当前位置：文档之家 › 机械振动5多自由度系统10-11有阻尼解析

机械振动5多自由度系统10-11有阻尼解析

  • 格式：ppt
  • 大小：475.00 KB
  • 文档页数：8

下载文档原格式

  / 8

合集下载

理论力学 第十章振动

理论力学 第十章振动

k2
k1
δ st
r F1
k eq = k1 + k 2
δ st r
r mg
keq k1 + k 2 = m m
m
r F2
mg = k eqδ st
keq称为等效弹簧刚性系数 并联系统的固有频率为
mg k2
ωn =
当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。 这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
O
δ st
x
r F r P
则解为：
x = A sin(ω nt + θ )
表明：无阻尼自由振动是简谐振动。 其运动图线为：
x
A
x
x0
θ ωn
O
t
t+T
x
2.无阻尼自由振动的特点 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率 ）
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t， 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时 ，其 运动规律x（t）总可以写为: 运动规律 （ ）总可以写为: x（t）= x（t+T） （） （ ） T为常数，称为周期，单位符号为s。 为常数， 周期， 符号为 为常数 称为周期 单位符号 。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动 后又重复原来的运动。 这种振动经过时间 后又重复原来的运动。 考虑无阻尼自由振动微分方程 考虑无阻尼自由振动微分方程
r F r P
x
两个根为： r1 = +iω n 方程解表示为：
r2 = −iω n
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt

多自由度系统振动

多自由度系统振动
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组

机械振动5多自由度系统10-11有阻尼

机械振动5多自由度系统10-11有阻尼
2018年9月20日 《振动力学》 12
原坐标的系统稳态响应：
q(t ) u(i ) ηi (t )
i 1
n
u(i ) ai 0 2 H ij ( j ) [aij cos( jt ij ) bij sin( jt ij )] i 1 i 2 j 1
并令：cPi 2 ii
则n 自由度系统运动方程变为：
i 2 ii η i i2ηi Ni (t ), i 1 ~ n η
这一方法有很大的实用价值 ，一般适用于振型比例阻尼 ζ i 不 大于0.2的弱阻尼系统。
若系统阻尼较大，不能用振型矩阵超出本课程范围。
其中， i u
(i )T
Cu (i )
2i (i )T N i (t ) u F (t ) (i 1,2, , n)
9
(i 1,2,, n)
下面对几种激励分别讨论 2018年9月20日
《振动力学》
1. 有阻尼系统对简谐激励的响应
假设激励为 F (t ) F sin t 0 将运动方程写成复数形式：
《振动力学》
i2
H i ( ) ei (t i ) , (i 1 ~ n)
1
10
正弦激励下正则坐标的稳态响应：
N 0i i (t i ) ηi (t ) Im 2 H i ( ) e i N 0i sin(t i ) i2 (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2
有： uT Muη uT Cuη uT Kuη uT F (t )
即：
C pη Λη N (t ) η
其中：
C p uT Cu
模态阻尼矩阵

机械振动5多自由度系统10-11有阻尼

机械振动5多自由度系统10-11有阻尼

c c c C P u T Cu c c c c c c
非对角矩阵
5
若 C P非对角，则前面在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或 正则坐标方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂。
为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列 近似处理方法 。
有： uT Muη uT Cuη uT Kuη uT F (t )
即：
C pη Λη N (t ) η
其中：
C p uT Cu
模态阻尼矩阵
虽然模态质量矩阵与模态刚度矩阵是对角阵，但模态阻尼矩 阵一般非对角阵，因而正则坐标η 下的强迫振动方程仍然存 在耦合。 2016年1月11日
《振动力学》
i2
H i ( ) ei (t i ) , (i 1 ~ n)
1
10
正弦激励下正则坐标的稳态响应：
N 0i i (t i ) ηi (t ) Im 2 H i ( ) e i N 0i sin(t i ) i2 (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2
c
c
c
1 2 1 q 1 2 1 q1 F1 1 0 q m c k sin t 2 1 2 q 2 1 2 q2 F2 0 1 q
i 2 ii η i i2ηi N0i eit , (i 1 ~ n) η
式中， N 0i u ( i ) F0
T
(i 1,2,, n)
则正则坐标的稳态响应：
ηi (t )
式中， H i ( )
N 0i
, arctan2 i i , , i i (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2 1 i2 i 频率比 相位角 正则坐标的放大因子 2016 年1月11日

多自由度系统振动(第11讲,11月05日)

多自由度系统振动(第11讲,11月05日)
2 φ 或直接用 ( K M ) 0
令主振动：
x1 1 x sin(t ) 2 2 x3 3
得：
3k m 2 k 0
k 2k m 2 1
1 0 k 2 0 2 3k m 3 0 0
1 ci m pi
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
正则模态的正交性条件：
(i )T Mφ( j ) φ N ij N (i )T ( φ N KφN j ) iji2
主模态的正交性条件：
( i ) T Mφ( j ) ij m pi φ (i )T φ Kφ( j ) ij k pi
3 (3 )(2 ) 1 1
1 1, 2 3, 3 4
选上式右端矩阵的第一列，分别代入 1、 2、3 的值
得： (1)
1 1 1 2, ( 2 ) 0 , ( 3) 1 1 1 1
X Rn
记为 B
M、K R nn
特征矩阵 应的主振型 (i )
或 B ( )
i2不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 adjB求得相 当
根据逆矩阵定义 ： 两边左乘 B B ：
B 1 1 adjB B
B I BadjB
当 i 时 ： B(i )adjB(i ) 0
模态关于刚度的正交性
(i )T
φ
Mφ(i ) m pi 第 i 阶模态主质量
φ
(i )T
Kφ(i ) k pi
第 i 阶模态主刚度
φ(i ) 第 i 阶主模态

(完整word版)有阻尼自由系统的振动分析

(完整word版)有阻尼自由系统的振动分析

有阻尼自由系统的振动分析实际系统振动时不可避免地存在阻力，因而在一定时间内振动逐渐衰减直至停止。

阻力有多种来源，例如两个物体之间的干摩擦阻力、气体或液体介质的阻力、有润滑剂的两个面之间的摩擦力、由于材料的粘弹性而产生的内部阻力等等。

在振动中这些阻力统称为阻尼。

其弹簧—质量系统模型图示如右图，因为有考虑到阻尼的影响故其运动方程应为：0ku(t)(t)u c (t)u m ...=++ （1） 或 0u(t)ω(t)u ξω2(t)u2=++ （2） 其中mc =ξω2 式（2）是一个常系数齐次线性微分方程 0222=++ωξωx x （3）其通解为 12-±-=ξωξωx由上可知，式（2）的解与ξ的大小有关。

对于ξ可分为以下四种情况简要讨论：1、临界阻尼情况（ξ=1或C=2m ω）在这种情况下特征方程的根是一对重根：X 1、2=-ω，式（2）的通解是 ])1([)(00t ut u e t u t ++=-ωω （4） 在这种情况下系统不发生振动。

临界阻尼就是不产生振动的最小阻尼。

2、超阻尼情况（ξ＞1或C ＞2m ω） 此特征根是两个负实数。

通解为t sh u u t ch u e t u d dd t ωωξωωξω000[)(++=- （5） 式中12-=ξωωd ，这种阻尼过大系统的运动是按指数规律衰减的非周期运动。

3、负阻尼情况（ξ＜0或C ＜0）阻尼本来是消耗能量的，负阻尼则表示系统在不断增加能量，这种情况下的运动是不稳定的，其振幅会越来越大，直到系统振动失效破坏。

4、低阻尼或小阻尼情况（ξ＜1或C ＜2m ω）此时特征根是两个复数，式（2）的通解为)cos sin ()(000t u t u u e t u d d dt ωωωξωξω++=- （6） 式中21ξωω-=d ，由此可知，阻尼使系统自振频率减小，亦即使系统自振周期增大。

由上式可看出，阻尼式振幅按指数规律衰减。

机械振动-第五章多自由度系统的振动


5-2 多自由度系统振动方程式
1）质量弹簧系统
根据牛顿运动定律，列出各质点的运动方程式
1 P m1 x 1 K1 x1 K 2 x2 x1 2 P2 K 2 x2 x1 K 3 x3 x2 m2 x 3 P3 K 3 x3 x2 m3 x
列向量
系数矩阵
x1 x x 2 , x 3
1 x 2 , x x x 3
P 1 P P 2 P 3
m1 0 M 0 m2 0 0




矩阵形式表达式
K A p 2 M A 0
其中
A1 A2 A An
有非零解的条件是系数行列式等于零
k11 m11 p 2 k 21 m21 p 2 k n1 mn1 p 2
k12 m12 p 2 k1n m1n p 2 k 22 m22 p 2 k 2 n m2 n p 2 k n 2 mn 2 p 2 k nn mnn p 2
或
K x 0 M x
列向量
0 0 0 0
2）梁上具有集中质量的横向振动系统
梁上具有任意n个集中质量，系统运动时各质量的横向位移 为y1、y2、…yn，作用在各质量上的外力为P1、P2…Pn，惯性 1 , m2 2 , mn n ，由柔度影响系数的定义及力 y y y 力为 m1 的叠加原理，可列出下述关系式
当外力不存在时，得到系统自由振动方程式
y M y
或
0 y M y K y 0 M y
当系统存在阻尼时，如果是粘性阻尼，引入一个n阶正定 的阻尼方阵，使具有阻尼的多自由度系统的振动方程式具有 下述一般形式。

《机械振动》张义民—第5章第9、10、11节ppt


例5.9-1 考虑图5.9-1所示系统，在系统上作用 有激励向量F(t)=[0 F0u(t)]T，u(t)为单位阶跃函数。 求在零初始条件下系统的响应。
解：系统的运动微分方程
1 m 0
0 2
q1 q2
k
2 1
1 q1
2
q2
0
F0u
t
为了用振型分析方法求解，
首先要解特征值问题，得
N t uTF t
F0 m
0.627963 0.325057
u
t
将上式代入方程(5.9-14)，得
1t
0.627963
F0 1
m 1
t 0
u
sin
1
t
d
0.62796312F0 m 1 cos1t
2t 0.325057
F0 1
m 2
t 0
u
sin
2
t
d
0.325057
F0
22
m
F0 1
m 2
t 0
sin
sin
1
t
d
0.325057
F0
22
m
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
最后，得
q1t
F0 m
0.455295112
sin
t
1
sin
1t
1
1
2
12
0.122009
1
22
sin
t
2
sin
2t
1
1
2
22
q2t
F0 m
0.621945

机械振动5多自由度系统10-11有阻尼.


i 2 i n) η
式中， N 0i u ( i ) F0
T
(i 1,2,, n)
则正则坐标的稳态响应：
ηi (t )
式中， H i ( )
N 0i
, arctan2 i i , , i i (1 i2 ) 2 (2 i i ) 2 1 i2 i 频率比 相位角 正则坐标的放大因子 2018 年12月2日
《振动力学》
4
例如：三自由度系统
2k
m
x1
k
x2 m
k
x3 m
2k
c
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
3k K k 0
k 2k k
0 k 3k
c 0 0 C 0 0 0 0 0 0
一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。
2018年12月2日 《振动力学》
2
有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：
Cq Kq F (t ) Mq
阻尼矩阵 元素 cij 阻尼影响系数
q Rn
物理意义：是使系统仅在第 j 个广义坐标上产生单位速度而 相应于第 i 个坐标上所需施加的力 阻尼力为广义速度的线性函数 表示为：
6 k u T Ku 0 0 0 6k 0 0 12k 0
1 1 1 u 2 0 1 1 1 1
0 6 m 0 uT Mu 0 2 m 0 0 3m 0
2018年12月2日 《振动力学》
5.10 多自由度系统的阻尼
2018年12月2日 《振动力学》
1
任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素 材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等 由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。 在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略 阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统。 当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂 的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。

自由度系统阻尼自由振动 ppt课件



tan1 x0 n x0 d x0
ppt课件
23
小阻尼的运动曲线
如图所示的为衰减振 5
动。在 cos(dt ) 1 4
的时候，物体的运动 3
2
曲线和曲线：
1
振幅
x Aent
相切， 0 -1
在切点的x值的绝对 -2
值 Aent
称为振幅。 -3 -4
ppt课件
10
方程求解
由于方程为齐次的，因此，方程的解具有 如下形式：
x est
将解的形式带入微分方程：

s
2

c m
s

k m

e
st

0
ppt课件
11
特征方程及其解
由于est 0 ，因此，要想方程成立；
必须： s2 c s k 0 称为微分方程 的特 征方程 m m
19
临界阻尼系统的运动特点
可见：临界阻尼下的系统的运动也不是振动；
但在相同的条件下，临界阻尼的系统的自由 运动最先停止；
因此，仪表都将系统的阻尼设置为临界阻尼。
ppt课件
20
作业3
有粘性阻尼的弹簧质量系统，无阻尼振动的
固有频率为n ，从平衡位置拉开 x0 后释放，
初速度为零。
（1）求 1.25 和 1 时的系统运动情况。
所以，当时 0.3 ，通常忽略阻尼对固 有频率和周期的影响。
ppt课件
28
阻尼对振幅的影响
阻尼对振幅的影响却非常大。设 x1 和 x2分别
是相邻两次的振幅，对应的时间分别为：t1 和 t2 ，则：t2 t1T d
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年11月1日 8
《振动力学》
5.11 有阻尼系统对任意激励的响应 ·振型叠加法
假设粘性阻尼系统的微分方程中的阻尼矩阵C可以对角化，
CP
c
p1
并令：cPi 2 ii
cpn
则n 自由度系统运动方程变为：
ηi 2 iiηi i2ηi Ni (t), i 1 ~ n
其中， i
u(i)T Cu(i)
2020年11月1日 2
《振动力学》
有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：
Mq Cq Kq F (t)
q Rn
阻尼矩阵
元素 cij 阻尼影响系数
物理意义：是使系统仅在第 j 个广义坐标上产生单位速度而 相应于第 i 个坐标上所需施加的力
阻尼力为广义速度的线性函数
表示为：
n
Qdi cij q j j 1
即：
η C pη Λη N (t)
其中：
Cp uTCu 模态阻尼矩阵
虽然模态质量矩阵与模态刚度矩阵是对角阵，但模态阻尼矩 阵一般非对角阵，因而正则坐标η 下的强迫振动方程仍然存 在2耦020合年1。1月1日
4 《振动力学》
例如：三自由度系统
2k
x1
k
x2
k
m
m
c
x3
2k
m
m 0 0
M
0
5.10 多自由度系统的阻尼
2020年11月1日 1
《振动力学》
任何实际的机械系统都不可避免的存在着阻尼因素 材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等
由于各种阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达。 在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略 阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统。 当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂 的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。 一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼。
a, b：为常数
代入 Cp uTCu 中
Cp uT (aM bK)u aI bΛ
运动方程变为： η C pη Λη N (t)
对角阵
或 η cPiη i2η Ni (t), i 1 ~ n cPi a bi2
2020年11月1日 6
《振动力学》
η cPiη i2η Ni (t), i 1 ~ n cPi a bi2
2i
(i 1,2,, n)
Ni (t) u(i)T F (t) (i 1,2,, n)
下202面0年对11月几1日种激励分别讨论 9 《振动力学》
1. 有阻尼系统对简谐激励的响应
假设激励为 F (t) F0 sin t 将运动方程写成复数形式：
ηi
2 iiηi
i2ηi
N
eit
0i
,
(i 1 ~ n)
阻尼矩阵一般是正定或半正定的对称矩阵
2020年11月1日 3
《振动力学》
有阻尼的 n 自由度系统的强迫振动方程为：
Mq Cq Kq F (t)
q Rn
假定无阻尼系统下的正则模态矩阵u及其模态刚度矩阵 Λ
作坐标变换： q uη 有： uT Muη uT Cuη uT Kuη uT F (t)
m
0
0 0 m
3k k 0
K k
2k
k
0 k 3k
1 1 1 u 2 0 1
1 1 1
6m 0 0
uT Mu
0
2m
0
0 0 3m
c c c
CP uTCu c c c
2020年11月1日
c c c
《振动力学》
c 0 0 C 0 0 0
0 0 0
6k 0 0
uT
Ku
0
6k
0
0 0 12k
非对角矩阵
5
若 CP非对角，则前面在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或 正则坐标方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂。
为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列 近似处理方法 。
（1） 将矩阵 C 假设为比例阻尼 假定 C 有下列形式： C aM bK
式中，N0i u(i)T F0 (i 1,2,, n)
则正则坐标的稳态响应：
ηi (t) 式中，Hi ()
N0i
i2
Hi () ei(t
1
(1 i2 )2 (2 ii
i
)2
),
,
i
(i
1 ~ n) arctan 2
1
i i i2
,
i
i
,
2020正年1则1月坐1日标的放大因子
《振动力学》
相位角
CP
c
p1
cpn
并令：cPi 2 ii
则n 自由度系统运动方程变为：
ηi 2 iiηi i2ηi Ni (t), i 1 ~ n
这一方法有很大的实用价值 ，一般适用于振型比例阻尼 ζ i 不
大于0.2的弱阻尼系统。
若系统阻尼较大，不能用振型矩阵使方程解耦，即阻尼矩阵
不能对角化，有其它方法解决，但超出本课程范围。
可以看出,当激励频率接近i时, i 1, i的振幅会很大。
共振现象与单自由度阻尼系统类似。但有n个共振频率，
2020年1共1月1有日 n个 有阻尼系统对周期激励的响应
假设各坐标上作用的激励周期相同，则 Ni (t)的周期也相同。
将Ni (t)进行傅里叶级数展开：
Ni (t)
令： cpi 2 ii
得：
i
c pi
2i
a bi2 2i
称ζi 为振型比例阻尼。
若a=0, 有：
i
b 2
i
意味着各个振型振动中，阻尼正比于该振型对应的固有频率。
若b=0, 有：
i
a
2i
意味着各个振型振动中，阻尼反比于该振型对应的固有频率。
2020年11月1日 7
《振动力学》
(2) 当阻尼比较小的时候，忽略 CP 矩阵中的全部非对角元素
ai 0 2
(aij
j 1
cos
jt
bij
sin
jt),
(i 1 ~ n)
式中，ai0, aij ,bij可由第3.7节公式计算。
把激励各简谐分量所引起的系统稳态响应分别求出，再叠加：
ηi (t)
1
i2
ai0 2
j 1
Hij (
j ) [aij
cos(jt
ij ) bij
sin( jt
频率比
10
正弦激励下正则坐标的稳态响应：
ηi
(t
)
Im
N0i
i2
Hi () ei(ti )
i2
N0i
(1 i2 )2 (2 ii )2
sin(t
i )
原广义坐标的稳态响应：
n
n
q(t) i1 u(i)i (t) i1 i2
u(i)u(i)T F0
(1 i2 )2 (2 ii )2
sin(t i )
ij )]
式中，Hij ( j)
(1
1
j
2 2 i
)2
(2
i
ji
)2
,
ij
arctan
2
1
i
j
ji 2 2
i
, i
i
,
2020年11月1日 12
《振动力学》