 i2 i 频率比 相位角 正则坐标的放大因子 2018 年12月2日
《振动力学》
4
例如：三自由度系统
2k
m
x1
k
x2 m
k
x3 m
2k
c
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
3k K k 0
k 2k k
0 k 3k
c 0 0 C 0 0 0 0 0 0
一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。
2018年12月2日 《振动力学》
2
有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：
Cq Kq F (t ) Mq
阻尼矩阵 元素 cij 阻尼影响系数
q Rn
物理意义：是使系统仅在第 j 个广义坐标上产生单位速度而 相应于第 i 个坐标上所需施加的力 阻尼力为广义速度的线性函数 表示为：
6 k u T Ku 0 0 0 6k 0 0 12k 0
1 1 1 u 2 0 1 1 1 1
0 6 m 0 uT Mu 0 2 m 0 0 3m 0
2018年12月2日 《振动力学》
5.10 多自由度系统的阻尼
2018年12月2日 《振动力学》
1
任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素 材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等 由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。 在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略 阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统。 当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂 的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。
自由度系统阻尼自由振动 ppt课件

自由度系统阻尼自由振动 ppt课件



tan1 x0 n x0 d x0
ppt课件
23
小阻尼的运动曲线
如图所示的为衰减振 5
动。在 cos(dt ) 1 4
的时候，物体的运动 3
2
曲线和曲线：
1
振幅
x Aent
相切， 0 -1
在切点的x值的绝对 -2
值 Aent
称为振幅。 -3 -4
ppt课件
10
方程求解
由于方程为齐次的，因此，方程的解具有 如下形式：
x est
将解的形式带入微分方程：

s
2

c m
s

k m

e
st

0
ppt课件
11
特征方程及其解
由于est 0 ，因此，要想方程成立；
必须： s2 c s k 0 称为微分方程 的特 征方程 m m
19
临界阻尼系统的运动特点
可见：临界阻尼下的系统的运动也不是振动；
但在相同的条件下，临界阻尼的系统的自由 运动最先停止；
因此，仪表都将系统的阻尼设置为临界阻尼。
ppt课件
20
作业3
有粘性阻尼的弹簧质量系统，无阻尼振动的
固有频率为n ，从平衡位置拉开 x0 后释放，
初速度为零。
（1）求 1.25 和 1 时的系统运动情况。
所以，当时 0.3 ，通常忽略阻尼对固 有频率和周期的影响。
ppt课件
28
阻尼对振幅的影响
阻尼对振幅的影响却非常大。设 x1 和 x2分别
是相邻两次的振幅，对应的时间分别为：t1 和 t2 ，则：t2 t1T d
机械振动基础知识培训

机械振动基础知识培训


按振动产生原因
自由振动 无阻尼自由振动
有阻尼自由振动
强迫振动 无阻尼的强迫振动
有阻尼的强迫振动
自激振动
本章只研究单自由度系统和两自由度系统的振动。
2
第四章 机械振动基础
1 单自由度系统的自由振动 2 计算固有频率的能量法 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 6 转子的临界转速
物块沿x轴的运动微分方程
m
d2x dt 2
mg
sin
k ( 0
x)
0
mg
sin k
m
d2x dt 2
kx
固有频率与斜面倾角β无关
固有频率 n
k m
0.8 1000 0.5
40rad / s
系统的通解 x Asin(nt ) x
0
x
F
O
mg
mg FN
h
16
§4-1 单自由度系统的自由振动
h
17
§4-1 单自由度系统的自由振动
x0 3.06103 m; v0 1.4m / s;n 40rad / s
系统的通解 x Asin(nt )
0
x
h
得振幅及初相位
2
x v A
2
0
0 2
35.1mm
n
x
F
mg
O
FN
arctan n x0 0.087rad
v0
此物块的运动方程为 x 35.1sin(40t 0.087)mm
动的固有频率和振幅，并给出物块的运动方程。
解:⑴ 取质量弹簧系统为研究对象
物块在平衡位置时，弹簧变形量

多自由度(线性)阻尼系统振动讲义


第3章 多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程 3 多自由度线性系统的振动
例3.2 建立三自由度系统的振动微分方程
柔度系数：单位外力所引起的系统位移 ，定 义系统第j个坐标上作用的单位力在第i个广 义坐标上所引起的位移为柔度系数 h 。 ij
三自由度系统
在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， x =1/k ， 1 1 2 3 1 1 2 1 x =1/k ，即h = h = k = 1/k ； 3 1 11 21 31 1 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 2 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x = 1/k +1/k ，即柔度系数h = 1/k ， h = k = 1/k +1/k ，； 2 1 2 3 1 2 12 1 22 32 1 2 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 3 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x =1/k +1/k +1/k 。即柔度系数x =1/k ， x =1/k +1/k ， x = 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1/k +1/k +1/k 。 1 2 é1 3 ù 1 1 振动 ê k m x ü k k ú é 1 0 0 ùì &&1 ü ì x ü ì 0 1 1 1 1 ï ê ú ê 0 m 0 ú ï && ï +ï x ï =ï0 1 1 + 1 x ý í 2 ý í ý 微分 ê 1 k 1 k + k 2 ú í 2 úê k k 1 1 2 1 2 ï ï ï ï ï ï 1 + 1 1 +1 + 1 ú ê 0 0 m ú î&&3 þ îx þ î0 3 û x 3 ë þ 方程 ê 1 ê k k k k k k ú 1 2 1 2 3 û ë 1

第4章多自由度系统的振动

m1 m 2 m 3 m , l1 l 2 l 3 l
解：我们用Lagrange方程来建立振 动方程。
co s i sin j ) v1 l ( 1 1 1 1 v 2 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 ) i s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 v 3 l [(1 c o s 1 2 c o s 2 3 c o s 3 ) i s in s in s in ) j ] ( 1 1 2 2 3 3
qj 1
其余广义坐标的加速度为 0 ，为此而需要在各个广义坐标 方向上施加的广义力向量就是质量矩阵的第 j 列。
《振动力学》讲义 第4章 多自由度系统的振动 对于直梁，经常用几个位置的挠度作为广义坐标，来近似 描述直梁的振动。这时，采用影响系数法，建立梁的柔度矩 阵更方便的，因而需要用到简单边界条件下梁的挠度公式。 简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为 P
第四章 多自由度系统的振动
大部分实际系统都是多自由度系统，其中的一类， 系统本身为近似的集中参数系统，可以简化为多自由度 系统，另一类是将分布参数系统通过一定的建模方法简 化得到的。本章只学习线性多自由度系统的分析方法和 基本规律，解决问题的基本方法是模态叠加法，就是将 n自由度系统分解成 n 个单自由度系统，每个单自由度 系统对应于原系统的一种特定的振动形态（即模态）， 将各个单自由度系统的振动叠加便得到原系统的振动。 因此，本章的学习重点是要理解和掌握模态的求解和使 用。
系统的动能为
m1 1 1 2 2 2 1 m 2 y 2 m 3 y 3 ) { y1 , y 2 , y 3 } 0 T ( m1 y 2 2 0 0 m2 0 0 0 m3 y1 y2 y 3

机械振动知识总结

一、单自由度系统的振动2()()0()(nmx t kx t x t w x t +=⇔+120)cos sin cos n n A w t A w t x =+=2()()()0()2()()0n n mx t cx t kx t x t w x t w x t ξ++=++= 211)(nn w t w t e X e ξξ--=+自然频率 阻尼率 22n c c mw mkξ==w 2()2()(()cos(n n nw td x t w x t w x t t C ew t ξξψ-++=-：尼激0 ()cos(n x t C w t =-幅频曲线及其特性 ()H w 1：此时力与位移相位相反sin nwt c =/2/22T T T -=⎰周期函数将失去周期性，而离散频谱将转化为连续谱，此时傅里()()(mx t cx t kx t ++21)[1(/)n n c k w w ∞==-∑00sin n dx x ξωω+0sin n n x t ωω +自由振动是强迫振动的基础，任一时刻的强迫振动响应其实只是该时刻前被激起的一系列自由振动的叠加。

2()2()()n nx t w x t w x t ξ++=1()()()2iwtt H w F w e dw π+∞-∞=⎰()()()mx t cx t kx t ++=拉普拉斯变换：()(0)(()()()F s mx ms X s D s D s ++=+拉氏反变换：11()[()]2jw jwx t L X s j γγπ+--==⎰牛顿第二定律、定轴转动方程、能量原理、拉格朗日方程一般情况采用解析法求解，对于非线性方程，常采用数值方法求解振动系统反作用力近似为位移和速度的函数：)x 泰勒展开并取cx 结论：弹簧刚度与阻尼系数实际上是泰勒展开式中定义：单位位移所需要的力。

弹簧串联、并联，关键在于共力还是共位移用积分计算结构运动时的动能，得到某结构的等效质量/d m ；经变形法；能量法：max V不变，响应振幅与激振力振幅正比，为滞后激励多少，Ψ初相位微小的阻尼就可以限制振幅的无限扩大共振需要一个较长的建立过程，机器需有足够的加速功率顺利通过共振区。

第七节多自由度系统中的阻尼

第七节 多自由度系统中的阻尼（教材）前面介绍了多自由度系统无阻尼系统的振动。

对于工程上的各种弹性结构来说，它们振动时总受到各种阻尼力的作用（如材料阻尼、结构阻尼、介质粘性阻尼等等），由于各种阻尼力的机理比较复杂，在分析振动时，常常将各种阻尼力都简化为与速度成正比的粘性阻尼力。

而阻尼系数须有工程上的经验公式求出，或由实验数据确定。

有粘性阻尼的n 个自由度系统求响应很困难，其原因在于只有在特定的条件下，用模态分析法才能使运动微分方程解耦。

下面分析之。

有阻尼的n 个自由度系统的运动微分方程为[]{}[]{}[]{}{}()M x C x k x F t ++= （5-60） 式中[]C 是阻尼矩阵，为n ×n 对称矩阵。

由无阻尼自由振动微分方程求得固有频率和振型向量，得正则振型矩阵[]Φ。

令 {}[]{}x z =Φ代入方程（5-60）并前乘以[]TΦ，得[][][]{}[][][]{}[][][]{}[]{}()T T TTM z C z k z F t ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=Φ （a ）因 [][][][]TI M =ΦΦ ------ 单位矩阵 [][][][]Tk Λ=ΦΦ{}[]{}()()TP t F t =Φ∴ {}[][][]{}[]{}{}()Tz C z z P t +ΦΦ+Λ= （b ）而[][][]TC ΦΦ一般不是对角矩阵。

因此，模态分析法不能使式（a ）变成一组独立的微分方程组。

例如图示系统，已知 123m m m m ===，1234k k k k k ====。

已解出{}{}{}1231112,0,2111u u u ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪-⎩⎭⎩⎭⎩⎭m 1m 2m 3k 3k 12x 1x 3k 2k 4c阻尼矩阵为[]0000000C c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∵{}[]{}1200011210000001Tu C u c c ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎡⎤==-≠⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎪⎪-⎢⎥⎩⎭⎣⎦∴ [][][]TC ΦΦ不是对角矩阵。

1.3有阻尼的自由振动解析



0.391
例题2
对于阻尼较小 的 0系.1统 ，实验中有时可用半振幅
方法测定相对阻尼系数在振幅衰减曲线的包络线
上已测得相隔N个周期的两点 P 、 R之间幅值减小一
半，试确定 。
解：振幅衰减曲线的包络线方程为
设 R、 P两点在包络线上的幅值为
则
xP e0NTd 2
xR
当 = 时1可近似为
c 0
等效粘阻系数可代入与粘性阻尼有关的方程计算出自由振 动规律，在工程实践中，它也可通过实验测出。
作业：p28 1.9
阻尼的主要作用是转移系统的能量。当无简谐激励作用 时，由于阻系统能量的损失，导致自由振动幅值的衰减；当有 简谐激励作用时，由于简谐激励不断做功，对系统输入的能量 平衡阻尼引起的能量损失，简谐激励的稳态响应时等幅振动。
等效阻尼的原则是令在一个周期内， (1) 非粘性阻尼耗散的能量与等效粘性阻尼耗散的能量相等 (2) 具有相同的简谐运动幅值。
d x0 x0 x0

有阻尼振动的固有频率 d 0 1 2
结论：有阻尼振动的固有频率小于无阻尼振动的固有频 率，是系统固有的物理参数。
有阻尼振动的周期大于无阻尼振动的周期
2
2
Td

d

0
1 2
由于阻尼作用引起能量耗散，在欠 阻尼的情况下，阻尼使无阻尼自由 振动的固有周期增加，频率降低。
A2
1.干摩擦阻尼
(dx xdt)
遵循库仑定律，即摩擦力与接触物体间的正压力 FN成正比，与运动方向相反。
Fd FN sgn x 为摩擦因数
1
x& 0
sgn x为符号函数，定义为：
sgn

多自由度系统振动解析


解：
k1
P1(t)
m1
x1
k2
P2(t)
m2
x2
k3
建立坐标：
x1 , x2 的原点分别取在 m1 , m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移
x1、x2
P2(t)
1、 2 加速度 x x
受力分析：
P1(t)
k1x1 k2(x1-x2)
m1
k2ห้องสมุดไป่ตู้x1-x2)
m2
k3x2
1 m1 x
2 m2 x
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
P1(t)
k1x1 k2(x1-x2)
m1
P2(t) k2(x1-x2)
m2
k3x2
建立方程：
1 m1 x
2 m2 x
1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P x m1 1 (t ) 2 k2 ( x1 x2 ) k3 x3 P2 (t ) x m2
多自由度系统振动
m人
k1
c1
m车
建模方法2： 车、人的质量分别考虑，并考虑各自的 弹性和阻尼 k2 c2
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合 缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
多自由度系统振动
m人
k1
c1
m车
建模方法3：
车、人、车轮的质量分别考虑， 并考虑各自的弹性和阻尼
优点：分别考虑了人与车、车与 车轮、车轮与地面之间的 相互耦合，模型较为精确
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
k 11
k 2 (1 2 ) k 2 (2 1 )
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2020年11月1日 8
《振动力学》
5.11 有阻尼系统对任意激励的响应 ·振型叠加法
假设粘性阻尼系统的微分方程中的阻尼矩阵C可以对角化，
CP
c
p1
并令：cPi 2 ii
cpn
则n 自由度系统运动方程变为：
ηi 2 iiηi i2ηi Ni (t), i 1 ~ n
其中， i
u(i)T Cu(i)
2020年11月1日 2
《振动力学》
有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：
Mq Cq Kq F (t)
q Rn
阻尼矩阵
元素 cij 阻尼影响系数
物理意义：是使系统仅在第 j 个广义坐标上产生单位速度而 相应于第 i 个坐标上所需施加的力
阻尼力为广义速度的线性函数
表示为：
n
Qdi cij q j j 1
即：
η C pη Λη N (t)
其中：
Cp uTCu 模态阻尼矩阵
虽然模态质量矩阵与模态刚度矩阵是对角阵，但模态阻尼矩 阵一般非对角阵，因而正则坐标η 下的强迫振动方程仍然存 在2耦020合年1。1月1日
4 《振动力学》
例如：三自由度系统
2k
x1
k
x2
k
m
m
c
x3
2k
m
m 0 0
M
0
5.10 多自由度系统的阻尼
2020年11月1日 1
《振动力学》
任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素 材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等
由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。 在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略 阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统。 当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂 的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。 一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。
a, b：为常数
代入 Cp uTCu 中
Cp uT (aM bK)u aI bΛ
运动方程变为： η C pη Λη N (t)
对角阵
或 η cPiη i2η Ni (t), i 1 ~ n cPi a bi2
2020年11月1日 6
《振动力学》
η cPiη i2η Ni (t), i 1 ~ n cPi a bi2
2i
(i 1,2,, n)
Ni (t) u(i)T F (t) (i 1,2,, n)
下202面0年对11月几1日种激励分别讨论 9 《振动力学》
1. 有阻尼系统对简谐激励的响应
假设激励为 F (t) F0 sin t 将运动方程写成复数形式：
ηi
2 iiηi
i2ηi
N
eit
0i
,
(i 1 ~ n)
阻尼矩阵一般是正定或半正定的对称矩阵
2020年11月1日 3
《振动力学》
有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：
Mq Cq Kq F (t)
q Rn
假定无阻尼系统下的正则模态矩阵u及其模态刚度矩阵 Λ
作坐标变换： q uη 有： uT Muη uT Cuη uT Kuη uT F (t)
m
0
0 0 m
3k k 0
K k
2k
k
0 k 3k
1 1 1 u 2 0 1
1 1 1
6m 0 0
uT Mu
0
2m
0
0 0 3m
c c c
CP uTCu c c c
2020年11月1日
c c c
《振动力学》
c 0 0 C 0 0 0
0 0 0
6k 0 0
uT
Ku
0
6k
0
0 0 12k
非对角矩阵
5
若 CP非对角，则前面在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或 正则坐标方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂。
为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列 近似处理方法 。
（1） 将矩阵 C 假设为比例阻尼 假定 C 有下列形式： C aM bK
式中，N0i u(i)T F0 (i 1,2,, n)
则正则坐标的稳态响应：
ηi (t) 式中，Hi ()
N0i
i2
Hi () ei(t
1
(1 i2 )2 (2 ii
i
)2
),
,
i
(i
1 ~ n) arctan 2
1
i i i2
,
i
i
,
2020正年1则1月坐1日标的放大因子
《振动力学》
相位角
CP
c
p1
cpn
并令：cPi 2 ii
则n 自由度系统运动方程变为：
ηi 2 iiηi i2ηi Ni (t), i 1 ~ n
这一方法有很大的实用价值 ，一般适用于振型比例阻尼 ζ i 不
大于0.2的弱阻尼系统。
若系统阻尼较大，不能用振型矩阵使方程解耦，即阻尼矩阵
不能对角化，有其它方法解决，但超出本课程范围。
可以看出,当激励频率接近i时, i 1, i的振幅会很大。
共振现象与单自由度阻尼系统类似。但有n个共振频率，
2020年1共1月1有日 n个 有阻尼系统对周期激励的响应
假设各坐标上作用的激励周期相同，则 Ni (t)的周期也相同。
将Ni (t)进行傅里叶级数展开：
Ni (t)
令： cpi 2 ii
得：
i
c pi
2i
a bi2 2i
称ζi 为振型比例阻尼。
若a=0, 有：
i
b 2
i
意味着各个振型振动中，阻尼正比于该振型对应的固有频率。
若b=0, 有：
i
a
2i
意味着各个振型振动中，阻尼反比于该振型对应的固有频率。
2020年11月1日 7
《振动力学》
(2) 当阻尼比较小的时候，忽略 CP 矩阵中的全部非对角元素
ai 0 2
(aij
j 1
cos
jt
bij
sin
jt),
(i 1 ~ n)
式中，ai0, aij ,bij可由第3.7节公式计算。
把激励各简谐分量所引起的系统稳态响应分别求出，再叠加：
ηi (t)
1
i2
ai0 2
j 1
Hij (
j ) [aij
cos(jt
ij ) bij
sin( jt
频率比
10
正弦激励下正则坐标的稳态响应：
ηi
(t
)
Im
N0i
i2
Hi () ei(ti )
i2
N0i
(1 i2 )2 (2 ii )2
sin(t
i )
原广义坐标的稳态响应：
n
n
q(t) i1 u(i)i (t) i1 i2
u(i)u(i)T F0
(1 i2 )2 (2 ii )2
sin(t i )
ij )]
式中，Hij ( j)
(1
1
j
2 2 i
)2
(2
i
ji
)2
,
ij
arctan
2
1
i
j
ji 2 2
i
, i
i
,
2020年11月1日 12
《振动力学》